Numerical Analyses for ElectronagneticsNumerical Analyses for Electronagnetics Takuichi Hirano (RA)...

June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology

No. 1MoM

Numerical Analysesfor Electronagnetics

Takuichi Hirano (RA)Ando & Hirokawa lab.


No. 2MoM

Differential Equations

iEH

HE

=+×∇

=+×∇

ωε

ωµ

j

jand

0Maxwell’s Equation:

0or

0

22

22

=+∇

=+∇

HH

EE

k

k

qk

k

−=+∇

−=+∇

φφ

µ

22

22

andiAA

V

S

i

Helmholtz’s Equation:

HE,straightforward


No. 3MoM

Boundary Condition

V

S

i

Boundary condition

微分方程式＋境界条件で解が一意に決定！


No. 4MoM

D.E. + B.C.

Example

xxfdxd

=)(22

21

3

6)( CxCxxf ++=

1)1(0)0(

)(22

==

=

ff

xxfdxd

D.E. (Differential Equation)

D.E. +B.C. (Boundary Condition)

0)0( 2 == Cf

65,1

61)1( 11 ==+= CCf

( )56

)( 2 += xxxf

２階編微分方程式→ 境界値問題（放物型、楕円型、双曲型）

x

f(x)

O 1


No. 5MoM

Maxwell’s Eq. + B.C.

VS

Boundary condition

マクスウェルの方程式＋境界条件で解が一意に決定

iEH

HE

=+×∇

=+×∇

ωε

ωµ

j

jand

0

ある境界条件の下で微分方程式を解きたい！


No. 6MoM

Numerical Methods

① モーメント法 (Moment Method, Method of Moments, MoM)

・境界のみに未知数を配置

② 有限要素法 (Finite Element Method, FEM)

・空間を細かく分割し、空間全体に未知数を配置・微分方程式を直接解くのでなく、汎関数の極値問題　に置き換えて解く。

③ 時間領域差分法 (FDTD 法, 　　Finite Difference Time Domain method)

・マクスウェルの方程式を差分化して電磁界の伝播　をシミュレートする

Variational method,EMF(Electro Motive Force) method,ICT(Improved Circuit Theory)etc.


No. 7MoM

モーメント法Method of Moments (MoM)

Moment Method

zh− h0

a

0z 1z 2z 3z 1−Nz Nz 1+Nz

1j 2j 3j Njz∆

Source

Observation


No. 8MoM

History

1968R. F. Harrington, “Field Computation by Moment Methods”,IEEE Press, New York, 1993

E. Hallen,K. K. Mei,C. T. Tai

1967 (Harrington)R. F. Harrington, “Matrix Methods for Field Problems”,Proc. IEEE, vol. 55, pp.136-149, February 1967

R. F. Harrington, and J. R. Mautz, “Straight Wires With Arbitrary Excitation and Loading”,IEEE Trans. Antenna and Propagat., vol. AP-15, no. 4, pp. 502-514, July 1965


No. 9MoM

Method of Moments

積分方程式の導出

未知分布量の離散化

ポイントマッチング

行列方程式を解く

モーメント法（ガラーキン法等）


No. 10MoM

Example: Charged Wire

a− ax

y

z

V

∞


No. 11MoM

Integral Equation

∫ −= baron 4)()( s

so

so drrr

rrπερφ

a− ax

)( xρ

or

Vd sso

s =−∫ baron 4)( rrr

rπερ

or は導体棒上

Unknown charge distribution


No. 12MoM

Expansion

0xa=− Nxa =x

)( xρ

1x 2x 3x 1−nx nx 1−Nx

1 2 3 n N

∑=

=N

nnn xfax

1)()(ρ


No. 13MoM

Point Matching

Vdxfa sso

N

nnn =−∫ ∑=baron 1 4

1)( rrrπε

Vdxfa sso

snN

nn =−∫∑= baron1 4

)( rrrπε

Vdxxx

xfa nns

x

xx sso

snN

nn =−∫∑ −== 1 4

)(1 πε 0xa=− Nxa =

x

)( xρ


1 2 3 n N

0xa=− Nxa =x

)( xρ


1 2 3 n N

observation point

21 nnn

oxxx += −

Vdxxx

a

Vdxxx

a

n

ns

n

ns

x

xx ss

No

N

nn

x

xx sso

N

nn

=−

=−

∫∑

∫∑

−

−

==

==

1

1

41

41

1

11

πε

πεM

=

V

V

a

a

zz

zz

NNNN

N

MM

L

MOM

L 1

1

111

∫−= −

= nns

x

xx ss

mo

mn dxxx

z1 4

1πε


No. 14MoM

Example

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4Position HmL2468

101214

eniLegrahc

ytisnedHCpêmL

maVV 1,1 ==m001.0

V

∞


No. 15MoM

Method of Moments (MoM)

