MSAS - Statique plane - Elasticité

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Statique plane - Elasticité M SUDRE 1 Juin 2017 MSAS - Statique plane - Elasticité Michel SUDRE Notes de Cours. Exercices. http://www.mastercalcul.fr/ 1 2 3 1 2 3

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

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Juin 2017

MSAS - Statique plane - Elasticité

Michel SUDRE

Notes de Cours.

Exercices.

http://www.mastercalcul.fr/

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

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Chap1: Statique Plane.

1 Forces

1.1 représentation d’une force dans le plan π(O,x,y)

Une force F est caractérisée par:

- sa ligne d’action définie par la droite ∆

- son sens et son intensité définis par le vecteur

Il suffit donc de connaitre un point A du support ∆ et le vecteur .

1.2 moment de la force F par rapport à un point P du plan π Le moment en P de la force F, noté , est le produit vectoriel ^

Ce moment exprime la tendance que possède la force F à provoquer une rotation

autour de l’axe P (normal au plan π).

F

x

y

F

AO

F

(F)P

PA F

x

y

F

AO

P

z

x

y F

z

∆P

AO d

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Il est aisé de vérifier que ce vecteur :

- ne dépend pas du point A pris sur le support ∆- est dirigé suivant + si la rotation s’effectue dans le sens conventionel

positif (de vers ) et suivant - dans le cas contraire.

La norme de qui mesure cette tendance à provoquer une rotation est égale au

produit de l’intensité de F par la distance d entre le point P et le support de F.

Sur la figure suivante, on considère 2 points P et Q.

On remarque:

- que le moment = ^ est >0 alors que = ^ est <0.

- que l’intensité du moment est double de celle du moment .

La relation qui lie et se démontre simplement:

= + ^

1.3 représentation d’un système de forces dans le plan π(O,x,y)

Considérons dans le plan π un ensemble de n forces Fi caractérisées par un point

Ai de la ligne d’action et par le vecteur :

-on définit la somme = dont les composantes suivant les axes et

sont notées X et Y .

(F)P

z

x y z

(F)P

x

y

F

AO

P

Q

d2d

+

(F)P

PA F (F)Q

QA F

(F)P

(F)Q

(F)P

(F)Q

(F)Q

(F)P

QP F

Fi

x

y

Fi

Ai

O

P

A1

An

F1

Fn

S Fii=1

n

x

y

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4

P étant un point arbitraire,

-on définit le moment résultant = qui est la somme des

moments en P de chaque force et dont la projection suivant est notée N.

Du point de vue de la statique, les 3 composantes X, Y et N caractérisent complète-ment le système de forces Fi. On peut réduire l’ ensemble des forces Fi à X, Y et N.

Ce sont les éléments de réduction en P du système de forces Fi.

Deux systèmes ayant en P les mêmes éléments de réduction seront dits équivalents.

Considérons 2 points P et Q et cherchons à établir la relation entre et :

3 situations peuvent se présenter:

(1) si alors l’ensemble des n forces Fi se réduit à une force unique

de vecteur dont la ligne d’action ∆ est l’ensemble des points P tels que .

(2) si alors la relation indique que le moment

prend la même valeur quelque soit le point où on l’exprime. On pose .

L’ensemble des N forces Fi se réduit à un couple dont le moment est .

(3) si et , alors, la somme est nulle et quelque soit le pointoù on l’exprime, le moment est nul. L’ensemble des N forces Fi se réduit à zéro.

Remarque: Ces résultats concernent les systèmes de forces coplanaires.Pour un ensemble de forces non coplanaires, dans le cas général, le système pourraêtre réduit au minimum et de manière unique à un ensemble force unique + couplecolinéaires (voir exercice 2 )

PFii=1

n

PAi ^

z

P Q

QFii=1

n

QAi^= = Fii=1

n

(QP + PAi)^ = Fii=1

n

+QP^ Fii=1

n

PAi ^ = QP^ SP

+

Q= QP^ S

P+

S = 0

SP

= 0

S = 0Q

= QP^ 0P

+

P=

Q= C

C

S = 0 C = 0

x

y

S

A O

(1) (2) (3)

x

y

O x

y

O

C

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2 Statique plane

2.1 classification des forces Après avoir choisi le solide (ou l’ensemble de solides) à isoler, il convient de faire le

bilan de toutes les actions extérieures.

