ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ...ΗΜΥ 210:...

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Αυγ-13

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 1

ΗΜΥΗΜΥ--210: 210: ΣχεδιασμόςΣχεδιασμόςΨηφιακών ΣυστημάτωνΨηφιακών Συστημάτων

Συνδυαστική ΛογικήΣυνδυαστική Λογική / / Κυκλώματα Κυκλώματα (Μέρος (Μέρος BB))

Πανεπιστήμιο ΚύπρουΤμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ

ΠερίληψηΠερίληψηΒελτιστοποίηση κυκλωμάτων πολλαπλών επιπέδων Βελτιστοποίηση κυκλωμάτων πολλαπλών επιπέδων (μετασχηματισμοί)(μετασχηματισμοί)Λογικές ΠύλεςΛογικές ΠύλεςNAND NAND καικαι NOR NOR πύλεςπύλες

ΚυκλώματαΚυκλώματα μεμε NAND NAND καικαι NORNORΥλοποίηση 2 επιπέδωνΥλοποίηση 2 επιπέδωνΥλοποίηση πολλαπλών επιπέδωνΥλοποίηση πολλαπλών επιπέδων

E l iE l i OR (XOR) OR (XOR) ύλύλ

Αυγ-13 MKM - 2Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ExclusiveExclusive--OR (XOR) OR (XOR) πύλεςπύλεςΠεριττήΠεριττή Συνάρτηση (Συνάρτηση (Odd Function)Odd Function)Παραγωγή και έλεγχος ισοτιμίας (Παραγωγή και έλεγχος ισοτιμίας (ParityParity))

Βελτιστοποίηση κυκλωμάτων Πολλαπλών Βελτιστοποίηση κυκλωμάτων Πολλαπλών Επιπέδων Επιπέδων (Multiple(Multiple--level circuit optimization)level circuit optimization)

Μπορεί να προσφέρει μεγαλύτερη εξοικονόμηση Μπορεί να προσφέρει μεγαλύτερη εξοικονόμηση στο κόστος ενός κυκλώματοςστο κόστος ενός κυκλώματοςς ς μ ςς ς μ ς

ΘεωρήστεΘεωρήστε::G = abc + abe + d + ac + aeG = abc + abe + d + ac + aeκόστος = κόστος = 5 5 πύλες + 15 διασυνδέσειςπύλες + 15 διασυνδέσεις

abc

d

e

G

abc

abe

ac

ae

a ab(c+e)


G = ab(c+e) + d + a(c+e)G = ab(c+e) + d + a(c+e)κόστος = κόστος = 5 5 πύλες + 1πύλες + 122 διασυνδέσειςδιασυνδέσεις

abc

Gd

e

ab(c+e)

a(c+e)

Βελτιστοποίηση κυκλωμάτων Πολλαπλών Βελτιστοποίηση κυκλωμάτων Πολλαπλών Επιπέδων Επιπέδων (Multiple(Multiple--level circuit optimization)level circuit optimization)

G = ab(c+e) + d + a(c+e)G = ab(c+e) + d + a(c+e)κόστος = κόστος = 5 5 πύλες + 1πύλες + 122 διασυνδέσειςδιασυνδέσεις

abc

G

ab(c+e)

κόστος = κόστος = 5 5 πύλες + 1πύλες + 122 διασυνδέσειςδιασυνδέσεις

G = (ab+a)(c+e) + d G = (ab+a)(c+e) + d κόστος = κόστος = 55 πύλες + πύλες + 99 διασυνδέσειςδιασυνδέσεις

Gd

e

a(c+e)

e

abc

a+ab

c+e

G


G = a(c+e) + d G = a(c+e) + d κόστος = κόστος = 3 3 πύλες + πύλες + 66 διασυνδέσειςδιασυνδέσεις

dc+e

de

ac

a(c+e)

G



Βελτιστοποίηση κυκλωμάτων Βελτιστοποίηση κυκλωμάτων Πολλαπλών Επιπέδων (συν.)Πολλαπλών Επιπέδων (συν.)

