Nozzles

Greg Dimitriadis

Introduction

• Ecoulement de fluides compressiblesdans des conduites de section variable

x

A(x)

Section variable A(x)

u=uep=peρ=ρeT=Te

u=u(x), p=p(x), ρ=ρ(x), T=T(x)

u=usp=psρ=ρsT=Ts

Objectif

• On connait la vitesse, la pression, lamasse volumique et la température al’entrée (ou une section quelconque)

• On veut calculer les mêmes quantités ala sortie (ou dans des positionsintermédiaire de la conduite)

• Le fluide est idéal - pas de couche limite

Pourquoi?

Parce qu’onveut calculerla system depropulsiondu spaceshuttle, parexemple

Pourquoi?Ou concevoir une tuyère aerospike

Hypothèses de travail

• Ecoulement quasi-unidimensionel– Vitesses v, w sont négligeables par rapport à u.

• Fluide idéal– Soit pas de couche limite dynamique ou thermique– Soit l'épaisseur de la couche limite est petite par

rapport à la hauteur de la section• Ecoulement stationnaire• Pas de forces extérieurs• La conduite est complètement isolée du

monde extérieur (pas d'échange d'énergie)

Pourquoi les simplifications?

Tuyère non-symétrique

Fluide non-idéal

Equations de base

• Conservation de la masse

• Conservation de l’enthalpie totale

• Conservation de l’entropie!

" x( )u x( )A x( ) = Cste

!

CpT x( ) +u2x( )2

= Cste

!

p

"#= Cste ou

p

T

#

# $1

= Cste

Variations infinitésimales• On connaît les caractéristiques de

l'écoulement dans une section x• On souhaite calculer les caractéristiques

dans une section x+dx• On représente tous le changements entre x et

x+dx par des différences du, dp, dρ, dT, dMcauser par la différence dA

x dx

A+dAA

Relations entre différences

• Entre du et dM

• Entre dT et dM

!

du

u=

1

1+" #1

2M

2

dM

M

!

dT

T= "

# "1( )M 2

1+# "1

2M

2

dM

M

Relations entre différences

• Entre dp et dM

• Entre dρ et dM

!

dp

p= "

#M 2

1+# "1

2M

2

dM

M

!

d"

"= #

M2

1+$ #1

2M

2

dM

M

Relation entre dA et dM

!

dA

A=

M2 "1

1+# "1

2M

2

dM

M

• Relation ultra-importante:– Quand M<1, une augmentation de la section

entraîne une diminution du M– Quand M>1, une augmentation de la section

entraîne une augmentation du M– Quand M<<1,

!

dA

A= "

dM

M= "

du

u

Cols géométriques

• Au col, puisque, dA=0,– Soit M=1– Soit dM=0

dA2>0 dA2<0

Relation entre d(ρu) et dM

• Quantité de mouvement, ρu• Il est évident que

• Et que

!

d "u( )"u

=d"

"+du

u

!

d "u( )"u

=1#M 2

1+$ #1

2M

2

dM

M

Convergentes-divergentes etvice-versa

• Les propriétés de la relation entre dA etdM permettent l'accélération d’unécoulement subsonique a des vitessesupersoniques et vice-versa

• Ceci est réaliser dans des conduitesconvergentes-divergentes et vice-versa

Convergente-divergente

• Tuyère de Laval• Ecoulement initialement subsonique

• Quel est la valeur de M à la sortie?

M<1

Mc

M=?

Deux possibilitésM<1

Mc

M=?

M=1

M=1

Ecoulement entièrement subsonique

Ecoulement entièrement accéléré

Autres possibilités

M>1

Mc>1

M>1M⇓ M⇑

M<1

Mc<1

M<1M⇓ M⇑

M>1

Mc>1

M>1M⇑ M⇓

Les expressions pour le calculdes tuyères

• Il suffit de intégrer les relations entre lesdifférences des conditionsthermodynamiques totales (M=0)jusqu’au nombre de Mach de la sectionconsidérée, e.g.

