New Χ Χαραλάμπους ΑΠΘ - authusers.auth.gr/hara/courses/history_of_math/2012/... ·...

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Εαρινό εξάμηνο 201222.03.12

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ


ΑΠΘ


Προσέγγιση για το π (Αρχιμήδης)

Το θεώρημα εκφράζει τον λόγο τηςπεριφέρειας του κύκλουως προς τηδιάμετρο του κύκλου , δηλ. το π.

3 10/71 < π < 3 1/ 7

(3.14085…< π < 3.14286)

"Κύκλου μέτρησις"


ΑΠΘ


Κατασκευάζει κανονικά 96-γωνα (ένα εγγεγραμένο καιένα περιγεγραμένο του κύκλου), διχοτομώνταςδιαδοχικά τις γωνίες.

Η ΟΑ είναικάθετη στην εφα-πτομένη. Έτσιοι γωνίες είναιπ/ 6, π/12,…


ΑΠΘ


Χρησιμοποιεί τη Πρόταση 3, βιβλίο 6, Στοιχεία

AD διχοτομεί την γωνία BACΤότε

BD: DC= AB: AC

Μαζί με τη χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος, συγκρίνει το λόγο της διαμέτρου του κύκλου με τιςπεριφέρειες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων96-γώνων και παίρνει άνω και κάτω όρια .


ΑΠΘ


Βιβλίο 1, περί επιπέδων ισορροπιών

ΤΑ ΜΕΓΕΘΕΑ ΙΣΟΡΡΟΠΕΟΝΤΙ ΑΠΟ ΜΑΚΕΩΝ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΟΤΩΣΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΧΟΝΤΩΝ ΤΟΙΣ ΒΑΡΕΣΙΝ.

Τα μεγέθη Γ, Δ θα έρθουν σε ισορροπία ως προς το Ε όταν οι αποστάσεις τουςαπό το Ε, δηλ. ΒΕ, ΑΕ ικανοποιούν σχέση αντιστρόφως ανάλογες με τοβάρος τους:

Γ:Δ=AΕ: BE

Δος μοι πα στω και τα γαν κινάσω

ΤΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΝ ΒΑΡΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΚΙΝΟΥΝ, ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΕΝ.


ΑΠΘ



ΑΠΘ


Παλίμψηστος


ΑΠΘ


Παλίμψηστα: αρχαίοι πάπυροι και περγαμηνές πολλαπλής χρήσης.

Το παλίμψηστο (συλλογή προσευχών) εξετάστηκε το 1906 στηΚωνσταντινούπολη από τον Heiberg που αντιλήφθηκε τη σημασία του. Διάβασε 80%, και βρήκε 7 κείμενα του Αρχιμήδη.

Χάθηκε 1922-1998. Βρέθηκε σε πολύ χειρότερη κατάσταση…

Το 1998 πουλήθηκε σε πλειστηριασμό του Christie’s στην Νέα Υόρκη για2,2 εκατομμύρια δολάρια. Αγοραστής: άγνωστος

Σήμερα βρίσκεται στο Walters Art Museum


ΑΠΘ


Στο Παλίμψηστο βρίσκονται 7 έργα του Αρχιμήδη

«Περί επιπέδων ισορροπιών»

«Κύκλου μέτρησις»

«Περί των μηχανικών θεωρημάτων, προς Ερατοσθένη έφοδος»

«Περί ελίκων»

«Στομάχιον»

«Περί των επιπλεόντων σωμάτων»

«Περί σφαίρας και κυλίνδρου».


ΑΠΘ



ΑΠΘ


Παλίμψηστος--ευχολόγιον


ΑΠΘ


Καὶ γάρ τινα τῶν πρότερόν μοι φανέντων μηχανικῶς ὕστερον γεωμετρικῶςἀπεδείχθη διὰ τὸ χωρὶς ἀποδείξεως εἶναι τὴν διὰ τούτου τοῦ τρόπου θεωρίαν·ἑτοιμότερον γάρ ἐστι προλαβόντα διὰ τοῦ τρόπου γνῶσίν τινα τῶν ζητημάτωνπορίσασθαι τὴν ἀπόδειξιν μᾶλλον ἤ μηδενὸς ἐγνωσμένου ζητεῖν.

Άλλωστε κάποιες ιδιότητες που στην αρχή μουαποκαλύφθηκαν με τη μηχανική στη συνέχειααποδείχθηκαν με τη γεωμετρία, διότι η προσέγγισηπου γίνεται με τη μέθοδο αυτή δεν επιδέχεταιαπόδειξης. Είναι ευκολότερο να οδηγηθείς στηναπόδειξη, εάν έχεις αποκτήσει εκ των προτέρωνκάποια γνώση του πράγματος, παρά αν ψάχνειςκάτι για το οποίο δεν έχεις την παραμικρή ιδέα.

Αρχιμήδης,Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένην έφοδος


ΑΠΘ


Ο Αρχιμήδης στην Έφοδο για την μέθοδό του:

για να βρούμε ένα ζητούμενο εμβαδόν ή όγκο κόβουμετην επιφάνεια ή το σώμα σ' ένα πολύ μεγάλο αριθμόλεπτές, παράλληλες και επίπεδες λωρίδες ή λεπτέςπαράλληλες φέτες και (νοητά) κρεμάμε αυτά τακομμάτια στο ένα άκρο δεδομένου μοχλού με τέτοιοντρόπο, ώστε αυτά να βρίσκονται σε ισορροπία με ένασχήμα του οποίου η περιεκτικότητα και το κέντροβάρους είναι γνωστά.


ΑΠΘ


Αρχιμήδης

Ο όγκος του κυλίνδρου (με ακτίνα r καιύψος 2r) είναι 3/2 του όγκου τηςσφαίρας (με ακτίνα r)!


ΑΠΘ


Ογκος κυλίνδρου


ΑΠΘ


Όγκος σφαίρας


ΑΠΘ


Όγκος κώνου

εγκάρσια τομή κύκλος με ακτίναr(h-z)/h


ΑΠΘ


Κόκκινος κύλινδρος: ακτίνα 2r, ύψος 2r μπλέ κώνος: ακτίνα 2r, ύψος 2r(προσοχή: ο κύλινδρος (και ο κώνος) έχει βάση με ακτίνα διπλάσια από αυτή τουθεωρήματος του Αρχιμήδη )

Γνωστό από τον Ευκλείδη: Κύλινδρος LEFG=3 κώνος AEF,[Στοιχεία, Πρόταση 7.10]

Κύλινδρος =3 κώνος [Στοιχεία, Πρόταση 13.10]


ΑΠΘ


Θα ισορροπήσουμε το σύστημα σφαίρας,κώνου, κυλίνδρουως προς Α, τη κορυφή του κώνου. Έστω ΗΑ=ΑC=2r


ΑΠΘ


Από ιδιότητες ομοίων τριγώνων προκύπτει ότιHA: AS= MN2 : (OP2 +QR2 )

Όμως το πρώτο τετράγωνο αντιστοιχεί στοεμβαδόν του κύκλου με διάμετρο MN

ενώ τα άλλα δύο τετράγωνα αντιστοιχούν στοεμβαδόν του κύκλου με διάμετρο OP

και στοεμβαδόν του κύκλου με διάμετρο QR

Οι εγκάρσιες τομές σφαίρας, κώνουκαι του κυλίνδρου, είναι κύκλοι!!

Θεωρούμε την τομή MN


ΑΠΘ


Είδαμε ότι HA: AS= (π/4 MN2): ((π/4 OP2 )+ (π/4 QR2 ) )

Άρα το σύστημα που αποτελείται από τη φέτα του κυλίνδρου (με βάσηEF) τη φέτα της αρχικής σφαίρας καιτη φέτα του κώνου (με βάση EF) όλα με ελάχιστο πάχος στο MNισορροπεί ως προς το Α αν θέσουμε τις φέτες της σφαίρας και του κώνου στοH και τη φέτα του κυλίνδρου στο S, (το κέντρο βάρους για αυτή τη φέτα).


ΑΠΘ


Συμπέρασμα: Το σύστημα ισορροπεί ως προς το Ααν θέσουμεστο Η την σφαίρα και τον κώνο και στοΚ τον κύλινδρο (αφού Κ είναι το κέντρο βάρους του κυλίνδρου).


ΑΠΘ


Αφού κύλινδρος = 3 * κώνος έπεται ότι

κώνος= 2 *σφαίρα

ΆραΗΑ: AK=κύλινδρος: σφαίρα + κώνος

ΑφούHA=2 ΑΚ

έπεται ότι

κύλινδρος = 2(σφαίρα+ κώνος)


ΑΠΘ


κώνος EAF= 2 σφαίρα

Σύμφωνα με 12.12, Στοιχεία έχουμε ότι

κώνος EAF = 8 κώνος ΒΑDΆρα

σφαίρα = 4 κώνος BAD

Επίσης (12.10, Στοιχεία)

κύλινδρος VXBD = 3 κώνος BAD

ενώκύλινδρος VXYW = 2 κύλινδρος VXBD

Άρακύλινδρος VXYW = 6 κώνος BAD=

6/4 σφαίρα = 3/2 σφαίρα


ΑΠΘ


Ισορροπία και εμβαδά

Το εμβαδόν ανάμεσα στην παραβολή και τέμνουσαισούται τα 4/3 του αντίστοιχου τριγώνου

Μία απόδειξη ήταν Γεωμετρική. Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησηςκαι υπολόγισε ένα άπειρο άθροισμα (όριο σειράς?).

Ιδιότητατριγώνου:τέμνουσαπαράλληλη μεεφαπτομένηστο C


ΑΠΘ


Βασική ιδέα: παίρνουμε τομές και θεωρούμε ότιτο τρίγωνο ABC και το κομμάτι ανάμεσα στηπαραβολή και τέμνουσα ΑΒ αποτελείται απόευθύγραμμα τμήματα πουθα ισορροπήσουμε ως προς D.

Απόδειξη βασισμένη στην έννοια της ισορροπίας

(θέμα παρουσίασης)

BC εφαπτομένη στο Β, BD=DP Τρίγωνο ABC = 4 τρίγωνο ΑΒVΙδιότητες παραβολής


ΑΠΘ


Διόφαντος ~τρίτος αιώνας μ.Χ.

Έργα του:Αριθμητική (13 βιβλία, σώζονται6)

Περί πολυγώνων αριθμών

Πορίσματα

http://biographies.nea-acropoli.gr/index.php?option=com_mailto&tmpl=component&link=aHR0cDovL2Jpb2dyYXBoaWVzLm5lYS1hY3JvcG9saS5nci9pbmRleC5waHA/b3B0aW9uPWNvbV9jb250ZW50JnZpZXc9YXJ0aWNsZSZpZD0yNjotMjAwLTI4NC0mY2F0aWQ9NjptYXRoaW1hdGlrYSZJdGVtaWQ9MTc=

http://biographies.nea-acropoli.gr/index.php?view=article&catid=6%3Amathimatika&id=26%3A-200-284-&tmpl=component&print=1&layout=default&page=&option=com_content&Itemid=2

http://biographies.nea-acropoli.gr/index.php?view=article&catid=6%3Amathimatika&id=26%3A-200-284-&format=pdf&option=com_content&Itemid=2


ΑΠΘ


Σε ελεύθερη μετάφρασηΠαλατινή ανθολογία 8.126(6ος αιώνας μ.Χ.):

Σ' ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΤΑΦΟ ΑΝΑΠΑΥΕΤΑΙ Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ. …Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΘΑ ΔΩΣΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣΤΟΥ. ΑΚΟΥΣΕ. Ο ΘΕΟΣ ΤΟΥ ΕΠΕΤΡΕΨΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙΝΕΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΝΑ ΕΚΤΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΜΑΕΝΑ ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΚΑΙ ΦΥΤΡΩΣΕ ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΓΕΝΙΤΟΥ. ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΕΒΔΟΜΟ ΑΚΟΜΑ, ΗΡΘΕ ΤΟΥΓΑΜΟΥ ΤΟΥ Η ΜΕΡΑ. ΤΟΝ ΠΕΜΠΤΟ ΧΡΟΝΟΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ, ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΕΝΑ ΠΑΙΔΙ. ΤΙΚΡΙΜΑ, ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΑΡΟ ΤΟΥ ΓΙΟ. ΑΦΟΥ ΕΖΗΣΕΜΟΝΑΧΑ ΤΑ ΜΙΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΤΟΥ, ΓΝΩΡΙΣΕ ΤΗΝ ΠΑΓΩΝΙΑ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ. ΤΕΣΣΕΡΑΧΡΟΝΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ, Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΒΡΗΚΕΠΑΡΗΓΟΡΙΑ ΣΤΗ ΘΛΙΨΗ ΤΟΥ, ΦΤΑΝΟΝΤΑΣ ΣΤΟΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ.

(1/6)n + (1/12)n + (1/7)n 5 + (1/2)n +4 = n

Λύση: n=84


ΑΠΘ


Σύμβολα του Διόφαντου (συγκεκομμένη άλγεβρα)

ς : άγνωστος xΔY : x2 ( δύναμις)KY : x3 ( κύβος)ΔYΔ: x4 ( δυναμοδύναμις)ΔKY : x5 ( δυναμόκυβος)KYK: x6 (κυβόκυβος )ςX : 1/x = x ‐1 (ειδικές ονομασίες για αντίστροφα)ις : ίσος


ΑΠΘ


H «Αριθμητική» του Διόφαντου είναι συλλογή 150 περίπου προβλημάτων, με συγκεκριμένα αριθμητικάπαραδείγματα.

Από αυτή τη μελέτη: λείπει η συστηματική μελέτη των αλγεβρικών πράξεων, και ησυστηματική μελέτη επίλυσης εξισώσεων.δεν γίνεται προσπάθεια εύρεσης όλων των πιθανών λύσεων.ο Διόφαντος αναγνωρίζει μόνο τις θετικές ρητές ρίζεςαν υπάρχουν δύο θετικές ρίζες, αναγνωρίζει μόνο τη μεγαλύτερη.δεν αναγνωρίζει καθόλου τις αρνητικές λύσεις. στα αόριστα προβλήματα (με άπειρο αριθμό λύσεων) δίνει μόνομία απάντηση.


ΑΠΘ


Τα μεγάλα θετικά (εκτός από τον μερικό συμβολισμό):

Ο Διόφαντος έδωσε κανόνες για μαθηματικές εκφράσεις:

μεταφορά όρων από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο, ακύρωση όμοιων όρων από τις δύο πλευρές της ισότητας.

Όρισε αρνητικές δυνάμεις για τους αγνώστους και τους κανόνες για τους εκθέτες

Έδωσε κανόνες για το γινόμενα που αφορούν όρους με αρνητικούς συντελεστές: παρ. ( -)(-)=(+)

Απομάκρυνση από την γεωμετρική άλγεβρα, (οι όροι δεν χρειάζεται να είναιομογενείς), δουλεύει με δυνάμεις μεγαλύτερες του 3.


ΑΠΘ


Πρόβλημα Ι‐28

Να βρεθούν δύο αριθμοί έτσι ώστε το άθροισμά τους και τοάθροισμα των τετραγώνων τους να είναι δοθέντες αριθμοί:Σήμερα:

Λύση: Διόφαντος: Έστω το άθροισμα είναι 20 και το άθροισματων τετραγώνων είναι 208.

Τότε έστω ότι η διαφορά των δύο αριθμών (του μεγαλύτερουαπό τον μικρότερο) είναι 2x.


ΑΠΘ


Τo 10 είναι το μισό του πρώτου αθροίσματος. Άρα

και ο αριθμός x είναι 2 ενώ οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 8 και 12.

Ερμηνεία (δική μας): έστω z,y οι δύο αριθμοί όπου z>y. Αν λοιπόν το z διαφέρει από το y κατά 2x τότε αφού

z+y=20 έχουμε ότι 2z-2x=10 και άραz=10+x, ενώ y=10-x.

Αντικαθιστούμε z και y στη σχέση των τετραγώνων καιλύνουμε ως προς x.


ΑΠΘ


Πότε δουλεύει αυτή η τεχνική σύμφωνα με τον Διόφαντο?

( ας θυμηθούμε ότι για λύσεις αναγνωρίζει μόνο θετικούς ρητούς.)

