Notas de aula - Ton Marar (ton@icmc.usp.br)

Coordenadas polares no plano, conicas e oestudo da equacao geral do segundo grau em duas variaveis

As coordenadas dos pontos P = (x, y) de uma circunferencia de raio r e centro naorigem O do sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} verificam x = r cos(θ)

e y = r sen(θ), sendo θ o angulo entre o vetor−→OP e o eixo de coordenadas Ox.

Variando-se o raio r ∈ R+ podemos preencher todo o plano. Assim, cada ponto doplano e um ponto de alguma circunferencia de centro em O e uma nova forma dedescrever algebricamente os pontos do plano se apresenta.

x

y P

O

P

P

O

Sistema de coordenadas polares no plano

Dado um ponto O e uma flecha com origem em O, a cada ponto P de um plano

contendo a flecha ficam associados dois numeros ρ e θ, assim obtidos: ρ = ‖−→OP‖ e θ

e o angulo entre a flecha e o vetor−→OP, medido no sentido anti-horario. O ponto O e

chamado polo e a flecha fixada e chamada eixo polar. O conjunto {polo, eixo polar} echamado sistema de coordenadas polares no plano. Os numeros ρ e θ sao chamadosraio vetor e argumento, respectivamente. O par (ρ, θ) e denominado coordenadaspolares do ponto P.Escrevemos P = (ρ, θ), embora algumas redundancias ocorram, pois diversos paresde coordenadas polares ficam associados a um mesmo ponto.

Observacoes:1) Variando o argumento θ no intervalo [0, 2π) e o raio vetor ρ ∈ R+, fica associadoa cada ponto do plano um unico par ordenado (ρ, θ), exceto para o polo que temcoordenadas polares (0, θ), qualquer que seja θ.

2) Alguns adotam que tanto θ como ρ podem assumir qualquer valor real, porem enecessario interpretacao apropriada.Qualquer valor pode ser interpretado como argumento de um ponto P do planodesde que se reduza ou aumente o seu valor por multiplos de 2π, de modo a obter0 ≤ θ < 2π. Exemplos: (ρ, 9π

4) = (ρ, π

4); (ρ,−π

3) = (ρ, 5π

3); (ρ,−π) = (ρ, π).

Qualquer valor pode ser interpretado como raio vetor de um ponto P do plano, poremse este valor for negativo, troca-se o sinal e acrescenta-se ou reduz-se o argumentode π. Exemplos: (−1, π

4) = (1, 5π

4); (−2,−π

3) = (2, 2π

3); (−3, π

3) = (3, 4π

3).

3) Nas primeiras experiencias com os sistemas de coordenadas cartesianas, considera-se o plano reticulado por pares de retas perpendiculares, umas paralelas ao eixodos x′s (y = · · · − 2,−1, 0, 1, 2, . . . ) e as outras paralelas ao eixo dos y′s (x =· · · − 2,−1, 0, 1, 2, . . . ), formando uma malha de modo a facilitar a localizacao dos

1

2

pontos no plano. Analogamente, no sistema de coordenadas polares usa-se a malhaconstituida de cırculos concentricos (ρ = 1, 2, . . . ), com centro no polo e segmentosradiais partindo do polo (θ = π

6, π

4, π

3, π

2, . . . ) 1

Relacionamento entre coordenadas cartesianas e polares no plano

Sobrepondo-se um sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} ao sistema decoordenadas polares S ′ = {O, eixopolar}, de modo que o semi-eixo positivo dos x′scoincida com o eixo polar, obtem-se as seguintes transformacoes entre as coordenadaspolares e cartesianas de um mesmo ponto P :

O

P

θ

x

y

ρ

{

x = ρ cos(θ)y = ρ sen(θ)

{

ρ2 = x2 + y2

tg (θ) = y

x, x 6= 0

Esses sistemas fornecem as transformacoes das coordenadas do sistema S ′ para S edo sistema S para S ′, respectivamente.Os pontos de coordenadas (ρ, π

2) e (ρ, 3π

2) tem coordenadas cartesianas com abscissa

x = 0.

Funcoes em coordenadas polares

O

θρ f( )=

Expressoes da forma ρ = f(θ) sao denominadas funcoes em coordenadas polares.O tracado de seu grafico pode ser feito de maneira ”primitiva”, como no caso decoordenadas cartesianas y = f(x). Em outras palavras, apos localizar alguns pontos(ρ, θ) que verificam a igualdade ρ = f(θ) o grafico e obtido ”interpolando-se”ospontos localizados no sistema de coordenadas.

1π

2 , π

3 , π

4 , . . . π

6 ; e o π

5 ?

