ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf ·...

18
ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10 Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 1 ΗΜΥ ΗΜΥ-210: 210: Σχεδιασμός Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Ψηφιακών Συστημάτων Συνδυαστική Λογική Συνδυαστική Λογική (Μέρος Α) (Μέρος Α) Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Περίληψη Περίληψη ∆υαδική Λογική και Πύλες ∆υαδική Λογική και Πύλες Άλγεβρα Άλγεβρα Boole Boole Βασικές ιδιότητες Βασικές ιδιότητες Αλγεβρικός Χειρισμός Αλγεβρικός Χειρισμός/Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός Κανονικές Κανονικές (Canonical) (Canonical) και Πρότυπες ( και Πρότυπες (Standard) Standard) μορφές μορφές Ελαχιστόροι Ελαχιστόροι (minterms) (minterms) και Μεγιστόροι και Μεγιστόροι (maxterms) (maxterms) SOP and POS ( SOP and POS (κανονικές και πρότυπες κανονικές και πρότυπες μορφές μορφές) Χάρτες Χάρτες Karnaugh (K Karnaugh (K-χάρτες χάρτες) Xάρτες άρτες 2, 3 2, 3ων ων, 4 , 4ων ων, , και και 5 5 μεταβλητών μεταβλητών Σεπτέμβριος 10 MKM - 2 Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα Απλοποίηση χρησιμοποιώντας Απλοποίηση χρησιμοποιώντας K-χάρτες χάρτες Επεξεργασία Επεξεργασία K-χαρτών χαρτών Implicants: Primes Implicants: Primes (κύριοι) (κύριοι), Essentials ( , Essentials (ουσιώδεις ουσιώδεις) Αδιάφοροι όροι Αδιάφοροι όροι (don’t cares) (don’t cares) ∆υαδική Λογική ∆υαδική Λογική Ασχολείται με δυαδικές μεταβλητές που Ασχολείται με δυαδικές μεταβλητές που ί ί 2 2 δ έ έ δ έ έ (0 (0 1) 1) παίρνουν παίρνουν 2 2 διακριτές τιμές διακριτές τιμές (0 (0 και και 1) 1) και με και με λογικές (δυαδικές) πράξεις. λογικές (δυαδικές) πράξεις. 3 βασικές πράξεις 3 βασικές πράξεις: : AND, OR, NOT AND, OR, NOT ∆υαδικές ∆υαδικές/Λογικές Λογικές μεταβλητές μεταβλητές Σεπτέμβριος 10 MKM - 3 Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα ∆υαδικές ∆υαδικές/Λογικές Λογικές μεταβλητές μεταβλητές αναπαριστούνται από γράμματα αναπαριστούνται από γράμματα: : A,B,C,…,X,Y,Z A,B,C,…,X,Y,Z Συναρτήσεις ∆υαδικής Λογικής Συναρτήσεις ∆υαδικής Λογικής F(vars) = F(vars) = έκφραση έκφραση Τλ έ Τλ έ ( ( ) ) Σύνολο δυαδικών Σύνολο δυαδικών μεταβλητών μεταβλητών Τελεστές Τελεστές ( +, ( +, •, ) •, ) Μεταβλητές Μεταβλητές Σταθερές Σταθερές ( 0, 1 ) ( 0, 1 ) Ομαδοποίηση Ομαδοποίηση (παρενθέσεις παρενθέσεις) Σεπτέμβριος 10 MKM - 4 Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα Παράδειγμα Παράδειγμα: F(a,b) = a’ : F(a,b) = a’•b + b’ •b + b’ G(x,y,z) = x•(y+z’) G(x,y,z) = x•(y+z’)

Transcript of ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf ·...

Page 1: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 1

ΗΜΥΗΜΥ--210: 210: ΣχεδιασμόςΣχεδιασμόςΨηφιακών ΣυστημάτωνΨηφιακών Συστημάτων

Συνδυαστική Λογική Συνδυαστική Λογική (Μέρος Α)(Μέρος Α)

Πανεπιστήμιο ΚύπρουΤμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ

ΠερίληψηΠερίληψη∆υαδική Λογική και Πύλες∆υαδική Λογική και ΠύλεςΆλγεβραΆλγεβρα BooleBoole

Βασικές ιδιότητεςΒασικές ιδιότητεςΑλγεβρικός ΧειρισμόςΑλγεβρικός Χειρισμός//ΜετασχηματισμόςΜετασχηματισμός

ΚανονικέςΚανονικές (Canonical)(Canonical) και Πρότυπες (και Πρότυπες (Standard) Standard) μορφέςμορφές

ΕλαχιστόροιΕλαχιστόροι (minterms)(minterms) και Μεγιστόροικαι Μεγιστόροι (maxterms) (maxterms) SOP and POS (SOP and POS (κανονικές και πρότυπεςκανονικές και πρότυπες μορφέςμορφές))Χάρτες Χάρτες Karnaugh (KKarnaugh (K--χάρτεςχάρτες))XXάρτεςάρτες 2, 32, 3ωνων, 4, 4ωνων, , καικαι 5 5 μεταβλητώνμεταβλητών

Σεπτέμβριος 10 MKM - 2Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Απλοποίηση χρησιμοποιώντας Απλοποίηση χρησιμοποιώντας KK--χάρτεςχάρτεςΕπεξεργασία Επεξεργασία KK--χαρτώνχαρτών

Implicants: PrimesImplicants: Primes (κύριοι)(κύριοι), Essentials (, Essentials (ουσιώδειςουσιώδεις))Αδιάφοροι όροι Αδιάφοροι όροι (don’t cares)(don’t cares)

∆υαδική Λογική∆υαδική Λογική

Ασχολείται με δυαδικές μεταβλητές που Ασχολείται με δυαδικές μεταβλητές που ί ί 2 2 δ έ έδ έ έ (0 (0 1) 1) παίρνουν παίρνουν 2 2 διακριτές τιμέςδιακριτές τιμές (0 (0 καικαι 1) 1) και με και με

λογικές (δυαδικές) πράξεις.λογικές (δυαδικές) πράξεις.3 βασικές πράξεις3 βασικές πράξεις: :

AND, OR, NOTAND, OR, NOT∆υαδικές∆υαδικές//ΛογικέςΛογικές μεταβλητές μεταβλητές

Σεπτέμβριος 10 MKM - 3Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

∆υαδικές∆υαδικές//ΛογικέςΛογικές μεταβλητές μεταβλητές αναπαριστούνται από γράμματααναπαριστούνται από γράμματα: : A,B,C,…,X,Y,ZA,B,C,…,X,Y,Z

Συναρτήσεις ∆υαδικής ΛογικήςΣυναρτήσεις ∆υαδικής ΛογικήςF(vars) = F(vars) = έκφρασηέκφραση

Τ λ έΤ λ έ ( ( ‘ ) ‘ )

Σύνολο δυαδικώνΣύνολο δυαδικώνμεταβλητώνμεταβλητών

ΤελεστέςΤελεστές ( +, ( +, •, )•, )ΜεταβλητέςΜεταβλητέςΣταθερέςΣταθερές ( 0, 1 )( 0, 1 )ΟμαδοποίησηΟμαδοποίηση((παρενθέσειςπαρενθέσεις))

Σεπτέμβριος 10 MKM - 4Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: F(a,b) = a’: F(a,b) = a’•b + b’•b + b’G(x,y,z) = x•(y+z’)G(x,y,z) = x•(y+z’)

Page 2: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 2

Βασικοί Λογικοί ΤελεστέςΒασικοί Λογικοί ΤελεστέςAND (AND (επίσης:επίσης: •, )•, )OR (OR (επίσης:επίσης: +, )+, ) ∆υαδικοί (Binary)(( ηςης , ), )NOT (NOT (επίσης: επίσης: ’, )’, )

F(a,b) = a•b, F(a,b) = a•b, διαβ.διαβ. F F == 1 1 αν και μόνο αναν και μόνο αν a=b=a=b=11G(a,b) = a+b, G(a,b) = a+b, διαβ.διαβ. G G == 1 1 αναν a =a =1 1 ή ανή αν b=b=11H(a) = a’H(a) = a’ διαβδιαβ H H == 1 1 aaνν a = a = 00

Mοναδιαίος (Unary)

Σεπτέμβριος 10 MKM - 5Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

H(a) a ,H(a) a , διαβ.διαβ. H H 1 1 aaνν a a 00

Βασικοί Λογικοί Τελεστές Βασικοί Λογικοί Τελεστές ((συνσυν.).)

ΛογικόΛογικό AND AND ενός ενός bit (1bit (1--bit)bit),, μοιάζει με μοιάζει με δ δ ό λλ λ όδ δ ό λλ λ όδυαδικό πολλαπλασιασμόδυαδικό πολλαπλασιασμό::

0 0 • 0 = 0,• 0 = 0, 0 • 1 = 0,0 • 1 = 0,1 • 0 = 0,1 • 0 = 0, 1 • 1 = 11 • 1 = 1

ΛΛογικόογικό OR OR ενός ενός bit (1bit (1--bit)bit),, μοιάζει με μοιάζει με δυαδική πρόσθεσηδυαδική πρόσθεση εκτός από μία πράξηεκτός από μία πράξη::

Σεπτέμβριος 10 MKM - 6Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

δυαδική πρόσθεσηδυαδική πρόσθεση, , εκτός από μία πράξηεκτός από μία πράξη::0 +0 + 0 = 0,0 = 0, 0 + 1 = 1,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 0 = 1, 1 + 1 = 11 + 1 = 1 (≠ 10(≠ 1022))

ΠίνακεςΠίνακες Αληθείας Αληθείας (Truth Tables)(Truth Tables)για Λογικές Πράξειςγια Λογικές Πράξεις

Πίνακας ΑληθείαςΠίνακας Αληθείας: : μορφή πίνακα που εκφράζει μορφή πίνακα που εκφράζει μοναδικάμοναδικά τη τη σχέση μεταξύ των μεταβλητών εισόδου μιας συνάρτησης καισχέση μεταξύ των μεταβλητών εισόδου μιας συνάρτησης και

ξ ξ των εξόδων τηςτων εξόδων της

AA BB F=AF=A••BB00 00 0000 11 00

AND 2-ΕισόδωνAA BB F=AF=A++BB00 00 0000 11 11

OR 2-Εισόδων

AA F=AF=A’’NOT

Σεπτέμβριος 10 MKM - 7Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

00 11 0011 00 0011 11 11

00 11 1111 00 1111 11 11

AA F=AF=A00 1111 00

ΠίνακεςΠίνακες Αληθείας Αληθείας ((συνσυν.).)

