ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ...9 2.3 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ...

1

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ

ΘΕΩΡΙΑ

ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

2

2.1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ

Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη

θέση του φορτίου σημείο πηγής και το σημείο P όπου μετρούμε το πεδίο σημείο

παρατήρησης.

Το μέτρο B είναι ανάλογο του q και του 1/r2.

Tο B είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία που ενώνει το κινούμενο

σημείο πηγής με το σημείο παρατήρησης και το διάνυσμα u της ταχύτητας του

σωματιδίου.

Το μέτρο B είναι ανάλογο του ημιτόνου της γωνίας φ μεταξύ των δύο αυτών διευθύνσεων.

Το B είναι ανάλογο του μέτρου u της ταχύτητας του σωματιδίου. Έτσι, το μέτρο B του

μαγνητικού πεδίου στο σημείο P δίνεται από τη σχέση.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

3

2.1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ


Σχήμα 1 α). Διανύσματα μαγνητικού πεδίου. β) Δυναμικές γραμμές.

2

0ˆ

4 r

ruqB

2

0 sin

4 r

uqB

ή (1)

Το Σχ. 1 δείχνει το μαγνητικό

πεδίο B σε διάφορα σημεία στην

περιοχή του φορτίου. Σε όλα τα

σημεία κατά μήκος της ευθείας

που περνά από το φορτίο και

είναι παράλληλα προς την

ταχύτητα u, το πεδίο είναι μηδέν

επειδή sin φ = 0 για όλα αυτά τα

σημεία. Σε κάθε απόσταση r από

το q, το μέτρο B μεγιστοποιείται

στα σημεία του επιπέδου που

είναι κάθετο στο u, επειδή για

όλα αυτά τα σημεία φ = 90° και

sin φ = 1.

4

2.2 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΟΥΣ

ΜΗΚΟΥΣ


Το μαγνητικό υπακούει στην αρχή της επαλληλίας: Το ολικό μαγνητικό πεδίο που

δημιουργείται από περισσότερα του ενός κινούμενα φορτία είναι ίσο με το

διανυσματικό άθροισμα των πεδίων που δημιουργούνται από τα επιμέρους φορτία.

Αυτή η αρχή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε το πεδίο που δημιουργεί

ένας ρευματοφόρος αγωγός. Το ολικό πεδίο είναι το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

που οφείλονται σε όλα τα κινούμενα φορτία μέσα στον αγωγό.

Το Σχ. 2 δείχνει το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ένας ρευματοφόρος αγωγός

απειροστού μήκους dl. O όγκος του στοιχείου είναι A dl, όπου A είναι το εμβαδόν της

διατομής του αγωγού. Αν υπάρχουν n φορτία q ανά μονάδα όγκου, το ολικό κινούμενο

φορτίο μέσα στο στοιχειώδη αγωγό είναι

nqAdldQ

5


ΜΗΚΟΥΣ

2

0

2

0 sin

4

sin

4 r

dlAuqn

r

udQdB dd

2

0 sin

4 r

dlIdB

2

0ˆ

4 r

rldIBd


Τα κινούμενα φορτία είναι ισοδύναμα

με ένα φορτίο dQ που κινείται με

ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα

ολίσθησης ud. Σύμφωνα με την Εξ.

(1), το μέτρο του ολικού πεδίου dB σε

κάθε σημείο είναι

Αλλά nqudA είναι το ρεύμα I στο

στοιχείο dl, άρα

ή 2

0 sin

4 r

dlIdB

Σχήμα 2

(2)

6


ΜΗΚΟΥΣ


Εξ. (2) αποτελούν τον νόμο των Biot και Savart. Για να βρούμε το ολικό μαγνητικό πεδίο B,

πρέπει να ολοκληρώσουμε μία από τις εκφράσεις αυτές και έτσι έχουμε:

(3)

Όπως φαίνεται στο Σχ. 2α, το διανυσματικό πεδίο dB και οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου

είναι ίδιες ακριβώς με εκείνες που δημιουργεί ένα θετικό φορτίο dQ που κινείται στην

κατεύθυνση της ταχύτητας ολίσθησης ud. Οι γραμμές είναι κύκλοι σε επίπεδα κάθετα στο dl.

Οι κατευθύνσεις τους δίνονται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

2

0

4 r

rldIB

7

2.3 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΑΓΩΓΟ

22 yxr 22

sinsinyx

x


Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο Biot και Savart για τον

υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται από

ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό μήκους 2α που διαρρέεται από

ρεύμα I, σε σημείο της μεσοκαθέτου του σε απόσταση x από

αυτόν. H διάταξη φαίνεται στο Σχ. 3. Το στοιχειώδες τμήμα του

αγωγού dl = dy δημιουργεί πεδίο dB. Ακόμα έχουμε

και

Τελικά χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω στις εξ. (2) έχουμε

23

22

0

22222

0

2

0

44

sin

4 yx

dyxIdB

yx

x

yx

dyIdB

r

dlIdB

Σχήμα 3

8


a

a yx

dyxIB

23

22

0

4

22223

22 bxb

x

bx

dx

22

0 2

4 axx

aIB


Τελικά το μέτρο B του ολικού B είναι

Γνωρίζοντας το αόριστο ολοκλήρωμα του τύπου :

Έχουμε, αντικαθιστώντας όπου b το x, το τελικό αποτέλεσμα

(4)

Για αγωγό με άπειρο μήκος η Εξ. (4) γίνεται

x

IB

2

0

9



Το B λόγω συμμετρίας πρέπει να έχει το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία κύκλου κάθετου στον

αγωγό, με το κέντρο του πάνω σε αυτόν. H διεύθυνση του B σε κάθε σημείο είναι εκείνη της

εφαπτομένης του κύκλου στο ίδιο σημείο. Έτσι, σε όλα τα σημεία κύκλου με ακτίνα r γύρω

από τον αγωγό, το μέτρο B είναι

(5)

Το Σχ. 4 δείχνει τα μαγνητικά πεδία σε τμήμα της περιοχής γύρω από μακρύ, ευθύγραμμο

αγωγό.

r

IB

2

0

Σχήμα 4

10

2.4 ΔΥΝΑΜΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΓΩΓΩΝ


Το Σχ. 5 δείχνει τμήματα από δύο ευθύγραμμους, παράλληλους αγωγούς μεγάλου μήκους σε

απόσταση r μεταξύ τους που διαρρέονται από ρεύματα I και Ι', αντίστοιχα, προς την ίδια

φορά. O κάθε αγωγός βρίσκεται μέσα στο μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί o άλλος, κι

επομένως δέχεται κάποια δύναμη. Το διάγραμμα δείχνει μερικές από τις δυναμικές γραμμές

που δημιουργεί το ρεύμα του κάτω αγωγού.

Το μέτρο του B σε κάθε σημείο του επάνω αγωγού είναι

Σχήμα 5

r

IB

2

0

11


r

LIIBLIF

2

'' 0


Η δύναμη που ασκείται σε τμήμα μήκους L του επάνω αγωγού είναι

(2.9)

οπότε η δύναμη ανά μονάδα μήκους F/L είναι

Από με τον κανόνα του δεξιού χεριού η δύναμη στον επάνω αγωγό έχει φορά προς τα κάτω.

Το ρεύμα στον επάνω αγωγό δημιουργεί και αυτό ένα πεδίο σε όλα τα σημεία του κάτω

αγωγού.

Με τον κανόνα του δεξιού χεριού βρίσκουμε ότι η δύναμη στον κάτω αγωγό είναι προς τα

επάνω. Άρα, δύο παράλληλοι αγωγοί που διαρρέονται από ρεύματα ίδιας φοράς έλκονται

μεταξύ τους.

r

II

L

F

2

'0

12



Αν η φορά από τα δύο ρεύματα αντιστραφεί θα αντιστραφούν και οι δυνάμεις. Παράλληλοι

αγωγοί που διαρρέονται από ρεύματα αντίθετης φοράς απωθούνται μεταξύ επίσης.

