MÉTHODE des intervalles de confiance Estimation : Intervalle ......remarque 1 : aucune hypothèse...

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Estimation ponctuelle (10.1)• méthode vraisemblance maximale• méthode de moments

MÉTHODE des intervalles de confiance (10,2-10,3)

Estimation : Intervalle de confiance pour la moyenne μ Calcul de la taille échantillonnale n Interprétation intervalle confiance

Estimation : différence entre 2 moyennes μ1 - μ2

Estimation : variance σ2 / écart type σ

Estimation du paramètre θ (ou p) : distribution binomiale

différence θ1 - θ2 entre 2 distributions binomiales (10,3,5) : hors programme

Formulaire pour les intervalles de confiance

Estimation : chapitre 10

Bernard CLÉMENT, PhD MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Intervalle de prévision pour une future observation (10,4,2)

Intervalle de tolérance pour un pourcentage distribution (10,4,3)

2Bernard CLÉMENT, PhD

Méthodes statistiques- description / visualisation : données Y (ch8)- estimation : paramètres distribution (ch9-10)- tests statistiques : prise de décision (ch11-12)- modélisation Y = f(X) f = fonction de transfert (ch13)

processussystème Y variable de réponsevariables X

Variable Y - plusieurs cas- mesure : variable continue : distribution normale N(μ, σ2) … autre

- classement 0 ou 1 : variable qualitative : distribution Bernoulli Ber(θ)

- comptage 0,1,2,.. : variable entière : distribution Poisson Poi (λ)

Variables X - catégoriques / continues / une ou plusieurs

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

3

Terminologie statistique

• les populations statistiques sont modélisées par des lois de probabilitésdont les paramètres sont toujours inconnus;

• le mieux que l’on puisse faire: estimer les paramètres avec desdonnées (observations ) provenant de la distribution (population)

• données (Y1, Y2, …) sont transformées en statistique W par une fonction hW = h (Y1, Y2 ,…. ) W est une variable aléatoirechoix de h : dépend de l’application envisagée (ESTIMATION ou TEST)loi de probabilité de W s’appelle distribution d’échantillonnage

exemple : 2 échantillons de taille n provenant de la même population(Y1, Y2, …,Yn) et (Y1’, Y2’ , ….., Yn’) auront une moyenne (Ybar),

différente, un écart type s différent, un histogramme différent : c’est l’influence de la variabilité de l’échantillonnage

• on dispose toujours que d’un seul échantillon de taille n pour mettreen œuvre une procédure statistique : ESTIMATION ou TEST

• paramètre statistique ξ : toute quantité associée à une loi de probabilitéex. ξ = μ : moyenne distribution normale

ξ = σ : écart type distribution quelconqueξ = θ : moyenne distribution Bernoulli ( θ)


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Constats et terminologie statistique

Échantillon aléatoire : un ensemble de variables aléatoires Y 1 , Y 2 , , Y ntelles que (a) les variables sont soumises à une même distribution f(y)

(b) les variables sont indépendantesloi conjointe : g (Y1, Y2, …, Yn) = f(Y1)* f(Y2) * …* f(Yn)

Statistique : toute fonction W calculée sur les données de l’échantillonW = h (Y1 , Y2 , …., Y n ) remarque : W est une variable aléatoire

Estimateur : une statistique particulière conçue de façon à fournirune estimation d’un paramètre d’une loi de probabilité

Estimation ponctuelle d’un paramètre ξ : est la valeur numérique ξprise par un estimateur sur la base d’un échantillon (y1, y2,…, yn)

ξ = h(y1, y2, … , yn ) Estimation par intervalle d’un paramètre statistique ξ est un intervalle

(a, b) dont les valeurs a et b dépendent de l’échantillon (Y1, Y2,…, Yn)et une probabilité spécifiée 1 - α = coefficient de confiancede telle sorte que : P ( a ≤ ξ ≤ b) = 1- α

a = h1(Y1, Y2,.., Yn) = ? b = h2(Y1, Y2,.., Yn) = ?

Bernard CLÉMENT, PhDMTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

5

Distribution d’échantillonnage : concept fondamentaltout estimateur ξ possède une distribution de probabilité appelée distribution d’échantillonnage ; l’étude des propriétés de l’estimateurrepose sur l’étude des propriétés de cette distribution.

Estimateur sans biais (sans erreur systématique) : estimateur dont la moyenne est égale au paramètre à estimer : E( ξ ) = ξ

ξ

ξ

distribution d’échantillonnage

E( ξ )n1

n2 > n1n2

Résultat : sous certaines conditions très générales) : la distribution d’échantillonnage est approximativement en forme de cloche(normale) et sa dispersion (variance) diminue lorsque n augmente

Var ( ξ ) = constante / √ n

Erreur Quadratique Moyenne = EQM = Var ( ξ ) + ( E( ξ ) – ξ )2

« meilleur » estimateur : EQM minimumsi ξ sans biais ……. minimum EQM = minimum Var ( ξ )

Bernard CLÉMENT, PhD

6

Résultat 1 Soit Y 1 , Y 2,, ….. , Y n des v. a. indépendantes telles que E(Yi ) = μi et Var (Yi ) = σi

2 i = 1, 2, …, nsoient a 1, a 2,, …. , a n des constantes etW = ∑ ai Yi une combinaison linéaire des Yi

Alors E(W) = μW = ∑ ai μi et Var (W) = σw2 = ∑ ai

2 σi2

remarque 1 : aucune hypothèse est nécessaire sur les lois des Yiremarque 2 : si les Y sont normales alors W est normale

Résultat 3 Si les Xi sont gaussiennes Xi ~ N (μ , σ2 )

alors X est gaussienne N (μ , σ2 / n )

Résultat 2 Soit ai = 1 / n E(Yi) = μ Var(Yi) = σ2 alors i = n

W = Y = Ybar = ∑ (1/n ) Yi vérifie E(Y) = μ et Var(Y) = σ2 / ni = 1


R A P P E L S (chapitre vecteurs aléatoires)

Résultat 3 Si les Yi sont normales Yi ~ N (μ , σ2 )

alors Y est normale N (μ , σ2 / n )

Résultat 4 Si les Yi sont distribuées quelconques E(Yi ) = μ Var(Yi) = σ2

alors Y est normale N (μ , σ2 / n )


autre méthode :

moments

méthode 1 :

vraisemblance

maximale

méthode: vraisemblance maximaleEstimation ponctuelle

fonction de vraisemblance L

L(θ1, θ2, θ3,…, θk) = π f Y (y i ; θ1, θ2, θ3,…, θk)

f Y (y i ; θ1, θ2, θ3,…, θk) : distribution de Y

θ1, θ2, θ3,…, θk : paramètres inconnus

déterminer les valeurs de θ1, θ2, θ3,…, θk

qui maximise L(θ1, θ2, θ3,…, θk)

résoudre les k équations ∂ L ∂ θ i

solutions θ i = h i ( y1, y2,…, y n ) estimateurs à VM

remarqueen général, il plus facile de d’utiliser le log de Lpour trouver les estimateurs

log(L(θ1, θ2, θ3,…, θk)) = ∑ log f Y (y i ; θ1, θ2, θ3,…, θk)

= 0

i = 1

n

i = 1, 2,.., k

8Bernard CLÉMENT, PhD MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Estimation à vraisemblance maximale : étapes

Certains cas: le maximum n’est pas obtenu par dérivation


Tableau

estimateurs à vraisemblance maximale


Tableau (suite)

estimateurs à vraisemblance maximale


Estimation méthode des moments: étapes


TABLEAU - différents cas d’intervalle de confianceCAS PARAMÈTRE CONDITIONS NOMBRE ÉCHANT.A moyenne μ normale N(μ, σ2) σ2 connu 1B moyenne μ normale N(μ,σ2) σ2 inconnu 1C moyenne μ quelconque n > 30 σ2 inconnu 1D μ1 – μ2 normales variances σ2

1 σ22 connues 2

E μ1 – μ2 normales variances σ21 σ2

2 inconnues 2σ1

2 = σ22 = σ2

F μ1 – μ2 normales variances σ21 σ2

2 inconnues 2et inégales

G σ2 normale N(μ, σ2) μ inconnue 1

H σ12 / σ1

2 normales moyennes μ1 μ2 inconnues 2I θ Bernoulli 1J θ1 – θ2 Bernoulli 2


Tableauintervalles de confiance


Tableau (suite)intervalles de confiance

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Estimation de la moyenne μ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance

Cas A : population normale et variance σ 2 connue Y ~ N ( μ , σ 2 )

soit Y 1 , Y 2, …, Y n un échantillon de Y alors ( Y – μ ) / ( σ / √ n ) ~ N ( 0, 1 )

alors P ( - z 1 – α / 2 ≤ ( Y – μ ) / ( σ / √ n ) ≤ z 1 – α / 2 ) = 1 - α ( * )

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

N ( 0, 1) :

normale

centrée – réduite

1 - α : coefficient

de confiance

- z 1 – α / 2 0 z 1 – α / 2

α/ 21 - α

Z = ( Y – μ ) / (σ /√ n )

On isole le paramètre μ de l’équation ( * ) pour obtenir l’intervalle de confiance

de μ Y - z 1 – α / 2 σ ≤ μ ≤ Y + z 1 – α / 2 σ

√ n √ n


16

Exemple : supposons que la durée ( heures) de vie X d’ampoules électriques d’unecertaine marque est une loi gaussienne de moyenne μ ( inconnue) et écart type de 100 h(a) Déterminer un intervalle de confiance avec coefficient de confiance de 0.95 pour μ si

un échantillon de n = 20 ampoules a donné les durées de vie : 1076.2 - 989.2 - 1013.91152.5 - 1076.8 - …… 1028.7 - 946.2 - 1111.8 - 1060.5 de moyenne X = 1028.5 h

(b) Refaire (a) avec une coefficient de confiance de 0.99(c) Combien d’ampoules doit –on échantillonnées si on veut un intervalle de confiance

à 0.95 de longueur égale à 30 ?Solution : (a) 1028.5 - ( 1.96 * 100 / √ 20 ) ≤ μ ≤ 1028.5 + ( 1.96 * 100 ) / √ 20 )

1028.5 – 43.8 ≤ μ ≤ 1028.5 + 43.8984.7 ≤ μ ≤ 1072.3

(b) avec un coefficient de confiance de 0.99 le percentile 1.96 change pour 2.576et l’intervalle de confiance devient 970.9 ≤ μ ≤ 1086.1

(c) la longueur de l’intervalle en (a) est de 2*43.8 = 87.6 avec n = 20on veut 2 * 1.96 * 100 / √ n = 30 donc n = 171

Détermination de la taille de l’échantillon : calcul de n ( avec σ connu )

on spécifie : coefficient de confiance = 1 - α longueur de l’intervalle = 2Δon connaît σ

n = (z 1 – α / 2 σ / Δ) 2


17

Exemple : suite de l’exemple - Un deuxième échantillon de 20 ampoules a donné une viemoyenne de 981 h. L’intervalle de confiance à 0.95 est : 937.2 ≤ μ ≤1024.8

Remarque : dans toute étude statistique on a toujours qu’un seul échantillon de taille nqui est prélevé. Toute décision à prendre repose sur cet échantillon uniquement.Dans l’exemple, on a prélevé un deuxième échantillon pour des fins d’illustrationmais si c’était le cas réel, on aurait combiné les deux en un seul échantillon de taille 40.

Interprétation d’un intervalle de confianceLe coefficient de confiance se rapporte à la procédure à long terme : ( 1 - α ) 100% des intervalles calculés avec la formule génèrent des intervalles qui contiendront μ. On ne sait jamais si l’intervalle calculé avec l’échantillon observé contient μ mais notre degré de confiance est de ( 1 - α ) 100% qu’il fait partie de ceux qui contienne μ( les ‘ bons ‘ )L’interprétation peut être comprise et illustrée seulement avec des données simulées provenant d’une population gaussienne dont la moyenne est connue : exemple suivant

Exemple : simulation de 100 échantillons de taille n = 5

provenant d’une population gaussienne μ = 1000 et σ = 1007 échantillons : # 14 – 23 – 25 – 49 – 71 – 73 – 79 ne contiennent pas 1000

graphique: page suivantes


18

intervalles de confiance : échantillons 1-50 de 5 obs.

moy-de-5750

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

#14 – 23 - 25 – 49 - 71 – 73 - 79 : 7 intervalles sur les 100 calculés

ne contiennent pas 1000

μ =1000


échantillons 51 à 100 : groupe de 5 obs

moy-de-5750

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250


19

Cas B : population normale et variance σ 2 inconnue Y ~ N ( μ , σ 2 = ? )

intervalle de confiance de la moyenne coeff. Conf. = 1 - α

Y - t 1 – α / 2, n - 1 s ≤ μ ≤ Y + t 1 – α / 2, n - 1 s√ n √ n

Exemple : 6 observations de la durée de vie d’ampoules a donné

863.0 - 1016.2 - 945.8 - 992.5 - 943.8 - 1006.4

Y = 961.3 et s = 57.0

Int. confiance avec coeff. conf. = 0.90 = 1 – α pour μ :

t 0,095 , 5 = 2.015 selon table Student avec 5 ddl

961.3 ± 2.015 * 57 / √ 6 = ( 914.4 , 1008.2 )



20

Estimation de la moyenne μ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance

Cas C : population quelconque et n au moins 30 intervalle de confiance approximatif pour la moyenne

Y - z1 – α / 2 s ≤ μ ≤ Y + z1 – α / 2 s√ n √ n

Remarque : la formule repose sur le théorème central - limite

Exemple : la durée de vie de 50 ampoules électriques d’une

certaine marque a donné

Y = 1014 et s = 98.7

Intervalle de confiance à 0.90 pour μ est

1014 ± 1.64 * 98.7 / √ 50

1014 ± 22,9

992.1 à 1036.9

Bernard CLÉMENT, PhDMTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

21

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Résultat : (a) E (Y1 - Y2 ) = μ1 - μ2(b) Var ( Y1 - Y2 ) = σ1

2 / n1 + σ22 / n2

(c) Y1 - Y2 ~ N (μ1 - μ2 , σ12 / n1 + σ2

2 / n2 )(d) (Y1 – Y2) – (μ1 - μ2 ) / (σ1

2 / n1 + σ22 / n2 )**0,5

(e) le résultat (d) est approximatif si n1 et n2 sont plus grands que 30

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Y11, Y12, … , Y1n1

Y1 ~ N ( μ1, σ12) Y2 ~ N ( μ2, σ2

2)

σ1 σ2

μ1 μ2

Y21, Y22, … , Y2n2

Loi d’échantillonnage de la différence entre 2 moyennes : variances connues

échantillonsindépendants

Y1 = ∑ Y1i / n1 Y2 = ∑ Y2i / n2moyennes

vrai sans aucune hypothèse sur les lois


X = 1 X = 2X

22

Cas D : intervalle de confiance - différence de 2 moyennes μ1 - μ2variances connues

μ1 - μ2 : ( Y1 - Y2 ) ± Z 1 – α /2 [σ12 / n1 + σ2

2 / n2 ] 0.5

Exemple : calculer un intervalle de confiance avec coefficient de confiance 0.95pour la différence de vie ( heures ) moyenne de deux types ( 1 et 2 )

d’ampoules électriques à l’aide des informations suivantes :

type1 : n = 16 σ = 128 Y1 = 1050

type2 : n = 9 σ = 81 Y2 = 970solution selon la formule ci haut et la table de la gaussienne centrée réduite

et z 0.975 = 1.96

μ1 - μ2 : (1050 – 970) ± 1.96 ( 1282 / 16 + 812 / 9 )0.5 = 80 ± 82.1 = - 2.1 à 162.9

question les ampoules de type1 durent elles ( en moyenne ) plus longtemps

que les ampoules de type2 ?

Réponse = ?


23

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Résultat : ( Y1 – Y2 ) - ( μ1 - μ2 )

Sp √ 1/ n1 + 1 / n2

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Y11, Y12, … , Y1n1

Y1 ~ N ( μ1, σ2) Y2 ~ N ( μ2, σ2)

σ σ

μ1 μ2

Y21, Y22, … , Y2n2

Loi d’échantillonnage de la différence entre 2 moyennes: variances inconnues égales

échantillons indépendants

Y1 = ∑ Y1i / n1 Y2 = ∑ Yi / n2moyennes

S12 = ∑ Y1i – Y1 ) 2 / ( n1 - 1 ) S2

2 = ∑ (Y2i – Y2 ) 2 / ( n2 - 1 )variances

Sp2 = [ ( n1 -1 ) S1

2 + ( n2 – 1) S22 ] / ( n1 + n2 - 2) « pooled »

= T ~ Student avec n1 + n2 - 2 ddl


X= 1 = 2

24

Cas E : intervalle de confiance - différence de 2 moyennes μ1 - μ2variances inconnues mais égalesμ1 - μ2 : ( Y1 – Y2 ) ± t1 – α/2, n1 + n2 - 2 Sp [ 1/ n1 + 1/ n2 ]0.5

Exemple : on a modifié la séquence d’opération pour faire l’assemblage de

plusieurs composants. Les données suivantes furent obtenues pour comparer la

la méthode actuelle et la méthode nouvelle. On croit que la nouvelle méthode

n’affecte pas sensiblement la variabilité (sigma). Déterminer un intervalle de confiance

à 95 % pour la différence de temps moyen d’assemblage entre les 2 méthodes.

données : Y1 méthode actuelle : n1 = 10 Y1 = 55 s1 = 10

Y2 méthode nouvelle : n2 = 12 Y2 = 40 s2 = 7

Solution Sp2 = (9 x 102 + 11 x 72) / 20 = 8.482

t 0.975, 20 = 2.08

μ1 - μ2 : ( 55 – 40 ) ± 2.08 * 8.48 ( 1 / 10 + 1 / 12 ) 0.5 = 15 ± 3.63 = 11.37 à 18.63

question : la nouvelle méthode réduit- elle le temps moyen d’assemblage ?

Réponse = ?


25

Résultat : si les variances sont inconnues et inégales alors( Y1 – Y2 ) - ( μ1 - μ2 )

√s12 / n1 + s2

2 / n2= T ~ Student avec ν ddl

ν = min (n1-1, n2 -1)

Cas F : intervalle de confiance - différence de 2 moyennes μ1 - μ2variances inconnues et inégales - ν = min ( n1-1, n2 -1)

μ1 - μ2 : ( Y1 – Y2 ) ± t 1 – α/2, ν [ s12 / n1 + s2

2 / n2 ] 0.5

Exemple : comparaison de la force de tension de rupture

( psi x1000) de 2 types d’acier

données acier 1 : n1 = 16 Y1 = 74.6 s12 = 3.5

acier 2 : n2 = 13 Y2 = 70.2 s22 = 19.2

intervalle de confiance à 90% - ν = min ( 15, 12) = 12 t 0.95, 12 = 1.78

μ1 - μ2 : ( 74.6 – 70.2 ) ± 1.78 ( 3.5 / 16 + 19.2 / 13 ) 0.5 = 4.4 ± 2.3 = 2.1 à 6.7

intervalle de confiance à 99% - ν = min ( 15, 12) = 12 t 0.995, 12 = 3.05

μ1 – μ2 : ( 74.6 – 70.2 ) ± 3.05 ( 3.5 / 16 + 19.2 / 13 ) 0.5 = 4.4 ± 4.0 = 0.4 à 8.4 )


26

Résultat : soit Yi i = 1, 2,…, n un échantillon aléatoire d’une population N( μ, σ2 )

soit S 2 = 1 /( n – 1 ) ∑ ( Y i – Y ) 2 la variance échantillonnale

alors (n-1) S 2 / σ2 = ∑ ( Y i – Y ) 2 / σ2 suit une loi Khi-deux avec (n – 1) ddl

Résultat : E ( S2 ) = σ2 c’est - à- dire S2 est une estimation sans biais de σ2

remarque: ce résultat est la justification du diviseur n – 1 employé

dans la définition de S2

Cas G : intervalle de confiance pour σ2 / coefficient de confiance = 1 - αsoit Y i i = 1, 2,…, n un échantillon aléatoire d’une population N( μ, σ2 )Alors ( n – 1 ) s 2 ≤ σ2 ≤ (n – 1 ) s 2