ΕρώτησηΕρώτηση: : Η συνάρτηση Η συνάρτηση F(F( ) ) εξαρτάται από εξαρτάται από βλ έβλ έ Πό έ ά Πό έ ά nn μεταβλητέςμεταβλητές. . Πόσες γραμμές υπάρχουν Πόσες γραμμές υπάρχουν

στον αληθοπίνακα του στον αληθοπίνακα του F(F( ););

ΑπάντησηΑπάντηση: : 2n γραμμές, αφού υπάρχουν 2n

πιθανοί δυαδικοί συνδυασμοί (patterns)

Σεπτέμβριος 10 MKM - 8Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

μ (p )για n μεταβλητές

Page 3: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 3

Λογικές ΠύλεςΛογικές ΠύλεςΟι λογικές πύλες είναι Οι λογικές πύλες είναι αφαιρετικά μοντέλααφαιρετικά μοντέλαστοιχείων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων που στοιχείων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων που χ η ρ μχ η ρ μλειτουργούν με ένα ή περισσότερα σήματα λειτουργούν με ένα ή περισσότερα σήματα εισόδου και παράγουν ένα σήμα εξόδουεισόδου και παράγουν ένα σήμα εξόδου..

AND 2-Εισόδων OR 2-Εισόδων NOT (Αντιστροφέας)

A A AB F G H

Σεπτέμβριος 10 MKM - 9Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

AB BF G H

F = AF = A••BB G = A+BG = A+B H = A’H = A’

Χρονικό Σχεδιάγραμμα Χρονικό Σχεδιάγραμμα (Κυματομορφή (Κυματομορφή ---- WaveformWaveform))

1

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6

A

B

F=A••B

G A B

1

1

1

1

0

0

0Σήματα εισόδου

Σήματαεξόδου

Προϋπόθεση:Ο χρόνος

Μεταβάσεις

Σεπτέμβριος 10 MKM - 10Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

G=A++B

H=A’

1

10

0εξόδουπυλών

Ο χρόνος μετάδοσης του σήματος μεταξύ πυλών είναι αμελητέος (0)

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από Λογικές ΣυναρτήσειςΛογικές Συναρτήσεις

Θεωρήστε την συνάρτησηΘεωρήστε την συνάρτηση F = A’ + BF = A’ + B•C’ + A’••C’ + A’•BB’ ’ Ένα συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί για την Ένα συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί για την μ μ ρ γ ημ μ ρ γ ηυλοποίηση τηςυλοποίηση της F, F, με την κατάλληλη ένωση σημάτων εισόδου και με την κατάλληλη ένωση σημάτων εισόδου και λογικών πυλώνλογικών πυλών::

Σήματα εισόδουΣήματα εισόδου από τις μεταβλητές της συνάρτησηςαπό τις μεταβλητές της συνάρτησης (A, B, C)(A, B, C)Σήματα εξόδουΣήματα εξόδου συνάρτηση εξόδουσυνάρτηση εξόδου (F)(F)Λογικές ΠύλεςΛογικές Πύλες από λογικές πράξειςαπό λογικές πράξεις

C

Σεπτέμβριος 10 MKM - 11Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

A

B

F

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από Λογικές Συναρτήσεις Λογικές Συναρτήσεις ((συνσυν.).)

Για να σχεδιάσουμεΓια να σχεδιάσουμε ένα αποδοτικό ένα αποδοτικό κύκλωμακύκλωμα πρέπει να πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε το μέγεθος ελαχιστοποιήσουμε το μέγεθος

AA BB CC FF GG00 00 00 11 11ελαχιστοποιήσουμε το μέγεθος ελαχιστοποιήσουμε το μέγεθος

του κυκλώματος (του κυκλώματος (circuit size) circuit size) και και την καθυστέρηση διάδοσης την καθυστέρηση διάδοσης (propagation delay = (propagation delay = χρόνος που χρόνος που χρειάζεται ένα σήμα εισόδου να χρειάζεται ένα σήμα εισόδου να αλλάξει και να γίνει αντιληπτό αλλάξει και να γίνει αντιληπτό στην έξοδοστην έξοδο))Στον πίνακα αληθείας δίπλαΣτον πίνακα αληθείας δίπλα::FF == A’ + BA’ + B•C’ + A’••C’ + A’•BB’’ καικαι

00 00 00 11 1100 00 11 11 1100 11 00 11 1100 11 11 11 1111 0 0 00 00 0011 00 11 00 00

Σεπτέμβριος 10 MKM - 12Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

FF A BA B C AC A BB καικαιGG == A’ + BA’ + B•C’ •C’ Οι πίνακες για τιςΟι πίνακες για τις F F καικαι G G είναι οι είναι οι ίδιοιίδιοι ίδια συνάρτηση (ίδια συνάρτηση (F = G)F = G)ΗΗ G G υλοποιεί την λογική του υλοποιεί την λογική του κυκλώματοςκυκλώματος (με (με λιγότερα λιγότερα στοιχείαστοιχεία))

11 11 00 11 1111 11 11 00 00

Page 4: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 4

Συνδυαστικά Λογικά ΚυκλώματαΣυνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από από Λογικές Συναρτήσεις Λογικές Συναρτήσεις ((συνσυν.).)

C

A

B

F

F = G

Σεπτέμβριος 10 MKM - 13Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ABC

G

Άλγεβρα Άλγεβρα BooleBooleΧρήσιμος μηχανισμός για τον χειρισμόΧρήσιμος μηχανισμός για τον χειρισμό //μετασχηματισμό (απλοποίηση) δυαδικών μετασχηματισμό (απλοποίηση) δυαδικών συναρτήσεων. συναρτήσεων. ρ ήρ ήGeorge Boole (George Boole (18151815--18641864): “): “Μια έρευνα για τους Μια έρευνα για τους νόμους της σκέψηςνόμους της σκέψης””ΟρολογίαΟρολογία::

Παράγοντας (Παράγοντας (LiteralLiteral)) :: Μεταβλητή ή το συμπλήρωμα Μεταβλητή ή το συμπλήρωμα τηςτηςΌρος παραγόντων Όρος παραγόντων ((ΤΤermerm):): υλοποιούν μια πύληυλοποιούν μια πύλη

Σεπτέμβριος 10 MKM - 14Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Όρος παραγόντων Όρος παραγόντων ((ΤΤermerm):): υλοποιούν μια πύληυλοποιούν μια πύληΠολλαπλασιαστικός όρος (Πολλαπλασιαστικός όρος (Product termProduct term)):: παράγοντεςπαράγοντεςενωμένοι μεενωμένοι με •• (AND)(AND)Αθροιστικός όρος (Αθροιστικός όρος (Sum termSum term)):: παράγοντες ενωμένοι μεπαράγοντες ενωμένοι με ++(OR)(OR)

Αξιώματα Άλγεβρας Αξιώματα Άλγεβρας BooleBooleX: X: δυαδικήδυαδική μεταβλητήμεταβλητή, , 0,1: 0,1: σταθεροίσταθεροί

11 X + 0 = X X + 0 = X αξίωμα μηδενικότητας αξίωμα μηδενικότητας 1.1. X + 0 = X X + 0 = X ---- αξίωμα μηδενικότητας αξίωμα μηδενικότητας (ουδέτερο στοιχείο ως προς +)(ουδέτερο στοιχείο ως προς +)

2.2. X X • 1 = X • 1 = X ---- μοναδιαίο αξίωμαμοναδιαίο αξίωμα(ουδέτερο στοιχείο ως προς(ουδέτερο στοιχείο ως προς ••))

3.3. X + 1 = 1 X + 1 = 1 ---- μοναδιαία ιδιότηταμοναδιαία ιδιότηταX X 0 0 0 0

Σεπτέμβριος 10 MKM - 15Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

4.4. X X • 0 = 0 • 0 = 0 ---- ιδιότητα μηδενικότηταςιδιότητα μηδενικότητας5.5. X + X’ = 1 X + X’ = 1 ---- Συμπλήρωμα (ως προς +)Συμπλήρωμα (ως προς +)6.6. X X • X’ = 0 • X’ = 0 ---- Συμπλήρωμα (ως προς Συμπλήρωμα (ως προς ••))

X: X: δυαδικήδυαδική μεταβλητήμεταβλητή, , 00,,11: : σταθεροίσταθεροί

Βασικά ΘεωρήματαΒασικά Θεωρήματα BooleBoole

7.7. X + X = X X + X = X ---- IdepotenceIdepotence (ως προς +)(ως προς +)8.8. X X • X = X • X = X ---- IdepotenceIdepotence (ως προς (ως προς ••))9.9. (X’)’ = X(X’)’ = X ---- InvolutionInvolution (δύο αρνήσεις) (δύο αρνήσεις)

Σεπτέμβριος 10 MKM - 16Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

( )( ) ( ρ ς)( ρ ς)

Page 5: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 5

Η αρχή του ∆υϊσμούΗ αρχή του ∆υϊσμούΟ δυϊσμός (Ο δυϊσμός (dual) dual) μιας έκφρασης παράγεται με μιας έκφρασης παράγεται με την ανταλλαγή την ανταλλαγή ((•• καικαι +), +), καικαι (1 (1 καικαι 0), 0), δεδομένου δεδομένου ό η ά άξ δ λλάζό η ά άξ δ λλάζότι η σειρά των πράξεων δεν αλλάζειότι η σειρά των πράξεων δεν αλλάζει..∆εν μπορεί να ανταλλαχθεί το ∆εν μπορεί να ανταλλαχθεί το x x μεμε x’ x’ ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: :

F(x,y,z) = x’yz’ + x’y’zF(x,y,z) = x’yz’ + x’y’zO O δυϊσμός (δυϊσμός (dual)dual) της της FF είναι είναι FFdualdual = (x’+y+z’) (x’+y’+ z)= (x’+y+z’) (x’+y’+ z)

Τ Τ d ld l δ ύ ά ή δ ύ ά ή

Σεπτέμβριος 10 MKM - 17Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Το Το dualdual δεν ισούται πάντα με την αρχική δεν ισούται πάντα με την αρχική έκφραση.έκφραση.Εάν μια λογική εξίσωση/ισότητα είναι έγκυρηΕάν μια λογική εξίσωση/ισότητα είναι έγκυρη, , τότε τοτότε το dualdual της είναι και αυτό έγκυρο.της είναι και αυτό έγκυρο.

Βάση της αρχής του δυϊσμούΒάση της αρχής του δυϊσμού,, οι οι ιδιότητες/θεωρήματα ιδιότητες/θεωρήματα 1 1 88 έχουν τις έχουν τις

Η αρχή του ∆υϊσμού (συν.)Η αρχή του ∆υϊσμού (συν.)

