Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand - Euclid...Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand...

Μοντέλα των Cournot και Bertrand

Παύλος Στ. Εφραιµίδης

Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης ΕφαρµογώνΤµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Υπολογιστών

Cournot & BertrandΕΚΑΠ1

Παύλος Στ. Εφραιµίδης

Τι θα πούµε

� Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

� Θα αναφερθούμε σύντομα στο μοντέλο Bertrand


Cournot’s model of oligopoly

� Antoine Augustin Cournot,1801-1877


Πρότεινε το 1838 ένα µαθηµατικό µοντέλο για να

µοντελοποιήσει προβλήµατα στρατηγικής και ανταγωνισµού

µεταξύ εταιριών σε ένα ολιγοπώλιο.

Το µοντέλο του Cournot� Ένα µοναδικό αγαθό παράγεται από n βιοµηχανίες-εταιρείες

� Το κόστος της εταιρείας i για την παραγωγή qi µονάδες του

προϊόντος είναι Ci(qi) όπου Ci είναι µια αύξουσα συνάρτηση

� Όλη η παραγωγή πωλείται στην ίδια τιµή η οποία καθορίζεται

� από τη ζήτηση για το προϊόν, και

� τη συνολική παραγωγή όλων των εταιρειών


� τη συνολική παραγωγή όλων των εταιρειών

� Για συνολική παραγωγή Q, η τιµή του προϊόντος (market price)

είναι P(Q).

� Η συνάρτηση P

� καλείται “inverse demand function”

� είναι φθίνουσα όταν είναι θετική: όταν αυξάνει η συνολική παραγωγή του

προϊόντος τότε η τιµή του µειώνεται (εκτός εάν είναι ήδη µηδέν).

Απόδοση� Εάν η παραγωγή κάθε εταιρείας i είναι qi τότε η τιµή

του προϊόντος είναι:

P(q1+q2+...+qn)

� Η απόδοση για την εταιρεία i είναι:

q · P(q +q +...+q )


qi · P(q1+q2+...+qn)

� Το κέρδος της εταιρείας i είναι:

πi(q1,q2,...,qn) = qi · P(q1+q2+...+qn) - Ci(qi)

Το παίγνιο

� Παίκτες: Οι εταιρείες

� Ενέργειες: Κάθε εταιρεία έχει ως πιθανές

κινήσεις/ενέργειες το μέγεθος της δική της

παραγωγής

� Προτιμήσεις: Οι προτιμήσεις κάθε εταιρείας


� Προτιμήσεις: Οι προτιμήσεις κάθε εταιρείας

αντιπροσωπεύονται από το κέρδος της

Λύση του παίγνιου του Cournot

� Πρώτα θα πρέπει να προσδιορίσουµε τι σηµαίνει

“Λύση” για το συγκεκριµένο παίγνιο

� Εδώ θα θεωρήσουµε ως λύση την εύρεση των

ισορροπιών Nash (NE)


Λύση ενός παιγνίου� Η επικρατέστερη έννοια λύσης ενός παιγνίου είναι η ισορροπία

Nash (Nash Equilibrium)

� ∆οθέντος ενός παιγνίου, προσπαθούµε να βρούµε το ή τα NE

του παιγνίου

� Υπάρχουν και άλλα ζητήµατα που µπορεί να εξεταστούν όπως

υπάρχουν πολλά NE; Εάν ναι τότε ποιο ή ποια είναι τα καλύτερα,


� υπάρχουν πολλά NE; Εάν ναι τότε ποιο ή ποια είναι τα καλύτερα,

� σε ποιο ή ποια NE συγκλίνει το παίγνιο,

� υπάρχει άλλη κατάσταση η οποία είναι καλύτερη για όλους από κάποιο

ή κάποια NE,

� κτλ.

� Στο µάθηµα γενικά θεωρούµε ως λύση ενός παιγνίου την εύρεση

των NE, εκτός εάν δηλώνεται ρητά κάτι διαφορετικό

Παράδειγµα παιγνίου Cournot

� Duopoly µε σταθερό κόστος µονάδας προϊόντος

και γραµµική inverse demand συνάρτηση

� ∆ύο εταιρείες i=1,2

� Η εταιρεία i παράγει ποσότητα q� Η εταιρεία i παράγει ποσότητα qi

� Κόστος εταιρείας i: Ci(qi)=c·qi για κάθε qi

� Γραµµική inverse demand συνάρτηση P(Q):

P(Q)= {a-Q, εάν Q≤a

0, εάν Q>a

Cournot & Bertrand ΕΚΑΠ 9

Τιµή του προϊόντος


Best Response Function� Υπενθυµίζουµε την έννοια της “best response function”

� Έστω παίγνιο σε στρατηγική µορφή µε N παίκτες και έστω συγκεκριµένος παίκτης i

� Έστω σ ένα συγκεκριµένο περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών. Τότε � σ είναι το περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών εκτός του


� σ-i είναι το περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών εκτός του παίκτη i και

� σi είναι το περίγραµµα στρατηγικής του παίκτη i

� Best response Function (Συνάρτηση Βέλτιστης Αντίδρασης) του παίκτη i: Συνάρτηση που επιστρέφει για

κάθε περίγραµµα στρατηγικών σ-i ένα σύνολο µε τις βέλτιστες στρατηγικές του παίκτη i

Εύρεση ενός NE� Στο παράδειγµα θα υπολογίσουµε ένα NE χρησιµοποιώντας την έννοια της συνάρτησης βέλτιστης απόκρισης (best response function).

