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VorlesungNumerische Methoden der Physik(Modul VNUMP) WS 2011/12 Dozent: Prof. Dr. Marc WagnerA Umsetzung ins LTEX Alexandros Bouras & Jonathan Enders

Korrektor Martin Stein V ersion 0.6(Anmerkungen, Ergnzungen und Fehler bitte melden.) [email protected]

INHALTSVERZEICHNIS

i

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung1.1 Algebra 1.1.1 1.1.2 1.1.3

1

Numerik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2

Ziel: Computer mit Verstand einsetzen (sonst oft sinnlos). . . . . . . Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Computeralgebrasysteme (Mathematica, Maple, ...) . . . . . . . . . .

2

Darstellung von Zahlen und Rundungsfehler2.1 2.2 Ganze Zahlen (integer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleitkommazahlen (rationale Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung von Gleitkommazahlen

33 3 3 3 4 4 4 5

z = S M 2Ee

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Zwei Standardtypen: oat (32 Bits) , double (64 Bits)

Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Gewhnliche DGL s & Anfangswertprobleme3.1 3.2 Physikalische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Euler - Methode 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweckmig: Umschreiben auf ein System von Gleichungen 1. Ordnung Lsung durch Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehelrabschtzung

88 8 8 8 9 14 16 17 22

Runge-Kutta-Verfahren

Dynamische Anpassung der Schrittweite . . . . . . . . . . . . . . . . Alternative Fehlerabschtzung / Schrittweitenanpassung: . . . . . . . Einschub: Dimensionslose Gren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Nullstellensuche, lsen nicht-linearer Gleichungen4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Problemstellung, physikalische Motivation Bisektion (fr 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2424 24 24 25 26 27

N = 1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vor- und Nachteile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sekantenverfahren (fr

N = 1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Newton-Raphson-Verfahren (fr Newton-Raphson-Verfahren (fr

5

Gewhnliche DGL s & Randwertprobleme5.1 5.2 Physikalische Motivation & Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N = 1) N > 1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2828 28 29 32

Shooting Methode5.2.1 5.2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Beispiel: Quantenmechanik, 1D unendlicher Potentialtopf

Beispiel: Quantenmechanik, 1D harmonischer Osziallator . . . . . . .

6

Lsung von linearen Gleichungssysteme6.1 6.2 6.3 6.4 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gau-Jordan-Ellimination (direktes Verfahren) 6.2.1 Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3737 37 38 39 40 40

Gau-Elimination mit Rckwrtssubstitution (direktes Verfahren) . . . . . . LU-Zerlegung (direktes Verfahren) 6.4.1 Crouts Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

INHALTSVERZEICHNIS

ii

6.4.2 6.4.3 6.5 6.6 6.7

Lsen von

Ax = b

mittels LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 41 42 42 42 44 44

Berechnen von det(A) mittels LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

QR-Zerlegung (direktes Verfahren)

Iterative Verbesserung einer Lsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode der konjugierten Gradienten (iteratives Verfahren) 6.7.1 6.7.2 6.7.3 Spezialfall: A sei symmetrisch und positiv denit Verallgemeinerung Konditionszahl einer Matrix, Vorkonditionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Numerische Integration7.1 Eindimensionale Integrale 7.1.1 7.1.2 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Newton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gauss-Quadratur (hier Gauss-Legendre-Integration)

4545 45 46 47 47 47 48

Mehrdimensionale Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschachtelte eindimensionale Integrationen . . . . . . . . . . . . . . Monte-Carlo-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wann ist welches Verfahren geeignet? . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Eigenwertprobleme8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Problemstellung, grundlegende Eigenschaften/Tatsachen . . . . . . . . . . . Prinzipielle Arbeitsweise numerischer Eigenwertverfahren . . . . . . . . . . . Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel: fuer phys. Anwendung: kleine Schwingungen . . . . . . . . . . . . . Bibliotheken fuer Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4949 50 50 52 54

9

Interpolation, Extrapolation, Approximation Datenmodellierung9.1 9.2 9.3 9.4 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kubische Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode der kleinsten Fehlerquadrate (least square) . . . . . . . . . . . . .