ιδιότητες/θεωρήματα ιδιότητες/θεωρήματα 1 1 –– 88 έχουν τις έχουν τις ακόλουθες σχέσειςακόλουθες σχέσεις::

1.1. X + 0 = XX + 0 = X 2.2. X X • 1 = X • 1 = X (dual (dual τουτου 11))3.3. X + 1 = 1 X + 1 = 1 4.4. X X • 0 = 0 • 0 = 0 (dual (dual τουτου 33))

Σεπτέμβριος 10 MKM - 18Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

(( ))5.5. X + X = X X + X = X 6.6. X X • X = X • X = X (dual (dual τουτου 55))7.7. X + X’ = 1 X + X’ = 1 8.8. X X • X’ = 0 • X’ = 0 (dual (dual τουτου 88))

Άλλες Ιδιότητες/Θεωρήματα Άλλες Ιδιότητες/Θεωρήματα Άλγεβρας Άλγεβρας BooleBoole

Χ, Υ και Ζ: λογικές μεταβλητές

10.10. X + Y = Y + XX + Y = Y + X 11.11. X • Y = Y • X X • Y = Y • X ----ΑντιμεταθετικήΑντιμεταθετική12.12. X + (Y+Z) = (X+Y) + Z X + (Y+Z) = (X+Y) + Z 13.13. X•(Y•Z) = (X•Y)•Z X•(Y•Z) = (X•Y)•Z ----ΠροσεταιριστικόΠροσεταιριστικό14.14. X•(Y+Z) = X•Y + X•Z X•(Y+Z) = X•Y + X•Z 15.15. X+(Y•Z) = (X+Y) • (X+Z)X+(Y•Z) = (X+Y) • (X+Z) ---- ΕπιμεριστικήΕπιμεριστική16.16. ((X + Y)’ = X’ • Y’X + Y)’ = X’ • Y’ 17.17. ((X • Y)’ = X’ + Y’ X • Y)’ = X’ + Y’ ---- DeMorganDeMorgan

Γενικά, στο Γενικά, στο DeMorgan:DeMorgan:

Σεπτέμβριος 10 MKM - 19Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

(( ∑ ∑ ΧΧιι )’)’ = = ∏∏ (Χ(Χιι’), ’), π.χ. π.χ. ( X( X11 + X+ X22 + … + X+ … + Xnn )’ = X)’ = X11’•X’•X22’’ • … •X• … •Xnn’’

( ∏( ∏ΧΧι ι )’ )’ = = ∑∑ (Χ(Χιι’), ’), π.χ. π.χ. ( X( X11•X•X22•… •X•… •Xnn )’ = X)’ = X11’ + X’ + X22’ + … + X’ + … + Xnn’’i = 1..n

i = 1..n i = 1..n

i = 1..n

Θεώρημα Απορρόφησης (Θεώρημα Απορρόφησης (AbsorptionAbsorption))

1.1. x + x•y = xx + x•y = x2.2. x•(x+y) = x (x•(x+y) = x (δυϊσμός του δυϊσμός του 1.1.))

ΑπόδειξηΑπόδειξη::x + x•y = x•1 + x•yx + x•y = x•1 + x•y

= x•(1+y) = x•(1+y) = x•1= x•1

Σεπτέμβριος 10 MKM - 20Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

= x 1= x 1= x= x

Το Το 22 αληθές λόγω δυϊσμού από αληθές λόγω δυϊσμού από 11..

Page 6: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 6

Θεώρημα Ομοφωνίας (Θεώρημα Ομοφωνίας (ConsensusConsensus))

1.1. xy + x’z + xy + x’z + yzyz = xy + x’z= xy + x’z2.2. (x+y)•(x’+z)•(x+y)•(x’+z)•(y+z) (y+z) = (x+y)•(x’+z) = (x+y)•(x’+z) ---- (dual)(dual)

ΑπόδειξηΑπόδειξη::xy + x’z + yz = xy + x’z + (x+x’)yzxy + x’z + yz = xy + x’z + (x+x’)yz

= xy + x’z + xyz + x’yz= xy + x’z + xyz + x’yz= (xy + xyz) + (x’z + x’zy)= (xy + xyz) + (x’z + x’zy)

Σεπτέμβριος 10 MKM - 21Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

= (xy + xyz) + (x z + x zy)= (xy + xyz) + (x z + x zy)= xy + x’z= xy + x’z

Το Το 22 αληθές λόγο δυϊσμού.αληθές λόγο δυϊσμού.

Πίνακες Αληθείας Πίνακες Αληθείας ((αναθεώρησηαναθεώρηση))

Απαριθμεί όλους τους Απαριθμεί όλους τους πιθανούς συνδυασμούς πιθανούς συνδυασμούς

xx yy zz FF11 FF22 FF33

00 00 00 00 11 11πιθανούς συνδυασμούς πιθανούς συνδυασμούς τιμών μεταβλητών και την τιμών μεταβλητών και την ανάλογη τιμή συνάρτησης.ανάλογη τιμή συνάρτησης.Στα δεξιά βλέπουμε Στα δεξιά βλέπουμε πίνακες αληθείας για τις πίνακες αληθείας για τις τυχαίες συναρτήσεις τυχαίες συναρτήσεις

00 00 00 00 11 1100 00 11 00 00 1100 11 00 00 00 1100 11 11 00 11 1111 00 00 00 11 00

Σεπτέμβριος 10 MKM - 22Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

τυχαίες συναρτήσεις τυχαίες συναρτήσεις FF11(x,y,z), F(x,y,z), F22(x,y,z), (x,y,z), καικαιFF33(x,y,z).(x,y,z).

11 00 11 00 11 0011 11 00 00 00 0011 11 11 11 00 11

Πίνακες Αληθείας Πίνακες Αληθείας ((συνσυν.).)Πίνακας ΑληθείαςΠίνακας Αληθείας: : μοναδική (κανονική = μοναδική (κανονική = canonical)canonical)αναπαράσταση δυαδικών συναρτήσεων αναπαράσταση δυαδικών συναρτήσεων α α αρά τα η υα υ αρτή α α αρά τα η υα υ αρτή Εάν οι 2 συναρτήσεις έχουν τους ίδιους πίνακες Εάν οι 2 συναρτήσεις έχουν τους ίδιους πίνακες αληθείας, οι συναρτήσεις είναι ισοδύναμες αληθείας, οι συναρτήσεις είναι ισοδύναμες ((ισχύειισχύεικαι αντιστρόφωςκαι αντιστρόφως).).Οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την Οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη θεωρημάτων ισοδυναμίαςαπόδειξη θεωρημάτων ισοδυναμίας. . Το μέγεθος ενός πίνακα μεγαλώνει Το μέγεθος ενός πίνακα μεγαλώνει εκθετικάεκθετικά βάση βάση

Σεπτέμβριος 10 MKM - 23Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Το μέγεθος ενός πίνακα μεγαλώνει Το μέγεθος ενός πίνακα μεγαλώνει εκθετικάεκθετικά βάση βάση του αριθμού των μεταβλητών που εμπλέκονταιτου αριθμού των μεταβλητών που εμπλέκονται. . Επομένως, η χρήση δυαδικής άλγεβρας είναι πιο Επομένως, η χρήση δυαδικής άλγεβρας είναι πιο ελκυστικήελκυστική..

Εκφράσεις Εκφράσεις BooleBoole -- ΟΧΙΟΧΙ μοναδικέςμοναδικές

Αντίθετα με τους πίνακες αληθείαςΑντίθετα με τους πίνακες αληθείας, , οι οι ά ύ ά ύ

xx yy zz FF GG00 00 00 11 11εκφράσεις που αντιπροσωπεύουν μια εκφράσεις που αντιπροσωπεύουν μια

δυαδική συνάρτηση δυαδική συνάρτηση δενδεν είναι είναι μοναδικέςμοναδικές..ΠαράδειγμαΠαράδειγμα::

F(x,y,z) = x’F(x,y,z) = x’••y’y’••z’ + x’z’ + x’••yy••z’ + xz’ + x••yy••z’z’G(x,y,z) = x’G(x,y,z) = x’•y’••y’•z’ + yz’ + y••z’z’

00 00 00 11 1100 00 11 00 0000 11 00 11 1100 11 11 00 0011 00 00 00 00

Σεπτέμβριος 10 MKM - 24Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Οι αντίστοιχοι πίνακες αληθείας γιαΟι αντίστοιχοι πίνακες αληθείας γιατις τις F() F() καικαι G() G() φαίνονται στα δεξιάφαίνονται στα δεξιά. . Είναι οι ίδιοι!!Είναι οι ίδιοι!!!!ΆραΆρα, F() = G(), F() = G()

11 00 00 00 0011 00 11 00 0011 11 00 11 1111 11 11 00 00

Page 7: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 7

Αλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΑλγεβρικοί ΜετασχηματισμοίΗ δυαδική άλγεβρα είναι ένα χρήσιμο εργαλείο Η δυαδική άλγεβρα είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την απλοποίηση ψηφιακών κυκλωμάτωνγια την απλοποίηση ψηφιακών κυκλωμάτωνγια την απλοποίηση ψηφιακών κυκλωμάτωνγια την απλοποίηση ψηφιακών κυκλωμάτων..ΓιατίΓιατί; ; Απλούστερο συνήθως σημαίνει πιο φτηνόΑπλούστερο συνήθως σημαίνει πιο φτηνό, , μικρότερομικρότερο, , γρηγορότερογρηγορότερο ((διαφάνειεςδιαφάνειες 1111--13)13)..ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: : ΑπλοποίησηΑπλοποίηση F = x’yz + x’yz’ + xz.F = x’yz + x’yz’ + xz.FF = = x’yz + x’yz’x’yz + x’yz’ + xz+ xz

= = x’y(z+z’)x’y(z+z’) + xz+ xz

Σεπτέμβριος 10 MKM - 25Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

= = x y(z+z )x y(z+z ) + xz+ xz= = x’y•1x’y•1 + xz+ xz= = x’yx’y + xz+ xz

Αλγεβρικοί Μετασχηματισμοί Αλγεβρικοί Μετασχηματισμοί ((συν.)συν.)

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα : : Αποδείξετε ότιΑποδείξετε ότιx’y’z’ + x’yz’ + xyz’ = x’z’ + yz’x’y’z’ + x’yz’ + xyz’ = x’z’ + yz’x y z + x yz + xyz = x z + yzx y z + x yz + xyz = x z + yz

ΑπόδειξηΑπόδειξη::x’y’z’+ x’y’z’+ x’yz’x’yz’+ xyz’+ xyz’

= x’y’z’ + = x’y’z’ + x’yz’ + x’yz’x’yz’ + x’yz’ + xyz’+ xyz’= x’z’(y’+y) + yz’(x’+x)= x’z’(y’+y) + yz’(x’+x)

Σεπτέμβριος 10 MKM - 26Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

= x z (y +y) + yz (x +x)= x z (y +y) + yz (x +x)= x’z’•1 + yz’•1= x’z’•1 + yz’•1= x’z’ + yz’= x’z’ + yz’

Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησηςΤο συμπλήρωμα μιας συνάρτησης((F F F’)F’)

Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης παράγεται από Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης παράγεται από την ανταλλαγή την ανταλλαγή ((•• and +) and +) καικαι (1 and 0) (1 and 0) και το και το την ανταλλαγή την ανταλλαγή ((•• and +), and +), καικαι (1 and 0), (1 and 0), και το και το συμπλήρωμα κάθε μεταβλητής (συμπλήρωμα κάθε μεταβλητής (DeMorgan).DeMorgan).