∆εν υπάρχει συστηματική μέθοδος/αλγόριθμος (όπως ∆εν υπάρχει συστηματική μέθοδος/αλγόριθμος (όπως χάρτεςχάρτες--KarnaughKarnaugh ή ή QueenQueen--McCluskeyMcCluskey για διεπίπεδη για διεπίπεδη ελαχιστοποίηση) για πολλαπλά επίπεδαελαχιστοποίηση) για πολλαπλά επίπεδαελαχιστοποίηση) για πολλαπλά επίπεδα.ελαχιστοποίηση) για πολλαπλά επίπεδα.Βασιζόμαστε σε ένα σύνολο βασικών λειτουργιών Βασιζόμαστε σε ένα σύνολο βασικών λειτουργιών μετασχηματισμών, για να βρούμε μια καλή λύση, αλλά όχι μετασχηματισμών, για να βρούμε μια καλή λύση, αλλά όχι απαραίτητα βέλτιστη (απαραίτητα βέλτιστη (subsub--optimal solution).optimal solution).ΜετασχηματισμοίΜετασχηματισμοί::

ΠαραγοντοποίησηΠαραγοντοποίηση (Factoring)(Factoring)


ΠαραγοντοποίησηΠαραγοντοποίηση (Factoring)(Factoring)Αποσύνθεση (Αποσύνθεση (Decomposition)Decomposition)Εξαγωγή (Εξαγωγή (Extraction)Extraction)Αντικατάσταση Αντικατάσταση (Substitution)(Substitution)Απαλοιφή Απαλοιφή (Elimination(Elimination ή ή Flattening Flattening ήή Collapsing)Collapsing)

Αλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΑλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΠαραγοντοποίησηΠαραγοντοποίηση ((Factoring)Factoring)

Εξεύρεση κοινών παραγόντων απόΕξεύρεση κοινών παραγόντων από SOP SOP ήή POSPOSΕξεύρεση κο νών παραγόντων απόΕξεύρεση κο νών παραγόντων από SO SO ήή OSOSεκφράσεις, π.χ.:εκφράσεις, π.χ.:

F = A’C’D’ + A’BC’ + ABC + ACD’ F = A’C’D’ + A’BC’ + ABC + ACD’ (G = 16)(G = 16)ΠαραγΠαραγ..F = A’(C’D’ + BC’) + A(BC + CD’)F = A’(C’D’ + BC’) + A(BC + CD’) (G = 16)(G = 16)Ξανά Ξανά παραγπαραγ..F = A’C’(D’ + B) + AC( B + D’)F = A’C’(D’ + B) + AC( B + D’) (G = 12)(G = 12)


Ξανά Ξανά παραγπαραγ..F = (A’C’ + AC)( B + D’)F = (A’C’ + AC)( B + D’) (G = 10)(G = 10)

GG = αρ. εισόδων για το σύνολο των πυλών = αρ. εισόδων για το σύνολο των πυλών = αρ. διασυνδέσεων= αρ. διασυνδέσεων ((εκτός ΝΟΤεκτός ΝΟΤ))

Αλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΑλγεβρικοί Μετασχηματισμοί ((συν.)συν.)Αποσύνθεση (Αποσύνθεση (Decomposition)Decomposition)

Μια συνάρτηση εκφράζεται από ένα σύνολο νέων Μια συνάρτηση εκφράζεται από ένα σύνολο νέων Μ α συνάρτηση εκφράζετα από ένα σύνο ο νέων Μ α συνάρτηση εκφράζετα από ένα σύνο ο νέων συναρτήσεων, π.χ.:συναρτήσεων, π.χ.:

Θεωρήστε την Θεωρήστε την F = (A’C’ + AC)( B + D’) F = (A’C’ + AC)( B + D’) (το αποτέλεσμα της προηγούμενης παραγοντοποίησης)(το αποτέλεσμα της προηγούμενης παραγοντοποίησης)Αποσύνθεση: Ορίζουμε 2 νέες συναρτήσεις:Αποσύνθεση: Ορίζουμε 2 νέες συναρτήσεις:Ε = ΑΕ = Α’C’+AC ’C’+AC καικαι H = B + D’ H = B + D’ FF = E= E ⋅⋅ HH

Άλλ άδΆλλ άδ


Άλλο παράδειγμα:Άλλο παράδειγμα:F = F = Α(Α(C’+D’)(E+F) + BCDE’F’C’+D’)(E+F) + BCDE’F’ (G=(G=1414))Αποσύνθεση: ΧΑποσύνθεση: Χ11 = = CD, XCD, X22 = E+F= E+FF = A(C’+D’)F = A(C’+D’)XX22 +B+BΧΧ11E’F’ E’F’

= = AAΧΧ11’’ XX22 + B+ BΧΧ11XX22’’ (G=9)(G=9)

Αλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΑλγεβρικοί Μετασχηματισμοί ((συν.)συν.)Εξαγωγή (Εξαγωγή (Extraction)Extraction)

