Nav. ortodromica

NECULAI TATARU

NAVIGAŢIE ORTODROMICĂ

EDITURA ACADEMIEI NAVALE ”MIRCEA CEL BĂTRÂN”

CONSTANȚA, 2010

90-ϕΑ

90-ϕΖ

90

90-ϕV

90-ϕB

P

A(ϕΑ,λΑ)

B(ϕΒ,λΒ)VDi Z

q q'

pp'

ϕΑ ϕΖϕ

ϕΒ

ΔλVΔλz

NECULAI TATARU


Colecţia ”Transporturi Navale”

NECULAI TATARU


Editura Academiei Navale ”Mircea cel Bătrân”

Constanţa, 2010

Referenţi ştiinţifici: Comandor (r) Pavel Ioan SUCIU Conf. univ. dr. Am (r) Traian ATANASIU

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României TATARU, NECULAI Navigaţie ortodromică / Neculai Tataru. - Constanţa : Editura Academiei Navale "Mircea cel Bătrân", 2010 Bibliogr. ISBN 978-973-1870-60-1 656.6

Corector: Ozana Chakarian Tehnoredactare: Neculai Tataru Coperta şi aşezare în pagină: Gabriela Marieta Secu Editura Academiei Navale ”Mircea cel Bătrân” Str. Fulgerului nr. 1, 900218, Constanţa Tel. 0241/626200/1219, fax 0241/643096 Email: [email protected] Copyright © 2010 Editura Academiei Navale „Mircea cel Bătrân” Toate drepturile rezervate ISBN 978-973-1870-60-1

5

CUPRINS

Prefaţă…………………………………………………………… 7

1 NAVIGAŢIE ORTODROMICĂ…………...…………………. 9 1.1 Consideraţii teoretice…………………………........................... 9

1.1.1 Generalităţi………………………………………………………. 9 1.1.2 Consideraţii introductive ………………………………………… 9 1.1.3 Calculul distanţei ortodromice ………………………………….. 12 1.1.4 Calculul drumului iniţial Di şi al drumului final Df……………. 12 1.1.5 Calculul coordonatelor vertexului………………………………... 13 1.1.6 Calculul latitudinii punctelor intermediare……………………… 14

1.2 Algoritm de operaţii …………………………………………… 15 2 NAVIGAŢIE MIXTĂ………………………………………….. 20

2.1 Consideraţii teoretice…………………………............................ 20 2.2 Elementele drumului mixt ……………………………………. 21 2.3 Calculul elementelor drumului mixt………………………….. 21 2.4 Algoritm de operaţii ……………………………………………. 22

3 METODE EXPEDITIVE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE NAVIGAŢIE ORTODROMICĂ ….… 25

3.1 Proiecţia gnomonică. Generalităţi……………………………... 25 3.1.1 Proiecţia gnomonică ecuatorială…………………………………. 26 3.1.2 Proiecţia gnomonică polară………………………………………. 30 3.1.3 Proiecţia gnomonică oblică…………………………………...….. 31

3.2 Determinarea punctelor intermediare ulilizând hărţi gnomonice………………………………………………………. 34

4 PROBLEME REZOLVATE …………………………………... 36 4.1 Ortodrome ce nu traversează ecuatorul ……………………… 36

4.1.1 Problema 1: Gibraltar – Philadelphia…………………………….. 36 4.1.2 Problema 2: Charleston – Gibraltar……………………………… 38 4.1.3 Problema 3: Cape Town - I. Hornus …………………………….. 41 4.1.4 Problema 4: Montevideo – Wallvisbay…………………………... 43 4.1.5 Problema 5: Selat Lombok – Durban ……………………………. 46 4.1.6 Problema 6: Tamatave – Geraldton ……………………………... 48 4.1.7 Problema 7: Guadalupe – Borongan …………………………….. 51 4.1.8 Problema 8: Bashi Chan - Los Angeles …………………………. 54 4.1.9 Problema 9: Noua Caledonie – Calao …………………………… 57

4.1.10 Problema 10: Guayaquil – Auckland ……………………………. 60 4.2 Ortodrome ce traversează ecuatorul …………………………. 63

4.2.1 Problema 11: Halifax – Saldohna ………………………………. 63 4.2.2 Problema 12: Cape Town – Jacksonville …… …………………. 66 4.2.3 Problema 13: Benin River - Puerto Gallegos ……………… …… 69

6

4.2.4 Problema 14: I. Bougainville – Crescent City …………………... 72 4.2.5 Problema 15: San Francisco – I Bougainville ……………..……. 75 4.2.6 Problema 16: Sendai – Str. Magelan ………………..…………... 78 4.2.7 Problema 17: Canal Panama – Wellington .…………………….. 81

4.3 Probleme de drum mixt ………………………………………... 84 4.3.1 Problema 18m: San Diego – Su-Ao ………………………….… 84 4.3.2 Problema 19m: Bashi Chan – Rocas Alijos ………………….… 86 4.3.3 Problema 20m: San Diego – Kashima ………………………….. 93 4.3.4 Problema 21m: Acapulco – Hua Hen ………………………….. 98 4.3.5 Problema 22m: Spring Bay –I. Guarella ..…..………………….. 103 4.3.6 Problema 23m: Lyttelton – I. Guarella ……...………………….. 109 4.3.7 Problema 24m: Port Elisabeth – Fremantle …………………….. 113 4.3.8 Problema 25m: Tristan Da Cunna – Tasmania ...……………….. 118 4.3.9 Problema 26m: Esperance – Cap Horn …………………...…….. 122

4.4 Drum mixt. Probleme speciale ….…………………………….. 127 4.1.1 Problema 27m: Stanley – Princess Royal – latitudine limită la

punctul de plecare…………………………………………..….. 127

4.1.2 Problema 29m: I. Prince Edward – I. Hornus – latitudine limită la punctul de sosire…………………………………………………

133

4.1.3 Problema 30m: Chimbote – I. Kurile – drum mixt cu traversarea ecuatorului ………………………………………………………..

137

Anexa 1………………………………………………………….. 143 Anexa 2…………………………………………………………. 145 Bibliografie……………………………………………………… 147

7

Prefaţă

Se pune problema din ce în ce mai mult a optimizării consumurilor de

combustibil în toate domeniile de activitate. Specificul domeniului transporturilor

maritime este consumul mare de combustibili, de aceea trebuie analizată cu mare

atenţie ruta planificată astfel încât aceasta să fie atât de scurtă pe cât permite

navigaţia în siguranţă.

Minimizarea distanţei pentru o traversadă maritimă se face prin utilizarea

navigaţiei ortodromice care presupune determinarea unui număr de puncte

intermediare pe parcursul unei rute, puncte între care navigaţia se desfăşoară pe

segmente de loxodromă ce ”urmăresc„ îndeaproape ortodroma.

Navigaţia aeriană ca şi cea maritimă pe distanţe lungi se face tot pe

ortodromă. Calculele pentru determinarea punctelor intermediare în cadrul unei

ortodrome se face relativ simplu dacă ruta planificată nu traversează zone de uscat

sau zone aflate la latitudini înalte, cu condiţii hidrometeorologice dificile. În caz

contrar, trebuie impusă o limită de latitudine maximă şi astfel se trece la domeniul

navigaţiei mixte.

Lucrarea de faţă tratează aspectele teoretice ale navigaţiei ortodromice şi

mixte, în maniera clasică de lucru cu tablele nautice sau cu minicalculatorul

ştiinţific în varianta calcului prin logaritmare. Avantajul metodei de utilizare a

minicalculatorului ştiinţific pentru calculul cu logaritmarea expresiilor este că

permite verificarea valorilor printr-un calcul clasic cu tabla nautică.

În unele situaţii se va găsi în culegere rezultatul obţinut în lucrul cu tablele

nautice, la precizie de cinci zecimale iar mai apoi, dacă este cazul, valoarea

obţinută prin calcul mai precis.

Pentru rapiditatea calculelor se folosesc formate tipizate, cu reguli clare de

stabilire a semnelor. Pentru interpretarea corectă a unor rezultate obţinute în urma

calculelor se trasează, pe o schiţă, elementele ortodromei. Acea schiţă trebuie să

constituie o aproximare a reţelei Mercator necesară trasării elementelor

ortodromei. Pentru a avea o mai mare valoare practică, la exemplele utilizate în

această lucrare s-au utilizat ca fundal pentru trasarea elementelor ortodromei chiar

porţiuni de planiglob în proiecţie Mercator.

Ţin să mulţumesc cu deosebire domnului comandor (r) Pavel Ioan Suciu

pentru permanenta îndrumare în realizarea acestei lucrări, pentru încurajările şi

indicaţiile care au dat valoare eforturilor pe care le-am făcut în decursul anilor

pentru elaborarea materialelor şi în stabilirea tematicii.

Conform celebrei butade: ”numai cine nu munceşte nu greşeşte şi trebuie

să fie promovat” sunt convins că s-au strecurat diverse inadvertenţe sau

inexactităţi. De aceia, pentru o mai bună realizare a unei eventuale a doua ediţii,

rog pe toţi aceea care descoperă aşa ceva să-mi trimită observaţiile. Tuturor celor

ce vor contribui la corectarea şi îmbunătăţirea acestui material, le mulţumesc

anticipat.

Autorul

9

CAPITOLUL 1


1.1 CONSIDERAŢII TEORETICE

1.1.1 GENERALITĂŢI

Din ce în ce mai mult se pune problema reducerii consumurilor în toate

domeniile de activitate. În transporturile maritime, cea mai mare pondere în

costuri o reprezintă combustibilul. Cu cât drumul este mai scurt între două

porturi, cu atât costurile vor fi mai mici, iar nava va deveni mai eficientă din

punct de vedere economic.

Drumul cel mai scurt între două puncte pe suprafaţa sferei terestre se

numeşte ortodromă. Din cauză că ortodroma nu intersectează meridianele sub

unghi constant, face ca aceasta să nu poată fi utilizată pentru navigaţie în mod

direct pentru că în acest caz ar trebui ca timonierul să modifice în permanenţă

drumul navei.

Există mai multe metode de rezolvare a problemelor de navigaţie

ortodromică, toate având ca rezultat final lista de puncte intermediare ce trebuie

introduse în cadrul unui plan de marş pentru navigaţia oceanică.

Executarea cu succes a unei traversade, atât sub aspectul siguranţei

navigaţiei, cât şi al celui economic, constituie unul din examenele de maturitate

profesională ale navigatorului. Alegerea soluţiei celei mai favorabile pentru

drumul de urmat, măsurile de luat pentru siguranţa navigaţiei etc., trebuie să ţină

seama de calităţile nautice ale navei, de factorii hidrometeorologici din zonă, de

tipul mărfii încărcate la bord, de eventuale precauţii impuse de modul de stivuire

şi amarare. Este deci de reţinut că drumurile recomandate pentru traversada

oceanică, nu sunt valabile pentru toate navele, chiar pentru o aceeaşi navă

acestea pot diferi în funcţie de condiţiile de încărcare sau de anumite

particularităţi privind starea sa tehnică.

Pe mare, distanţa cea mai scurtă între punctul de plecare şi cel de

destinaţie trebuie considerată cea care permite traversada în condiţii de deplină

siguranţă şi în timpul cel mai scurt: riscul impus eventual de particularităţile

zonei sau ale navei trebuie preluat în limite rezonabile, ţinând seama permanent

de primatul criteriului de siguranţă.

1.1.2 CONSIDERAŢII INTRODUCTIVE

Ortodroma (Great Circle) este arcul de cerc mare care uneşte două puncte

A şi B de pe suprafaţa sferei terestre.

Aceasta are următoarele proprietăţi principale cu importanţă în navigaţie:

- reprezintă distanţa cea mai scurtă între două puncte pe sfera terestră;

10

- intersectează meridianele sub unghiuri diferite;

- pe harta în proiecţie Mercator apare ca o curbă cu convexitatea înspre pol, la

intersecţiile cu ecuatorul având puncte de inflexiune;

Ortodroma se confundă cu loxodroma când punctele A şi B se află pe

acelaşi meridian sau pe ecuator; în aceste cazuri particulare ortodroma

intersectează meridianele sub acelaşi unghi (0°, 180° respectiv 90° sau 270°).

În navigaţia oceanică, când punctul de plecare A şi cel de sosire B sunt

situate la o distanţă mare, diferenţa dintre distanţa loxodromică m şi cea

ortodromică M poate fi considerabilă. Diferenţa dintre m şi M creşte cu cât

distanţa loxodromică este mai mare şi drumul loxodromic D este mai aproape de

90° (270°); deci, la aceeaşi distanţă loxodromică m, cu cât diferenţa de

longitudine dintre cele două puncte este mai mare, latitudinea medie φm a celor

două puncte este mai mare.

Df

Z2

Z3

P

90-

90-

loxodroma AB=m

M

V

B(

A(

Di

D

Df

Z1

180°-Df

ortodroma AB=M

V

Figura 1 Elementele ortodromei pe sfera terestră

În navigaţia oceanică, dacă diferenţa m–M ia valori suficient de mari şi

condiţiile hidrometeorologice sunt favorabile, se recomandă navigaţia pe

ortodromă, deoarece oferă posibilitatea reducerii duratei traversadei, deci se va

face economie de timp şi combustibil.

Deplasarea navei de-a lungul ortodromei nu este însă practic posibilă,

deoarece aceasta intersectează meridianele sub unghiuri diferite, iar guvernarea

navei se asigură prin menţinerea unui unghi constant faţă de direcţia nord, egal

cu drumul loxodromic D.

De aceea, navigaţia ortodromică se execută pe loxodrome scurte, cât mai

apropiate de ortodromă, astfel:

11

- se determină coordonatele unor puncte (Z1, Z2…) de pe ortodromă,

situate la o diferenţă de longitudine constantă (de un număr întreg de

grade), numite puncte intermediare;

- navigaţia se execută pe loxodromele AZ1, Z1Z2 etc., care unesc punctele

intermediare ale ortodromei;

Elementele caracteristice ale ortodromei:

- distanţa ortodromică M egală cu lungimea arcului de cerc mare AB.

Prin cerc mare se înţelege cercul rezultat prin intersectarea suprafeţei

sferei terestre cu un plan ce trece prin centrul sferei;

- punctele de intersecţie cu ecuatorul: cercul mare care conţine

ortodroma, intersectează ecuatorul terestru în două puncte diametral

opuse (diferenţa de longitudine dintre ele este de 180°);

- vertexul V este punctul de pe cercul mare care trece prin A şi B cel mai

apropiat de polul geografic, deci punctul cu cea mai mare latitudine.

Vertexurile sunt situate unul în emisfera nordică şi unul în cea sudică,

având latitudine egală în modul iar diferenţa de longitudine dintre ele

este de 180°. Diferenţa de longitudine dintre un vertex şi punctele de

intersecţie cu ecuatorul este de 90°;

- drumul iniţial Di egal cu unghiul PAB, format între tangenta la

meridianul şi tangenta la ortodromă în punctul iniţial (drumul

instantaneu al navei dacă aceasta s-ar deplasa efectiv pe ortodromă în

punctul de plecare);

- drumul final Df este unghiul format între tangenta la meridian şi

tangenta la ortodromă în punctul final (complementul unghiului PBA,

adică drumul instantaneu al navei dacă aceasta s-ar deplasa efectiv pe

ortodromă în punctul de sosire).

12

V=180°

Vn = Vs

000°

S

180° 180°

q' EW q

VN

Vs

VN

Vs

A B 90°

V-180°

Figura 2. Elementele ortodromei pe harta în proiecţie Mercator

1.1.3 CALCULUL DISTANŢEI ORTODROMICE

Considerăm o navă care pleacă din punctul A ( φA, λA ) înspre punctul B

(φB, λB), având diferenţa de longitudine B A . Distanţa ortodromică M se

obţine prin aplicarea formulei cosinusurilor laturilor în triunghiul sferic ABP,

format între punctul de plecare A, cel de sosire B şi polul geografic P, în care se

cunosc laturile 90 AAP ; 90 BBP şi unghiul sferic cuprins între ele

APB=, astfel:

cos cos(90 ) cos(90 ) sin(90 ) sin(90 ) cosA B A BM

de unde: cos sin sin cos cos cosA B A BM

Formula se rezolvă logaritmic, pe părţi sau cu ajutorul oricărei table

utilizată în navigaţie pentru calculul înălţimii unui astru din latitudine, declinaţie

şi unghi la pol, prin substituirea corespunzătoare a argumentelor de intrare în

table.

1.1.4 CALCULUL DRUMULUI INIŢIAL Di ŞI AL DRUMULUI FINAL

Df

Drumul iniţial Di se obţine prin aplicarea formulei cotangentelor în

triunghiul sferic ABP pentru următoarele patru elemente consecutive: drumul

13

iniţial Di, latura: 90 AAP , unghiul sferic APB= şi

latura 90 BBP , dintre care ultimele trei sunt cunoscute. Pe baza acestei

formule se poate scrie:

sin (90 ) sin(90 ) cos(90 ) cosB A ActgDi ctg ,

în care înlocuind şi împărţind la sin Δλ se obţine:

cos cos sin cB A ActgDi tg ec tg

În mod similar, drumul final Df se obţine prin aplicarea formulei

cotangentelor în triunghiul sferic BAP, din aceleaşi trei elemente consecutive

cunoscute:

sin (90 ) sin(90 ) cos(90 ) cosA B BctgDf ctg ,

de unde: cos cos sin cA B BctgDf tg ec tg

Aceste formule se rezolvă logaritmic, pe părţi sau cu orice tablă folosită

în navigaţie pentru calculul azimutului din latitudine, declinaţie şi unghi la pol,

prin substituirea corespunzătoare a argumentelor de intrare în table.

Drumul iniţial şi cel final se citesc din tabla logaritmică ca valori

cuadrantale şi se transformă apoi în sistem circular.

1.1.5 CALCULUL COORDONATELOR VERTEXULUI

Figura 3. Determinarea coordonatelor vertexului

Vertexul V se obţine prin tangentarea cercului mare determinat de

punctele A( φA, λA ) şi B( φB, λB ) cu paralelul pp´ de latitudine maximă.

90-

90-

90

90-

V

90-B

P

A(

B(VDi Z

q q'

pp'

V

z

14

Coordonatele geografice ale vertexului se calculează prin rezolvarea

unuia din cele două triunghiuri sferice VPA sau VPB, dreptunghice în V, care se

formează între meridianul vertexului PV, arcul de cerc mare AB şi meridianul

PA al punctului de plecare, respectiv PB al punctului de sosire.

Prin aplicarea formulei sinusurilor (sinusurile unghiurilor sunt

proporţionale cu sinusurile laturilor opuse) în triunghiul sferic dreptunghic VPA

se obţine:

sin(90 )sin(90 )

sin90 sin

VA

Di

sin(90 ) sin(90 ) sinV A Di

cos sin(90 ) sinV A Di

şi deci latitudinea vertexului este dată de relaţia:

cos cos sinV A Di

Aplicând aceeaşi regulă şi în triunghiul dreptunghic VPB se obţine:

cos cos sinV B Df .

În calculul latitudinii vertexului se utilizează ambele formule pentru a

verifica corectitudinea calculelor.

Longitudinea vertexului se obţine din suma algebrică: 1 1V A V ,

unde ΔλV1 reprezintă diferenţa de longitudine dintre punctul de plecare A şi

vertexul V, care se calculează prin rezolvarea aceluiaşi triunghi sferic

dreptunghic VPA, astfel:

1cos(90 )A Vctg ctgDi ,

de unde: 1 sinV Actg tgDi .

În mod similar, se poate determina longitudinea vertexului prin

calcularea, mai întâi a diferenţei de longitudine dintre punctul de sosire B şi

vertexul V 2 2V B V , unde 2V se determină cu formula:

2 sinV Bctg tgDf .

Dacă au fost determinate corect 1V şi 2V , atunci valoarea numerică a

diferenţei de longitudine este egală cu suma valorilor numerice ale diferenţelor

de longitudine dintre punctul de plecare şi vertex ( 1V ), respectiv punctul de

plecare şi vertex ( 2V ). Adică: 1 2V V .

1.1.6 CALCULUL LATITUDINII PUNCTELOR INTERMEDIARE

Punctele intermediare se obţin prin intersecţia ortodromei cu meridiane

separate de o diferenţă de longitudine constantă. Longitudinile punctelor

intermediare sunt astfel determinate; problema care rămâne de rezolvat este de a

calcula latitudinile acestor puncte.

15

Latitudinea φZ a unui punct intermediar oarecare Z se obţine prin

rezolvarea triunghiului sferic VPZ (figura 3), dreptunghic în V, în care se

cunoaşte cateta 90 VPV şi unghiul sferic Z V Z

cos (90 ) cZ Z Vctg tg , de unde:

cosZ V Ztg tg

Punctele intermediare astfel determinate se poziţionează pe harta

Mercator; segmentele de dreaptă AZ1, Z1Z2, Z2Z3 …, ZnB, etc. ce unesc punctul

de plecare, punctele intermediare ale ortodromei şi punctul final reprezintă

loxodromele pe care nava urmează să se deplaseze din A în B.

1.2 ALGORITM DE OPERAŢII

Pentru calculul cu ajutorul tablelor nautice a elementelor ortodromei se

utilizează tipurile de calcul astfel:

A) 1. Calculul diferenţei de longitudine Δλ: λB= →Longitudinea punctului de sosire

-λA = →Longitudinea punctului de plecare

Δλ`= →Valoarea diferenţei de longitudine obţinută din calcul

Δλ= →Valoarea diferenţei de longitudine adevărată

Δλm= →Valoarea diferenţei de longitudine în minute

Δλ``= →Valoarea diferenţei de longitudine cu care se intră în tablă

Dacă din calcul rezultă Δλ`>180°, urmând ortodroma în sensul dat de

semnul lui Δλ` ar însemna ca nava să se deplaseze pe porţiunea mai lungă a

cercului mare pe suprafaţa sferică. În acest caz navigaţia se va face în sens invers

lui Δλ` pe o valoare a diferenţei de longitudine de 360°- Δλ`= Δλ, rezultă astfel

valoarea adevărată Δλ, atribuindu-i semn contrar faţă Δλ`. Apoi această valoare

se va transforma în minute.

Dacă Δλ>90°, pentru a putea determina logaritmii funcţiilor

trigonometrice cu ajutorul tablei, se va calcula complementul acestui unghi

Δλ``=180°- Δλ.

2. Calculul diferenţei de latitudine Δφ: φB= →Latitudinea punctului de sosire

-φA= →Latitudinea punctului de plecare

Δφ= →Valoarea diferenţei de latitudine

Δφm= →Valoarea diferenţei de latitudine în minute

16

3. Calculul latitudinii crescânde Δφc:

φcB= →Latitudinea crescândă a punctului de sosire T4

DH 90

-φcA= →Latitudinea crescândă a punctului de plecare 10= 10,00000

Δφc= →Diferenţa de latitudine crescândă -lg Δφc=

Scăzând din 10 pe lg Δφc se obţine cologaritmul → colg Δφc=

Se foloseşte cologaritmul lui Δφc pentru a evita efectuarea scăderii la punctul C.

B) Calculul distanţei ortodromice M: cosM=sin φA sin φB + cos φA cos φB cos Δλ = a+b

lg sin φA= lg cos φA=

lg sin φB= lg cos φB=

lg a= lg cos Δλ=

a=

φA şi φB au acelaşi semn→ a>0 ; φA şi φB au semne diferite→ a<0 lg

b=

+ b= Δλ<90º→b>0; Δλ>90º→b<0

cosM=

M`=

T67a DH 90 M= M= (mile marine)

Dacă cos M este pozitiv se determină M=M`; dacă cosM este negativ

atunci M=180°-M`. Valoarea lui M astfel obţinută se transformă în minute de arc

şi va fi egală cu distanţa ortodromică în mile marine.

C) Calculul drumului loxodromic D şi a distanţei loxodromice m: tgD=Δλ/ΔφC m=Δφ secD

lg Δλm= →lg a lui Δλ exprimat în minute lg Δφm= →lg a lui Δφ exprimat în

minute

colg Δφc= →calculat la A.3. lg secD= D la precizie de zecime de

min.

lg tgD= lg m=

D= în grade,

minute, zecimi

de minut,

ca valoare

cuadrantală

D= în grade şi

zecimi de

grad ca

valoare

circulară

m= în minute Mm

Pentru stabilirea cadranului drumului loxodromic se utilizează

următoarele reguli:

D se află în cadran nordic dacă Δφ este pozitivă

D se află în cadran sudic dacă Δφ este negativă

D se află în cadran estic dacă Δλ este pozitivă

D se află în cadran vestic dacă Δλ este negativă

17

D) Calculul diferenţei dintre distanţele loxodromică şi ortodromică m-M: m= →distanţa loxodromică în Mm

-M= →distanţa ortodromică în Mm

m-M= →diferenţa între distanţa loxodromică şi distanţa ortodromică în Mm

E) 1 Calcul drumului iniţial Di ctgDi=tgφB cosφA cosecΔλ - sinφA ctgΔλ

x1 y1

lg tgφB=

lg cosφA= lg sinφA=

lgcosecΔλ= lg ctgΔλ=

lg x1= lg y1=

x1=

+y1=

ctgDi=

Di= în grade, minute şi zecimi de

minut ca valoare cuadrantală

Di= în grade şi zecimi de grad ca

valoare circulară

Semnului lui x1 se stabileşte astfel: φBS→ x1 negativ;

φBN→ x1 pozitiv

Semnului lui y1 se stabileşte în funcţie de semnele funcţiilor trigonometrice din

formulă şi ţinând cont de semnul minus din faţă: φAN→ sinφA pozitiv;

φAS→ sinφA negativ;

Δλ>90º→ ctgΔλ negativă;

Δλ<90º→ ctgΔλ pozitivă

Pentru stabilirea cadranului drumului iniţial se utilizează următoarele reguli:

Di se află în cadran nordic dacă ctgDi este pozitivă

Di se află în cadran sudic dacă ctgDi este negativă

Di se află în cadran estic dacă Δλ este pozitivă

Di se află în cadran vestic dacă Δλ este negativă

2 Calcul drumului final Df: ctgDf=-tgφA cosφB cosecΔλ + sinφB ctgΔλ

x2 y2

lg tgφA=

lg cosφB= lg sinφB=

lgcosecΔλ= lgctgΔλ=

lg x2= lg y2=

x2=

+ y2=

ctgDf=

Df= în grade, minute şi zecimi de

minut ca valoare cuadrantală

Df= în grade şi zecimi de grad

ca valoare circulară

18

Semnului lui x2 se stabileşte astfel: φAS→ x2 pozitiv;

φAN→ x2 negativ

Semnului lui y2 se stabileşte în funcţie de semnele funcţiilor trigonometrice din

formulă: φBN→ sinφB pozitiv;

φBS→ sinφB negativ;

Δλ>90º→ ctgΔλ negativă;

Δλ<90º→ ctgΔλ pozitivă

Pentru stabilirea cadranului drumului iniţial se utilizează următoarele reguli:

Df se află în cadran nordic dacă ctgDf este pozitivă

Df se află în cadran sudic dacă ctgDf este negativă

Df se află în cadran estic dacă Δλ este pozitivă

Df se află în cadran vestic dacă Δλ este negativă

Configuraţia grafică a elementelor ortodromei se va trasa astfel:

- se trasează meridianului Greneewich sau a meridianului de 180° (care

dintre ele e traversat de porţiunea scurtă a ortodromei) în centrul

reprezentării, pe verticală;

- pe orizontală trasează ecuatorul şi se figurează un sistem de coordonate

geografic pentru poziţionarea punctului de plecare şi al punctului de

sosire;

- se trasează Di în punctul de plecare şi Df în punctul de sosire;

- ţinând cont că convexitatea ortodromei este înspre pol se trasează

ortodroma astfel încât aceasta să fie tangentă la Di şi Df;

- se figurează vertexul dacă acesta se află între punctul de sosire şi cel de

plecare sau vertexurile dacă acestea se află în afara ortodromei;

- se figurează ΔλV1 şi ΔλV2

F) Calculul coordonatelor vertexului:

F1) Calculul latitudinii vertexului φV cosφV1=cosφA sin Di cosφV2=cosφB sin Df

lg cosφA= lg cosφB=

lg sin Di= Di la zecime de min. lg sin Df= Df la zecime de min.

lg cosφV1= lg cosφV2=

φV1= φV2=

În cazul în care calculele au fost executate corect φV1 trebuie să rezulte

egal în modul cu φV2.

F2) Calculul longitudinii vertexului λV ctgΔλV1= sinφA tgDi λV1=λA+ΔλV1

lg sinφA= λA=

lg tgDi= Di la zecime de min. ΔλV1=

lg ctgΔλV1= λV1=

ΔλV1= λV1=

19

Semnul lui ΔλV1 se stabileşte în conformitate cu reprezentarea grafică ctgΔλV2= sinφB tgDf λV2=λB+ΔλV2

lg sinφB= λB=

lg tgDf= Df la zecime de min. ΔλV2=

lgctgΔλV2= λV2=

ΔλV2= λV2=

În cazul în care calculele au fost executate corect diferenţa de longitudine

dintre λV1 şi λV2 va trebui să fie de 180°.

G) Calculul coordonatelor punctelor intermediare: Punct intermediar A Z1 Z2 …… B

Longitudinea λZ= λA λ Z1 λ Z2 λB

ΔλZ= λV- λZ= ΔλZ1 ΔλZ2

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= φA φ Z1 φ Z2 φB

Se calculează ΔλZ pe tip de calcul ca diferenţă dintre longitudinea celui

mai apropiat vertex şi longitudinea punctului intermediar respectiv, astfel ΔλZ va

rezulta mai mic de 90°. Calc ΔλZ

λV=

- λZ= _

ΔλZ=

Punctele intermediare astfel obţinute se trasează pe hartă şi se determină

drumurile intermediare şi distanţele ortodromice intermediare. Din cauză că pe

drumurile intermediare nu se navighează ortodromic, ci pe porţiuni de

loxodromă, câştigul de distanţă (m-M) în realitate va fi mai mic, deoarece M va

fi înlocuit de suma distanţelor loxodromice intermediare, deci câştigul real de

distanţă va fi: m- (m1+ m2+….).

Calculul efectiv se face pe un formular tipizat prezentat la anexa 1.

20

CAPITOLUL 2

NAVIGAŢIE MIXTĂ 2.1 CONSIDERAŢII TEORETICE

Ortodroma fiind arcul de cerc mare care uneşte două puncte de pe

suprafaţa terestră pe drumul cel mai scurt, poate trece în unele cazuri peste zone

cu gheţuri, cu furtuni, condiţii hidrometeorologice nefavorabile sau chiar peste

uscat. (Fig. 4).

Figura 4 Drumul mixt pe sfera terestră

În aceasta situaţie, traversada se execută sub forma unei navigaţii mixte,

şi anume:

- se stabileşte un paralel de latitudine limita pp' care îndeplineşte

condiţiile desfăşurării unei navigaţii în condiţii de siguranţă de-a lungul

traversadei;

- din punctul de plecare şi punctul de destinaţie se trasează arcele de cerc

mare AV1 şi BV2, tangente la paralelul limita pp' (punctele de tangenta

V1 şi V2 se numesc vertexurile drumului mixt);

- navigaţia se execută pe drumul mixt AV1V2B, respectiv pe ortodroma

AV1, arcul de paralel V1V2 şi ortodroma V2B.

- pe ortodromele AV1 şi V2B navigaţia se execută pe segmente de

loxodromă.

21

2.2 ELEMENTELE DRUMULUI MIXT

Având în vedere figura 4, elementele drumului mixt sunt următoarele:

- drumul iniţial Di=PAV1;

- drumul final Df=1800-PAV2;

- longitudinile vertexurilor V1 şi V2, latitudinea lor fiind cunoscută,

stabilită de către navigator pe paralelul limită pp`;

- distanţa pe prima ortodromă M1;

- deplasarea est-vest e;

- distanţa pe cea de a doua ortodromă M2;

- distanţa totală pe drumul mixt d=M1+e+M2;

- coordonatele punctelor intermediare pe cele două ortodrome Z1, Z2, etc.;

2.3 CALCULUL ELEMENTELOR DRUMULUI MIXT

1. Longitudinea V1 a primului vertex V1 se determină prin rezolvarea

triunghiului sferic APV1, dreptunghic în V1, prin utilizarea formulei lui Gauss

(cosinusul unghiului ascuţit este produsul cotangentei ipotenuzei cu tangenta

catetei alăturate) în care se cunosc ipotenuza 90 AAP şi cateta

1 90PV , astfel: 1cos 90 90AV ctg tg

1cos AV tg ctg

1 1AV V

2. Drumul iniţial Di se obţine aplicând formula sinusurilor în triunghiului sferic

APV1, astfel:

sin sin 90

sin 90 sin 90

i

A

D

sin sin 90 seci AD

sin cos seci AD

Drumul iniţial se obţine în sistem cuadrantal după care se converteşte în

sistem circular.

3. Distanţa ortodromică pe prima ortodromă: AV1=M1 se determină aplicând

formula lui Gauss (cosinusul ipotenuzei este produsul cosinusurilor catetelor)

în triunghiului sferic APV1, dreptunghic în V1 , astfel:

1cos 90 cos 90 cosA M

1cos sin cosAM ec

4. Latitudinea celui de-al doilea vertex D:

2cos BV tg ctg

22

2 2BV V

5. Drumul final Df:

sin cos secf BD

Drumul final se obţine în sistem cuadrantal şi se converteşte în sistem

circular.

6. Distanta ortodromică V2B=M2:

2cos sin cosBM ec

7. Distanta V1V2 pe paralelul limită (deplasarea est-vest):

cose V

2 1V V V

8. Distanţa totală d pe drumul mixt AV1V2B:

d = M1 + e + M2

9. Latitudinea Z a unui punct intermediar Z de pe una din cele două ortodrome:

cosZ Ztg tg , unde:

1Z ZV sau

2Z Z V

2.4 ALGORITMUL DE OPERAŢII

Formularul de calcul este întocmit pentru situaţia în care calculul

ortodromic a fost efectuat până la determinarea latitudinii vertexului, unde s-a

decis că acesta are o valoare prea mare rezultând necesitatea trecerii la drumul

mixt.

Plecând de la schiţa ortodromei, se construieşte în continuare o schiţă a

drumului mixt ce va furniza informaţii despre semnul Δλv1 şi Δλv2 .

Deoarece, pentru determinarea coordonatelor punctelor intermediare nu

este necesar să se calculeze drumul iniţial Di şi drumul final Df, formularul de

calcul (anexa 2) nu mai include şi tipurile de calcul pentru determinarea acestora.

1. Calculul longitudinii vertexului 1 λv1 şi a distanţei ortodromice

M1: cosΔλv1=tgφA ctgφ cosM1=sinφA cosecφ

log tgφA= log sinφA=

log ctgφ= log cosecφ=

log cosΔλV1= logcos M1=

ΔλV1= M1=

λA= M1=

λV1=

23

Se atribuie semn lui Δλv1 în funcţie de cum ar trebui să se deplaseze nava

pe schiţă de la A la V1 . Dacă deplasarea ar trebui să se facă înspre est atunci

Δλv1 va avea semnul +, iar dacă deplasarea ar trebui să se facă înspre vest Δλv1

va avea semnul - . Distanţa ortodromică M1 se obţine în grade, minute şi zecimi

de minut şi apoi se transformă în minute, respectiv în mile marine.

2. Calculul longitudinii vertexeului 2 λv2 şi a distanţei ortodromice

M2 cosΔλV2=tgφBctgφ cos M2=sinφB cosecφ

log tgφB= log sinφB=

log ctgφ= log cosecφ=

logcosΔλV2= logcos M2=

ΔλV2= M2=

λB= M2=

Se atribuie semn lui ΔλV2 după ce se studiază schiţa drumului mixt. Dacă,

la modul teoretic, nava deplasându-se de la B la V2 se deplasează înspre est,

Δλv1 are semnul + iar înspre vest are semnul - . Distanţa ortodromică M2 se

obţine în grade, minute şi zecimi de minut şi apoi se transformă în minute,

respectiv în mile marine.

3. Calculul distanţei pe paralelul limită (deplasarea est-vest) e ∆λV=λV2-λV1 e=∆λV cosφ

λV2= log ∆λVm=

-λV1= log cosφ=

∆λV= log e=

∆λVm= e=

Diferenţa de longitudine dintre cele două vertexuri ∆λV se transformă în

minute ∆λVm şi valoarea deplasării est-vest se obţine în mile ecuatoriale.

Nevoile practice ale navigaţiei permit aproximarea milelor ecuatoriale cu mile

marine, deci în final, valoarea deplasării est-vest poate fi aproximată ca distanţă

măsurată în mile marine.

4. Calculul distanţei totale pe drumul mixt d

d=M1+e+M2

M1= Mm

e= Mm

M2= Mm

d= Mm

Această distanţă se compară cu distanţa loxodromică, analizând încă o dată

dacă câştigul de distanţă impune navigaţia pe drumul mixt.

24

5. Calculul coordonatelor punctelor intermediare: Punct intermediar A Z1 Z2 …… V1

Longitudinea λZ= λA λ Z1 λ Z2 λV1

ΔλZ= λV1- λZ= ΔλZ1 ΔλZ2

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= φA φ Z1 φ Z2 φ

Punct intermediar V1 Z1 Z2 …… B

Longitudinea λZ= λV1 λ Z1 λ Z2 λB

ΔλZ= λV2- λZ= ΔλZ1 ΔλZ2

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= φ φ Z1 φ Z2 φB

Modalitatea de calcul a punctelor intermediare pe cele două ortodrome nu

diferă cu nimic faţă de cazul ortodromei clasice, numai că la finalul primei

ortodrome se va afla vertexul 1, iar la începutul celei de a doua ortodrome

vertexul 2.

25

CAPITOLUL 3

METODE EXPEDITIVE DE REZOLVARE A

PROBLEMELOR DE NAVIGAŢIE ORTODROMICĂ 3.1 PROIECŢIA GNOMONICĂ. GENERALITĂŢI

Proiecţiile gnomonice se mai numesc şi centrale deoarece ochiul

observatorului în aceste proiecţii se consideră în centrul Pământului, iar suprafaţa

de proiecţie este plană.

Planul de proiecţie este tangent la suprafaţa terestră într-un anumit punct.

În funcţie de poziţia punctului de tangenţă al planului de proiecţie cu suprafaţa

sferei terestre se deosebesc trei tipuri de proiecţii gnomonice: ecuatoriale

(punctul se află pe ecuator), polare (punctul se află în unul din poli) şi oblice sau

zenitale (un punct oarecare pe sfera terestră).

Proiecţia gnomonică nu este nici conformă (echivalenţa unghiurilor din

realitate cu unghiurile din proiecţie), nici echivalentă (echivalenţa suprafeţelor

din realitate cu suprafeţele din proiecţie) ci are o altă proprietate: ortodroma

este o linie dreaptă. Deoarece ortodroma este definită pe sferă, proiecţiile

gnomonice nu se construiesc decât având la bază ca model matematic al

Pământului sfera terestră. Elipsoidul terestru nu se pretează la trasarea unei astfel

de proiecţii.

În proiecţia gnomonică ecuatorială, meridianele apar ca linii drepte

perpendiculare pe ecuator, paralelele sunt arce de hiperbolă ce au vârfurile şi

focarele situate pe meridianul principal.

În proiecţia gnomonică polară meridianele apar ca linii drepte, convergente

spre pol, iar paralelele sunt cercuri concentrice în polul respectiv.

În proiecţia gnomonică azimutală, meridianele apar ca linii drepte,

convergente spre pol, iar paralelele apar ca o reţea de conice.

Amiralitatea Britanică publică 15 hărţi ce acoperă întregul glob la scările

de 1:13,500,000 şi 1:26,500,000.

Numărul

Hărţii Descriere

5095 North Atlantic Ocean

5095a North Atlantic - True Bearings of Bishop Rock Light

5095b North Atlantic - True Bearings of Mona Passage

5095c North Atlantic - True Bearings of Gibraltar

5096 South Atlantic and Southern Oceans

5096a South Atlantic and Southern Oceans - True Bearings of Cape Town

26

5096b South Atlantic and Southern Oceans - True Bearings of Stanley Harbour

5097 North Pacific Ocean

5097a North Pacific - True Bearings of San Francisco

5097b North Pacific - True Bearings of Yokohama

5098 South Pacific and Southern Oceans

5098a South Pacific and Southern Oceans - True Bearings of Wellington

5098b South Pacific and Southern Oceans - True Bearings of Valparaiso

5098c South Pacific and Southern Oceans - True Bearings of Panama Appr.

5099 Indian and Southern Oceans

3.1.1 PROIECŢIA GNOMONICĂ ECUATORIALĂ

Planul de proiecţie este tangent la sfera terestră într-un punct situat pe

ecuator (figura 5).

x

p

p’

x’

g’

y

F

b

b’

a

A A’

P

λ

B

O

P’

Q Q’

C

c

e

e’

y’

φ

φ

λ

Figura 11 - 1

R

Figura 11-1 Figura 5. Proiecţia gnomonică ecuatorială

27

Dacă se notează punct de tangenţă cu litera „Q” acesta este considerat

punctul central al proiecţiei, iar meridianul PQP’ se numeşte meridianul principal

al proiecţiei. Ecuatorul terestru proiectat pe planul de proiecţie va fi reprezentat

de dreapta eqe’.

Un meridian oarecare PCP’ care face unghiul λ cu meridianul principal

va fi reprezentat de verticalul gcg’, paralel cu meridianul principal şi

perpendicular pe proiecţia ecuatorului eqe’.

Distanţa Qc dintre proiecţia meridianului principal PP’ şi proiecţia gcg’ a

meridianului oarecare considerat, se poate determina din triunghiul OQc,

dreptunghic în Q, cu relaţia următoare:

Qc R tg

Se deduce că în proiecţia gnomonică ecuatorială:

- meridianele apar ca drepte paralele între ele şi perpendiculare pe ecuator;

- distanţa de la meridianul principal la un meridian oarecare creşte

proporţional cu tangenta diferenţei de longitudine dintre acestea;

- meridianele situate la 90o spre est şi spre vest de meridianul principal nu

sunt reprezentate în proiecţie deoarece tg 90o plasează proiecţia lor la

infinit ( 90tg ).

Trebuie determinată în continuare situaţia proiecţiei paralelelor de latitudine

pe planul de proiecţie. Pentru aceasta se consideră un paralel oarecare AA’ de

latitudine φ. Punctul A aparţinând acestui paralel, aflat la intersecţia cu

meridianul principal, se proiectează pe planul de proiecţie în punctul a de pe

verticalul pQp’, la distanţa Qa de ecuator, dată de relaţia:

Qa R tg

Punctul B al paralelului AA’ de latitudine φ, situat la intersecţia acestui

paralel cu meridianul PCP’ care face unghiul λ cu meridianul principal, se

proiectează în b’, pe dreapta gbg’ la o distanţă de ecuator cb.

Din triunghiul Ocb, dreptunghic în c, se obţine:

cb Oc tg ,

iar din triunghiul OQc, dreptunghic în Q:

secOc R

Înlocuind valoarea lui Oc în relaţia anterioară, se obţine:

seccb R tg

Se consideră un sistem de axe ortogonale x-x’ şi y-y’ cu centrul în punctul

Q. Coordonatele punctului b pot fi exprimate în acest sistem de axe prin ecuaţiile

parametrice următoare:

secx R tg

y R tg

28

Pentru a trece de la ecuaţiile parametrice la ecuaţia explicită va trebuie

eliminat parametrul . Pentru aceasta se scriu ecuaţiile de mai sus sub

următoarea formă: x

secR tg

ytg

R

Ridicând la pătrat ambele ecuaţii parametrice se obţine: 2

2

2 2sec

x

R tg

22

2

ytg

R

Dacă se scad egalităţile de mai sus membru cu membru, ţinând cont de

faptul că 2 2sec 1 tg , va rezulta relaţia următoare: 2 2

2 2 21

x y

R tg R

Relaţia de mai sus reprezintă ecuaţia canonică a unei hiperbole raportată

la axele x şi y, având:

- semiaxa mare m R tg ;

- semiaxa mică n R ;

- semidistanţa focală 2 2 21 secq m n R tg R .

Aşadar, curba bab’, care reprezintă proiecţia paralelului AA’ pe planul de

proiecţie, este un arc de hiperbolă cu vârful în a, dispus la distanţa R tg faţă

de centrul proiecţiei, distanţă egală cu semiaxa mare şi având focarul în F, situat

la distanţa secFQ R Oa faţă de centrul proiecţiei.

Determinarea grafică a acestei hiperbole se poate face pe cale geometrică

apelând la intersecţia unui con de rotaţie cu două pânze, realizat de infinitatea

razelor care pleacă din centrul Pământului spre infinitatea punctelor care compun

cercurile de latitudine egală cu şi , cu un plan paralel cu axa conului de

rotaţie (figura 6).

Teorema lui Dandelin enunţă că: secţiunea făcută de un plan într-un con

de rotaţie este o conică. Dacă intersecţia planului cu conul de rotaţie se face

după două generatoare distincte, atunci conica este o hiperbolă.

Aşadar, în cazul de faţă, intersecţia planului cu conul de rotaţie se va

face după o hiperbolă, fapt susţinut şi în demonstraţia anterioară.

29

Figura 6. Intersecţia unui con de rotaţie cu un plan

Se poate concluziona că intersecţiile succesive, de la ecuator spre

paralelul de latitudine φ, ale planului de proiecţie cu conul de rotaţie vor

determina arce de hiperbolă. Ca urmare, în proiecţia gnomonică ecuatorială,

reţeaua cartografică se prezintă conform figurii 7, unde:

- ecuatorul apare ca o linie dreaptă;

- meridianele sunt drepte paralele între ele şi perpendiculare pe ecuator;

- paralelele apar ca arce de hiperbolă;

Pe o hartă în proiecţie gnomonică ecuatorială se întâlnesc două scări:

- scara longitudinilor - pe proiecţia ecuatorului;

- scara latitudinilor, de-a lungul proiecţiei meridianului principal.

Figura 7 Reţeaua cartografică în proiecţie gnomonică ecuatorială

30

3.1.2 PROIECŢIA GNOMONICĂ POLARĂ

În această proiecţie, planul de proiecţie este tangent la unul din polii

tereştri, astfel că punctul central al proiecţiei este chiar unul din cei doi poli.

Caracteristice acestei proiecţii sunt următoarele:

- meridianele apar dispuse radial faţă de centrul de proiecţie;

- unghiul dintre două meridiane oarecare în proiecţie este egal cu diferenţa

de longitudine dintre ele;

- paralelele de latitudine se prezintă sub forma unor cercuri concentrice

având centrul în polul la care este tangent planul de proiecţie. Raza unui

cerc de latitudine, în proiecţie, se obţine din triunghiul OPa şi este dată

de relaţia:

(90 )Pa OP tgPOa OP tg sau:

Pa R ctg

Relaţia de mai sus demonstrează că reţeaua de paralele este formată

dintr-un ansamblu de cercuri concentrice ale căror raze cresc proporţional cu

cotangenta latitudinii (figura 9).

Meridianul λA Paralelul φA

R

φ

O Q Q’

P’

Gr

A 0o

180

P

b b’ 90o 90o a

λ

B B’

Figura 11 - 4 Figura 8. Proiecţia gnomonică polară

31

Ecuatorul nu poate să apară în proiecţie deoarece el este proiectat la

infinit ( 0ctg ).

Reţeaua cartografică în proiecţia gnomonică polară apare astfel:

- meridianele sunt drepte convergente spre pol;

- paralelele sunt cercuri concentrice, a căror rază creşte proporţional cu

ctg .

