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NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 4 MODELOS ATÔMICOS Primeira Edição – junho de 2005

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NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA

Prof. Carlos R. A. Lima

CAPÍTULO 4

MODELOS ATÔMICOS

Primeira Edição – junho de 2005

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CAPÍTULO 4 – MODELOS ATÔMICOS

ÍNDICE 4.1- Modelo de Thomson 4.2- Modelo de Rutherford 4.2.1- Trajetória da Partícula α Espalhada 4.2.2- Cálculo Estatístico do Espalhamento de Partículas α 4.2.3- Cálculo da Seção de Choque de Espalhamento 4.3- Espectro Atômico 4.4- Modelo de Bohr 4.5- Experimento de Franck e Hertz 4.6- Integral de Ação e Regras da Quantização 4.7- Modelo de Sommerfeld Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos. 2

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Lista de Exercícios

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m1- O modelo de Thomson para o átomo de hidrogênio prevê um freqüência única de oscilação para o elétron. Considerando o raio do átomo de hidrogênio como sendo R n= 0 05, , calcule o comprimento de onda da radiação emitida por esse átomo. 2- Qual deve ser o raio de um átomo de um elétron, no modelo de Thomson, para que ele irradie um linha espectral de comprimento de onda λ = 600nm ? 3- Por que é necessário considerar uma folha fina em experiências que visam verificar a fórmula do espalhamento de Rutherford? 4- Compare a atração gravitacional entre um elétron e um próton no estado fundamental de um átomo de hidrogênio com a atração coulombiana entre eles. É razoável ignorar a atração gravitacional nesses casos? Resp.: F Fgrav elet ≈

−10 40 . 5- A fórmula do espalhamento de Rutherford não está de acordo para ângulos de espalhamento muito pequenos. Explique o motivo disso.

6- Em que a relação 1 1

212r b

sen Db

= +ϕ ϕcosa f− , que dá a trajetória de uma partícula que se move sob

ação de uma força coulombiana repulsiva proporcional ao inverso do quadrado da distância , difere da dedução da trajetória de um planeta que se move sob influência do campo gravitacional do sol? 7- Qual é a distância de maior aproximação de uma partícula α com 5 30, MeV a um núcleo de cobre em uma colisão frontal? Resp.: 15 . 8 10 15, × − m 8- Um feixe de partículas α de energia 3MeV bombardeia uma lâmina de alumínio. Determine a distância D de menor aproximação ao núcleo do átomo de alumínio associada a uma colisão frontal e o número de núcleos por unidade de volume na lâmina, sabendo-se que o número atômico do alumínio é 13, o número de massa é 27 e a densidade é ρ = 2 70 3, g cm . 9- De acordo com a mecânica clássica, um elétron deve sempre se mover em um átomo com qualquer momento angular. Entretanto, de acordo a teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, o momento angular é quantizado na forma L nh= 2π . O princípio da correspondência pode reconciliar essas duas afirmações? Explique. 10- Mostre que a constante de Planck tem unidades de momento angular. 11- Para as órbitas do átomo de hidrogênio de Bohr, a energia potencial é negativa e maior em módulo do que a energia cinética. Qual a implicação disso? 12- Um átomo de hidrogênio pode absorver um fóton cuja energia exceda sua energia de ligação 13 ? 6, eV 13- A energia de ionização do deutério é diferente da do hidrogênio? Explique. 14- Mostre que a freqüência de revolução de um elétron no modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio é dada por ν = 2 E hn , onde E é a energia total do elétron. 15- (a) Mostre que no estado fundamental do átomo de hidrogênio a velocidade do elétron pode ser escrita como v c= α , onde α é a constante de estrutura fina. (b) A partir do valor de α , o que se pode concluir a respeito do fato de se desprezar os efeitos relativísticos nos cálculos de Bohr?

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16- (a) Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Balmer a partir da fórmula de Bohr. (b) A série de Balmer está entre que limites de comprimento de onda? 17- Calcule o menor comprimento de onda da série de Lyman, da série de Paschen e da série de Pfund para o átomo de hidrogênio. Em qual região do espectro eletromagnético está cada uma? 18- Quanta energia é necessária para remover um elétron de um átomo de hidrogênio em um estado com

? n = 8 19- Um átomo de hidrogênio é excitado de um estado com n = 1 até n = 4 . (a) Calcule a energia que deve ser absorvida pelo átomo. (b) Calcule e trace sobre um diagrama de níveis de energia as energias dos diferentes fótons que serão emitidos se o átomo voltar a seu estado n = 1 . (c) Calcule a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio, ao fazer uma transição de n = 4 a n = 1 em um único salto quântico, supondo que ele está inicialmente em repouso. 20- Um átomo de hidrogênio com energia de ligação ( energia necessária para remover um elétron) de

sofre uma transição para um estado com energia de excitação (diferença de energia entre este estado e o fundamental) de 10 . (a) Calcule a energia do fóton emitido. (b) Mostre essa transição em um diagrama de níveis de energia para o hidrogênio, designando os números quânticos apropriados.

0 85, eV2, eV

21- Calcule a energia necessária para remover um elétron de um átomo de hélio ionizado utilizando o modelo atômico de Bohr. Resp.: 54 . 4, eV 22- O segundo pico na experiência de Franck e Hertz, exatamente abaixo de 10 , se deve a duas excitações consecutivas do primeiro estado excitado do mercúrio ou a uma excitação do segundo estado excitado?

eV

23- Em um experiência do tipo Franck e Hertz, bombardeia-se hidrogênio atômico com elétrons, e obtém-se os potenciais de excitação em 10 e . (a) Trace um diagrama de níveis de energia para as três possíveis transições observadas. (b) Supondo que as diferenças de energia podem ser expressas como

21, V 12 10, V

∆E h= ν , obtenha os três possíveis valores de ν e dos respectivos comprimentos de onda λ . 24- Suponha que, na experiência de Franck e Hertz, a energia eletromagnética emitida por um átomo de Hg, devido à absorção de energia de elétrons com seja expressa por 4 9, eV ∆E h= ν , onde ν é a freqüência correspondente à linha de ressonância λ = 253 6, nm do mercúrio. Calcule o valor de h de acordo com essa experiência e compare com o valor obtido por Planck. 25- Nas estrelas observa-se a série de Pickering no espectro do íon de hélio . Ela é emitida quando o elétron no salta para o nível n a partir de níveis de mais altas energias. (a) Obtenha a fórmula dos comprimentos de onda das linhas que pertencem a essa série. (b) Encontre o comprimento de onda limite dessa série. (c) Essa série pertence a qual região do espectro eletromagnético? (d) Calcule o potencial de ionização em elétrons-volt, se o estiver no estado fundamental.

He+

He+ = 4

He+

26- Se o momento angular da terra de massa , devido ao seu movimento em torno do sol

numa órbita de raio , fosse quantizado segundo a relação de Bohr

M = ×6 0 1024, kgmR = ×15 1011, L nh= 2π , qual seria o

valor do número quântico n ? Poderíamos detectar tal quantização? 27- De outro exemplo de degenerescência na física clássica, além do movimento planetário.

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