ΑλλιώςΑλλιώς, , η ανταλλαγή η ανταλλαγή 1 1 0 0 στην στήλη του στην στήλη του πίνακα αληθείας τηςπίνακα αληθείας της FF δίνει την δίνει την F’F’

Σεπτέμβριος 10 MKM - 27Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης ∆ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης ∆ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ Ι∆ΙΟΤΟ Ι∆ΙΟ με το δυϊσμόμε το δυϊσμό (dual)(dual) μιας συνάρτησηςμιας συνάρτησης..

ΣυμπλήρωμαΣυμπλήρωμα: : ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

Βρείτε τηνΒρείτε την G(x,y,z),G(x,y,z), εάν αυτή είναι το εάν αυτή είναι το συμπλήρωμα της συμπλήρωμα της F(x y z) = xy’z’ + x’yzF(x y z) = xy’z’ + x’yzσυμπλήρωμα της συμπλήρωμα της F(x,y,z) = xy z + x yzF(x,y,z) = xy z + x yzG = F’ = (xy’z’ + x’yz)’G = F’ = (xy’z’ + x’yz)’

= (xy’z’)’ • (x’yz)’= (xy’z’)’ • (x’yz)’ DeMorganDeMorgan= (x’+y+z) • (x+y’+z’) = (x’+y+z) • (x+y’+z’) DeMorgan DeMorgan ξανάξανά

ΣημείωσηΣημείωση:: Το συμπλήρωμα μιας Το συμπλήρωμα μιας

Σεπτέμβριος 10 MKM - 28Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

μμ μ ρ μ μ ςμ ρ μ μ ςσυνάρτησης μπορεί να παραχθεί με την συνάρτησης μπορεί να παραχθεί με την εύρεση του δυϊσμού της συνάρτησης, και εύρεση του δυϊσμού της συνάρτησης, και ακολούθωςακολούθως παίρνοντας το συμπλήρωμα παίρνοντας το συμπλήρωμα όλων των όλων των literalsliterals (παραγόντων).(παραγόντων).

Page 8: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 8

Κανονικές (Κανονικές (Canonical)Canonical) και και ΠρότυπεςΠρότυπες (Standard) (Standard) ΜορφέςΜορφές

Χρειαζόμαστε τυποποιημένες τεχνικές για Χρειαζόμαστε τυποποιημένες τεχνικές για ρ ζ μ ημ ς χ ς γρ ζ μ ημ ς χ ς γτην απλοποίηση δυαδικών συναρτήσεωντην απλοποίηση δυαδικών συναρτήσεων..

Ελαχιστόροι και ΜεγιστόροιΕλαχιστόροι και ΜεγιστόροιΆθροισμα ελαχιστόρων &Άθροισμα ελαχιστόρων & Γινόμενο ΜεγιστόρωνΓινόμενο ΜεγιστόρωνΓινόμενο και Άθροισμα όρωνΓινόμενο και Άθροισμα όρωνΆθ Γ έ Άθ Γ έ (S(S ff P d t P d t SOP) SOP)

Σεπτέμβριος 10 MKM - 29Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Άθροισμα Γινομένων Άθροισμα Γινομένων (Sum(Sum--ofof--Products Products ---- SOP) SOP) καικαι Γινόμενο ΑθροισμάτωνΓινόμενο Αθροισμάτων (Product(Product--ofof--Sums Sums ----POS)POS)

ΟρισμοίΟρισμοίΠαράγονταςΠαράγοντας:: Μεταβλητή ή το συμπλήρωμα τηςΜεταβλητή ή το συμπλήρωμα της

Αθροιστικός όροςΑθροιστικός όρος:: παράγοντες ενωμένοι με παράγοντες ενωμένοι με ++Αθροιστικός όροςΑθροιστικός όρος:: παράγοντες ενωμένοι με παράγοντες ενωμένοι με ++

Πολ/σκός όροςΠολ/σκός όρος:: παράγοντεςπαράγοντες ενωμένοι μεενωμένοι με ••

Ελαχιστόρος (Ελαχιστόρος (Minterm)Minterm):: πολ/κός όρος στον οποίο πολ/κός όρος στον οποίο όλες οι μεταβλητές εμφανίζονται ακριβώς 1 φοράόλες οι μεταβλητές εμφανίζονται ακριβώς 1 φορά, , με κανονική ή συμπληρωματική μορφήμε κανονική ή συμπληρωματική μορφή

Σεπτέμβριος 10 MKM - 30Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ΜεγιστόροςΜεγιστόρος (Maxterm)(Maxterm):: αθροιστικός όρος στον αθροιστικός όρος στον οποίο όλες οι μεταβλητές εμφανίζονται ακριβώς 1 οποίο όλες οι μεταβλητές εμφανίζονται ακριβώς 1 φοράφορά, , με κανονική ή συμπληρωματική μορφήμε κανονική ή συμπληρωματική μορφή

ΕλαχιστόροςΕλαχιστόρος (Minterm)(Minterm)Αντιπροσωπεύει ακριβώς ένα συνδυασμό στον πίνακα Αντιπροσωπεύει ακριβώς ένα συνδυασμό στον πίνακα αληθείας.αληθείας.η ςη ς

Συμβολίζεται μεΣυμβολίζεται με mmjj, όπου, όπου j j είναι το δεκαδικό είναι το δεκαδικό ισοδύναμο του ελαχιστόρου του αντίστοιχου δυαδικού ισοδύναμο του ελαχιστόρου του αντίστοιχου δυαδικού συνδυασμούσυνδυασμού (b(bjj))..Μια μεταβλητή στοΜια μεταβλητή στο mmjj είναι συμπληρωματική εάν η είναι συμπληρωματική εάν η τιμή της στοτιμή της στο bbjj είναιείναι 0, 0, αλλιώς είναι κανονικήαλλιώς είναι κανονική..

Σεπτέμβριος 10 MKM - 31Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

μ ςμ ς jj ,, ςς

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: : Υποθέστε Υποθέστε 3 3 μεταβλητέςμεταβλητές (A,B,C), (A,B,C), καικαι jj=3=3. . ΤότεΤότε, , bbjj = 011= 011 και ο αντίστοιχος ελαχιστόρος και ο αντίστοιχος ελαχιστόρος συμβολίζεται με συμβολίζεται με mmjj = A’BC= A’BC

ΜεγιστόροςΜεγιστόρος (Maxterm)(Maxterm)Αντιπροσωπεύει ακριβώς ένα συνδυασμό στον πίνακα Αντιπροσωπεύει ακριβώς ένα συνδυασμό στον πίνακα αληθείαςαληθείας..η ςη ς

Συμβολίζεται μεΣυμβολίζεται με MMjj, όπου, όπου j j είναι το δεκαδικό είναι το δεκαδικό ισοδύναμο του μεγιστόρου του αντίστοιχου δυαδικού ισοδύναμο του μεγιστόρου του αντίστοιχου δυαδικού συνδυασμούσυνδυασμού (b(bjj))..Μια μεταβλητή στοΜια μεταβλητή στο MMjj είναι συμπληρωματική εάν η είναι συμπληρωματική εάν η τιμή της στοτιμή της στο bbjj είναιείναι 11, , αλλιώς είναι κανονικήαλλιώς είναι κανονική..

Σεπτέμβριος 10 MKM - 32Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

μ ςμ ς jj ,, ςς

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: : Υποθέστε Υποθέστε 3 3 μεταβλητέςμεταβλητές (A,B,C), (A,B,C), καικαι jj=3=3. . ΤότεΤότε, , bbjj = 011= 011 και ο αντίστοιχος και ο αντίστοιχος μεγιστόρομεγιστόρος ς συμβολίζεται με συμβολίζεται με MMjj = A+B’+C’= A+B’+C’

Page 9: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 9

Ορισμοί Πινάκων γιαΟρισμοί Πινάκων γιαΕλαχιστόρους και ΜεγιστόρουςΕλαχιστόρους και ΜεγιστόρουςΟι Οι ελαχιστόροιελαχιστόροι καικαιοι οι μεγιστόροιμεγιστόροι είναιείναι

xx yy zz MintermMinterm MaxtermMaxtermοι οι μεγιστόροιμεγιστόροι είναιείναιεύκολοεύκολο να να αναπαρασταθούναναπαρασταθούνχρησιμοποιώντας χρησιμοποιώντας πίνακα αληθείας.πίνακα αληθείας.ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: : Υποθέτουμε Υποθέτουμε 3 3

00 00 00 x’y’z’ = mx’y’z’ = m00 x+y+z = Mx+y+z = M00

00 00 11 x’y’z = mx’y’z = m11 x+y+z’ = Mx+y+z’ = M11

00 11 00 x’yz’ = mx’yz’ = m22 x+y’+z = Mx+y’+z = M22

00 11 11 x’yz = mx’yz = m33 x+y’+z’= Mx+y’+z’= M33

11 00 00 xy’z’ = mxy’z’ = m44 x’+y+z = Mx’+y+z = M44

Σεπτέμβριος 10 MKM - 33Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Υποθέτουμε Υποθέτουμε 3 3 μεταβλητέςμεταβλητές xx < < yy < < z z ((< υπονοεί τη < υπονοεί τη διάταξη των διάταξη των μεταβλητώνμεταβλητών))

yy yy

11 00 11 xy’z = mxy’z = m55 x’+y+z’ = Mx’+y+z’ = M55

11 11 00 xyz’ = mxyz’ = m66 x’+y’+z = Mx’+y’+z = M66

11 11 11 xyz = mxyz = m77 x’+y’+z’ = Mx’+y’+z’ = M77

ΚανονικέςΚανονικές (Canonical)(Canonical) ΜορφέςΜορφέςΟποιαδήποτε δυαδική συνάρτησηΟποιαδήποτε δυαδική συνάρτηση F( )F( ) μπορεί να μπορεί να εκφραστεί ως ένα εκφραστεί ως ένα μοναδικόμοναδικό άθροισμα άθροισμα εκφραστεί ως ένα εκφραστεί ως ένα μοναδικόμοναδικό άθροισμα άθροισμα ελαχιστόρωνελαχιστόρων και ένα και ένα μοναδικό γινόμενο μοναδικό γινόμενο μεγιστόρωνμεγιστόρων ((με μια συγκεκριμένη διάταξη με μια συγκεκριμένη διάταξη μεταβλητώνμεταβλητών).).