Ces actions sont:-soit des forces ou des couples connus-soit des actions de liaison qui introduisent autant d’inconnues scalaires (for-

ces ou couples) qu’il y a de mouvements interdits par la liaison.

Soit par exemple le système constitué d’une poutrelle [AB] de poids P sur laquellese déplace un chariot soulevant une charge Q. La poutrelle est supposée articulée enA, simplement appuyée en B.

Après avoir isolé l’ensemble (poutrelle + chariot) le bilan de toutes les actions extérieu-res est le suivant:

-forces connues: P et Q-actions inconnues en A: XA et YA qui correspondent aux 2 mouvements in-

terdits.-action inconnue en B: YB qui correspond au seul mouvement interdit.

2.2 principe de la statique

Quand un solide (ou un ensemble de solides) est en équilibre, le système des for-

ces extérieures qui agissent sur lui se réduit à zéro.

Cela conduit à 3 relations scalaires X=0, Y=0, N=0.

La première traduit un bilan nul des forces suivant x,la deuxième traduit un bilan nul des forces suivant y,la troisième traduit un bilan nul des moments suivant z de toutes les actions (quelquesoit le point choisi pour calculer ce moment).

A B

Q P

A B

Q PXA

YBYA

et S C0 0==

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6

Chap2: Elasticité.

1 Contraintes

1.1 vecteur contrainte

Considérons à l’intérieur d’un solide, en un point P, un petit cube de dimensions infi-

nitésimales dont les faces sont perpendiculaires aux axes du repère ( , , ).

La matière extérieure exerce, sur le petit cube isolé, des efforts élémentaires qui sont

différents sur chacune des 6 faces. Ils sont notés ( représentant la normale à la

face). Par exemple sur la face de normale de surface dSx s’exerce .

Par définition, le vecteur contrainte agissant sur la face de normale est:

.

La contrainte s’exprime donc en N/m2. On utilise plus généralement le MPa (N/mm2).

Pour un point P donné, il existe donc un vecteur contrainte différent pour chaque faceconsidérée.

Exprimons dans la base ( , , ) le vecteur contrainte agissant sur la face de nor-

male .

Sa composante suivant est la projection suivant la normale à la face.

On l’appelle contrainte normale et on la note σx .

Une contrainte σx>0 correspond à une sollicitation de tension.

Une contrainte σx<0 correspond à une sollicitation de compression.

Les composantes suivant et sont appelées contraintes tangentielles et sont

notées τxy et τxz. Le signe des composantes τxy et τxz ne permet aucune interpréta-

tion physique.

De façon identique, et sont définis sur les faces de normales et .

x y z

P

x y

z

dfx

dSx xy

z

σx

CP,x

xy

z

τxy

τxz

dfn n

x dfx

x

dfxdSx

CP,x

=

x y z CP,x

x

x

y z

CP,y

CP,z

y z

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

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On remarque que les 3 contraintes normales sont affectées d’un seul indice qui faitréférence à la facette.

Les contraintes tangentielles sont affectées de 2 indices: le premier qui fait référenceà la facette, le second qui fait référence à la composante.

1.2 matrice des contraintes

Si on ’range’ dans une matrice les 3 vecteurs contraintes , , agissant sur

les 3 faces de normales , , , on obtient [σ]P: matrice des contraintes en P.

Les équations traduisant l’équilibre des moments agissant sur le petit cube élémen-

taire conduisent à montrer que: τyz=τzy , τzx=τxz , τxy=τyx.

La matrice [σ]P est donc symétrique.

On en conclut qu’elle ne contient que 6 termes indépendants. On peut montrer queces 6 informations suffisent à caractériser l’état de contraintes en P.

Ainsi, si on veut calculer le vecteur contrainte agissant en P sur une facette de

normale quelconque, il suffit de multiplier la matrice [σ]P par le vecteur unitaire

exprimé dans la base ( , , ):

La contrainte normale agissant sur cette facette de normale sera ensuite obte-

nue en projetant sur :

La contrainte de cisaillement agissant sur cette facette de normale dans la

direction est calculée en projetant sur :

1.3 condition aux limites

CP,x

CP,y

CP,z

x+ y+ z+

[σ]P=

σx

τxy

τxz

τzx

τzy

σz

τyx

σy

τyz

CP,u

u u

x y z CP,u

[σ]P u= x

u

CP,u

u ( )σu [σ]P u= x .u

τuv u

uv CP,u

v ( )τuv [σ]P u= x .v

x

z

y

P

Considérons à la frontière du solide:

-un point P où s’exerce un effort par unité de surface

-une facette tangente en P à la frontière et de normale .

en P, on peut poser = .

f

z

CP,z

f

f

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1.4 état plan de contraintes

Si aucune sollicitation extérieure ne s’exerce en P, on peut poser = .

La matrice des contraintes [σ]P prend alors la forme particulière suivante:

Il s’agit d’un état plan de contraintes.

Cette situation se rencontre lors du dépouillement de jauges d’extensométrie, les jau-ges étant collées à la surface libre d’un solide.

Dans le plan ( , ), calculons , et :

Cherchons les valeurs de α telles que τuv=0. Ce sont les directions des fibres qui ne

subissent pas de cisaillement. En utilisant l’arc double, on obtient:

On obtient 2 directions perpendiculaires.

x

z

y

P

Considérons à la frontière du solide:

-un point P où ne s’exerce aucune sollicitation

-une facette tangente en P à la frontière et de normale .z

CP,z

0

[σ]P=

σx

τxy

0

0

0

0

τyx

σy

0

x y CP,u

( )σu [σ]P u= x .u ( )τuv [σ]P u= x .v

CP,u

=

σx

τxy

0

0

0

0

τyx

σy

0

x

cos(α)

sin(α)

0

σu

τuv

= σx.cos2(α)+σy.sin2(α)+2τyx.sin(α)cos(α)

=(σy-σx).sin(α)cos(α)+τyx.(cos2(α)-sin2(α))

x

u

v

P

τuv=σy-σx

2.sin(2α) +τyx.cos(2α)

τuv = 0 tan(2α)= σx-σy

2τyx

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Cherchons les valeurs de α telles que σu est mini ou maxi. Pour cela, dérivons par

rapport à α et posons que cette dérivée est nulle.

On trouve à nouveau .

Les 2 directions correspondantes sont appelées directions principales de contrainte. Les contraintes normales agissant dans ces directions sont appelées contraintes prin-cipales. Ce sont les contraintes "minor" et "major".

1.5 contraintes principales

Revenons au cas général. Il existe en tout point P une base ( , , ) dans laquelle la

matrice [σ]P s’écrit sous forme diagonale:

Les 3 directions perpendiculaires définies par , et correspondent en P aux

facettes qui subissent une contrainte normale pure (pas de composante tangentielle).

Les contraintes normales σ1 ,σ2 ,σ3 agissant sur ces facettes sont les 3 contraintesprincipales.

1.6 cercle de Mohr:

Plaçons nous dans la base principale définie précédemment.

Considérons une fibre de direction située dans le plan formé par et .

On désigne par α l’angle que fait cette fibre de direction avec . σ est la contrainte

normale agissant sur cette fibre. On pose la convention suivante:

La contrainte tangentielle τ agissant sur cette fibre de direction doit être mesu-

rée suivant la direction qui se déduit de par une rotation de autour de .

On obtient ainsi pour chaque valeur de α un couple de valeurs (σ,τ) et il est aisé de

tan(2α)= σx-σy

2τyx

u1 u2 u3

[σ]P=

σ1 00

0 0σ2

0 σ30

u1 u2 u3

n u1 u2

αn

P u1

u2

t

n u1

n

t n-π2 u3

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montrer que:

Plaçons nous dans le plan (σ,τ). Les relations précédentes représentent l’équation

paramétrée d’un cercle de centre et de rayon R= .

