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Normal Multivariada Função densidade conjunta e contorno de probabilidade Prof. José Francisco Moreira Pessanha [email protected] Estatística Multivariada

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Normal MultivariadaFunção densidade conjunta e contorno de

probabilidade

Prof. José Francisco Moreira [email protected]

Estatística Multivariada

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Distribuição normal univariada

( )2

2

1

2

1

−⋅−⋅= σ

µ

σπ

x

exf

( )2,~ σµNXX tem distribuição

Normal com média µ e variância σ2

A função densidade f(x) ésimétrica em torno da média µ da distribuição e possui a

forma de um sino

x

f(x)

µ x

f(x)

µ

A função densidade da normal é totalmente caracterizada por dois parâmetros:a média: E(x) = µµµµa variância: Var(x) = σσσσ2

Seja x uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e desvio-padrão σσσσ

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( )2

2

1

22

1

−−= σ

µ

πσ

x

exf

Distribuição normal univariada

x ~ N(µ,σ2)

( )( ) ( )

( )( ) ( )µσµ

σπ

−−−−

⋅=

xxexf

12

2

1

2/12212

1

Função densidade de probabilidade

Quadrado da distância entre x e a média µ em unidades de desvios padrão Número de desvios padrão entre x e a média

( )( ) ( )µ−σµ−=

σµ− −

xxx 12

2

Substituindo em f(x) tem-se:

( ) ( ) 212212 22 σππσ ⋅=

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Distribuição conjunta de p normais independentes

( ) piexf i

iix

i

i ,1 2

12

21

2=∀

πσ=

σµ−−

Densidade conjunta

variáveis aleatórias independentes( ) ,piNx iii 1 ,~ 2 =∀σµ

Densidadesmarginais

( ) ∏=

σµ−−

πσ=

p

i

x

i

pi

ii

exxf1

21

21

2

2

1,...,

( )( )

σσσπ= =

σµ−−

p

i i

iix

p

pp exxf 1

2

21

222

212

1

2

1,...,

K

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Distribuição conjunta de p normais independentes

( )( )

σσσπ= =

σµ−−

p

i i

iix

p

pp exxf 1

2

21

222

21

2

1

2

1,...,

K

Σ=

σ

σσ

=σσσ

2

22

21

222

21

00

00

00

det

p

p

K

MOM

K

K

( )

µ−

µ−µ−

σ

σ

σ

µ−µ−µ−=

σµ−∑

=

pp

p

pp

p

i i

ii

x

x

x

xxxx

M

L

MOM

L

K22

11

2

22

21

22111

2

100

010

001

( ) ( ) ( )µ−Σµ−=

µ−

µ−µ−

σ

σσ

µ−µ−µ−=

σµ− −

=∑ XX

x

x

x

xxxx T

ppp

pp

p

i i

ii 122

11

1

2

22

21

22111

2

00

00

00

M

L

MOM

L

K

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Distribuição conjunta de p normais independentes

( ) ( )( )

( ) ( )µµ

π

−Σ−− −

Σ==

XX

pp

T

eXfxxf1

2

1

2

1

2

1

2

1,,K

=

px

x

X M

1

( )

==

p

XE

µ

µµ M

1

σ

σσ

2

22

21

00

00

00

pL

MOM

L

Matriz de covariâncias diagonal, pois as p variáveis aleatórias são independentes

Densidade conjunta

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Distribuição normal multivariada

Função densidade de probabilidade de X ~ Np(µ ,Σ)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )µµ

π−Σ−− −

Σ==

XX

pp

T

exxfXf1

2

1

2/1212

1,...,

=

ppp

p

p

p

p

N

x

x

X

σσ

σσ

µ

µ

L

MOM

L

MM

1

11111

,~

Normal p variada (p variáveis aleatórias)

( )Σ,~ µpNX

Distância de Mahalanobis

A distribuição normal multivariada é uma generalizaç ão da normal univariada

Vetor de médias

Matriz de covariâncias

A função densidade da normal multivariada é

caracterizada pelo vetor de médias e pela matriz

de covariância

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Distância de Mahalanobis

( ) ( ) ( )µxΣµx T −− −1

1xppxp

px1

Exemplo: Normal bivariada (p=2)

x1 = peso kgx2 = altura cm

=

2

1

x

xX

=175

70µ

=Σ169

925( )