Μα άλλα λόγιαΜα άλλα λόγια, , κάθε συνάρτηση κάθε συνάρτηση F(F( ) ) έχει 2 έχει 2

Σεπτέμβριος 10 MKM - 34Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

κανονικές μορφέςκανονικές μορφές::ΚανονικόΚανονικό SOPSOP ((άθροισμα ελαχιστόρωνάθροισμα ελαχιστόρων))ΚανονικόΚανονικό POSPOS ((γινόμενο μεγιστόρωνγινόμενο μεγιστόρων))

Κανονικές Μορφές Κανονικές Μορφές ((συνσυν.).)

ΚανονικόΚανονικό SOP :SOP :Οι ελαχιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι Οι ελαχιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι Οι ελαχιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι Οι ελαχιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι mmjj , έτσι ώστε , έτσι ώστε F( ) = 1 F( ) = 1 στην γραμμή στην γραμμή jj του πίνακα του πίνακα αληθείας της αληθείας της F( ).F( ).

ΚανονικόΚανονικό POSPOS ::Οι μεγιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι Οι μεγιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι

Σεπτέμβριος 10 MKM - 35Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Οι μεγιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι Οι μεγιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναι οι MMjj , έτσι ώστε , έτσι ώστε F( ) = 0 F( ) = 0 στην γραμμή στην γραμμή jj του του αληθοπίνακα της αληθοπίνακα της F( ).F( ).

ΠαράδειγμαΠαράδειγμαff11(a,b,c) (a,b,c)

Η ήΗ ή SOP SOP ήή ff ( ) ί( ) ί

aa bb cc ff11

00 00 00 00Η κανονικήΗ κανονική SOP SOP μορφήμορφή τηςτης ff11( ) είναι( ) είναιff11(a,b,c) = m(a,b,c) = m11 + m+ m22 + m+ m44 + m+ m66

= a’b’c + a’bc’ + ab’c’ + abc’= a’b’c + a’bc’ + ab’c’ + abc’

Η κανονικήΗ κανονική POSPOS μορφήμορφή τηςτης ff1 1 ( )( ) είναιείναιff11(a,b,c) = M(a,b,c) = M00 •• MM33 • • MM55 • • MM77

( b ) ( b ) ( b’ ’)( b’ ’)

00 00 00 0000 00 11 1100 11 00 1100 11 11 0011 00 00 11

Σεπτέμβριος 10 MKM - 36Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

= (a+b+c)= (a+b+c)••(a+b’+c’)(a+b’+c’)••(a’+b+c’)(a’+b+c’)••(a’+b’+c’)(a’+b’+c’)

Παρατηρήστε ότιΠαρατηρήστε ότι: m: mjj = = ((MMjj))’’

11 00 11 0011 11 00 1111 11 11 00

Page 10: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 10

ΧρησιμοποιούμεΧρησιμοποιούμε: : ∑∑ καικαι ∏∏ff11(a,b,c) = (a,b,c) = ∑∑ mm(1,2,4,6), (1,2,4,6), όπουόπου ∑∑ δείχνει ότι το δείχνει ότι το ff11 είναι μια είναι μια SOP SOP μορφήμορφή, , καικαιm(1,2,4,6) m(1,2,4,6) δείχνει ότι οι ελαχιστόροι που δείχνει ότι οι ελαχιστόροι που m(1,2,4,6) m(1,2,4,6) δείχνει ότι οι ελαχιστόροι που δείχνει ότι οι ελαχιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναισυμπεριλαμβάνονται είναι οι οι mm11, m, m22, m, m44 και και mm66..

ff11(a,b,c) = (a,b,c) = ∏∏ M(0,3,5,7), M(0,3,5,7), όπουόπου ∏∏ δείχνει ότι το δείχνει ότι το ff11 είναι μια είναι μια POS POS μορφήμορφή, , καικαιM(0,3,5,7) M(0,3,5,7) δείχνει ότι οι μεγιστόροι που δείχνει ότι οι μεγιστόροι που συμπεριλαμβάνονται είναισυμπεριλαμβάνονται είναι οι οι MM00, M, M33, M, M55 καικαι MM77..

((MM ))’ ’ άθ άθ jj όό

Σεπτέμβριος 10 MKM - 37Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ΑφούΑφού mmjj = = ((MMjj))’ ’ για κάθεγια κάθε jj,, τότετότε

∑∑ mm(1,2,4,6) = (1,2,4,6) = ∏∏ M(0,3,5,7) = fM(0,3,5,7) = f11(a,b,c) (a,b,c)

∆ώστε την απόδειξη∆ώστε την απόδειξη

Μετατροπή μεταξύ Κανονικών μορφώνΜετατροπή μεταξύ Κανονικών μορφών

Αντιστρέφουμε ταΑντιστρέφουμε τα ∑∑ μεμε ∏∏ ((ή αντίθεταή αντίθετα) ) και και αντικαθιστούμεαντικαθιστούμε τατα jj που εμφανίζονται στην που εμφανίζονται στην αντικαθιστούμεαντικαθιστούμε τατα jj που εμφανίζονται στην που εμφανίζονται στην αρχική μορφή με αυτά που δεν εμφανίζονταιαρχική μορφή με αυτά που δεν εμφανίζονται..

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα::ff11(a,b,c)(a,b,c) = a’b’c + a’bc’ + ab’c’ + abc’ = a’b’c + a’bc’ + ab’c’ + abc’

= m= m11 + m+ m22 + m+ m44 + m+ m66

Σεπτέμβριος 10 MKM - 38Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

m m11 m m22 m m44 m m66

= = ∑∑((1,2,4,61,2,4,6))= = ∏∏((0,3,5,70,3,5,7))= (a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b+c’)•(a’+b’+c’)= (a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b+c’)•(a’+b’+c’)

ΠρότυπεςΠρότυπες ((Standard) Standard) Μορφές Μορφές ((Όχι μοναδικέςΌχι μοναδικές))

Οι Οι πρότυπεςπρότυπες μορφές είναι «όπως»μορφές είναι «όπως» τις κανονικές τις κανονικές έέ ξ ί ό δ ί ί ξ ί ό δ ί ί μορφέςμορφές, , με εξαίρεση ότι δεν είναι απαραίτητο για με εξαίρεση ότι δεν είναι απαραίτητο για

όλες τις μεταβλητές να εμφανιστούν σε ένα γινόμενοόλες τις μεταβλητές να εμφανιστούν σε ένα γινόμενο(SOP) (SOP) ήή άθροισμαάθροισμα (POS) (POS) ορώνορών..

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα::ff11(a,b,c) = a’b’c + bc’ + ac’(a,b,c) = a’b’c + bc’ + ac’είναι μια πρότυπηείναι μια πρότυπη SOPSOP μορφήμορφή

Σεπτέμβριος 10 MKM - 39Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

είναι μια πρότυπηείναι μια πρότυπη SOPSOP μορφήμορφήff11(a,b,c) = (a+b+c)•(b’+c’)•(a’+c’)(a,b,c) = (a+b+c)•(b’+c’)•(a’+c’)είναι μια πρότυπηείναι μια πρότυπη POS POS μορφήμορφή..

ΜετατροπήΜετατροπή SOP SOP απόαπό πρότυπη σε κανονική μορφήπρότυπη σε κανονική μορφή

Επέκταση Επέκταση μημη--κανονικώνκανονικών όρων με την εισαγωγή όρων με την εισαγωγή εκφράσεων ισοδύναμων σε εκφράσεων ισοδύναμων σε 11, για, για κάθε μεταβλητή κάθε μεταβλητή xx που λείπειπου λείπει::(x + x’) = 1(x + x’) = 1

Αφαίρεση διπλότυπων ελαχιστόρωνΑφαίρεση διπλότυπων ελαχιστόρων

Π χ Π χ ff (a b c) = a’b’c + bc’ + ac’(a b c) = a’b’c + bc’ + ac’

Σεπτέμβριος 10 MKM - 40Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Π.χ. Π.χ. ff11(a,b,c) = a b c + bc + ac(a,b,c) = a b c + bc + ac= a’b’c + = a’b’c + (a+a’)(a+a’)bc’ + abc’ + a(b+b’)(b+b’)c’c’= a’b’c + = a’b’c + aabc’ + bc’ + a’a’bc’ + abc’ + abbc’ + ac’ + ab’b’c’c’= a’b’c + abc’ + a’bc + ab’c’= a’b’c + abc’ + a’bc + ab’c’

Page 11: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 11

Επέκταση Επέκταση μημη--κανονικώνκανονικών όρων με την εισαγωγή όρων με την εισαγωγή εκφράσεων ισοδύναμων σε 0, γιαεκφράσεων ισοδύναμων σε 0, για κάθε μεταβλητή κάθε μεταβλητή xx

ΜετατροπήΜετατροπή POS POS απόαπό πρότυπη σε κανονική μορφήπρότυπη σε κανονική μορφή

φρ μ , γφρ μ , γ μ β η ήμ β η ήπου λείπειπου λείπει::(xx’) = 0(xx’) = 0Επιμεριστική ιδιότηταΕπιμεριστική ιδιότηταΑφαίρεση διπλότυπων μεγιστόρωνΑφαίρεση διπλότυπων μεγιστόρων

Π χ Π χ ff11(a b c) = (a+b+c)•(b’+c’)•(a’+c’)(a b c) = (a+b+c)•(b’+c’)•(a’+c’)

Σεπτέμβριος 10 MKM - 41Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Π.χ. Π.χ. ff11(a,b,c) = (a+b+c) (b +c ) (a +c )(a,b,c) = (a+b+c) (b +c ) (a +c )= (a+b+c)•(= (a+b+c)•(aa’aa’+b’+c’)•(a’++b’+c’)•(a’+bb’bb’+c’)+c’)= (a+b+c)•(= (a+b+c)•(a+a+b’+c’)•(b’+c’)•(a’+a’+b’+c’)•b’+c’)•

(a’(a’+b+b+c’)•(a’+c’)•(a’+b’+b’+c’)+c’)= (a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b’+c’)•(a’+b+c’)= (a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b’+c’)•(a’+b+c’)

Χάρτες Χάρτες KarnaughKarnaughΟι χάρτες ΚΟι χάρτες Κarnaugh (Karnaugh (K--χάρτεςχάρτες) ) είναι γραφικές είναι γραφικές αναπαραστάσεις δυαδικών συναρτήσεωναναπαραστάσεις δυαδικών συναρτήσεωναναπαραστάσεις δυαδικών συναρτήσεωναναπαραστάσεις δυαδικών συναρτήσεων..Χρησιμοποιούνται ως εργαλεία ελαχιστοποίησης Χρησιμοποιούνται ως εργαλεία ελαχιστοποίησης (σε κυκλώματα δύο επιπέδων).(σε κυκλώματα δύο επιπέδων).Εκτίμηση Κόστους Εκτίμηση Κόστους (Συνάρτηση (Συνάρτηση Λογικό Κύκλωμα) Λογικό Κύκλωμα) ::

ό ό όδ λώ όδ λώ

Σεπτέμβριος 10 MKM - 42Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

αρ. παραγόντων αρ. παραγόντων αρ. εισόδων πυλώναρ. εισόδων πυλώναρ. όρων αρ. όρων αρ. πυλών, αρ. εισόδων πυλώναρ. πυλών, αρ. εισόδων πυλώνΒάθος παρενθέσεων Βάθος παρενθέσεων αρ. επιπέδωναρ. επιπέδων

Χάρτες Χάρτες KarnaughKarnaugh (συν.)(συν.)

