Oι Διαλέξεις 5-10, Εφαρμοσμένων Μαθηματικών.
35
Διιεληθό Αλνηθηό Παλεπηζηήκην Καξηώηνπ Φσηεηλή | ΜΣΜ60 1 ΔΕΚΑ ΔΙΑΛΕΞΕΙ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Τν ηκήκα απηό ηεο ύιεο έρεη σο θύξην ζθνπό λα κειεηήζνπκε ηελ έλλνηα ηεο ζπδπγίαο ελόο ηειεζηή θαη ηηο εθαξκνγέο ηεο, κε ζεκαληηθόηεξε ηελ ρξήζε ηεο ζην ελαιιαθηηθό ζεώξεκα Fredholm. 5 ε δηάιεμε Έρνπκε ζπλαληήζεη ηελ βαζηθή εμίζσζε ζηηο παξαθάησ κνξθέο: ax b όηαλ x,a,b A x b όηαλ n x θαη mn A M θαη m b Lu f x x όηαλ u X θαη f Y όπνπ νη X ,Y θαηάιιεινη ζπλαξηεζηαθνί ρώξνη. Έρνπκε νξίζεη ηηο ηδηόηεηεο πνπ έρνπλ ηα ζηνηρεία ησλ ζπλαξηεζηαθώλ ρώξσλ θαζώο θαη ηηο πξάμεηο θαη ηηο ηδηόηεηεο ησλ πξάμεσλ κεηαμύ ησλ ζηνηρείσλ θαζελόο ρώξνπ ρσξηζηά θαη κεηαμύ ησλ ζηνηρείσλ απηώλ θαη ησλ αξηζκώλ ηνπ ζώκαηνο F πνπ ζπκπιεξώλνπλ ηελ έλλνηα ηνπ δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ X,F, , ή Y,F, , κε F ή F . Έρνπκε νξίζεη έλαλ ηξόπν λα κεηξάκε απνζηάζεηο εληόο ελόο ζπλαξηεζηαθνύ ρώξνπ θαη απηόο, ελζσκαηώλνληαο ηηο αιγεβξηθέο ηδηόηεηεο ηνπ δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ, νξίδνληαο ηε norm ηνπ δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ X u γηα θάζε u X ή Y f γηα θάζε f Y . Έρνπκε νξίζεη ηξόπν λα κεηξάκε γσλίεο θαη λα εθηηκνύκε ηελ νξζνγσληόηεηα κεηαμύ ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ζπλαξηεζηαθνύ ρώξνπ, νξίδνληαο ην εζσηεξηθό γηλόκελν u,v γηα θάζε u,v X ή αθόκα γηα u X ,v Y , αλ νη ρώξνη έρνπλ κε θελή ηνκή. Έρνπκε αθόκα κηιήζεη γηα ηνλ γξακκηθό ηειεζηή L σο γξακκηθή απεηθόληζε κεηαμύ δύν ζπλαξηεζηαθώλ ρώξσλ, ή γεληθόηεξα, κεηαμύ δύν δηαλπζκαηηθώλ ρώξσλ. Αθόκα, νξίζακε ηη ζεκαίλεη ε ζύγθιηζε αθνινπζίαο σο πξνο δνζκέλε κεηξηθή ζην ζπλαξηεζηαθό ρώξν X ή ζηνλ Y θαη κέζσ απηήο, νξίζακε ηε ζπλέρεηα ηεο αθνινπζίαο θαζώο θαη ηε ζπλέρεηα ηνπ ηειεζηή L . Μέζσ ηεο ζπλέρεηαο νξίζακε ην θξαγκέλν ηειεζηή θαη ηόηε κπνξέζακε λα νξίζνπκε ηε norm ηνπ (θξαγκέλνπ) ηειεζηή, σο 0 Y u X X u Lu L sup u Σηε ζπλέρεηα ζα εζηηάζνπκε ζηελ πξάμε ηνπ βαζκσηνύ πνιιαπιαζηαζκνύ , , X F x x θαη ζα δεηήζνπκε λα γεληθεύζνπκε ηηο ηδηόηεηεο ηεο πξάμεο απηήο όηαλ ν αιγεβξηθόο πνιιαπιαζηαζκόο γίλεη νπνηνζδήπνηε γξακκηθόο ηειεζηήο.
description
Oι Διαλέξεις 5-10, Εφαρμοσμένων Μαθηματικών.