−−

−−

175

70

169

92517570

2

1

1

21 x

xxx

( )( )

⋅−−−

−+

⋅− 1625

170702

16

175

25

70

16259

1

1 2112

2

2

2

12

xxxx ρ

( ) ( ) ( )µxΣµx T −− −1

Quadrado da distância generalizada entre X e a média µ

Encontra-se no expoente da função densidade da normal

Prasanta Chandra Mahalanobis1893 - 1972

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Normal bivariada

=

2212

1211

2

12

2

1 ,~σσσσ

µµ

Nx

xXNormal bivariada ( p = 2 )

µµ

=µ2x

1x

σσσσ

=Σ2212

1211

Parâmetros da distribuição normal bivariada

Vetor de médias Matriz de covariâncias

( ) ( )( ) ( ) ( )µµ

π−Σ−− −

Σ=

xx

p

T

eXf1

2

1

2/12/2

1Obtenha a densidade conjunta

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22111212

2211

1212 σσρ=σ⇒

σσσ=ρ

σσσρσσρσ

=

σσσσ

=Σ22221112

22111211

2212

1211

( )21222112211

2122211

22221112

22111211 1 ρσσσσρσσσσσρ

σσρσ−⋅=⋅−==Σ

Matriz de covariâncias em função das variâncias e do coeficiente de correlação linear

ρ12 = coeficiente de correlação entre x1 e x2

Normal bivariada

Determinante da matriz de covariâncias = variância generalizada

( ) ( )( ) ( ) ( )µµ

π−Σ−− −

Σ=

XX

p

T

eXf1

2

1

2/12/2

1

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( )

σσσρ−σσρ−σ

Σ=Σ−

11221112

221112221

det1

( )

σσσρ−σσρ−σ

ρ−σσ=Σ−

11221112

221112222122211

1

11

( )

σσσρ−

σσρ−

σρ−

=Σ−

222211

12

2211

12

11212

1

1

1

11

Normal bivariada

Inversa da matriz de covariâncias

22221112

22111211

σσσρσσρσ

( ) ( )2122211 1det ρσσ −⋅=Σ

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( ) ( ) ( ) ( )

−−

−⋅−−

− =−−22

11

222211

12

2211

12

11212

2211 1

1

1

11

µµ

σσσρ

σσρ

σρ

µµx

xxx

TµXΣµX

( ) ( ) ( ) ( )( )

−−−

−+

−−

=−Σ− −

2211

221112

2

22

22

2

11

11212

1 21

1

σσµµρ

σµ

σµ

ρµµ xxxx

xx T

Normal bivariada

( ) ( )( ) ( ) ( )µµ

π−Σ−− −

Σ=

XX

p

T

eXf1

2

1

2/12/2

1

Forma quadrática

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( ) ( )µµ −Σ− − XX T 1

O expoente da densidade normal multivariada é o quadrado da distância generalizada ou distância de Mahalanobis:

X

x1

x2

µ1

µ2 µDistância entre X e µ ( ) ( )

( )

( ) ( )µµ

µµ

µµ

µµ

−−

=

−−

−−

=−+−

XX

x

xxx

xx

T

22

112211

222

211

Quadrado da distância euclidiana

Quadrado da distância de Mahalanobis

Normal bivariada

( ) ( )( ) ( ) ( )µµ

π−Σ−− −

Σ=

xx

p

T

eXf1

2

1

2/12/2

1

Compare a expressão acima com o quadrado da distância euclidiana

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( ) =

−−

−⋅−−

22

11

222211

12

2211

12

11212

2211 1

1

1

1

µµ

σσσρ

σσρ

σρ

µµx

xxx

( )( )

σσµ−µ−ρ−

σµ−+

σµ−

ρ− 2211

221112

2

22

22

2

11

11212

21

1 xxxx

( ) ( ) =−Σ− − µµ XX T 1

Normal bivariada

Cálculo da distância de Mahalanobis

Distância de Mahalanobis ⇒ Soma de parcelas adimensionais

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( ) ( )( )( )

−−−

−+

−−

⋅−

−= 2211

221112

2

22

22

2

11

11212

21

1

2

1

2122211

2112

1,

σσµµρ

σµ

σµ

ρ

ρσσπ

xxxx

exxf

f(x1,x2)

x1

x2

µ1 µ2

Função densidade centrada no vetor média

=

2

1

µµ

µ

Normal bivariada

Função densidade de probabilidade da normal bivariada (p = 2)