Ένας χάρτης ΚΈνας χάρτης Κarnaugh arnaugh αποτελείται από αποτελείται από ς χ ρ ηςς χ ρ ης gg22nn κελιά, για μια συνάρτηση με κελιά, για μια συνάρτηση με nnμεταβλητές.μεταβλητές.ΚάθεΚάθε κελίκελί αντιπροσωπεύει μία μόνο αντιπροσωπεύει μία μόνο γραμμή στον πίνακα αληθείαςγραμμή στον πίνακα αληθείας..

έ ί ί έ ό έ ί ί έ ό

Σεπτέμβριος 10 MKM - 43Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ένα κελί αντιστοιχεί σε ένα ελαχιστόρο ένα κελί αντιστοιχεί σε ένα ελαχιστόρο ή μεγιστόρο της δυαδικής συνάρτησης.ή μεγιστόρο της δυαδικής συνάρτησης.

ΚΚ--Χάρτης 2 ΜεταβλητώνΧάρτης 2 Μεταβλητών

00

1100xx11x2

0 100

1100xx22x1

0 2

mm33mm2211

mm11mm0000

2 3

Σημείωση: η σειρά των μεταβλητών είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ για το f(x1,x2), όπου x1 είναι η γραμμή,

mm33mm1111

mm22mm0000

1 3ή

Σεπτέμβριος 10 MKM - 44Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ για το f(x1,x2), όπου x1 είναι η γραμμή, x2 είναι η στήλη. Το κελί 0 είναι το x1’x2’. Το κελί 1 είναι ο όρος x1’x2, κτλ. Εάν ένας ελαχιστόρος είναι σε μια συνάρτηση, τότε το 1 μπαίνει στο ανάλογο κελί.

Page 12: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 12

ΚΚ--Χάρτης 2 Μεταβλητών Χάρτης 2 Μεταβλητών ((συνσυν.).)

Κάθε 2 διπλανά κελιά (δεξιάΚάθε 2 διπλανά κελιά (δεξιά--αριστεράαριστερά--κάτωκάτω--πάνω) στο χάρτη διαφέρουν ΜΟΝΟ κατά μία πάνω) στο χάρτη διαφέρουν ΜΟΝΟ κατά μία πάνω) στο χάρτη διαφέρουν ΜΟΝΟ κατά μία πάνω) στο χάρτη διαφέρουν ΜΟΝΟ κατά μία τιμή μεταβλητήςτιμή μεταβλητής,, που εμφανίζεται που εμφανίζεται συμπληρωματική σε ένα κελί και μησυμπληρωματική σε ένα κελί και μη--συμπληρωματικήσυμπληρωματική σε άλλο κελίσε άλλο κελί..

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα::

Σεπτέμβριος 10 MKM - 45Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα::mm0 0 (=x(=x11’x’x22’) ’) είναιείναι γειτονικό τουγειτονικό του mm1 1 (=x(=x11’x’x22) ) και τουκαι του mm2 2 (=x(=x11xx22’)’),,αλλά ΟΧΙ τουαλλά ΟΧΙ του mm3 3 (=x(=x11xx22) )

ΚΚ--Χάρτης 2 ΜεταβλητώνΧάρτης 2 ΜεταβλητώνΠαράδειγμαΠαράδειγμα

f(xf(x11,x,x22) = x) = x11’x’x22’+ x’+ x11’x’x22 + x+ x11xx22’ ’ = m= m00 + m+ m11 + m+ m22= x= x ’ + x’ + x ’’= x= x11 + x + x22

Το Το 1 1 τοποθετείται στον τοποθετείται στον KK--χάρτη για τους χάρτη για τους ελαχιστόρουςελαχιστόρους mm00, m, m11, m, m22

Ομαδοποίηση Ομαδοποίηση (ORing) (ORing) των γειτονικών των γειτονικών κελιών με 1 επιτρέπει απλοποίησηκελιών με 1 επιτρέπει απλοποίηση

Ποία Ποία ((απλούστερηαπλούστερη) ) συνάρτηση συνάρτηση αντιπροσωπεύεται σε κάθε διακεκομμένοαντιπροσωπεύεται σε κάθε διακεκομμένο

xx11 00 11

00 11 11

x2

0 1

Σεπτέμβριος 10 MKM - 46Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

αντιπροσωπεύεται σε κάθε διακεκομμένοαντιπροσωπεύεται σε κάθε διακεκομμένοσχήμασχήμα??

g( ) g( ) = m= m00 + m+ m1 1 = = xx11’ ’ h( ) = h( ) = mm00 + m+ m22 = = xx22

ff(x(x11,x,x22) = x) = x11’’ + x+ x22’ ’

Σημειώστε ότιΣημειώστε ότι το το mm00 καλύπτεται 2 φορέςκαλύπτεται 2 φορές

11 11 002 3

ΚΚ--Χάρτης 3Χάρτης 3ωνων ΜεταβλητώνΜεταβλητών

1010111101010000yzyz

x

mm66mm77mm55mm4411

mm22mm33mm11mm00000 1 3 2

4 5 7 6

Σημείω η: η ε ά των μεταβλητών είνα (x y z);

Σεπτέμβριος 10 MKM - 47Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

- Σημείωση: η σειρά των μεταβλητών είναι (x,y,z); yz αντιστοιχεί στη στήλη, x αντιστοιχεί στη γραμμή.

- Κάθε κελί είναι γειτονικό με τρία άλλα κελιά(αριστερά ή δεξιά ή πάνω ή κάτω ή κυκλική ακμή(edge wrap))

ΚΚ--Χάρτης 3Χάρτης 3ωνων Μεταβλητών Μεταβλητών ((συνσυν.).)

Οι τύποι των δομών που είναι Οι τύποι των δομών που είναι είτε ελαχιστόροι ή παράχθηκαν είτε ελαχιστόροι ή παράχθηκαν

ελαχιστόρος

είτε ελαχιστόροι ή παράχθηκαν είτε ελαχιστόροι ή παράχθηκαν από την επανάληψη του από την επανάληψη του θεωρήματος ελαχιστοποίησης θεωρήματος ελαχιστοποίησης σε ένα χάρτη 3 μεταβλητών σε ένα χάρτη 3 μεταβλητών δίνονται στα δεξιάδίνονται στα δεξιά. .

ομάδα 2 όρων

Σεπτέμβριος 10 MKM - 48Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Ομάδες τωνΟμάδες των 1, 2, 4, 8 1, 2, 4, 8 είναι είναι πιθανέςπιθανές..

ομάδα 2 όρων

ομάδα 4ων όρων

Page 13: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 13

Ελαχιστοποίηση Ελαχιστοποίηση SOPSOP από κανονική σε από κανονική σε πρότυπη μορφήπρότυπη μορφή χρησιμοποιώνταςχρησιμοποιώντας KK--χάρτηχάρτη

ΒάζουμεΒάζουμε 1 1 στον στον KK--χάρτηχάρτη για κάθε όρο γινομένου της για κάθε όρο γινομένου της συνάρτησης (κανονικό συνάρτησης (κανονικό SOP)SOP)συνάρτησης (κανονικό συνάρτησης (κανονικό SOP)SOP)Για ένα όρο γινομένου με πιο λίγες μεταβλητές, Για ένα όρο γινομένου με πιο λίγες μεταβλητές, ομαδοποιούμεομαδοποιούμε γειτονικά κελιάγειτονικά κελιά που περιέχουν που περιέχουν 1. 1. Οι Οι ομάδες πρέπει να είναι στην δύναμη του ομάδες πρέπει να είναι στην δύναμη του 2 (2, 4, 8, 2 (2, 4, 8, …)…)Εξετάζουμε και ταΕξετάζουμε και τα “boundary wraps” “boundary wraps” γιαγια KK--χάρτεςχάρτες33ωνων ή περισσοτέρων μεταβλητώνή περισσοτέρων μεταβλητών

Σεπτέμβριος 10 MKM - 49Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

33ωνων ή περισσοτέρων μεταβλητώνή περισσοτέρων μεταβλητών..Η απάντηση μπορεί να μην είναι μοναδική (μηΗ απάντηση μπορεί να μην είναι μοναδική (μη--κανονική)! κανονική)! πρότυπο πρότυπο SOPSOP

ΕλαχιστοποίησηΕλαχιστοποίησηΒάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής Βάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής συνάρτησης στο χάρτησυνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως και ακολούθως συνάρτησης στο χάρτησυνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως και ακολούθως ομαδοποιήστε τους όρουςομαδοποιήστε τους όρουςΠαράδειγμαΠαράδειγμα: f(a,b,c) = a: f(a,b,c) = a’’c + abc + bc’c + abc + bc’