source observation

sr or

source observation

sr or

(a) 重み付けしない場合

(b) 重み付けする場合

ここでは境界条件が満足される保証はない

重み関数

0xa=− Nxa =x

)( xρ


1 2 3 n N

0xa=− Nxa =x

)( xρ


1 2 3 n N

observation point

Vd sso

s =−∫ baron 4)( rrr

rπερ

Vdxdxxx

xfxwa

Vdxdxxx

xfxwa

N

No

n

ns

o

n

ns

x

xx

x

xx osso

snoN

N

nn

x

xx

x

xx osso

sno

N

nn

=−

=−

∫ ∫∑

∫ ∫∑

− −

−

= ==

= ==

1 1

1

0 1

4)()(

4)()(

1

11

πε

πεM

Vdxxx

a

Vdxxx

a

n

ns

n

ns

x

xx ss

No

N

nn

x

xx sso

N

nn

=−

=−

∫∑

∫∑

−

−

==

==

1

1

41

41

1

11

πε

πεM

● 全体に境界条件を適用する

　　（重み付け）

観測するときに工夫する


No. 16MoM

Basis functions

-0.4 -0.2 0.2 0.4x

-1

-0.5

0.5

1

1.5

fHxL-2 -1 1 2 x

-2

-1

12

3

4fHxL

(a) パルス関数

(b) ルーフトップ関数

全域基底関数 (Entire domain basis functions)

テイラー展開 (Taylor’s expansion)

フーリエ級数展開 (Fourier series expansion)

局所基底関数 (local basis functions)


No. 17MoM

Example: Dipole Antenna

zh− h0a

zh− h0

Electric field

a

d

iE

2/d2/d−


No. 18MoM

∫ ⋅= wire sssoeeo drrJrrGrE )();()({ } 0)()()(ˆ =+⋅ oioot rErEr

Integral Equation

z

h− h0

a

)(zJ

x

y

z

)()(ˆ)();()(ˆ oi

owire sssoeeotdt rErrrJrrGr ⋅−=⋅⋅ ∫

sr

or

(ro is on the wire)

グリーン関数

t̂


No. 19MoM

Expansion

x

y

zor

srt̂

zh− h0

a

0z 1z 2z 3z 1−Nz Nz 1+Nz

1j 2j 3j Njz∆

Source

Observation

∑=

=N

nnna

1)()( rJrJ

)()(ˆ)();()(ˆ1

oi

ossnsoee

N

nno tdat

n

rErrrJrrGr ⋅−=⋅⋅ ∫∑ Γ=


No. 20MoM

MoM (Weighting, Averaging)

x

y

zor

srt̂

zh− h0

a

0z 1z 2z 3z 1−nz nz 1+nz

njmj

22 )( soso zza −+=−rr

z∆

Source Observation

sr or

{ }

{ }{ }∫

∫ ∫∑

Γ

Γ Γ=

⋅⋅−=

⋅⋅⋅

m

m n

ooi

oomo

ossnsoee

N

nnoomo

dtt

ddatt

rrErrJr

rrrJrrGrrJr

)()(ˆ)()(ˆ

)();()(ˆ)()(ˆ1

∫∫ ∫∑ ΓΓ Γ=

⋅−=

⋅⋅

mm noo

iomossnsoee

N

nnom ddda rrErJrrrJrrGrJ )()()();()(

1

∫∫ ∫∑ ΓΓ Γ=

⋅−=⋅⋅mm n

ooi

omossnsoeeom

N

nn ddda rrErJrrrJrrGrJ )()()();()(

1

{ })(ˆˆ)(ˆ)( omotmom ttJt rJrrJ ⋅==


No. 21MoM

Matrix Form

x

y

zor

srt̂

zh− h0

a

0z 1z 2z 3z 1−nz nz 1+nz

njmj

22 )( soso zza −+=−rr

z∆

Source Observation

sr or

=

NNNNN

N

V

V

a

a

ZZ

ZZMM

L

MOM

L 11

1

111

neemossnsoeeommnm n

ddZ JGJrrrJrrGrJ∫ ∫Γ Γ =⋅⋅= )();()(

imoo

iomm

mdV EJrrErJ −=⋅−= ∫Γ )()(

観測点を基底関数より多くしたら？？？条件過剰の方程式を解く問題となる。（ムーア・ペンローズの一般逆作用素、QR分解, SVD?）

)( on rE


No. 22MoM

Half-wavelength Dipole

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2Position HλL00.002

0.004

0.006

0.008

0.01

edutilpmAHAL

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2Position HλL-38-36-34-32-30-28-26

esahPHgedL

Infinitesimal dipole

遠方界指向性

電流分布


No. 23MoM

Method of Moments

積分方程式の導出

未知分布量の離散化

ポイントマッチング

行列方程式を解く

モーメント法（ガラーキン法等）

)()(),( ygdxxfyxKb

a=∫

Fredholm第一種積分方程式（参考: 寺沢寛一、「数学概論」、岩波書店）

∑=

=N

nnn xfaxf

1

)()(

∫∫ ∫∑ ΓΓ Γ=

=mm n

dyygywdydxxfyxKywaN

nn )()()(),()(

1

=

NNNNN

N

V

V

a

a

ZZ

ZZMM

L

MOM

L 11

1

111

積分方程式の数値解法！


No. 24MoM

References

[1] R. F. Harrington, “Field Computation by Moment Methods”, IEEE Press,New York, 1992

[2] C. A. Balanis, “Antenna Theory”, John Wiley & Sons, Inc., 2nd ed., 1997[3] W. L. Stutzman and G. A. Thiele, “Antenna Theory and Design”, John Wiley & Sons, Inc.


No. 25MoM

Conclusion

Fine

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