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( ) ( )2

2

1

2122211 12

1 CeXf

−=

ρσσπ

µ1 µ2

Valor da função densidade nos pontos que formam a elipse

Normal bivariada

( ) ( )( )( )

−−−

−+

−−

⋅−

−= 2211

221112

2

22

22

2

11

11212

21

1

2

1

2122211

2112

1,

σσµµρ

σµ

σµ

ρ

ρσσπ

xxxx

exxf

O lugar geométrico dos vetores X que satisfazem a igualdade acima é uma elipse centrada no vetor média e com eixos nas direções dos autovetores de Σ.

Função densidade

Fazendo o expoente da densidade normal multivariada igual a uma constante C2 tem-se a equação de uma elipse centrada na média:

( )( ) 2

2211

221112

2

22

22

2

11

11212

21

1C

xxxx =

−−−

−+

−− σσ

µµρσ

µσ

µρ

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Normal bivariada

Eixos da elipse são

parelelos aos eixos das

variáveis

Eixos da elipse são

inclinados em relação

aos eixos das variáveis

Eixos da elipse são

inclinados em relação

aos eixos das variáveis

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Propriedades da distribuição normal multivariada

Seja X um vetor aleatório com distribuição Np(µ,Σ)

Propriedade 1) Combinações lineares das componentes de X tem distribuição normal

( ) Xa

x

x

aaxaxay T

p

ppp =

=++= MKK

1

111( )aaaNy TT Σ ,~ µ

AX

x

x

aa

aa

y

y

Y

pqpq

p

q

=

=

= M

L

MOM

K

M

1

1

1111

( )Tq AANY ΣA ,~ µ

q combinações lineares de p variáveis aleatórias normalmente distribuidas

combinação linear de p variáveis aleatórias normalmente distribuidas

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Propriedades da distribuição normal multivariada

Seja X um vetor aleatório com distribuição Np(µ,Σ)

Propriedade 2) Subconjuntos das componentes de X têm distribuição normal multivariada

( )

( )

=

=+ 2

1

1

1

X

X

x

x

x

x

X

p

q

q

M

M

( ) ( )( )( ) ( )( )2222

1111

,~

,~

Σ

Σ

− µµ

qp

q

NX

NX

( )

( )

=

=+ 2

1

1

1

µµ

µ

µµ

µ

µ

p

q

q

M

M

ΣΣΣΣ

=

+

+++++

+

+

2221

1211

1,1

,11,1,11,1

,1,1

11,1111

ppqppqp

pqqqqqq

pqqqqqq

pqq

σσσσ

σσσσσσσσ

σσσσ

LL

MOMMOM

LL

LL

MOMMOM

LL

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Propriedades da distribuição normal multivariada

Seja X um vetor aleatório com distribuição Np(µ,Σ)

Propriedade 3) Covariâncias nulas entre variáveis normalmente distribuidas indicam que são variáveis independentes

22

11

0

0

σσ

x1 e x2 são independentes

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Forma quadrática

( ) ( ) ( ) 21 CµXΣµX T =−− −

( ) ( )( ) ( ) ( )µµ

π−Σ−− −

Σ=

XX

p

T

eXf1

2

1

2/12/2

1

No caso geral, fazendo o expoente da função densidade igual a uma constante C2 tem-se a equação de um elipsóide centrado na média e com eixos nas direções dos autovetores da matriz de covariâncias Σ:

Elipsóide de vetor aleatório com distribuição normal trivariadaµµµµ

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Forma quadrática

As direções dos eixos do elipsóide são definidas pelas direções dos autovetores da matriz de covariâncias Σ.

Os comprimentos dos semi-eixos do elipsóide são proporcionais aos autovalores da matriz de covariâncias Σ.

( ) ( ) 21 CXX T =−Σ− − µµ

p

peee

λλλ K

K

21

21⇒Σ

autovetores

autovalores

ji

≠∀=

=∀=

0

,11

jTi

iTi

ee

piee ( ) ptraço λλλ +++=Σ K21

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Intervalo de probabilidade da normal univariada

( ) %9522 =+≤≤− σµσµ xP

95%

Seja x uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e variância σ2, então

2,0σ2,0σ 2 desvios padrão em relação a média

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Contorno de probabilidade

Seja X um vetor aleatório com distribuição normal multivariada, X ~ Np(µ,Σ).