Πολλαπλές συναρτήσεις εκφράζονται από ένα σύνολο Πολλαπλές συναρτήσεις εκφράζονται από ένα σύνολο νέων συναρτήσεων π χ :νέων συναρτήσεων π χ :νέων συναρτήσεων, π.χ. :νέων συναρτήσεων, π.χ. :

F = A’B’D’ + A’BD = A’(B’D’ + BD) F = A’B’D’ + A’BD = A’(B’D’ + BD) καικαιH = B’CD’ + BCD = C(B’D’ + BD)H = B’CD’ + BCD = C(B’D’ + BD)Ορίζουμε Ορίζουμε E = B’D’ + BDE = B’D’ + BD

F = A’EF = A’EH = CEH = CE

Οι 2 συναρτήσεις (Οι 2 συναρτήσεις (FF και Η) έχουν και Η) έχουν κοινό υλικό (Ε)κοινό υλικό (Ε)


F

H

EA’

C

B’D’

DB



Αλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΑλγεβρικοί Μετασχηματισμοί ((συν.)συν.)Αντικατάσταση (Αντικατάσταση (Substitution)Substitution)

Αντικατάσταση μιας συνάρτησης Αντικατάσταση μιας συνάρτησης GG σε μια συνάρτηση σε μια συνάρτηση Αντ κατάσταση μ ας συνάρτησης Αντ κατάσταση μ ας συνάρτησης GG σε μ α συνάρτηση σε μ α συνάρτηση FF η η F F εκφράζεται ως συνάρτηση της εκφράζεται ως συνάρτηση της GG και κάποιων και κάποιων άλλων μεταβλητών.άλλων μεταβλητών.Αυτό το έχουμε ήδη δει να γίνεται στο τέλος της Αυτό το έχουμε ήδη δει να γίνεται στο τέλος της αποσύνθεσης, π.χ.:αποσύνθεσης, π.χ.:

F = F = Α(Α(C’+D’)(E+F) + BCDE’F’C’+D’)(E+F) + BCDE’F’Αποσύνθεση: ΧΑποσύνθεση: Χ11 = = CD, XCD, X22 = E+F= E+F


ηη 11 D,D, 22 E FE FF = A(C’+D’)F = A(C’+D’)XX22 +B+BΧΧ11E’F’ E’F’

= = AAΧΧ11’’ XX22 + B+ BΧΧ11XX22’’ ΑντικατάστασηΑντικατάσταση

Αλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΑλγεβρικοί Μετασχηματισμοί ((συν.)συν.)Απαλοιφή Απαλοιφή (Elimination(Elimination//FlatteningFlattening//Collapsing)Collapsing)

Το αντίθετο της αντικατάστασης Το αντίθετο της αντικατάστασης η συνάρτηση η συνάρτηση GGο αντ θετο της αντ κατάστασης ο αντ θετο της αντ κατάστασης η συνάρτηση η συνάρτηση GG(μέρος της (μέρος της F)F) αναπτύσσεται στηναναπτύσσεται στην FF, π.χ., π.χ.

Έχουμε τις πιο κάτω συναρτήσεις:Έχουμε τις πιο κάτω συναρτήσεις:X = B + CX = B + CY = A + BY = A + BZ = A’X + CYZ = A’X + CYΑπαλοιφή των Απαλοιφή των X X και Υκαι Υ από την Ζ:από την Ζ:Ζ = Α’(Ζ = Α’(B + C) + C(A + B) B + C) + C(A + B) EliminationElimination


Ζ = Α (Ζ = Α (B + C) + C(A + B) B + C) + C(A + B) EliminationElimination= = A’B + A’C +AC +BC A’B + A’C +AC +BC FlatteningFlattening

Συχνά αυξάνει το κόστος, αλλά παρέχει μια νέα Συχνά αυξάνει το κόστος, αλλά παρέχει μια νέα SOPSOP μορφή μορφή για ελαχιστοποίηση 2 επιπέδωνγια ελαχιστοποίηση 2 επιπέδων

Λογικές ΠύλεςΛογικές ΠύλεςAND, OR AND, OR και και NOTNOT

Μπορούμε να κατασκευάσουμε οποιοδήποτε συνδυαστικό Μπορούμε να κατασκευάσουμε οποιοδήποτε συνδυαστικό κύκλωμα με τις πύλες κύκλωμα με τις πύλες AND, OR, AND, OR, καικαι NOTNOT..ς ςς ς


Επιπρόσθετες λογικές πύλες μπορούν να Επιπρόσθετες λογικές πύλες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πρακτικούς λόγους.χρησιμοποιηθούν για πρακτικούς λόγους.