C’est le cercle de Mohr des contraintes. Comme on le voit sur la figure, ce cercle

est centré sur l’axe des σ. Chaque point sur ce cercle correspond à une facette de

normale .

Les 2 points représentatifs des directions principales sont diamétralement opposés.

Ils correspondent dans la réalité à des fibres distantes de Θ= alors qu’ils sont dis-

tants de π sur le cercle. Les angles sont doublés quand ils sont mesurés sur le cercle.

Soit un état plan de contraintes défini par le tenseur dans les axes ( , ):

Cherchons à tracer le cercle de Mohr.

-le point représentatif de la direction x a pour coordonnées:

-le point représentatif de la direction y a pour coordonnées:

σ=

τ=

σ1 + σ2

2

σ1 - σ2

2+ .cos(2α)

σ1 - σ2

2.sin(2α)

σ1 + σ2

2, 0 )(

σ1 - σ2

2

σ

τ

σ2 σ1

résulta

nte

σ1+σ2

2

σ 1-σ

2 2 2α

σ

τ

n

π2

[σ]P x y

σx

τxy

0

0

0

0

τyx

σy

0

σx −τxy

+τyxσy

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11

En suivant le même raisonnement dans les plans ( , ) et ( , ), on obtient 2

autres cercles. La figure est nommée tricercle de Mohr des contraintes.

On montre que pour une fibre quelconque, le point (σ,τ) est situé dans la zone

colorée limitée par les 3 demi-cercles.

Si la fibre considérée est perpendiculaire à une direction principale alors le point

(σ,τ) correspondant est sur l’un des 3 demi-cercles.

Si la fibre considérée correspond à l’une des directions principales, le point est à

l’intersection de 2 demi-cercles ce qui correspond aux valeurs principales σ1 ,σ2 ou

σ3.

σ

τ

σ2 σ1

σx

−τxy

+τyx

σy

x

yUne fois que ces 2 points ontété rapportés dans le plan, ilsuffit de les joindre par unsegment pour obtenir le cen-tre C du cercle.

Il reste à tracer le cercle puis

à lire les valeurs σ1 et σ2.

Les directions des fibres prin-cipales sont données par les

angles ( α entre et ).x u1

C

u2 u3 u3 u1

σ

τ

σ3 σ2 σ1

résu

ltant

e

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2 Déformations

2.1 matrice de déformationOn s’intéresse à la déformation de la matière en P (x,y,z).

On montre que si Q est infiniment voisin de P ( ) alors il existe la relation sui-

vante entre les déplacements de ces 2 points: .

Le premier terme (1) correspond à un déplacement d’ensemble (changement deplace). On reconnait une relation de type ’torseur des petits déplacements’.

Le second terme (2) correspond à une déformation (changement de forme) de lamatière au voisinage de P.

La matrice [ε]P est la matrice des déformations en P.

Cette matrice est symétrique.

Les termes de [ε]P s’expriment en fonction du déplacement par les relations:

Cherchons à interpréter physiquement les termes de [ε]P .

Sur la diagonale, εx, εy et εz sont les dilatations relatives.

Pour comprendre ce que représente εx, il faut tracer sur la pièce non déformée un

PQ =

dxdydz

u(Q) = u(P) + Ω ^ PQ + [ε]P xPQ

(1) (2)

[ε]P=

εx

εxy

εxz

εzx

εzy

εz

εyx

εy

εyz

u(P)=

uvw

uy

vx

εxy=εyx=12

( )+

εzx=εxz=uz

wx

12

( )+

vz

wy

εyz=εzy=12

( )+εx=

εz=

εy=

ux

vy

wz

oαπ/2

x

y

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

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petit segment de longueur dans la direction de x.

A l’application des efforts, le petit segment subit un changement de place et un chan-

gement de longueur ( ).

On ne s’intéresse pas au changement de place mais seulement au changement de

longueur (déformation). Le terme εx correspond au rapport: . εy et εz répon-

dent à la même définition pour des segments initialement dirigés suivant y et z.