Transcript of Oι Διαλέξεις 5-10, Εφαρμοσμένων Μαθηματικών.
-
| 60
1
,
Fredholm.
5
:
ax b x,a,b
A x b nx m nA M mb
Lu fx x u X f Y
X ,Y .
F
X ,F , , Y ,F, ,
F F .
,
, norm X
u u X Y
f
f Y .
,
u,v u,v X u X ,v Y , .
L
, , .
,
X Y ,
L .
norm () ,
0
Y
u XXu
LuL sup
u
, , X F x x
.
-
| 60
2
x norm,
x x .
Lx norm
x L , norm L L
.
, ,
, , , x y x y x y ,
,
F ,
, , , x y x y x y ,
, , , .
.
X ,Y H
L,
,
L
*, ,L Lx y x y , Hx y
, D L L D L
L D Lx D Ly .
D L D L L *, ,L Lx y x y D Lx
D Ly L .
D L D L L L .
o
,
.
-
| 60
3
: ,
( ),
( ) .
L , ,L Lx y x y , D Lx y
.
:
*, ,L Lx y x y L L D Lx D Ly
D L D L L .
*, ,L Lx y x y L L D Lx D Ly
D L D L L .
! , ,
,Lx x ,
, .
5.4 ( , .45)
ijA a ija
TA A
.
A ,
.
*T
A A , , A
.
T
T
ija A A . , * TA A ,
* TA A A (1)
A : A x x , V x
*, ,A x Ax y y
( )
, Tx A y ( ija )
-
| 60
4
, A x y ()
,x y ()
,x y ( )
, ,y x x y ()
, , x y x y ( )
, 0 x y 0 ( , 0x y x y )
Re 0 Im .i
5.3
*AA nA M .
)
*AA .
* *
* * * *AA A A AA .
)
*AA ,
* , 0 AA x x x
* * *, ,AA A Ax x x x ( ) 2
* 0A x ( norm ,x x x )
*AA
.
-
| 60
5
.
3
3
d uf x
dx ,x a b
'' 0 ''u a u a u b u b
' ' 1u a u b
1) L ; 3
3
dL
dx
L
3 , : 0, ' ' , '' '' 0D L u a b u a u b u a u b u a u b
,C a b .
,Lu f x u D L
, ,
f C a,b .
2) *L L , , ,
, , *Lu v u L v u D L *v D L .
, .
*D L D L .
3) , ?Lu v ;
.
*L
.
,b
a
f g f x g x dx .
,Lu v Lu v d
x x x 3
3
d uv d
dx
x x
u L
-
| 60
6
, '' '' 'b
b
aa
Lu v u x v x u x v x dx
'' ' ' ' ''b
b b
a aa
u x v x u x v x u x v x dx
'' ' ' '' ''b
b b
a aa
u x v x u x v x u x v x u x v x dx
'' ' ' '' , '''b
au x v x u x v x u x v x u v .
, '' ' ' ''J u v x u x v x u x v x u x v x
b b
a aLu,v J u,v x u, v''' Lu,v u, v''' J u,v x .
3
3*
dL
dx
b
aLu,v u,L v J u,v x
, 0b
aJ u v x
(1)
u,v D L 0Lu,v u,L v u,v D L 3
3*
dL
dx D L D L L .
, , 0b
aJ u v x u,v D L
, 0b
aJ u v x u D L v D L
D L D L , L L .
(1) u D L :
, 0 1 ' 0 '' 0 1 ' 0 '' 0b
aJ u v x v b v b v b v a v a v a
' ' 0 ' 'v b v a v a v b (3)
L (3), 3
3*
dL
dx
L .
(1) ' ' , 0b
av a v b J u v x ,
3
3*
dL
dx
.
-
| 60
7
, L 3
3
dL
dx ,
,b
a
f g f x g x dx , 3
*
3
dL
dx
* 3 , :D L v C a b v a v b . (1)-(3),
3
3
d vg x
dx ,x a b v a v b
g C a,b .
