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Nozioni di base - Quiz - 2

Rispondere ai seguenti quesiti (una sola risposta e corretta).

1. L’insieme delle soluzioni della disequazione(x− 2) log(x)

x + 1≥ 0 e:

(a) (0, 1) ∪ (2,+∞)

(b) [1, 2]

(c) (2,+∞)

(d) (0, 1] ∪ [2,+∞)

(e) (−∞,−1) ∪ [2,+∞)

2. L’insieme delle soluzioni della disequazione sin (5x)− cos (5x) ≤ 2 e:

(a) [0, 10π)

(b)⋃

k∈N[2kπ, 5π + kπ]

(c) [0, 72]

(d)[0,

25π

](e) R

3. L’insieme delle soluzioni della disequazione

√1− |x|1 + x

< 1 e:

(a) (−∞, 1)

(b) R \ {−1}

(c) (0, 1]

(d) [0, 1]

(e) (−1, 1)

4. L’insieme delle soluzioni della disequazione e|x|−3x2−1 ≥ 1 e:

(a) [−3,−1) ∪ (1, 3]

(b) (−∞, 3] ∪ (−1, 1) ∪ [3,+∞)

(c) (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

(d) R \ {−1, 1}

(e) ∅

5. Sia A = {x ∈ R : |x + 2| < 1} ∪ {x ∈ N : (x− 2)(x + 1) ≤ 0}. Allora:

(a) A ammette massimo, ma non minimo

(b) A ammette minimo, ma non massimo

(c) A non ammette ne massimo ne minimo

(d) A ammette sia massimo che minimo

(e) A = (−3,−1) ∪ {−1, 0, 1, 2}

c©2011 Politecnico di Torino 1

6. E’ data la funzione f(x) = log(2 + x− x2) +√

x2 + x− 2. Allora:

(a) dom (f) = (−1, 2)

(b) dom(f) = (−∞,−2) ∪ (1,+∞)

(c) f non e mai definita

(d) dom (f) = R(e) dom(f) = [1, 2)

7. Sia A ⊆ Z tale che supA = 1 e inf A = −3. Allora, necessariamente:

(a) −3 ∈ A

(b) esiste x ∈ A tale che −3 < x < 1

(c) esiste x ∈ A tale che x < 0

(d) A coincide con l’intervallo (−3, 1]

(e) 0 ∈ A oppure −3 ∈ A

8. L’insieme A ={x = 3 + (−1)n 3

n : n ∈ N \ {0}}∩ {x ∈ R : x < 4} :

(a) soddisfa inf(A) = −∞(b) ammette massimo

(c) coincide con l’insieme delle x ∈ R : 3 < x < 4

(d) non e limitato

(e) ammette minimo

9. L’insieme A ={x = 3− (−1)n 3

n : n ∈ N \ {0}}∩ {x ∈ R : 2 < x < 6} :

(a) non e limitato

(b) ammette massimo

(c) non ammette minimo

(d) soddisfa inf(A) = 2

(e) l’estremo inferiore di A e 32

10. Sia K = {x ∈ R : |5− 6x| < 7}. Allora :

(a) K =[− 1

3 , 2]

(b) K =(− 1

3 , 2)

(c) K = (2,+∞)

(d) K = (−∞, 13 )

(e) K = {x ∈ R : |6x− 5| > 7}.

RISPOSTE QUESITI

Item n◦ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Risposta d e c a a e c e d b


2 - Funzioni e loro proprieta. Immagini e controimmagini. Funzionicomposte e inverse. Funzioni elementari

Quiz - 2

Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e’ corretta.

1. Le due funzioni f(x) = ln(9− x2) e g(x) = ln |9− x2|

(a) hanno entrambe dominio (−3, 3)

(b) hanno dominio (−∞,−3) ∪ (−3, 3) ∪ (3,+∞)

(c) sono due scritture diverse della stessa funzione

(d) assumono gli stessi valori ∀x ∈ (0,+∞)

(e) assumono gli stessi valori se |x| < 3

2. La funzione f(x) = e12 ln x

(a) coincide con la funzione g(x) =√

x, ∀x ∈ R(b) coincide con la funzione g(x) = 1

2x, ∀x ∈ R(c) coincide con la funzione g(x) =

√x, ∀x ∈ (0,+∞)

(d) coincide con la funzione g(x) = eln√

x, ∀x ∈ R(e) coincide con la funzione g(x) =

√e x, ∀x ∈ R+

3. La funzione g(x) = e2 ln 1x coincide con la funzione

(a) f(x) = x−2, ∀x ∈ R

(b) f(x) = eln 2x

(c) f(x) = e2

x

(d) f(x) = 1x2 , ∀x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞)

(e) f(x) = 1x2 , ∀x ∈ (0,+∞)

4. Siano f(x) = ln(x + 1) e g(x) = e(x+1). Allora

(a) g(x), f(g(x)), g(f(x)) sono definite ∀x ∈ R,

(b) ∃ x ∈ R tale che f(g(x)) = g(f(x))