Σεπτέμβριος 10 MKM - 50Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ΕλαχιστοποίησηΕλαχιστοποίησηΒάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής Βάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής συνάρτησης στο χάρτησυνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως και ακολούθως συνάρτησης στο χάρτησυνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως και ακολούθως ομαδοποιήστε τους όρουςομαδοποιήστε τους όρουςΠαράδειγμαΠαράδειγμα: f(a,b,c) = a: f(a,b,c) = a’’c + abc + bc’c + abc + bc’

abc 00 01 11 10

Σεπτέμβριος 10 MKM - 51Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

11 11 1111 11

a0

1

00 01 11 10

ΕλαχιστοποίησηΕλαχιστοποίησηΒάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής Βάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής συνάρτησης στο χάρτησυνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως και ακολούθως συνάρτησης στο χάρτησυνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως και ακολούθως ομαδοποιήστε τους όρουςομαδοποιήστε τους όρουςΠαράδειγμαΠαράδειγμα: f(a,b,c) = a: f(a,b,c) = a’’c + abc + bc’c + abc + bc’ΑποτέλεσμαΑποτέλεσμα: f(a,b,c) = a: f(a,b,c) = a’’c+ bc+ b

abcbc 00 01 11 10

Σεπτέμβριος 10 MKM - 52Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

11 11 1111 11

a11 11 11

11 11

abc 00 01 11 10

0

10

1

00 01 11 10

Page 14: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 14

ΆλλαΆλλα Παραδείγματα Παραδείγματα

ff11(x y z) = (x y z) = ∑∑ m(2 3 5 7)m(2 3 5 7)1010111101010000

yzyzXX

00 1111ff11(x, y, z) (x, y, z) ∑∑ m(2,3,5,7)m(2,3,5,7)

ff22(x, y, z) = (x, y, z) = ∑∑ m (0,1,2,3,6)m (0,1,2,3,6)

ff11(x, y, z) = x’y + xz(x, y, z) = x’y + xz11

00

11111111

yzyzXX 00 01 11 10

Σεπτέμβριος 10 MKM - 53Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

ff22( , y, )( , y, ) ∑∑ m ( , , , , )m ( , , , , )

ff22(x, y, z) = x’+yz’(x, y, z) = x’+yz’

11 11 11 111111

00

ΚΚ--Χάρτης 4Χάρτης 4ωνων--ΜεταβλητώνΜεταβλητών

mm22mm33mm11mm000000

1010111101010000WXWX

YZ

mm1010mm1111mm99mm881010

mm1414mm1515mm1313mm12121111

mm66mm77mm55mm440101

mm22mm33mm11mm000000

Σεπτέμβριος 10 MKM - 54Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Τα κελιά της 1ης γραμμής είναι γειτονικά με Τα κελιά της 1ης γραμμής είναι γειτονικά με αυτά της 4ης.αυτά της 4ης. Τα κελιά της 1ης στήλης είναι Τα κελιά της 1ης στήλης είναι γειτονικά με αυτά της 4ης. γειτονικά με αυτά της 4ης. Η σειρά των μεταβλητών είναι:Η σειρά των μεταβλητών είναι: (WXYZ).(WXYZ).

Απλοποίηση ΚΑπλοποίηση Κ--Χαρτών Χαρτών 44ωνων--ΜεταβλητώνΜεταβλητών

Ένα κελί αντιπροσωπεύει ένα ελαχιστόρο με Ένα κελί αντιπροσωπεύει ένα ελαχιστόρο με 4 4 παράγοντεςπαράγοντεςπαράγοντεςπαράγοντες..Ένα ορθογώνιο Ένα ορθογώνιο 2 2 γειτονικών κελιών γειτονικών κελιών αντιπροσωπεύει ένα όρο γινομένου με αντιπροσωπεύει ένα όρο γινομένου με 3 3 παράγοντεςπαράγοντες..Ένα ορθογώνιο Ένα ορθογώνιο 44ων γειτονικών κελιών ων γειτονικών κελιών αντιπροσωπεύει ένα όρο με αντιπροσωπεύει ένα όρο με 2 2 παράγοντες.παράγοντες.Έ θ ώ Έ θ ώ 8 8 ώ λ ώ ώ λ ώ

Σεπτέμβριος 10 MKM - 55Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Ένα ορθογώνιο Ένα ορθογώνιο 8 8 γειτονικών κελιών γειτονικών κελιών αντιπροσωπεύει ένα όρο με αντιπροσωπεύει ένα όρο με 1 1 παράγονταπαράγοντα..Ένα ορθογώνιο Ένα ορθογώνιο 16 16 γειτονικών κελιώνγειτονικών κελιών παράγει μια παράγει μια συνάρτηση ίση με το λογικόσυνάρτηση ίση με το λογικό 1.1.

ΠαράδειγμαΠαράδειγμαΑπλοποιήστε την δυαδική συνάρτηση Απλοποιήστε την δυαδική συνάρτηση g(A,B,C,D) = g(A,B,C,D) = ∑∑m(0,1,2,4,5,7,8,9,10,12,13).m(0,1,2,4,5,7,8,9,10,12,13).

Πρώτα βάλτε την συνάρτηση Πρώτα βάλτε την συνάρτηση g( ) g( ) στον χάρτηστον χάρτη, , και και ακολούθως ομαδοποιήστε όσα πιο πολλά κελιά με ακολούθως ομαδοποιήστε όσα πιο πολλά κελιά με 1.1.

cdcdabab

111111

111111

111111

111111

Σεπτέμβριος 10 MKM - 56Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

111111

1111

g(A,B,C,D) = c’+b’d’+a’bdg(A,B,C,D) = c’+b’d’+a’bd

111111

1111

Page 15: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 15

ΚΚ--Χάρτης 5 ΜεταβλητώνΧάρτης 5 Μεταβλητών

BCBCDE

A=1

1313 141415151212

55 667744

11 223300BCBC

DE

2626272725252424

3030313129292828

2222232321212020

1818191917171616BCBC A=1

ABCDE’

Σεπτέμβριος 10 MKM - 57Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

101011119988

A=0 A’BCDE’

ABCDE’

Implicants Implicants καικαιPrime Implicants (PIs)Prime Implicants (PIs)

ΈναςΈνας ImplicantImplicant ((ΙΙ) ) μιας συνάρτησης μιας συνάρτησης FF( )( ) είναι ένας όρος είναι ένας όρος που υπονοεί την που υπονοεί την FF( )( ) που υπονοεί την που υπονοεί την FF( )( ), , με άλλα λόγιαμε άλλα λόγια, F(, F(ΙΙ) = 1) = 1

ΈναςΈνας implicant implicant τηςτης FF( )( ) ονομάζεταιονομάζεται PrimePrime ImplicantImplicant ((PI) PI) εάν εάν (i) (i) είναι είναι Implicant, Implicant, καικαι(ii) (ii) κάθε όρος γινομένου που παράγεται από την διαγραφή κάθε όρος γινομένου που παράγεται από την διαγραφή

Σεπτέμβριος 10 MKM - 58Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

( )( ) ρ ς γ μ ρ γ η γρ φήρ ς γ μ ρ γ η γρ φήενόςενός παράγοντα του παράγοντα του PI, PI, δεν είναιδεν είναι implicant implicant τηςτης FF( )( )

ΆραΆρα, , ένας ένας PPrimerime Implicant Implicant δεν περιέχεται σε πιο δεν περιέχεται σε πιο ““μεγάλομεγάλο””(= με λιγότερους παράγοντες)(= με λιγότερους παράγοντες) implicantimplicant

ΠαράδειγμαΠαράδειγμαΘεωρήστε την συνάρτησηΘεωρήστε την συνάρτηση f(a,b,c,d) f(a,b,c,d) της οποίας οτης οποίας ο KK--χάρτης φαίνεται χάρτης φαίνεται b’της οποίας οτης οποίας ο KK χάρτης φαίνεται χάρτης φαίνεται δεξιάδεξιά..ΤοΤο a’b’a’b’ δεν είναι δεν είναι primeprime implicant implicant γιατί περιέχεται στογιατί περιέχεται στο b’.b’.Το Το acdacd δεν είναι δεν είναι primeprime implicant implicant γιατί περιέχεται στογιατί περιέχεται στο adad..ΤαΤα b’ ad and a’cd’ b’ ad and a’cd’ είναιείναι primeprime

111111

111111

1111cd ab

ad

’b’

Σεπτέμβριος 10 MKM - 59Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

Τα Τα b , ad, and a cd b , ad, and a cd είναιείναι primeprimeimplicants.implicants.

111111

a’cd’

a’b’

acd

Essential Essential PrimePrime Implicants (EPIs)Implicants (EPIs)Εάν ένας ελαχιστόρος μιας συνάρτησηςΕάν ένας ελαχιστόρος μιας συνάρτησης FF( )( )περιέχεται σε ΜΟΝΟ 1 περιέχεται σε ΜΟΝΟ 1 primeprime implicant implicant pp, , όό ί ί E ti l PE ti l P ii I li t (EPI)I li t (EPI)τότετότε ο ο p p είναι είναι Essential PEssential Primerime Implicant (EPI)Implicant (EPI)τηςτης FF( ).( ).ΈναςΈνας EPI EPI πρέπει να εμφανίζεται σε όλες τις πρέπει να εμφανίζεται σε όλες τις πιθανές πιθανές SOPSOP εκφράσεις μιας συνάρτησης.εκφράσεις μιας συνάρτησης.Καθορισμός Καθορισμός EPI:EPI:

Παρατάξετε όλους τους Παρατάξετε όλους τους primeprime implicants implicants μιας συνάρτησης.μιας συνάρτησης. 111111

1111111111111111

b’ad

Σεπτέμβριος 10 MKM - 60Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

μ ς ρ η ης.μ ς ρ η ης.∆ιαλέξτε τους ∆ιαλέξτε τους primeprime implicants implicants που περιέχουν που περιέχουν τουλάχιστον τουλάχιστον 1 1 όρο όρο που δεν έχει καλυφθεί από που δεν έχει καλυφθεί από άλλο άλλο primeprime implicant.implicant.

Για το προηγούμενο παράδειγμαΓια το προηγούμενο παράδειγμα, , οιοι PI PI είναι ταείναι τα b’, b’, ad, ad, καικαι a’cd’a’cd’. Όλοι είναι . Όλοι είναι EssentialEssential..

111111

a’cd’

Page 16: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 16

ΆλλοΆλλο ΠαράδειγμαΠαράδειγμαΘεωρήστε τηνΘεωρήστε την ff22(a,b,c,d), (a,b,c,d), της οποίας οτης οποίας ο KK--χάρτης φαίνεται πιο κάτωχάρτης φαίνεται πιο κάτω..χ ρ ης φχ ρ ης φΤο μοναδικό Το μοναδικό essentialessential PI PI ((EPI) EPI) είναι το είναι το b’db’d..

11

11 11 11

cdab

Σεπτέμβριος 10 MKM - 61Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

11 11 11

11 11

11 11 11

Συστηματική διαδικασία για την Συστηματική διαδικασία για την απλοποίηση δυαδικών συναρτήσεωναπλοποίηση δυαδικών συναρτήσεων

1.1. Βρέστε όλαΒρέστε όλα τα τα PI PI της συνάρτησηςτης συνάρτησης..1.1. Βρέστε όλαΒρέστε όλα τα τα PI PI της συνάρτησηςτης συνάρτησης..2.2. Κρατήστε όλα τα ΕΚρατήστε όλα τα Εssential PIsssential PIs ((EPIs).EPIs).3.3. Για τους ελαχιστόρους που δεν περιέχονται Για τους ελαχιστόρους που δεν περιέχονται

στα στα EPIs, EPIs, κρατήστε ένα σύνολο άλλωνκρατήστε ένα σύνολο άλλων PIsPIs που που να τους καλύπτεινα τους καλύπτει, , με την πιο μικρή επικάλυψη με την πιο μικρή επικάλυψη συνόλουσυνόλου..