3.1.3 PROIECŢIA GNOMONICĂ OBLICĂ

Proiecţia gnomonică oblică se mai numeşte proiecţie zenitală sau

orizontală. În această proiecţie, planul de proiecţie este tangent la suprafaţa

terestră într-un punct oarecare situat între ecuator şi poli.

Acest punct de tangenţă T (figura 10), de coordonate φ0 şi λ0 se numeşte

centrul proiecţiei. Meridianul PTQP’ reprezintă meridianul principal al

proiecţiei. Acest meridian este reprezentat în proiecţie de dreapta pTq

perpendiculară pe proiecţia ecuatorului reprezentată de dreapta q’qq”.

Se consideră, în planul de proiecţie, un sistem de axe rectangulare x-x’ şi

y-y’ a căror origine se găseşte în punctul T. Axa ordonatelor yTy’ va fi

reprezentată de proiecţia meridianului principal, iar axa absciselor xTx’ va fi

perpendiculară pe cea a ordonatelor în punctul T (figura 11).

PN

40oN

50oN

60oN

70oN

80oN

0o

180o

090o 090o

Figura 11 - 5 Figura 9 Reţeaua cartografică în proiecţie gnomonică polară

32

Se alege pe sfera terestră un punct oarecare M, de coordonate şi . Proiecţia

acestui punct în planul de proiecţie va fi punctul m. Coordonatele rectangulare

plane ale punctului m în sistemul de axe considerat mai sus vor fi următoarele:

0 0

cos sin

sin sin cos cos cosx R

0 0

0 0

sin cos cos sin cos

sin sin cos cos cosy R

Polul P al emisferei terestre se proiectează în punctul p, situat la distanţa

Tp faţă de T, distanţă pe care o putem determina din triunghiul OTp, dreptunghic

în T, astfel:

0 0(90 )Tp OT tgTOP R tg R ctg

Figura 11 - 8

q’

x’

y’

q” q

x

m

T

α

P

Ecuator

Paralelul de

latitudine φ

Meridian

principal

Figura 11 - 8

m’

Figura 11 - 8 Figura 11. Planul de proiecţie

Figura 11 - 7

P’

P

O

Q’ Q

A’ A

M

T

p

m

a

q q’

q”

α

Δλ

φ0

Figura 10. Proiecţia gnomonică oblică

33

Coordonatele punctului p, care reprezintă proiecţia polului în planul de proiecţie,

sunt redate în sistemul de axe xTy, astfel:

0

0x

y R ctg

Dreapta după care se proiectează ecuatorul pe planul de proiecţie, q’qq”,

perpendiculară pe axa yTy’, are ordonata

0y Tq R tg .

Meridianele terestre apar ca drepte convergente spre proiecţia p a polului.

Unghiul , dintre proiecţia meridianului principal pTq şi cea a unui

meridian oarecare pmm’ este dată de relaţia:

0sintg tg

Pentru a trasa proiecţia unui meridian de longitudine oarecare , se

uneşte proiecţia polului p cu punctul de intersecţie m’ a meridianului respectiv cu

ecuatorul. Coordonatele punctului m’ aflat pe ecuator ( 0 ), sunt date de

relaţiile următoare:

0

0

' sec

'

x R tg

y R tg

Paralelele de latitudine apar în proiecţie ca nişte conice a căror axă mare

este proiecţia meridianului principal. Forma fiecărei conice depinde de înclinarea

planului de proiecţie şi de latitudinea a paralelului respectiv. Înclinarea

planului de proiecţie este dată de unghiul TOP, unde

090TOP (colatitudinea centrului proiecţiei).

Forma curbelor care redau paralelele de diferite latitudini (figura 12) este

dată de următoarele expresii deduse din teorema lui Dandelin:

- pentru 090 - paralelul apare de forma unei elipse;

- pentru 090 - paralelul apare de forma unei parabole;

- pentru 090 - paralelul apare de forma unei hiperbole.

Reţeaua cartografică în proiecţia gnomonică oblică apare astfel:

Figura 11 - 9

Ecuator

40o

60o

0o

90oE 90oW

120 oW PN

60o

150o E

120o E 150 oW

180o

20o

60o W

30o W

60 oE

30 oE

Figura 12. Reţeaua cartografică în proiecţia gnomonică oblică

34

- meridianul principal este o dreaptă perpendiculară pe ecuator;

- meridianele apar ca drepte convergente către pol. Meridianele care fac un

unghi de 90o cu meridianul principal, apar ca perpendiculare pe acesta;

- paralelele apar ca o reţea de conice.

Concluzionând asupra proiecţiilor gnomonice prezentate se poate sublinia

că:

- proiecţia gnomonică este singura proiecţie care prezintă ortodroma ca o

linie dreaptă;

- proiecţia gnomonică nu este conformă, deci nu permite măsurarea

direcţiilor;

- proiecţia gnomonică polară este folosită cu succes pentru reprezentarea

zonelor de latitudini mari;

- proiecţia gnomonică ecuatorială şi oblică sunt folosite pentru realizarea

hărţilor destinate navigaţiei ortodromice. Pe aceste considerente, proiecţia

gnomonică mai este denumită şi proiecţia ortodromică.

3. 2 DETERMINAREA PUNCTELOR INTERMEDIARE ULILIZÂND

HĂRŢI GNOMONICE

Proprietatea definitorie a hărţilor gnomonice: reprezentarea ortodromei ca

o linie dreaptă facilitează foarte mult determinarea punctelor intermediare:

- se trasează pe harta gnomonică punctul de plecare A şi punctul de sosire

B;

- se unesc cele două puncte, obţinându-se ortodoma AB;

- la intersecţia acesteia cu reţeaua cartografică se determină punctele

intermediare pentru o diferenţă de longitudine constană;

- se scot din hartă coordonatele acestor puncte şi se trasează pe o hartă în

proiecţie Mercator la scară mică pentru a determina drumurile şi

distanţele loxodromice intermediare;

- se pot introduce coordonatele punctelor intermediare în planul de

navigaţie al receptorului GPS sau al ECDIS pentru a se determina

drumurile şi distanţele intermediare.

În figurile de mai jos sunt redate loxodroma şi ortodroma în proiecţie

ortodromică şi Mercator pentru ruta Norfolk – Brest.

35

NORFOLK

BREST

SPANIA

FRANTA

DISTANȚA ORTODROMICĂ 3100 MILE

DISTANȚA LOXODROMICĂ 3230 MILE

Figură 12. Ortodroma şi loxodroma în proiecţie gnomonică

NORFOLK

BREST

DISTANȚA LOXODROMICĂ 3230 MILEDISTANȚA ORTODROMICĂ 3110 MILE

Figură 13 Ortodroma şi loxodroma în proiecţie Mercator

36

4. PROBLEME REZOLVATE

4. 1 ORTODROME CE NU TRAVERSEAZĂ ECUATORUL

Problema numărul 1

Plecare: GIBRALTAR Sosire: PHILADELPHIA

φA= 35°50`N φB= 40°00` N

λA= 008°40`W λB= 073°15` W

A) Calculul diferenţei de longitudine Δλ, a diferenţei de latitudine Δφ şi de

latitudine crescândă Δφc

λB= - 073°15` φB= +40°00` φcB= +26079

-λA = +008°40` -φA= -35°50` -φcA= - 22922 10=10,00000

Δλ`= -064°35` Δφ= +04°10` Δφc= + 3157 -lg Δφc= 2,49927

Δλ= -064°35 Δφm= 250` colgΔφc= 7,50073

Δλm= 3875`

Δλ``= 64°35`

B) Calculul distanţei ortodromice M

cosM=sin φA sin φB + cos φA cos φB cos Δλ = a+b

lg sin φA= 9,76747 lg cos φA= 9,90887

lg sin φB= 9,80807 lg cos φB= 9,88425

lg a= 9,57554 lg cos Δλ= 9,63266

a= +0,37631 lg b= 9,42578

+ b= +0,26655 φA şi φB au acelaşi semn→ a>0

cosM= +0,64286 Δλ<90º→b>0

M= 049°59`7 M= 29997 Mm

C) Calculul drumului loxodromic D şi a distanţei loxodromice m

tgD=Δλ/ΔφC m=Δφ secD

lg Δλm= 3,58827 lg Δφm= 2,39794

colg Δφc= 7,50073 lg secD= 1,09037

lg tgD= 1,08900 lg m= 3,48831

D= 85°20`5 (NW) D= 274°7 m= 30783 Mm

D) Calculul diferenţei dintre distanţa loxodromică şi distanţa ortodromică

M= 30783 Mm

-M= -29997 Mm

m-M= 786 Mm

37

E) Calcul drumului iniţial Di şi a drumului final Df + - + + - + + +

ctgDi=tgφBcosφAcosecΔλ-sinφActgΔλ ctgDf=-tgφAcosφBcosecΔλ+sinφBctgΔλ

x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,92381 lg tgφA= 9,85860

lg cosφA= 9,90887 lgsinφA= 9,76747 lg cosφB= 9,88425 lg sinφB= 9,80807

lgcosecΔλ= 0,04421 lgctgΔλ= 9,67687 lgcosecΔλ= 0,04421 lgctgΔλ= 9,67687

lg x1= 9,87689 lg y1= 9,44434 lg x2= 9,78706 lg y2= 9,48494

x1= +0,75316 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= - 0,61243

+y1= - 0,27819 φBN→ x1+ + y2= +0,30545 φAN→ sinφA +

ctgDi= 0,47497 φAN→ x2- ctgDf= -0,30698 φBN→ sinφB +

Di= 64°35`6 (NW) Di= 295°4 Df= 72°56`1(SW) Df= 252°9

F) Calculul coordonatelor vertexului φV şi λV

F1) Calculul latitudinii vertexului φV

cosφV1=cosφA sin Di cosφV2=cosφB sin Df

lg cosφA= 9,90887 lg cosφB= 9,88425

lg sin Di= 9,95582 lg sin Df= 9,98045

lg cosφV1= 9,86469 lg cosφV2= 9,86470

φV1= 42°55`2 N φV2= 42°55`1 S

exact: φV=42°55`2

F2) Calculul longitudinii vertexului λV

ctgΔλV1=sinφ tgDi λV1=λA+ΔλV1 ctgΔλV2=sinφBtgDf λV2=λB+ΔλV2

lg sinφA= 9,76747 λA= - 008°40`0 lg sinφB= 9,80807 λB= - 073°15`0

lg tgDi= 0,32333 ΔλV1= - 039°03`2 lg tgDf= 0,51290 ΔλV2= -154°28`2

lgctgΔλV1= 0,09080 λV1= - 047°43`2 lgctgΔλV2= 0,32097 λV2= - 227°43`2

ΔλV1= 039°03`2 λV1= 047°43`2W ΔλV2`= 025°31`6 λV2= 132°16`8E ΔλV2= 154°28`4

exact: ΔλV2=154°28`2

G) Calculul coordonatelor punctelor intermediare

tgφZ=tgφV cosΔλZ

Punct intermediar A Z1 Z2 Z3 Z4

Longitudinea λZ= 008°40` W 010°00` W 020°00` W 030°00` W 040°00`W

ΔλZ= λV- λZ= 037°43`2 027°43`2 017°43`2 007°43`2

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,96844 9,96844 9,96844 9,96844

9,89818 9,94706 9,97889 9,99605

lg tgφZ= 9,86662 9,91550 9,94733 9,96449

φZ= 35°50` N 36°20`2 N 39°27`7 N 41°32`0 N 42°39`6 N

38

Punct intermediar Z5 Z6 Z7 B

Longitudinea λZ= 050°00` W 060°00` W 070°00` W 073°15` W

ΔλZ= λV- λZ= 002°16`8 012°16`8 022°16`8

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,96844 9,96844 9,96844

9,99966 9,98995 9,96630

lg tgφZ= 9,96810 9,95839 9,93474

φZ= 42°53`9 N 42°15`6 N 40°42`7 N 40°00` N

Di

Df

PHILADELPHIA

STR. GIBRALTAR

A

B

D

m

Δλ

ΔλV2`

V1

ΔλV2ΔλV1

Problema numărul 2

Plecare: CHARLESTON Sosire: GIBRALTAR

φa= 32°40`N φB= 35°53` N

λA= 079°30`W λB= 006°13` W



λB= - 006°13` φB= +35°53` φcB= +22958

-λA = +079°30` -φA= - 32°40` -φcA= - 20633 10=10,00000

Δλ`= +073°17` Δφ= +03°13` Δφc= + 2325 -lg Δφc= 2,36642

Δλ= +073°17` Δφm= 193` colg Δφc= 7,63358

Δλm= 4397`

Δλ``= 73°17`



lg sin φA= 9,73219 lg cos φA= 9,92522

lg sin φB= 9,76800 lg cos φB= 9,90860

lg a= 9,50019 lg cos Δλ= 9,45885

a= +0,31637 lg b= 9,29267


cosM= +0,51256 Δλ<90º→b>0

M= 059°09`9 M= 35499 Mm

39



lg Δλm= 3,64316 lg Δφm= 2,28556

colg Δφc= 7,63358 lg secD= 1,27736

lg tgD= 1,27674 lg m= 3,56292

D= 86°58`4 (NE) D= 087°0 m= 36553 Mm


m= 36553 Mm

-M= 35499 Mm

m-M= 1054 Mm

E) Calcul drumului iniţial Di şi a drumului final Df

+ - + + - + + +


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,85940 lg tgφA= 9,80697

lg cosφA= 9,92522 lg sinφA= 9,73219 lg cosφB= 9,90860 lg sinφB= 9,76800

lgcosecΔ= 0,01875 lg ctgΔλ= 9,47760 lgcosecΔλ= 0,01875 lgctgΔλ= 9,47760

lg x1= 9,80337 lg y1= 9,20979 lg x2= 9,73432 lg y2= 9,24560

x1= +0,63587 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= - 0,54240

+y1= - 0,16210 φBN→ x1+ + y2= +0,17604 φAN→ sinφA +

ctgDi= +0,47377 φAN→ x2- ctgDf= - 0,36636 φBN→ sinφB +

Di= 64°39` (NE) Di= 064°7 Df= 69°52`8(SE) Df= 110°1





lg sin Di= 9,95603 lg sin Df= 9,97265

lg cosφV1= 9,88125 lg cosφV2= 9,88125

φV1= 40°28`1 N φV2= 40°28`1 S

F2) Calculul longitudinii vertexului λv

ctgΔλV1=sinφAtgDi λV1=λA+ΔλV1 ctgΔλV2=sinφBtgDf λV2=λB+ΔλV2

lg sinφA= 9,73219 λA= - 079°30`0 lg sinφB= 9,76800 λB= - 006°13`0

lg tgDi= 0,32444 ΔλV1= +041°16`5 lg tgDf= 0,43611 ΔλV2= +147°59`5

lgctgΔλV1= 0,05663 λV1= - 038°13`5 lgctgΔλV2= 0,20411 λV2= +141°46`5

ΔλV1= 41°16`5 λV1= 038°13`5W ΔλV2`= 032°00`4 λV2= 141°46`5E

exact: ΔλV2` = 032°00`5

ΔλV2 = 147°59`5

40




Longitudinea λZ= 079°30`W 070°00` W 060°00` W 050°00` W 040°00` W

ΔλZ= λV- λZ= 31°46`5 21°46`5 11°46`5 1°46`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,93101 9,93101 9,93101 9,93101

9,92948 9,96785 9,99076 9,99979

lg tgφZ= 9,86049 9,89886 9,92177 9,93080

φZ= 32°40 N 35°57`1 N 38°23`3 N 39°52`0 N 40°27`3 N


Longitudinea λZ= 030°00` W 020°00` W 010°00` W 006°13`W

ΔλZ= λV- λZ= 8°13`5 18°13`5 28°13`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,93101 9,93101 9,93101

9,99551 9,97765 9,94502

lg tgφZ= 9,92652 9,90866 9,87603

φZ= 40°10`6 N 39°01`1 N 36°55`9 N 35°53` N

Di

CHARLESTON

A

Str.GIBRALTARB

DfD m

Δλ

VN

ΔλV2

ΔλV2`ΔλV1

41

Problema numărul 3

Plecare: CAPE TOWN Sosire: I. HORNUS

φA= 34°00’ S φB= 56°00’ S

λA= 018°10’ E λB= 067°10’ W



λB= - 067°10’ φB= -56°00’ φcB= -40548

-λA = -018°10’ -φA= +34°00’ -φcA= -21586 10=10,00000

Δλ`= - 085°20’ Δφ= -22°00’ Δφc= -18962 -lg Δφc= 3,27788

Δλ= - 085°20’ Δφm= 1320’ colg Δφc= 6,72212

Δλm= 5120’

Δλ``= 85°20’



lg sin φA= 9,74756 lg cos φA= 9,91857

lg sin φB= 9,91857 lg cos φB= 9,74756

lg a= 9,66613 lg cos Δλ= 8,91040

a= +0,46359 lg b= 8,57653


cosM= +0,50131 Δλ<90º→b>0

M= 59°54’8 M= 35948 Mm



lg Δλm= 3,70927 lg Δφm= 3,12057

colg Δφc= 6,72212 lg secD= 0,45931

lg tgD= 0,43139 lg m= 3,57988

D= 69°40’7 (SW) D= 249°7 m= 38008 Mm


m= 38008 Mm

-M= 35948 Mm

m-M= 206 Mm

42

E) Calcul drumului iniţial Di şi a drumului final Df - - - + + + - +

ctgDi=tgφBcosφAcosecΔλ-sinφActgΔλ ctgDf=-tgφAcosφBcosecΔλ+sinφBctgΔλ x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 0,17101 lg tgφA= 9,82899



lg x1= 0,09102 lg y1= 8,65941 lg x2= 9,57799 lg y2= 8,83042

x1= -1,23316 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= + 0,37843

+y1= +0,04565 φBS→ x1- + y2= - 0,06767 φAS→ sinφA -

ctgDi= -1,18751 φAS→ x2+ ctgDf= + 0,31076 φBS→ sinφB -

Di= 40°06’0(SW) Di= 2200

1 Df= 72°44’2 (NW) Df= 2870

3





lg sin Di= 9,80897 lg sin Df= 9,97998

lg cosφV1= 9,72754 lg cosφV2= 9,72754

φV1= 57°43’4 S φV2= 57°43’4 N



lgsinφA= 9,74756 λA= +018°10’0 lg sinφB= 9,91857 λB= - 067°10’0

lgtgDi= 9,92535 ΔλV1= - 064°47’1 lg tgDf= 0,50757 ΔλV2= - 159°27’1

lgctgΔλV1= 9,67291 λV1= - 46°37’1 lgctgΔλV2= 0,42614 λV2’= - 226°37’1

ΔλV1= 064°47’1 λV1= 46°37’1W ΔλV2’= 020°32’9 λV2= +133°22’9

ΔλV2= 159°27’1 λV2= 133°22’9E




Longitudinea λZ= 018010’E 010

000’E 000

000’ 010

000’W 020

000’W

ΔλZ= λV- λZ= 56037’1 46

037’1 36

037’1 26

037’1

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,19956 0,19956 0,19956 0,19956

9,74053 9,83687 9,90451 9,95134

lg tgφZ= 9,94009 0,03643 0,10407 0,15090

φZ= 34000’ S 41

003’6S 47

024’0S 51

048’0S 54

045’6S

43

Punct intermediar Z5 Z6 Z7 Z8 B

Longitudinea λZ= 030000’W 040

000’W 050

000’W 060

000’W 067

010’W

ΔλZ= λV- λZ= 16037’1 06

037’1 03

022’9 13

022’9

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,19956 0,19956 0,19956 0,19956

9,98147 9,99710 9,99924 9,98805

lg tgφZ= 0,18103 0,19666 0,19880 0,18761

φZ= 56036’6 S 57

033’0 S 57

040’7 S 57

000’5 S 56

000’ S

A

B

CAPE

TOWN

I. HORNUS

0

°D

Di

Df

m

Δλ

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5Z6

V1

Z7Z8

ΔλV2ΔλV1

ΔλV2`

Problema numărul 4

Plecare: MONTEVIDEO Sosire: WALLVISBAY

φA= 35º30´S φB= 22º50´S

λA= 055º30´W λB= 014º20´E

A) Calculul diferenţei de longitudine Δλ, a diferenţei de latitudine Δφ

şi de latitudine crescândă Δφc

λB= +014º20´ φB= - 22º50´ φcB= - 13988

-λA = +055º30´ -φA= +35º30´ -φcA= +22677 10=10,00000

Δλ`= +069º50´ Δφ= +12º40´ Δφc= 8689 -lg Δφc=2.93897

Δλ= +069º50´ Δφm= 760´ colg Δφc=7.06103

Δλm= 4190´

Δλ``= 069º50´


44


lg sin φA= 9,76395 lg cos φA= 9,91069

lg sin φB= 9,58889 lg cos φB= 9,96456

lg a= 9,35284 lg cos Δλ= 9,53751

a= +0,22534 lg b= 9,41276


cosM= +0,48402 Δλ<90º→b>0

M= 61º03´1 M= 36631 Mm



lg Δλm= 3,62221 lg Δφm= 2,88081

colg Δφc= 7,06103 lg secD= 0,69241

lg tgD= 0,68324 lg m= 3,57322

D= 78º17´1 (NE) D= 078º3 m= 37430 Mm


m= 37430 Mm

-M= 36631 Mm

m-M= 799 Mm


- - - + + + - +


lg tgφB= 9,62433 lg tgφA= 9,85327

lg cosφA= 9,91069 lgsinφA= 9,76395 lg cosφB= 9,96456 lgsinφB= 9,58889


lg x1= 9,56250 lg y1= 9,32893 lg x2= 9,84531 lg y2= 9,15387

x1= - 0,36517 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= +0,70034

+y1= +0,21327 φBS→ x1- +y2= - 0,14252 φAS→ sinφA-

ctgDi= - 0,15190 φAS→ x2+ ctgDf= +0,55782 φBS→ sinφB-

Di= 81º21´8(SE) Di= 098º6 Df= 60º50´8(NE) Df= 060º8





lg sin Di= 9,99505 lg sin Df= 9,94117

lg cosφV1= 9,90574 lg cosφV2= 9,90573

φV1= 36º24´0S φV2= 36º24´1N

exact: φV=36º24´1



45

lg sinφA= 9,76395 λA= - 55º30´ lg sinφB= 9,58889 λB= + 14º20´

lg tgDi= 0,81847 ΔλV1= +14º39´5 lg tgDf= 0,25351 ΔλV2= +124º49´5

lg ctgΔλV1= 0,58242 λV1= - 40º50´5 lgctgΔλV2= 9,84240 λV2= +139º09´5

ΔλV1= 14º39´5 λV1= 040º50´5 W ΔλV2´= 55º10´5 λV2= 139º09´5 E

ΔλV2= 124º49´5




Longitudinea λZ= 055º30´W 050º00´W 040º00´W 030º00´W 020º00´W

ΔλZ= λV- λZ= 009º09´5 000º50´5 010º50´5 020º50´5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,86765 9,86765 9,86765 9,86765

9,99443 9,99995 9,99218 9,97061

lg tgφZ= 9,86208 9,86760 9,85983 9,83826

φZ= 35º30´S 36º03´1 S 36º23´9 S 35º54´6 S 34º34´2 S


Longitudinea λZ= 010º00´W 000º00´ 010º00´E 014º20´E

ΔλZ= λV- λZ= 030º50´5 040º50´5 050º50´5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,86765 9,86765 9,86765