(c) f(g(x)) = x + 1, ∀x ∈ (−1, +∞)

(d) g(f(x)) = e(x + 1), ∀x ∈ R(e) ∀x ∈ R, f(g(x)) = g(f(x))

5. Siano f(x) = e|x| e g(x) = lnx. Allora

(a) g(f(x)) non e pari

(b) f(g(x)) e dispari

(c) f(g(x)) = g(f(x)), ∀x ∈ [1,+∞)

(d) f(g(x)) = g(f(x)), ∀x ∈ (0,+∞)

(e) @ x ∈ R tale che f(g(x)) = g(f(x))

6. Siano f(x) = (x + 1)2 e g(x) =√

x. Allora

(a) f(g(x)) = |x + 1|(b) g(f(x)) = x + 1, ∀x ∈ R(c) f(g(x)) pari

(d) f(g(x)) monotona strettamente crescente

(e) f(g(x)) monotona strettamente decrescente


7. Siano f(x) = tanx e g(x) = M(x) (funzione mantissa) . Allora

(a) (f ◦ g)(x) e periodica di periodo π;

(b) (g ◦ f)(x) e periodica di periodo 2π;

(c) (f ◦ g)(x) e periodica di periodo 1;

(d) (g ◦ f)(x) e periodica di periodo 1;

(e) Im (f ◦ g) = [0, 1]

8. Siano f(x) = M(x) (funzione mantissa) e g(x) = arctanx. Allora

(a) im (f ◦ g) =[0,

π

4

)(b) g ◦ f e periodica di periodo 2π;

(c) f ◦ g e periodica di periodo 1;

(d) im (g ◦ f) =[0,

π

4

)(e) im (g ◦ f) = [0, 1)

9. Siano date le tre funzioni f(x) = tanx, g(x) = [x] (funzione parte intera), h(x) = sign x (funzione segno).Allora

(a) la funzione h ◦ f non e periodica

(b) le funzioni h ◦ g ◦ f ha periodo 1;

(c) la funzione f ◦ h e periodica

(d) (h ◦ g ◦ f)(π) = 1.

(e) Im (h ◦ g ◦ f) e {0,−1, 1}

10. Sia f : R \ {1} → R; f(x) =1

(x− 1)3.

(a) La funzione e monotona strettamente decrescente, quindi e suriettiva

(b) Nel suo dominio la funzione e iniettiva, ma non monotona

(c) f(−1) > f(0) e f(2) > f(3) ⇒ la funzione e strettamente decrescente nel dominio

(d) Poiche la funzione e iniettiva, allora e monotona strettamente crescente o decrescente

(e) La funzione e suriettiva

11. L’insieme immagine della funzione

f(x) = ln(

esign(x2 + 1) + 1

2

)e

(a) R(b) {0}(c) {1}(d) {0, 1}(e) [-1, 1]

12. Sia f(x) = |e|x| − e|. Allora

(a) dom f = R, im f = [0,+∞)

(b) dom f = R, im f = [0, e]

(c) dom f = R, im f = (0,+∞)

(d) dom f = R, im f = R(e) dom f = [−e, e], im f = R


13. Il dominio della funzionef(x) =

√arccos(x + 2)− arccos(x− 2)

e:

(a) R(b) (1,+∞)

(c) (−∞,−2] ∪ [2,+∞)

(d) ∅(e) [−2, 2]

14. Il dominio della funzionef(x) = log1/2(

√x3 − 3

√x)

e:

(a) R(b) (1,+∞)

(c) [1,+∞)

(d) [0, 1]

(e) (0, 1)

15. Siano f(x) e g(x) due funzioni dispari e invertibili. Allora la funzione

cosh f(x) + sinh (f(x)g(x))

e

(a) dispari e non invertibile

(b) ne pari ne dispari

(c) pari e invertibile

(d) dispari e invertibile

(e) pari e non invertibile

RISPOSTE AI QUESITI

Item n◦ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Risposta e c e b c d c d e b c a d b e


3 - Funzioni, successioni e loro proprieta.Quiz


1. La successione an = (−1)2n+1 +3

(2n + 1)2, con n ∈ N,

(a) e illimitata

(b) e monotona crescente

(c) e definitivamente a termini positivi

(d) non e infinitesima

(e) verifica limn→∞

an = 1

2. Sia A = {x ∈ R : x = e + cos(nπ)n , n ∈ N\{0}}, dove e e il numero di Nepero. Allora, necessariamente:

(a) inf A = e− 1

(b) minA = e

(c) A e illimitato

(d) maxA = e

(c) e definitivamente a termini negativi

3. Dato il sottoinsieme di R cosı definito: A = {x ∈ lQ : x2 − 2x < 5}, allora:

(a) A ammette il massimo

(b) inf A = 1−√

6

(c) A e vuoto

(d) inf A > 1−√

6

(e) max A = 1 +√

6

4. Dato il sottoinsieme di R cosı definito: A = {x ∈ lQ : x2 + 2x ≤ 5}, allora:

(a) A ammette massimo

(b) supA = 1 +√

6

(c) A ammette minimo

(d) sup A = max A

(e) inf A = −1−√

6

5. Dato il sottoinsieme di lQ cosı definito: A = {x ∈ lQ :√

x2 − 1 < 2}, allora:

(a) sup A 6=√

5

(b) A non ammette minimo

(c) A e illimitato

(d) A e superiormente illimitato

(e) s := inf A ∈ lQ, e s >√

5

6. Dato il sottoinsieme di R cosı definito: A = {x ∈ R :√

x2 − 1 ≤ 2}, dire quale delle seguenti affermazionie FALSA:

(a) sup A = max A

(b)√

5 6∈ A

(c) sup A =√

5

(d) A ammette massimo

(e) A ammette minimo


7. Sia an = (−1)2n+1 − n5, con n ∈ N. La successione (an):

(a) e limitata sia superiormente sia inferiormente

(b) non ha limite

(c) non e divergente

(d) e limitata superiormente

(e) e indeterminata

8. Sia an = (−1)2n · n5, con n ∈ N. La successione (an):

(a) ha massimo 0

(b) e indeterminata

(c) e limitata inferiormente

(d) ha lo stesso limite della successione bn = (−1)2n+1 − n5

(e) e illimitata sia superiormente sia inferiormente

9. Sia an = 2 sin n− 5, con n ∈ N. La successione (an):

(a) e a termini positivi

(b) e regolare

(c) converge a -5

(d) e divergente

(e) e limitata inferiormente

10. Sia an = 2 sin(nπ)− 5, con n ∈ N. La successione (an):

(a) e convergente

(b) e indeterminata

(c) e a termini di segno alterno

(d) non e regolare

(e) al variare di n, an assume solo i valori {−3,−5}

11. La successione an =sin 2n

n, n ∈ N \ {0}

(a) assume solo valori positivi

(b) non converge a zero

(c) e limitata superiormente

(d) e una successione costante

(e) si annulla infinite volte

12. La successione an =(

2 +12n

)n

, n ∈ N \ {0}

(a) ha immagine {an} = [0,+∞)

(b) ha lo stesso limite della successione bn =1n

(c) assume valori negativi

(d) e indeterminata

(e) e divergente

13. Sia limn→+∞

an = e . Allora necessariamente:

(a) ∃M > 0 : |an − e| < 10−6, ∀n > M

(b) ∃ε < 10−4 : |an − e| < ε, ∀n > 2012

(c) an < an+1, ∀n > 1012

(d) an =(

1 +1n

)n

(e) i termini an sono tutti negativi


14. Sia f : R → R tale che limx→+∞

f(x) = −1, allora:

(a) ∀ K : ∃ x ∈ domf, x > K e − 43 < f(x) < − 2

3

(b) ∀ε > 0 ∃ δ : ∀ x ∈ domf, −1− ε < f(x) < −1

(c) ∃ δ : ∀ε > 0 ,∀ x ∈ domf, |x| < δ ⇒ −1− ε < f(x) < −1 + ε

(d) ∀ε > 0 ∃ δ : ∀ x ∈ domf, |f(x) + 1| < ε ⇒ x > δ

(e) ∃ K : ∀ x ∈ domf, x > K ⇒ − 43 < f(x) < − 2

3

15. La funzione f(x) = eetan x

(a) verifica im (f) = [0,+∞)

(b) verifica limx→+∞

f(x) = 0+

(c) e limitata

(d) non e periodica

(e) verifica sup f = e

16. La funzione f(x) = esin ex

(a) verifica im (f) = (0, e]

(b) e periodica

(c) e limitata

(d) verifica inf f = 0

(e) si annulla infinite volte

Item numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Risposta d a b e b b d c e a c e a e c c


Funzioni e loro proprieta. LimitiQuiz 2


1. Sia f : R → R tale che f(x) > 0 per ogni x ∈ R. Allora

a) limx→+∞

f(x) = 0

b) se esiste il limite limx→+∞

f(x) = l allora l > 0

c) limx→+∞

f(x) > 0

d) se esiste il limite limx→+∞

f(x) = l allora l ≥ 0

e) limx→+∞

f(x) ≥ 0

2. Il limx→+∞

4√

x− 1cos x

+ cos1x

(a) vale 0

(b) vale 1

(c) vale 5

(d) vale +∞(e) @

3. La successione an =(2 + cos 1

n

)n+1

n

(a) e indeterminata

(b) si annulla infinite volte

(c) @(d) converge

(e) diverge

4. Della funzione f(x) = (sinx) lnx si puo dire che:

(a) e sempre positiva per x > 1

(b) esiste limx→+∞

f(x)