8
1
2
2DL
t x
2 : , , 0 0, ,0 0 , , lim 0Tt
D L U u C u a t u b t t u x x a b u
0T 0
,
b T
x a t
u u dxdt
.
DL .
2
2
0
,
b T
D
x a t
u uL u v dtdx
t x
2
2
0 0
b T T b
x a t t x a
u udtdx dxdt
t x
( )
0
0
b TT
t
x a t
uu dt dx
t
0
bT b
at x a
u udx dt
x x x
0
, ,
b b Tu U
x a x a t
u x T x T dx udtdxt
2
2
0 0
,, ,
bT T b
at t x a
u b u a tb t a t dt u u dx dt
x x x x
2
2
0
b T
x a t
udxdtt x
0
,, , , , ,
b T
x a t
u b t uu x T x T dx b t a t a t dt
x x
-
| 60
8
, T ,
, ,DL u u A
0
,, , ,
t
u b t ub t a t a t dt
x x
(1)
2 : , , 0 0, ,0 0 , , lim 0t
U C a t b t t x x a b
, , ,DL u Au 2
*
2 DA L
t x
DL .
2
*DL , 2- (
9.5, 97) 22
21
D
i i
Lt x
, 1 2, ,x x tx
u
2 : , 0 ,Tu C u t x xA= ,0 0 u x x lim , 0 t
u t
x x
0T , 2 ,
,
, , ,
Tt
u u t t dv dt
x
x x x .
*DL *, ,D DL u u L .
,DL u ,
,u A . *A L .
22
21
,
Ti i
uLu u dv dt
t x
x
22
21i it t
udtdv u dv dt
t x
x x
,0 ,0t
u dv u dv dtt
x x x x x
2
1i i i it t
u udv dt dvdt
x x x
xx
u A , .
-
| 60
9
2 2
1 1
,
Ti ii i it t
u uLu u dvdt dvdt ds dt
t x x x
22 2
21 1i ii i it t t
uu dvdt u ds u dv dt dv dt
t x x x
22 2
21 1i ii it t t
uu dvdt u dv dt dv dt
t x x
22 2
21 1i ii it t
uu dvdt dv dt
t x x
2
*
1
,i it
uu L v dv dt
x
2 : , 0 ,TC t x xA =
,0 0 , lim , 0 t
t
x x x x A
, 22
*
21i i
Lt x
L,
A A .
:
1) L , *L L
2) t
. ,
.
3) A ,
*, , 0Lu v u L v *L L (, 9).
4)
, -
L ,
, , A .
, , ,
n n .
-
| 60
10
F
, A * TA A
( ,F ,
* TA A ).
A *A A
o F : TA A :
o F : TA A :
3
u x u x f x 0 2x , (1)
0 2u u a (2)
0 2u u b (3)
a,b 0ab f
0 2, .
) L ,
.
) L L
L .
) Fredholm
a b . (
)
) (1)-(3) 2
2
dL I
dx ,
,
A D L 2 0,2 : 0 2 ' 0 ' 2u C u u a u u b
) *L L
, , *Lu v u L v u A *v D L , (4)
*L (4)
u D L .
-
| 60
11
*L
*D L D L , , *L L . ,
*L L .
*L L *D L D L , L *L L
*D L D L , L .
2
0
,Lu v Lu x v x dx
2
0
''u x u x v x dx
2 2
2
00 0
' ' 'u x v x u x v x dx u x v x dx
' 2 2 ' 0 0 2 ' 2 0 ' 0u v u v u v u v 2
0
''u x v x v x dx
2(3)
0
' 0 2 ' 0 0 0 ' 2 0 ' 0 ''b u v u v a u v u v u x v x v x dx
2
0
2 ' 0 2 0 ' 2 0 ' 2 ' 0 ''bv u v v av u v v u x v x v x dx
2
2*
dL I
dx L .
2* 0,2 : 0 2 ' 2 ' 0a a
D L u C v v v vb b
*L L *D L D L L
.
(1)-(3) .
v'' x v x g x 0 2x , (4)
0 2v v (5)
0 2v' v' (6)
0 ' 0a
v vb
(7)
-
| 60
12
6
FREDHOLM
:
T x b (1)
T
A x b (2)
A T
.