9,93378 9,87882 9,80035

lg tgφZ= 9,80143 9,74647 9,66800

φZ= 32º20´1 S 29º09´1 S 24º58´0 S 22º50´S

ΔλV2`

46

Problema numărul 5

Plecare: SELAT LOMBOK Sosire: DURBAN

φA= 09°10`S φB= 29°51` S

λA= 115°45`E λB= 031°05` E

A) Calculul diferenţei de longitudine Δλ, a diferenţei de latitudine şi de


λB= +031°05` φB= - 29°51` φcB= - 18665

-λA = - 115°45` -φA= +09°10` -φcA= - 5487 10=10,00000

Δλ`= - 084°40` Δφ= - 20°41` Δφc= - 13178 -lg Δφc= 3,11985

Δλ= - 084°40` Δφm= 1241` colg Δφc= 6,88015

Δλm= 5080`

Δλ``= 84°40`



lg sin φA= 9,20223 lg cos φA= 9,99442

lg sin φB= 9,69699 lg cos φB= 9,93819

lg a= 8,89922 lg cos Δλ= 8,96825

a= +0,07929 lg b= 8,90086

+b= +0,07959 φA şi φB au acelaşi semn→ a>0

cosM= +0,15888 Δλ<90º→b>0

M= 080°515 M= 48515 Mm



lg Δλm= 3,70586 lg Δφm= 3,09377

colg Δφc= 6,88015 lg secD= 0,60013

lg tgD= 0,58601 lg m= 3,69390

D= 75°27`4 (SW) D= 255°5 m= 49420 Mm


m= 49420 Mm

-M= 48515 Mm

m-M= 905 Mm

47


- - - + + + - +


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,75881 lg tgφA= 9,20782

lg cosφA= 9,99442 lg sinφA= 9,20223 lg cosφB= 9,93819 lgsinφB= 9,69699

lgcosecΔλ= 0,00188 lg ctgΔλ= 8,97013 lgcosecΔλ= 0,00188 lgctgΔλ= 8,97013

lg x1= 9,75511 lg y1= 8,17236 lg x2= 9,14789 lg y2= 8,66712

x1= - 0,56900 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= +0,14057

+y1= +0,01487 φBS→ x1- +y2= - 0,04646 φAS→ sinφA -

ctgDi= - 0,55413 φAS→ x2+ ctgDf= +0,09411 φBS→ sinφB -

Di= 61°00`5 (SW) Di= 241°0 Df= 84°37`4(NW) Df= 275°4





lg sin Di= 9,94185 lg sin Df= 9,99808

lg cosφV1= 9,93627 lg cosφV2= 9,93627

φV1= 30°17`2 S φV2= 30°17`2 N



lg sinφA= 9,20223 λA= +115°45`0 lg sinφB= 9,69699 λB= +031°05`0

lg tgDi= 0,25640 ΔλV1= - 073°57`6 lg tgDf= 1,02633 ΔλV2= - 169°17`6

lgctgΔλV1= 9,45863 λV1= +041°47`4 lgctgΔλV2= 0,72332 λV2= - 138°12`6

ΔλV1= 73°57`6 λV1= 041°47`4E ΔλV2`= 010°42`5 λV2= 138°12`6W (exact ΔλV2`= 010°42`4)

ΔλV2= -169°17`6




Longitudinea λZ= 115°45` E 110°00` E 100°00` E 90°00` E 80°00`

ΔλZ= λV- λZ= 68°12`6 58°12`6 48°12`6 38°12`6

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,76644 9,76644 9,76644 9,76644

9,56961 9,72165 9,82374 9,89528

lg tgφZ= 9,33605 9,48809 9,59018 9,66172

φZ= 09°10` S 12°13`9 S 17°06`1 S 21°16`0 S 24°39`0 S

48


Longitudinea λZ= 70°00` E 60°00` E 50°00` E 40°00` E 031°05`E

ΔλZ= λV- λZ= 28°12`6 18°12`6 08°12`6 01°47`4

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,76644 9,76644 9,76644 9,76644

9,94508 9,97769 9,99553 9,99979

lg tgφZ= 9,71152 9,74413 9,76197 9,76623

φZ= 27°14`0 S 29°01`3 S 30°01`8 S 30°16`5 S 29°51` S

SELAT

LOMBOK

A

DURBAN

B

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6Z7Z8V1

DZ1

m

Di

Df

ΔλV2

ΔλV2`

Δλ

ΔλV1

Problema numărul 6

Plecare: TAMATAVE Sosire: GERALDTON

φA= 18°08`S φB= 28°46` S

λA= 049°30`E λB= 114°30` E



λB= +114°30` φB= - 28°46` φcB= - 17924

-λA = - 049°30` -φA= +18°08` -φcA= - 10995 10=10,00000

Δλ`= +065°00` Δφ= -10°38` Δφc= - 6929 -lg Δφc= 2,84067

Δλ= +065°00` Δφm= -638` colg Δφc= 7,15933

Δλm= 3900`

Δλ``= 65°00`

49



lg sin φA= 9,49308 lg cos φA= 9,97788

lg sin φB= 9,68237 lg cos φB= 9,94279

lg a= 9,17545 lg cos Δλ= 9,62595

a= +0,14978 lg b= 9,54662

+ b= + 0,35206 φA şi φB au acelaşi semn→ a>0

cosM= +0,50184 Δλ<90º→b>0

M`= 059°52`7 M= 059°52`7 M= 35927 Mm



lg Δλm= 3,59106 lg Δφm= 2,80482

colg Δφc= 7,15933 lg secD= 0,75712

lg tgD= 0,75039 lg m= 3,56194

D= 79°55`5 (SE) D= 100°1 m= 36470 Mm


m= 36470 Mm

-M= 35927 Mm

m-M= 543 Mm


- - - + + + - +


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,73957 lg tgφA= 9,51520

lg cosφA= 9,97788 lgsinφA= 9,49308 lgcosφB= 9,94279 lgsinφB= 9,68237


lg x1= 9,76017 lg y1= 9,16175 lg x2= 9,50071 lg y2= 9,35104

x1= - 0,57567 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= +0,31675

+y1= + 0,14513 φBS→ x1- + y2= -0,22441 φAS→ sinφA -


Di= 66°42`4 (SE) Di= 113°3 Df= 84°43`5(NE) Df= 084°7





lg sin Di= 9,96308 lg sin Df= 9,99816

lg cosφV1= 9,94096 lg cosφV2= 9,94095

φV1= 29°12`2 S φV2= 29°12`4 N

exact: φV=29°12`3

50



lg sinφA= 9,49308 λA= +049°30`0 lg sinφB= 9,68237 λB= +114°30`0

lg tgDi= 0,36600 Δλ1= +054°08`2 lg tgDf= 1,03467 ΔλV2= +169°08`2

lg ctgΔλV1= 9,85908 λV1= +103°38`2 lgctgΔλV2= 0,71704 λV2`= +283°38`2

ΔλV1= 54°08`2 λV1= 103°38`2E ΔλV2`= 010°51`6 λV2= -076°21`8

exact: ΔλV2`=010°51`8 λV2= 076°21`8W

ΔλV2= 169°08`2




Longitudinea λZ= 049°30` E 050°00` E 060°00` E 070°00` E 080°00`E

ΔλZ= λV- λZ= 053°38`2 043°38`2 033°38`2 023°38`2

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,74741 9,74741 9,74741 9,74741

9,77298 9,85958 9,92042 9,96195

lg tgφZ= 9,52039 9,60699 9,66783 9,70936

φZ= 18°08` S 18°20`2 S 22°01`6 S 24°57`4 S 27°07`0 S


Longitudinea λZ= 090°00` E 100°00` E 110°00` E 114°30` E

ΔλZ= λV- λZ= 013°38`2 003°38`2 006°21`8

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,74741 9,74741 9,74741

9,98758 9,99912 9,99732

lg tgφZ= 9,73499 9,74653 9,74473

φZ= 28°30`7 S 29°09`3 S 29°03`3 S 28°46` S

ΔλV2

ΔλV2`

51

Problema numărul 7

Plecare: GUADALUPE Sosire: BORONGAN

φA= 29°00`N φB= 11°40` N

λA= 118°30`W λB= 125°30` E



λB= +125°30` φB= +11°40` φcB= + 7002

-λA = +118°30` -φA= - 29°00` -φcA= -18083 10=10,00000

Δλ`= +244°00` Δφ= - 17°20` Δφc= -11081 -lg Δφc= 3,04458

Δλ= - 116°00` Δφm= 1040` colg Δφc= 6,95542

Δλm= 6960`

Δλ``= 64°00`



lg sin φA= 9,68557 lg cos φA= 9,94182

lg sin φB= 9,30582 lg cos φB= 9,99093

lg a= 8,99139 lg cos Δλ= 9,64184

a= +0,09804 lg b= 9,57459

+ b= - 0,37548 φA şi φB au acelaşi semn→ a>0

cosM= -0,27744 Δλ>90º→b<0

M`= 073°53`6 M= 106°06`6 M= 63664 Mm



lg Δλm= 3,84261 lg Δφm= 3,01703

colg Δφc= 6,95542 lg secD= 0,80344

lg tgD= 0,79803 lg m= 3,82047

D= 80°57`2 (SW) D= 261°0 m= 66141 Mm


m= 66141 Mm

-M= 63664 Mm

m-M= 2477 Mm

52


+ - + - - + + -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,31489 lg tgφA= 9,74375



lg x1= 9,30305 lg y1= 9,37375 lg x2= 9,78102 lg y2= 8,99400

x1= +0,20093 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= - 0,60398

+y1= +0,23646 φBN→ x1+ + y2= - 0,09863 φAN→ sinφA +

ctgDi= +0,43739 φAN→ x2- ctgDf= - 0,70261 φBN→ sinφB +

Di= 66°22`6 (NW) Di= 293°6 Df= 54°54`5 (SE) Df= 234°9





lg sin Di= 9,96199 lg sin Df= 9,91288

lg cosφV1= 9,90381 lg cosφV2= 9,90381

φV1= 36°44`6 N φV2= 36°44`6 S



lgsinφA= 9,68557 λA= -118°30`0 lg sinφB= 9,30582 λB= +125°30`0

lg tgDi= 0,35915 ΔλV1= -042°03`4 lg tgDf= 0,15330 ΔλV2= - 106°03`4

lgctgΔλV1= 0,04472 λV1= -160°33`4 lgctgΔλV2= 9,45912 λV2= +019°26`6

ΔλV1= 042°03`3 λV1= 160°33`4W ΔλV2`= 073°56`6 λV2= 019°26`6E exact: ΔλV1=042°03`4 ΔλV2= 106°03`4





ΔλZ= λV- λZ= 40°33`4 30°33`4 20°33`4 10°33`4

lg tgφV=

lg cosΔλZ= 9,87306 9,87306 9,87306 9,87306

9,88068 9,93507 9,97143 9,99259

lg tgφZ= 9,75374 9,80813 9,84449 9,86565

φZ= 29°00` N 29°33`7N 32°44`2 N 34°57`3 N 36°16`5 N

53

Punct intermediar Z5 Z6 Z7 Z8 Z9

Longitudinea λZ= 160°00` W 170°00` W 180°00` 170°00` E 160°00` E

ΔλZ= λV- λZ= 00°33`4 9°26`6 19°26`6 29°06`6 39°26`6

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,87306 9,87306 9,87306 9,87306 9,87306

9,99998 9,99407 9,97450 9,93994 9,88776

lg tgφZ= 9,87304 9,86713 9,84756 9,81300 9,76082

φZ= 36°44`5 N 36°22`1N 35°08`7 N 33°01`7 N 29°57`9 N


Longitudinea λZ= 150°00` E 140°00` E 130°00` E 125°30` E

ΔλZ= λV- λZ= 49°26`6 59°26`6 69°26`6

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,87306 9,87306 9,87306

9,81305 9,70620 9,54547

lg tgφZ= 9,68611 9,57926 9,41853

φZ= 25°53`5 N 20°47`0 N 14°41`3 N 11°40` N

ΔλV2`

54

Problema numărul 8

Plecare: BASHI CHAN Sosire: LOS ANGELES

φA= 21°18`N φB= 32°50` N

λA= 122°27`E λB= 120°10` W



λB= - 120°10` φB= +32°50` φcB= +20751

-λA = - 122°27` -φA= - 21°18` -φcA= - 13001 10=10,00000

Δλ`= - 242°37` Δφ= +11°32` Δφc= 7750 -lg Δφc= 2,88930

Δλ= +117°23` Δφm= 692` colg Δφc= 7,11070

Δλm= 7043`

Δλ``= 62°37`



lg sin φA= 9,56021 lg cos φA= 9,96927

lg sin φB= 9,73416 lg cos φB= 9,92441

lg a= 9,29437 lg cos Δλ= 9,66270

a= +0,19696 lg b= 9,55638


cosM= - 0,16310 Δλ>90º→b<0

M= 080°36`8 M`= 099°23`2 M= 59632 Mm



lg Δλm= 3,84776 lg Δφm= 2,84011

colg Δφc= 7,11070 lg secD= 0,96103

lg tgD= 0,95846 lg m= 3,80114

D= 83°43`2 D= 083°7 m= 63262 Mm


m= 63262 Mm

-M= 59632 Mm

m-M= 3630 Mm

55


+ - + - - + + -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,80975 lg tgφA= 9,59094



lg x1= 9,83063 lg y1= 9,27452 lg x2= 9,56696 lg y2= 9,44847

x1= +0,67706 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= - 0,36894

+y1= +0,18816 φBN→ x1+ +y2= - 0,28085 φAN→ sinφA+

ctgDi= +0,86522 φAN→ x2- ctgDf= - 0,64979 φBN→ sinφB+

Di= 49°08`0 (NE) Di= 049°1 Df= 56°59`1(SE) Df= 123°0





lg sin Di= 9,87866 lg sin Df= 9,92352

lg cosφV1= 9,84973 lg cosφV2= 9,84793

φV1= 45°12`3 N φV2= 45°12`3 S



lgsinφA= 9,56021 λA= +122°27`0 lg sinφB= 9,73416 λB= - 120°10`0


lgctgΔλV1= 9,62309 λV1`= +189°40`5 lgctgΔλV2= 9,92139 λV2= +009°40`5

ΔλV1= 067°13`5 λV1= 170°19`5W ΔλV2`= 050°09`4 λV2= 009°40`5E exact: ΔλV2`= 050°09`5

ΔλV2= 129°50`5




Longitudinea λZ= 122º27´0E 130º00É 140º00É 150º00É 160º00É

ΔλZ= λV- λZ= 59º40´5 49º40´5 39º40´5 29º40´5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,00311 0,00311 0,00311 0,00311

9,70321 9,81099 9,88631 9,93894

lg tgφZ= 9,70632 9,8141 9,88942 9,94205

φZ= 21º18Ń 26º57´3N 33º05´7 N 37º47´0 N 41º11´3 N

56


Longitudinea λZ= 170º00´E 180º00´ 170º00´W 160º00´W 150º00´W

ΔλZ= λV- λZ= 19º40´5 09º40´5 00º19´5 10º19´5 20º19´5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,00311 0,00311 0,00311 0,00311 0,00311

9,97387 9,99378 9,99999 9,99291 9,97208

lg tgφZ= 9,97698 9,99689 0,00310 9,99602 9,97519

φZ= 43º28´9 N 44º47´7 N 45º12´3 N 44º44´2 N 43º21´9 N

Punct intermediar Z10 Z11 B

Longitudinea λZ= 140º00´W 130º00´W 120º10´W

ΔλZ= λV- λZ= 30º19´5 40º19´5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,00311 0,00311

9,93610 9,88217

lg tgφZ= 9,93921 9,88528

φZ= 41º00´2 N 37º31´1 N 32º50´0N

180°

B

BASHI

CHAN

LOS

ANGELES

VDi

Df

ΔλV1ΔλV2

Δλ

Dm

A

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5Z6 Z7 Z8

Z9

Z10

Z11

ΔλV2`

57

Problema numărul 9

Plecare: NOUA CALEDONIE Sosire: CALAO

φA= 23°00` S φB= 12°00` S

λA= 166°00` E λB= 077°10` W

A) Calculul diferenţei de longitudine Δλ, a diferenţei de latitudine Δφ şi

de latitudine crescândă Δφc

λB= - 77°10` φB= - 12°00` φcB= - 7205

-λA = - 166°00` -φA= +23°00` -φcA= -14096 10=10,00000

Δλ`= - 243°10` Δφ= +11°00` Δφc= 6891 -lg Δφc= 2,83828

Δλ= +116°50` Δφm= 660` colg Δφc= 7,16172

Δλm= 7010`

Δλ``= 63°10`



lg sin φA= 9,59188 lg cos φA= 9.96403

lg sin φB= 9,31788 lg cos φB= 9.99040

lg a= 8,90976 lg cos Δλ= 9.65456

a= + 0,08124 lg b= 9.60899


cosM= - 0,32519 Δλ>90º→b<0

M`= 071°01`4 M= 108°58`6 M= 65386 Mm



lg Δλm= 3.84572 lg Δφm= 2.81954

colg Δφc= 7.16172 lg secD= 1.00947

lg tgD= 1.00744 lg m= 3.82901

D= 84°23`1 (NE) D= 084°4 m= 67454 Mm


m= 67454 Mm

-M= 65386 Mm

m-M= 2068 Mm

58


- - - - + + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9.32747 lg tgφA= 9.62785

lg cosφA= 9.96403 lg sinφA= 9.59188 lg cosφB= 9.99040 lg sinφB= 9.31788

lgcosecΔλ= 0.04948 lg ctgΔλ= 9.70404 lgcosecΔλ= 0.04948 lgctgΔλ= 9.70404

lg x1= 9.34098 lg y1= 9.29592 lg x2= 9.66773 lg y2= 9.02192

x1= -0.21927 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +0.46530

+y1= -0.19766 φBS→ x1- + y2= +0.10518 φAS→ sinφA -

ctgDi= -0.41693 φAS→ x2+ ctgDf= +0.57048 φBS→ sinφB -

Di= 67°22`0 (SE) Di= 112°6 Df= 60°17`8(NE) Df= 060°3




lg cosφA= 9.96403 lg cosφB= 9.99040

lg sin Di= 9.96520 lg sin Df= 9.93882

lg cosφV1= 9.92923 lg cosφV2= 9.92922

φV1= 31°49`7 S φV2= 31°49`8 N

exact: φV=31°49`8



lgsinφA= 9.59188 λA= +166°00` lgsinφB= 9.31788 λB= - 077°10`0

lgtgDi= 0.37992 ΔλV1= + 46°51`5 lgtgDf= 0.24377 ΔλV2= +110°01`5

lgctgΔλV1= 9.97180 λV1= + 212°15`5 lgctgΔλV2= 9.56165 λV2= +032°51`5

ΔλV1= +046°51`5 λV1= - 147°08`5 ΔλV2`= 069°58`5 λV2= 032°51`5E λV1= 147°08`5W ΔλV2= 110°01`5




Longitudinea λZ= 166°00` E 170°00` E 180°00` 170°00`W 160°00`W

ΔλZ= λV- λZ= 42°51`5 32°51`5 22°51`5 12°51`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9.79292 9.79292 9.79292 9.79292

9.86513 9.92429 9.96448 9.98897

lg tgφZ= 9.65805 9.71721 9.75740 9.78189

φZ= 23°00` S 24°28` S 27°32`4 S 29°46`2 S 31°10`9 S

59


Longitudinea λZ= 150°00`W 140°00`W 130°00`W 120°00`W 110°00`W

ΔλZ= λV- λZ= 02°51`5 07°08`5 17°08`5 27°08`5 37°08`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9.79292 9.79292 9.79292 9.79292 9.79292

9.99946 9.99662 9.98027 9.94933 9.90154

lg tgφZ= 9.79238 9.78954 9.77319 9.74225 9.69446

φZ= 31°47`9 S 31°37`8 S 30°40`5 S 28°55`0 S 26°19`7 S


Longitudinea λZ= 100°00`W 90°00`W 80°00`W 77°10`W

ΔλZ= λV- λZ= 47°08`5 57°08`5 67°08`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9.79292 9.79292 9.79292

9.83263 9.73445 9.58934

lg tgφZ= 9.62555 9.52737 9.38226

φZ= 22°53`5 S 18°36`8 S 13°33`4 S 12°00` S

A

B

Z1

Z2

Z3Z4 Z5 Z6

Z7

Z8

Z9

Z10

Z11

Z12

V

NOUA CALEDONIE

CALAO

Dm

Δλ

ΔλV2

Di

DfΔλV1

ΔλV2`

60

Problema numărul 10

Plecare: GUAYAQUIL Sosire: AUCKLAND

φA= 03°17`0 S φB= 33°30`0 S

λA= 080°36`0 W λB= 172°30`0 E



λB= +172°30`0 φB= -33°30`0 φcB= - 2122`7

-λA = +080°36`0 -φA= +03°17`0 -φcA= + 195`8 10=10,00000

Δλ`= +253°06`0 Δφ= -30°13`0 Δφc= - 1926`9 -lg Δφc= 3,28486

Δλ= - 106°54`0 Δφm= 1813` colg Δφc= 6,71514

Δλm= 6414`

Δλ``= 73°06`0



lg sin φA= 8,75795 lg cos φA= 9,99929

lg sin φB= 9,74189 lg cos φB= 9,92111

lg a= 8,49984 lg cos Δλ= 9,46345

a= +0,03161 lg b= 9,38385


cosM= - 0,21041 Δλ>90º→b<0

M`= 77°51`2 M= 102°08`8 M= 61288 Mm



lg Δλm= 3,80713 lg Δφm= 3,25840

colg Δφc= 6,71514 lg secD= 0,54103

lg tgD= 0,52227 lg m= 3,79943

D= 73°16`7 (SW) D= 253°3 m= 63013 Mm


m= 63013 Mm

-M= 61288 Mm

m-M= 1725 Mm

61


- - - - + + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,82078 lg tgφA= 8,75867



lg x1= 9,83924 lg y1= 8,24057 lg x2= 8,69895 lg y2= 9,22451

x1= -0,69062 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +0,05000

+y1= -0,01740 φBS→ x1- +y2= +0,16769 φAS→ sinφA -

ctgDi= -0,70802 φAS→ x2+ ctgDf= 0,21769 φBS→ sinφB -

Di= 54°42`0 (SW) Di= 234°7 Df= 77°43`1(NW) Df= 282°3





lg sin Di= 9,91176 lg sin Df= 9,98995

lg cosφV1= 9,91105 lg cosφV2= 9,91106

φV1= 35°26`0S φV2= 35°258`N

exact: φV= 35°25`9


ctgΔλV1=sinφA tgDi λV1=λA+ΔλV1 ctgΔλV2=sinφB tgDf λV2=λB+ΔλV2

lgsinφA= 8,75795 λA= -080°36`0 lgsinφB= 9,74189 λB= +172°30`0

lgtgDi= 0,14994 ΔλV1= -085°22`5 lgtgDf= 0,66214 ΔλV2= - 158°28`5


ΔλV1= 85°22`5 λV1= 165°58`5W ΔλV2`= 021°31`5 λV2= 014°01`5E

ΔλV2= 158°28`5




Longitudinea λZ= 80°36`0W 90°00`0W 100°00`0W 110°00`0W 120°00`0W

ΔλZ= λV- λZ= 75°58`5 65°58`5 55°58`5 45°58`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,85217 9,85217 9,85217 9,85217

9,38443 9,60974 9,74784 9,84197

lg tgφZ= 9,23660 9,46191 9,60001 9,69414

φZ= 03°17`0S 09°47`S 16°09`3S 21°42`5S 26°18`7S

62



ΔλZ= λV- λZ= 35°58`5 25°58`5 15°58`5 05°58`5 04°01`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,85217 9,85217 9,85217 9,85217 9,85217

9,90810 9,95375 9,98290 9,99763 9,99893

lg tgφZ= 9,76027 9,80592 9,83507 9,84980 9,85110

φZ= 29°56`0S 32°36`2S 34°22`4S 35°17`0S 35°21`9S

Punct intermediar Z10 B

Longitudinea λZ= 180°00`0W 172°30`0E

ΔλZ= λV- λZ= 14°01`5

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,85217

9,98686

lg tgφZ= 9,83903

φZ= 34°37`0S 33°30`0S

Z

Z

Z

Z

Z

Z

ZZZ

1

3

4

5

67

89

1

0 V

m

D

A

B

ΔλV2ΔλV1

Δλ

Z2

Di

AUCKLAND

GUAYAQUIL

Df

ΔλV2`

63

4.2 ORTODROME CE TRAVERSEAZĂ ECUATORUL


Plecare: HALIFAX Sosire: SALDOHNA

φA= 44°20`N φB= 32°50` S

λA= 063°20`W λB= 017°40` E



λB= +017°40` φB= -32°50` φcB= -20751

-λA = +063°20` -φA= -44°20` -φcA= -29576 10=10,00000

Δλ`= +81°00` Δφ= -77°10` Δφc= -50327 - lgΔφc= 3,70180

Δλ= +81°00` Δφm= 4630` colgΔφc= 6,29820

Δλm= 4860`

Δλ``= 81°00`



lg sin φA= 9,84437 lg cos φA= 9,85448

lg sin φB= 9,73416 lg cos φB= 9,92441

lg a= 9,57853 lg cos Δλ= 9,19433

a= - 0,37890 lg b= 8,97322

+ b= +0,09402 φA şi φB au semne diferite→ a<0

cosM= - 0,28488 Δλ<90º→b>0

M`= 73°26`9 M= 106°33`1 M= 63931 Mm



lg Δλm= 3,68664 lg Δφm= 3,66558

colg Δφc= 6,29820 lg secD= 0,14307

lg tgD= 9,98484 lg m= 3,80865

D= 44°00`0 (SE) D= 136°0 m= 64365 Mm


m= 64365 Mm

-M= 63931 Mm

m-M= 434 Mm

64


- - + + - + - +


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,80975 lg tgφA= 9,98989



lg x1= 9,66961 lg y1= 9,04408 lg x2= 9,91968 lg y2= 8,93387

x1= -0,46732 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= -0,83115

+y1= -0,11068 φBS→ x1- + y2= -0,08588 φAN→ sinφA+

ctgDi= -0,57800 φAN→ x2- ctgDf= -0,91703 φBS→ sinφB -

Di= 59°58`3 (SE) Di= 120°0 Df= 47°28`7(SE) Df= 132°5





lg sin Di= 9,93741 lg sin Df= 9,86748

lg cosφV1= 9,79189 lg cosφV2= 9,79189

φV1= 51°44`2 N φV2= 51°44`2 S



lg sinφA= 9,84437 λA= - 063°20`0 lg sinφB= 9,73416 λB= + 017°40`0

lg tgDi= 0,23806 ΔλV1= -039°35`7 lg tgDf= 0,03762 ΔλV2= + 059°24`3

lgctgΔλV1= 0,08243 λV1= -102°55`7 lgctgΔλV2= 9,77178 λV2= + 077°04`3

ΔλV1= 039°35`7 λV1= 102°55`7W ΔλV2= 059°24`3 λV2 = 077°04`3E





ΔλZ= λV- λZ= 042°55`7 052°55`7 062°55`7 072°55`7

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,10308 0,10308 0,10308 0,10308

9,86463 9,78018 9,65811 9,46771

lg tgφZ= 9,96771 9,88326 9,76119 9,57079

φZ= 44°20`0 N 42°52`3 N 37°23`4 N 29°59`1N 20°25`0 N

65


Longitudinea λZ= 020°00` W 010°00` W 000°00` 010°00`E 017°40` E

ΔλZ= λV- λZ= 082°55`7 087°04`3 077°04`3 067°04`3

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,10308 0,10308 0,10308 0,10308

9,09030 8,70831 9,34973 9,59060

lg tgφZ= 9,19338 8,81139 9,45281 9,69368

φZ= 08°52`3 N 03°42`4 S 15°50`2 S 26°17`2 S 32°50` S

V1

V2

A

B

Di

Df

ΔλV

1

ΔλV

2

D

Δλm

HA

LIF

AX

SA

LD

OH

NA

00

0°

66


Plecare: CAPE TOWN Sosire: JACKSONVILLE

φA= 33°55`S φB= 30°20` N

λA= 018°20`E λB= 081°15` W



λB= - 081°15` φB= +30°20` φcB= +18999

-λA = - 018°20` -φA= +33°55` -φcA= +21526 10=10,00000

Δλ`= - 099°35` Δφ= +64°15` Δφc= + 40525 -lg Δφc= 3,60772

Δλ= - 099°35` Δφm= 3855` colg Δφc= 6,39228

Δλm= 5975`

Δλ``= 80°25`



lg sin φA= 9,74662 lg cos φA= 9,91900

lg sin φB= 9,70332 lg cos φB= 9,93606

lg a= 9,44994 lg cos Δλ= 9,22137

a= - 0,28180 lg b= 9,07643

+ b= - 0,11924 φA şi φB au semne opuse→ a<0

cosM= - 0,40104 Δλ>90º→b<0

- M`= 066°21`4 M= 113°38`6 M= 68186 Mm



lg Δλm= 3,77634 lg Δφm= 3,58602

colg Δφc= 6,39228 lg secD= 0,25079

lg tgD= 0,16862 lg m= 3,83681

D= 55°51`2 (NW) D= 304°1 m= 68677 Mm


m= 68677 Mm

-M= 68186 Mm

m-M= 491 Mm

67


+ - - - + + + -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,76725 lg tgφA= 9,82762



lg x1= 9,69235 lg y1= 8,97409 lg x2= 9,76978 lg y2= 8,93079

x1= +0,49244 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +0,58855

+y1= - 0,09421 φBN→ x1+ +y2= - 0,08527 φAS→ sinφA -

ctgDi= +0,39823 φAS→ x2+ ctgDf= +0,50328 φBN→ sinφB +

Di= 68°17`2(NW) Di= 291°7 Df= 63°17`1(NW) Df= 296°7





lg sin Di= 9,96804 lg sin Df= 9,95097

lg cosφV1= 9,88704 lg cosφV2= 9,88703

φV1= 39°33`5 S (exact 39°33`6) φV2= 39°33`6 N

F2) Calculul longitudinii vertexului Λv


lg sinφA= 9,74662 λA= +018°20`0 lg sinφB= 9,70332 λB= - 081°15`0

lg tgDi= 0,39988 ΔλV1= +035°30`9 lg tgDf= 0,29819 ΔλV2= - 044°54`1

lgctgΔλV1= 0,14650 λV1= +053°50`9 lgctgΔλV2= 0,00151 λV2= - 126°09`1

ΔλV1= 035°30`9 λV1= 053°50`9E ΔλV2= 044°54`0 λV2= 126°09`1W (exact ΔλV2= 044°54`1)




Longitudinea λZ= 018°20` E 010°00` E 000°00` 010°00` W 020°00`W

ΔλZ= λV- λZ= 043°50`9 053°50`9 063°50`9 073°50`9

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,91703 9,91703 9,91703 9,91703

9,85804 9,77080 9,64419 9,44433

lg tgφZ= 9,77507 9,68783 9,56122 9,36136

φZ= 33°55` S 30°47`1 S 25°58`9 S 20°00`4 S 12°56`5 S

68


Longitudinea λZ= 030°00` W 040°00` W 050°00` W 060°00` W 070°00` W

ΔλZ= λV- λZ= 083°50`9 086°09`1 076°09`1 066°09`1 056°09`1

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,91703 9,91703 9,91703 9,91703 9,91703

9,03004 8,82682 9,37904 9,60672 9,74585

lg tgφZ= 8,94707 8,74385 9,29607 9,52375 9,66288

φZ= 05°03`5 S 03°10`4 N 11°11`1 N 18°28`2 N 24°42`5 N


Longitudinea λZ= 080°00` W 081°15` W

ΔλZ= λV- λZ= 046°09`1

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,91703

9,84058

lg tgφZ= 9,75761

φZ= 29°46`9 N 30°20`0 N

Df

Di

Dm

B

JACKSONVILLE

A

CAPE TOWN

V1

V2

ΔλΔλV2 ΔλV1

00°

69


Plecare: BENIN RIVER Sosire: PUERTO GALLEGOS

φA= 05° 35’ N φB= 51° 35’ S

λA= 005° 10’ E λB= 068° 50’ W



λB= - 068° 50’ φB= - 51°35’ φcB= -36067

-λA = - 005° 10’ -φA= - 05°35’ -φcA= - 3333 10=10,00000

Δλ`= - 074° 00’ Δφ= - 57° 10’ Δφc= -39400 -lg Δφc= 3,59550

Δλ= +074° 00’ Δφm= 3430’ colg Δφc= 6,40450

Δλm= 4440’

Δλ``= 74°00’



lg sin φA= 8,98808 lg cos φA= 9,99793

lg sin φB= 9,89405 lg cos φB= 9,79335

lg a= 8,88213 lg cos Δλ= 9,44034

a= - 0,07623 lg b= 9,23162


cosM= +0,09423 Δλ<90º→b>0

M= 84°35’6 M= 50756 Mm



lg Δλm= 3,64738 lg Δφm= 3,53529

colg Δφc= 6,40450 lg secD= 0,17799

lg tgD= 0,05188 lg m= 3,71328

D= 48°24’8(SW) D= 228°4 m= 51675 Mm


m= 51675 Mm

-M= 50756 Mm

m-M= 919 Mm

70


- - + + - + - +


lg tgφB= 0,10069 lg tgφA= 8,99015



lg x1= 0,11578 lg y1= 8,44558 lg x2= 8,80066 lg y2= 9,35155

x1= -1,30551 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= -0,06319

+y1= -0,02790 φBS→ x1- +y2= -0,22467 φAN→ sinφA+

ctgDi= -1,33341 φAN→ x2- ctgDf= -0,28786 φBS→ sinφB -

Di= 36°52’1(SW) Di= 216°9 Df= 73°56’5 (SW) Df= 253°9





lg sin Di= 9,77814 lg sin Df= 9,98271

lg cosφV1= 9,77607 lg cosφV2= 9,77606

φV1= 53°20’1 N φV2= 53°20’2 S

exact: φV=53°20’1



lg sinφA= 8,98808 λA= +005°10’0 lg sinφB= 9,89405 λB= -068°50’0

lg tgDi= 9,87504 ΔλV1= +085°49’6 lg tgDf= 0,54084 ΔλV2= -020°10’4

lgctgΔλV1= 8,86312 λV1= +090°59’6 lgctgΔλV2= 0,43489 λV2= -089°00’4

ΔλV1= 085°49’6 λV1= 090°59’6E ΔλV2= 020°10’3 λV2= 089°00’4W

exact: ΔλV2= 020°10’4




Longitudinea λZ= 005010’E 000

000’ 010

000’W 020

000’W 030

000’W

ΔλZ= λV- λZ= 089°00΄4 079°00΄4 069°00΄4 059°00΄4

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,12818 0,12818 0,12818 0,12818

8,23895 9,28034 9,55420 9,71176

lg tgφZ= 8,36713 9,40852 9,68238 9,83994

φZ= 05035’N 01°20΄0S 14°22΄1S 25°42΄0S 34°40΄4S

71


Longitudinea λZ= 040000’W 050

000’W 060

000’W 068

050’W

ΔλZ= λV- λZ= 049°00΄4 039°00΄4 029°00΄4

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,12818 0,12818 0,12818

9,81688 9,89046 9,94179

lg tgφZ= 9,94506 0,01864 0,06997

φZ= 41°23΄1S 46°13΄8S 49°35΄7S 51035’S

BE

NIN

RIV

ER

V1

V2

PU

ER

TO

GA

LL

EG

OS

Z6

Z5

Z4

Z3

Df

Di

Δλ

Δλ

V1

Δλ

V2

Z2

Z1

D

m

Z7

B

A

72


Plecare: I. BOUGAINVILLE Sosire: CRESCENT CITY

φA= 06º08´S φB= 41º44´N

λA= 155º40´E λB= 124º12´W



λB= - 124º12´ φB= +41º44´ φcB= +27449

-λA = - 155º40´ -φA= + 6º08´ -φcA= + 3662 10=10,00000

Δλ`= - 279º52´0 Δφ= +47º52´ Δφc= 31111 -lg Δφc= 3,49291

Δλ= +080º08´0 Δφm= 2872´ colg Δφc= 6,50709

Δλm= 4808´

Δλ``= 80º08´



lg sin φA= 9,02874 lg cos φA= 9,99751

lg sin φB= 9,82326 lg cos φB= 9,87288

lg a= 8,85200 lg cos Δλ= 9,23390

a= - 0,07112 lg b= 9,10429

+ b= +0,12714 φA şi φB au semne opuse →a<0

cosM= +0,05602 Δλ<90º→ b>0

M= 86º47´3 M= 52073 Mm



lg Δλm= 3,68196 lg Δφm= 3,45818

colg Δφc= 6,50709 lg secD= 0,26500

lg tgD= 0,18905 lg m= 3,72318

D= 57º05´7(NE) D= 057º1 m= 52866 Mm


m= 52866 Mm

-M= 52073 Mm

m-M= 793 Mm

73


+ - - + + + + +

ctgDi=tgφBcosφAcosecΔλ-sinφActgΔλ ctgDf=-tgφAcosφBcosecΔλ+sinφctgΔλ

x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,95037 lg tgφA= 9,03124



lg x1= 9,95435 lg y1= 8,26911 lg x2= 8,91059 lg y2= 9,06363

x1= +0,90022 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= +0,08139

+y1= +0,01858 φBN→ x1+ +y2= +0,11578 φAS→ sinφA-

ctgDi= +0,91880 φAS→ x2+ ctgDf= +0,19717 φBN→ sinφB+

Di= 47º25´4(NE) Di= 047º4 Df= 78º50´8(NE) Df= 078º8





lg sin Di= 9,86710 lg sin Df= 9,99172

lg cosφV1= 9,86461 lg cosφV2= 9,86460

φV1= 42º55´9 S φV2= 42º56´0 N

exact: φV= 42 º56´0



lgsinφA= 9,02874 λA= +155º40´0 lg sinφB= 9,82326 λB= - 124º12´0

lg tgDi= 0,03678 ΔλV1= - 83º22´0 lg tgDf= 0,70518 ΔλV2= +016º30´0

lgctgΔλV1= 9,06552 λV1= +072º18´0 lgctgΔλV2= 0,52844 λV2= - 107º42´0

ΔλV1= 83º22´0 λV1= 072º18´0E ΔλV2= 016º29´9 λV2= 107º42´0W

exact: ΔλV2=016º30´0




Longitudinea λZ= 155º40É 160º00É 170º00É 180º00´ 170º00´W

ΔλZ= λV- λZ= 087º42´0 082º18´0 072º18´0 062º18´0

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,96864 9,96864 9,96864 9,96864

8,60349 9,12706 9,48292 9,66731

lg tgφZ= 8,57213 9,09570 9,45156 9,63595

φZ= 06º08´S 02º08´3 S 07º06´3 N 15º47´6 N 23º23´2 N

74


Longitudinea λZ= 160º00´W 150º00´W 140º00´W 130º00´W 124º12´W

ΔλZ= λV- λZ= 052º18´0 042º18´0 032º18´0 022º18´0

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,96864 9,96864 9,96864 9,96864

9,78642 9,86902 9,92699 9,96624

lg tgφZ= 9,75506 9,83766 9,89563 9,93488

φZ= 29º38´2 N 34º31´9 N 38º10´8 N 40º43´2 N 41º44´N

75


Plecare: SAN FRANCISCO Sosire: I BOUGAINVILLE

φA= 37°35`N φB= 06°08` S

λA= 123°00`W λB= 155°40`E



λB= +155°40` φB= - 06°08` φcB= - 3662

-λA = - 123°00` -φA= - 37°35` -φcA= - 24226 10=10,00000

Δλ`= +278°40` Δφ= - 43°43` Δφc= - 27888 -lg Δφc= 3,44542

Δλ= - 081°20` Δφm= 2623` colg Δφc= 6,55458

Δλm= 4880`

Δλ``= 81°20`



lg sin φA= 9,78527 lg cos φA= 9,89898

lg sin φB= 9,02874 lg cos φB= 9,99751

lg a= 8,81401 lg cos Δλ= 9,17807

a= -0,06516 lg b= 9,07456


cosM= +0,05357 Δλ<90º→b>0

M= 086°55`8 M= 52158 Mm



lg Δλm= 3,68842 lg Δφm= 3,41880

colg Δφc= 6,55458 lg secD= 0,30437

lg tgD= 0,24300 lg m= 3,72317

D= 60°15`2 (SW) D= 240°3 m= 52865 Mm


m= 52865 Mm

-M= 52158 Mm

m-M= 707 Mm

76


- - + + - + - +

ctgDi=tgφBcosφAcosecΔλ–sinφActgΔλ ctgDf=-tgφAcosφBcosecΔλ+sinφBctgΔλ

x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,03124 lg tgφA= 9,88629



lg x1= 8,93521 lg y1= 8,96833 lg x2= 9,88879 lg y2= 8,21180

x1= - 0,08614 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= -0,77409

+y1= - 0,09297 φBS→ x1- +y2= -0,01629 φAN→ sinφA +

ctgDi= - 0,17911 φAN→ x2- ctgDf= -0,79038 φBS→ sinφB -

Di= 79°50`7 (SW) Di= 259°8 Df= 51°40`7(SW) Df= 231°7





lg sin Di= 9,99314 lg sin Df= 9,89462

lg cosφV1= 9,89212 lg cosφV2= 9,89213

φV1= 38°44`1 N φV2= 38°44`0 S

exact: φV= 38°44`1



lg sinφA= 9,78527 λA= -123°00`0 lg sinφB= 9,02874 λB= +155°40`0

lg tgDi= 0,74686 ΔλV1= +016°22`0 lg tgDf= 0,10217 ΔλV2= - 082°18`0


ΔλV1= 016°22` λV1= 106°38`0W ΔλV2= 082°18`1 λV2= 073°22`0E exact: ΔλV2= 082°18`0




Longitudinea λZ= 123°00` W 130°00`W 140°00` W 150°00` W 160°00`W

ΔλZ= λV- λZ= 023°22`0 033°22`0 043°22`0 053°22`0

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,90426 9,90426 9,90426 9,90426

9,96284 9,92177 9,86152 9,77575

lg tgφZ= 9,86710 9,82603 9,76578 9,68001

φZ= 37°35` N 36°22`0 N 33°49`2 N 30°14`9 N 25°34`7 N

77


Longitudinea λZ= 170°00` W 180°00` 170°00` E 160°00` E 155°40`E

ΔλZ= λV- λZ= 063°22`0 073°22`0 083°22`0 086°38`0

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,90426 9,90426 9,90426 9,90426

9,65155 9,45674 9,06264 8,76883

lg tgφZ= 9,55581 9,36100 8,96690 8,67309

φZ= 19°46`7 N 12°55`9 N 05°17`6 N 02°41`8 S 06°08` S

78


Plecare: SENDAI Sosire: STR. MAGELLAN

φA= 38°14`N φB= 52°30` S

λA= 141°08`E λB= 075°00` W



λB= - 075°00` φB= - 52°30` φcB= - 36959

-λA = - 141°08` -φA= - 38°14` φcA= - 24718 10=10,00000

Δλ`= - 216°08` Δφ= - 90°44` Δφc= - 61677 -lg Δφc= 3,79012

Δλ= +143°52` Δφm= 5444` colgΔφc= 6,20988

Δλm= 8632`

Δλ``= 36°08`



lg sin φA= 9,79160 lg cos φA= 9,89514

lg sin φB= 9,89947 lg cos φB= 9,78445

lg a= 9,69107 lg cos Δλ= 9,90722

a= - 0,49099 lg b= 9,58681

+ b= - 0,38620 φA şi φB au semne diferite→ a<0

cosM= - 0,87719 Δλ>90º→b<0

M`= 28°41`7 M= 151°18`3 M= 90783 Mm



lg Δλm= 3,93611 lg Δφm= 3,73592

colg Δφc= 6,20988 lg secD= 0,23555

lg tgD= 0,14599 lg m= 3,97147

D= 54°27`2 (SE) D= 125°5 m= 93642 Mm


m= 93642 Mm

-M= 90783 Mm

m-M= 2859 Mm

79


- - + - - + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 0,11502 lg tgφA= 9,89645

lg cosφA= 9,89514 lgsinφA= 9,79160 lgcosφB= 9,78445 lg sinφB= 9,89947


lg x1= 0,23955 lgy1= 9,92822 lg x2= 9,91029 lg y2= 0,03609

x1= - 1,73600 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= - 0,81337

+y1= +0,84766 φBS→ x1- +y2= +1,08665 φAN→ sinφA+

ctgDi= - 0,88834 φAN→ x2- ctgDf= +0,27328 φBS→ sinφB -

Di= 48°23`0(SE) Di= 131°6 Df= 74°42`9(NE) Df= 74°7



g cosφA= 9,89514 lg cosφB= 9,78445

lg sin Di= 9,87367 lg sin Df= 9,98436

lg cosφV1= 9,76881 lg cosφV2= 9,76881

φV1= 54°02`3 N φV2= 54°02`3 S

F2) Calculul longitudinii vertexului λV ctgΔλV1=sinφAtgDi λV1=λA+ΔλV1 ctgΔλV2=sinφBtgDf λV2=λB+ΔλV2


lg tgDi= 0,05141 ΔλV1= - 055°08`3 lg tgDf= 0,56338 ΔλV2= - 019°00`3

lg ctgΔλV1= 9,84301 λV1= +085°59`7 lgctgΔλV2= 0,46285 λV2= - 094°00`3

ΔλV1= 055°08`2 λV1= 085°59`7 E ΔλV2= 19°00`4 λV2= 094°00`3 W exact: ΔλV1=055°08`3 exact: ΔλV2= 19°00`3

G) Calculul coordonatelor punctelor intermediare tgφZ=tgφV cosΔλZ



ΔλZ= λV- λZ= 64°00`3 74°00`3 84°00`3 85°59`7

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,13935 0,13935 0,13935 0,13935

9,64176 9,44021 9,01887 8,84413

lg tgφZ= 9,78111 9,57956 9,15822 8,98348

φZ= 38°14` N 31°08`2 N 20°47`8 N 08°11`5 N 05°29`9 S

80



ΔλZ= λV- λZ= 75°59`7 65°59`7 55°59`7 45°59`7 35°59`7

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,13935 0,13935 0,13935 0,13935 0,13935

9,38383 9,60940 9,74762 9,84181 9,90799

lg tgφZ= 9,52318 9,74875 9,88697 9,98116 0,04734

φZ= 18°26`8 S 29°16`8 S 37°37`6 S 43°45`5 S 48°07`0 S



ΔλZ= λV- λZ= 25°59`7 15°59`7 05°59`7 04°00`3 14°00`3

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,13935 0,13935 0,13935 0,13935 0,13935

9,95368 9,98285 9,99763 9,99894 9,98689

lg tgφZ= 0,09303 0,12220 0,13698 0,13829 0,12624

φZ= 51°05`4 S 52°57`4 S 53°53`4 S 53°58`3 S 53°12`7 S

Punct intermediar B

Longitudinea λZ= 075°00` W

ΔλZ= λV- λZ=

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 52°30` S

81


Plecare: CANAL PANAMA Sosire: WELLINGTON

φA= 07°10`N φB= 42°00` S

λA= 080°00`W λB= 175°00` E



λB= +175°00` φB= - 42°00` φcB= - 27663

-λA = +080°00` -φA= - 07°10` -φcA= - 4283 10=10,00000

Δλ`= +255°00` Δφ= - 49°10` Δφc= - 31946 -lg Δφc= 3,50442

Δλ= - 105°00` Δφm= 2950` colg Δφc= 6,49558

Δλm= 6300`

Δλ``= 75°00`



lg sin φA= 9,09606 lg cos φA= 9,99659

g sin φB= 9,82551 lg cos φB= 9,87107

lg a= 8,92157 lg cos Δλ= 9,41300

a= -0,08348 lg b= 9,28066

+ b= -0,19084 φA şi φB au semne diferite → a<0

cosM= -0,27432 Δλ>90º→b<0

M`= 74°04`7 M= 105°55`3 M= 63553 Mm



lg Δλm= 3,79934 lg Δφm= 3,46982

colg Δφc= 6,49558 lg secD= 0,34462

lg tgD= 0,29492 lg m= 3,81444

D= 63°06`7 (SW) D= 243°1 m= 65229 Mm


m= 65229 Mm

-M= 63553 Mm

m-M= 1676 Mm

82


- - + - - + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,95444 lg tgφA= 9,09947



lg x1= 9,96609 lg y1= 8,52411 lg x2= 8,98560 lg y2= 9,25356

x1= -0,92489 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= -0,09674

+y1= +0,03343 φBS→ x1- +y2= +0,17929 φAN→ sinφA+

ctgDi= -0,89146 φAN→ x2- ctgDf= +0,08255 φBS→ sinφB -

Di= 48°17`1 (SW) Di= 228°3 Df= 85°16`9(NW) Df= 274°7





lg sin Di= 9,87301 lg sin Df= 9,99853

lg cosφV1= 9,86960 lg cosφV2= 9,86960

φV1= 42°12`9 N φV2= 42°12`9 S



lg sinφA= 9,09606 λA= -080°00`0 lg sinφB= 9,82551 λB= +175°00`0


lgctgΔλV1= 9,14597 λV1= +002°02`0 lgctgΔλV2= 0,90886 λV2= +182°02`0

ΔλV1= +082°02` λV1= 002°02`0E ΔλV2= 007°01`9 λV2= - 177°58`0

exact: ΔλV2= 007°02`0 λV2= 177°58`0W





ΔλZ= λV- λZ= 87°58`0 77°58`0 67°58`0 57°58`0

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,95771 9,95771 9,95771 9,95771