(c) ha infiniti zeri

(d) limx→0

f(x) = −∞

(e) im(f) = (0,+∞)

5. Sia f : R → R tale che ∀ε > 0 ∃ K > 0 : ∀ x ∈ (3−K, 3 + K) risulta f(x)− ε > 0.Allora, sicuramente:

(a) limx→3−

f(x) = 0

(b) limx→3−

f(x) = +∞

(c) limx→3

f(x) = 0

(d) limx→3

f(x) = +∞

(e) limx→+∞

f(x) = 3

6. Sia f : R → R tale che limx→1−

f(x) = −∞; allora:

(a) ∀ε > 0 ∃ δ : ∀ x ∈ (1, 1 + δ] risulta f(x) < −ε

(b) ∀ε > 0 ∃ δ : ∀ x ∈ (1− δ, 1 + δ] risulta f(x) < −ε

(c) ∀ε > 0 ∃ δ : ∀ x ∈ (1− δ, 1] risulta f(x) < −ε

(d) ∀ε > 0 ∃ δ : ∀ x ∈ [1, 1 + δ) risulta f(x) < −ε

(e) ∀ε > 0 ∃ δ : ∀ x ∈ (1− δ, 1] risulta f(x) > ε


7. Il limite limx→+∞

(1

πx2sin(πx2) +

1x

cos(x) + e−x2)

(a) vale 1

(b) vale +∞(c) vale -1

(d) vale 0

(e) @

8. Il limite limx→0

1cos(π cos x)

(a) @(b) vale +∞(c) vale −∞(d) vale 0

(e) vale −1

9. Si consideri la definizione di limite, in termine di ε, δ, nel caso particolare del limx→1

x3 = 1. Possiamo direche, per ogni ε > 0 quella condizione risulta verificata prendendo

(a) δ = 1− ε

(b) δ = 3√

1− ε

(c) δ = (1− ε)3

(d) δ = ε

(e) δ = 3√

ε

10. Il dominio della funzione f(x) = log(2− x−

√|x|

)e:

(a) (−∞, 1)

(b) (−∞, 1) ∪ [4,+∞)

(c) R\{1, 4}(d) (−∞, 1]

(e) (−∞, 1) ∪ (4,+∞)

11. Sia f(x) = |x− 5|. Allora f−1((1, 2]) e:

(a) (3, 7)

(b) (3, 4) ∪ (6, 7)

(c) [3, 4] ∪ (6, 7]

(d) [3, 4) ∪ (6, 7]

(e) [3, 7]

12. Tra le seguenti relazioni, indicare quale e anche una funzione (definita su qualche sottoinsieme non vuotodi R, a valori reali):

a) x2 + |y|+ x = 0

b) x = 4x2 − 9|y|c) x2 + 2|x| − y = 0

d) x2 + |y| = 1

e) |x + 2y| = 3


13. La funzione f(x) =x− 1x− 2

e:

a) inferiormente limitata sul suo dominio

b) superiormente limitata sul suo dominio

c) monotona sul suo dominio

d) limitata sul suo dominio

e) iniettiva

14. Sia f(x) = e1−x2. L’insieme f−1([1, 2)) e:

a) [−1,−√

1− ln 2) ∪ (√

1− ln 2, 1]

b) [−1,−√

ln(e2)) ∪ (√

ln(e2), 1]

c) (−1,−√

1− ln 2) ∪ (√

1− ln 2, 1)

d) (−1,−√

ln(e2)] ∪ [√

ln(e2), 1)

e) [−1,−√

1− ln 2] ∪ [√

1− ln 2, 1]

15. Sia f(x) = sin x + x, g(x) = lnx. Allora, g(f(x)) e:

a) x + sin lnx

b) lnx + sin lnx

c) ln(x + sinx)

d) ln(sinx) + lnx

e) sin(lnx + x)

16. Sia f(x) = lnx + x + 1, g(x) = |1− x|. Allora f(g(x)) e uguale a:

a) |lnx + x|b) ln |x− 1|+ |x− 1|+ 1

c) ln |x− 1|+ |x|+ 1

d) ln |x− 1|+ |x| − 1

e) ln |x− 1|+ |x− 1| − 1

17. Sia f(x) = −x e g(x) =√

x. Sia h(x) = f(g(x)). Allora, h([4, 9]) e:

a) [−3,−2]

b) (−3, 3)

c) [−92,−42]

d) [42, 92]

e) [2, 3]

18. Se f(x) = 3x3 + 2 allora:

a) f−1(x) = 3

√x

3+

23

b) f−1(x) = 3√

3x− 2

c) f−1(x) = 3

√x

3− 2

3d) f−1(x) = 3

√2x + 3

e) non esiste

19. L’equazione 2x = (x + 1)2 ha:

a) una sola soluzione nell’intervallo (−1,∞)

b) una sola soluzione

c) 3 soluzioni nell’intervallo [−2,+∞)


d) 2 sole soluzioni

e) 1 soluzione nell’intervallo [−2, 2]

20. Il dominio della funzione f(x) = 4

√|x| − 2

√|x| e:

a) (−∞,−4) ∪ {0} ∪ (4,+∞)

b) (−4, 4)

c) (−∞,−4] ∪ [4,+∞)

d) [−4, 4]

e) (−∞,−4] ∪ {0} ∪ [4,+∞)

21. Il dominio della funzione f(x) = 2√

x− 1−√

x + 3 e:

a) (−3, 1) ∪ (1,+∞)

b) [1,+∞)

c) [−3, 1]

d) (−3,+∞)

e) (1,+∞),

22. Se ∀ ε > 0 esiste un intorno sinistro di π tale che per ogni x in tale intorno si ha che e ≤ f(x) < e + ε,allora sicuramente:

a) limx→π+

f(x) = e

b) non esiste limx→π+

f(x)

c) limx→π−

f(x) = e

d) limx→π

f(x) = e

e) limx→e

f(x) = π

23. Se ∀A > 0 esiste un intorno di x = 5 tale che per ogni x in tale intorno, con x 6= 5, si ha che f(x)−5−A > 0,allora:

a) limx→5

(f(x) + 5) = −∞

b) limx→5

f(x) = 5

c) limx→5

(5− f(x)) = +∞

d) limx→5

f(x) = +∞

e) limx→5

f(x) = 5 + A

Quesito numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Risposta d e d c d c d e b a d c e a c

Quesito numero 16 17 18 19 20 21 22 23Risposta b a c c e b c d


LIMITI E SIMBOLI DI LANDAU - Quiz 2

Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta.

1. Il dominio della seguente funzione f(x) = ln(√

x2 + 6x + 5) e:

(a) ∅(b) (−∞,−5] ∪ [−1,+∞)

(c) (0,+∞)

(d) (−∞,−5) ∪ (−1,+∞)

(e) [0,+∞)

2. Data la funzione f(x) = ln(|x2 + 6x|+ 1) quale delle seguenti affermazioni e FALSA?:

(a) f(x) = 0 ⇔ x = −6 e x = 0

(b) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R(c) non e iniettiva

(d) domf = R(e) e pari

3. Data la successione A ={

(−1)2n 10(0.2)n

1 + (0.2)n, n ∈ N

}(a) min A = -5; max A=5

(b) converge a 5

(c) min A=0; max A=5

(d) inf A=0; sup A = 5

(e) inf A=-5; sup A = 5

4. limn→+∞

sign(n2 − 1)arctan(n!) (n2 − 1)

(n− 3)n (n + 2)!nn n!

=

(a) +π2 e−3

(b) −π2 e−3

(c) 0

(d) − 2π e−3

(e) 2π e−3

5. limx→0+

log(x2 − 1)sin(x2 − 1)

=

(a) +∞(b) non esiste

(c) 2

(d) 1

(e) 0

6. limx→0+

log(cos(3x))√ex2 − 1

=

(a) −∞(b) -3

(c) 0

(d) +∞(e) -9


7. Sia f(x) = 2π2 arctan log(x + 1) +

1arctan(x + 1)

. Quale delle seguenti affermazioni e FALSA?

(a) domf = (−1,+∞)

(b) limx→+∞

f(x) =3π2

(c) limx→0

f(x) =4π

(d) limx→−1+

f(x) = +∞

(e) limx→+∞

f(x) =3π

8. Il limite limx→2+

x2 + 2x

4e2x−x2 vale:

(a) 2

(b) +∞(c) -2

(d) −∞(e) 0

9. Il limite limx→+∞

2 5√

x e−x

log x + 3 5√

xvale:

(a)32

(b)23

(c) 1

(d) +∞(e) 0

10. Risolvendo la disequazione (2x− 1)2 < ε, quale limite si verifica?

(a) limx→1

(4x2 − 4x) = 0

(b) limx→0

(4x2 − 4x) = 0

(c) limx→1/2

(4x2 − 4x) = −1

(d) limx→0

(4x2 + 4x + 1) = 1

(e) limx→1/2

(2x− 1)2 < 0

11. Per x → +∞ la funzione f(x) =2x2 + e−x + arctanx

log 1(1+x2) − x

(a) ha limite uguale a −2

(b) ha limite uguale a 1

(c) e un infinitesimo

(d) e un infinito

(e) ha limite uguale a −1

12. Per x → −3 la funzione f(x) = 1− e(x+3)

(a) ha ordine di infinitesimo inferiore a (x + 3)2

(b) ha ordine di infinito superiore a (x + 3)2

(c) ha ordine di infinitesimo non confrontabile con (x + 3)2

(d) ha lo stesso ordine di infinitesimo di (x + 3)2

(e) ha ordine di infinitesimo superiore a (x + 3)2


13. Sia f(x) = e7

x3 − 1. Allora, per x → +∞, risulta:

(a) f(x) = o(

1x2

)(b) f(x) = o

(1x3

)(c) f(x) = o

(1x4

)(d) f(x) = o

(1x5

)(e) non confrontabile con 1

x

14. Sia f una funzione strettamente decrescente, che ammette la retta x = −3 come asintoto verticale. Alloranecessariamente:

(a) il numero degli zeri di f e uguale a 1

(b) f puo avere uno zero o nessuno zero

(c) il numero degli zeri di f e maggiore di 1

(d) se f(−2) > 0, allora non ci sono zeri

(e) nessuna delle precedenti

15. Quale delle seguenti affermazioni e esatta:

(a) ex � (√

π)x per x → +∞(b) ex ∼ (

√2)x per x → +∞

(c) ex = o((√

2)x)

per x → +∞

(d) (√

2)x = o (ex) per x → +∞(e) πx = o

((√

2)x)

per x → +∞

16. Qual e il risultato del limite limx→+∞

cos(√|x|+ 1− x)√|x|+ 1− x

(a) +∞(b) 0

(c) 1

(d) −∞(c) @

17. La parte principale, per x → 0, di 2 log(cos(ex2 − 1)

)e

(a) −x4

(b) x4

(c) x2

(d) −x2

(e) 2x2

RISPOSTE AI QUESITI

Item n◦ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Risposta d e d e b e b a e c d a a b d b a


DERIVATE - Quiz 2


1. Data la funzione f(x) = |x2 − 4|, quale delle seguente affermazioni e vera?

(a) f ′(0) 6= 0

(b) f ′(0) = 1

(c) f ′(0) = −1

(d) f(x + 2) non e derivabile in x = 0

(e) f(x− 2) e derivabile in x = 0

2. Il rapporto incrementale della funzione g(x) = cos(f(x)

), nel punto x0 e:

(a)cos

(f(x)

)−cos

(f(x0)

)x−x0

(b)cos

(f(x)

)−cos

(f(x0)

)f(x)−f(x0)

(c)cos

(f(x)−f(x0)

)x−x0

(d)cos

(f(x)−f(x0)

)f(x)−f(x0)

(e)cos

(f(x)

)−cos

(f(x0)

)f(x−x0)

3. La funzione f(x) = 5x2+2x+3:

(a) non e derivabile

(b) f ′(x) = (x2 + 2x + 3) ln 5 f(x)

(c) f ′(x) = (x2 + 2x + 3) f(x)

(d) f ′(x) = (x + 1) ln(25) f(x)

(e) f ′(x) = 2 (x + 1) f(x)

4. La derivata della funzione f(x) = ln(sin 1

(x−1)2

)e:

(a) f ′(x) = − tan(

1(x−1)2

)2

(x−1)3

(b) f ′(x) = ln(sin 1

(x−1)2

)cos 1

(x−1)2

(c) f ′(x) = − cot(

1(x−1)2

)2

(x−1)3

(d) f ′(x) = cot(

1(x−1)2

)2

(x−1)3

(e) f ′(x) = tan(

1(x−1)2

)2

(x−1)3

5. Per quali valori di a e b la funzione f(x) ={

4 arctan 1x x > 1

ax2 + bx x ≤ 1 e derivabile in R?

(a) a = 2− π; b = 2(π + 1)

(b) a = −2− π; b = 2(π − 1)

(c) a = 2 + π; b = 2(π − 1)

(d) a = 2− π; b = 2(π + 1)

(e) a = 2− π; b = 2π + 1


6. Sia data la funzione f(x) = e−x∣∣x− π

2

∣∣ cos x. Quale delle seguenti affermazioni e FALSA?

(a) f(x) non e derivabile in x =π

2(b) f(x) e derivabile in x = 0

(c) @ limx→−∞

f(x)

(d) f(x) e continua

(e) limx→+∞

f(x) = 0

7. E’ data la funzione f : [−3, 4] ⊆ R → R, ivi continua, tale che f(−3) = 5, f(4) = 1. Quale delleseguenti affermazioni NON e necessariamente vera?

(a) f([−3, 4]) e un intervallo chiuso e limitato

(b) La funzione assume in [−3, 4] tutti i valori compresi tra 1 e 5 .