5555 56 57 59

2 - Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Funktionsminimierung, Optimierung10.1 Golden Section Search in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Quadratische Interpolation in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Minimumsuche mit Hilfe von Ableitungen in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Simplex-Methode (D 10.5

6263 64 64 64 66 67 67 69

> 1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D > 1-Minimierung

durch wiederholte

1D

Minimierung

. . . . . . . . . . .

10.6 Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Kombinatorische Minimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Kontinuierliche Minimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Monte Carlo-Simulation statistischer Zustandssummen11.1 Ising Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Grundlagen der Monte Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Metropolis-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Heatbath-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Monte Carlo-Simulation des Ising-Modells

6969 70 71 71 72

ii

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

iii

Abbildungsverzeichnis2.1

oat:

mit

S = 1 Bit , E = 8 Bits und NM = 23 Bits ist seine Eigenschaften

folgendermaen determiniert.

Stackoverow: Online in Internet: URL: http://stackoverow.com/questions/2795629/cint-oat-double [Stand 15.11.2011]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2

double

Wikipedia Artikel Doppelte Genauigkeit: Online in Internet: URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Doppelte_Genauigkeit [Stand 15.11.2011]Euler Methode Oszilattors fr kleine

. . .

4 9 11 12 13 13 14 14 15 16 18 19 20 21 23

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Runge-Kutta-Verfahren & die Euler-Methode am Beispiel des Harmonischen

t

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Runge-Kutta-Verfahren & die Euler-Methode am Beispiel des Harmonischen Oszilattors fr weit grere

t

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fehler der Euler-Methode bei wachsener Zeit & Frequenz . . . . . . . . . . . Fehler der Runge-Kutta-Verfahren bei wachsender Zeit & Frequenz Fehler der Runge-Kutta-Verfahren bei wachsender Zeit & Frequenz Fehler der Runge-Kutta-Verfahren bei wachsender Zeit & Frequenz

Abschtzung a Schrittweite . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.10 Nicht-Harmonischer Oszillator in 1D , V(x)=x , n =2,4,6,....

n

. . . . . . .

3.11 Runge-Kutta-Verfahrem zweiter Ordnung aufgetragen mit der Algebraischen

Lsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.12 Runge-Kutta-Verfahrem dritter Ordnung aufgetragen mit der Algebraischen

Lsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.13 Runge-Kutta-Verfahrem vierte Ordnung aufgetragen mit der Algebraischen

Lsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.14 Harmonsicher Oszillator mit Bercksichtigung der Einheiten (oben) und ein-

mal im dimensionslosen Verhltnis4.1

x=

x x0 , t =

t

(unten).

. . . . . . . . .

Sekanten-VerfahrenQuelle: Verndertes de:Bild:Sekantenverfahren Ani.gif, Ursprngliche Version von de:Benutzer:Ralf Pfeifer: URL:http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Ralf_Pfeifer

. . . . . . . . . . . .

25

4.2

Ausschnitte einer Animation des Newton-Verfahren 19.11.2011] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 29 30 32 33 34 35 35

Quelle: Ausfhrliche Animation. Online im Internet: URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Newto 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 RK-Entwicklung bis

t = t2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Scannen der mglichen Eigenwerte

Illustration des Shooting Verfahrens fr die niedrigen drei angeregten Zustnde 31 Newton-Raphson Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundzustand des harmonsichen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shooting Verfahren: Angewendet fr den Harmonischen Oszillator; Randbedingungen ((x