!

d"

""t

"

# = $M

2

1+% $1

2M

2

dM

M0

M

#

Voila

!

T

Tt

=1

1+" #1

2M

2

!

"

"t

=1

1+# $1

2M

2

%

&

' ' '

(

)

* * *

1

# $1

!

p

pt=

1

1+" #1

2M

2

$

%

& & &

'

(

) ) )

"

" #1

Par rapport aux conditionssoniques

• Les conditions soniques (M=1) donnent

!

T*

Tt

=2

" +1

!

"*

"t

=2

# +1

$

% &

'

( )

1

# *1

!

p*

pt=

2

" +1

#

$ %

&

' (

"

" )1

Relations finales

• Ainsi, les relations peuvent être écritepar rapport aux conditions soniques

!

T

T*

=

" +1

2

1+" #1

2M

2

!

"

"*=

# +1

2

1+# $1

2M

2

%

&

' ' '

(

)

* * *

1

# $1

!

p

p*

=

" +1

2

1+" #1

2M

2

$

%

& & &

'

(

) ) )

"

" #1

Quantité du mouvement

• Integrant ρu depuis M=1 jusqu’à M

!

"u

"*u*= M

# +1

2

1+# $1

2M

2

%

&

' ' '

(

)

* * *

# +1

2 # $1( )

!

A

A*

=1

M

" +1

2

1+" #1

2M

2

$

%

& & &

'

(

) ) )

#" +1

2 " #1( )

Fonction f(M)

0 3

1

f(M)

M1

Fonction 1/f(M)

0 3

4

f(M)

M1

1

Debit massique dans unetuyère

• Le débit massique est conservé partout dansla tuyère

• Conditions au col: Dm=ρcucAc• Soit

• Débit maximum

!

Dm =2

" +1

#

$ %

&

' (

" +1

2 " )1( )pt

"

RTtA*

!

Dc =2

" +1

#

$ %

&

' (

" +1

2 " )1( )pt

"

RTtAc

Etat critique (choked flow)En augmentant leMach au col on peutaugmenter le débitmassique, jusqu’aupoint ou M=1. Lavaleur du débitmassique à M=1 est lavaleur critique.

On peut deduire queA*pt=Cste

qui veut dire queA*=Cstequand la pression totale est conservée

Design des tuyères

En utilisant laméthode descaractéristiques

Design des tuyèresPar ordinateur.LogicielAerospike 2.5.Il utilise laméthode descaractéristiques

Tuyères avec choc

Ecoulementdans unconvergentdivergentalimenté par unréservoir

Tuyères avec choc1. L’écoulement est subsonique partout2. Idem3. L’écoulement est sonique au col mais

décélère dans le divergent4. L’écoulement est sonique au col mais

accélère dans le divergent5. L’écoulement est supersonique dans le

divergent mais devient subsonique après unchoc normal

6. Idem7. Il y a un choc normal à la sortie de la tuyère

Cas avec choc

•Au choc l’entropie n’est pas conservée.

•A* est constant uniquement dans les partie de latuyère ou il n’y a pas de choc.

•La partie avant le choc a une valeur A1* et celle après

le choc a une autre valeur A2*

•On peut écrire A1* pt1 = A2

* pt2

pt1 pt2

Définitions

• On pose λ=pa/pt1, pa=pression à la sortie,pt1=pression au reservoir (pression totaleavant le choc)

• On pose σ=As/Ac, As=section de sortie,Ac=section du col

• On pose r= pt1/pt2, pt1=pression totale avant lechoc, pt2=pression totale après le choc

• On pose g=1+(γ-1)/2 M2

• On utilise la relation , gs=g à lasortie

!

r = "gs# / # $1( )

Résultats

• On obtient une expression pour gs

• Et une expression pour Ms

!

gs =1

21+ 1+

" #1

" +1

2

" +1

$

% &

'

( )

2

" #1 2

*+

$

% &

'

( ) 2

,

-

.

