Φυσική ΙΕνότητα 0: Εισαγωγή

Κωνσταντίνος Κουρκουτάς

Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

0. Εισαγωγή

0.1 Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη

0.1.1 Μονόμετρα μεγέθη

Μονόμετρα μεγέθη είναι εκείνα, που ορίζονται πλήρως από την τιμή τους. Η μάζα είναι μονόμετρο μέγεθος, γιατί η τιμή της π.χ. 3kg καθορίζει ακριβώς την ποσότητα ύλης, που περιέχει ένα σώμα ανεξαρτήτως της θέσης, ή της διεύθυνσης του στο χώρο. Άλλα παραδείγματα μονόμετρων μεγεθών είναι η ενέργεια, η ισχύς, η θερμοκρασία, ο χρόνος, το δυναμικό και το ηλεκτρικό φορτίο.

0.1.2 Διανυσματικά μεγέθη

Διανυσματικά μεγέθη είναι εκείνα, στα οποία έχει έννοια να δώσουμε-πλην της τιμής τους-διεύθυνση και φορά, γιατί αν αλλάξουμε ένα από αυτά, τότε αλλάζει και το αποτέλεσμα. Παραδείγματος χάρη η μετατόπιση ενός σώματος είναι διάνυσμα, γιατί αν αλλάξουμε τη διεύθυνση της, τότε το σώμα θα βρεθεί σε άλλη τελική θέση. Μερικά άλλα παραδείγματα διανυσμάτων είναι η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η δύναμη, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, η γωνιακή ταχύτητα και η ροπή δύναμης, αν και τα δύο τελευταία παρουσιάζουν, όπως θα γνωρίσουμε, μιαν ιδιαιτερότητα.

Παραστατικά τα διανύσματα συμβολίζονται με ένα βέλος, όπως στο σχήμα 1. Το μήκος του βέλους είναι ανάλογο του μέτρου, δηλαδή της τιμής του μεγέθους, που εκπροσωπεί το διάνυσμα. Η διακοπτόμενη ευθεία είναι η διεύθυνση του διανύσματος, ενώ η άκρη του βέλους δηλώνει τη φορά του.

1

2

0.2 Πράξεις μεταξύ μεγεθών

0.2.1 Γινόμενο μονόμετρου επί διανυσματικό μέγεθος

Το γινόμενο ενός μονόμετρου μεγέθους επί διανυσματικό, δίνει διανυσματικό μέγεθος ίδιας διεύθυνσης. Το μέτρο του γινομένου είναι ίσο προς το γινόμενο της τιμής του μονόμετρου μεγέθους επί το μέτρο του διανύσματος. Αν το μονόμετρο μέγεθος έχει θετική τιμή, τότε η φορά διατηρείται. Αν είναι αρνητική, τότε αναστρέφεται. Παράδειγμα γινομένου θετικού μονόμετρου μεγέθους επί διανυσματικό είναι η ορμή

p→

ενός σώματος, που ορίζεται ως το γινόμενο της μάζας m επί την ταχύτητα v→

.

Αυτό εικονίζεται στο σχήμα 1 σελίδα 2. Στο σχήμα 2 σελίδα 2 το μέγεθος E→

είναι η

ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Η δύναμη F→=−q E

→

που ασκείται στο αρνητικό φορτίο –q έχει φορά αντίθετη της έντασης.

1 2 3

Για τη διεύθυνση και τη φορά πηλίκου διανυσματικού μεγέθους με μονόμετρο ισχύει ότι και για το γινόμενο. Το μέτρο του είναι εδώ ίσο προς το πηλίκο του μέτρου του διανυσματικού προς την τιμή του μονόμετρου μεγέθους. Μια ειδική περίπτωση είναι

αυτή, που εικονίζεται στο σχήμα 3 . Εδώ το διάνυσμα a→

διαιρείται με το μέτρο του a.

Το αποτέλεσμα είναι το μοναδιαίο διάνυσμα i¿

¿, που έχει μέτρο i=1 και είναι αδιάστατο.