3

Expressoes algebricas envolvendo as coordenadas ρ e θ, mesmo que nao se possaexplicitar uma dessas coordenadas, serao denominadas equacoes de curvas em coor-denadas polares.Algumas vezes, transformando a expressao algebrica de coordenadas polares paracartesianas, ou vice-versa, pode ser util no tracado das curvas.

Exemplos

Nos exemplos 1 e 2 abaixo, a transformacao para coordenadas cartesianas facilita otracado.

1) ρ = 3 sen(θ).Multiplicando-se por ρ ambos os lados da igualdade obtemos ρ2 = 3ρsen(θ). Aidentificacao da curva em coordenadas cartesianas, x2 + y2 = 3y e mais facil. Defato, completando-se quadrados, podemos escrever x2 + (y − 3

2)2 − 9

4= 0. Portanto,

a curva e uma circunferencia de centro no ponto de coordenadas cartesianas (0, 3

2)

e raio 3

2.

3/2 3 3/2 3

2) ρ cos(θ) = 3 e a reta, em coordenadas cartesianas, x = 3.

Nos tres exemplos abaixo, passar para coordenadas cartesianas nao facilita o tracado.

3) ρ = θ e a espiral de Arquimedes (fig.1(a)).

4) ρ = 1 − sen(θ) e a cardioide (fig.1(b)).

5) ρ = sen(2θ) e a rosacea de quatro petalas (fig.1(c)).

(a) (b) (c)

Figura 1.

Note que ρ = −sen(θ) e a circunferencia dada em coordenadas cartesianas pelaequacao x2 + (y + 1

2)2 = 1

4. Enquanto ρ = 1 − sen(θ) e a cardioide. Portanto, os

graficos em coordenadas polares nao seguem as regras de translacao de graficos docaso cartesiano.

Exercıcios Tracar ρ = cos(2θ), ρ = sen(3θ), ρ = 1 + cos(2θ), ρ = 1 + cos(4θ).

Se k ∈ N e par, ρ = sen(kθ) e a rosacea de 2k petalas. Se k e impar, ρ = sen(kθ)e a rosacea de k petalas. O mesmo vale para ρ = cos(kθ). De fato, as rosaceasρ = sen(kθ) e ρ = cos(kθ) diferem apenas por uma rotacao.

4

O exemplo a seguir mostra que a transfomacao de coordenadas cartesianas parapolares pode facilitar o tracado da curva

A lemniscata.2

E o lugar geometrico dos pontos P de um plano π cujo produto das distancias adois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, e constante e igual a (d(F1, F2)/2)2.

⋆ Equacao cartesianaPara obtermos uma equacao simples da lemniscata em coordenadas cartesianas,fixamos um sistema de coordenadas cartesianas {O, x, y} adequado. Neste caso,tomando-se o eixo 0x contendo o segmento F1F2 e o eixo 0y passando pelo pontomedio de F1F2, obtemos, F1 = (−a, 0), F2 = (a, 0), e assim d(F1, F2) = 2a.Seja P = (x, y) um ponto da lemniscata. Exprimindo em coordenadas a expressaoque define os pontos da lemniscata, d(P, F1)d(P, F2) = (d(F1, F2)/2)2, obtemos aequacao cartesiana

√

((x + a)2 + y2)√

((x − a)2 + y2) = a2.Por meio de algumas operacoes simplificaremos essa equacao.Inicialmente, para eliminarmos os radicais, elevamos ao quadrado ambos os mem-bros, obtendo

((x + a)2 + y2)((x − a)2 + y2) = a4.Simplificando, chega-se a expressao

(x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) = 0.O tracado dos pontos (x, y) que verificam essa equacao nao e nada facil de se obter.

⋆ Equacao polarFixando o sistema de coordenadas polares com polo na origem O e eixo polar coin-cidindo com o semi-eixo positivo dos x′s, temos x = ρ cos(θ) e y = ρ sen(θ).Substituindo na equacao cartesiana da lemniscata, obtemos:

(ρ2)2 − 2a2(ρ2 cos2(θ) − ρ2 sin2θ)) = 0.Simplificando, obtemos a equacao polar da lemniscata

ρ2 − 2a2cos(2θ) = 0.Agora sim, e mais facil tracar a curva. Localizando alguns dos pontos (ρ, θ) queverificam a equacao polar e ”interpolando”obtem-se o tracado.

1 2FF..

1 2FF..

ρ

As curvas definidas como o lugar geometrico dos pontos P de um plano π cujoproduto das distancias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, e constante saochamadas ovais de Cassini. A lemniscata e um caso particular dessas ovais.

2Do dicionario Aurelio

lemniscata [Do lat. lemniscata, ornada de fitas; a sua forma, um 8, lembra um laco de fitas.]Substantivo feminino. 1.Geom. Lugar geometrico dos pontos de um plano cujas distancias a doispontos fixos desse plano sao constantes.

O dicionario esta errado. Quem poderia imaginar - um dicionario errado. O erro ja foi comuni-cado aos editores que insistem em nao corrigir nas novas edicoes.

5

Ovais de Cassini tem a aparencia de certas fatias da superfıcie de um toro (donut).

Curvas obtidas como fatias de um cone sao definidas de modo analogo a lemniscata.

Conicas

1) Elipse3

E o lugar geometrico dos pontos P de um plano π cuja soma das distancias a doispontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, e uma constante. Essa constante, que indicaremospor 2a, tem que ser maior que a distancia d(F1, F2) entre os pontos F1 e F2. Emoutras palavras, d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.

⋆ Equacao cartesiana da elipsePara obtermos uma equacao simples em coordenadas cartesianas para os pontos daelipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qualF1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Em outras palavras, o eixo Ox contem os

3Do dicionario Aurelio (neste caso o dicionario esta certo!)elipse [Do gr. elleipsis, omissao, pelo lat. ellipse.] Substantivo feminino. 1.E. Ling. Omissao

deliberada de palavra(s) que se subentende(m), com o intuito de assegurar a economia da expressao.3.Geom. Lugar geometrico dos pontos de um plano cujas distancias a dois pontos fixos desse planotem soma constante; intersecao de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do coneum angulo maior que o do vertice.

6

pontos F1 e F2 e o eixo Oy passa pelo ponto medio do segmento F1F2 de comprimento2c. Seja 2a, com a > c uma constante positiva.Assim, uma equacao cartesiana da elipse e obtida exprimindo d(P, F1) + d(P, F2) =2a em coordenadas:

√

(x + c)2 + y2 +√

(x − c)2 + y2 = 2a.Isto e,

√

(x + c)2 + y2 = −√

(x − c)2 + y2 + 2a.Elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos:

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2.Ou seja,

(x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2 = −4a√

(x − c)2 + y2.Elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos:

((x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2)2 = 16a2((x − c)2 + y2).Simplificando,

(4cx − 4a2)2 = 16a2((x − c)2 + y2).Isto e,

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).Como a > c, o numero a2 − c2 e positivo e portanto pode ser considerado como oquadrado de algum numero, digamos b. Assim, pondo b2 = a2 − c2, obtemos

x2

a2+

y2

b2= 1.

O sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equacao bem sim-plificada da curva. Esta equacao e denominada equacao reduzida da elipse.

. .-a a

b

-b

F1 F2

c-c

eixo maior

eixo menor

centro

• Os pontos F1 e F2 sao denominados focos da elipse.• A origem O, ponto medio do segmento focal F1F2 e chamado centro.• Os pontos V1 = (a, 0), V2 = (−a, 0), V3 = (0, b) e V4 = (0,−b) sao chamados

vertices.• O segmento V1V2, que contem os focos, e chamado eixo maior.• O segmento V3V4 e chamado eixo menor.• Os segmentos OV1 e OV3 sao chamados semi-eixo maior e semi-eixo menor,

respectivamente.

Exemplo 1: A elipse com focos F1 e F2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y}sao F1 = (−2, 0) e F2 = (2, 0) e medida do semi-eixo maior igual a 3 tem equacao5x2 + 9y2 − 45 = 0.

7

De fato, temos c = 2, a = 3 e portanto b2 = a2 − c2 = 5. Assim, a equacao da elipsee:

x2

9+

y2

5= 1.

Ou seja, 5x2 + 9y2 − 45 = 0.

Exemplo 2: A elipse com focos F1 e F2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y}sao F1 = (1, 1)S e F2 = (3, 1)S e medida do semi-eixo maior igual a 2 tem equacao3x2 + 4y2 − 12x − 8y + 4 = 0.

. .F1 F2

x

x‘

y‘y

O‘

.

x

x‘

y‘y

O‘

P

h

k

O

Figura 2.

De fato, neste exemplo a = 2, c = 1 e portanto b2 = a2 − c2 = 3. Assim, no sistemade coordenadas S ′ = {O′, x′, y′}, sendo O′ = (2, 1)S o ponto medio do segmentofocal e os eixos O′x′ e O′y′ paralelos aos eixos Ox e Oy respectivamente, a elipsetem equacao reduzida

x′2

4+

y′2

3= 1.

Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 2, nota-se que as coor-denadas (x, y) de um ponto P no sistema {0, x, y} se relacionam com as coordenadas(x′, y′) do mesmo ponto P no sistema {0′, x′, y′} da seguinte forma: x′ = x − 2 ey′ = y − 1.Substituindo na equacao reduzida, obtemos:

(x − 2)2

4+

(y − 1)2

3= 1.

Ou seja, 3(x−2)2 +4(y−1)2 = 12, que e o mesmo que 3x2 +4y2−12x−8y +4 = 0.