BUFFER, NAND BUFFER, NAND καικαι NORNOR




XOR XOR καικαι XNORXNORXX YY F = XF = X⊕⊕YY00 00 00XOR: : πύλη πύλη ““μημη--ισοτιμίαςισοτιμίας” ” 00 11 1111 00 1111 11 00Y

F

XX YY F = XF = X⊕⊕YYXNOR: : πύλη πύλη ““ισοτιμίαςισοτιμίας” ”

X


00 00 1100 11 0011 00 0011 11 11

XY

F

XNOR: : πύλη πύλη ισοτιμίαςισοτιμίας

Πύλη Πύλη NANDNAND

Είναι γνωστή ως Είναι γνωστή ως «οικουμενική»«οικουμενική» (“universal”) (“universal”) ύλη ί ύ λ ή ύλη ί ύ λ ή πύλη γιατί μπορούμε να υλοποιήσουμε πύλη γιατί μπορούμε να υλοποιήσουμε

οποιοδήποτεοποιοδήποτε ψηφιακό κύκλωμα μόνο με αυτές ψηφιακό κύκλωμα μόνο με αυτές τις πύλες.τις πύλες.

Για να αποδείξουμε το πιο πάνω χρειάζεται να Για να αποδείξουμε το πιο πάνω χρειάζεται να δείξουμε ότι οι πύλες δείξουμε ότι οι πύλες AND, OR AND, OR καικαι NOT NOT

ύ ύ ώ ό ύ ύ ώ ό


μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας μόνο μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας μόνο πύλες πύλες NANDNAND..

Εξομοίωση πύλης Εξομοίωση πύλης NANDNAND

X F = (X•X)’ •X)’ X’ X’ X’ X’

X F = X’X’X = X’+X’ = X’+X’ = X’= X’

XY

F = ((X•Y)’)’ •Y)’)’ = (X’+Y’)’ = (X’+Y’)’ = X’’•Y’’= X’’•Y’’= X•Y= X•Y

XY

F = X•YX•Y

X X


X

Y

F = (X’•Y’)’ •Y’)’ = X’’+Y’’= X’’+Y’’= X+Y= X+Y

X

Y

F = X+Y= X+Y

Κυκλώματα Κυκλώματα NANDNANDΓια να βρείτε μια υλοποίηση ενός κυκλώματος Για να βρείτε μια υλοποίηση ενός κυκλώματος χρησιμοποιώντας μόνο πύλες χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NANDNAND ακολουθήστε τα ακολουθήστε τα πιο κάτω βήματαπιο κάτω βήματα::πιο κάτω βήματαπιο κάτω βήματα::

Βρέστε ένα απλοποιημένο Βρέστε ένα απλοποιημένο SOPSOPΤο Το SOP SOP είναι ένα είναι ένα ANDAND--OR OR κύκλωμακύκλωμαΑλλάξτε τοΑλλάξτε το ANDAND--OR OR κύκλωμα σε ένακύκλωμα σε ένα NAND NAND κύκλωμακύκλωμαΧρησιμοποιήστε τα πιο κάτω εναλλακτικά σύμβολα:Χρησιμοποιήστε τα πιο κάτω εναλλακτικά σύμβολα:




ΕξομοίωσηΕξομοίωση SOP SOP με με NANDNAND

Υλοποίηση 2 επιπέδωνΥλοποίηση 2 επιπέδων


a)a) ΑρχικόΑρχικό SOPSOP ((ANDAND--OR OR κύκλωμα)κύκλωμα)b)b) Υλοποίηση χρησιμοποιώντας πύλες Υλοποίηση χρησιμοποιώντας πύλες NANDNAND

ΕξομοίωσηΕξομοίωση SOP SOP με με NAND NAND (συν.)(συν.)

ΕπαλήθευσηΕπαλήθευση::(a)(a) G = WXY + YZG = WXY + YZ


(a)(a) G = WXY + YZG = WXY + YZ(b)(b) G = ( (WXY)’ • (YZ)’ )’ G = ( (WXY)’ • (YZ)’ )’

= (WXY)’’ + (YZ)’’ = WXY + YZ= (WXY)’’ + (YZ)’’ = WXY + YZ

SOP SOP με με NAND (NAND (ξανάξανά!)!)