� Πως εφαρµόζεται στο συγκεκριµένο παράδειγµα;Η συνάρτηση βέλτιστης απόκρισης (best


Η συνάρτηση βέλτιστης απόκρισης (best response function) της εταιρείας 1 είναι µια

συνάρτηση που επιστρέφει για κάθε πιθανή κίνηση της εταιρείας 2, ένα σύνολο µε τις βέλτιστες κινήσεις της εταιρείας 1

� Όµοια ορίζουµε τη συνάρτηση βέλτιστης αντίδρασης της εταιρείας 2

Το παράδειγµα� Για ποσότητες q1 και q2 η τιµή P(q1+q2) του προϊόντος

είναι:

� a-q1-q2, εάν q1+q2≤a

� 0, εάν q1+q2>a

� Το κέρδος της εταιρείας 1 είναι:


� Το κέρδος της εταιρείας 1 είναι:

π1(q1,q2)=q1·(P(q1+q2) - c)=

� q1· (a-c-q1-q2), εάν q1+q2≤a

� -c·q1, εάν q1+q2>a

Κέρδος της εταιρείας 1

� Εάν q2=0, τότε το κέρδος π1 είναι:

π1(q1,0)=q1·(α-c-q1), για q1≤a


Βέλτιστη αντίδραση της εταιρείας 1

� Η βέλτιστη αντίδραση (best response) της εταιρείας 1 είναι

συνάρτηση της κίνησης της εταιρείας 2, της ποσότητας

δηλαδή που θα παράγει η εταιρεία 2:

b1(q2)= {½ ·(a-c-q2), εάν q2≤a-c

0, εάν q2>a-c

Cournot & Bertrand ΕΚΑΠ 15

Όµοια προκύπτει και η best response function b2(q1)

της εταιρείας 2

Ένα NE

� Ένα NE για το παράδειγµα είναι ένα ζεύγος

στρατηγικών/κινήσεων τέτοιο ώστε η κίνηση κάθε

εταιρείας είναι βέλτιστη αντίδραση (best response) ως

προς την κίνηση της άλλης εταιρείας

� Έστω (q*1,q

*2) το NE, τότε θα πρέπει:


� Έστω (q 1,q 2) το NE, τότε θα πρέπει:

� q*1=b1(q

*2), και

� q*2=b2(q

*1)

To ΝΕ

� Για να βρούµε ένα τέτοιο NE αρκεί να λύσουµε το

σύστηµα των εξισώσεων:

� q1= ½ ·(a-c-q2)

� q2= ½ ·(a-c-q1)

� Η λύση είναι:


� Η λύση είναι:

q*1=q*

2=(1/3)·(a-c)

� Η τιµή πώλησης είναι: (1/3)·(a+2c)

Το µοναδικό NE


Ιδιότητες (1)� Τι ιδιότητες έχει η συγκεκριµένη ισορροπία Nash;

� Το κέρδος κάθε εταιρείας στην κατάσταση ισορροπίας

είναι: (1/9)·(a-c)2

� Υπάρχει κατάσταση που δίνει µεγαλύτερο κέρδος;

� Το συνολικό κέρδος ισούται µε


� Το συνολικό κέρδος ισούται µε

(q1+q2)·(a-c-q1-q2) = Q·(a-c-Q)

όπου Q=q1+q2 η συνολική ποσότητα του προϊόντος.

� Η συνάρτηση Q·(a-c-Q) µεγιστοποιείται στο σηµείο Q* =

(a-c)/2 . Εάν q1=q2=Q*/2=(a-c)/4 τότε το κέρδος κάθε

εταιρείας είναι (1/8)·(a-c)2

Ιδιότητες (2)

� Γιατί το περίγραµµα (q1,q2)=((a-c)/4, (a-c)/4) δεν

είναι ισορροπία Nash;

� Εάν ένα παίκτης, πχ. ο παίκτης 1, επιλέξει

q1=Q*/2=(a-c)/4 τότε η βέλτιστη αντίδραση του

παίκτη 2 είναι:


παίκτη 2 είναι:

b2(Q*/2) = (3/8)·(a-c)

Μοντέλο Bertrand

� Joseph Louis François Bertrand

1822 – 1900, Paris

� Cournot:

� Κάθε εταιρεία επιλέγει το μέγεθος της παραγωγής

source: wikipedia


� Κάθε εταιρεία επιλέγει το μέγεθος της παραγωγής

� Η τιμή καθορίζεται από τη συνολική παραγωγή

� Bertrand:

� Κάθε εταιρεία επιλέγει μια τιμή

� Κάθε εταιρεία παράγει αρκετά ώστε να καλύψει τη

(δική της) ζήτηση

Ιστορικά στοιχεία

� Τα µοντέλα των Cournot και Bertrand εµπεριέχουν την

έννοια του Nash equilibrium πολύ πριν αυτή οριστεί

από τον John Nash

� O Bertrand θεωρούσε λάθος το µοντέλο του Cournot!

Τελικά όµως ο ίδιος είχε καταλάβει λάθος αυτά που


Τελικά όµως ο ίδιος είχε καταλάβει λάθος αυτά που

έλεγε ο Cournot…

� Τα µοντέλα των Cournot και Bertrand είναι

στρατηγικά παίγνια (strategic games) που διαφέρουν

µόνο στη στρατηγική µεταβλητή (strategic variable).

Και στα δύο µοντέλα η λύση είναι το Nash equilibrium

Πηγές - Αναφορές

� Βιβλίο Osborne:

� Ενότητα 2.8: Best response functions

� Ενότητα 3.1

� Ενότητα 3.1.5


� Σηµειώσεις του µαθήµατος «Οικονοµική Θεωρία και Αλγόριθµοι» του τµ. Μηχ. ΗΥ και Πληροφορικής, Παν/µιο Πατρών

� wikipedia entries:

� Cournot competition

� Bertrand competition

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand - Euclid...Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand...

Documents

Transcript of Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand - Euclid...Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand...