Naprężenia wywołane ciężarem własnym gruntu (n. geostatyczne)

h

γσ ⋅=hγh

ii

n

1ih m γσ γ ⋅=∑

=

jedn

orod

ne p

odło

że g

runt

owe

o ci

ężar

ze o

bjęt

ości

owym

γ

wzór ogólny w przypadku podłoża uwarstwionego:

Wpływ wody gruntowej na naprężenia pierwotne

h

γhσ

jedn

orod

ne p

odło

że g

runt

owe zw.w.g.

hw γ

γ’

')hh(h wwh γγσ γ ⋅−+⋅=

Naprężenia wywołane ciężarem własnym gruntu (n. geostatyczne)

D

zm1

m2

m3

m4

zwg

hz = 0

Podziałka głębokości:1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:γ1

γ1

γ4'

γ3'

z = 0

γ2'

z = 0

1γD γD ⋅=σ

( ) 'γmzmγD 21111rh ⋅−+⋅+⋅= γσ

Związek pomiędzy osiadaniem terenu a poziomem wody gruntowej na terenie Santa Clara Valley, Kalifornia. Źródło: Environmental Geology. Bennett M. R., Doyle P, John Willey & Sons, 1997

Osiadanie terenu w latach 1934–1960 na terenie Santa Clara Valley, Kalifornia.

Źródło: Groundwater. Freeze A. R., Cherry A. J. Prentice Hall, 1979

Osiadanie terenu wywołane obniżeniem poziomu wód podziemnych

Naprężenia pionowe w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłąskupioną - rozwiązanie Boussinesq’a (1885)

Założenia:1. Ośrodek gruntowy jest jednorodny i izotropowy (tzn. działanie jednakowych naprężeń w

dowolnym kierunku powoduje jednakowe odkształcenia

2. Grunt jest materiałem sprężystym, tzn. podlega prawu Hooke’a

3. Naprężenia rozchodzą się promieniście od punktu przyłożenia siły

4. Nie uwzględnia się ciężaru własnego gruntu

5. Obowiązuje zasada superpozycji

6. Pionowo działające siła powoduje obniżenie się półkuli o dowolnym promieniu ze środkiem w punkcie zaczepienia siły o jednakową wartość „S” Q

z

Q

M

R

r

zα

σr

απ

σ cos23

2RQ

r =

Naprężenia radialne w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłą skupioną- rozwiązanie Boussinesq’a (1885)

σz

ασα

α

ασ 2r

2

z cosA

cosR

cosA

cosR'A

Z ====

αcos'A

A=

R=σRA

A

α

R Z=Rcosα

A’

A’

Q

M

R

r

zα

Naprężenia pionowe w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłąskupioną - rozwiązanie Boussinesq’a (1885)

Schemat obciążenia podłoża

Podstawowe zależności:

Rz

=αcos

22 rzR +=

Wzory

απ

σ 32 cos

23

RQ

z =

απ

σ 52 cos

23

zQ

z =

5

3

23

RQz

z πσ =

2/522

3

)(23

rzQz

z +=

πσ

2/522 12

3

+

=

zrz

Qz

π

σ

σz

Q

-2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

Graficzna ilustracja naprężeń

Naprężenia pionowe

Naprężenia radialne

Izobary naprężeń radialnych i naprężeń pionowych

Q

z1

z2

z3

Rozkład naprężeń na różnych głębokościach Krzywa zanikania naprężeń

σz

z

Graficzna ilustracja naprężeń

Rozkład naprężeń wzdłuż prostej a, równoległej do kierunku działania siły Q

Graficzna ilustracja naprężeń

Q

z1

z2

z3

σz

z

a

r

Q1 Q2

r1 = 3.0 m r2 = 4.0 m

M

z = 3.0 m

Zasada superpozycji (Bolzmana) - sumowania naprężeńJeżeli siła Q1, powoduje w określonym miejscu ośrodka gruntowego naprężenie σ1, zaś siła Q2 wywołuje w tym samym miejscu naprężenie σ2, to całkowite naprężenie w tym punkcie ośrodka jest sumą naprężeń wywołanych przez każdą z sił z osobna.

( )

( ) ][0135.0078.0177.065

3183

323

23coscos

23

55

2

5

22

2

5

21

2225

15

2)()( 21

kPaQQQ

rzz

rzz

zQ

zQ

Mz

QzQzMz

=+=

+

=

++

+=+=+=

ππσ

παα

πσσσ

Przykład obliczenia naprężenia:

Zamiana obciążenia równomiernie rozłożonego na zastępcze siły skupione

Qi

B

L

M

ΔB

ΔL

r i

R i

z

2/522 12

3

+

=

zrz

Q

i

izi

π

σ

σzi

Naprężenie pionowe wywołane pojedynczą siłą zastępczą wynosi:

∑∑==

+⋅==

n

i

iin

iziz z

rz

Q1

2/52

21

123π

σσ

Całkowite na prężenie pionowe stanowi sumę naprężeń od wszystkich sił zastępczych (zasada superpozycji)

y

x

z

L

B

dx

dy

dQ

r

R

M dσz

y

x

Wyznaczenie naprężenia pionowego σz od obciążenia ciągłego q za pomocą elementarnych sił skupionych

2/5

2

222

2/522 12

3

12

3

++

=

+

=

zyxz

q

zrz

dQd z

ππ

σ

dxdy

zyxz

qBL

z 2/5

2

22200 12

3

++

= ∫∫π

σ

Naprężenie pionowe wywołane przez elementarną siłęskupioną (q):

Całkowite na prężenie pionowe stanowi sumę naprężeń od wszystkich elementarnych siłzastępczych (zasada superpozycji):

Metoda punktów środkowych (Newmark i Polszin, 1935)

W przypadku gdy rozpatrywany punkt M znajduje się pod geometrycznym środkiem obciążającej powierzchni prostokątnej naprężenie pionowe w tym punkcie oblicza się ze wzoru:

0ησ ⋅= qz

gdzie:

+

+

+

⋅

+

+

⋅+

+

+

= 22222220

4

1

41

1

41

2

412

arctg2

Bz

BL

Bz

Bz

BL

Bz

BL

Bz

BL

Bz

BL

πη

Nomogram do wyznaczania współczynnika 0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000

0

Z/B

L/B = 1L/B = 1.5L/B = 2L/B = 3L/B = 5

autor: Seweryn Szlachcic

η

η

Metoda punktów narożnych (Steinbrenner, 1936)

W przypadku gdy rozpatrywany punkt M znajduje się pod narożnikiem obciążającej powierzchni prostokątnej naprężenie pionowe w tym punkcie oblicza się ze wzoru:

nz q ησ ⋅=

gdzie:

+

+

+

⋅

+

+

⋅+

+

+

= 2222222n1

1

1

11

arctg21

Bz

BL

Bz

Bz

BL

Bz

BL

Bz

BL

Bz

BL

πη

Nomogram do wyznaczania współczynnika ηn

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250ηn

z/B

L/B = 1L/B = 1.5L/B = 2L/B = 3L/B = 5

autor: Seweryn Szlachcic

Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeńpionowych w dowolnym miejscu półprzestrzeni gruntowej (1).

W przypadku, gdy rozpatrywany punkt M leży pod obrysem powierzchni prostokątnej należy podzielićtak powierzchnię prostokątną, aby punkt ten stanowił naroże nowo utworzonych prostokątów i posłużyćsię następującym schematem:

M

L

L1 L2

B

B1

B2

A B C

D

EFG

H

( )nMFGHnMDEFnMBCDnMHABz q ηηηησ +++⋅=

=

11

1 ,Bz

BLfnMHABη

=

11

2 ,Bz

BLfnMBCDη

=

22

2 ,Bz

BLfnMDEFη

=

22

1 ,Bz

BLfnMFGHη

Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeńpionowych w dowolnym miejscu półprzestrzeni gruntowej (2).

W przypadku, gdy rozpatrywany punkt M leży poza obrysem powierzchni prostokątnej należy wprowadzić dodatkowe powierzchnie prostokątne w taki sposób, aby punkt ten stanowił naroże nowo powstałych prostokątów i posłużyć się następującym schematem:

M

L

L1 L2

B

B1

B2

A B C

D

EFG

H

( )nMDCBnMBAHnMDEFnMFGHz q ηηηησ −−+⋅=

=

22

1 ,Bz

BLfnMFGHη

=

22

2 ,Bz

LBfnMDEFη

=

11

1 ,Bz

BLfnMBAHη

=

11

2 ,Bz

BLfnMDCBη

Fundamenty budowli (podział)

FUNDAMENTY BUDOWLI

FUNDAMENTY PŁYTKIE(bezpośrednie)

FUNDAMENTY GŁĘBOKIE(pośrednie)

•Stopy fundamentowe•Ławy fundamentowe•Płyty•Ruszty•Skrzynie

•Pale•Studnie•Kesony

D

zm1

m2

m3

m4

σhγ

zwg

hz = 0

Podziałka głębokości: 1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:

γ1

γ1

γ4'

γ3'

γ2'

D

zm1

m2

m3

m4

zwg

hz = 0

Podziałka głębokości: 1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:

γ1

γ1

γ4'

γ3'

γ2'σh

γ

Nap

ręże

nia

pod

fund

amen

tem

bez

pośr

edni

m I. Stan przed rozpoczęciem budowy

D

zm1

m2

m3

m4

zwg

σzs

Podziałka głębokości: 1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:

z = 0

σzm

Nap

ręże

nia

pod

fund

amen

tem

bez

pośr

edni

m II. Stan po wykonaniu wykopu fundamentowego

D

zm1

m2

m3

m4

zwg

z = 0

Podziałka głębokości: 1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:

σzm

σzs

B

Nap

ręże

nia

pod

fund

amen

tem

bez

pośr

edni

m III. Stan po zasypaniu wykopu fundamentowego

D

zm1

m2

m3

m4

zwg

z = 0

q = Q/LB

Q Podziałka głębokości: 1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:

σzm

σzs

σzd

B

σzt

Nap

ręże

nia

pod

fund

amen

tem

bez

pośr

edni

m IV. Stan po wykonaniu obiektu budowlanego

Obliczanie osiadania fundamentów

Obliczanie osiadania zaleca się przeprowadzić metodą naprężeń. Osiadanie Si warstwy należy wyznaczyć jako sumę osiadania wtórnego Si” w zakresie naprężenia wtórnego σz

s, z zastosowaniem modułu ściśliwości wtórnej gruntu M (lub modułu wtórnego odkształcenia E, w zależności od metody obliczania), oraz osiadania pierwotnego Si’w zakresie naprężenia dodatkowego σz

d, z zastosowaniem modułu ściśliwości pierwotnej gruntu Mo (lub Eo).

Osiadanie Si warstwy podłoża o miąższości mi oblicza się wg wzorów:

'i

''ii SSS +=

i

iszi''

i MmS ⋅

=σ

λ

oi

idzi'

i MmS ⋅

=σ

– osiadanie wtórne warstwy i, [cm],

– osiadanie pierwotne warstwy i, [cm],

– odpowiednio wtórne i dodatkowe naprężenie w podłożu pod fundamentem, w połowie grubości warstwy, [kPa],

Mi, Moi – edometryczny moduł ściśliwości, odpowiednio wtórnej i pierwotnej, ustalony dla gruntu warstwy i, kPa,

mi – grubość warstwy i, cm,

λ – współczynnik uwzględniający stopień odprężenia podłoża po wykonaniu wykopu, którego wartość należy przyjmować:

λ = 0 – gdy czas wznoszenia budowli (od wykonania wykopów fundamentowych do zakończenia stanu surowego, z montażem urządzeń stanowiących obciążenie stałe) nie trwa dłużej niż 1 rok,

λ = 1 – gdy czas wznoszenia budowli jest dłuższy niż 1 rok.

Warstwy o grubości większej niż połowa szerokości B fundamentu należy dzielić dodatkowo na części o miąższości nie przekraczającej 0.5B.

"iS'iS

dzi

szi ,σσ

Całkowite osiadanie podłoża pod fundamentem bezpośrednim, a zatem osiadanie całej budowli oblicza się sumując osiadania wszystkich warstw cząstkowych według wzoru:

∑=

=n

1iiSS

gdzie:i – numer warstwy cząstkowej;n – ilość warstw,Si – osiadanie warstwy i–tej.

D

zm1

m2

m3

m4

zwg

z = 0

q = Q/LB

Q Podziałka głębokości: 1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:

m3/2m3/2

σz3s σz3

d

B

S3

D

zm1

m2

m3

m4

zwg

z = 0

q = Q/LB

QPodziałka głębokości:

1 m

20 kPaPodziałka naprężeń:

wykres naprężeńpierwotnych

linia pomocnicza0.3σh

γ

zmax

0.3σhγ

σhγ σz

d

B

0.3σhγ

σhγ

Wyznaczenie głębokości podłoża budowlanego (zmax)