I) A x b
:
, (2) , b
R A , A .
(, A
, A x b 1 2,x x
1
2
x
x
b 1 2 1 2x x x x
b b )
Fredholm
*KerA
b ,
:
o *A TA o *A v 0
v
*KerA
o *0 KerA b v v ,
, A x b (
!)
:
, KerA 0 ,
A x 0 .
-
| 60
13
6.3 i
A x b ,
1 2
1 3
2 5
A
b
A x b .
1. *R A KerA
b .
1
R A , *A .
A , * TA A .
*KerA *A x 0 .
* TA Ax x
1
2
3
1 1 2 0
2 3 5 0
x
x
x
1 2 3
1 2 3
2 0
2 3 5 0
x x x
x x x
1 2 3
2 3
3
2x x x
x x
x c
1
2 3 3
3
1
1 ,
1
x
x x x
x
*1
1 ,
1
KerA c c
.
, KerA
* 31
: 1 0
1
KerA
y y ,
1
1 0
1
y1 2 3 0y y y
1 2 3
2 2
3 3
y c c
y c
y c
-
| 60
14
2 3 2 3
1 1
1 0 , ,
0 1
c c c c
y
* 2 3 2 31 1
: 1 0 , ,
0 1
R A KerA c c c c
y y
2
1
1 2
2
1 2
1 3
2 5
xA x x
x
1 2
1 , 3
2 5
R A span
.
1 2
1 3
2 5
.
: 1 2
3 2 01 3
. .
: R A *KerA ;
:
1 2
1 , 3
2 5
*KerA
,
1 1
1 0
0 1
, 1 1 2, ,
,
.
A x b , b R A ,
2 3,c c 2 3
1 1
1 0
0 1
c c
b b
1 1
1 , 0
0 1
.
-
| 60
15
2. .
KerA 0
2 :KerA x A x 0
A x 01
2
1 20
1 30
2 5
x
x
1 2
1 2
1 2
2 0
3 0
2 5 0
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
2
3
5
2
x x
x x
x x
1 2
00
0x x
x
KerA 0 A x b .
*KerA
b ;
A x b .
; ,
x A x b ;
b
*KerA
, , *1 KerA
b
, *2 KerAb , , 1 2 b b b .
-
| 60
16
1A x b , ,
Fredholm. 1x , ,
1 1 2A x b b b 1 2 0A x b b .
, ,x A x b
, x ,
1 2 2 ,A A x b x b b b
1x x , A x b 2b , ,
1x x A x b ,
2b :
2 1Ax A b b x b .
1x x (1), ,
norm 2
1
n
i
i
x
x .
, 1 2 b b b ,
A x b , 1A x b .
, * *A A Ax b .
A x b .
;
, ,
1 2 b b b *1 KerA
b *2 KerAb
*2A b 0
,
* * * *2 1 10A A A A b 0 b b b b
, * * *1A A A A x b b .
*1 KerA
b , 1A x b , ,
A x b , 1x x .
* *1 !A A Ax b
, , *A b
*A .
, , *Ker A A 0 .
-
| 60
17
II) T x b , T : V V ,
V .
R T T *T T .
FREDHOLM
: *R T KerT
T x b
1. : *KerT
b
: *KerT 0 R T V
Vb .
2. : KerT 0 .
1
( 3, .10),
.
u x u x f x 0 2x , (1)
0 2u u a (2)
0 2u u b (3)
a,b 0ab f
0 2, .
Fredholm
a b .
(1)-(3)
2
2
dL I
dx , ,
A D L 2 0,2 : 0 2 ' 0 ' 2u C u u a u u b
L 2
2*
dL I L
dx .
-
| 60
18
2* 0,2 : 0 2 ' 2 ' 0a a
D L u C v v v vb b
(1)-(3)
v'' x v x g x 0 2x , (4)
0 2v v (5)
0 2v' v' (6)
0 ' 0a
v vb
(7)
Fredholm *KerL R L
R L
L
0,2 : ,R L f C Lu x f x u A .
, (1),(2),(3) f
*KerL .
