Non-parametrische Testverfahren 11_nonpara1 Gliederung Definition Der χ² Test...

Non-parametrische Testverfahren

11_nonpara 1

Gliederung • Definition• Der χ² Test• Kolmogorov-Smirnov-Test• Überblick weitere Verfahren:

– Der Fisher-Yates-Test – Der McNemar-Test– Cochran-Test (Q-Test)– Der Mediantest– Der U-Test (Mann-Whitney Test)– Vorzeichentest und Vorzeichenrangtest– Der Friedman-Test– Binominal-Test

Non-parametrische Testverfahren

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Definition:

• Nonparametrische (verteilungsfreie) Testverfahren setzen nicht eine bestimmte Verteilungsformen des erfassten Merkmals (z.B. Normalverteilung) voraus.

• Nonparametrische Verfahren werden eingesetzt… für die Analyse von Ordinal- oder Nominalskalierten Variablen

Wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist.

• Parametrische Verfahren dürfen nur verwendet werden, wenn die beteiligten Variablen die gefordert Verteilungsform ausweisen (z.B. Normalverteilung für den t-Test). Sie haben in der Regel eine höher statistische Power.

Der χ² -Test

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• Der χ²-Test („Chi-Quadrat-Test“) dient dem Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten. Er kann eingesetzt werden, wenn 1 oder 2 nominalskalierte unabhängige Variablen vorliegen.

Beispiele:

• Leiden Männer und Frauen gleich häufig an einer bestimmten Erkrankung?

• Leisten hoch-ängstlich und gering-ängstliche Personen gleich häufig Hilfe in einer Notsituation?

Der χ² -Test

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Voraussetzung für den χ² -Test (Faustregeln)

(1) Weniger als 1/5 aller Zellen hat ein erwartete Häufigkeit kleiner als 5.

(2) Keine Zelle weist eine erwartete Häufigkeit kleiner als 1 auf.

Wenn diese Voraussetzungen nicht erfüllt sind, sollte alternativ der Fisher-Yates-Test verwendet werden.

Der χ² -Test

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χ² -Test – Beispiel 1

• Es soll geprüft werden, ob die Verteilung von Männern und Frauen in einer Gruppe signifikant von einer Gleichverteilung abweicht.

• N = 76 (Frauen: 56; Männer: 20)

• Statistische Hypothesen– H0: π(Frau) = π(Mann) – H1: π(Frau) ≠ π(Mann)

Der χ² -Test

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Schritt 1:

• Zunächst werden die nach der H0 zu erwarteten Häufigkeiten berechnet:

• Beobachtet: NF = 56; NM=20

• Erwartet: ???– Gesamtzahl: 76– Bei einer Gleichverteilung wären also 38 Männer und 38 Frauen zu

erwarten.

Der χ² -Test

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Schritt 2:

• Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet:

mit:• k: Anzahl der Stufen der beiden Variablen • fb,i: Beobachtete Häufigkeit in der Zelle (i) • fe,i: Erwartete Häufigkeit in der Zelle (i)

k

i ie

ieibkdf f

ff

1 ,

2,,2

1

Der χ² -Test

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Geschlecht

Frau Mann

Beobachtet 56 20 76

Erwartet 38 38 76

58 20 78

05.1753.853.8

38

18

38

18

38

3820

38

3856 22222

1

df

k

i ie

ieibkdf f

ff

1 ,

2,,2

1

Der χ² -Test

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• Schritt 3: Vergleich des empirischen χ²-Werts mit dem kritischen χ²-Wert.

• Der kritische χ²-Wert wird in Abhängigkeit von den Freiheits-graden und dem gewählten α-Niveau aus einer Tabelle zur χ²-Verteilung abgelesen (Leonhart, S.448f).

• Für α=.05 ergibt sich bei df=1:

• Die H0 muss verworfen werden; folglich kann ein Unterschied nachgewiesen werden.

02.5

05.172

2

krit

emp

Der χ² -Test

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χ² -Test – Beispiel 2

• Frage: Ist die (relative) Häufigkeit hoher bzw. geringer Ängstlichkeit bei Männern und Frauen gleich?

• Statistische Hypothesen– H0: π(Angst | Frau) = π(Angst | Mann) – H1: π(Angst | Frau) ≠ π(Angst | Mann)

Geschlecht

Angst Frau Mann

gering 25 14 39

hoch 33 6 39

58 20 78

Der χ² -Test

11_nonpara 11

Schritt 1: Zunächst werden aus den Randsummen die nach der H0 zu erwarteten Häufigkeiten geschätzt:

Beobachtet:

Erwartet:

Geschlecht

Angst Frau Mann

gering 25 14 39

hoch 33 6 39

58 20 78 N

ff

NN

f

N

ff

jbib

jbibjie

)(..)(

)(..)(),(

Geschlecht

Angst Frau Mann

gering 29 10 39

hoch 29 10 39

58 20 78

Der χ² -Test

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Schritt 2: Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet:

mit:• k, l: Anzahl der Stufen der beiden Variablen • fb(i,j): Beobachtete Häufigkeit in der Zelle (i,j) • fe(i,j): Erwartete Häufigkeit in der Zelle (i,j)

k

i

l

j jie

jiejiblikdf f

ff

1 1 ),(

2),(),(2

1

Der χ² -Test

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Beobachtet: Erwartet:Geschlecht

Angst Frau Mann

gering 25 14 39

hoch 33 6 39

58 20 78

Geschlecht

Angst Frau Mann

gering 29 10 39

hoch 29 10 39

58 20 78

k

i

l

j jie

jiejiblkdf f

ff

1 1 ),(

2),(),(2

11

30.460.160.155.055.010

106

10

1014

29

2933

29

2925 22222

1

df

Der χ² -Test

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• Schritt 3: Vergleich des empirischen χ²-Werts mit dem kritischen χ²-Wert.

• Der kritische χ²-Wert wird in Abhängigkeit von den Freiheits-graden und dem gewählten α-Niveau aus einer Tabelle zur χ²-Verteilung abgelesen (Leonhart, S.448f).

• Für α=.05 ergibt sich bei df=1:

• Die H0 muss verworfen werden; folglich kann ein Unterschied nachgewiesen werden.

84.3

30.42

2

krit

emp

Der χ² -Test in SPSS

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NPAR TEST /CHISQUARE=sex /EXPECTED=EQUAL

• SPSS-Ausgabe:

sexBeobachtetes N Erwartete Anzahl Residuum

1 56 38,0 18,02 20 38,0 -18,0Gesamt 76


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Statistik für Testsex

Chi-Quadrat 17,053a

df 1Asymptotische Signifikanz ,000a. Bei 0 Zellen (.0%) werden weniger als 5 Häufigkeiten erwartet. Die kleinste erwartete Zellenhäufigkeit ist 38.0.

Der Kolmogorov-Smirnov-Test

• Der Kolmogorov-Smirnov-Test vergleicht eine empirische Verteilung mit einer vorgegebenen theoretischen Verteilung (z.B. Normalverteilung).

• Damit ist es möglich, die Voraussetzung parametrischer Testverfahren (z.B. für den t-Test) zu überprüfen.

• Statistische Hypothesen:- H0: Die Variable ist normalverteilt- H1: Die Variable ist nicht normalverteilt

Der Kolmogorov-Smirnov-Test

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Der Kolmogorov-Smirnov-Test in SPSS

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NPAR TESTS/K-S(NORMAL)=freiburg psycho stat.


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Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstestfreiburg psycho stat

N 98 98 98Parameter der Normalverteilunga

Mittelwert 20,8163 19,7908 16,5204Standardabweichung 1,89055 3,04428 3,15650

Extremste Differenzen Absolut ,182 ,124 ,111Positiv ,104 ,063 ,057Negativ -,182 -,124 -,111

Kolmogorov-Smirnov-Z 1,797 1,225 1,098Asymptotische Signifikanz (2-seitig) ,003 ,099 ,179a. Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung.

Wenn p<.05 ist die Normalverteilungsannahme verletzt.

Überblick weitere Verfahren:

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Stichproben Nominaskalen OrdinalskalenUnabhängig • χ² Test

• Fisher-Yates-Test• Mediantest• U-Test (Mann-Whitney) • H-Test (Kruskal & Wallis)

Abhängig • McNemar-Test• Cochran-Test

• Vorzeichen-Test• Vorzeichen-Rang-Test

(Wilkoxon)• Friedman-Test

Der Fisher-Yates-Test

Der Fisher-Yates-Test • Der Fisher-Yates Test wird eingesetzt, um Kontingenztabellen

auszuwerten, wenn die Voraussetzungen des χ²-Test verletzt sind (d.h. bei geringen erwarteten Häufigkeiten).

• Beispiel:

• Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 162f

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Raucher Nichtraucher

Frauen 20 40

Männer 3 5

McNemar-Test

Der McNemar-Test• Der McNemar-Test wird für nominalskalierten Daten in zwei

abhängigen Stichproben (z.B. Messwiederholung) verwendet . • Die erwarteten Häufigkeiten sollten nicht kleiner als 5 sein.• Beispiel: Veränderung des Rauchverhaltens von der Jugend bis ins

Erwachsenenalter.