Ξανά το γενικό πρόβλημα : να βρεθούν θετικοί ρητοί z και y έτσι ώστε

Μέθοδος του Διόφαντου:

Αντικατάστασηστη δεύτερη εξίσωση:


ΑΠΘ


Έτσι

και

Θα έχουμε «λύση» (σύμφωνα με τονΔιόφαντο) όταν είναι «ρητός»

δηλαδή αν και μόνο αν είναι τετράγωνο

άρα και


ΑΠΘ


Την συνθήκη αυτή ο Διόφαντος, την δίνει αμέσωςμετά την παράθεση του προβλήματος στη γενικήμορφή και πριν ξεκινήσει με την λύση τηςσυγκεκριμένης περίπτωσης: λέει «πρέπει δύο φορές το άθροισμα τωντετραγώνων των αριθμών μείον το τετράγωνο τουαθροίσματος των αριθμών να είναι τετράγωνο.»

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα:


ΑΠΘ


αρκεί βέβαια 2b‐a*α να είναι τετράγωνο!

Παρατήρηση: Δεν υπάρχει γεωμετρικήμεθοδολογία στις μεθόδους τουΔιόφαντου.

σύμφωνα με τον Διόφαντο, οιλύσεις είναι:

Στο γενικό λοιπόν πρόβλημα των δύο εξισώσεων


ΑΠΘ


Σήμερα θα λύναμε ως εξής τις δύο εξισώσεις

Οι δύο λύσεις που παίρνουμε για το y δίνουν τις τιμές για το y και z .


ΑΠΘ


Το τελευταίο θεώρημα του Fermat

(1993, 1995)

Pierre de Fermat (1601 -1665) Sir Andrew John Wiles (1953--)


ΑΠΘ


Ας παύση η πραγματεία των μαθηματικών. Διότι εάν τις δημοσία ή κατ' ιδίαν, καθ' ημέραν ή νύκτωρ συλληφθή αναστρεφόμενος εν τη απαγορευμένη πλάνη, αμφότεροι ας πληγούν δια κεφαλικής ποινής. Διότι δεν είναι διάφορον αμάρτηματο διδάσκεσθαι κεκωλυμένα ή το διδάσκειν». Κώδιξ Θεοδοσιανός (Ουαλεντιανού

και Ουάλεντος), ΙΧ, 16, 8. (438μ.Χ.)

«Οι μαθηματικοί, εάν μή ώσιν έτοιμοι, καυθέντων των κωδίκων της ιδίας πλάνηςυπό τα όμματα των Επισκόπων, να δώσουν πίστιν εις την λατρείαν της

καθολικής πίστεως, ότι δεν θα επανέλθουν εις την παλαιάν πλάνην, ου μόνοναπό της πόλεως Ρώμης, αλλά και εκ πασών των πόλεων αποφασίζομεν ναεκδιωχθούν. Εάν δε δεν κάμνουν τούτο και παρά την σωτηρίαν απόφασιν τηςημετέρας επιεικείας, συλληφθούν εν ταις πόλεσιν· είτε παρεισάγουν τα μυστικάτης πλάνης, θα τύχωσι της ποινής της εξορίας». Αυτοκράτορες Ονώριος και

Θεοδόσιος προς τον Καικιλιανό Ύπαρχο.

«Η μαθηματική τέχνη αξιόποινος ούσα απαγορεύεται». Ιουστινιάνειος Κώδιξ, ΙΧ, 18, 2.


ΑΠΘ


Η υπόθεση του Riemann:τα μη τετριμμένα μηδενικά της ζ(s)έχουν τη μορφή ½+i t όπου tπραγματικός.


ΑΠΘ


Όταν Re(s)>1 τότε

Και όταν 0< Re(s)<1 ισχύει

(τα s=-2,-4,… μηδενίζουν την ζ(s) και είναι τα τετριμμένα μηδενικά της)

Παρένθεση: Η συνάρτηση ζ(s) του Riemann (1826-1866) καιΚατανομή πρώτων αριθμών (1859)


ΑΠΘ


Perelman (1966-) Ρωσία

2002 (η απόδειξη)2006 (η αποδοχή)2006: Fields medal

[κάθε 4 χρόνια] (αρνήθηκε)2010: βραβείο 1,000,000 $

Clay Institute (αρνήθηκε)

(Θέμα παρουσίασης)

New Χ Χαραλάμπους ΑΠΘ - authusers.auth.gr/hara/courses/history_of_math/2012/... ·...

Documents

Transcript of New Χ Χαραλάμπους ΑΠΘ - authusers.auth.gr/hara/courses/history_of_math/2012/... ·...