Pour calculer la dilatation relative dans une direction quelconque, il faut multi-

plier la matrice [ε]P par l’unitaire puis projeter le résultat sur :

Hors de la diagonale, εyz, εzx et εxy sont des distorsions.

Pour comprendre ce que représente εxy, il faut tracer sur la pièce non déformée une

petite croix dont les axes sont dans les directions de x et de y.

A l’application des efforts, la petite croix subit un changement de place et une distor-

sion. L’angle initialement égal à π/2 vaut α.

On ne s’intéresse qu’à la distorsion angulaire. Le terme εxy représente la demi varia-

tion de l’angle droit.

.

2.2 déformations principales

La matrice [ε]P étant symétrique, il existe une base ( , , ) dans laquelle elle

s’écrit sous forme diagonale.

Les 3 directions perpendiculaires définies par , , sont en P les 3 directions de dis-torsion nulle.

2.3 variation relative de volume

Considérons un petit cube de côté ∆ dont les arêtes sont parallèles aux directions

principales définies par , , . Après déformation, ses dimensions deviennent:

o

o

o-

o

u

u u ( )εu [ε]P u= x .u

εx

εxy

εxz

εzx

εzy

εz

εyx

εy

εyz

x

ux

uy

uz

=

εxux + εyxuy + εzxuz

εxyux + εyuy + εzyuz

εxzux + εyzuy + εzuz

=

Dx

Dy

Dz

εu = Dxux + Dyuy + Dzuz

2εxy = π/2 - α

u1 u2 u3

u1 u2 u3

u1 u2 u3

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(1+ε1)∆ suivant , (1+ε2)∆ suivant et (1+ε3)∆ suivant .

La variation de volume vaut donc: (1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)∆3 - ∆3 (ε1+ε2+ε3)∆3

Donc la variation relative de volume = ε1+ε2+ε3. C’est la trace du tenseur de

déformation. Elle est indépendante du repère.

2.4 partie sphérique, partie déviatrice

Considérons le tenseur [ε]P exprimé dans la base principale: ( , , ).

[ε]P peut être décomposé en une partie sphérique (variation de volume sans

changement de forme) et une partie déviatrice (changement de forme sans

variation de volume).

Remarquons que la trace de [εs]=ε1+ε2+ε3 et que la trace de [εd]=0.

3 Lois de comportement

Pour un matériau linéaire isotrope, il existe des relations (appelées Lois de comporte-ment) entre déformations et contraintes faisant intervenir 3 coefficients caractéristi-ques du matériau:

le module de Young E [MPa],

le coefficient de Poisson ν [sans dimension],

le coefficient de dilatation thermique α [°C-1].

Quand la force F croît à partir de 0, les fibres parallèles à F subissent un allongement

relatif proportionnel à σx= . On pose σx= .εx

Dans les directions perpendiculaires, on remarque que: εy = εz = - .εx

u1 u2 u3

δVV

u1 u2 u3

[εs]

[εd]

ε1+ε2+ε3

3

100

010

001

2ε1-ε2-ε3

00

02ε2-ε3-ε1

0

00

2ε3-ε1-ε23

1[εs]= [εd]=et

Le module de Young E [MPa] et lecoefficient de Poisson ν sont obtenuspar un essai de traction uniaxial.

FS

L

F

x

εx =-L Lo

Lo

FS

E

ν

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

15

Valeurs usuelles:

Les 4 causes provoquant une dilatation εx pour une fibre de direction x sont:

(1) la présence d’une contrainte σx dans cette direction . C’est la loi de Hooke.

(2) la présence d’une contrainte σy par effet Poisson.

(3) la présence d’une contrainte σz par effet Poisson.

(4) une variation de température ∆T.

On écrit par superposition:

On obtient de manière analogue:

Pour les relations entre cisaillement et distorsion angulaire:

Remarque: un état plan de contraintes n’implique pas un état plan de déforma-tions.

σx

εx

Re

limite élastiqueissue de l’essai de traction

...........