Το γεγονός ότι δύο ευθύγραμμοι, παράλληλοι ρευματοφόροι αγωγοί έλκονται ή απωθούνται

μεταξύ τους αποτελεί τη βάση για τον ορισμό του ampère (Α) στο σύστημα μονάδων SI:

Ένα ampère (Α) είναι το σταθερό εκείνο ρεύμα το οποίο, όταν διαρρέει δύο

παράλληλους αγωγούς άπειρου μήκους σε απόσταση 1 m o ενας από τον άλλο στο κενό,

προκαλεί στον καθένα μια δύναμη ανά μονάδα μήκους ακριβώς ίση με 2 x 10-7

newton/m.

13

2.5 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΒΡΟΧΟΥ

22

0

4 ax

dlIdB

21

2222

0

4cos

ax

a

ax

dlIdBdBx


Το Σχ. 6 δείχνει ένα κυκλικό αγωγό ακτίνας a, που

διαρρέεται από ρεύμα I.

Από τον νόμο Biot και Savart, Εξ. (2) μπορούμε να

υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο σε κάποιο σημείο

P πάνω στον άξονα του βρόχου, σε απόσταση x από

το κέντρο. Το Σχ.6, δείχνει ότι τα dl και r είναι

κάθετα, και ότι η διεύθυνση του πεδίου dB

βρίσκεται στο επίπεδο xy. Επίσης, r2 = x2+α2. Το

μέτρο dB του πεδίου του dl είναι

Οι συνιστώσες του dB είναι

21

2222

0

4sin

ax

x

ax

dlIdBdBy

Σχήμα 6

14


dl

ax

aI

ax

a

ax

dlIdBx

23

22

0

21

2222

0

44

23

22

2

0

2 ax

aIBx


Για κάθε στοιχείο dl υπάρχει ένα αντίστοιχο στοιχείο με αντίθετη φορά στην απέναντι πλευρά

του βρόχου. Τα δύο αυτά στοιχεία δίνουν ίσες συνιστώσες πεδίου κατά τον άξονα x, αλλά

αντίθετες συνιστώσες κάθετα στον άξονα y.

Για να βρούμε την ολική συνιστώσα x, ολοκληρώνουμε τη σχέση κατά μήκος του βρόχου,

οπότε

Το ολοκλήρωμα του dl είναι απλώς η περιφέρεια του κύκλου, 2πα, κι έτσι έχουμε

(2.10)

15



Αν υποθέσουμε ότι στο Σχ.6 έχουμε Ν σπείρες

τότε η Εξ. (2.10) πολλαπλασιάζετε με Ν.

Στο κέντρο της σπείρας, ή των σπειρών, ισχύει

x = 0 και η Εξ. (2.10) γίνεται

Καθώς απομακρυνόμαστε από τη σπείρα, το

μέτρο του πεδίου ελαττώνεται.

Το Σχ. 7 δείχνει τις γραμμές του μαγνητικού

πεδίου γύρω από ένα κυκλικό βρόχο.

Οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου

περιβάλλουν τον αγωγό και, είναι απλά

κλειστές καμπύλες

a

INBx

2

0

Σχήμα 7

16

2.6 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ AMPÉRE

ldB

r

IB

2

0


Ο νόμος του Ampère εκφράζεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του B κατά μήκος ενός

κλειστού δρόμου και συμβολίζεται με,

(2.11)

Για να δούμε το βασικό νόημα του νόμου του Ampère, θεωρούμε και πάλι το μαγνητικό πεδίο

ενός ευθύγραμμου αγωγού μεγάλου μήκους που διαρρέεται από ρεύμα Ι. Είδαμε ότι το μέτρο

του πεδίου σε απόσταση r από τον αγωγό είναι

Tο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του B κατά μήκος κύκλου με ακτίνα r (μια γραμμή του

μαγνητικού πεδίου), είναι απλώς το B επί το μήκος της περιφέρειας του κύκλου:

Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα προκύπτει ότι είναι ανεξάρτητο της ακτίνας του κύκλου και ίσο

με μ0 επί το ρεύμα το διερχόμενο από την επιφάνεια που ορίζει o κύκλος.