8,54999 9,31907 9,57420 9,72461

lg tgφZ= 8,50770 9,27678 9,53191 9,68232

φZ= 07°10` N 01°50`6S 10°42`6 S 18°47`7 S 25°41`8 S

83



ΔλZ= λV- λZ= 47°58`0 37°58`0 27°58`0 17°58`0 07°58`0

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,95771 9,95771 9,95771 9,95771 9,95771

9,82579 9,89673 9,94607 9,97829 9,99579

lg tgφZ= 9,78350 9,85444 9,90378 9,93600 9,95350

φZ= 31°16`6 S 35°34`4 S 38°42`3 S 40°47`6 S 41°56`3 S


Longitudinea λZ= 180°00` W 175°00` E

ΔλZ= λV- λZ= 002°02`0

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

9,95771

9,99973

lg tgφZ= 9,95744

φZ= 42°11`8 S 42°00`0 S

84

4.3 PROBLEME DE DRUM MIXT


Plecare: SAN DIEGO Sosire: SU-AO

φA= 32° 40’ N φB= 24° 40’ N

λA= 117° 15’ W λB= 121° 55’ E



λB= +121°55’ φB= +24°40’ φcB= +15184

-λA = +117°15’ -φA= - 32°40’ -φcA= - 20633 10=10,00000

Δλ`= +239°10’ Δφ= - 08°00’ Δφc= 5449 -lg Δφc= 2,73632

Δλ= - 120°50’ Δφm= 480’ colg Δφc= 7,26368

Δλm= 7250’

Δλ``= 59°10’



lg sin φA= 9,73219 lg cos φA= 9,92522

lg sin φB= 9,62049 lg cos φB= 9,95844

lg a= 9,35268 lg cos Δλ= 9,70973

a= +0,22526 lg b= 9,59339

+ b= - 0,39209 φA şi φB au acelaşi semn → a>0

cosM= - 0,16683 Δλ>90º→b<0

M`= 80°23’8 M= 099°36’2 M= 59762 Mm



lg Δλm= 3,86034 lg Δφm= 2,68124

colg Δφc= 7,26368 lg secD= 1,12523

lg tgD= 1,12402 lg m= 3,80647

D= 85°42’1(SW) D= 265°7 m= 64043 Mm


m= 64043 Mm

-M= 59762 Mm

m-M= 4281 Mm

85


+ - + - - + + -


lg tgφB= 9,66204 lg tgφA= 9,80697



lg x1= 9,65344 lg y1= 9,50810 lg x2= 9,83159 lg y2= 9,39640

x1= +0,45024 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= -0,67856

+y1= +0,32218 φBN→ x1+ +y2= -0,24912 φAN→ sinφA+

ctgDi= +0,77242 φAN→ x2- ctgDf= -0,92768 φBN→ sinφB+

Di= 52°19’0(NW) Di= 307°7 Df= 47°08’ 9(SW) Df= 227°1





lg sin Di= 9,89840 lg sin Df= 9,86517

lg cosφV1= 9,82362 lg cosφV2= 9,82361

φV1= 48°13’4 N 48°13’4 φV2= 48°13’5 S

exact: φV=48°13’4



lg sinφA= 9,73219 λA= - 117°15’0 lg sinφB= 9,62049 λB= +121°55’0

lg tgDi= 0,11214 ΔλV1= - 055°03’3 lg tgDf= 0,03260 ΔλV2= - 114°13’3

lgctgΔλV1= 9,84433 λV1= - 172°18’3 lgctgΔλV2= 9,65309 λV2= +007°41’7

ΔλV1= 055°03’3 λV1= 172°18’3W ΔλV2’= 065°46’7 λV2= 007°41’7E

ΔλV2= -114°13’3

ΔλV2`

V1

86

Problema numărul 18m

Plecare: SAN DIEGO Sosire: SU-AO

φA= 32°40`N φB= 24°40` N

λA= 117°15`W λB= 121°55` E

φ= 44°45` N

A) Calculul longitudinii primului vertex λV1 şi a distanţei ortodromice M1

cosΔλv1=tgφA ctgφ cos M1=sinφA cosecφ

log tgφA= 9,80697 log sinφA= 9,73219

log ctgφ= 0,00379 log cosecφ= 0,15242

log cosΔλV1= 9,81076 logcos M1= 9,88461

ΔλV1= - 049°42` M1= 39°56`6

λA= - 117°15` M1= 23966 Mm

λV1= - 166°57`

λV1= 166°57` W

B) Calculul longitudinii celui de-al doilea vertex λv2 şi a distanţei

ortodromice M2

cosΔλV2=tgφBctgφ cos M2=sinφB cosecφ

log tgφB= 9,66204 log sinφB= 9,62049



ΔλV2= +062°24`1 M2= 53°38`6

λB= +121°55`0 M2= 32186 Mm

λV2= +184°19`1

λV2= 175°40`9 W

C) Calculul distanţei pe paralelul limită (deplasarea est-vest) e

∆λV=λV2-λV1 e=∆λV cosφ

λV2= - 175°40`9 log ∆λVm= 2,71925

-λV1= +166°57` log cosφ= 9,85137

∆λV= - 008°43`9 log e= 2,57062

∆λVm= 523`9 m= 3721 Mm

D) Calculul distanţei totale pe drumul mixt d

d=M1+e+M2

M1= 23966 Mm

e= 3721 Mm

M2= 32186 Mm

d= 59873 Mm

87

E) Calculul longitudinii punctelor intermediare pe drumurile ortodromice

tgφZ=tgφ cosΔλZ

E1) Pentru prima ortodromă


Longitudinea λZ= 117°15`0W 120°00`W 130°00`W 140°00`W 150°00`W

ΔλZ= λV1- λZ= 46°57`0 36°57`0 26°57`0 16°57`0

lg tgφ= 9,99621 9,99621 9,99621 9,99621

lg cosΔλZ= 9,83419 9,90263 9,95007 9,98071

lg tgφZ= 9,83040 9,89884 9,94628 9,97692

φZ= 32°40`0N 34°05`2 N 38°23`2 N 41°27`9 N 43°28`7 N

Punct intermediar Z5 V1

Longitudinea λZ= 160°00`W 166°57`0W

ΔλZ= λV1- λZ= 06°57`0

lg tgφ= 9,99621

lg cosΔλZ= 9,99680

lg tgφZ= 9,99301

φZ= 44°32`3 N 44°45`1 N

E2) Pentru a doua ortodromă

Punct intermediar V2 Z1 Z2 Z3 Z4

Longitudinea λZ= 175°40`9 W 180°00` 170°00È 160°00È 150°00È

ΔλZ= λV2- λZ= 04°19`1 14°19`1 24°19`1 34°19`1

lg tgφ= 9,99621 9,99621 9,99621 9,99621

lg cosΔλZ= 9,99877 9,98630 9,95965 9,91694

lg tgφZ= 9,99498 9,98251 9,95586 9,91315

φZ= 44°45` N 44°40`1 N 43°50`8 N 42°05`6 N 39°18`5 N


Longitudinea λZ= 140°00È 130°00È 121°55`0 E

ΔλZ= λV2- λZ= 44°19`1 54°19`1

lg tgφ= 9,99621 9,99621

lg cosΔλZ= 9,85459 9,76588

lg tgφZ= 9,85080 9,76209

φZ= 35°20`8 N 30°02`2 N 24°40`0 N

88


Plecare: BASHI CHAN Sosire: ROCAS ALIJOS

φA= 21°25` N φB= 20°00` N

λA= 121°00` E λB= 107°45` W



λB= - 107°45` φB= +20°00` φcB= +12173

-λA= +121°00` -φA= +21°25` -φcA= +13076 10=10,00000

Δλ`= - 228°45` Δφ= - 01°25` Δφc= - 903 -lg Δφc= 1,95569

Δλ= +131°15` Δφm= 85` colg Δφc= 8,04431

Δλm= 7875`

Δλ``= 48°45`



lg sin φA= 9.56247 lg cos φA= 9.96893

lg sin φB= 9.53405 lg cos φB= 9.97299

lg a= 9.09652 lg cos Δλ= 9.81911

a= +0.12489 lg b= 9.76103

+ b= - 0.57681 φA şi φB au acelaşi semn→ a>0

cosM= - 0,45190 Δλ>90º→b<0

M`= 063°08` M= 116°52` M= 7012 Mm

89



lg Δλm= 3.89625 lg Δφm= 1.92942

colg Δφc= 8.04431 lg secD= 1.94079

lg tgD= 1.94056 lg m= 3.87021

D= 89°20`6 (SE) D= 090°7 m= 74167 Mm


m= 74167 Mm

-M= 70120 Mm

m-M= 4047 Mm


+ - + - - + + -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9.56107 lg tgφA= 9.59354

lg cosφA= 9.96893 lgsinφA= 9.56247 lg cosφB= 9.97299 lg sinφB= 9.53405

lgcosecΔλ= 0.12387 lgctgΔλ= 9,94299 lgcosecΔλ= 0.12387 lgctgΔλ= 9.94299

lg x1= 9.65387 lg y1= 9,50546 lg x2= 9.69040 lg y2= 9.47704

x1= +0.45068 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= -0.49023

+y1= +0.32023 φBN→ x1+ +y2= -0.29994 φAN→ sinφA+

ctgDi= +0.77091 φAN→ x2- ctgDf= -0.79017 φBN→ sinφB+

Di= 52°22`3 (NE) Di= 052°4 Df= 051°41`1(SE) Df= 128°3





lg sin Di= 9.89872 lg sin Df= 9.89466

lg cosφV1= 9.86765 lg cosφV2= 9.86765

φV1= 42°29`8 N φV2= 42°29`8 S

90




lgtgDi= 0.11301 ΔλV1= + 64°39`3 lgtgDf= 0.10228 ΔλV2= +113°24`3

lgctgΔλV1= 9.67548 λV1= +185°39`3 lgctgΔλV2= 9.63633 λV2= +005°39`3

ΔλV1= +64°39`3 λV1= - 174°20`7 ΔλV2`= 066°35`7 λV2= 005°39`3E

λV1= 174°20`7W ΔλV2= 113°24`3

A B

V

mD

Di

Df

V1 ??V2

BASHI

CHANROCAS

ALIJOS

V1

ΔλV2`

ΔλV1 ΔλV2

Δλ

Problema numărul 19 m

Plecare: BASHI CHAN Sosire: ROCAS ALIJOS

φA= 21°25` N φB= 20°00` N

λA= 121°00` E λB= 107°45` W

Latitudine limită:φ=35°00` N






ΔλV1= +055°56`0 M1= 50°27`6

λA= +121°00`0 M1= 30276 Mm

λV1= +176°56`0

λV1= 176°56`0 E

91


otodromice M2





ΔλV2= - 058°40`9 M2= 53°23`7

λB= - 107°45`0 M2= 32037 Mm

λV2= - 166°25`9

λV2= 166°25`9W



λV2= - 166°25`9 log ∆λVm= 2,99917

-λV1= - 176°56`0 log cosφ= 9,91336

∆λV`= - 343°31`9 log e= 2,91253

∆λV= +016°38`1 e= 8176 Mm

∆λVm= 998`1


d=M1+e+M2

M1= 30276 Mm

e= 8176 Mm

M2= 32037 Mm

d= 70489 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ



Longitudinea λZ= 121°00` E 130°00` E 140°00È 150°00È 160°00È

ΔλZ= λV1- λZ= 46°56`0 36°56`0 26°56`0 16°56`0

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

9,84523 9,84523 9,84523 9,84523

9,83432 9,90272 9,95014 9,98075

lg tgφZ= 9,67955 9,74795 9,79537 9,82598

φZ= 21°25` N 25°33`3N 29°14`2N 31°58`5N 33°49`0N

92


Longitudinea λZ= 170°00`E 176°56`0 E

ΔλZ= λV1- λZ= 6°56`0

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

9,84523

9,99681

lg tgφZ= 9,84204

φZ= 34°48`2N 35°00` N



Longitudinea λZ= 166°25`9 W 160°00`W 150°00`W 140°00`W 130°00`W

ΔλZ= λV2- λZ= 06°25`9 16°25`9 26°25`9 36°25`9

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

9,84523 9,84523 9,84523 9,84523

9,99726 9,98189 9,95205 9,90556

lg tgφZ= 9,84249 9,82712 9,79728 9,75079

φZ= 35°00` N 34°49`8N 33°53`2N 32°05`3N 29°23`7N


Longitudinea λZ= 120°00`W 110°00`W 107°45` W

ΔλZ= λV2- λZ= 46°25`9 56°25`9

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

9,84523 9,84523

9,83836 9,74267

lg tgφZ= 9,68359 9,58790

φZ= 25°45`7N 21°09`9N 20°00` N

A B

Z1

Z2

Z3

Z4Z5 V1 V2 Z1 Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

BASHI CHANROCAS ALIJOS

eM1 M2

mD

Di

DfΔλV1 ΔλV ΔλV2

93


Plecare: SAN DIEGO Sosire: KASHIMA

φA= 32°40`0 N φB= 36°00`0 N

λA= 117°15`0 W λB= 140°40`0 E



λB= +140°40`0 φB= +36°00`0 φcB= +2304`5

-λA = +117°15`0 -φA= -32°40`0 -φcA= -2063`3 10=10,00000

Δλ`= +257°55`0 Δφ= +03°20`0 Δφc= 241`2 -lg Δφc= 2,38238

Δλ= - 102°05`0 Δφm= 200` colg Δφc= 7,61762

Δλm= 6125`

Δλ``= 77°55`0



lg sin φA= 9,73219 lg cos φA= 9,92522

lg sin φB= 9,76922 lg cos φB= 9,90796

lg a= 9,50141 lg cos Δλ= 9,32084

a= +0,31726 lg b= 9,15402


cosM= +0,17469 Δλ>90º→b<0

M= 79°56`4 M= 47964 Mm



lg Δλm= 3,78711 lg Δφm= 2,30103

colg Δφc= 7,61762 lg secD= 1,40509

lg tgD= 1,40473 lg m= 3,70612

D= 87°44`7 (NW) D= 272°3 m= 50830 Mm


m= 50830 Mm

-M= 47964 Mm

m-M= 2866 Mm

94


+ - + - - + + -


x1 y1 x2 y2

lgtgφB= 9,86126 lgtgφA= 9,80697

lgcosφA= 9,92522 lgsinφA= 9,73219 lgcosφB= 9,90796 lgsinφB= 9,76922


lg x1= 9,79621 lg y1= 9,06276 lg x2= 9,72466 lg y2= 9,09979

x1= +0,62548 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= - 0,53047

+y1= +0,11555 φBN→ x1+ +y2= - 0,12583 φAN→ sinφA+

ctgDi= +0,74103 φAN→ x2- ctgDf= - 0,65630 φBN→ sinφB+

Di= 53°27`6 (NW) Di= 306°5 Df= 56°43`4(SW) Df= 236°7





lg sin Di= 9,90495 lg sin Df= 9,92222

lg cosφV1= 9,83017 lg cosφV2= 9,83018

φV1= 47°26`5N φV2= 47°264`S

exact: φV=47°264`


ctgΔλV1=sinφA tgDi λV1=λA+ΔλV1 ctgΔλV2=sinφB tgDf λV2=λB+ΔλV2

lgsinφA= 9,73219 λA= -117°15`0 lgsinφB= 9,76922 λB= +140°30`0

lgtgDi= 0,13016 ΔλV1= -053°55`9 lgtgDf= 0,18290 ΔλV2= - 131°50`9


ΔλV1= 53°55`9 λV1= 171°10`9W ΔλV2`= 048°09`1 λV2= 008°49`1E

ΔλV2= 131°50`9

95

A

SAN

DIEGO

KASHIMA

ΔλΔλV1ΔλV2

mDi

DfB

ΔλV2`

V1


Plecare: SAN DIEGO Sosire: KASHIMA

φA= 32°40`0 N φB= 36°00`0 N

λA= 117°15`0 W λB= 140°40`0 E

φ= 45°00`0 N






ΔλV1= - 050°07`3 M1= 40°14`6

λA= - 117°15`0 M1= 24146 Mm

λV1= - 167°22`3

λV1= 167°22`3W


ortodromice M2



log ctgφ= 0,00000 log cosecφ= 0.15051


ΔλV2= +043°24`2 M2= 33°46`4

λB= +140°40`0 M2= 20264 Mm

λV2= +184°04`2

λV2= 175°55`8 W

96



λV2= - 175°55`8 log ∆λVm= 2,71054

-λV1= +167°22`3 log cosφ= 9,84949

∆λV= - 008°33`5 log e= 2,56003

∆λVm= 513`5 e= 3631 Mm


d=M1+e+M2

M1= 24146 Mm

e= 3631 Mm

M2= 20264 Mm

d= 48041 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ




ΔλZ= λV1- λZ= 47°22`3 37°22`3 27°22`3 17°22`3

lg tgφ= 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

lg cosΔλZ= 9,83074 9,90021 9,94843 9,97973

lg tgφZ= 9,83074 9,90021 9,94843 9,97973

φZ= 32°40`0N 34°06`4 N 38°28`5 N 41°36`4 N 43°39`8 N


Longitudinea λZ= 160°00`0W 167°22`3W

ΔλZ= λV1- λZ= 07°22`3

lg tgφ= 0,00000


lg tgφZ= 9,99640

φZ= 44°45`8 N 45°00`0 N

97



Longitudinea λZ= 175°55`8W 180°00`0 170°00`0E 160°00`0E 150°00`0E

ΔλZ= λV2- λZ= 04°04`2 14°04`2 24°04`2 34°04`2

lg tgφ= 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

lg cosΔλZ= 9,99890 9,98677 9,96049 9,91822

lg tgφZ= 9,99890 9,98677 9,96049 9,91822

φZ= 45°00`0 N 44°55`6 N 44°07`6 N 42°23`8 N 39°38`2 N

Z1

Z4

Z2

Z3

Z5Z2Z3

Z1 V1V2

Z4

AB

eM1

M2

m

SAN

DIEGO

KASHIMA

ΔλV2

ΔλV

ΔλV1

Di

Df

Punct intermediar B

Longitudinea λZ= 140°40`0E

ΔλZ= λV2- λZ=

lg tgφ=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 36°00`0 N

98


Plecare: ACAPULCO Sosire: HUA HEN

φA= 16°50`N φB= 24°00` N

λA= 099°55`W λB= 121°40` E



λB= +121°40` φB= +24°00` φcB= +14747

-λA = +099°55` -φA= -16°50` -φcA= -10182 10=10,00000

Δλ`= +221°35` Δφ= +07°10` Δφc= + 4565 -lg Δφc= 2,65944

Δλ= -138°25` Δφm= 430` colgΔφc= 7,34056

Δλm= 8305`

Δλ``= 41°35`



lg sin φA= 9,46178 lg cos φA= 9,98098

lg sin φB= 9,60931 lg cos φB= 9,96073

lg a= 9,07109 lg cos Δλ= 9,87390

a= +0,11779 lg b= 9,81561

+ b= -0,65405 φA şi φB au acelaşi semn→ a>0

cosM= -0,53626 Δλ>90º→b<0

M`= 57°34`2 M= 122°25`8 M= 73458 Mm



lg Δλm= 3,91934 lg Δφm= 2,63347

colg Δφc= 7,34056 lg secD= 1,26049

lg tgD= 1,25990 lg m= 3,89396

D= 86°51`2 (NW) D= 273°1 m= 78336 Mm


m= 78336 Mm

-M= -73458 Mm

m-M= 4878 Mm

99


+ - + - - + + -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,64858 lg tgφA= 9,48080



lg x1= 9,80758 lg y1= 9,51370 lg x2= 9,61955 lg y2= 9,66123

x1= +0,64207 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= -0,41644

+y1= +0,32636 φBN→ x1+ +y2= -0,45838 φAN→ sinφA +

ctgDi= 0,96843 φAN→ x2- ctgDf= -0,87482 φBN→ sinφB +

Di= 45°55`1 (NW) Di= 314°1 Df= 48°49`2(SW) Df= 228°8





lg sin Di= 9,85634 lg sin Df= 9,87659

lg cosφV1= 9,83732 lg cosφV2= 9,83732

φV1= 46°33`7 N φV2= 46°33`7 S



lg sinφA= 9,46178 λA= - 099°55`0 lg sinφB= 9,60931 λB= +121°40`0

lg tgDi= 0,01392 ΔλV1= -073°21`1 lg tgDf= 0,05808 ΔλV2= - 114°56`1

lg ctgΔλV1= 9,47570 λV1= -173°16`1 lgctgΔλV2= 9,66739 λV2= +006°43`9






ΔλZ= λV- λZ= 073°16`1 063°16`1 053°16`1 043°16`1

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,02369 0,02369 0,02369 0,02369

9,45923 9,65303 9,77675 9,86222

lg tgφZ= 9,48282 9,67672 9,80044 9,88591

φZ= 16°50` N 16°54`7 N 25°24`5 N 32°16`6 N 37°33`6 N

100



ΔλZ= λV- λZ= 033°16`1 023°16`1 013°16`1 003°16`1 006°43`9

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,02369 0,02369 0,02369 0,02369 0,02369

9,92226 9,96316 9,98825 9,99929 9,99700

lg tgφZ= 9,94595 9,98685 0,01194 0,02298 0,02069

φZ= 41°26`6 N 44°08`0 N 45°47`3 N 46°30`9 N 46°21`9 N


Longitudinea λZ= 170°00` E 160°00` E 150°00` E 140°00` E 130°00` E

ΔλZ= λV- λZ= 016°43`9 026°43`9 036°43`9 046°43`9 056°43`9

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,02369 0,02369 0,02369 0,02369 0,02369