Observacao: No exemplo acima, a equacao da elipse no sistema de coordenadasS ′ e 3x′2 + 4y′2 − 12 = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equacao3x2 + 4y2 − 12x − 8y + 4 = 0. Note que os coeficientes dos termos do segundo graudas duas equacoes sao identicos enquanto os coeficientes dos termos do primeirograu e termos constantes sao diferentes.A transformacao do sistema de coordenadas S para o sistema S ′, e vice-versa, echamada translacao do sistema de coordenadas. Se O′ = (h, k)S , vide figura 2,entao as translacoes do sistema S = {O, x, y} para o sistema S ′ = {O′, x′, y′} evice-versa, sao dadas pelas transformacoes:

{

x′ = x − hy′ = y − k

{

x = x′ + hy = y′ + k

8

Quase sempre, por meio de translacao adequada os coeficientes dos termos linearesde equacoes do segundo grau em duas variaveis podem ser eliminados, reduzindo aforma da equacao. Isso sera estudado no proximo capıtulo.

Exemplo 3: A elipse com focos F1 e F2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y}sao F1 = (−4,−3)S e F2 = (4, 3)S e medida do semi-eixo maior igual a 6 tem equacao20x2 − 24xy + 27y2 − 396 = 0.

.

.

F1

F2

x

x‘y‘

y

O 4

-4

-3

3

.

x

x‘

y‘

y

O

P

Figura 3.

De fato, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas S ′ = {O, x′, y′} de talmodo que o eixo de coordenadas Ox′ contenha os focos F1 e F2. Assim, F1 = (−5, 0)S′

e F2 = (5, 0)S′. Neste sistema a equacao da elipse possui a forma reduzida (note quec = 5, a = 6 e portanto b2 = a2 − c2 = 11):

x′2

36+

y′2

11= 1.

Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 3, nota-se que as coor-denadas (x, y) de um ponto P no sistema {0, x, y} se relacionam com as coordenadas(x′, y′) do mesmo ponto P no sistema {0, x′, y′} da seguinte forma: x = 4

5x′ − 3

5y′ e

y = 3

5x′ + 4

5y′. Ou de outra forma: x′ = 4

5x + 3

5y e y′ = −3

5x + 4

5y.

Substituindo na equacao reduzida, vem que:

11(4

5x +

3

5y)2 + 36(−

3

5x +

4

5y)2 = 396.

Simplificando obtemos a equacao da elipe: 20x2 − 24xy + 27y2 − 396 = 0.

Observacao: No exemplo acima, a equacao da elipse no sistema de coordenadasS ′ e 11x′2 + 36y′2 − 396 = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equacao20x2 − 24xy + 27y2 − 396 = 0. Note que os coeficientes dos termos do segundo graudas duas equacoes sao diferentes enquanto os coeficientes dos termos do primeirograu e termos constantes sao identicos.A transformacao do sistema de coordenadas S para o sistema S ′, e vice-versa, echamada rotacao do sistema de coordenadas. Se θ e o angulo de rotacao entao astransforma coes do sistema S = {O, x, y} para o sistema S ′ = {O, x′, y′} e vice-versa,sao dadas pelas relacoes:

{

x′ = x cos(θ) + y sen(θ)y′ = −x sen(θ) + y cos(θ)

{

x = x′ cos(θ) − y′ sen(θ)y = x′ sen(θ) + y′ cos(θ)

9

Por meio de rotacao adequada o coeficiente do termo misto xy da equacao do segundograu em duas variaveis pode ser eliminado, reduzindo a forma da equacao. Isso seraestudado no proximo capıtulo.

⋆ Equacao polar da elipsePara obtermos uma equacao polar simplificada da elipse, fixamos o sistema de coor-denadas polares S ′ = {F2,−Ox}, ou seja, polo em F2 e eixo polar coincidindo comoeixo dos x′s no sentido oposto 4.

.F2θ

.θ

c

cos(θ)=

{

d+c

d

Com essa escolha, a relacao entre as coordenadas cartesianas e polares e dada por:x = c − ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ), 0 ≤ θ < 2π.Substituindo na equacao (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2), obtemos:(a2 − c2)(c2 − 2cρ cos(θ) + ρ2 cos2(θ)) + a2ρ2 sen2(θ) = a4 − a2c2.

Expandindo,a2c2 − 2a2cρ cos(θ) + a2ρ2 cos2(θ)− c4 + 2c3ρ cos(θ)− c2ρ2 cos2(θ) + a2ρ2 sen2(θ) =a4 − a2c2.

Simplificando,−2a2cρ cos(θ) + a2ρ2(cos2(θ) + sen2(θ)) + 2c3ρ cos(θ)− c2ρ2 cos2(θ) = (a2 − c2)2.