Edomaine élastique

0

E [GPa] ν [sans dimension] α [°C-1]Matériau

Acier 210 0.3 15 10-6

Alliage d’alu 70 0.3 25 10-6

(2)

εxσxE

νσyE

= +- νσzE

- α ∆T

(1) (3) (4)

εyσyE

νσzE

= +- νσxE

- α ∆T

εzσzE

νσxE

= +- νσyE

- α ∆T

2εyzτyzG

=

2εzxτzxG

=

2εxyτxyG

=

avec G E

2(1+ν)= module de cisaillement

σx

τxy

0

0

0

0

τyx

σy

0

εx

εxy

0

0

0

εz

εyx

εy

0

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16

4 Energie élastique

Considérons un petit cube de dimensions infinitésimales ( ). dSx représente l’aire des

faces de normale . La face arrière est supposée bloquée. La face avant est libre et

sous l’effet d’un effort dfx appliqué suivant , elle se déplace de "du"( ).

L’effort ayant été appliqué progressivement, le travail effectué pour passer de à

est: . Ce travail s’est transformé sous forme d’énergie élastique accumulée

dans le petit cube :

Ce résultat reste valable si la face arrière est libre.

En considérant de même les faces de normales et , on montre que l’énergie totale

associée aux contraintes normales est

Ce résultat montre que dans le repère principal ( , , ), l’énergie élastique par unitéde volume s’écrit:

En repère non principal, il faut ajouter la contribution du cisaillement:

5 Contrainte équivalente de Von Misès

Considérons la partie sphérique (variation de volume sans changement de forme)et une partie déviatrice (changement de forme sans variation de volume):

0

x

x 1

x

dSx

x

dfx

dx dx+du

force

déplacement

dfx

du

1

00 1

0 1

12

.dfx.du

dW= 12

.dfx.du =12

. σxdSx . εxdx =12

. σxεx . dv

y z

dW= 12

. (σxεx+ σyεy+ σzεz). dv

u1 u2 u3

dW

dv12

. (σ1ε1+ σ2ε2+ σ3ε3)=

dW

dv= 1

2. (τyz.2εyz + τzx.2εzx + τxy.2εxy)

[εs][εd]

ε1+ε2+ε3

3

100

010

001

2ε1-ε2-ε3

00

02ε2-ε3-ε1

0

00

2ε3-ε1-ε23

1[εs]= [εd]=et

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

17

L’énergie de déformation par unité de volume calculée sur la partie sphérique prenddonc la forme suivante:

Or l’énergie de déformation complète par unité de volume s’écrit:

Donc il est possible d’obtenir par différence l’énergie calculée sur la partie déviatrice:

Le critère de Von Misès est un critère énergétique.Il consiste à borner l’énergie de déformation calculée sur la partie déviatrice. En effet,on montre que l’écoulement plastique se produit quand cette énergie de déformationcalculée sur la partie déviatrice atteint une valeur seuil.

Pour calculer ce seuil, prenons comme référence un essai de traction uniaxiale d’axe :

Dans ce cas, l’énergie de déformation par unité de volume calculée sur la partiedéviatrice est:

Si on désigne par Re la limite élastique issue de cet essai de traction, on vérifie que le seuil de plastification est atteint quand: .

En identifiant (1) et (2) (traduisant ainsi l’égalité des seuils critiques), on obtient:

ou encore:

La limite élastique est atteinte localement quand

Les programmes de calcul permettent d’afficher les cartes des champs de contraintessous forme d’isovaleurs colorées. Les cartes donnant la variation des composantes decontrainte (σx ,σy ...) ne donnent qu’une image partielle et ne permettent aucuneinterprétation sur les risques de dépassement de Re.

dWdv s

= 12

1-2ν3E

2. .σ1+σ2+σ3 . ε1+ε2+ε3

3= σ1+σ2+σ3

12

.

dWdv

=12

σ12+σ2

2+σ32 - 2ν.(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1). .1

E

= σ12+σ2

2+σ32 -σ1σ2 -σ2σ3 -σ3σ1.dW

dv d(1)1

2. .2(1+ν)

3E

u1

σ1=σeq et σ2 = σ3 = 0.