9,98121 9,95091 9,90387 9,83595 9,73922

lg tgφZ= 0,00490 9,97460 9,92756 9,85964 9,76291

φZ= 42°19`4 N 43°19`5 N 40°14`6 N 35°53`9 N 30°05`0 N

Punct intermediar B

Longitudinea λZ= 121°40` E

ΔλZ= λV- λZ=

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 24°00` N

A

B

HUAHEN

ACAPULCODf

Di

V180°

ΔλV1ΔλV2

ΔλV2`

Δλ

101


Plecare: ACAPULCO Sosire: HUA HEN

φA= 16°50`N φB= 24°00` N

λA= 099°55`W λB= 121°40` E

φ= 40°00` N






ΔλV1= -068°51`9 M1= 63°13`4

λA= -099°55`0 M1= 37934 Mm

λV1= -168°46`9

λV1= 168°46`9 W


ortodromice M2





ΔλV2= +057°57`2 M2= 50°44`8

λB= +121°40`0 M2= 30448 Mm

λV2= +179°37`2

λV2= 179°37`2 E



λV2= +179°37`2 log ∆λVm= 2,84255

-λV1= +168°46`9 log cosφ= 9,88425

∆λV`= 348°24`1 log e= 2,72680

∆λV= 11°35`9 e= 5331 Mm

∆λVm= 695`9

102


d=M1+e+M2

M1= 37934 Mm

e= 5331 Mm

M2= 30448 Mm

d= 73713 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ




ΔλZ= λV1- λZ= 68°46`9 58°46`9 48°46`9 38°46`9

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

9,92381 9,92381 9,92381 9,92381

9,55862 9,71458 9,81884 9,89184

lg tgφZ= 9,48243 9,63839 9,74265 9,81565

φZ= 16°50`N 16°53`6N 23°30`3N 28°56`3N 33°11`3N

Punct intermediar Z5 Z6 Z7 V1

Longitudinea λZ= 140°00`W 150°00`W 160°00`W 168°46`9 W

ΔλZ= λV1- λZ= 28°46`9 18°46`9 08°46`9

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

9,92381 9,92381 9,92381

9,94273 9,97624 9,99488

lg tgφZ= 9,86654 9,90005 9,91869

φZ= 36°19`9N 38°27`9N 39°40`1N 40°00` N



Longitudinea λZ= 179°37`3 E 170°00È 160°00È 150°00È 140°00È

ΔλZ= λV2- λZ= 09°37`2 19°37`2 29°37`2 39°37`2

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

9.92381 9.92381 9.92381 9.92381

9.99385 9,97402 9,93918 9,88665

lg tgφZ= 9.91766 9.89783 9,86299 9,81046

φZ= 40°00` N 39°36`0N 38°19`3N 36°06`5N 32°52`6N

103


Longitudinea λZ= 130°00`E 121°40` E

ΔλZ= λV2- λZ= 49°37`2

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

9.92381

9,81148

lg tgφZ= 9,73529

φZ= 28°31`7N 24°00` N

V1V2

180°

AZ1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6Z7Z1

Z2

Z3Z4

Z5

e

M1M2

BHUAHEN

ACAPUL

CO

ΔλV1ΔλV2ΔλV


Plecare: SPRING BAY Sosire: I. GUARELLA

φA= 42°33`S φB= 50°30` S

λA= 148°08`E λB= 075°40` W



λB= - 075°40` φB= - 50°30` φcB= - 35036

-λA = - 148°08` -φA= +42°33` -φcA= +28107 10=10,00000

Δλ`= - 223°48` Δφ= - 07°57` Δφc= - 6929 -lg Δφc= 2,84067

Δλ= +136°12` Δφm= 477` colg Δφc= 7,15933

Δλm= 8172`

Δλ``= 43°48`



lg sin φA= 9,83010 lg cos φA= 9,86728

lg sin φB= 9,88741 lg cos φB= 9,80351

104

lg a= 9,71751 lg cos Δλ= 9,85839

a= +0,52181 lg b= 9,52918


cosM= +0,18361 Δλ>90º→b<0

M`= 079°25`2 M= 079°25`2 M= 47652 Mm


tgD=Δλm/ΔφC m=Δφ secD

lg Δλm= 3,91233 lg Δφm= 2,67852

colg Δφc= 7,15933 lg secD= 1,07320

lg tgD= 1,07166 lg m= 3,75172

D= 85°09`2 (SE) D= 094°8 m= 56457 Mm


m= 56457 Mm

-M= 47652 Mm

m-M= 8805 Mm


- - - - + + - -


lgtgφB= 0,08390 lgtgφA= 9,96281



lg x1= 10,11098 lg y1= 9,84830 lg x2= 9,92612 lg y2= 9,90561

x1= - 1,29116 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +0,84357

+y1= - 0,70518 φBS→ x1- +y2= +0,80466 φAS→ sinφA -


Di= 26°36`4 (SE) Di= 153°4 Df= 31°14`7(NE) Df= 031°2




lg sin Di= 9,65115 lg sin Df= 9,71492

lg cosφV1= 9,51843 lg cosφV2= 9,51843

105

φV1= 70°44`1 S φV2= 70°44`1 N

F2) Calculul longitudinii vertexului λV ctgΔλV1=sinφAtgDi λV1=λA+ΔλV1 ctgΔλV2=sinφBtgDf λV2=λB+ΔλV2


lgtgDi= 9,69976 ΔλV1= +071°17`2 lg tgDf= 9,78297 ΔλV2= +115°05`2


ΔλV1= 071°17`2 λV1= -140°34`8 ΔλV2`= - 064°54`8 λV2=039°25`2E λV1=140°34`8W ΔλV2= +115°05`2

G) Calculul coordonatelor punctelor intermediare tgφZ=tgφV cosΔλZ



ΔλZ= λV- λZ= 69°25`2 59°25`2 49°25`2 39°25`2

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,45654 0,45654 0,45654 0,45654

9,54594 9,70650 9,81325 9,88791

lg tgφZ= 0,00248 0,16304 0,26979 0,34445

φZ= 42°33` S 45°09`8 S 55°30`6 S 61°45`1 S 65°39`4 S



ΔλZ= λV- λZ= 29°25`2 19°25`2 09°25`2 00°34`8 10°34`8

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,45654 0,45654 0,45654 0,45654 0,45654

9,94004 9,97456 9,99410 9,99998 9,99255

lg tgφZ= 0,39658 0,43110 0,45064 0,45652 0,44909

φZ= 68°08`2 S 69°39`9 S 70°29`5 S 70°44`0 S 70°25`6 S



ΔλZ= λV- λZ= 20°34`8 30°34`8 40°34`8 50°34`8 60°34`8

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,45654 0,45654 0,45654 0,45654 0,45654

9,97136 9,93496 9,88053 9,80277 9,69127

lg tgφZ= 0,42790 0,39150 0,33707 0,25931 0,14781

φZ= 69°31`7 S 67°54`2 S 65°17`3 S 61°10`3 S 54°34`0 S

Punct intermediar B


ΔλZ= λV- λZ=

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

106

φZ= 50°30` S

180°

A

V

SPRING BAYΔλV1

ΔλV2

I GUARELLA

Di

Df

B

mD

Δλ

ΔλV2`


Plecare: SPRING BAY Sosire: I. GUARELLA

φA= 42°33`S φB= 50°30` S

λA= 148°08`E λB= 075°40` W

φ= 63°00` S






ΔλV1= +062°06`8 M1= 40°37`6

λA= +148°08` M1= 24376 Mm

λV1= +210°14`8

λV1= 149°45`2 W


ortodromice M2





107

ΔλV2= - 051°49`3 M2= 30°00`0

λB= - 075°40` M2= 18000 Mm

λV2= - 127°29`3

λV2= 127°29`3 W



λV2= - 127°29`3 log ∆λVm= 3,12577

-λV1= +149°45`2 log cosφ= 9,65705

∆λV= 022°15`9 log e= 2,78282

∆λVm= 1335`9 e= 6065 Mm


d=M1+e+M2

M1= 24376 Mm

e= 6065 Mm

M2= 18000 Mm

d= 48441 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ



Longitudinea λZ= 148°08È 150°00È 160°00È 170°00È 180°00`

ΔλZ= λV1- λZ= 60°14`7 50°14`7 40°14`7 30°14`7

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,29283 0,29283 0,29283 0,29283

9,69574 9,80584 9,88269 9,93645

lg tgφZ= 9,98857 0,09867 0,17552 0,22928

φZ= 42°33`S 44°14`8S 51°27`2S 56°16`5S 59°28`0S



ΔλZ= λV1- λZ= 20°14`7 10°14`7 00°14`7

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,29283 0,29283 0,29283

9,97231 9,99302 0,00000

lg tgφZ= 0,26514 0,28585 0,29283

φZ= 61°29`7S 62°37`5S 63°00`0S 63°00` S

108




ΔλZ= λV2- λZ= 07°29`3 17°29`3 27°29`3 37°29`3

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

0,29283 0,29283 0,29283 0,29283

9,99628 9,97945 9,94797 9,89953

lg tgφZ= 0,28911 0,27228 0,24080 0,19236

φZ= 63°00` S 62°48`0S 61°53`3S 60°07`7S 57°17`6S


Longitudinea λZ= 080°00`W 075°40` W

ΔλZ= λV2- λZ= 47°29`3

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

0,29283

9,82978

lg tgφZ= 0,12261

φZ= 52°59`0S 50°30` S

A Z1

Z2

Z3

Z4

Z5Z6 Z7

V1 V2

Z1Z2

Z3

Z4

Z5B

180°

e

M1M2

ΔλVΔλV1 ΔλV2

SPRING BAY

I GUARELLA

109


Plecare: LYTTELTON Sosire: I. GUARELLA

φA= 43°35`S φB= 50°30` S

λA= 172°51`E λB= 075°40` W



λB= - 075°40` φB= - 50°30` φcB= - 35036

-λA = - 172°51 -φA= +43°35` -φcA= +28953 10=10,00000

Δλ`= - 248°31` Δφ= - 06°55` Δφc= - 6083 -lg Δφc= 2,78412

Δλ= +111°29` Δφm= 415` colg Δφc= 7,21588

Δλm= 6689`

Δλ``= 68°31`



lg sin φA= 9,83848 lg cos φA= 9,85996

lg sin φB= 9,88741 lg cos φB= 9,80351

lg a= 9,72589 lg cos Δλ= 9,56375

a= +0,53197 lg b= 9,22722


cosM= +0,36323 Δλ>90º→b<0

M`= 068°42`1 M= 068°42`1 M= 41221 Mm



lg Δλm= 3,82536 lg Δφm= 2,61805

colg Δφc= 7,21588 lg secD= 1,04299

lg tgD= 1,04124 lg m= 3,66104

D= 84°48`2 (SE) D= 095°2 m= 45818 Mm


m= 45818 Mm

-M= 41221 Mm

m-M= 4597 Mm

110


- - - - + + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 0,08390 lg tgφA= 9,97851



lg x1= 9,97513 lg y1= 9,43351 lg x2= 9,81329 lg y2= 9,48244

x1= -0,94434 Δλ>90º→ ctgΔλ - x2= +0,65056

+y1= -0,27134 φBS→ x1 - +y2= +0,30370 φAS→ sinφA -

ctgDi= -1,21568 φAS→ x2+ ctgDf= +0,95426 φBS→ sinφB -

Di= 39°26`4 (SE) Di= 140°6 Df= 46°20`4(NE) Df= 046°3

F) Calculul coordonatelor vertexului φV şi Λv




lg sin Di= 9,80296 lg sin Df= 9,85941

lg cosφV1= 9,66292 lg cosφV2= 9,66292

φV1= 62°36`1 S φV2= 62°36`1 N




lgtgDi= 9,91518 ΔλV1= +060°26`5 lg tgDf= 0,02032 ΔλV2= +128°57`5

lgctgΔλV1= 9,75366 λV1= +233°17`5 lgctgΔλV2= 9,90773 λ V2= +053°17`5


A

B

LYTTELTON

I GUARELLA

180°

V

Df

Di

m

D

ΔλV2ΔλV1

ΔλV2`

Δλ

111


Plecare: LYTTELTON Sosire: I. GUARELLA

φA= 43°35`S φB= 50°30` S

λA= 172°51`E λB= 075°40` W

φ= 55°00` S






ΔλV1= +048°12`6 M1= 32°41`3

λA= +172°51` M1= 19613 Mm

λV1= +221°03`6

λV1= 138°56`4 W


ortodromice M2





ΔλV2= - 031°51`0 M2= 19°36`6

λB= - 075°40`0 M2= 11766 Mm

λV2= - 107°31`0

λV2= 107°31`0 W


∆Λv=λV2-λV1 e=∆λV cosφ

λV2= - 107°31`0 log ∆λVm= 3,27540

-λV1= +138°56`4 log cosφ= 9,75859

∆λV= 031°25`4 log e= 3,03399

∆λVm= 1885`4 e= 10814 Mm

112


d=M1+e+M2

M1= 19613 Mm

e= 10814 Mm

M2= 11766 Mm

d= 42193 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ



Longitudinea λZ= 172°51`E 180°00` 170°00`W 160°00`W 150°00`W

ΔλZ= λV1- λZ= 41°03`6 31°03`6 21°03`6 11°03`6

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,15477 0,15477 0,15477 0,15477

9,87738 9,93279 9,96998 9,99186

lg tgφZ= 0,03215 0,08756 0,12475 0,14663

φZ= 43°35`S 47°07`1S 50°44`2S 53°07`1S 54°29`6S


Longitudinea λZ= 140°00`W 138°56`4 W

ΔλZ= λV1- λZ= 01°03`6

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,15477

9,99993

lg tgφZ= 0,15470

φZ= 54°59`7S 55°00` S


Punct intermediar V2 Z1 Z2 Z3 B

Longitudinea λZ= 107°31`0 W 100°00`W 090°00`W 080°00`W 075°40` W

ΔλZ= λV2- λZ= 07°31`0 17°31`0 27°31`0

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

0,15477 0,15477 0,15477

9,99625 9,97938 9,94786

lg tgφZ= 0,15102 0,13415 0,10263

φZ= 55°00` S 54°46`0S 53°42`7S 51°42`5S 50°30` S

113

A

B

LYTTELTON

I. GUARELLA

Z1

Z2

Z3

Z4 Z5

V1 V2

Z1

Z2

Z3

180°

ΔλV1

e

ΔλV2

M1

M2

ΔλV


Plecare: PORT ELISABETH Sosire: FREMANTLE

φA= 33º57´S φB= 32º03´S

λA= 025º40´E λB= 115º36´E



λB= +115º36´ φB= - 32º03´ φcB= - 20197

-λA = - 025º40 ´ -φA= +33º57´ -φcA= +21550 10=10,00000

Δλ`= +089º56´ Δφ= +01º54´ Δφc= 1353 -lg Δφc= 2,13130

Δλ= +089º56´ Δφm= 114´ colg Δφc= 7,86870

Δλm= 5396´

Δλ``= 89º56´



lg sin φA= 9,74700 lg cos φA= 9,91883

lg sin φB= 9,72482 lg cos φB= 9,92818

lg a= 9,47182 lg cos Δλ= 7,06579

a= +0,29636 lg b= 6,91280


cosM= +0,29718 Δλ<90º→b>0

M= 72º42´7 M= 43627 Mm

114



lg Δλm= 3,73207 lg Δφm= 2,05690

colg Δφc= 7,86870 lg secD= 1,60081

lg tgD= 1,60077 lg m= 3,65771

D= 88º33´8(NE) D= 088º6 m= 45468 Mm


m= 45468 Mm

-M= 43627 Mm

m-M= 1841 Mm


- - - + + + - +

ctgDi=tgφBcosφAcosecΔλ–sinφActgΔλ ctgDf=-tgφAcosφBcosecΔλ+sinφBctgΔλ

x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,79663 lg tgφA= 9,82817



lg x1= 9,71546 lg y1= 6,81279 lg x2= 9,75635 lg y2= 6,79061

x1= - 0,51935 Δλ<90º→ ctgΔλ+ x2= +0,57062

+y1= +0,00065 φBS→ x1- +y2= - 0,00062 φAS→ sinφA-

ctgDi= - 0,51870 φAS→ x2+ ctgDf= +0,57000 φBS→ sinφB-

Di= 62º35´1(SE) Di= 117º4 Df= 60º19´0(NE) Df= 60º3





lg sin Di= 9,94826 lg sin Df= 9,93891

lg cosφV1= 9,86709 lg cosφV2= 9,86709

φV1= 42º34´7 S φV2= 42º34´7N

115


Plecare: PORT ELISABETH Sosire: FREMANTLE

φA= 33º57´S φB= 32º03´S

λA= 025º40´E λB= 115º36´E

φ= 40°00` S






ΔλV1= +036°38`7 M1= 29°40`7

λA= +025°40`0 M1= 17807 Mm

λV1= 062°18`7E


ortodromice M2





ΔλV2= - 041°44`6 M2= 34°21`3

λB= +115°36`0 M2= 20613 Mm

λV2= 073°51`4E

116



λV2= +073°51`4 log ∆λVm= 2,84055

-λV1= - 062°18`7 log cosφ= 9,88425

∆λV= +011°32`7 log e= 2,72480

∆λVm= 692`7 m= 5306 Mm


d=M1+e+M2

M1= 17807 Mm

e= 5306 Mm

M2= 20613 Mm

d= 43726 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ



Longitudinea λZ= 025°40È 030°00È 040°00È 050°00È 060°00È

ΔλZ= λV1- λZ= 32°18`7 22°18`7 12°18`7 02°18`7

lg tgφ= 9,92381 9,92381 9,92381 9,92381

lg cosΔλZ= 9,92694 9,96620 9,98990 9,99965

lg tgφZ= 9,85075 9,89001 9,91371 9,92346

φZ= 33°57`S 35°20`6 S 37°49`3 S 39°20`7 S 39°58`6 S

Punct intermediar V1

Longitudinea λZ= 062°18`7E

ΔλZ= λV1- λZ=

lg tgφ=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 40°00`S

117




ΔλZ= λV2- λZ= 06°08`6 16°08`6 26°08`6 36°08`6

lg tgφ= 9,92381 9,92381 9,92381 9,92381

lg cosΔλZ= 9,99750 9,98253 9,95313 9,90717

lg tgφZ= 9,92131 9,90634 9,87694 9,83098

φZ= 40°00`S 39°50`2 S 38°52`1 S 36°59`3 S 34°07`3 S

Punct intermediar B

Longitudinea λZ= 115°36` E

ΔλZ= λV2- λZ=

lg tgφ=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 32°03 S

118


Plecare: TRISTAN DA CUNNA Sosire: I. TASMANIA

φA= 37°10`S φB= 43°40` S

λA= 012°10`W λB= 146°00`E



λB= +146°00` φB= - 43°40` φcB= - 29022

-λA = +012°10` -φA= +37°10` -φcA= +23913 10=10,00000

Δλ`= +158°10` Δφ= - 06°30` Δφc= - 5109 -lg Δφc= 2,70834

Δλ= +158°10` Δφm= 390` colg Δφc= 7,29166

Δλm= 9490`

Δλ``= 21°50`



lg sin φA= 9,78113 lg cos φA= 9,90139

lg sin φB= 9,83914 lg cos φB= 9,85936

lg a= 9,62027 lg cos Δλ= 9,96767

a= +0,41713 lg b= 9,72842


cosM= - 0,11795 Δλ>90º→b<0

M`= 083°13`6 M= 096°46`4 M= 58064 Mm



lg Δλm= 3,97727 lg Δφm= 2,59106

colg Δφc= 7,29166 lg secD= 1,26955

lg tgD= 1,26893 lg m= 3,86061

D= 86°55`1 (SE) D= 093°1 m= 72546 Mm


m= 72546 Mm

-M= 58064 Mm

m-M= 14482 Mm

119


- - - - + + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 9,97978 lg tgφA= 9,87974



lg x1= 0,31073 lg x1= 0,17837 lg x2= 0,16866 lg y2= 0,23638

x1= - 2,04517 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +1,47455

+y1= - 1,50789 φBS→x1- +y2= +1,72338 φAS→ sinφA -

ctgDi= - 3,55306 φAS→x2+ ctgDf= +3,19793 φBS→ sinφB -

Di= 15°43`1 (SE) Di=164°3 Df= 17°21`9(NE) Df= 017°4





lg sin Di= 9,43282 lg sin Df= 9,47488

lg cosφV1= 9,33421 lg cosφV2= 9,33424

φV1= 77°32`0 S φV2= 77°31`9 S

exact: φV=77°31`9



lg sinφA= 9,78113 λA= - 012°10`0 lg sinφB= 9,83914 λB= +146°00`

lg tgDi= 9,44937 ΔλV1= +080°21`0 lg tgDf= 9,49514 ΔλV2= +102°11`

lgctgΔλV1= 9,23050 λV1= 068°11`0 lgctgΔλV2= 9,33428 λV2= +248°11`

ΔλV1= 080°21`0 λV1= 068°11`0E ΔλV2`= 077°49` λV2=-111°49`

ΔλV2= 102°11` λV2=111°49`W

120

A

B

TRISTAN DA

CUNNAI TASMANIA

V

ΔλΔλV1 ΔλV2

ΔλV2`

000°

Di

Df


Plecare: Tristan da Cunna Sosire: I. Tasmania

φA= 37°10`S φB= 43°40` S

λA= 012°10`W λB= 146°00`E

φ= 48°00` S






ΔλV1= +046°57`1 M1= 35°36`9

λA= - 012°10` M1= 21369 Mm

λV1= +034°47`1

λV1= 034°47`1 E


ortodromice M2

121





ΔλV2= - 030°44`7 M2= 21°42`2

λB= +146°00` M2= 13022 Mm

λV2= +115°15`3

λV2= 115°15`3 E



λV2= + 115°15`3 log ∆λVm= 3,68379

-λV1= - 034°47`1 log cosφ= 9,82551

∆λV= 080°28`2 log e= 3,50930

∆λVm= 4828`2 e= 32307 Mm


d=M1+e+M2

M1= 21369 Mm

e= 32307 Mm

M2= 13022 Mm

d= 66698 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ



Longitudinea λZ= 12°10`W 010°00`W 000°00È 010°00È 020°00È

ΔλZ= λV1- λZ= 44°47`1 34°47`1 24°47`1 14°47`1

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,04556 0,04556 0,04556 0,04556

9,85111 9,91450 9,95803 9,98538

lg tgφZ= 9,89667 9,96006 0,00359 0,03094

φZ= 37°10`S 38°14`8S 42°22`1S 45°14`2S 47°02`4S


Longitudinea λZ= 030°00È 34°47`1 E

122

ΔλZ= λV1- λZ= 004°47`1

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,04556

9,99848

lg tgφZ= 0,04404

φZ= 47°54`S 48°00` S


Punct intermediar V2 Z1 Z2 Z3 B

Longitudinea λZ= 115°15`3 E 120°00È 130°00È 140°00È 146°00` E

ΔλZ= λV2- λZ= 04°44`7 14°44`7 24°44`7

lg tgφV2=

lg cosΔλZ=

0,04556 0,04556 0,04556

9,99851 9,98546 9,95817

lg tgφZ= 0,04407 0,03102 0,00373

φZ= 48°00` S 47°54`1S 47°02`7S 45°14`8S 43°40` S


Plecare: ESPERANCE Sosire: CAPUL HORN

φA= 43°35`S φB= 55°45` S

λA= 147°05È λB= 069°00` W



λB= - 069°00 ` φB= - 55°45` φcB= - 40281

-λA = - 147°05` -φA= +43°35` φcA= - 28953 10=10,00000

Δλ`= - 216°05` Δφ= - 12°10` Δφc= - 11328 -lg Δφc= 3,05415

123

Δλ= +143°55` Δφm= 730` colgΔφc= 6,94585

Δλm= 8635`

Δλ``= 36°05`



lg sin φA= 9,83848 lg cos φA= 9,85996

lg sin φB= 9,91729 lg cos φB= 9,75036

lg a= 9,75577 lg cos Δλ= 9,90750

a= +0,56986 lg b= 9,51782


cosM= +0,24039 Δλ>90º→b<0

M= 076°05`4 M= 45654 Mm



lg Δλm= 3,93626 lg Δφm= 2,86332

colg Δφc= 6,94585 lg secD= 0,88584

lg tgD= 0,88211 lg m= 3,74916

D= 82°31`6 (SE) D= 097°5 m= 56125 Mm


m= 56125 Mm

-M= 45654 Mm

m-M= 10471 Mm


- - - - + + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 0,16693 lg tgφA= 9,97851

lg cosφA= 9,85996 lgsinφA= 9,83848 lgcosφB= 9,75036 lg sinφB= 9,91729


lg x1= 0,25680 lgy1= 9,97589 lg x2= 9,95878 lg y2= 0,05470

x1= - 1,80634 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +0,90945

+y1= - 0,94600 φBS→ x1- +y2= +1,13423 φAS→ sinφA-


124

Di= 19°58`0(SE) Di= 160°0 Df= 26°04`4(NE) Df= 026°1





lg sin Di= 9,53336 lg sin Df= 9,64298

lg cosφV1= 9,39332 lg cosφV2= 9,39334

φV1= 75°40`7 S φV2= 75°40`7 N





lgctgΔλV1= 9,39876 λV1`= +223°01`3 lgctgΔλV2= 9,60688 λV2= +043°01`3

ΔλV1= 075°56`3 λV1= 136°58`7W ΔλV2`= 067°58`7 λV2= 043°01`3E

ΔλV2=112°01`3

V1

A

B

ESPERANCE

CAP HORN

ΔλV1ΔλV2

ΔλDi

Df

mD

ΔλV2`

125


Plecare: ESPERANCE Sosire: CAP HORN

φA= 43°35`S φB= 55°45` S

λA= 147°05`E λB= 069°00` W

φ= 65°00` S






ΔλV1= +063°39`2 M1= 40°28`6

λA= +147°05` M1= 24286 Mm

λV1= +210°44`2

λV1= 149°15`8 W


ortodromice M2





ΔλV2= -046°46`5 M2= 24°12`7

λB= -069°00` M2= 14527 Mm

λV2= - 115°46`5

λV2= 115°46`5 W



λV2= - 115°46`5 log ∆λVm= 3,30304

-λV1= +149°15`8 log cosφ= 9,62595

∆λV= +033°29`3 log e= 2,92899

∆λVm= 2009,3 e= 8492 Mm


d=M1+e+M2

M1= 24286 Mm

126

e= 8492 Mm

M2= 14527 Mm

d= 47305 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ




ΔλZ= λV1- λZ= 60°44`2 50°44`2 40°44`2 30°44`2

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,33133 0,33133 0,33133 0,33133