Ou seja,cρ cos(θ)(−2a2 + 2c2 − cρ cos(θ)) + a2ρ2 = (a2 − c2)2.

Portanto,a2ρ2 = (a2 − c2)2 + 2(a2 − c2)cρ cos(θ) + (cρ cos(θ))2.

Isto e,a2ρ2 = ((a2 − c2) + cρ cos(θ))2.

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros 5, devemos ter,aρ = ((a2 − c2) + cρ cos(θ)).

Assim,

ρ =a2 − c2

a − c cos(θ)=

b2

a − c cos(θ), 0 ≤ θ < 2π.

Pondo e = c/a, a equacao polar da elipse torna-se:

ρ =a − ec

1 − e cos(θ), 0 ≤ θ < 2π.

4esta escolha, pouco natural, e importante para uma certa unificacao deste exemplo com os doisexemplos seguintes

5Para qualquer valor to argumento, (a2−c2)+cρ cos(θ) > 0. De fato, a > c e quando cos(θ) < 0,isto e, π/2 < θ ≤ 3π/2, ρ cos(θ) varia entre 0 e ρcos(π) = (a − c)(−1). Portanto, o valor mınimode (a2 − c2) + cρ cos(θ) e a2 − c2 + c((a − c)(−1)) = a2 − ac > 0.

10

Note que quando θ = 0, ρ = a + c e quando θ = π, ρ = a − c

O numero e = c/a e chamado excentricidade da elipse. Note que 0 < e < 1.Fixado o numero a, quanto menor for a excentricidade (desvio ou afastamento docentro), menor sera o valor de c e portanto os focos da elipse estarao mais proximosdo centro da elipse.

excentricidade

pequena grande

. . . .

2) Hiperbole6

E o lugar geometrico dos pontos P de um plano π cuja diferenca das distancias adois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, e uma constante. Essa constante, indicamospor 2a, e menor que a distancia d(F1, F2) entre os pontos F1 e F2. Em outras palavras,|d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a.

⋆ Equacao cartesianaPara obtermos uma equacao simples em coordenadas cartesianas para os pontos

da elipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} noqual F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Em outras palavras, o eixo Ox contemos pontos F1 e F2 e o eixo Oy passa pelo ponto medio do segmento F1F2.

Para obtermos uma equacao em coordenadas cartesianas dos pontos da hiperbole,fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F1 =(−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Seja 2a uma constante positiva, com a < c. Assim,a equacao cartesiana da hiperbole e obtida da expressao |d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a.

Vamos assumir que√

(x + c)2 + y2−√

(x − c)2 + y2 > 0. A analise do caso contrarioe analoga.

6Do dicionario Aureliohiperbole [Do gr. hyperbole, pelo lat. hyperbole.] Substantivo feminino. 1.E. Ling. Figura

que engrandece ou diminui exageradamente a verdade das coisas; exageracao, auxese. 2.Geom.Lugar geometrico dos pontos de um plano cujas distancias a dois pontos fixos desse plano temdiferenca constante; intersecao de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do coneum angulo menor que o do vertice. Com uma escolha adequada das coordenadas cartesianas x ey, sua equacao pode ser simplificada a (x2/a2) − (y2/b2) = 1, onde a e b sao constantes.

11

Assim, P = (x, y) e um ponto da hiperbole se, somente se,√

(x + c)2 + y2 −√

(x − c)2 + y2 = 2a.Ou seja,

√

(x + c)2 + y2 =√

(x − c)2 + y2 + 2a.Elevando-se ambos os membros ao quadrado,

(x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a√

(x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2.Isto e,

(x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2 = 4a√

(x − c)2 + y2.Novamente elevando-se ao quadrado,

((x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2)2 = 16a2((x − c)2 + y2).Simplificando,

(4cx − 4a2)2 = 16a2((x − c)2 + y2).Ou seja,

(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2).Como a < c, o numero c2 − a2 e positivo e portanto pode ser considerado como oquadrado de algum numero, digamos b. Assim, pondo b2 = c2 − a2, obtemos

x2

a2−

y2

b2= 1.

Note que o sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equacaobem simplificada da curva. Esta equacao e denominada equacao reduzida da hiperbole.

a-a ..F1 2F

c-c

assíntotas

x

y

• As retas y = bax e y = − b

ax sao chamadas assıntotas da hiperbole.

• Os pontos V1 = (−a, 0) e V2 = (a, 0) sao chamados vertices da hiperbole.• Os pontos F1 e F2 sao denominados focos da hiperbole.• A origem O, ponto medio do segmento focal F1F2 e chamado centro.• O segmento V1V2 e chamado eixo transverso.• O segmento V3V4, onde V3 = (0,−b) e V4 = (0, b) e chamado eixo conjugado.

