Notas de aula - Ton Marar (ton@icmc.usp.br)

Coordenadas polares no plano, conicas e oestudo da equacao geral do segundo grau em duas variaveis

As coordenadas dos pontos P = (x, y) de uma circunferencia de raio r e centro naorigem O do sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} verificam x = r cos()

e y = r sen(), sendo o angulo entre o vetorOP e o eixo de coordenadas Ox.

Variando-se o raio r R+ podemos preencher todo o plano. Assim, cada ponto doplano e um ponto de alguma circunferencia de centro em O e uma nova forma dedescrever algebricamente os pontos do plano se apresenta.

x

y P

O

P

P

O

Sistema de coordenadas polares no plano

Dado um ponto O e uma flecha com origem em O, a cada ponto P de um plano

contendo a flecha ficam associados dois numeros e , assim obtidos: = OP e

e o angulo entre a flecha e o vetorOP, medido no sentido anti-horario. O ponto O e

chamado polo e a flecha fixada e chamada eixo polar. O conjunto {polo, eixo polar} echamado sistema de coordenadas polares no plano. Os numeros e sao chamadosraio vetor e argumento, respectivamente. O par (, ) e denominado coordenadaspolares do ponto P.Escrevemos P = (, ), embora algumas redundancias ocorram, pois diversos paresde coordenadas polares ficam associados a um mesmo ponto.

Observacoes:1) Variando o argumento no intervalo [0, 2) e o raio vetor R+, fica associadoa cada ponto do plano um unico par ordenado (, ), exceto para o polo que temcoordenadas polares (0, ), qualquer que seja .

2) Alguns adotam que tanto como podem assumir qualquer valor real, porem enecessario interpretacao apropriada.Qualquer valor pode ser interpretado como argumento de um ponto P do planodesde que se reduza ou aumente o seu valor por multiplos de 2, de modo a obter0 < 2. Exemplos: (, 9

4) = (,

4); (,

3) = (, 5

3); (,) = (, ).

Qualquer valor pode ser interpretado como raio vetor de um ponto P do plano, poremse este valor for negativo, troca-se o sinal e acrescenta-se ou reduz-se o argumentode . Exemplos: (1,

4) = (1, 5

4); (2,

3) = (2, 2

3); (3,

3) = (3, 4

3).

3) Nas primeiras experiencias com os sistemas de coordenadas cartesianas, considera-se o plano reticulado por pares de retas perpendiculares, umas paralelas ao eixodos xs (y = 2,1, 0, 1, 2, . . . ) e as outras paralelas ao eixo dos ys (x = 2,1, 0, 1, 2, . . . ), formando uma malha de modo a facilitar a localizacao dos

1

http://www.icmc.usp.br/~walmarar/qui08/eq2xy.pdf

2

pontos no plano. Analogamente, no sistema de coordenadas polares usa-se a malhaconstituida de crculos concentricos ( = 1, 2, . . . ), com centro no polo e segmentosradiais partindo do polo ( =

6,

4,

3,

2, . . . ) 1

Relacionamento entre coordenadas cartesianas e polares no plano

Sobrepondo-se um sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} ao sistema decoordenadas polares S = {O, eixopolar}, de modo que o semi-eixo positivo dos xscoincida com o eixo polar, obtem-se as seguintes transformacoes entre as coordenadaspolares e cartesianas de um mesmo ponto P :

O

P

x

y

{

x = cos()y = sen()

{

2 = x2 + y2

tg () = yx, x 6= 0

Esses sistemas fornecem as transformacoes das coordenadas do sistema S para S edo sistema S para S , respectivamente.Os pontos de coordenadas (,

2) e (, 3

2) tem coordenadas cartesianas com abscissa

x = 0.

Funcoes em coordenadas polares

O

f( )=

Expressoes da forma = f() sao denominadas funcoes em coordenadas polares.O tracado de seu grafico pode ser feito de maneira primitiva, como no caso decoordenadas cartesianas y = f(x). Em outras palavras, apos localizar alguns pontos(, ) que verificam a igualdade = f() o grafico e obtido interpolando-seospontos localizados no sistema de coordenadas.

12 ,

3 ,

4 , . . .

6 ; e o

5 ?

http://www.icmc.usp.br/~walmarar/qui08/pi5.pdf

3

Expressoes algebricas envolvendo as coordenadas e , mesmo que nao se possaexplicitar uma dessas coordenadas, serao denominadas equacoes de curvas em coor-denadas polares.Algumas vezes, transformando a expressao algebrica de coordenadas polares paracartesianas, ou vice-versa, pode ser util no tracado das curvas.

Exemplos

Nos exemplos 1 e 2 abaixo, a transformacao para coordenadas cartesianas facilita otracado.

1) = 3 sen().Multiplicando-se por ambos os lados da igualdade obtemos 2 = 3sen(). Aidentificacao da curva em coordenadas cartesianas, x2 + y2 = 3y e mais facil. Defato, completando-se quadrados, podemos escrever x2 + (y 3

2)2 9

4= 0. Portanto,

a curva e uma circunferencia de centro no ponto de coordenadas cartesianas (0, 32)

e raio 32.

3/2 3 3/2 3

2) cos() = 3 e a reta, em coordenadas cartesianas, x = 3.

Nos tres exemplos abaixo, passar para coordenadas cartesianas nao facilita o tracado.

3) = e a espiral de Arquimedes (fig.1(a)).

4) = 1 sen() e a cardioide (fig.1(b)).

5) = sen(2) e a rosacea de quatro petalas (fig.1(c)).

(a) (b) (c)

Figura 1.

Note que = sen() e a circunferencia dada em coordenadas cartesianas pelaequacao x2 + (y + 1

2)2 = 1

4. Enquanto = 1 sen() e a cardioide. Portanto, os

graficos em coordenadas polares nao seguem as regras de translacao de graficos docaso cartesiano.

Exerccios Tracar = cos(2), = sen(3), = 1 + cos(2), = 1 + cos(4).

Se k N e par, = sen(k) e a rosacea de 2k petalas. Se k e impar, = sen(k)e a rosacea de k petalas. O mesmo vale para = cos(k). De fato, as rosaceas = sen(k) e = cos(k) diferem apenas por uma rotacao.

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O exemplo a seguir mostra que a transfomacao de coordenadas cartesianas parapolares pode facilitar o tracado da curva

A lemniscata.2

E o lugar geometrico dos pontos P de um plano cujo produto das distancias adois pontos fixados, F1 e F2 , e constante e igual a (d(F1, F2)/2)

2.

Equacao cartesianaPara obtermos uma equacao simples da lemniscata em coordenadas cartesianas,fixamos um sistema de coordenadas cartesianas {O, x, y} adequado. Neste caso,tomando-se o eixo 0x contendo o segmento F1F2 e o eixo 0y passando pelo pontomedio de F1F2, obtemos, F1 = (a, 0), F2 = (a, 0), e assim d(F1, F2) = 2a.Seja P = (x, y) um ponto da lemniscata. Exprimindo em coordenadas a expressaoque define os pontos da lemniscata, d(P, F1)d(P, F2) = (d(F1, F2)/2)

2, obtemos aequacao cartesiana

((x + a)2 + y2)

((x a)2 + y2) = a2.Por meio de algumas operacoes simplificaremos essa equacao.Inicialmente, para eliminarmos os radicais, elevamos ao quadrado ambos os mem-bros, obtendo

((x + a)2 + y2)((x a)2 + y2) = a4.Simplificando, chega-se a expressao

(x2 + y2)2 2a2(x2 y2) = 0.O tracado dos pontos (x, y) que verificam essa equacao nao e nada facil de se obter.

Equacao polarFixando o sistema de coordenadas polares com polo na origem O e eixo polar coin-cidindo com o semi-eixo positivo dos xs, temos x = cos() e y = sen().Substituindo na equacao cartesiana da lemniscata, obtemos:

(2)2 2a2(2 cos2() 2 sin2)) = 0.Simplificando, obtemos a equacao polar da lemniscata

2 2a2cos(2) = 0.Agora sim, e mais facil tracar a curva. Localizando alguns dos pontos (, ) queverificam a equacao polar e interpolandoobtem-se o tracado.

1 2FF..

1 2FF..

As curvas definidas como o lugar geometrico dos pontos P de um plano cujoproduto das distancias a dois pontos fixados, F1 e F2 , e constante saochamadas ovais de Cassini. A lemniscata e um caso particular dessas ovais.

2Do dicionario Aurelio

lemniscata [Do lat. lemniscata, ornada de fitas; a sua forma, um 8, lembra um laco de fitas.]Substantivo feminino. 1.Geom. Lugar geometrico dos pontos de um plano cujas distancias a doispontos fixos desse plano sao constantes.

O dicionario esta errado. Quem poderia imaginar - um dicionario errado. O erro ja foi comuni-cado aos editores que insistem em nao corrigir nas novas edicoes.

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Ovais de Cassini tem a aparencia de certas fatias da superfcie de um toro (donut).

Curvas obtidas como fatias de um cone sao definidas de modo analogo a lemniscata.

Conicas

1) Elipse3

E o lugar geometrico dos pontos P de um plano cuja soma das distancias a doispontos fixados, F1 e F2 , e uma constante. Essa constante, que indicaremospor 2a, tem que ser maior que a distancia d(F1, F2) entre os pontos F1 e F2. Emoutras palavras, d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.

Equacao cartesiana da elipsePara obtermos uma equacao simples em coordenadas cartesianas para os pontos daelipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em , S = {O, x, y} no qualF1 = (c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Em outras palavras, o eixo Ox contem os

3Do dicionario Aurelio (neste caso o dicionario esta certo!)elipse [Do gr. elleipsis, omissao, pelo lat. ellipse.] Substantivo feminino. 1.E. Ling. Omissao

deliberada de palavra(s) que se subentende(m), com o intuito de assegurar a economia da expressao.3.Geom. Lugar geometrico dos pontos de um plano cujas distancias a dois pontos fixos desse planotem soma constante; intersecao de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do coneum angulo maior que o do vertice.

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pontos F1 e F2 e o eixo Oy passa pelo ponto medio do segmento F1F2 de comprimento2c. Seja 2a, com a > c uma constante positiva.Assim, uma equacao cartesiana da elipse e obtida exprimindo d(P, F1) + d(P, F2) =2a em coordenadas:

(x