(a)(a) ΑρχικόΑρχικό SOPSOP(b)(b) ∆ιπλή∆ιπλή αντιστροφήαντιστροφή (NOT) (NOT) και ομαδοποίησηκαι ομαδοποίηση(c)(c) Αντικατάσταση μεΑντικατάσταση με πύλες πύλες NANDNAND

AND-NOT

NOT-OR

Υλοποίηση 2-επιπέδων με NANDΠαράδειγμα

F (X,Y,Z) = F (X,Y,Z) = ΣΣm(0,6)m(0,6)

1. Εκφράστε την F σε SOP μορφή

F = X’Y’Z’ + XYZ’F = X’Y’Z’ + XYZ’

2. Βρείτε την SOP υλοποίηση για την F

3 Αντικατάσταση:


3. Αντικατάσταση:AND AND-NOT μορφή της NANDOR NOT-OR μορφή της NAND



ΠαράδειγμαΠαράδειγμα ((συνσυν.).)


∆υεπίπεδη υλοποίηση με πύλες ∆υεπίπεδη υλοποίηση με πύλες NANDNANDF = X’Y’Z’ + XYZ’F = X’Y’Z’ + XYZ’

ΚυκλώματαΚυκλώματα πολλαπλών επιπέδων πολλαπλών επιπέδων NANDNAND

Ξεκινά από ένα κύκλωμα πολλαπλών επιπέδωνΞεκινά από ένα κύκλωμα πολλαπλών επιπέδων::11 Μετατροπή όλων των πυλώνΜετατροπή όλων των πυλών ANDAND σεσε NAND NAND με με 1.1. Μετατροπή όλων των πυλώνΜετατροπή όλων των πυλών ANDAND σεσε NAND NAND με με

σύμβολασύμβολα ANDAND--NOT.NOT.2.2. Μετατροπή όλων των πυλώνΜετατροπή όλων των πυλών OR OR σεσε NAND NAND με με

σύμβολασύμβολα NOTNOT--OR.OR.3.3. Έλεγχος όλων των αντιστροφέων (Έλεγχος όλων των αντιστροφέων (bubbles)bubbles) στο στο

διάγραμμαδιάγραμμα. . Για κάθε Για κάθε bubblebubble που δεν εξουδετερώνεται που δεν εξουδετερώνεται με άλλομε άλλο bubblebubble πάνω στην ίδια γραμμήπάνω στην ίδια γραμμή προσθέτουμε προσθέτουμε


με άλλομε άλλο bubblebubble πάνω στην ίδια γραμμήπάνω στην ίδια γραμμή, , προσθέτουμε προσθέτουμε μια πύλημια πύλη NOT NOT ή συμπληρώνουμε την είσοδο.ή συμπληρώνουμε την είσοδο.

ΠαράδειγμαΠαράδειγμαΧρησιμοποιήστε πύλες Χρησιμοποιήστε πύλες NAND NAND και πύλες και πύλες NOT NOT

1

2

3

4

NAND NAND και πύλες και πύλες NOT NOT για την υλοποίηση τηςγια την υλοποίηση της::

Z=E’F(AB+C’+D’)+GHZ=E’F(AB+C’+D’)+GHAB AB ((11))AB+C’+D’AB+C’+D’ ((22))


E’F(AB+C’+D’)E’F(AB+C’+D’) ((33))E’F(AB+C’+D’)+GHE’F(AB+C’+D’)+GH ((44))

Ακόμα ένα ΠαράδειγμαΑκόμα ένα Παράδειγμα




Πιο απλός τρόπος! Πιο απλός τρόπος! 1.1. ΑντικατάστασηΑντικατάσταση πυλών τύπου πυλών τύπου AND AND καικαι OR:OR:

.. ..

22 Πύλες Πύλες NOTNOT::

. .

......


2.2. Πύλες Πύλες NOTNOT::

......

ΠαράδειγμαΠαράδειγμαAB

AB

7

5

1

6

2

X

Y OI

C

D

F

E(a)

C1 2

4

938D

E

F

(b)

AB


C

D

E

F

(d)

X

5

5

7

6Y

(c)

Πύλη Πύλη NORNORΕπίσης Επίσης «οικουμενική»«οικουμενική» πύλη αφού πύλη αφού οποιοδήποτεοποιοδήποτεψηφιακό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με ψηφιακό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με ψηφιακό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με ψηφιακό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με πύλες πύλες NOR.NOR.

Μπορούμε να το αποδείξουμε με τον ίδιο τρόπο Μπορούμε να το αποδείξουμε με τον ίδιο τρόπο που έχουμε αποδείξει την πύλη που έχουμε αποδείξει την πύλη NAND NAND ((διαφάνειαδιαφάνεια 7).7).


((δ αφά ε αδ αφά ε α 7).7).