* * : * 0KerL v D L L v
0v'' x v x 0 2x , (8)
0 2v v (9)
0 2v' v' (10)
0 ' 0a
v vb
(11)
(8)-(11)
cos sin ,v x c a x b x c
* cos sin , 0,2 ,KerL v x c a x b x x c
(1)-(3) ,a b , 0v f
2
0
cos sin 0f x a x b x dx
2 2
0 0
cos sin 0a f x xdx b f x xdx
-
| 60
19
2
(.5),
.
3
3
d uf x
dx a x b
0u a u b
' ' 1u a u b
'' '' 0u a u b
3
3*
dL
dx
.
3
30
d v
dx ' 'v a v b
, ,
.
( )
*KerL .
*f x KerL
v * 0L v .
21 2 3v x c x c x c
1 2' 2v x c x c
1 2 1 2' ' 2 2v a v b c a c c b c 1 10 0c a b c .
2 3v x c x c
2 3 2 3* ,KerL v x c x c c c
*f KerL
1 2, 0 0b
a
f v f x c x c dx
(*)
-
| 60
20
2
2
d dL p x q x r x
dx dx
2p,q,r C a,b , 2C a,b
. L ,
b
a
f ,g f x g x dx ,
2
22
d dL p x p x q x p x q x r x
dx dx
,
b
b
aa
v x Lu x u x L v x dx J u,v x (1)
J u,v x q x p x u x v x p x W u,v x
W u,v x Wronski u,v .
*L L ,u v
L *L ,
*, ,Lu v u L v ,u v .
,b
a
Lu v Lu x v x dx '' 'b
a
p x u x q x u x r x u x v x dx . (2)
, 'b
x aLu v p x u x v x q x u x v x
' ' 'b b
a a
p x v x u x q x v x u x dx r x u x v x dx
'b
x ap x v x u x q x v x u x
'
b
x ap x v x u x
'' 'b b b
a a a
p x v x u x dx q x v x u x dx r x u x v x dx
, '' 'b
b
x aa
J u v p x v x q x v x r x v x u x dx
(3)
, ' ' 'b b
x a aJ u v p x v x u x q x v x u x p x v x u x p x v x u x
' ' 'b
ap x v x u x v x u x q x p x v x u x
'b
ap x W x q x p x v x u x (4)
-
| 60
21
' ' : ,W x u x v x u x v x W u v x Wronski
u v .
(3)
, , , *b
x aLu v J u v u L v
* '' 'L v p x v x q x v x r x v x
... '' ' 2 ' ' ''p x q x r x v x p x q x v x p x v x
L
2
2* 2 ' '' '
d dL p x p x q x p x q x r x
dx dx .
"" " "
.
,
(
).
.
L
L .
1 11 12 11 12a aBu u a u a u b u b
2 21 22 21 22a aB u u a u a u b u b
11 12 11 12 21 22 21 22a a a a, , , , , , , , ,
.
3, L
2 1 2: 0M u C a,b Bu B u
2 : 0 baM v C a,b J u,v x , u M , J u,v x 3.
M
1 2 0B v B v , 1 2B ,B
1 2B ,B ,
.
, 1 2L,B ,B
L L M M .
-
| 60
22
)
1 2L,B ,B , L 2
2
dL
dx
2 0 1C , 1 2B ,B ,
11 12 11 12a 0 a 1 1 0, , , 21 22 21 22a 0 a 1 0, , .
L L M ,M
.
) 1 2L,B ,B x a,b 2
2
dL
dx
, 11 22a a 1
. 1 2L,B ,B .
, L ,
M M .
)
''u x f x 0,1x (1)
' 0 1 0u u (2)
' 0 0u (3)
2 0,1 , 0,1u C f C ,A B .
L 1p x , 0q x r x ,
0. 1a b 2. *L , 2
*
2
dL L
dx , , , ' 'J u v W u v x u x v x u x v x .
(1)-(3)
Lu x f x 0,1x (4)
2: 0,1 : 1 0, ' 0 0u M u C u u .
(1)-(3) *L L u M *v M *, ,Lu v u L v *M M . *M
*L
*, , 0Lu v u L v , , 2,
1
0, 0J u v ' 1 1 1 ' 1 ' 0 0 0 ' 0 0u v u v u v u v . (5)
(2) (3) (5)
' 1 1 0 ' 0 0u v u v . (6)
-
| 60
23
(1)-(3) , *M M *v M
(6).
