LEGAME COSTITUTIVO

• Crea un legame matematico tra mondo statico (sforzi σij) e mondo cinematico (deformazioni εij);• Si tratta di un modello fenomenologico, che coglie il comportamento del materialealla macroscala; non si tratta di una semplice interpolazione di dati sperimentali, ma del loro inquadramento in un modello basato su certi postulati fisico/meccanici (v. teoria assiomatica) e dipendenti da un certo numero di parametri, il cui valore è desunto da opportune prove sperimentali;

Vi sono tre comportamenti fondamentali:• elastico, il legame σij=f(εij) è reversibile, lo sforzo quindi dipende solo dal valore corrente della deformazione; la maggior parte dei materiali presenta inizialmente un comportamento di questo tipo.

• plastico, le deformazione non sono più totalmente reversibile, ma una parte di esse è irreversibile per effetto di una avvenuta modifica della microstruttura (reticolo cristallino nei metalli); lo sforzo dipende dal valore corrente della deformazione e dalla storia seguita per raggiungerla.

• viscoso, nei primi due la deformazione consegue istantaneamente all’applicazione del carico; nei materiali viscosi sforzi e deformazioni variano nel tempo a condizioni esterne immutate; il creep è l’aumento della deformazione a sforzo costante (calcestruzzo); il rilassamento è la diminuzione di sforzo a deformazione costante.

Comportamento elastico

Comportamento elasto-plastico

Comportamento viscoso

Il legame elastico – Aspetti energetici

L’ipotesi: esistenza di un potenziale della deformazione (energia di deformazione ω). Il lavoro compiuto per deformare un solido è immagazzinato sotto forma di energia. Quando la causa è rimossa le deformazioni vengono recuperate e l’energia di deformazione viene rilasciata.

(Energia per unità di volume)

Simmetria del tensore di sforzo e deformazione (36 costanti)

Si ipotizza un legame lineare tra sforzo e deformazione (81 costanti):

ω dipende solo dal valore finale di deformazione e NON dalla storia di carico: σijdεij è un differenziale esatto (21 costanti)

In forma matriciale:

Dove:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

23

13

12

33

22

11

2323

13231313

122312131212

3323331333123333

222322131221222332222

112311131112113311221111

23

13

12

33

22

11

222

.

εεεεεε

τττσσσ

DDDsimmDDDDDDDDDDDDDDDDDD

εσ D=

materiale ORTOTROPO ⇒ simmetrico rispetto a tre piani mutuamente ortogonali (9 costanti)

materiale TRASVERSALMENTE ISOTROPO ⇒ uguale comportamento in tutte le direzioni di un piano, diverso comportamento in direzione ortogonale al piano di isotropia (e.g. legno, composito unidirezionale) (5 costanti)

• Legame elastico lineare anisotropo

materiale anisotropo = le proprietà (rigidezza, resistenza, coefficiente di espansione termica) variano al variare della direzione o dell’orientamento degli assi (assenza di piani di simmetria)

Il legame elastico lineare isotropo

In forma matriciale:

Costanti ingegneristiche:

• Legame elastico lineare isotropo

ij ijkl klDσ = ε

11 11

22 22

33 336x6

12 12

13 13

23 23

σ ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦σ ε

D

D è una matrice 6x6 simmetrica; quindi nelcaso di materiale completamente anisotropo ho 21 costanti indipendenti.• Se il comportamento del materiale è simmetrico rispetto a tre assi mutuamente ortogonali, si parla di ortotropia (9 costanti). • Se il materiale presenta anche simmetria di rotazione attorno ad uno di questi assi, si dice trasversamente isotropo (5 costanti). • Se il comportamento del materiale è simmetrico rispetto a qualunque asse, si parla allora di isotropia (2 costanti).

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 0(1 2 )E 0 0 0 0 0

2(1 )(1 2 )(1 2 )0 0 0 0 0

2(1 2 )0 0 0 0 0

2

− ν ν ν⎡ ⎤⎢ ⎥ν − ν ν⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν − ν⎢ ⎥− ν⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ ν − ν ⎢ ⎥− ν⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− ν⎢ ⎥⎣ ⎦

D

•Alcuni valori:

εσ D=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

εεεεεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−

ν−

ν−ν−

νν−ννν−

ν−ν+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττσσσ

23

13

12

33

22

11

23

13

12

33

22

11

222

2)21(

02

)21(.

002

)21(000)1(000)1(000)1(

)21)(1(

simm

E

σε C=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

23

13

12

33

22

11

23

13

12

33

22

11

0.

00

000100010001

1

222

τττσσσν

νν

εεεεεε

GE

GEsimm

GE

E

Matrice di rigidezza

Matrice di cedevolezza

• Legame elastico lineare isotropo

[ ]

[ ]

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ=τγ=τγ=τ

εν−+νε+νεν−ν+

=σ

νε+εν−+νεν−ν+

=σ

νε+νε+εν−ν−ν+

=σ

2323

1313

1212

33221133

33221122

33221111

)1()21)(1(

)1()21)(1(

)1()21)(1(

GGG

E

E

E

)1(2 ν+=

EG

[ ]

[ ]

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τ=ε

τ=ε

τ=ε

σ+νσ−νσ−=ε

νσ−σ+νσ−=ε

νσ−νσ−σ=ε

2323

1313

1212

33221133

33221122

33221111

21

21

21

1

1

1

G

G

G

E

E

E

• Legame elastico lineare isotropo

F

F

tεεεεεσσ ==== 33221111

εσ

=E

εεν t−=

5.00 23

0 <≤≤<> νEGEE

E = modulo elastico (di Young)

ν = coefficiente di contrazione traversale (di Poisson)

• Deformazioni termiche