(c) L’equazione f(x) = λ ammette almeno una soluzione se 2 ≤ λ ≤ 4

(d) f(x) ammette almeno uno zero nell’intervallo (−3, 4)

(e) La funzione assume massimo e minimo nell’intervallo [-3,4]

8. La funzione f(x) =3√|x|

x2 + 1:

(a) e derivabile nell’intervallo (−1, 1)

(b) ha due punti di non derivabilita

(c) soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo [-1,1]

(d) non soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [−1, 1]

(e) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [−1, 1]

9. La funzione f(x) = 3x2+2 ln x2x+3 :

(a) ammette un asintoto obliquo per x → ±∞ di equazione y = 32x

(b) ammette asintoto obliquo per x → +∞ di equazione y = 32x

(c) non ha asintoti obliqui

(d) per x → −∞ ha un asintoto obliquo

(e) ammette un asintoto obliquo per x → +∞ di equazione y = 32x− 9

4

10. La funzione inversa della funzione f(x) = x lnx ha come retta tangente al suo grafico, nel suo punto diascissa x = e:

(a) y =12(x− e)− e

(b) y = 2(x− e)− e

(c) x = e

(d) y =12(x− e) + e

(e) y = 2(x− e) + e


11. Data la funzione f(x) = xex, quale delle seguenti proprieta NON e vera?

(a) limx→1

f(1− x)− f(1) = −e

(b) f(x− 2) = (x− 2)ex−2

(c) limx→+∞

f(x− 1)− f(1) = +∞

(d) f ′(0) · f ′(x) = ex(1 + x)

(e) limx→+∞

f(−x)−x

= −∞

12. La funzione f(x) = x arctan 1x − x:

(a) ha due asintoti orizzontali

(b) ammette come asintoto, per x → +∞, la retta di equazione y = −x +π

2(c) per x → +∞ ha la retta di equazione y = −x + 1 come asintoto obliquo

(d) ha come asintoto, per x → −∞, la retta di equazione y = x + 1

(e) non ammette asintoto obliquo

13. Quale delle seguenti proprieta NON e soddisfatta dalla funzione f(x) =x

2− ln

3x− 2x + 1

?

(a) Ha la retta y =x

2+ ln

13

come asintoto obliquo sinistro

(b) Ha lo stesso dominio della funzione f(x) =x

2− ln

x + 13x− 2

(c) Non ha punti a tangente orizzontale

(d) Ha la retta x = −1 come asintoto verticale sinistro

(e) Ha la retta y =x

2− ln 3 come asintoto obliquo

14. Data la funzione f(x) = ln( 3√

x + 8), quale delle seguenti affermazioni e FALSA?

(a) f(x) non soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [−2, 2]

(b) f(x) ha un punto di non derivabilita in x = 0

(c) In x = 0 ha un punto di cuspide

(d) f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [2, 4]

(e) In x = 0 ha un punto di flesso a tangente verticale

Item n◦ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Risposta d a d c b a d d e d e c d c


CALCOLO DIFFERENZIALE - Quiz 2


1. Quale delle seguenti funzioni coincide con la funzione f(x) = x1x ?

(a) f(x) = x−x

(b) f(x) =(1x

)x(c) f(x) = ex log x

(d) f(x) = x√x

(e) f(x) = e−x log x

2. Quale delle seguenti proprieta NON e soddisfatta dalla funzione f(x) = x1x ?

(a) dom f = (0,+∞)

(b) f(x) = xx−1

(c) im f = (0,+∞)

(d) f(x) = e1x log x

(e) La funzione e prolungabile, a destra, per continuita in x = 0

3. La derivata della funzione f(x) = x1x e:

(a) f ′(x) = (1− log x)x1x−2

(b) f ′(x) = (1− log x)x2x

(c) f ′(x) = (1− log x)x1x+2

(d) f ′(x) = (1 + log x)x1x−2

(e) f ′(x) = (1 + log x)x2x

4. La derivata della funzione f(x) =(1x

)xe:

(a) f ′(x) = (log x+ 1)(1x

)x(b) f ′(x) = (log 1

x + 1)(1x

)x(c) f ′(x) = (log x− 1)

(1x

)x(d) f ′(x) = (log 1

x − 1)(1x

)x(e) f ′(x) = (log 1

x + 1)(1x

)x5. Sia f(x) = (x+ 1)k k−x allora:

(a) ha un minimo in x = −1 per k = 3

(b) ha un massimo in x = −1 per k = 3

(c) ha un minimo in x = −1 per k = 2

(d) ha un massimo in x = −1 per k = 2

(e) ∀k ∈ Z, x = 1 non e ne massimo ne minimo per f(x)

6. Sia I ⊆ R un sottoinsieme non vuoto e f : I → R una funzione derivabile e tale che f ′(x) < 0 ∀x ∈ I.Quale delle seguenti affermazioni e corretta?