=12

σeq2. .dW

dv d

2(1+ν)

3E(2)

σeq = Re

σ12+σ2

2+σ32 -σ1σ2 -σ2σ3 -σ3σ1σeq

2=

(σ1-σ2)2 + (σ2-σ3)

2 + (σ3-σ1)22σeq

2=

σeq = Re

Page 18: MSAS - Statique plane - Elasticité

Statique plane - Elasticité M SUDRE

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De plus elles dépendent du repère dans lequel ces composantes sont exprimées.

La contrainte équivalente de Von Misès est une combinaison de ces composantes et nedépend pas du repère.

Seule la carte de la contrainte équivalente de Von Misès permet de conclure sur la zonesoumise au risque de plastification.

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

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Exercices.

Exercice 1: Dans chacun des 4 cas suivants, dessiner la force S équivalente au sys-tème de forces données.

Exercice 2: Dans le cas suivant, montrer que les 2 forces (A, ) et (B, ) sont équi-valentes à l’ensemble force + couple colinéaires.Exprimer et .

système 1: système 2:

système 3: système 4:

F1

F2

F1

F3

F2

effort distribué

F1

F2

F3

échelle:1cm

3N

/cm

1N/cm

F1 F2S C

S C

x

y

z

O

A

B

x

y

z

O

A

B

F1

F2

S

C45°

cube de côté "a"

F1 =

F2 =

0F0

0-FF

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

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Exercice 3: Voici les symboles utilisés pour représenter les liaisons:

Préciser les mouvements autorisés et entourer les composantes d’effort transmises parla liaison.

Exercice 4: Pour maintenir un câble tendu (tension = 400 N) on utilise un chevaletconstitué de 2 montants [OB] et [AC] articulés entre-eux en A.

Les poids étant négligés, déterminer toutes les actions de liaison.Traiter le problème graphiquement puis analytiquement.

Exercice 5:On considère une plaque carrée sollicitée comme indiqué sur le shéma ci-dessous:

Exprimer le tenseur des contraintes [σ] dans la base (x,y).Tracer le cercle de Mohr des contraintes.Que vaut la contrainte «minor», «major»? Quelle est la valeur du cisaillement maxi?Représenter les directions des fibres concernées.

AA

AA

x

y

A

XA

YA

MA

XA

YA

MA

XA

YA

MA

XA

YA

MA

XA

YA

MAz

encastrement appui simple articulation glissière2

1

x

y

O

B Fcâble

A

C

50

10

45° 45° O

B

A

C

50

x

y

O σ=50 MPa

τ=20 Mpa

σ=20 MPa

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Statique plane - Elasticité M SUDRE

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Exercice 6:Une rosette est composée de 3 jauges d’extensométrie. Couplée à une chaîne de me-sure contenant notamment un pont de Wheastone, chacune de ces jauges permetd’obtenir la déformation linéique dans sa direction propre.

A partir de ces 3 informations, il est possible de caractériser complètement l’état dedéformation et l’état de contrainte locaux.

Soit en P la rosette à 45° ci-dessous:

Caractériser l’état de contraintes au point P.Tracer les directions principales.Calculer la contrainte équivalente de Tresca.

Exercice 7:On considère une plaque rectangulaire (40mm*200mm) en alu (E=70 000 MPa etnu=.3), d’épaisseur 2mm sollicitée en tension suivant x comme indiqué sur le shémaci-dessous:

Tracer le cercle de Mohr des contraintes et des déformations.Que mesure la rosette dans les directions 1, 2 et 3?Montrer qu’il existe 2 directions de fibres dont la dilatation linéaire ε est nulle.Tracer ces 2 fibres sur la plaque.

x

y

ε1 = 600. 10-6

ε2 = -100. 10-6

ε3 = -200. 10-6

résultat des mesures:

caractéristiques matériau:

E = 70 GPa

ν = .3P

F= 1000N F

1

23

x

y