Σεπτέμβριος 10 MKM - 62Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

4.4. Η παραγόμενη απλοποιημένη συνάρτηση είναι Η παραγόμενη απλοποιημένη συνάρτηση είναι το λογικότο λογικό OR OR των όρων γινομένου (των όρων γινομένου (PIs PIs και και EPIs) EPIs) που έχουν κρατηθείπου έχουν κρατηθεί..

ΠαράδειγμαΠαράδειγμαf(a,b,c,d) = f(a,b,c,d) = ∑∑m(0 1 2 3 4 5 7 14 15)m(0 1 2 3 4 5 7 14 15) b

cd∑∑m(0,1,2,3,4,5,7,14,15).m(0,1,2,3,4,5,7,14,15).5 ομαδοποιημένοι όροι (5 ομαδοποιημένοι όροι (PIs), PIs), δεν χρειάζονται όλοιδεν χρειάζονται όλοι..3 3 σκιασμένα κελιά καλύφτηκαν σκιασμένα κελιά καλύφτηκαν από 1 όρο ΜΟΝΟΝ από 1 όρο ΜΟΝΟΝ 3 EPIs 3 EPIs Ο ελαχιστόρος Ο ελαχιστόρος a’bcda’bcd είναι ο μόνος είναι ο μόνος

1111

111111

11111111ab

Σεπτέμβριος 10 MKM - 63Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

που δεν έχει καλυφθείπου δεν έχει καλυφθείF(a,b,c,d) = a’b’ + a’c’ + F(a,b,c,d) = a’b’ + a’c’ + a’da’d + abc + abc ήήF(a,b,c,d) = a’b’ + a’c’ + F(a,b,c,d) = a’b’ + a’c’ + bcdbcd + abc + abc

Γινόμενο Αθροισμάτων (Γινόμενο Αθροισμάτων (POSPOS) ) ΑπλοποίησηΑπλοποίηση

Απλοποιήστε το Απλοποιήστε το SOPSOP στα στα μηδενικά (0)μηδενικά (0) της της ά ά FF( ) ( ) KK ά ά συνάρτησης συνάρτησης FF( ) στον ( ) στον KK--χάρτη για να χάρτη για να

πάρετε τοπάρετε το συμπλήρωμα της, συμπλήρωμα της, FF( )( )’.’.Βρέστε το συμπλήρωμα τηςΒρέστε το συμπλήρωμα της FF( )( )’, ’, δηλαδήδηλαδή(F’)’ = F(F’)’ = F

Το συμπλήρωμα μιας δυαδικής συνάρτησης Το συμπλήρωμα μιας δυαδικής συνάρτησης ί θ ί 2 όί θ ί 2 ό

Σεπτέμβριος 10 MKM - 64Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

μπορεί να παραχθεί με 2 τρόπουςμπορεί να παραχθεί με 2 τρόπους::(1) (1) ∆υϊσμό και μετά συμπλήρωμα κάθε ∆υϊσμό και μετά συμπλήρωμα κάθε παράγοντα.παράγοντα.(2)(2) ΘεώρημαΘεώρημα DeMorgan’s.DeMorgan’s.

Page 17: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 17

Παράδειγμα Απλοποίησης Παράδειγμα Απλοποίησης POS POS

00111111

11111111ab

cd

00000000

11110000

00111111

• SOP(F’(a,b,c,d)) = ab’ + ac’ + a’bcd’• SOP(F(a,b,c,d)) = a’b’ + a’c’ + abc + bcd

Σεπτέμβριος 10 MKM - 65Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

( ( , , , ))• dual(F’) = (a+b’)(a+c’)(a’+b+c+d’)• Συμπλήρωμα των παραγόντων στο dual(F’) δίνει:

POS(F(a,b,c,d)) = (a’+b)(a’+c)(a+b’+c’+d) (αυτό είναι το ίδιο με την διαφάνεια 62)

Συνθήκες Αδιαφορίας Συνθήκες Αδιαφορίας (Don’t care Conditions)(Don’t care Conditions)

Μπορεί να υπάρχει συνδυασμός εισόδων πουΜπορεί να υπάρχει συνδυασμός εισόδων πουδεν θα εμφανιστεί δεν θα εμφανιστεί ποτέποτέαν εμφανιστεί, η τιμές στις εξόδους είναι αδιάφορεςαν εμφανιστεί, η τιμές στις εξόδους είναι αδιάφορες

Η τιμή μιας τέτοιας μεταβλητής είναι Η τιμή μιας τέτοιας μεταβλητής είναι αδιάφορη (αδιάφορη (don't caredon't care))..Συμβολίζεται μεΣυμβολίζεται με xx ήή ––. . ΚάθεΚάθε μεταβλητή ίση με μεταβλητή ίση με xxμπορεί να πάρει την τιμή μπορεί να πάρει την τιμή 0 0 ήή 11 τυχαία σε μια τυχαία σε μια

Σεπτέμβριος 10 MKM - 66Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

μπορεί να πάρει την τιμή μπορεί να πάρει την τιμή 0 0 ήή 11 τυχαία σε μια τυχαία σε μια υλοποίησηυλοποίηση..Αδιάφορες μεταβλητέςΑδιάφορες μεταβλητές χρησιμοποιούνται και για χρησιμοποιούνται και για την απλοποίηση συναρτήσεων.την απλοποίηση συναρτήσεων.

Ελαχιστοποίηση χρησιμοποιώνταςΕλαχιστοποίηση χρησιμοποιώνταςDon’t CaresDon’t Cares

Θεωρήστε ταΘεωρήστε τα don't cares don't cares ωςως 11 για να για να ρήρή ςς γγπαράξετε παράξετε PIs.PIs.∆ιαγράψτε∆ιαγράψτε PIs PIs που καλύπτουν μόνο που καλύπτουν μόνο don't don't care care ελαχιστόρουςελαχιστόρους..Οι υπόλοιποιΟι υπόλοιποι don't care don't care ελαχιστόροιελαχιστόροι

ύ άύ ά ((δ δή ί δ δή ί

Σεπτέμβριος 10 MKM - 67Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

καλύπτονται προαιρετικάκαλύπτονται προαιρετικά ((δηλαδή, μπορεί δηλαδή, μπορεί να καλυφτούν ή μπορεί και όχινα καλυφτούν ή μπορεί και όχι).).

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

Απλοποιήστε τη συνάρτησηΑπλοποιήστε τη συνάρτησηf(a b c d)f(a b c d) = = ∑∑m(m(1 2 4 5 6 8 91 2 4 5 6 8 9)) καικαι

00 11 00 1111 11 00 1100 00 xx xx11 11 xx xx

abcd

000111 10

00 01 11 10

f(a,b,c,d)f(a,b,c,d) = = ∑∑m(m(1,2,4,5,6,8,91,2,4,5,6,8,9)) καικαιf(a,b,c,d)f(a,b,c,d) = = ∑∑d(d(10,11,14,1510,11,14,15)),,της οποίας ο της οποίας ο KK--χάρτηςχάρτης φαίνεται στα δεξιά.φαίνεται στα δεξιά.f =ab’f =ab’ ++ cd’cd’ ++ a’c’da’c’d + + a’bc’a’bc’ήήf = ab’f = ab’ ++ cd’cd’ ++ a’c’da’c’d ++ a’bd’a’bd’Οι πρώτοι 2 όροι είναιΟι πρώτοι 2 όροι είναι EPIs, EPIs, ενώ οι ενώ οι τελευταίοι 2 όροι επιλέγονται για να τελευταίοι 2 όροι επιλέγονται για να

xxxx1111xxxx00001100111111001100

11 11 xx xx10

Σεπτέμβριος 10 MKM - 68Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

τελευταίοι 2 όροι επιλέγονται για να τελευταίοι 2 όροι επιλέγονται για να καλύψουν τους ελαχιστόρους καλύψουν τους ελαχιστόρους mm11, m, m44, and m, and m55..((Υπάρχουν ακόμη 2 άλλες λύσεις!!Υπάρχουν ακόμη 2 άλλες λύσεις!!!)!)

xxxx1111xxxx00001100111111001100

Page 18: ΗΜΥ--210: 210: Σχεδιασμός Περίληψη Ψηφιακών ... BW.pdf · 2012-09-04 · Κανονικές(Canonical) και Πρότυπες ( (Standard) Standard)

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10

Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 18

ΆλλοΆλλο ΠαράδειγμαΠαράδειγμαΑπλοποιήστε την συνάρτηση: Απλοποιήστε την συνάρτηση: g(a,b,c,d)g(a,b,c,d) ==∑∑m(m(1,4,12,141,4,12,14)) καικαι

xx 11 00 0011 xx 00 xx11 xx xx 1100 xx xx 00

abcd

g(a,b,c,d)g(a,b,c,d) ∑∑m(m(1,4,12,141,4,12,14)) καικαιg(a,b,c,d)g(a,b,c,d) ==∑∑d(d(0,5,6,9,11,13,150,5,6,9,11,13,15))

g = a’c’+ abg = a’c’+ abήή

g = a’c’+b’dg = a’c’+b’d

00 xx xx 00

xx 11 00 0011 xx 00 xx11 xx xx 1100 xx xx 00

Σεπτέμβριος 10 MKM - 69Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

xx 11 00 0011 xx 00 xx11 xx xx 1100 xx xx 00

Αλγοριθμική ΕλαχιστοποίησηΑλγοριθμική ΕλαχιστοποίησηΤι κάνουμε για συναρτήσεις που έχουν Τι κάνουμε για συναρτήσεις που έχουν περισσότερες απόπερισσότερες από 44--5 5 μεταβλητέςμεταβλητές;;ρ τ ρ ς αρ τ ρ ς α 5 5 μ ταβ ητ ςμ ταβ ητ ς;;

Χρησιμοποιούμε διαδικασίες/αλγόριθμους Χρησιμοποιούμε διαδικασίες/αλγόριθμους ελαχιστοποίησης που μπορούν να ελαχιστοποίησης που μπορούν να προγραμματιστούν = προγραμματιστούν = ComputerComputer--Aided DesignAided Design((CAD)CAD)

π.χ. Αλγόριθμος π.χ. Αλγόριθμος QuineQuine--McCluskey McCluskey (βλέπε (βλέπε ώ )ώ )

Σεπτέμβριος 10 MKM - 70Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα

σημειώσεις)σημειώσεις)π.χ. π.χ. EspressoEspresso