Irr

IldB

0

0 22

17


cos dlBldB

d

Ird

r

IldB

22

00


Στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε και για ένα γενικευμένο δρόμο, όπως

αυτόν του Σχ. 8α. Στη θέση του στοιχείου dl η γωνία μεταξύ dl και B

είναι φ, οπότε

Από το σχήμα έχουμε ότι dl cos φ = r dθ, όπου dθ είναι η γωνία με

την οποία φαίνεται το dl από τη θέση του αγωγού, και r είναι η

απόσταση του dl από τον αγωγό. Επομένως

Αλλά το ολοκλήρωμα dθ είναι απλώς η γωνία 2π, οπότε

(2.12)

IldB 0

Σχήμα. 8

18



Αυτό το αποτέλεσμα για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από το σχήμα του

δρόμου ή από τη θέση του σύρματος ως προς αυτόν.

Αν το ρεύμα του σύρματος έχει αντίθετη φορά από εκείνη του σχήματος, το ολοκλήρωμα

αλλάζει πρόσημο.

Αν πάλι o δρόμος δεν περικλείει το σύρμα (Σχ. 8 β), τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

μηδενίζεται

Ας υποθέσουμε ότι περισσότεροι του ενός ευθύγραμμοι αγωγοί μεγάλου μήκους διαπερνούν

την επιφάνεια που περικλείεται από το δρόμο ολοκλήρωσης. Το ολικό μαγνητικό πεδίο B σε

κάθε σημείο του δρόμου είναι το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων που δημιουργούνται από

τους επιμέρους αγωγούς.

Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του ολικού πεδίου B είναι ίσο με μ0 επί το αλγεβρικό άθροισμα

των ρευμάτων. Έτσι, η γενική μορφή του νόμου του Ampère είναι

(2.13) IldB 0

19

2.7 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ


O νόμος του Ampère, έτσι όπως διατυπώθηκε δεν είναι πλήρης. Σαν εισαγωγή στο πρόβλημα,

ας θεωρήσουμε τη διαδικασία φόρτισης ενός πυκνωτή (Σχ. 9)

Σχήμα 9

Από τον νόμο του Ampère για την επίπεδη επιφάνεια που ορίζεται από τον κύκλο, το Ιολ, είναι

το ρεύμα iC του αριστερού αγωγού έτσι το ολοκλήρωμα ισούται μ0 iC .

Η εξογκωμένη προς τα δεξιά επιφάνεια ορίζεται και αυτή από τον ίδιο κύκλο, αλλά το ρεύμα

που τη διαπερνά είναι μηδέν. Έτσι φτάνουμε στο άτοπο, το ολοκλήρωμα να είναι συγχρόνως

ίσο με μ0 iC και μηδέν.

20


EAEdEd

ACq


Καθώς φορτίζεται ο πυκνωτής, τόσο το ηλεκτρικό πεδίο E όσο και η ηλεκτρική ροή ΦΕ μέσω

της επιφάνειας αυξάνουν. Το στιγμιαίο φορτίο q είναι q = CU, όπου C είναι η χωρητικότητα και

υ είναι η στιγμιαία διαφορά δυναμικού. Για έναν επίπεδο πυκνωτή ισχύει, C = ε0Α/d, όπου A

είναι το εμβαδόν κάθε οπλισμού και d η απόστασή τους. H διαφορά δυναμικού μεταξύ των

πλακών είναι U = Ed, όπου E είναι το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ των πλακών, το E

είναι ομογενές στο χώρο αυτό.

Αντικαθιστώντας στην q = CU τις παραπάνω εκφράσεις για τα C και U, μπορούμε να

εκφράσουμε το φορτίο q του πυκνωτή ως εξής

(2.14)

Καθώς φορτίζεται o πυκνωτής, o ρυθμός μεταβολής του q είναι εξ ορισμού το ρεύμα

αγωγιμότητας iC = dq/dt. Παραγωγίζοντας την Εξ. (2.14) παίρνουμε

(2.19)

dt

d

dt

dqi EC

21


dt

di ED


Το μέγεθος του δεύτερου σκέλους στην πιο πάνω εξίσωση ορίστηκε από τον James Clerk

Maxwell (Μάξγουελ, 1831-1879), ως ρεύμα μετατόπισης iD στο χώρο ανάμεσα στις πλάκες

Θεωρούμε ότι η μεταβαλλόμενη ροή μέσω της εξογκωμένης επιφάνειας είναι κατά κάποιο τρόπο

ισοδύναμη, σε ότι αφορά το νόμο του Ampère, με ένα ρεύμα αγωγιμότητας μέσω της επιφάνειας.