( ) ( ) 21 ~ pT XX χµµ −Σ− −

Caso normal bivariada (p=2)

Neste caso,

x1 = peso kgx2 = altura cm

=

2

1

x

xX

=175

70µ

=Σ169

925

( )

−−

−−

175

70

169

92517570

2

1

1

21 x

xxx

( )( ) 22

2112

2

2

2

12 ~

1625

170702

16

175

25

70

16259

1

1 χρ

⋅−−−

−+

⋅−

xxxx

( ) ( ) ( )µxΣµx T −− −1

Função densidade da distribuição qui-quadrado

p=1p=2p=3p=4p=5

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Contorno de probabilidade

define um elipsóide

No caso bivariado (p=2) a forma quadrática define uma elipse

( ) ( ) 21 CXX T =−Σ− − µµSabemos que

Que elipse contém 95% da probabilidade ?

Resposta:

( ) 99,5%522 =χ

95%

95%

( )( ) ( )%51625

170702

16

175

25

70

16259

1

1 22

2112

2

2

2

12 χρ ≤

⋅−−−

−+

⋅−

xxxx

( )( ) ( ) %95%51625

170702

16

175

25

70

16259

1

1 22

2112

2

2

2

12 =

⋅−−−

−+

⋅−

χρ xxxxP

7070

175175

x1 x1

x2 x2

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Contorno de probabilidade

Caso normal bivariada (p=2)

x1 = peso kgx2 = altura cm

=

2

1

x

xX

=175

70µ

=Σ169

925

( )

−−

−−

175

70

169

92517570

2

1

1

21 x

xxx

( )( ) 22

2112

2

2

2

12 ~

1625

170702

16

175

25

70

16259

1

1 χρ

⋅−−−

−+

⋅−

xxxx

( ) ( ) ( )µxΣµx T −− −1

( ) 99,5%522 =χ

( )( )99,5

1625

170702

16

175

25

70

16259

1

1 2112

2

2

2

12 ≤

⋅−−−

−+

⋅−

xxxx ρ

Equação do contorno de probabilidade

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Contorno de probabilidade

( ) ( ) ( )[ ] ααχµµ −=≤−Σ− − 121p

T XXP

( ) ( ) ( )%21 αχµµ pT XX ≤−Σ− −

No caso geral, temos o contorno com probabilidade 1-α de uma distribuição multivariada

Elipsóide centrado na média e com eixos nas direções dos autovetoresda matriz de covariânciaO comprimento de cada semi-eixo do elipsóide é proporcional ao respectivo autovalor

Equação do contorno de probabilidade 1-α

Probabilidade do vetor aleatório pertencer ao contorno

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Exemplo 1: Contorno de probabilidade

Considere a normal bivariada com médias µ1=0 e µ2=2, variâncias σ11=2 e σ22=1 e covariância σ12= . Desenhe o contorno de probabilidade de 50%.

22

122

222

=

2

1) Calcule os autovalores de Σ( )

( )( ) 05,1302/1120122

222

0det

2 =+−⇒=−−−⇒=−

=−Σ

λλλλλ

λ

λI

634,0

366,2

2

1

==

λλ

( ) 39,1%5022 =χ

%50

2

==

αp

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Exemplo 1: Contorno de probabilidade

=

⇒=Σ

21

11

21

11111 366,2

122

222e

e

e

eee λ

2) Calcule os autovetores de ΣAutovetor associado com λ1

Autovetor associado com λ2

=

⇒=Σ

22

12

22

12222 634,0

122

222e

e

e

eee λ

460,0

888,0

366,122

22366,0

21

11

2111

2111

==

==

e

e

ee

ee

888,0

460,0

366,022

22366,1

22

12

2212

2212

=−=

−=−=

e

e

ee

ee

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Exemplo 1: Contorno de probabilidade

3) Desenhe o contorno de probabilidade

( ) 122 5,0 λ⋅χ

( ) 222 5,0 λ⋅χ

( ) 39,1%5022 =χ

634,0

366,2

2

1

==

λλ

x1

x2

=

2

=460,0

888,01e

−=

888,0

460,02e

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Exemplo 1: Contorno de probabilidade