Κυκλώματα Κυκλώματα NORNORΓια την υλοποίηση μιας συνάρτησης με πύλες Για την υλοποίηση μιας συνάρτησης με πύλες NOR :NOR :NOR :NOR :

Βρείτε ένα απλοποιημένο Βρείτε ένα απλοποιημένο POSPOSΤο Το POS POS είναι ένα κύκλωμαείναι ένα κύκλωμα OROR--AND AND Αλλάξτε τοΑλλάξτε το OROR--AND AND κύκλωμα σεκύκλωμα σε NOR NOR κύκλωμακύκλωμαΧρησιμοποιήστε τα πιο κάτω σύμβολαΧρησιμοποιήστε τα πιο κάτω σύμβολα




Υλοποίηση 2-επιπέδων με NORΠαράδειγμα

F(X,Y,Z) = F(X,Y,Z) = ΣΣm(0,6)m(0,6)1.1. Εκφράστε τηνΕκφράστε την F’( ) F’( ) σε σε SOP SOP μορφήμορφή::

1.1. F’ = F’ = ΣΣm(1,2,3,4,5,7)m(1,2,3,4,5,7)= = X’Y’Z + X’YZ’ + X’YZ + XY’Z’ + XY’Z + XYZX’Y’Z + X’YZ’ + X’YZ + XY’Z’ + XY’Z + XYZ

2.2. F’ = XY’ + X’Y + ZF’ = XY’ + X’Y + Z2.2. Πάρτε το συμπλήρωμα της Πάρτε το συμπλήρωμα της F’ F’ για να για να

υπολογίσετε την υπολογίσετε την F F σε μορφή σε μορφή POS:POS:F = (F’)’ = (X'+Y)(X+Y')(Z’)F = (F’)’ = (X'+Y)(X+Y')(Z’)


( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )3.3. Βρείτε την Βρείτε την OROR--AND AND υλοποίηση τηςυλοποίηση της FF4.4. Προσθέστε Προσθέστε bubblesbubbles και αντιστροφείς για την και αντιστροφείς για την

μετατροπή μιας μετατροπή μιας OROR--AND AND υλοποίησης σε μια υλοποίησης σε μια NORNOR--NOR NOR υλοποίησηυλοποίηση..

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα ((συνσυν.).)


Υλοποίηση 2 επιπέδωνΥλοποίηση 2 επιπέδων με πύλες με πύλες NORNORF = (F’)' = (X'+Y)(X+Y')Z'F = (F’)' = (X'+Y)(X+Y')Z'

Κυκλώματα πολλαπλών επιπέδων Κυκλώματα πολλαπλών επιπέδων NORNOR

Ξεκινά από ένα κύκλωμα πολλαπλών επιπέδωνΞεκινά από ένα κύκλωμα πολλαπλών επιπέδων::11 Μετατροπή όλων των πυλώνΜετατροπή όλων των πυλών OR OR σε σε NORNOR με με 1.1. Μετατροπή όλων των πυλώνΜετατροπή όλων των πυλών OR OR σε σε NORNOR με με

σύμβολασύμβολα OROR--NOT.NOT.2.2. Μετατροπή όλων των πυλώνΜετατροπή όλων των πυλών AND AND σε σε NOR NOR με με

σύμβολασύμβολα NOTNOT--AND.AND.3.3. Έλεγχος όλων των αντιστροφέων (Έλεγχος όλων των αντιστροφέων (bubbles)bubbles) στο στο

διάγραμμαδιάγραμμα. . Για κάθε Για κάθε bubblebubble που δεν που δεν εξουδετερώνεται με άλλοεξουδετερώνεται με άλλο bubblebubble πάνω στην ίδια πάνω στην ίδια

θ θ N N


γραμμήγραμμή, , προσθέτουμε μια πύληπροσθέτουμε μια πύλη NOT NOT ή ή συμπληρώνουμε την είσοδο.συμπληρώνουμε την είσοδο.

Πιο απλός τρόπος!Πιο απλός τρόπος!1.1. ΑντικατάστασηΑντικατάσταση πυλών τύπου πυλών τύπου AND AND καικαι OR:OR:

. .

22 Πύλες Πύλες NOTNOT::

..

......

..


......