Exemplo: Vamos obter a equacao da hiperbole cujas retas assıntotas sao y = x−1e y = −x + 5 e eixo transverso igual a 2.Temos que a = 1. As retas assıntotas cruzam no ponto O′ de coordenadas (3, 2). Nosistema de coordenadas S ′ = {O′, x′, y′} as equacoes das assıntotas sao y′ = ±x′.Assim, b/a = 1 e portanto b = 1. Logo, no sistema S ′ a hiperbole tem equacaox′2 − y′2 = 1. Note que o sistema S ′ e o transladado do sistema S = {O, x, y} para

12

..

assíntotas

x

y

3.

2x‘

y‘

o ponto O′ = (h, k) = (3, 2). Assim, x′ = x− 3 e y′ = y − 2. Portanto, a equacao dahiperbole e x2 − y2 − 6x − 4y + 12 = 0.

⋆ Equacao polar

Para obtermos uma equacao polar simplificada da hiperbole, consideramos o sistemade coordenadas polares S ′ = {F2,−Ox}, ou seja, polo em F2 e eixo polar coincidindocomo eixo dos x′s no sentido oposto, exatamente como fizemos no exemplo anterior.De fato vamos obter a equacao polar de apenas um dos ramos da hiperbole. Nestecaso, o argumento θ deve variar no setor definido pelas assıntotas. Em outraspalavras, φ− π < θ < π − φ, sendo φ tal que tg(φ) = b

a; ou seja, φ e a inclinacao da

reta assıntota 7.

F2

ramos dahipérbole

θθ

x c

assíntotas

Aqui tambem a escolha do sistema polar S ′ fornece as seguintes relacoes:x = c − ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ).Substituindo na equacao (c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2), obtemos:(c2 − a2)(c2 − 2cρ cos(θ) + ρ2 cos2(θ)) − a2ρ2 sen2(θ) = a2c2 − a4.Expandindo,

c4−2c3ρ cos(θ)+c2ρ2 cos2(θ)−a2c2+2a2cρ cos(θ)−a2ρ2 cos2(θ))−a2ρ2 sen2(θ) =a2c2 − a4.Ou seja,

(c2 − a2)2 − 2(c2 − a2)cρ cos(θ) + c2ρ2 cos2(θ) − a2ρ2 = 0.Portanto,

a2ρ2 = ((c2 − a2) − cρ cos(θ))2.

7admitindo valores negativos para ρ e variando θ no intervalo (π − φ, π + φ) obtemos o tracadodo outro ramo da hiperbole

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Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e sabendo que (c2−a2)−cρ cos(θ) > 0,obtemos:

aρ = (c2 − a2) − cρ cos(θ)).Ou seja,

ρ =c2 − a2

a + c cos(θ)=

b2

a + c cos(θ), φ − π < θ < π − φ.8

Pondo e = c/a, obtemos:

ρ =ec − a

1 + e cos(θ), φ − π < θ < π − φ.

O numero e = c/a e chamado excentricidade da hiperbole. Note que e > 1. Fixado0 numero a, quanto maior for a excentricidade (desvio ou afastamento do centro),maior sera o valor de c e portanto os focos da hiperbole estarao mais afastados docentro da hiperbole.

excentricidadepequena

grande

3) Parabola9

E o lugar geometrico dos pontos P de um plano π equidistantes a um ponto fixadoF ∈ π e uma reta fixada r ⊂ π, F /∈ r. Em outras palavras, d(P, F ) = d(P, r).

r

8No exemplo anterior obtivemos para a elipse a equacao polar : ρ = b2

a−c cos(θ) , 0 ≤ θ < 2π.

Mudando a variacao do argumento de 0 ≤ θ < 2π para −π ≤ θ < π, a equacao polar da elipse

torna-se: ρ = b2

a+c cos(θ) , −π ≤ θ < π.9Do dicionario Aurelioparabola [Do lat. parabola ¡ gr. parabole.] Substantivo feminino. 1.Narracao alegorica na qual

o conjunto de elementos evoca, por comparacao, outras realidades de ordem superior. 2.Geom.Lugar geomtrico plano dos pontos equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa de um plano.

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⋆ Equacao cartesianaPara obtermos uma equacao em coordenadas cartesianas, bem simples, dos pontosda parabola, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y}no qual F = (c, 0), r : x = −c e P = (x, y).Assim, a equacao cartesiana da parabola e obtida da expressao d(P, F ) = d(P, r):

√

(x − c)2 + y2 = x + c. Isto e, (x − c)2 + y2 = (x + c)2.Simplificando, obtemos y2 − 4cx = 0 que e uma equacao reduzida, em coordenadascartesianas, da parabola.

.