.

.

/

0

1 1 1

!

Ms

2=1

" #11+

" #1

" +1

2

" +1

$

% &

'

( )

2

" #1 2

*+

$

% &

'

( ) 2

#1

,

-

.

.

.

/

0

1 1 1

Utilisation

• Avec gs on peut calculer la chute de pressiontotale a travers le choc

• Donc, on peut calculer le Mach avant le choc• Donc, on peut calculer la position du choc si

on connaît la géométrie de la tuyère• Puisque à la sortie l'écoulement est

subsonique

!

"# $2

% +1

&

' (

)

* +

%

% ,1

Détermination du régime

• En connaissant λ et σ on peut déterminer letype de régime d'écoulement dans la tuyère

• On commence par la détermination du Machde sortie en supposant que le col est sonique

• Deux cas:– Régime adapte: Divergent entièrement

supersonique– Désamorçage complet: Ecoulement entièrement

subsonique avec col sonique

Détermination du régime• On obtient Ma et Mdc en utilisant les

valeurs de A/A* (σ=A/A*). Il y a deuxsolutions (une subsonique, unesupersonique)

• Pour Ma et Mdc on obtient λa et λdc enutilisant les valeurs p/pt.

• On peut aussi calculer λc en utilisant

!

"c

=# +1

# $1"a

2

# +1

%

& '

(

) *

2

#1

"a

%

& '

(

) *

# $1

#

$1

+

,

- - -

.

/

0 0 0

Cas λ ≤ λa

• Ecoulement entièrement adapté.Détente de Prandlt-Meyer à la sortie

• Quand λ= λa l'écoulement et parallèle àla sortie

Underexpanded Nozzle

• La pression atmosphérique est plus basse que lapression du jet

• Le jet commence directement à grossir.• Ce phénomène s’accomplit à l’aide des ondes

d’expansion Prandtl-Meyer• Les ondes sont reflétées par la paroi du jet créant le

‘diamond pattern’.

Cas λa≤ λ ≤ λc

• Ecoulement entièrement supersoniquedans le divergent

• Chocs obliques à la sortie

Overexpanded Nozzle

• La pression atmosphérique est plus haute que lapression du jet

• Le jet commence à contracter à l’aide de deux chocsobliques symétriques.

• En suite il se détend à l’aide des ondes d’expansionPrandtl-Meyer

• Les ondes sont reflétées par la paroi du jet créantune paterne en diamant.

Cas λc≤ λ ≤ λdc

• Choc normal dans le divergent• Ecoulement supersonique avant le choc• Le choc devient plus fort et se déplace

vers l’amont lorsque λ augmente• Le col est toujours sonique

Cas λdc≤ λ

• Désamorçage complet• L'écoulement est complètement

subsonique dans la tuyère• Il y a un maximum Mach au col• Ce maximum peut être 1 quand λdc= λ

Pression extérieure

• Le pression extérieure peut influencer le débitmassique uniquement quand la tuyère estdésamorcée

• Si le col est sonique (choked flow) le débitmassique dépend uniquement des conditionsdans le réservoir

Pression extérieure (2)

• Le pression extérieure influence aussile débit de quantité de mouvement

• Mais pas dans le cas des tuyèresadaptées

Tuyères à double col

• Cas où il y à pas de choc entre les deux cols– La pression totale est conservée– Seul le col de section minimale peut devenir

sonique• Cas où il y à un choc entre les deux cols

– Le choc cause une chute de pression totale– La section sonique augmente après le choc car

A*pt=Cste.– Il y a deux possibilités

Le premier col est plus petit

• Soit l’entrée est subsonique, le premier colsonique et le deuxième col subsonique ousonique

• Soit l’entrée est supersonique, le premier colsupersonique et le deuxième col subsoniqueou sonique

Le deuxième col est plus petit

• Soit l'écoulement dans toute la tuyère estsubsonique

• Soit l’entrée est supersonique, le premier colsupersonique et le deuxième col sonique