, *M * 2 0,1 : 1 0, ' 0 0M M v C v v
*L L *M M *, ,Lu v u L v , (1) - (3) .
) 1 2, ,L B B .
''u x f x ,x a b
0u a
' 0u a .
*M *v M v M
, , 0J u v b J u v a (11)
2
2
dL
dx
, ,J u v x W u v x ' 'u x v x u x v x .
2 , : ' 0u M u C a b u a u a (12)
*v M
, , 0 ' ' ' ' 0J u v b J u v a u b v b u b v b u a v a u a v a
' ' 0u b v b u b v b . (13)
(13) u M ' 0v b v b , *M
* 2 , : ' 0M v C a b v b v b M
* *1 2,B B 1 2,B B .
1 2, ,L B B
-
| 60
24
Green
2
2
d dL p x q x r x
dx dx
2p,q,r C a,b , 2C a,b
L ,
2
22
d dL p x p x q x p x q x r x
dx dx
,
b
a
f ,g f x g x dx ,
b
b
aa
v x Lu x u x L v x dx J u,v x
J u,v x q x p x u x v x p x W u,v x
W u,v x Wronski u,v .
1 11 12 11 12a aBu u a u a u b u b
2 21 22 21 22a aB u u a u a u b u b
11 12 11 12 21 22 21 22a a a a, , , , , , , , ,
.
, G x; Green 1 2L,B ,B ,
Lu x f x 0 1x ,
1 2 0Bu B u
G x; Green 1 2L ,B ,B :
L v x f x 0 1x ,
1 2 0B v B v
) G x; G ;x .
) 1 2L,B ,B ,
, G x; G ;x .
) .
*L L ,,
* ,b
b
aa
v x Lu x u x L v x dx J u v x . (1)
,u x G x Green 1 2, ,L B B
-
| 60
25
,Lu x LG x x , , ,x a b 1 2 0BG B G .
* ,v x G x y Green * * *1 2, ,L B B
* * * ,Lv x LG x y x y , , ,x y a b * * * *1 2 0B G B G .
(1)
* * *, , , ,b b
a a
G x y LG x dx G x LG x y dx *, 0
b
x aJ G G
1 2 0BG B G * * * *
1 2 0B G B G .
* * * *, , , , , , 0b b b b
a a a a
G x y LG x dx G x LG x y dx G x y x dx G x x y dx
* , ,G y G y , , ,y a b
* , ,G x G x .
) 1 2, ,L B B *L L *M M
*i iB B 1,2i .
* , ,G x y G x , ,G y x G x y .
) x
x .
-
| 60
26
Green
u x f x 0 1x , (1)
0 0 0u u (2)
f 0 1, .
i. Green G x,
. :
) L
(1),(2).
) LG x, x 0 1x, , ,
0 x 1x ,
G x, xG x,
x 1
0
1LG x, dx .
) (1),(2).
ii. ) L L.
) Green L .
Green;
) 2
2
dL
dx (1),(2)
2( ) 0,1 : 0 ' 0 0D L u C u u ) Green .
Green (1),(2)
, 0
,0, 1
x xG x x H x
x
0 , 1x (12)
) (1),(2) 1 1
0 0
,u x f G x d f x d
1:
1. (1) : 2
2
du f
d
.
2. G x, 0 1, :
1
Green .
-
| 60
27
1 12
2
0 0
du G x, d f G x, d
d
. (13)
3. :
1 12
1
2 00 0
d du G x, d u G x, u G x, d
d d
1 1 2
2
00
u G x, u G x, u G x, d
.
, ,xxG x x G x x ,
11 12
2
0 00
du G x, d u G x, u G x, u x d
d
1
0
u G x, u G x, u x .
(14)
:
1
0
u G x, u G x,
1 1 1 1 0 0 0 0u G x, u G x, u G x, u G x,
0, 0
,, 1
xG x x H x
x x
.
. 1G x, 1 x , 0 1x ,
1 0 1G x, G x,
.
, 0G x, 0 x , 0 1x ,
0G x, x , 0 1G x,
.