F

r

-c c .F

• A reta r e chamada diretriz da parabola.• O ponto F e chamado foco.• O ponto V = (0, 0) e chamado vertice.• A distancia do foco ao vertice e chamada parametro da parabola.• O eixo (dos x′s) que contem o foco e e perpendicular a reta diretriz e chamado

eixo da parabola ou eixo de simetria.

Exemplo: Considere a parabola grafico da funcao y = ax2 + bx+ c. Vamos obter ascoordenadas do vertice V e foco F. Como a 6= 0, podemos escrever y = a(x2+ b

ax+ c

a).

Completando o quadrado, obtemos y = a((x+ b2a

)2− b2

4a2 + ca). Ou seja, y+( b2

4a−c) =

a(x + b2a

)2. Pondo y′ = y + ( b2

4a− c) e x′ = x + b

2aa equacao fica y′ = ax′2, portanto

na forma reduzida. Assim, V = (− b2a

,− b2−4ac4a

) e o vertice da parabola. Logo, nosistema de coordenadas S ′ = {V, x′, y′}, onde os eixos V x′ e V y′ sao paralelos aoseixos Ox e Oy respectivamente, o foco F tem coordenadas F = (0, 1

4a)S′ e portanto,

no sistema {O, x, y}, F = (− b2a

, 1−b2+4ac4a

).

.F

V x‘

y‘

x

y

⋆ Equacao polarPara obtermos uma equacao polar simplificada da parabola, fixamos o sistema decoordenadas polares S ′ = {F,−Ox}, ou seja, polo em F e eixo polar coincidindocomo eixo dos x′s no sentido oposto.Escolhido este sistema polar temos, x = c− ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ), −π < θ < π.Substituindo na equacao cartesiana y2 − 4cx = 0 obtemos:

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ρ2 sen2(θ) − 4c(c − ρ cos(θ)) = 0.Isto e,

ρ2 − ρ2 cos2(θ) − 4c2 + 4cρ cos(θ)) = 0.Ou seja,

ρ2 = (ρ cos(θ) − 2c)2.Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e notando que ρ cos(θ) − 2c < 0,obtemos:

ρ = −ρ cos(θ) + 2c, com −π < θ < π.Portanto,

ρ =2c

1 + cos(θ),−π < θ < π,

e uma equacao polar da parabola.

Propriedades unificadoras das conicasSob certos pontos de vista, apresentamos tres deles abaixo, as conicas elipse, parabolae hiperbole podem ser entendidas como casos particulares de um mesmo exemplo.

1) Pontos no infinitoAs curvas elipse, hiperbole e parabola, tem equacoes polares tao semelhantes quesugere uma certa unificacao. Para ver isso e necessario adicionarmos aos pontos doplano euclidiano π os chamados pontos no infinito.

a

a

b

b

c

c1

1

1

reta projetivaplano projetivo

Um ponto no infinito e a direcao de uma reta. Uma reta juntamente com o seuponto no infinito e chamada reta projetiva. Retas paralelas tem o mesmo ponto noinfinito. O plano euclidiano R

2 juntamente com todos os seus pontos no infinitoconstitui o chamado plano projetivo P

2.No plano projetivo as tres curvas, elipse, parabola e hiperbole, sao curvas fechadas.A hiperbole tem dois pontos no infinito, a parabola um e a elipse nenhum ponto noinfinito 10.

2) Propriedades opticas

Supondo que as curvas elipse, parabola e hiperbole sao refletoras, entao um raio deluz que emana de um dos focos reflete por um caminho bem definido (Figura 5). Nocaso da elipse ele reflete e se dirigi ao outro foco. No caso da parabola ele refleteparalelamente ao eixo de simetria da parabola. Finalmente, no caso da hiperbole a

10 No estudo da equacao geral do segundo grau em duas variaveis Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0 verifica-se uma analogia interessante entre esta equacao e a equacao geral do segundo grauem uma variavel ax2 + bx + c = 0. De fato, o sinal do numero ∆ = B2 − 4AC discrimina as tresconicas; isto e, o fato do conjunto dos pontos (x, y) tais que Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0ter dois pontos no infinito, um ponto no infinito ou nenhum ponto no infinito corresponde aosvalores de ∆ positivo, nulo ou negativo, respectivamente

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a

a

b

b

Figura 4. Elipse, hiperbole e parabola: curvas fechadas em P2.

reflexao se da na direcao da reta determinada pelo ponto onde o raio de luz toca umramo da hiperbole e pelo foco do outro ramo.

. .F1 F2 ..F1 2F

.F

Figura 5.