Calculando os autovalores e autovetores de Σ com o R:

1) Entrando com a matriz de covariância no R por coluna:sigma=matrix(c(2,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,1),nrow=2)

2) Calculando os autovalores e autovetores:m=eigen(sigma);lambda=m$values;e=m$vectors

> lambda[1] 2.3660254 0.6339746

> e[,1] [,2]

[1,] -0.8880738 0.4597008[2,] -0.4597008 -0.8880738

Cada coluna é um autovetor

λ1 λ2

e1 e2

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Exemplo 1: Contorno de probabilidade

Desenhando o contorno com o R

1) Entrando com a matriz de covariância no R por coluna:sigma=matrix(c(2,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,1),nrow=2)

2) Desenhando o contorno de 50%plot(ellipse(sigma,centre=c(0,2),level=0.5,npoints=1000),type='l‘,asp=1)

ellipse = pacote obtido em http://pbil.univ-lyon1.fr/library/ellipse/centre = vetor com as coordenadas do centro da elipselevel = nível de probabilidadenpoints = número de pontostype = tipo do ponto

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Exemplo 1: Contorno de probabilidade

Desenhando o contorno com o R

x1

x2

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Exemplo 2: Contorno de probabilidade

A tabela abaixo mostra a idade (anos) e o preço de venda (US$ 1000) para n = 10 carros usados,

0,300,700,451,051,000,300,701,001,902,30preço x2

111098777553idade x1

10987654321carro

a) Desenhe o contorno de probabilidade de 50% e conte quantas observações estão no interior do contorno.

b) Os dados são provenientes de uma distribuição normal bivariada?

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Exemplo 2: Contorno de probabilidade

A tabela abaixo mostra a idade (anos) e o preço de venda (US$ 1000) para n = 10 carros usados,

a) Desenhe o contorno de probabilidade de 50% e conte quantas observações estão no interior do contorno.

2 4 6 8 10 12

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x1

x2

#monta matriz de dadosx1<-c(3,5,5,7,7,7,8,9,10,11)x2<-c(2.30,1.90,1.00,0.70,0.30,1.00,1.05,0.45,0.70,0.30)X<-cbind(x1,x2)# calcula vetor mediamu=apply(X,2,mean)# calcula matriz de covariânciassigma=var(X)# desenha o contorno de 50%plot(ellipse(sigma,centre=mu,level=0.5,npoints=1000 ),type='l',xlim=c(1,12),ylim=c(0,3))points(X)

Apenas 4 pontos no interior do contorno

de 50%

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Exemplo 2: Contorno de probabilidade

A tabela abaixo mostra a idade (anos) e o preço de venda (US$ 1000) para n = 10 carros usados,

Não precisa desenhar o contorno para saber quantas observações estão no seu interior, pois estes pontos devem satisfazer a seguinte desigualdade:

a) Desenhe o contorno de probabilidade de 50% e conte quantas observações estão no interior do contorno.

( ) ( ) ( )αχµµ 21p

T XX ≤−Σ− −

Neste caso p=2 e α=50%, logo o qui-quadrado tabelado é1,39.

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Exemplo 2: Contorno de probabilidade

A tabela abaixo mostra a idade (anos) e o preço de venda (US$ 1000) para n = 10 carros usados,

a) Desenhe o contorno de probabilidade de 50% e conte quantas observações estão no interior do contorno.

Programa Rsinv=solve(sigma)for (i in 1:10){

aux=X[i,]-mud[i]=t(aux)%*%sinv%*%aux

}round(d,2)

4.06 2.11 2.11 0.64 3.27 0.01 0.52 0.65 2.06 2.59

Em 4 observações d<1.39, logo há 4 observações no interior do contorno de 50%

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Exemplo 2: Contorno de probabilidade

A tabela abaixo mostra a idade (anos) e o preço de venda (US$ 1000) para n = 10 carros usados,

b) Os dados são provenientes de uma distribuição normal bivariada?

Dado o pequeno número de observações da amostra (n=10) édifícil rejeitar a hipótese de normalidade bivaridada

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Bibliografia

Johnson, R.A. & Wichern, D.W. AppliedMultivariate Statistical Analysis. 5 ed., Prentice-Hall.