(a) f e strettamente crescente su I

(b) f e strettamente crescente su I se e solo se I e un intervallo

(c) f e strettamente decrescente su I

(d) f e crescente su I

(e) Se I e un intervallo, allora f e strettamente decrescente su I


7. Il dominio della funzione f(x) =√

1 + log(2x− 3) e:

(a)

(3

2,+∞

)(b)

[3e+ 1

3e,

3

2

)(c)

(3e+ 1

2e,+∞

)(d)

(3

2,

3e+ 1

2e

](e)

[3e+ 1

2e,+∞

)

8. Il dominio della funzione f(x) =

√1

log x− 1 e:

(a) (0, 1) ∪ (1, e]

(b) (1, e]

(c) (0, 1) ∪ [e,+∞)

(d) (1,+∞)

(e) (e,+∞)

9. La funzione f(x) = log |5 + e4x| − log |4− e−5x|:

(a) ha la retta y = 5x+ log 5 come asintoto obliquo, per x→ +∞ e la retta y = 4x− log 4 come asintotoobliquo, per x→ −∞

(b) non ha asintoto obliquo

(c) ha la retta y = 5x− log 5 come asintoto obliquo

(d) ha la retta y = 4x+ log 4 come asintoto obliquo

(e) ha la retta y = 4x− log 4 come asintoto obliquo, per x→ +∞ e la retta y = 5x+ log 5 come asintotoobliquo, per x→ −∞

10. Il limite limx→−∞

log

(2

x5− 4

x2

)log 4x

(a) vale log 3

(b) vale −3

(c) vale 0

(d) vale −∞(e) non esiste

11. Il limite limx→0

ex2 − cos2(3x)√1− 2x2 − 1

vale

(a) 0

(b) 10

(c) −2

(d) −20

(e) −10


12. La successione an = (sin(nπ2 )− cos(nπ2 ))−n2+5

(a) ammette limite finito

(b) ammette limite infinito

(c) e limitata

(d) e crescente

(e) e decrescente

13. Sia f : I = [−7, 4] → R; sapendo che f e derivabile in I e che x0 ∈ I quale delle seguenti affermazioni evera?

(a) se x0 e un punto di minimo per la funzione allora f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) > 0

(b) se x0 ∈ [−6, 3] e un punto di massimo per f allora f ′(x0) = 0;

(c) se f(x0) e minimo per f allora f ′(x0) = 0;

(d) se x0 e un punto di minimo per f allora f ′(x0) = 0

(e) se x0 e un punto di massimo per f allora f ′(x0) = 0;

14. Per la funzione f : [−2, 1)→ R, f(x) = |3x − 1| quale delle seguenti affermazioni NON e vera?

(a) f ammette sup, ma non max assoluto

(b) f ammette minimo assoluto

(c) x = 1 e punto di minimo assoluto

(d) 0 e il minimo assoluto della funzione

(e) x = −2 e un punto di massimo relativo della funzione

15. Per la funzione f(x) = arccosx− π

2, quali delle seguenti affermazioni NON e corretta?

(a) x = 1 e punto di minimo assoluto per la funzione

(b)π

2e il massimo della funzione

(c) esiste f−1(e

4

)(d) f ′(1) = 0

(e) f(e

4

)= −f

(− e

4

)

16. Per la funzione f(x) = | tanhx| quale delle seguenti affermazioni NON e corretta?

(a) x = 0 e punto di minimo assoluto per la funzione

(b) x = 0 e punto angoloso

(c) ∀x > 0, f ′(x) > 0

(d) limx→0+

f ′(x) = 1

(e) f ′(1) =4

e2 + e−2

17. La derivata della funzione f(x) =3√

2x3 + e2x3 e:

(a) f ′(x) =1

3√

2x3 + e2x3

(b) f ′(x) =e2x

3

+ 13√

2x3 + e2x3

(c) f ′(x) =(e2x

3

+ 6x)

33√

2x3 + e2x3


(d) f ′(x) =2x2(e2x

3

+ 1)3√

(2x3 + e2x3)2

(e) f ′(x) =3(e2x

3

+ 1)3√

2x3 + e2x3

18. La derivata della funzione f(x) = log

∣∣∣∣x2 + 2

x2 − 4

∣∣∣∣ e:

(a) f ′(x) =

−12x

(x2 − 4)(x2 + 2)x ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞)

−12x

(x2 − 4)(x2 + 2)x ∈ (−2, 2)

(b) f ′(x) =12x

(x− 2)(x+ 2)(x2 + 2)

(c) f ′(x) =−12x

(x2 − 4)(x2 + 2)

(d) f ′(x) =−12x(x2 + 2)

(x− 2)(x+ 2)

(e) f ′(x) =

−12x

(x2 − 4)(x2 + 2)x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,+∞)

12x

(x2 − 4)(x2 + 2)x ∈ (−2, 2)

19. La derivata della funzione f(x) = log(x2 − |x2 − 1|+ e) e:

(a) f ′(x) =

0 |x| ≥ 1

4x

(2x2 − 1 + e)x <

√e− 1

2

(b) f ′(x) =4x

(2x2 − 1 + e)

(c) f ′(x) =4x

(x2 − |x2 − 1|+ e)

(d) f ′(x) =

0 |x| > 14x

(2x2 − 1 + e)|x| < 1

(e) f ′(x) =4x

(2x2 − 1 + e)2

RISPOSTE AI QUESITI

Domanda numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Risposta d c a d c e e b e e e c b c d e d c d


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