Vamos demonstrar essa propriedade no caso da parabola x2 − 4cy = 0.A reta tangente a parabola y = 1

4cx2 no ponto P = (x0, y0) tem inclinacao 1

2cx0 e

portanto equacao y − y0 = 1

2cx0(x − x0); isto e, x0x − 2cy − 1

2x2

0 = 0. Portanto,

essa reta tangente cruza o eixo dos y′s no ponto A = (0,− 1

4cx2

0). Sendo F = (0, c)e sabendo-se que os pontos P da parabola sao equidistantes a diretiz (neste caso,y = −c) e ao foco, temos d(P, F ) = y0 + c = 1

4cx2

0 + c. Logo, d(P, F ) = d(A, F ). Emoutras palavras, o triangulo APF e isosceles. Logo, os angulos da base, nos verticesA e P sao iguais.

.F

P

A

Portanto sao iguais os angulos de incidencia e reflexao do raio FP que reflete, emrelacao a reta tangente, paralelamente ao eixo de simetria da parabola (neste caso,eixo dos y′s.)

3) Secoes conicas

As curvas elipse, parabola e hiperbole sao obtidas como intersecao de um conecircular reto com um plano. De fato, na figura 6 nota-se que as curvas tem muitasemelhanca com a parabola, elipse e hiperbole. Cada caso depende do angulo que

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parábolaelipses

hipérboles

Figura 6.

o plano faz com o eixo do cone e tambem da posicao do plano. Por exemplo, seo plano for paralelo a (e nao contem) uma das retas geratrizes do cone obtem-seuma curva semelhante a parabola. De fato a curva e uma parabola. Uma pequenamudanca neste plano, de modo que ele deixa de ser paralelo a qualquer uma dasgeratrizes, e a curva intersecao se torna uma hiperbole (se o plano cortar as duasfolhas do cone) ou uma elipse (se o plano so corta uma folha do cone).Demonstraremos essa afirmacao para o caso da elipse. Esferas de Dandelin e o nomeda construcao em homenagem a Germinal Dandelin (1794-1847).Antes porem, vamos mostrar que a intersecao de um cilindro circular reto por umplano π oblıquo ao eixo do cilindro e uma elipse (figura 7(a)).

F

F1

2

P

A

B

(a) (b)

Figura 7.

Introduzimos na parte superior do cilindro uma esfera de raio igual ao raio do cilindroate tocar o plano π no ponto F1. Fazemos o mesmo na parte inferior e obtemoso ponto F2 onde a esfera introduzida tangencia o plano. Essas duas esferas temem comum com o cilindro duas circunferencias contidas em planos paralelos. SejaP um ponto qualquer da curva intersecao do cilindro com o plano π. Considereo segmento AB da geratriz do cilindro passando por P. Como os segmentos PAe PF1 sao tangentes a esfera superior entao eles tem o mesmo comprimento, emoutas palavras, d(P, F1) = d(P, A). Analogamente, os segmentos PB e PF2 tem omesmo comprimento, isto e, d(P, F2) = d(P, B). Como d(P, A) + d(P, B) = d(A, B)

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e constante, segue-se que d(P, F1) + d(P, F2) e constante. Portanto os pontos P daintersecao do cilindro com o plano π constituem de fato uma elipse de focos F1 e F2.Passemos agora a construcao de Dandelin no caso da elipse como secao de um conecircular reto.Considere a intersecao do cone por um plano π de modo a obter uma curva quese assemelha a elipse (figura 7(b)). O plano corta apenas uma das folhas do cone.Vamos demonstrar que existem dois pontos D ∈ π e E ∈ π tais que qualquer pontoB da curva intersecao verifica d(B, D) + d(B, E) e uma constante, isto e, a somadas distancias de B aos pontos D ∈ π e E ∈ π e uma constante. Teremos portantoque os pontos B constituem uma elipse cujos focos sao os pontos D e E.De fato, o plano divide a folha do cone em duas partes, uma limitada e a outra nao.Em cada uma dessas partes introduzimos uma esfera que tangencia o plano e toca ocone ao longo de uma circunferencia. Essas duas circunferencias estao contidas emplanos paralelos. A esfera de raio menor tangencia o plano num ponto digamos E ea de raio maior no ponto D. A geratriz do cone que parte do vertice V e passa peloponto B cruza a circunferencia da esfera menor no ponto A e a maior no ponto C.Como os segmentos BA e BE sao ambos tangentes a esfera menor entao eles tem omesmo comprimento. O mesmo acontece com os segmentos BC e BD.Portanto, qualquer que seja o ponto B na curva obtida da intersecao do cone como plano π, a soma das distancias de B aos pontos de tangencia das esferas com oplano, D e E, e constante e igual ao comprimento do segmento AC, que e constante,qualquer que seja o ponto B, pois as circunferencias estao em planos paralelos. Logo,o lugar gemetrico dos pontos da curva intersecao e de fato uma elipse, com focos De E.