0.2.2 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων

Το άθροισμα των διανυσμάτων a→

και b→

δίνει ένα τρίτο διάνυσμαc→

. Στο σχήμα 4 εικονίζονται τα δύο διανύσματα. Η γωνία μεταξύ τους είναι φ. Για να τα προσθέσουμε

εφαρμόζουμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου: η συνισταμένη c→

είναι η

διαγώνιος του παραλληλογράμμου με πλευρές τα a→

και b→

. Εναλλακτικά θέτουμε

την αρχή του b→

στο πέρας του a→

και λαμβάνουμε τη συνισταμένη τους c→

όπως

εικονίζεται στο σχήμα 5 . Με τη βοήθεια του σχήματος 6 διαπιστώνουμε ότι αν αλλάξουμε τη σειρά άθροισης, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Αυτή η ιδιότητα είναι η:

3

μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων a→+b

→=b

→+a

→

2−1

4 5 6

Για το μέτρο και τη διεύθυνση της συνισταμένης έχουμε:

μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων c=√a2+b2+2abcosφ 2−2

διεύθυνση συνισταμένηςθ=arctan b sin θ

a+bcos θ 2−3

Σημείωση: Η μεταθετική ιδιότητα μιας πράξης, δηλαδή η σειρά των όρων με την οποία την εκτελούμε, δεν είναι αυτονόητη ιδιότητα όλων των μεγεθών. Στο επόμενο παράδειγμα θα δούμε ότι η στροφή κατά μια γωνία δεν ικανοποιεί τη μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης.

Στο σχήμα 1 σελίδα 3 στρέφουμε το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κατά 90o

πρώτα πέριξ του άξονα x και μετά πέριξ του άξονα y. Στο σχήμα 2 σελίδα 3 αλλάζουμε τη σειρά των στροφών. Όπως παρατηρούμε, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο δεν καταλλήγει στην ίδια θέση. Η στροφή περί έναν άξονα δεν είναι επομένως διανυσματικό μέγεθος, γιατί δεν ικανοποιεί τη μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης.

4

1

2

Η διαφορά c→

των διανυσμάτων a→−b

→

, που εικονίζονται στο σχήμα 3 ανάγεται στο

άθροισμα a→+(−b→ )

, όπως εικονίζεται στο σχήμα 4 . Το μέτρο είναι:

3 4

μέτρο διαφοράς διανυσμάτων c=√a2+b2−2ab cos φ 3−1

0.2.3 Γινόμενο διανυσμάτων

Το γινόμενο διανυσμάτων ορίζεται κατά δύο τρόπους.

5

Εσωτερικό, ή αριθμητικό γινόμενο. Στο σχήμα 3 εικονίζονται τα διανύσματαa→

,

b→

. Η γωνία μεταξύ τους είναι φ. Ορίζουμε ως εσωτερικό, ή αριθμητικό γινόμενο

a→⋅b→

το μονόμετρο μέγεθος λ:

εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτωνa→

, b→λ=a

→⋅b→=abcosφ 3−2

Για το εσωτερικό γινόμενο ισχύει εξ ορισμού η μεταθετική ιδιότητα:

μεταθετική ιδιότητα εσωτερικού γινομένου a→⋅b→=b

→⋅a→

4−1

Το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος a→

επί τον εαυτό του δίνει το τετράγωνο

του μέτρου του: a→⋅a→=a2

Παράδειγμα φυσικού μεγέθους, που προκύπτει ως εσωτερικό γινόμενο είναι το έργο δύναμης. Άλλα φυσικά μεγέθη, που προκύπτουν από εσωτερικά γινόμενα είναι η παροχή, η ηλεκτρική και η μαγνητική ροή.

Συχνά το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a→

, b→

συμβολίζεται και ως (a→

, b→

).

Εξωτερικό, ή διανυσματικό γινόμενο: Στο σχήμα 1 εικονίζονται τα διανύσματαa→

,

b→

. Η γωνία μεταξύ τους είναι φ. Ορίζουμε ως εξωτερικό, ή διανυσματικό γινόμενο

a→x b

→

το διάνυσμα c→

με μέτρο:

μέτρο εξωτερικού γινομένου των διανυσμάτων a→

, b→c=ab sinφ 4−2

6

1 2

Η διεύθυνση του γινομένου c→

είναι κάθετη στο επίπεδο τωνa→

,b→

. Η φορά ορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία ως εξής. Λαμβάνουμε ένα δεξιόστροφο

κοχλία και τον διευθύνουμε κάθετα στο επίπεδο τωνa→

, b→

όπως στο σχήμα 1 .