χ21- α /2, n-1 χ2

α /2, n-1

remarque : cette formule fournit un intervalle de confiance pour σ en prenant les racines carrées

Exemple : un échantillon de 20 ampoules électriques a donné une durée moyenne

de 1014 et une variance échantillonnale de 625. Un intervalle de confiance pour

σ2 et σ avec un coefficient de confiance de 95% est donné par

19 * 625 / 32.85 ≤ σ2 ≤ 19 * 625 / 8.91361.49 ≤ σ2 ≤ 1332.77

19.01 ≤ σ ≤ 36.51


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-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Résultat ( S12 / σ1

2 ) / (S22 / σ2

2) suit une loi F n1-1 , n2-1

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Y11, Y12 , … , Y1n1

Y1 ~ N ( μ1, σ12) Y2 ~ N ( μ1, σ1

2)

σ1 σ2

μ1μ2

Y21, Y22 , … , Y2n2

loi d’échantillonnage du quotient de 2 variances

échantillonsindépendants

Y1 = ∑ Y1i / n1 Y2 = ∑ Y2i / n2moyennes

S12 = 1/( n1 – 1 ) ∑ (Y1i – Y1 )2 variances SY

2 = 1/( n2 – 1 ) ∑ ( Y2i – Y2 )2


xX = 1 X = 2

28

cas H : intervalle de confiance pour le quotient de 2 variances

coeff. conf. = 1 - α

(S12 / S2

2 ) Fα /2, n1 -1, n2 -1 ≤ σ12 / σ2

2 ≤ (S12/S2

2 ) F1 – α /2, n1-1 , n2 -1

remarque : ce résultat fournit l’intervalle de confiance pour le quotient des écart

types en prenant les racines carrées

Exemple : échantillon 1 : n1 = 25 S12 = 0.012

échantillon 2 : n2 = 25 S22 = 0.020

coefficient de confiance = 0.95 F 0.025 , 24 , 24 = 0.44 F 0.975 , 24 , 24 = 2.27

0.60 x 0.44 ≤ σ12 / σ2

2 ≤ 0.6 x 2.27

0.26 ≤ σ12 / σ2

2 ≤ 1.36

0.51 ≤ σ1 / σ2 ≤ 1.17

question : les variances ( ou les écart types ) sont – elles différentes??

réponse = ?



Cas I : Estimation de θ (p) : population Bernouilli



Cas I : Estimation de θ : population Bernoulli



Cas I : Estimation de θ (aussi noté p) : population Bernoulli

Exemple 10.12 et 10.13 p.247

test de n = 75 arbres d’essieu

12 surface trop rugueuse

θ = 12/75 = 0,16

Int. confiance à 95% pour fraction θ population d’essieux

θ : 0,16 ± 1,96 [ 0,16*0,84 / 75 ]0,5 = 0,16 ± 0,08

0,08 ≤ θ ≤ 0,24

n = ? pour avoir erreur 0,05 au lieu de 0,08 avec coef. conf. = 0,95

n = (1,96/0,05)2 * (0,16*0,84) = 207

si pas d’estimation préalable de θ = 0,16 comme cas précédent

n = (1,96/0,05)2 * (0,5*0,5) = 385




cas J : différence θ1 - θ2 différence 2 populations Bernoulli



Intervalle de prévision pour une variable aléatoire

Exemple intervalle prévision à 95%

n = 10 obs. 1,15 1,23 1,56 1,69 1,71 1,83 1,85 1,90 1,91

Xbar = 1,666 s = 0,273

prévision de X : 1,666 ± t 0,025, 9 (0,2732 (1 + 1/10) )0,5

1,666 ± 0,648 1,018 ≤ X ≤ 2,314

remarque: ne pas confondre avec intervalle de confiance pour la moyenne μ

1,166 ± 0,195 ce dernier est plus court


Facteur k

Intervalle de ToléranceBilatéral

HMGB p 502

MÉTHODE des intervalles de confiance Estimation : Intervalle ......remarque 1 : aucune hypothèse...

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Transcript of MÉTHODE des intervalles de confiance Estimation : Intervalle ......remarque 1 : aucune hypothèse...