9,68915 9,80133 9,87951 9,93426

lg tgφZ= 0,02048 0,13266 0,21084 0,26559

φZ= 43°35`S 46°21`0S 53°37`1S 58°23`5S 61°31`2S



ΔλZ= λV1- λZ= 20°44`2 10°44`2 00°44`2

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,33133 0,33133 0,33133

9,97091 9,99233 9,99996

lg tgφZ= 0,30224 0,32366 0,33129

φZ= 63°29`9S 64°36`6S 64°59`9S 65°00` S




ΔλZ= λV1- λZ= 05°46`5 15°46`5 25°46`5 35°46`5

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,33133 0,33133 0,33133 0,33133

9,99779 9,98333 9,95449 9,90919

lg tgφZ= 0,32912 0,31466 0,28582 0,24052

φZ= 65°00` S 64°53`3S 64°08`8S 62°37`4S 60°06`7S

Punct intermediar B


ΔλZ= λV1- λZ=

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

127

lg tgφZ=

φZ= 55°45` S

ESPERANCE

CAP HORN

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6 Z7

M1M2

Z1Z2

Z3

V1 V2

ΔλV

Z4

ΔλV1 ΔλV2

B

A

e

4.4 DRUM MIXT. PROBLEME SPECIALE


Plecare: STANLEY Sosire: PRINCESS ROYAL

φA= 51°40`S φB= 35°10`S

λA= 057°40`W λB= 118°00`E



λB= +118°00` φB= - 35°10` φcB= - 22432

-λA = +057°40` -φA= +51°40` -φcA= - 36148 10=10,00000

Δλ`= +175°40` Δφ= +16°30` Δφc= 13716 -lg Δφc= -3,13723

Δλ= +175°40` Δφm= 990` colg Δφc= 6,86277

Δλm= 10540`

Δλ``= 04°20`



lg sin φA= 9,89455 lg cos φA= 9,79256

128

lg sin φB= 9,76039 lg cos φB= 9,91248

lg a= 9,65494 lg cos Δλ= 9,99876

a= +0,45179 lg b= 9,70380


cosM= - 0,05380 Δλ>90º→b<0

M`= 086°55`0 M= 093°05`0 M= 55850 Mm



lg Δλm= 4,02284 lg Δφm= 2,99564

colg Δφc= 6,86277 lg secD= 0,88922

lg tgD= 0,88561 lg m= 3,88486

D= 82°35`1(NE) D= 082°6 m= 76711 Mm


m= 76711 Mm

-M= 55850 Mm

m-M= 20861 Mm


- - - - + + - -


x1 y1 x2 y2

lgtgφB= 9,84791 lgtgφA= 0,10199



lg x1= 0,76218 lg y1= 1,01502 lg x2= 1,13618 lg y2= 0,88086

x1= - 5,78336 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +13,68296

+y1= -10,35190 φBS→ x1- +y2= + 7,60081 φAS→ sinφA-

ctgDi= -16,13526 φAS→ x2+ ctgDf= +21,28377 φBS→ sinφB -

Di= 03°32`8 (SE) Di= 176°5 Df= 02°41`4(NE) Df= 002°7





lg sin Di= 8,79142 lg sin Df= 8,67147

lg cosφV1= 8,58398 lg cosφV2= 8,58395

φV1= 87°48`1 S φV2= 87°48`1 N

129



lg sinφA= 9,89455 λA= - 057°40’0 lg sinφB= 9,76039 λB= +118°00’0

lg tgDi= 8,79225 ΔλV1= +087°13’0 lg tgDf= 8,67195 ΔλV2= +091°33’0

lgctgΔλV1= 8,68680 λV1= +029°33’0 lgctgΔλV2= 8,43234 λV2= +209°33’0

ΔλV1= 087°13’0 λV1= 029°33’0E λV2’= 088°27’0 λV2= 150°27’0W

ΔλV2= 091°33’0

ΔλV2`



φA= 51º40´S φB= 35º10´S

λA= 057º40´W λB= 118º00´E

φ= 51°40` S

B) Calculul longitudinii celui de-al doilea vertex λV2 şi a distanţei

ortodromice M2





130

ΔλV2= - 056°08`7 M2= 42°45`4

λB= +118°00`0 M2= 25654 Mm

λV2= + 061°51`3

λV2= 061°51`3 E


∆λV=λV2-λA e=∆λV cosφ

λV2= +061°51`3 log ∆λVm= 3,85560

-λA= +057°40` log cosφ= 9,79256

∆λV= +119°31`3 log e= 3,64816

∆λVm= 71713 e= 4448 Mm


d=M1+e+M2

M1= 00000 Mm

e= 44480 Mm

M2= 25654 Mm

d= 70134 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ




ΔλZ= λV2- λZ= 08°08`7 18°08`7 28°08`7 38°08`7

lg tgφ= 0,10199 0,10199 0,10199 0,10199

lg cosΔλZ= 9,99560 9,97785 9,94535 9,89567

lg tgφZ= 0,09759 0,07984 0,04734 9,99766

φZ= 51°40`0S 51°23`0S 50°14`2S 48°07`0S 44°50`7S


Longitudinea λZ= 110°00`E 118°00` E

ΔλZ= λV2- λZ= 48°08`7

lg tgφ= 0,10199


lg tgφZ= 9,92628

φZ= 40°09`6S 35°10`0 S

131



φA= 51°40`S φB= 35°10` S

λA= 057°40`W λB= 118°00` E

φ= 60°00` S



log tgφA= 0.10199 log sinφA= 9.89455

log ctgφ= 9.76144 log cosecφ= 0.06247

log cosΔλV1= 9.86343 logcos M1= 9.95702

ΔλV1= +43°05`9 M1= 25°04`3

λA= - 57°40`0 M1= 15043 Mm

λV1= - 14°34`1

λV1= 14°34`1 W


ortodromice M2


log tgφB= 9.84791 log sinφB= 9.76039

log ctgφ= 9.76144 log cosecφ= 0.06247

log cosΔλV2= 9.60935 logcos M2= 9.82286

ΔλV2= - 065°59`9 M2= 48°18`8

λB= +118°00` M2= 28988 Mm

λV2= + 52°00`1

λV2= 52°00`1 E


132


λV2= + 52°00`1 log ∆λVm= 3.60143

-λV1= - 14°34`1 log cosφ= 9.69897

∆λV= + 66°34`2 log e= 3.30040

∆λVm= 39942 e= 19971 Mm


d=M1+e+M2

M1= 15043 Mm

e= 19971 Mm

M2= 28988 Mm

d= 64002 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ




ΔλZ= λV1- λZ= 35°25`9 25°25`9 15°25`9 05°25`9

lg tgφ= 0.23856 0.23856 0.23856 0.23856

lg cosΔλZ= 9.91106 9.95573 9.98405 9,99805

lg tgφZ= 0.14962 0.19429 0.22261 0.23661

φZ= 51°40`S 54°40`8 S 57°24`5 S 59°04`8 S 59°53`3 S


Longitudinea λZ= 14°34`1 W

ΔλZ= λV1- λZ=

lg tgφ=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 60°00` S




ΔλZ= λV2- λZ= 07°59`9 17°59`9 27°59`9 37°59`9

133

lg tgφ= 0.23856 0.23856 0.23856 0.23856

lg cosΔλZ= 9.99575 9.97821 9.94594 9.89654

lg tgφZ= 0.23431 0.21677 0.18450 0.13510

φZ= 60°00` S 59°45`4 S 58°44`4 S 56°49`2 S 53°46`3 S


Longitudinea λZ= 100°00È 110°00È 118°00` E

ΔλZ= λV2- λZ= 47°59`9 57°59`9

lg tgφ= 0.23856 0.23856

lg cosΔλZ= 9.82552 9.72423

lg tgφZ= 0.06408 9.96279

φZ= 49°12`7 S 42°32`9S 35°10` S

m


Plecare: I. PRINCE EDWARD Sosire: I. HORNUS

φA= 47°00`S φB= 56°00` S

λA= 036°45È λB= 067°10` W

A) Calculul diferenţei de longitudine Δλ, a diferenţei de latitudine Δφ şi

de latitudine crescândă Δφc

λB= - 067°10` φB= - 56°00` φcB= - 40548

-λA = - 036°45` -φA= +47°00` -φcA= +31859 10=10,00000

Δλ`= - 103°55` Δφ= +09°00` Δφc= + 8689 -lg Δφc= 2,93897

Δλ= - 103°55` Δφm= 540` colg Δφc= 7,06103

Δλm= 6235`

Δλ``= 76°05`

134



lg sin φA= 9.86413 lg cos φA= 9.83378

lg sin φB= 9.91857 lg cos φB= 9.74756

lg a= 9.78270 lg cos Δλ= 9.38113

a= +0.60632 lg b= 8.96247

+ b= - 0.09172 φA şi φB au acelaşi semn→ a>0

cosM= +0.51460 Δλ>90º→b<0

M`= 059°01`8 M= 059°01`8 M= 35418 Mm



lg Δλm= 3.79484 lg Δφm= 2.73239

colg Δφc= 7.06103 lg secD= 0.86006

lg tgD= 0.85587 lg m= 3.59245

D= 82°04`0 (SW) D= 262°1 m= 39125 Mm


m= 39125 Mm

-M= 35418 Mm

m-M= 3707 Mm


- - - - + + - -


x1 y1 x2 y2

lg tgφB= 0.17101 lg tgφA= 0.03034

lg cosφA= 9.83378 lg sinφA= 9.86413 lg cosφB= 9.74756 lg sinφB= 9.91857

lgcosecΔλ= 0.01294 lg ctgΔλ= 9.39407 lgcosecΔλ= 0.01294 lgctgΔλ= 9.39407

lg x1= 0.01773 lg y1= 9.25820 lg x2= 9.79084 lg y2= 9.31264

x1= -1.04167 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +0.61779

+y1= -0.18122 φBS→ x1- +y2= +0.20542 φAS→ sinφA -

ctgDi= -1.22289 φAS→ x2+ ctgDf= +0.82321 φBS→ sinφB -

Di= 39°16`4 (SW) Di= 219°3 Df= 50°32`3(NW) Df= 309°5


135




lg sin Di= 9.80142 lg sin Df= 9.88765

lg cosφV1= 9.63520 lg cosφV2= 9.63521

φV1= 64°25`4 N φV2= 64°25`4 S




lgtgDi= 9.91260 ΔλV1= - 059°07`1 lgtgDf= 0.08449 ΔλV2= - 135°12`1

lgctgΔλV1= 9.77673 λV1= - 022°22`1 lgctgΔλV2= 0.00306 λV2`= - 202°22`1

ΔλV1= 059°07`1 λV1= 022°22`1W ΔλV2`= 044°47`9 λV2= +157°37`9

ΔλV2= 135°12`1 λV2= 157°37`9E

DiDf D

m

V

A

B

Δλ

ΔλV1

I PRINCE

EDWARD

I HORNUS

ΔλV2ΔλV2`


Plecare: I PRINCE EDWARD Sosire: I HORNUS

φA= 47°00`S φB= 56°00` S

λA= 036°45`E λB= 067°10` W

Latitudine limită:φ=56°00` S

Deoarece latitudinea limita este egala cu latitudinea punctului de sosire,

nu mai este cazul să se calculeze longitudinea vertexului λV2.






136

ΔλV1= - 043°40`2 M1= 28°05`6

λA= +036°45` M1= 16856 Mm

λV1= - 006°55`2

λV1= 006°55`2W



λV2= - 067°10`0 log ∆λVm= 3,55808

-λV1= +006°55`2 log cosφ= 9,74756

∆λV= 060°14`8 log e= 3,30564

∆λVm= 3614`8 e= 20213 Mm


d=M1+e+M2

M1= 16856 Mm

e= 20213 Mm

M2= 00 Mm

d= 37069 Mm


tgφZ=tgφ cosΔλZ



ΔλZ= λV1- λZ= 036°55`2 026°55`2 016°55`2 006°55`2

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

0,17101 0,17101 0,17101 0,17101

9,90280 9,95019 9,98078 9,99682

lg tgφZ= 0,07381 0,12120 0,15179 0,16784

φZ= 47°00`S 49°50`8S 52°53`6S 54°48`9S 55°48`3S

Punct intermediar V1 B

Longitudinea λZ= 006°55`2W 067°10`W

ΔλZ= λV1- λZ=

lg tgφV1=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 56°00`S 56°00`S

137

A

B V1

Z1

Z2

Z3

Z4

I PRINCE

EDWARD

I HORNUS

M1

e

m

ΔλV1ΔλVD

Di

Df


Plecare: CHIMBOTE Sosire: I. KURILE

φA= 09°05`0S φB= 43°30`0 N

λA= 078°40`0W λB= 146°40`0 E



λB= +146°40` 0 φB= +43°30`0 φcB= 28884

-λA = +078°40`0 -φA= +09°05`0 -φcA= +5437 10=10,00000

Δλ`= +225°20`0 Δφ= +52°35`0 Δφc= 34321 -lg Δφc= 3,53556

Δλ= -134°40`0 Δφm= 3155` colg Δφc= 6,46444

Δλm= 8080`

Δλ``= 45°20`0



lg sin φA= 9,19830 lg cos φA= 9,99452

lg sin φB= 9,83781 lg cos φB= 9,86056

lg a= 9,03611 lg cos Δλ= 9,84694

a= -0,10867 lg b= 9,70202

+ b= -0,50352 φA şi φB au semne opuse → a<0

cosM= -0,61219 Δλ>90º→b<0

M`= 52°15`1 M= 127°44`9 M= 76649 Mm



lg Δλm= 3,90741 lg Δφm= 3,49900

colg Δφc= 6,46444 lg secD= 0,40788

138

lg tgD= 0,37185 lg m= 3,90688

D= 66°59`2 (NW) D= 293°0 m= 80701 Mm


m= 80701 Mm

-M= 76649 Mm

m-M= 4052 Mm


+ - - - + + + -


x1 y1 x2 y2

lgtgφB= 9,97725 lgtgφA= 9,20378



lg x1= 0,11977 lg y1= 9,19325 lg x2= 9,21234 lg y2= 9,83276

x1= +1,31756 Δλ>90º→ ctgΔλ- x2= +0,16306

+y1= - 0,15605 φBN→ x1+ +y2= - 0,68039 φBN→ sinφB+

ctgDi= +1,16151 φAS→ x2+ ctgDf= - 0,51733 φAS→ sinφA -

Di= 40°43`6 (NW) Di= 319°3 Df= 62°38`8 (SW) Df= 242°6





lg sin Di= 9,81455 lg sin Df= 9,94851

lg cosφV1= 9,80907 lg cosφV2= 9,80907

φV1= 49°53`3 S φV2= 49°53`3 N



lgsinφA= 9,19830 λA= - 078°40`0 lgsinφB= 9,83781 λB= +146°40`0

lgtgDi= 9,93498 ΔλV1= + 82°15`6 lgtgDf= 0,28624 ΔλV2= +036°55`6


ΔλV1= 082°15°6 λV1= 003°35`6 E ΔλV2= 036°55`6 λV2=176°24`4W



139

Deoarece ortodroma trece peste uscat şi la latitudini mari, se decide ca pe

porţiunea cuprinsă între punctul de intersecţie al ortodromei cu ecuatorul şi

punctul final să se efectueze navigaţie pe drum mixt.

Pe porţiunea cuprinsă între punctul de plecare şi punctul de intersecţie cu

ecuatorul se navigă pe ortodromă.

Calculul punctului de intersecţie cu Ecuatorul

V2= -176°24`4

= +090°00`0

λec= -086°24`4

Punct intermediar A Z1 Z2

Longitudinea λZ= 078°40`0W 080°00`0W 086°24`4 W

ΔλZ= λV- λZ= 83°35`. 6

lg tgφV=

lg cosΔλZ=

0,07447

9,04760

lg tgφZ= 9,12207

φZ= 09°05`0S 07°32`7S 00°00`0

Punctul Z2 are coordonatele φZ2=00°00`0 şi λZ2=λec=086°24`4W.

m

Δλ

D

ΔλV1

ΔλV2

V2

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

Z7

Z8Z9

Z10Z11Z12

Z13Z14

I KURILE

B

Df

Di

ACHIMBOTE

Δλ


Plecare: CHIMBOTE Sosire: I. KURILE

φ Z2= 00°00`0 φB= 43°30`0 N

λ Z2= 086°24`4W λB= 146°40`0 E

φ= 45°00`.0 N

140


cosΔλv1=tgφZ2 ctgφ cos M1=sinφZ2 cosecφ

λV1 este la 90°00`0 față de punctul de

intersecţia cu Ecuatorul, adică egal cu λV2 de

la ortodromă

Deoarece punctul de plecare

este pe ecuator, primul vertex

este la 90°, faţă de acesta,

lungimea primei ortodrome

este un sfert dintr-un cerc

mare.

ΔλV1= - 90°00`0 M1= 360°00`0 /4

λ Z2= - 86°24`4 M1= 5400 Mm

λV1= -176°24`4

λV1= -176°24`4W

B) Calculul longitudinii vertexului 2 λV2 şi a distanţei ortodromice M2





ΔλV2= + 18°23` M2= 13°13`7

λB= +146°40` M2= 7937 Mm

λV2= +165°03`

λV2= 165°03` E



λV2= +165°03`0 log ∆λVm= 3,04634

-λV1= +176°24`4 log cosφ= 9,84949

∆λV= +341°27`4 log e= 2,89583

∆λV= -18°32`6 e= 7867 Mm

∆λVm= 1112`6


d=M1+e+M2

M1= 54000 Mm

e= 7867 Mm

M2= 7937 Mm

d= 69804 Mm

141

E) Calculul latitudinii punctelor intermediare pe drumurile ortodromice

tgφZ=tgφ cosΔλZ




ΔλZ= λV1- λZ= 86°24`4 76°24`4 66°24`4 56°24`4

lg tgφ= 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

lg cosΔλZ= 8,79709 9,37112 9,60232 9,74296

lg tgφZ= 8,79709 9,37112 9,60232 9,74296

φZ= 00°00`0 03°35`2 N 13°13`6 N 21°48`8 N 28°57`3N



ΔλZ= λV1- λZ= 46°24`4 36°24`4 26°24`4 16°24`4 06°24`4

lg tgφ= 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

lg cosΔλZ= 9,83856 9,90570 9,95214 9,98195 9,99728

lg tgφZ= 9,83856 9,90570 9,95214 9,98195 9,99728

φZ= 34°35`3 N 38°49`7 N 41°51`0 N 43°48`6 N 44°49`2 N


Longitudinea λZ= 176°24`4 W

ΔλZ= λV1- λZ=

lg tgφ=

lg cosΔλZ=

lg tgφZ=

φZ= 45°00`0 N


Punct intermediar V2 Z1 Z2 B

Longitudinea λZ= 165°03`0 E 160°00`0 E 150°00`0 E 146°40`0 E

ΔλZ= λV2- λZ= 05°03`.0 15°03`.0

lg tgφ= 0,00000 0,00000

lg cosΔλZ= 9.99831 9.98484

lg tgφZ= 9.99831 9.98484

φZ= 45°00`0 N 44°53`3 N 44°00`0 N 43°30`0 N

142

m

D

e

M1

M2

ΔλV

ΔλV2ΔλV1

I KURILE V1V2Z1Z2B

Z11 Z10Z9

Z8

Z7

Z6

Z5

Z4

Z3

Z2

Z1

CHIMBOTE

A

Di

Df

149

Bibliografie

1. Anwar N. Navigation, Seamanship International Ltd., Londra,

2006

2. Apostol I.,

Stangaciu L.

Navigaţie pe ortodromă – Culegere de probleme,

Institutul de marină 1975

3. Balaban G. Tratat de navigaţie maritimă, Ed. Leda, Constanţa,

1996.

4. Boşneagu R. Navigaţie ortodromică şi navigaţie radioelectronică,

ANMB, Constanţa, 2005

5. Cojocaru S. Tratat de navigaţie maritimă, Ed. Ars Academica,

Bucureşti, 2008.

6. House D. Navigation for Masters, Editura Witherby & Co

Ltd.London, 1995

145

Calculul elementelor drumului mixt

Plecare:

Sosire:

Date iniţiale: φA=

φB=

λA=

λB=

φ=

1. Calculul longitudinii primului vertex λv1 şi a distanţei ortodromice M1

cosΔλv1=tgφA ctgφ

cos M1=sinφA cosecφ

log tgφA=

log sinφA=

log ctgφ=

log cosecφ=

log cosΔλv1=

logcos M1=

Δλv1=

M1=

λA=

M1= Mm

λv1=

2. Calculul longitudinii vertexeului 2 λv2 şi a distanţei ortodromice M2

cosΔλv2=tgφBctgφ

cos M2=sinφB cosecφ

log tgφB=

log sinφB=

log ctgφ=

log cosecφ=

log cosΔλv2=

logcos M2=

Δλv2=

M2=

λB=

M2= Mm

λv2=

3. Calculul distanţei pe paralelul limită (deplasarea est-vest) e

∆λv=λv2-λv1

e=∆λv cosφ

λv2=

log ∆λvm=

-λv1=

log cosφ=

∆λv=

log e=

∆λvm=

e= Mm

4. Calculul distanţei totale pe drumul mixt d

d=M1+e+M2

M1= Mm

e= Mm

M2= Mm

d= Mm

146

5. Calculul longitudinii punctelor intermediare pe drumurile orodromice

tgφZ=tgφ cosΔλZ

Pentru prima ortodromă


Longitudinea λZ=

ΔλZ= λV1- λZ=

log tgφ=

log cosΔλZ=

log tgφZ=

φZ=

Punct intermediar Z5 Z6 Z7 Z8 V1

Longitudinea λZ=

ΔλZ= λV1- λZ=

log tgφ=

log cosΔλZ=

log tgφZ=

φZ=

Pentru a doua ortodromă


Longitudinea λZ=

ΔλZ= λV2-λZ=

log tgφ=

log cosΔλZ=

log tgφZ=

φZ=


Longitudinea λZ=

ΔλZ=λV2-λZ=

log tgφ=

log cosΔλZ=

log tgφZ=

φZ=

Nav. ortodromica

Documents

Transcript of Nav. ortodromica