1) = 0

) numerisch nicht realisierbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grobes Scannen der mglichen Energieeigenwerte Grobes Scannen der mglichen Energieeigenwerte

iii

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

iv

5.9

(Nicht-nomierte) Wellenfunktionen der niedrigsten vier Energieeigenzustnde. Jeder Zustand entspricht einer Mode der Wellenfunktion. Der Grundzustand als eine viertel Periodenschwingung, der erste angeregte Zustand als eine halbe Periodenschwingung, der zweite angeregte Zustand als eine dreiviertel Periodenschwingung und zuletzt eine ganze Periodenschwingung des dritten angeregten Zustandes dargestellt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 43 53 56 56 57 59 60 60

6.1 8.1 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

CG- Verfahren fr

N =2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N=10 Massenpunkte (m=Masse) mit Federn (Federkonstante k) verbunden Interpolation von 4 Datenpunkten mit einen Grad-3-Polynom . . . . . . . . Interpolation von 10 Datenpunkten mit einen Grad-9-Polynom . . . . . . . Interpolation von 10 Datenpunkten mit einem kubischen natuerlichen Spline Least squares Approximation von 10 Datenpunkten mit Polynomen von diedrigem Grad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Least squares Approximation von 4 Datenpunkte mit konstantem Ansatz, also f (x, a) = a . . . . . . . . 2 -Fitting von 4 Datenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mit konstantem Ansatz, also

f (x, a) = a

. . .

iv

1

EINLEITUNG

1

1 EinleitungDenition aus Wikipedia:

Die Numerische Mathematik, kurz Numerik genannt, beschftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen fr kontinuierliche mathematische Probleme. Hauptanwendung ist dabei die approximative Berechnung von Lsungen mit Hilfe von Computern.

1.1

Algebra

Numerik

Heutzutage beschftigen sich Physiker in der Regel nicht mehr rein analytisch mit der Physik, sondern sind auf numerische Anstze und Algorithmen angewiesen. Heutzutage werden Computeralgebrasystemen (CAS) Methoden zum Lsen oder Vereinfachen von algebraischer Aufgaben oder Integrale genutzt. Solche Programme knnen nicht nur mit Zahlen rechnen, sondern auch mit symbolischen Ausdrcken wie Variablen, Polynomen und Matrizen. (Wikipedia )

1.1.1

Ziel: Computer mit Verstand einsetzen (sonst oft sinnlos).Schreiben von (Simulations-)Programmen z.B.: in fr wissenschaftliche (auch Industrie wie Autobranche) Anwendungen geeigneten Computersprachen Fortran, C, C++,... Dieses wird speziell auf das zept) Numerik impliziert Gleitkommazahlen was Rundungsfehler mit sich bringt. Diese mssen verstanden bzw. in Kenntnis genommen werden, um die Korrektheit der berechneten Ergebnisse auf eine gewisse Stellenanzahl zu gewhrleisten. Solche numerische Verfahren sind oft Rechenintensiv je genauer man ein Problem numerisch bestimmen will und knnen deshalb je nach Komplexitt Stunden, Tage oder sogar Monate andauern. Oft werden Hochleistungrechner bzw. Systeme eingesetzt, um die Rechenzeit zu verringern welche mehrere Prozesse parallel und schneller bearbeiten knnen. Auerdem ist die Wahl der Algorithmen von entscheidender Bedeutung und nicht zuletzt ist auch eine Codeoptimierung zweckmig. In der Regel ist die Herangehensweise eine Mischung aus selbstgeschriebenen Programmteilen und existierenden numerischen Bibliotheken wie GSL, LAPACK, ARPACK, etc.

vorliegende Problem zugeschnitten (kein Universalre-

1.1.2

Anwendungsgebiete

Oft nden sich zu einigen Problemstellungen keine explizite (analytische) Lsung (Dreikrperproblem) oder, im Falle das eine Lsung existiert, der Rechenaufwand zu gro ausfllt. Desweiteren ndet man Anwendungen in

Linerare Gleichungssysteme

1

1

EINLEITUNG

2

1.1.3

Eigenwertprobleme (Mehrdimensionale) Integration Dierentialgleichungen Nullstellensuche, Optimierung.

und vieles mehr.

