ΜΕΡΟΣ 1ο : Δυαδικές συναρτήσεις – Άλγεβρα Boole – Λογικά διαγράμματα

1. Για a=1, b=1 και c=0, υπολογίστε τις τιμές των λογικών παραστάσεων

• ab′c, • a+b′+c, • a+b′c και • ab′+c

Δώστε τα σύνολα τιμών των δυαδικών μεταβλητών a, b, c που επαληθεύουν τις εξισώσεις : • ab′c = 1 • a+b′+c = 0

Επαναλάβετε το (b) για το σύστημα εξισώσεων : • ab+c′ =1 και ταυτόχρονα c + b′ = 1

2. Δίνεται οι λογικές συναρτήσεις f(x,y) = xy + x′y′ και g(x,y,z) = xyz + xy′z′ + x′yz′ + x′y′z′. Για κάθε πιθανή

τιμή των μεταβλητών εκάστης συνάρτησης να καταγράψετε την τιμή της.

3. Να απλοποιήσετε αλγεβρικά τις συναρτήσεις:

• xy′z+ x′yz+yz και • xy′z+xy′z+xyz′.

β. Να υπολογίσετε τις συμπληρωματικές συναρτήσεις ξεκινώντας από τις απλοποιημένες συναρτήσεις.

4.

i. Να απλοποιήσετε τις συναρτήσεις: • f = x′y′z + x′yz + y′z και • g = xy′z + xz + xyz′ .

ii. Να υπολογίσετε τις συμπληρωματικές συναρτήσεις f ′ και g′ , χρησιμοποιώντας τις απλοποιημένες εκφράσεις που προέκυψαν στο (i).

iii. Αποδείξτε ότι ισχύει f΄f=0 και g′g=0, χρησιμοποιώντας τις απλοποιημένες εκφράσεις των συναρτήσεων f, g, f ′ και g′ που προέκυψαν στα (i) και (ii).

5. Θεωρείστε ψηφιακό σύστημα το οποίο δέχεται ως εισόδους τα σήματα a, b, c και υλοποιεί τις συναρτήσεις

f1(a,b,c) = a+b′c, f2(a,b) = ab + a′b′ και f3(a,b,c) = abc′ + a′b′c + a′bc′. Θεωρώντας ότι υψηλό δυναμικό αντιστοιχεί στη λογική τιμή "1" και χαμηλό δυναμικό στη λογική τιμή "0", συμπληρώστε στο παρακάτω διάγραμμα τάσης – χρόνου τις κυματομορφές εξόδου του συστήματος.

a

b

c

6. Να απλοποιήσετε την ακόλουθη έκφραση χρησιμοποιώντας πράξεις στην άλγεβρα Boole.

F = w (x y + z)′ + x z + w z y′ + w′

7. Να απλοποιήσετε τη λογική συνάρτηση f(x,y,z) = xyz′ + yzy′+ yz[x+y′+(yz)′] + z(x+z′) + x′ (y+z)′ χρησιμοποιώντας μόνο αλγεβρικούς μετασχηματισμούς

8. Έστω ότι ο τελεστής ♦ για τις δυαδικές μεταβλητές a και b ορίζεται ως :

a ♦ b = ab + a′ b′ Αν c = a ♦ b, τότε αποδείξτε αν ισχύουν οι :

• a = b ♦ c • a ♦ (bc) = 1

9. Απλοποιείστε τη λογική συνάρτηση Χ του παρακάτω σχήματος, εκφράζοντας αυτή αρχικά ως άθροισμα των

δύο όρων X1 και Χ2. Σχεδιάστε το λογικό κύκλωμα της απλοποιημένης συνάρτησης. A

B

C

X

X1

X2

10. Δώστε λογικά διαγράμματα για την συνάρτηση F(Χ,Υ,Ζ) = ΧΖ + ΧΥ΄ + ΥΖ΄

• με πύλες AND, OR, και NOT • μόνο με πύλες OR και NOT • μόνο με πύλες AND και NOT

11. Δίνονται οι ακόλουθες κυματομορφές τάσης - χρόνου για τις 3 εισόδους A, B, και C του κυκλώματος που

φαίνεται κάτω δεξιά και ζητείται να σχεδιαστούν από οι αντίστοιχες έξοδοι Y1, Y2. H υψηλή τιμή τάσης αντιστοιχεί στο λογικό 1 ενώ η χαμηλή στο λογικό 0.