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Erwachsene

Jugend Nichtraucher Raucher Σ

Nichtraucher 33 3 36

Raucher 18 21 39

Σ 51 24 75

Cochran-Test (Q-Test)

Der Cochran-Test (Q-Test)• Der Cochran-Test dient der Auswertung von nominalskalierten

Daten in mehr als zwei abhängigen Stichproben. • Beispiel: (NR=Nichtraucher; R=Raucher)


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Alter (Jahre)

Vp 12 16 20 24 28

1 NR R R R NR

2 NR R R R R

3 R R R R R

4 NR NR NR NR NR

5 NR NR R R R

Mediantest

Der Mediantest• Der Der Mediantest dient dem Vergleich der zentralen Tendenz

ordinalskalierter Variablen, wenn zwei unabhängige Stichproben vorliegen.

• Beispiel: Die Reaktionszeit bei einer Aufgabe soll zwischen Männern und Frauen verglichen werden (Da die Zeiten nicht normalverteilt sind, soll kein t-Test gerechnet werden)


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U-Test (Mann-Whitney-Test)

Der U-Test (Mann-Whitney-Test)

• Der U-Test vergleicht die zentrale Tendenz eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei unabhängigen Zufallsstichproben.

• Anmerkung: Der U-Test hat einer höhere Power als der Mediantest, jedoch ist er empfindlicher gegenüber Ausreißerwerten.

• Beispiel: Der Therapieerfolg (Rating 1 bis 5) soll zwischeneiner Therapiegruppe und einer „Wartekontrollgruppe“ verglichen werden.


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NPAR TESTS/M-W= freiburg BY sex(1 2) .


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RängeGeschlecht N Mittlerer Rang Rangsumme

freiburg männlich 21 41,57 873,00weiblich 75 50,44 3783,00Gesamt 96

Statistik für Testa

freiburgMann-Whitney-U 642,000Wilcoxon-W 873,000Z -1,312Asymptotische Signifikanz (2-seitig) ,189a. Gruppenvariable: Geschlecht

Weil p>.05 besteht also kein bedeutsamer Rangunterschied.

H-Test (Kruskal & Wallis -Test)

Der H-Test (Kruskal & Wallis -Test)

• Der U-Test vergleicht die zentrale Tendenz eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei unabhängigen Zufallsstichproben.

• Beispiel: Der Therapieerfolg soll zwischen drei Therapie-verfahren sowie einer „Wartekontrollgruppe“ verglichenwerden.

• Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 175ff

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Therapie A Therapie B Therapie CWartekontroll-

gruppe

Therapie-erfolg

4342

2423

4433

2213

Vorzeichentest und Vorzeichenrangtest

Vorzeichentest und Vorzeichenrangtest

• Der Vorzeichentest und der Vorzeichenrangtest nach Wilcoxon vergleichen, wie sich die Merkmalsausprägung eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei abhängigen Stichproben unterscheiden.

• Anmerkung: Der Vorzeichenrangtest nach Wilcoxon hat die höhere Power und ist daher generell zu bevorzugen.

• Beispiel: Es wird überprüft, ob sich die Arbeitsfähigkeit im Laufe einer Reha-Maßnahme verbessert hat. Dabei wird die Arbeitsfähigkeit als 5-stufiges Rating vor und nach der Maßnahme erfasst.

• Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 172ff

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Friedman-Test

Der Friedman-Test• Der Friedman-Test vergleicht die Merkmalsausprägung eines

ordinalskalierten Merkmals zwischen mehr als zwei abhängigen Stichproben.

• Beispiel: Es wird überprüft, ob sich die Arbeitsfähigkeit im Laufe einer Reha-Maßnahme verbessert hat. Dabei wird die Arbeitsfähigkeit als 5-Stufiges Rating zu 3 Messzeitpunkten erfasst (prä-, post-, follow-up - Erhebung).


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Zusammenfassung

• Nonparametrische Testverfahren können eingesetzt werden, wenna) die vorliegenden Daten kein Intervallskalenniveau aufweisen oderb) die Normalverteilungsannahme der parametrischen Tests verletzt ist.

• Der χ²-Test überprüft ob beobachtete und erwartete Häufigkeiten signifikant voneinander abweichen.

• Der Kolmogorov-Smirnov-Test prüft, ob eine empirische Verteilung mit einer theoretisch vorgegebenen Verteilungsform (Normalverteilung) übereinstimmt.

• Der U-Test vergleicht die mittleren Rangplätze zwischen 2 Gruppen.

• Weitere Testverfahren können je nach Skalenniveau, Abhängigkeit der Stichprobe und Anzahl der Gruppen ausgewählt werden

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