Computeralgebrasysteme (Mathematica, Maple, ...)

Computeralgebrasysteme (Mathematica, Maple, ...) ergnzen die Numerik

Ein Computeralgebrasystem (CAS) ist ein Computerprogramm, das Methoden der Computeralgebra nutzt. Konkreter kann es Rechenaufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik lsen und dabei nicht nur (wie ein Taschenrechner) mit Zahlen, sondern auch mit symbolischen Ausdrcken (Variablen, Funktionen, Polynomen und Matrizen) umgehen. (Wikipedia)Diese liefern exakte Ergebnisse, welches das Lsen des Gesamtproblems beschleunigen sei es durch das Lsen von Standardintegralen, Vereinfachung von langen Ausdrcken, Koordinatentransformationen (z.B: von kartesisch in Kugelkoordinaten), oder hnliches.

2

2

DARSTELLUNG VON ZAHLEN UND RUNDUNGSFEHLER

3

2 Darstellung von Zahlen und Rundungsfehler2.1 Ganze Zahlen (integer)arbeiten (d.h. speichern und rechnen ber gekoppelte Flip Flops bzw. ReBits (als Bezeichnung fr eine Binrzier die blicherweise aus 0 und 11

Computer gister) mit besteht).

Integer-Zahl

z = bN 1 ....b3 b2 b1 b0 .

mit

bj

1; 0 zdurch 0 und 1 beschrie-

Diese binre Darstellung, von der positiven Ganze Zahlen ben, nden sie so im Speicher des Computers.

N =1

z =j=0

bj z j

Typisch ist die Wahl der Bits N = 32 jedoch ndet man auch N=8,16,64,128 je nach Problemstellung und verwendeter Hardware Fr

N = 32

Zahlen (+1 Bit fr Sign).

0zz2

32

1 = 4.294.967.295

. Analog geht das auch fr die Negativen

2.1.1

Arithmetikist in der Regel exakt; Ausnahmen:

Die Arithmetik

Wertebereich wird berschritten Division, Wurzel,... liefern Ganze Zahl d.h. eine Komma Zahl wird abgeschnitten (

7 3

= 2)

2.22.2.1

Gleitkommazahlen (rationale Zahlen)Darstellung von Gleitkommazahlengibt das Vorzeichen an

1 Die Zahl 10 wird im Binrsystem z = 1010 dargestellt. 2 Die Arithmetik umfasst vor allem das Rechnen mit den Zahlen, also die Grundrechenarten Addition(Zusammenzhlen), Subtraktion (Abziehen), Multiplikation (Vervielfachen), Division (Teilen) sowie die zugehrigen Rechengesetze. Zur Arithmetik gehren auch die Gesetze der Teilbarkeit der ganzen Zahlen sowie die Division mit Rest. Weiter zu erwhnen ist das Rechnen mit Brchen. [Quelle: Wikipedia: Aritkel Arithmetik: Online im Internet: URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetik[Stand:01.12.2011]]

S = 1 M= 3

z = S M 2Ee

NM j=0

mj ( 1 )j , m0 = 1 2

;

mj {0; 1}

Exponent: E ist Integer & e eine Integerkonstante.

3 In der Wissenschaft arbeitet man immer mit normierten Zahlen. Falls eine Binre Zahl normiert ist,

muss die Floating Zahl mit 1,??? .Die Auszeichnende Bit Zier ist also eine 1. In diesem Fall nehmen wir das zur Kenntnis und brauchen diese nicht explizit auszuschreiben was uns auch ein Bit erspart. Dies bezeichnet man auch als Phantombit.

3

2

DARSTELLUNG VON ZAHLEN UND RUNDUNGSFEHLER

4

2.2.2

Zwei Standardtypen: oat (32 Bits) , double (64 Bits)

Abbildung 2.1:

oat: mit S = 1 Bit , E = 8 Bits und NM = 23 Bits ist seine Eigenschaften

folgendermaen determiniert.