2.2. Πύλες Πύλες NOTNOT::



ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

A

B

AB

A

B

F

X

C

DE

(b)

C

DE

F

(a)

2

3

1


C

DE

F

(c)

Συνάρτηση Συνάρτηση ExclusiveExclusive--OR (XOR)OR (XOR)XOR (XOR (συμβολίζεται μεσυμβολίζεται με ⊕⊕)) : : η συνάρτηση μηη συνάρτηση μη--ισοτιμίαςισοτιμίαςXOR(X Y) = X XOR(X Y) = X ⊕⊕ Y = X’Y + XY’Y = X’Y + XY’XOR(X,Y) = X XOR(X,Y) = X ⊕⊕ Y = X Y + XYY = X Y + XYΤαυτότητεςΤαυτότητες::

X X ⊕⊕ 0 = X0 = XX X ⊕⊕ 1 = X’1 = X’X X ⊕⊕ X = 0X = 0X X ⊕⊕ X’ = 1X’ = 1


ΙδιότητεςΙδιότητες::X X ⊕⊕ Y = Y Y = Y ⊕⊕ X X ---- ΑντιμεταθετικήΑντιμεταθετική(X (X ⊕⊕ Y) Y) ⊕⊕ W = X W = X ⊕⊕ ( Y ( Y ⊕⊕ W)W) ---- ΠροσεταιριστικήΠροσεταιριστική

Υλοποίηση Υλοποίηση XOR XOR συνάρτησηςσυνάρτησης

XOR(a,b) = ab’ + a’bXOR(a,b) = ab’ + a’bΆμεσος τρόποςΆμεσος τρόπος: 5 : 5 πύλεςπύλες

2 2 αντιστροφείςαντιστροφείς, , δύοδύο AND 2AND 2--εισόδωνεισόδων, , μιαμιαOR 2OR 2--εισόδωνεισόδων

ήή2 2 αντιστροφείςαντιστροφείς & 3 NAND 2& 3 NAND 2-- εισόδωνεισόδων


2 2 αντιστροφείςαντιστροφείς & 3 NAND 2& 3 NAND 2 εισόδωνεισόδωνΈμμεσος τρόποςΈμμεσος τρόπος::

44 πύλεςπύλες NANDNAND

Κύκλωμα Κύκλωμα XOR XOR μεμε 4 NAND4 NAND




Συνάρτηση Συνάρτηση ExclusiveExclusive--NOR (XNOR)NOR (XNOR)XNORXNOR: : η συνάρτηση ισοτιμίαςη συνάρτηση ισοτιμίαςXNOR(XNOR(a ba b) = ) = abab + + a’ba’b’’XNOR(XNOR(a,ba,b) = ) = abab + + a ba bΠαρατηρήστε ότιΠαρατηρήστε ότιXNOR(XNOR(a,ba,b) = ( XOR() = ( XOR(a,ba,b) )’ ) )’

( a ( a ⊕⊕ b )’ = ( b )’ = ( a’ba’b + + abab’)’’)’= (= (a’ba’b)’ ()’ (abab’)’’)’= (a + b’) (a’ +b)= (a + b’) (a’ +b)


(a b ) (a b) (a b ) (a b)= = abab + + a’ba’b’’

a a ⊕⊕ b’ = ( a b’ = ( a ⊕⊕ b )’ = a’ b )’ = a’ ⊕⊕ b b

Περιττή ΣυνάρτησηΠεριττή Συνάρτηση(Odd Function)(Odd Function)

xx⊕⊕y = x’y + xy’y = x’y + xy’xx⊕⊕yy⊕⊕z = xy’z’ + x’yz’ + x’y’z +xyzz = xy’z’ + x’yz’ + x’y’z +xyzxx⊕⊕yy⊕⊕zz⊕⊕w = x’yzw + xy’zw + xyz’w + xyzw’ +w = x’yzw + xy’zw + xyz’w + xyzw’ +

x’y’z’w + x’yz’w’ + x’y’zw’ +xy’z’w’x’y’z’w + x’yz’w’ + x’y’zw’ +xy’z’w’Παρατηρείτε κάτι που επαναλαμβάνεται εδώΠαρατηρείτε κάτι που επαναλαμβάνεται εδώ;;


Περιττή ΣυνάρτησηΠεριττή Συνάρτηση(Odd Function)(Odd Function)

xx⊕⊕y = x’y + xy’y = x’y + xy’y y yy y yxx⊕⊕yy⊕⊕z = xy’z’ + x’yz’ + x’y’z +xyzz = xy’z’ + x’yz’ + x’y’z +xyzxx⊕⊕yy⊕⊕zz⊕⊕w = x’yzw + xy’zw + xyz’w + xyzw’ +w = x’yzw + xy’zw + xyz’w + xyzw’ +

x’y’z’w + x’yz’w’ + x’y’zw’ +xy’z’w’x’y’z’w + x’yz’w’ + x’y’zw’ +xy’z’w’Παρατηρείτε κάτι που επαναλαμβάνεται εδώΠαρατηρείτε κάτι που επαναλαμβάνεται εδώ;;Μια συνάρτηση Μια συνάρτηση XOR XOR nn--εισόδωνεισόδων είναι αληθήςείναι αληθής (=1) (=1)