0 0 0u u ,
1
0
0u G x, u G x,
.
, ; (13) (14) ,
1 1
0 0 0
,
x
u x f G x d f x H x d f x d .
-
| 60
28
) *L L , ,
u D L *v D L
1
0
, '' ...Lu v u vdx 1
0
' 1 1 1 ' 1 ''u v u v uv dx (15)
2( *) 0,1 : 1 ' 1 0v D L v C v v 2
2*
dL
dx
L , .
) Green *L
* ,xxG x x 0 , 1x (16)
* 1, 0G 0 1 (17)
* 1, 0xG 0 1 (18)
() (,
) (16)-(18)
* ,G x x H x 0 , 1x (19)
1. *G Green
''u x g x , 0 1x
1 ' 1 0u u
G Green ,
.
2. , (1)-(3)
Green . (15)
, , * ' 1 1 1 ' 1Lu v u L v u v u v (20)
*v G
, * , * * ' 1 * 1, 1 *' 1,Lu G u L G u G u G
1 1
0 0
* , * * , ' 1 * 1, 1 *' 1,Lu x G x dx u x L G x dx u G u G
-
| 60
29
(16)-(18)
1 1
0 0
* , 0Lu x G x dx u x x dx
(1) (19)
1 1
0 0 0
* ,u f x G x dx f x x H x dx f x x dx
, x,
0
x
u x f x d
().
3. (20) Green
.
-
| 60
30
Green L
Green
Lu,v u,v D L
Green
Lu,v u,L v , u D L , v D L .
1
Laplace 23
21i ix
2 : 0 D u C Bu , r r
3
.
Laplace .
u,w u w dv u w dv
r r r r
g g g f f f
uf g w
w u u w u w u w w u u w
u,w w u dv u wdv
Gauss
u,w w u ds u wdv
n (1)
n r
.
(1) Green Laplace.
-
| 60
31
O
(1).
(1) u,w
w,u u w ds w udv
n (2)
(1) (2)
u,w w,u u w ds w u ds u wds w uds
n n n n
w u
u w u w dv u w dsn n
. (3)
(3) Green Laplace.
2
, Green
2
2DL
t x
2 : , , 0 0, ,0 0 , , lim 0Tt
D L U u C u a t u b t t u x x a b u
,
, ,D DL u u L
0
,, , ,
t
u b t ub t a t a t dt
x x
(4)
*2D
Lt x
DL D L D L U .
-
| 60
32
L
Green
L,
.
.
1
Laplace 23
21i ix
2 : 0 D u C Bu , r r
3
.
Laplace 3 ,
1
4E ;
x y
x y E ; x x y x y
w E ;x x y (3),
x
E ; u
u E ; u E ; dv u E ; dsn n
x y xx x y x x y x x x y x
E ; u
u E ; dv u dv u E ; dsn n
x y xx x y x x x y x x x y x
E ; u
u u E ; dv u E ; dsn n
x y xy x x y x x x y x
1 1 1
4u
u u dv u dsn n
xy x x x x
x y x y x y (5)
-
| 60
33
u f x x D x
(5)
1 1 1
4u
u f dv u dsn n
xy x x x x
x y x y x y (6)
y .
(6)
y .
2
:
,t xxu u f x t ,x a b
, , 0u a t u b t
,0 0u x
D t xxL ,
,
2 : , , 0 0, ,0 0 , , lim 0Tt
D L U u C u a t u b t t u x x a b u
, ,
DL *
2DL
t x
D L D L U . ,
Green *DL :
* , 'DL G x y t t
, , 0G a t G b t
, , ; , ,
, ,, ; , , ; ,
D
t
t
L u x t G x t y t u x t x y t t dxdt
u b t u a tG b t y t G a t y t dt
x x
-
| 60
34
, , , ; ,b
t a
u y t f x t G x t y t dxdt
, , ; , , , ; ,x xt
u b t G b t y t u a t G a t y t dt
, .7, 5,
2010-11.
.
(6) y . x
,
x y .
(6) .
(6)
y .
0
y
: x x y .
y (6) ,
,
,
.
0 .
(6) 0 ,
.
,
, .
.
-
| 60
35
R RB
.
,
R RB .
R
R ,
.