Stackoverow: Online in Internet: URL: http://stackoverow.com/questions/2795629/c-int-oatdouble [Stand 15.11.2011].

Wertebereich: M=1,1+ ,1+2 ,..,2-2 ,2wobei die

beste relative Genauigkeit charakterisiert und damit

1, 19

107 e = 127wird.

= ( 1 )23 2

Die kleinste und grte Zahl durch

1038 ...1038 determiniert

2

E(8Bits) e

= 22

8 127

= 2126 ....2+126

Abbildung 2.2:

Wikipedia Artikel Doppelte Genauigkeit: Online in Internet: URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Doppelte_Genauigkeit [Stand 15.11.2011]2. Double

double

=Doppelte Genauigkeit.

Besitzt statt 4 Byte jetzt 8 Byte (64Bit) also dop-

pelte Bitzahl gegenber dem Float. Fr die kleinste bzw. grte Zahl ergibt sich analog zur Rechnung von oben:

2Ee 10308 bis 103082.3 Rundungsfehler

Reele Zahl im Computer wird im Allgemeinen wegen endlicher Bitzahl nicht exakt angegeben. von M:

Z = S M 2El

Genauigkeit

107 fr oat4

und

1016

fr

double5

2.3.1

Elementare BeispieleExtremfall : 1+ = falls

138

| | 0 kann z.B. durch das Plotten der Funktion f (x) gefunden werden. Bisektion: ndet eine Nullstelle von der Funktion f , die zwischen x1 & x2 liegt. Algorithmus: Wir denieren den Mittelwert x = 2 (x1 + x2 ) und betrachten folgende 12 Flle: 1. Falls 2. Falls sonst

Startpunkt:

f (x1 ) f () < 0 x2 = x x

sonst

x

1

=x

x1 x2 hinreichend klein ist, bricht man den Algorithmus12 ab, weil x1 und/oder x2

die Eigenschaft als approximative Nullstelle hinreichend erfllt. nchste Iteration.

Konvergenz: Nun ist es relevant auch den Fehler dieser approximativen Nullstelle

x1 bzw. x2

zu bestimmen und damit ein Ausdruck der Genauigkeit des Verfahrens erhalten.

Der Fehler

der approximativen Nullstelle

x1

wird ber

f (x1 + ) = 0

deniert und

nach n Schritten durch:

1 n | x1 x2 | 2

n

nach oben beschrnkt.

Aufgrund des Faktors

1n 2 fllt der Fehler exponentiell ab. Alle 3 bis 4 Schritte gewinnt man 1 2 n (n+1 linear in n )

also eine Dezimalstelle an Genauigkeit.

Linear konvergent: bezeichnet man Verfahren fr die z.B. n+1 4.2.1 Vor- und Nachteile:konvergiert immer (wenn die Funktion glatt verluft)

Bisektion

Lineare Konvergenz stellt sich als schlechtes Verfahren heraus aufgrund der langen Rechenzeit & Auswertung der Funktion (z.B. in der Gittereichtheorie dauert die Auswertung u.U. auf einem/mehreren HPC-Systemen Wochen lang).

12 Ein Algorithmus ist eine aus endlich vielen Schritten bestehende eindeutige Handlungsvorschrift zurLsung eines Problems oder einer Klasse von Problemen. [Quelle: Wikipedia: Algorithmus]

24

4

NULLSTELLENSUCHE, LSEN NICHT-LINEARER GLEICHUNGEN

25

4.3

Sekantenverfahren (fr

N = 1)

Abbildung 4.1: Sekanten-VerfahrenQuelle: Verndertes de:Bild:Sekantenverfahren Ani.gif, Ursprngliche Version von de:Benutzer:Ralf Pfeifer: URL:http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Ralf_Pfeifer

Startpunkt: Beliebigerschen

x1 , x2 mit | f (x2 ) |