για όλους τους ελαχιστόρους που έχουν περιττό για όλους τους ελαχιστόρους που έχουν περιττό αριθμό απόαριθμό από 11..Γι’ αυτό το Γι’ αυτό το XOR XOR είναι γνωστό ως «η περιττή είναι γνωστό ως «η περιττή συνάρτηση»συνάρτηση»

Περιττή Συνάρτηση Περιττή Συνάρτηση ((συνσυν.).)


Οι ελαχιστόροι απέχουν 2 τετράγωνα ο ένας από τον άλλον



Περιττή Συνάρτηση Περιττή Συνάρτηση ((συνσυν.).)


Υλοποίηση με Υλοποίηση με XOR XOR 22--εισόδωνεισόδων

Άρτια ΣυνάρτησηΆρτια Συνάρτηση

Πως θα υλοποιούσατε μια Πως θα υλοποιούσατε μια άρτια άρτια άάσυνάρτησησυνάρτηση;;

Από το συμπλήρωμα του XOR XNOR


Παραγωγή ισοτιμίας και έλεγχοςΠαραγωγή ισοτιμίας και έλεγχος

Οι περιττές και άρτιες συναρτήσεις μπορούν να Οι περιττές και άρτιες συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την υλοποίηση κυκλωμάτων χρησιμοποιηθούν για την υλοποίηση κυκλωμάτων χρησιμοποιηθούν για την υλοποίηση κυκλωμάτων χρησιμοποιηθούν για την υλοποίηση κυκλωμάτων ελέγχου ισοτιμίας (ελέγχου ισοτιμίας (parity check) parity check) που που χρησιμοποιούνται για εξεύρεση λαθών και τη χρησιμοποιούνται για εξεύρεση λαθών και τη διόρθωσή τους.διόρθωσή τους.Γεννήτρια ΙσοτιμίαςΓεννήτρια Ισοτιμίας (Parity Generator)(Parity Generator)::το κύκλωμα που παράγει το το κύκλωμα που παράγει το bit bit ισοτιμίας, πριν τη ισοτιμίας, πριν τη

άδ ό έάδ ό έ


μετάδοση από τον αποστολέαμετάδοση από τον αποστολέα..Έλεγχος ΙσοτιμίαςΈλεγχος Ισοτιμίας (Parity Check)(Parity Check)::το κύκλωμα που ελέγχει την ισοτιμία στον το κύκλωμα που ελέγχει την ισοτιμία στον παραλήπτη, για εξεύρεση λαθών.παραλήπτη, για εξεύρεση λαθών.

Παραγωγή Άρτιας ΙσοτιμίαςΠαραγωγή Άρτιας ΙσοτιμίαςΠαράδειγμαΠαράδειγμα


Η Η P(X,Y,Z) P(X,Y,Z) πρέπει να παράγει πρέπει να παράγει 1 1 για κάθε συνδυασμό για κάθε συνδυασμό εισόδων που περιέχει περιττό αριθμό από εισόδων που περιέχει περιττό αριθμό από 11Είναι μια περιττή συνάρτησηΕίναι μια περιττή συνάρτηση 33ωνων--εισόδωνεισόδων P = XP = X⊕⊕YY⊕⊕ZZ



Έλεγχος Άρτιας ΙσοτιμίαςΈλεγχος Άρτιας ΙσοτιμίαςΠαράδειγμα Παράδειγμα ((συνσυν.).)

Πως θα υλοποιούσατε τον έλεγχοί ύ άδισοτιμίας για το προηγούμενο παράδειγμα;

α) Χρησιμοποιήστε ένα κύκλωμα XOR 4ων-εισόδων(περιττή συνάρτηση) C = XX⊕⊕YY⊕⊕ZZ⊕⊕P P

1 υποδεικνύει ένα λάθοςή


ήβ) Χρησιμοποιήστε ένα XNOR κύκλωμα 4ων-εισόδων

(άρτια συνάρτηση) C = (XX⊕⊕YY⊕⊕ZZ⊕⊕P)’ P)’ 1 υποδεικνύει ορθή ισοτιμία

ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ...ΗΜΥ 210:...

Documents

Transcript of ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ...ΗΜΥ 210:...