A

B

C

AC

B

Y1

Y2

Y1

Y2

ΜΕΡΟΣ 2ο : Ψηφιακές πύλες

12. • Να απλοποιήσετε την παρακάτω λογική έκφραση για τη συνάρτηση F χρησιμοποιώντας άλγεβρα Boole.

F = w (x y + z )′ + x z + w z y′ + w′

• Να αποδείξετε ότι (x ⊙ z) = ( x ⊕ z)′ = ( x ⊕ z′) = ( x′ ⊕ z) • Να υλοποιήσετε την απλοποιημένη έκφραση του ερωτήματος (Α) με λογικές πύλες ως εξής: (α) με μια

XNOR, μια OR και μια NAND, και (β) με μια XOR, μια AND και μια NAND. Διαθέτετε πύλες αποκλειστικά των δύο εισόδων.

13. Βρείτε τη σχέση εξόδου του παρακάτω κυκλώματος και απλοποιήστε την ώστε να δείτε με ποια γνωστή λογική πύλη ισοδυναμεί. (Υπόδειξη: Προχωρήστε διαδοχικά βρίσκοντας πρώτα τις σχέσεις για τα Ε1, Ε2, Ε3 και τελικά για την έξοδο Ε).

14. Σχεδιάστε ένα συνδυαστικό κύκλωμα το οποίο συγκρίνει δύο αριθμούς των 4 δυαδικών ψηφίων ο καθένας και η έξοδός του γίνεται 1 αν και μόνο αν οι δύο αριθμοί είναι ίσοι. Διαφορετικά η έξοδος είναι 0.

15. Να δώσετε λογικά διαγράμματα για την υλοποίηση της F = A2A1′ + A2′A1 + A2A0′ μόνο • Με πύλες NAND • Mε πύλες NOR.

16. Για το συνδυαστικό κύκλωμα του σχήματος να υπολογίσετε τη συνάρτηση εξόδου W, να την απλοποιήσετε με αλγεβρικές πράξεις και να την υλοποιήσετε μόνο με πύλες NOR.

17. Υλοποιείστε τη συνάρτηση F(A, B, C, D) = A′Β′C′ + A′BC′ + AB′C′ + B′CD′ με το δυνατόν ελάχιστο αριθμό

πυλών 2 εισόδων.

18. Απλοποιείστε το λογικό κύκλωμα του σχήματος και σχεδιάστε τη κυματομορφή εξόδου Χ.

19. Δίνονται οι κυματομορφές για τις εισόδους A,B,C και τις εξόδους Υ1 και Υ2 του ακόλουθου σχήματος. Βρείτε σε ποια λογική πύλη αντιστοιχούν οι "ΠΥΛΗ 1" και "ΠΥΛΗ 2" του σχήματος.

20. Δίνονται οι ακόλουθες κυματομορφές τάσης - χρόνου, όπου A, B, C είναι είσοδοι και Y είναι η έξοδος. H υψηλή τιμή αντιστοιχεί στο λογικό ‘1’ και η χαμηλή στο λογικό ‘0’. • Βρείτε τη λογική συνάρτηση που υλοποιείται στην έξοδο Υ. • Κατασκευάστε έναν αντιστροφέα χρησιμοποιώντας μόνο

μια πύλη XOR δύο εισόδων. • Μετασχηματίστε τη λογική συνάρτηση της εξόδου Υ ώστε το

κύκλωμα να υλοποιείται χρησιμοποιώντας μόνο πύλες XOR δύο εισόδων.

ΜΕΡΟΣ 3ο : Κανονικές μορφές μιας συνάρτησης

21. Είναι γνωστό ότι μια λογική συνάρτηση μπορεί να γραφεί είτε σαν άθροισμα ελαχιστόρων (SOP) είτε σαν γινόμενο μεγιστόρων (POS). Για να εξασκηθείτε λοιπόν στην άλγεβρα Boole, αποδείξτε ότι για μια συνάρτηση F(x,y,z), ισχύει Σ(2,4,5,6)=Π(0,1,3,7).

22. Βρείτε τις λογικές συναρτήσεις F(w,x,y,z) και G(w,x,y,z) που υλοποιούνται από τα κυκλώματα των παρακάτω

σχημάτων. Είναι αυτές ισοδύναμες μεταξύ τους;

23. Να δώσετε τις λογικές συναρτήσεις F(w,x,y,z) και G(w,x,y,z) που υλοποιούνται από τα επόμενα λογικά

διαγράμματα. Να ελέγξετε εάν είναι μεταξύ τους ισοδύναμες.

24.

• Μετατρέψετε τη συνάρτηση F(A, B, C, D) = Σ(0,2,6,11,13,14) σε κανονική παράσταση γινομένου μεγιστόρων (POS)

• Μετατρέψετε τη συνάρτηση G(x,y,z) = Π(0,3,6,7) σε κανονική παράσταση αθροίσματος ελαχιστόρων (SOP)

25.

• Να λυθεί το κάτωθι σύστημα λογικών εξισώσεων: X + Y Z = 1

X + Y + Z = 1 X Y′ + Z = 0

• Έστω Α(Χ, Υ, Ζ) = X + Y Z

Β(Χ, Υ, Ζ) = X + Y + Z C(X, Y, Z) = X Y′ + Z

Να απλοποιήσετε την έκφραση D = A B C • Να γραφεί η συνάρτηση D(X,Y,Z) ως κανονικό άθροισμα γινομένων. • Να γραφεί η συνάρτηση D(X,Y,Z) ως κανονικό γινόμενο αθροισμάτων.

26. Δίνεται η συνάρτηση f(x,y,z) ως κανονικό άθροισμα γινομένων f(x,y,z)=Σ(0,1,2,3,5,6)

• Να γραφεί ως κανονικό γινόμενο αθροισμάτων. • Ξεκινώντας από την έκφραση γινομένου αθροισμάτων, απλοποιήστε την f και στη συνέχεια υλοποιείστε

την με ελάχιστο αριθμό πυλών δύο εισόδων.

27. Να υλοποιηθεί η F(a,b,c,d) = Π(0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14) με μία λογική πύλη.

28. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά άλγεβρα Boole και ξεκινώντας κάθε φορά από την δεδομένη μορφή των συναρτήσεων γράψτε ως κανονικό άθροισμα και κανονικό γινόμενο τις : • F (x, y, z) = (x+y)′ (z ⊕ χ)

• G (x, y, z) = (xy) ⊙ (z+y)′

w x y z

F

G w x y z

ΜΕΡΟΣ 4ο : Απλοποίηση συναρτήσεων

29. Έστω λογικό κύκλωμα στο οποίο είναι δυνατόν να εμφανιστούν ως είσοδοι μόνο οι ακέραιοι από 1 έως και 9, κωδικοποιημένοι κατά 8421. Το κύκλωμα αυτό παράγει μια έξοδο F η οποία είναι 1 αν ο ακέραιος αριθμός της εισόδου διαιρείται ακριβώς με το 4, και μηδέν διαφορετικά. Να υλοποιηθεί το κύκλωμα με 1 πύλη των 2 εισόδων.

30.

• Απλοποιήστε τη λογική συνάρτηση F η οποία δίνεται ως το κανονικό άθροισμα ελαχιστόρων F(Α,Β,C,D) =Σ(0,1,2,8,9,10).

• Υλοποιείστε την F με δύο μόνον πύλες των δύο εισόδων η κάθε μία. 31. Ζητείται συνδυαστικό κύκλωμα με λογικές πύλες το οποίο να δέχεται ως είσοδο δύο ακέραιους αριθμούς Α

και Β σε παράσταση συμπληρώματος του 2, των δύο δυαδικών ψηφίων ο καθένας και να δίνει έξοδο έναν αριθμό Υ των δύο δυαδικών ψηφίων ίσο με τον μεγαλύτερο από τους 2 αριθμούς ή με την κοινή τιμή τους όταν είναι ίσοι. • Δώστε τον πίνακα αληθείας της λογικής συνάρτησης των εξόδων Υ1, Υ0. • Απλοποιήστε τις συναρτήσεις και σχεδιάστε το αντίστοιχο λογικό κύκλωμα. • Στη συνέχεια ξανασχεδιάστε το κύκλωμα με έξι μόνο πύλες των 2 εισόδων και 2 πύλες ΝΟΤ (και για

τις 2 εξόδους). 32. Έστω ψηφιακό σύστημα τεσσάρων εισόδων x, y, z, w το οποίο δίνει στην μια και μοναδική έξοδο του "1"

εάν ο αριθμός που σχηματίζεται είναι "πρώτος", διαφορετικά δίνει "0". Να σημειωθεί ότι "πρώτος" ονομάζεται ένας αριθμός που έχει δύο αποκλειστικά διαιρέτες : τον εαυτό του και τη μονάδα. • Να συμπληρωθεί ο σχετικός πίνακας αληθείας. • Να συμπληρωθεί πίνακας Karnaugh και να γίνει εξαγωγή της συνάρτησης. • Να σχεδιασθεί κύκλωμα χρησιμοποιώντας μόνο πύλες 2 εισόδων και αντιστροφείς.

33. Έστω κύκλωμα το οποίο δέχεται στην είσοδο τέσσερα δυαδικά ψηφία (w, x, y, z) και δίνει στην έξοδο Ε

λογικό "1" όταν το πλήθος των διαδοχικών λογικών "0" των τεσσάρων δυαδικών ψηφίων είναι μεγαλύτερο ή ίσο από 2 ενώ δίνει στην έξοδο Ε λογικό "0" διαφορετικά. • Κατασκευάστε τον πίνακα αλήθειας του κυκλώματος. • Βρείτε την απλοποιημένη συνάρτηση εξόδου χρησιμοποιώντας χάρτη Karnaugh. • Τροποποιείστε την απλοποιημένη συνάρτηση εξόδου ώστε το κύκλωμα να υλοποιείται

χρησιμοποιώντας το πολύ 4 πύλες των δύο εισόδων η καθεμία (χωρίς τη χρήση πυλών NOT). • Στην περίπτωση που δεν μας ενδιαφέρει το αποτέλεσμα της εξόδου όταν το πλήθος των διαδοχικών

λογικών "0" είναι ίσο με 2, προσπαθείστε να υλοποιήσετε το κύκλωμα χρησιμοποιώντας μόνο μία πύλη δύο εισόδων.

34. Να σχεδιάσετε ένα συνδυαστικό κύκλωμα που να λαμβάνει ως είσοδο A τη λέξη τριών δυαδικών ψηφίων A=A2A1A0 σε αναπαράσταση κώδικα "συμπλήρωμα ως προς 2" και να παράγει μία έξοδο F. Η F θα πρέπει να γίνεται 1 αν η είσοδος είναι κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερη ή ίση του 2, διαφορετικά θα πρέπει να είναι 0. Ζητούνται δύο εναλλακτικές υλοποιήσεις γι’ αυτό το κύκλωμα : • Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά πύλες NAND και • Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά πύλες NOR.

35. Θεωρείστε ότι σε έναν δυαδικό κώδικα είναι επιτρεπτές μόνο οι λέξεις οι οποίες δεν έχουν σε συνεχόμενες

θέσεις ψηφία με τιμή "1". • Κατασκευάστε τον πίνακα αληθείας λογικής συνάρτησης G η οποία λαμβάνει την τιμή 1 αν μια λέξη

μήκους τεσσάρων δυαδικών ψηφίων είναι επιτρεπτή σύμφωνα με τον κώδικα αυτό και την τιμή 0 αν δεν είναι.

• Απλοποιήστε τη συνάρτηση G και σχεδιάστε το αντίστοιχο λογικό κύκλωμα. • Χρησιμοποιώντας ως δομικό στοιχείο το κύκλωμα του προηγούμενου υποερωτήματος και επιπλέον

λογική, σχεδιάστε κύκλωμα το οποίο να ελέγχει αν μια λέξη 16 δυαδικών ψηφίων είναι επιτρεπτή σύμφωνα με τον κώδικα αυτό.

36. Η έκφραση BE + B΄DE΄ είναι απλοποιημένη μορφή της έκφρασης Α΄BE + BCDE + BC΄D΄E + A΄B΄DE΄ +

B΄C΄DE΄. Έχουν χρησιμοποιηθεί στην απλοποίηση αδιάφοροι όροι; Αν ναι, ποιοι;

37. Μετατρέψετε τη συνάρτηση f(w, x, y, z) = wxy + w΄y΄z΄ + x΄y΄ + wz σε μορφή γινομένου αθροισμάτων με χρήση χάρτη Karnaugh.

38. Να βρεθεί η απλοποιημένη λογική συνάρτηση του παρακάτω κυκλώματος και να υλοποιηθεί με τη χρήση

ΜΟΝΟ πυλών NAND 2 εισόδων όχι περισσότερων από πέντε (5).

39. Η κωδικοποίηση θερμομέτρου έχει ως εξής: περιλαμβάνει τη μηδενική και όσες λέξεις έχουν

συνεχόμενους άσσους αρχίζοντας από την δεξιότερη θέση. Η αξία μιας έγκυρης λέξης δίνεται από το σύνολο των άσσων που περιέχει. • να γράψετε σε δεκαδική μορφή την αξία όσων κωδικών λέξεων είναι έγκυρες σύμφωνα με την

κωδικοποίηση αυτή από τις ακόλουθες: 001111, 000011, 010010, 000111, 000000. • να σχεδιαστεί κύκλωμα που μετατρέπει κάθε έγκυρη λέξη τεσσάρων ψηφίων εκφρασμένη σε κώδικα

θερμομέτρου σε δυαδική λέξη κωδικοποιημένη με βάρη ψηφίων 4, 2, 1. • να σχεδιαστεί κύκλωμα που λαμβάνει ως είσοδο πληροφορία θερμοκρασίας κωδικοποιημένης ως λέξη

θερμομέτρου των 12 ψηφίων και παράγει έξοδο που ενεργοποιεί συναγερμό αν η θερμοκρασία είναι μικρότερη του τέσσερα ή μεγαλύτερη ή ίση του οκτώ.

Brand New 1

Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα ψηφιακό σύστημα το οποίο να δέχεται ως είσοδο τις δυαδικές εξόδους

τεσσάρων αισθητήρων Α, Β, C και D, και να διαθέτει δύο εξόδους F και G. Να σημειωθεί ότι οι αισθητήρες A

και Β δεν μπορούν να λάβουν ταυτόχρονα την τιμή 0. Το ίδιο ισχύει και για τους αισθητήρες C και D.

• Η F πρέπει να τίθεται στο 1 όταν:

⋅ Οι αισθητήρες Α και D έχουν την τιμή 1 ή

⋅ Οι αισθητήρες Β και C έχουν την τιμή 1 και ταυτόχρονα ο αισθητήρας D έχει την τιμή 0.

• Η G πρέπει να τίθεται στο 1 όταν:

⋅ Όλοι οι αισθητήρες έχουν την τιμή 1 ή

⋅ Ο αισθητήρας Α έχει τιμή διαφορετική από αυτή του C ή

⋅ Οι αισθητήρες Β και D έχουν την ίδια τιμή.

Ζητούνται :

a. Ο πίνακας αληθείας του συστήματος,

b. Υλοποίηση με τον ελάχιστο αριθμό πυλών 2 εισόδων και αντιστροφέων

Brand New 2

Μια φωτογραφική μηχανή αυτόματης εστίασης διαθέτει κύκλωμα ελέγχου της εστίασης που παράγει δύο

εξόδους X1 και X2. Οι έξοδοι αυτές προσδιορίζουν αν ο φακός είναι εστιασμένος ή όχι σύμφωνα με τον πίνακα:

X1 X2 Κατάσταση

0 0 Καλή εστίαση

0 1 Εστίαση πολύ κοντά

1 0 Εστίαση πολύ μακριά

Η φωτογραφική μηχανή διαθέτει άλλο ένα λογικό κύκλωμα το οποίο (μεταξύ άλλων) δέχεται ως εισόδους τα X1,

X2 και παράγει (μεταξύ άλλων) τα σήματα Z1 και Z2 για τους μικροκινητήρες που εστιάζουν τον φακό. Το σήμα

στην έξοδο Z1 περιστρέφει τον δακτύλιο του φακού δεξιόστροφα (εστιάζει πιο μακριά). Το σήμα στην έξοδο Z2

περιστρέφει τον δακτύλιο του φακού αριστερόστροφα (εστιάζει πιο κοντά). Όλα τα παραπάνω συμβαίνουν υπό

την προϋπόθεση ότι το πλήκτρο του φωτοφράκτη είναι ελαφρά πατημένο ή τελείως πατημένο. Όταν ο φακός

εστιάσει σωστά και το πλήκτρο του φωτοφράκτη πατηθεί τελείως, ανοίγει ο φωτοφράκτης. Αν ο φωτισμός είναι

πολύ χαμηλός για την λειτουργία του κυκλώματος εστίασης, ο φωτοφράκτης είναι κλειδωμένος και δεν

συμβαίνει τίποτε.

Σχεδιάστε λογικό κύκλωμα που δέχεται τέσσερεις εισόδους: τα X1, X2 που προέρχονται από το κύκλωμα ελέγχου

εστίασης και τα X3, X4 που προέρχονται από το πλήκτρο του φωτοφράκτη παίρνοντας τις τιμές του πίνακα:

X3 X4 Κατάσταση

0 0 Αδράνεια

0 1 Πάτημα του πλήκτρου ελαφρά

1 0 Πάτημα του πλήκτρου τελείως

και παράγει τρεις εξόδους Z1, Z2 και Z3 (άνοιγμα φωτοφράκτη). Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα:

α. Καταστρώστε τον πίνακα αληθείας του κυκλώματος.

β. Χρησιμοποιήστε χάρτες Karnaugh για την ελαχιστοποίηση των συναρτήσεων.

γ. Σχεδιάστε το ελαχιστοποιημένο κύκλωμα.

ΜΕΡΟΣ 5ο : Ασκήσεις σε MSI40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58. Το ψηφιακό θερμόμετρο που αγοράσατε δυστυχώς παράγει τη θερμοκρασία μόνο στη κλίμακα Kelvin. Σας

δίνει δηλαδή στην έξοδο το δυαδικό αριθμό Κ ακρίβειας 16 δυαδικών ψηφίων. Ζητείται να σχεδιάσετε το λογικό διάγραμμα ενός κυκλώματος που θα παίρνει ως είσοδο το Κ και θα παράγει τη θερμοκρασία στη κλίμακα Fahrenheit. Το κύκλωμά σας θα δίνει στην έξοδο τον αριθμό F, 16 δυαδικών ψηφίων. Υπενθυμίζεται ότι ισχύει F ≈ 2 x (K – 273) + 32. Στο διάγραμμά σας θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε ΜΟΝΟ κυκλώματα παράλληλης πρόσθεσης ή παράλληλης αφαίρεσης των 8 δυαδικών ψηφίων. Για κάθε σταθερά που θα χρησιμοποιήσετε θα πρέπει να φαίνονται καθαρά οι τιμές κάθε δυαδικού της ψηφίου.

59. Διαθέτετε ολοκληρωμένα 7485 (ακολουθεί το σχηματικό - για λεπτομέρειες λειτουργίας δες διαφάνειες)

και έως 5 λογικές πύλες των 2 εισόδων. A3

A2

A1

A0

Είσοδος Α

Β3

Β2

Β1

Β0

Είσοδος ΒΙ Α>Β

Ι Α=Β

Ι Α<Β

Ο Α>Β

Ο Α=Β

Ο Α<Β

Σας δίνονται οι αριθμοί Χ, Υ, Ζ των 4 δυαδικών ψηφίων. Δώστε λογικά διαγράμματα για κύκλωμα : i. Που παράγει 1 όταν Χ = Υ = Ζ και 0 αλλιώς ii. Που παράγει 1 όταν Χ > Υ, Ζ και 0 αλλιώς

iii. Που παράγει 1 όταν Χ > Υ > Ζ και 0 αλλιώς

60.

61.

Άσκηση 1 (2,0 μονάδες) Δίνεται η F(w,x,y,z) = w΄xy + wz + xyz + x΄

a. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά άλγεβρα Boole, να : i. Εκφράσετε την F ως γινόμενο αθροισμάτων, (0,7)

ii. Εκφράσετε την F ως κανονικό άθροισμα. (0,5) b. Να απλοποιήσετε την F με χάρτη Karnaugh ξεκινώντας από τη μορφή που βρήκατε στο a.ii (0,4) c. Nα υλοποιήσετε την F μόνο με πύλες NOR. (0,4)

Άσκηση 2 (4,5 μονάδες) Για το κύκλωμα του ακόλουθου σχήματος, ζητούνται :

a. Να δώσετε περιγραφή του σε Verilog, (1,2) b. Να αναπτύξετε σε Verilog ένα testbench module που θα επιβάλλει στο a. τα διανύσματα a=c=0

b=d=1, a=b=d=1 c=0 και a=c=1 b=d=0. (1,0) c. Να δώσετε τον πίνακα αληθείας για τις F και G. (0,8) d. Διαθέτετε μόνο έναν αποκωδικοποιητή και 2 συνολικά πύλες OR ή NOR. Ζητείται με αυτά να

δώσετε ισοδύναμο με το δοθέν κύκλωμα

FA

a b d

scMux

4->1

21 20

GI0

I1

0

I2

I3

1

FA

1e

scF

Άσκηση 3 (2,0 μονάδες) Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα ψηφιακό σύστημα το οποίο να δέχεται ως είσοδο τις δυαδικές εξόδους τεσσάρων αισθητήρων Α, Β, C και D, και να διαθέτει δύο εξόδους F και G.

• Η F πρέπει να τίθεται στο 1 όταν: ⋅ Οι αισθητήρες Α και D έχουν την τιμή 1 ή ⋅ Οι αισθητήρες Β και C έχουν την τιμή 1 και ταυτόχρονα ο αισθητήρας D έχει την τιμή 0.

• Η G πρέπει να τίθεται στο 1 όταν: ⋅ Όλοι οι αισθητήρες έχουν την τιμή 1 ή ⋅ Ο αισθητήρας Α έχει τιμή διαφορετική από αυτή του C ή ⋅ Οι αισθητήρες Β και D έχουν την ίδια τιμή.

Να σημειωθεί ότι οι αισθητήρες A και Β δεν μπορούν να λάβουν ταυτόχρονα την τιμή 0. Το ίδιο ισχύει και για τους αισθητήρες C και D. Ζητούνται :

a. Ο πίνακας αληθείας του συστήματος, b. Υλοποίηση με τον ελάχιστο αριθμό πυλών 2 εισόδων και αντιστροφέων, c. Υλοποίηση αποκλειστικά με πολυπλέκτες 2 σε 1 και αντιστροφείς.

Άσκηση 4 (1,5 μονάδες) Έχετε στην διάθεσή σας παράλληλους αθροιστές των 4 δυαδικών ψηφίων και πολυπλέκτες 2 σε 1, που προσφέρουν χειρότερες καθυστερήσεις εξόδου 10 και 1ns αντίστοιχα. Ζητείται να σχεδιάσετε έναν αθροιστή των οκτώ δυαδικών ψηφίων, με χειρότερη καθυστέρηση μικρότερη των 12ns.