Στρέφουμε τον κοχλία όπως πρέπει να στρέψουμε το πρώτο εκ των a→

, b→

-εν

προκειμένω το a→

-για να ευθυγραμμιστεί με το δεύτερο, δηλαδή το b→

. Αυτή η στροφή γίνεται κατά τη μικρότερη γωνία. Για τη διάταξη του σχήματος 1 ο κοχλίας

κινείται προς τα επάνω. Αυτή είναι και η φορά του γινομένου c→

. Στο σχήμα 2

εικονίζεται ένας ισοδύναμος τρόπος εύρεσης της φοράς του γινομένουc→

. Θεωρούμε

ότι το b→

περιστρέφει τοa→

. Η φορά του c→

ορίζεται από τη φορά κίνησης του κοχλία,

ο οποίος στρέφεται ομόρροπα με το a→

.

Αν επιλέξουμε ως πρώτο το διάνυσμα b→

, τότε στρέφουμε το b→

κατά τη γωνία φ,

ώστε να ευθυγραμμιστεί με το a→

. Στην περίπτωση αυτή όμως ο κοχλίας κινείται

προς τα κάτω, επομένως η φορά του c→

αναστρέφεται. Στο εξωτερικό γινόμενο ισχύει επομένως η:

αντιμεταθετική ιδιότητα εξωτερικού γινομένου a→x b

→=−b

→xa

→

5−1

7

1 2

3

Το εξωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος a→

επί τον εαυτό του είναι ίσο προς μηδέν:

a→x a

→=0

Στο σχήμα 1 εικονίζονται τα τρία μοναδιαία διανύσματα i¿, j

¿ , k¿¿

¿

¿ ανά δύο κάθετα μεταξύ τους. Βάσει του ορισμού του εξωτερικού γινομένου βρίσκουμε ότι:

i¿ x j

¿= k¿¿

¿

¿ j¿ x k

¿= i¿¿

¿

¿ k¿ x i

¿= j¿¿

¿

¿

i¿ x j

¿x i^¿= j¿¿

¿

¿

¿ i¿ x j

¿x j^¿=− i¿

¿

¿

¿

¿ i¿ x j

¿x k¿=0

¿

¿

¿

Μερικά μεγέθη, που προκύπτουν ως εξωτερικό γινόμενο, είναι η ροπή δύναμης, η στροφορμή και η μαγνητική επαγωγή. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου στο

σχήμα 2 A=absinφ είναι το μέτρο του γινομένου A→=a

→xb

→

. Το διάνυσμα A→

εκπροσωπεί την αντίστοιχη επίπεδη επιφάνεια. Επίσης ο όγκος V του

παραλληλεπιπέδου του σχήματος 3 , που ορίζεται από τα διανύσματα a→

, b→

, c→

είναι ίσος προς το μεικτό γινόμενο V=(a→xb

→)⋅c

→

Συχνά το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a→

, b→

συμβολίζεται και ως [ a→, b→].

8

Σημείωση: Σε αντίθεση με τα διανύσματα-όπως η ταχύτητα, ή η δύναμη-τα οποία έχουν εκ του αποτελέσματος τους αυτονόητη διεύθυνση και φορά, στα μεγέθη που προκύπτουν από εξωτερικά γινόμενα, η διεύθυνση και η φορά δεν είναι αυτονόητες, αλλά ορίζονται βάσει ενός συμβατικού κανόνα, δηλαδή τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Τα πρώτα ονομάζονται πολικά διανύσματα, ή απλώς διανύσματα, ενώ τα δεύτερα ψευδο-διανύσματα, ή αξονικά διανύσματα.

9

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

10

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Κωνσταντίνος Κουρκουτάς, 2014. Κωνσταντίνος Κουρκουτάς. «Φυσική Ι. Ενότητα 0: Εισαγωγή». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr.

Σημείωμα Αδειοδότησης

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων».

Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του

έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή

πρόσβαση στο έργο• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο

οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

11

Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων

© Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του.

διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

διαθέσιμο ως κοινό κτήμα

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους

συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

12