Ο νόμος του Ampère γίνεται

Με τη μορφή αυτή, o νόμος του Ampère ικανοποιείται ανεξάρτητα από την επιλογή επιφάνειας

στο Σχ. 9. Για την επίπεδη επιφάνεια, το iD είναι μηδέν, για την εξογκωμένη επιφάνεια το iC είναι

μηδέν, το iC που διέρχεται από την επίπεδη επιφάνεια είναι ίσο με το iD που διέρχεται από την

καμπύλη επιφάνεια.

DC iildB 0

22



Το ρεύμα μετατόπισης, όπως το συνέλαβε o Maxwell, μας

επιτρέπει να επεκτείνουμε την ισχύ του νόμου του

Ampère σε περιπτώσεις όπως εκείνη του Σχ. 2.9. Ένα

άλλο πλεονέκτημα του ρεύματος μετατόπισης είναι ότι

επιτρέπει τη γενίκευση του πρώτου νόμου του Kirchhoff.

Ας θεωρήσουμε την αριστερή πλάκα του πυκνωτή, ενώ

φτάνει σε αυτή το ρεύμα αγωγιμότητας, κανένα ρεύμα δεν

την εγκαταλείπει. Όταν όμως συμπεριλάβουμε και το

ρεύμα μετατόπισης, τότε έχουμε είσοδο του ρεύματος

αγωγιμότητας από τη μια μεριά και έξοδο ίσου ρεύματος

μετατόπισης από την άλλη. Με αυτή τη γενικευμένη

έννοια του όρου ρεύμα, μπορούμε πλέον να μιλάμε ακόμη

και για ρεύμα μέσω του πυκνωτή.

Το ερώτημα είναι αν το ρεύμα μετατόπισης έχει καμιά φυσική σημασία;

Για το λόγω αυτό θεωρούμε μια επίπεδη κυκλική επιφάνεια ανάμεσα στους οπλισμούς του

πυκνωτή, όπως δείχνει το Σχ. 10. Λόγω του ρεύματος μετατόπισης πρέπει να υπάρχει κάποιο

μαγνητικό πεδίο στο χώρο μεταξύ των πλακών, όσο φορτίζεται o πυκνωτής.

Σχήμα 10.

23


CiR

rBrldB

2

2

02


Για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο σε κάποιο σημείο του χώρου μεταξύ των οπλισμών,

εφαρμόζουμε το νόμο του Ampère για κύκλο ακτίνας r που διέρχεται από το σημείο.

Στο Σχ. 10, o κύκλος αυτός περνά από τα σημεία a και b. Το ολικό ρεύμα που περικλείεται από

τον κύκλο είναι jD επί το εμβαδόν του, ή (iD/πR2)(πr2). Το ολοκλήρωμα του νόμου του Ampère

είναι απλώς B επί το μήκος της περιφέρειας του κύκλου 2πr, και επειδή iD = iC όσο φορτίζεται

o πυκνωτής, προκύπτει, από τον νόμο του Ampère, ότι

ή

Το αποτέλεσμα αυτό προβλέπει ότι στο χώρο μεταξύ των οπλισμών το B είναι μηδέν πάνω

στον άξονα και αυξάνει γραμμικά με την απόσταση από τον άξονα. Παρόμοιος υπολογισμός

δείχνει ότι εξωτερικά του χώρου μεταξύ των οπλισμών, το B είναι εκείνο που θα ίσχυε αν οι

αγωγοί ήταν συνεχείς και δεν υπήρχαν καθόλου οπλισμοί.

CiR

rB

2

0

2

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ...9 2.3 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ...

Documents

Transcript of ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ...9 2.3 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ...