MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest...

23
MP * -2018 Exercices d’oral Suites et fonctions Exercice 1. ENS Paris (Mlle Fournis, Dijon) Soit f : [0, 1] R ayant un nombre fini de zéros et ε> 0. Existe-t-il une fonction polynomiale p : [0, 1] R ayant les mêmes zéros que f et telle que kf - pk 6 ε ? Exercice 2. ENS (Sorci, Dijon) Déterminer les polynômes P R[X] tels que P([0, 1]) [0, 1] et pour toute fonction ϕ : [0, 1] R continue, on a R 1 0 ϕ = R 1 0 ϕ P. Exercice 3. ENS (Sorci, Dijon) Déterminer les polynômes P R[X] tels que P(cos x) = cos(P(x)) pour tout x R. Exercice 4. Navale (Mlle Beaufils, Dijon) Soit f n (x) = cos n (x) sin(x) et g n (x)= nf n (x). Étudier la convergence des f n puis des g n sur [0, π/2]. Exercice 5. Mines (Marc, Dijon) Soit (x n ) une suite réelle et α, β R tels que 0 <α<β. On pose y n = αx n + βx n+1 et on suppose que la suite (y n ) est convergente. Montrer que la suite (x n ) est elle aussi convergente. Espaces vectoriels normés Exercice 6. ENS Paris (Mlle Fournis, Dijon) On fixe une norme kk sur R n . Deux endomorphismes u, v de R n sont dits équivalents s’il existe ϕ ∈L(R n ) tel que : x R n , kϕ(x)k = kxk et x R n ,u(x)= ϕ v(x). On suppose : x R n , ku(x)k = kv(x)k. u et v sont-ils équivalents ? Exercice 7. CCP (Mlle Beaufils, Dijon) Pour x, y R, on pose N(x, y) = max(|x|, |y|, |x - y|). 1) Montrer que N est une norme. 2) Dessiner la boule unité. 3) Trouver une norme telle que la boule unité soit un parallélogramme. 4) Soient B 1 ,B 2 deux boules unités associées aux normes N 1 ,N 2 . Montrer que (B 1 = B 2 ) (N 1 = N 2 ). Exercice 8. Centrale (Rochel, Dijon) Soit I un intervalle et μ une forme linéaire sur l’ensemble des fonctions continues sur I. On suppose μ positive (c’est-à dire μ(f) > 0 pour toute fonction f positive). 1) Prouver que μ(|f|) > |μ(f)| et montrer que μ est continue pour kk . 2) Prouver que pour toutes fonctions f, g, on a μ(fg) 2 6 μ(f 2 )μ(g 2 ). 3) Prouver que si h est strictement positive, alors μ(h) > 0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d N * et (P k ) une suite de polynômes de R d [X] convergeant simplement vers une fonction f sur un segment [a, b]. Montrer que f est polynomiale et que la convergence est uniforme. oral-2018.tex – lundi 27 août 2018

Transcript of MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest...

Page 1: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

MP∗-2018 Exercices d’oral

Suites et fonctions

Exercice 1. ENS Paris (Mlle Fournis, Dijon)Soit f : [0, 1] → R ayant un nombre fini de zéros et ε > 0. Existe-t-il une fonction polynomialep : [0, 1] → R ayant les mêmes zéros que f et telle que ‖f− p‖∞ 6 ε ?

Exercice 2. ENS (Sorci, Dijon)Déterminer les polynômes P ∈ R[X] tels que P([0, 1]) ⊂ [0, 1] et pour toute fonction ϕ : [0, 1] → Rcontinue, on a

∫ 10 ϕ =

∫ 10 ϕ ◦ P.

Exercice 3. ENS (Sorci, Dijon)Déterminer les polynômes P ∈ R[X] tels que P(cos x) = cos(P(x)) pour tout x ∈ R.

Exercice 4. Navale (Mlle Beaufils, Dijon)Soit fn(x) = cosn(x) sin(x) et gn(x) = nfn(x). Étudier la convergence des fn puis des gn sur [0, π/2].

Exercice 5. Mines (Marc, Dijon)Soit (xn) une suite réelle et α,β ∈ R tels que 0 < α < β. On pose yn = αxn +βxn+1 et on suppose quela suite (yn) est convergente. Montrer que la suite (xn) est elle aussi convergente.

Espaces vectoriels normés

Exercice 6. ENS Paris (Mlle Fournis, Dijon)On fixe une norme ‖ ‖ sur Rn. Deux endomorphismes u, v de Rn sont dits équivalents s’il existeϕ ∈ L(Rn) tel que :

∀x ∈ Rn, ‖ϕ(x)‖ = ‖x‖ et ∀x ∈ Rn, u(x) = ϕ ◦ v(x).

On suppose : ∀x ∈ Rn, ‖u(x)‖ = ‖v(x)‖. u et v sont-ils équivalents ?

Exercice 7. CCP (Mlle Beaufils, Dijon)Pour x, y ∈ R, on pose N(x, y) = max(|x|, |y|, |x− y|).1) Montrer que N est une norme.2) Dessiner la boule unité.3) Trouver une norme telle que la boule unité soit un parallélogramme.4) Soient B1, B2 deux boules unités associées aux normesN1,N2. Montrer que (B1 = B2) ⇒ (N1 = N2).

Exercice 8. Centrale (Rochel, Dijon)Soit I un intervalle et µ une forme linéaire sur l’ensemble des fonctions continues sur I. On suppose µpositive (c’est-à dire µ(f) > 0 pour toute fonction f positive).1) Prouver que µ(|f|) > |µ(f)| et montrer que µ est continue pour ‖ ‖∞.2) Prouver que pour toutes fonctions f, g, on a µ(fg)2 6 µ(f2)µ(g2).3) Prouver que si h est strictement positive, alors µ(h) > 0.

Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon)Soient d ∈ N∗ et (Pk) une suite de polynômes de Rd[X] convergeant simplement vers une fonction f surun segment [a, b]. Montrer que f est polynomiale et que la convergence est uniforme.

oral-2018.tex – lundi 27 août 2018

Page 2: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Calcul différentiel

Exercice 10. CCP (Guérin, Dijon)

Soit la fonction f définie par f(x, y) = x2yx2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

1) Montrer que f est continue sur R2.2) Établir l’existence de dérivées partielles pour f sur R2 et les calculer.3) Déterminer la dérivabilité de f en (0, 0) suivant le vecteur (1, 1).4) Montrer de deux manières différentes que f n’est pas C1 sur R2.

Exercice 11. ENS Lyon (Mlle Fournis, Dijon)Soit f : R,R de classe C∞ et g(x) = f(|x|)/|x| pour x 6= 0. Peut-on prolonger g en une fonction declasse C∞ ?

Séries

Exercice 12. Mines (Sorci, Dijon)Soit (xn) définie par x0 > 0 et xn+1 = xn + 1/xn. Donner un équivalent de xn.

Exercice 13. Mines (Velut, Dijon)Soient α,β ∈ R. Donner la nature de la série de terme général nα

∑nk=1 k

β.

Exercice 14. St Cyr (Mlle Beaufils, Dijon)Soit Hn =

∑nk=1 1/k et S(x) =

∑∞n=1Hnx

n.1) Montrer 1 6 Hn 6 n.2) En déduire le rayon R de S(x).3) Calculer (1 − x)S(x) pour −R < x < R.4) En déduire l’expression de S(x).

Exercice 15. Mines (Goepfert, Dijon)Soit S(x) =

∑∞n=0(−1)n/(x+ n).

1) Montrer que S est C1 sur R+∗.2) Donner un développement asymptotique à deux termes de S(x) en 0.

Intégration

Exercice 16. Centrale (Velut, Dijon)1) Que peut-on dire de la limite en +∞ d’une fonction f : R+ → R intégrable ?2) Soit f : R+ → R décroissante et intégrable. Montrer que f(x) = o(1/x) quand x→ +∞.3) Soit f : [1,+∞[→ [1,+∞[ continue croissante. Montrer que si x 7→ 1

x ln(f(x))est intégrable alors

x 7→ 1f(x)

l’est aussi.

Exercice 17. CCP (Velut, Dijon)

Existence et calcul de I =∫ 1x=0

1 − 3x2√x(1 − x2)

arcsin(x− 1x+ 1

)dx.

Exercice 18. Mines (Mlle Caminade, Dijon)

Montrer l’existence et calculer la valeur de I =∫ +∞x=0

sin3(x)x2 dx.

Exercice 19. CCP (Chambard, Dijon)1) Justifier l’intégrabilité de ex/

√x2 − 4 sur ]2,+∞[.

2) Justifier l’intégrabilité de ln(x)/√

1 + x2a sur ]0,+∞[ (a > 0).

oral-2018.tex – page 2

Page 3: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 20. Centrale (Marc, Dijon)

On pose pour n entier : In =∫ π/2x=0

sin((2n+ 1)x)sin x

dx et Jn =∫ π/2x=0

(1x− 1

sin x)sin((2n+ 1)x) dx.

1) Montrer que In et Jn sont bien définies.2) Calculer les 20 premiers termes des suites (In) et (Jn) et conjecturer leurs limites.3) Calculer In − In−1 et confirmer la conjecture sur lim(In).4) Montrer que ϕ : x 7→ 1

x− 1

sin xest prolongeable en une fonction de classe C1 sur [0, π/2].

5) Conclure quant à la conjecture sur lim(Jn).

6) Établir la convergence et calculer la valeur de∫ +∞x=0

sin(x)x

dx.

Exercice 21. CCP (Marc, Dijon)On pose fn(t) = 1

1 + t2 + tne−t.

1) Montrer que fn est intégrable sur R+.2) Calculer limn→∞(

∫[0,+∞[ fn).

Exercice 22. Mines (Delmaire, Dijon, exercice déjà posé en 2017)Soit x ∈ R. Montrer l’existence et calculer la valeur de

∫ 2π0 ln(x2 − 2x cos(t) + 1) dt.

Exercice 23. Centrale (Goepfert, Dijon)1) Rappelez le théorème de Heine.2) Soit f : [0,+∞[→ R intégrable, décroissante sur [a,+∞[ avec a > 0.

Montrer que limt→0+(t∑∞n=0 f(nt)) =

∫ +∞0 f.

Équations différentielles

Exercice 24. Mines (Guérin, Dijon)

Soit f(x) =∑∞n=0 anx

2n+1 avec an = 4n(n!)2

(2n+ 1)!.

1) Montrer que f est de classe C∞ sur ] − 1, 1[.2) A l’aide d’une relation entre an+1 et an, montrer que f vérifie l’équation différentielle :f′(x) = xf(x) + 1 + x2f′(x).

3) En déduire l’expression de f.

Exercice 25. Centrale (Lhenry Corentin, Dijon)Soit (E) ⇔ 4ty′′ + 2x′ − x = 0.1) Que permet d’affirmer Cauchy-linéaire sur les solutions ?2) Avec Python (en utilisant le module linalg), tracer la courbe de la solution ϕ associée à t0 = 1,y0 = e, y′0 = e/2. Faire tracer aussi la courbe de ln(ϕ).

3) Résoudre (E) sur ]0,+∞[ puis sur ] −∞, 0[.4) Trouver les solutions sur R.

Exercice 26. Centrale (Lhenry Félix, Dijon)On considère l’équation différentielle (E) ⇔ xy′′ + y′ + xy = 0.1) Montrer que F = x 7→

∫ πθ=0 cos(x sin θ) dθ est solution.

2) Montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière.

Exercice 27. CCP (Noblet, Dijon)Soit ϕ(x) = cos(x3/2) si x > 0 et ϕ(x) = ch((−x)3/2) si x < 0. Déterminer les solutions développables ensérie entière de l’équation 2xy′ +y = 3xϕ(x). Faire tracer approximativement les courbes des solutions.

oral-2018.tex – page 3

Page 4: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Algèbre générale

Exercice 28. ENS Paris (Mlle Fournis, Dijon)Soient G un groupe fini et H un sous-groupe strict de G tel que : ∀g ∈ G \H, gHg−1 ∩H = {e}.1) Donner le cardinal de K = (G \

⋃g∈G gHg

−1) ∪ {e}.2) On suppose que H possède un élément involutif : i ∈ H tel que i 6= e et i2 = e. Montrer que pour

tout g ∈ G \H, on a igig−1 ∈ K \ {e}. On remarquera que j = gig−1 est lui aussi involutif.

Exercice 29. Mines (Balland, Dijon)Soit P = X3 − X+ 1.1) Montrer que P a trois racines complexes distinctes. On les notera a, b, c.2) Calculer a2 + b2 + c2 et a7 + b7 + c7.

Exercice 30. ENS Lyon (Mlle Fournis, Dijon)1) Montrer qu’il existe un unique polynôme Pn à coefficients entiers vérifiant :

∀ x ∈ R∗, Pn(x+ 1/x) = xn + 1/xn.

2) Justifier que Pn est unitaire si n > 1.3) Décomposer en éléments simples 1/Pn.

Exercice 31. Centrale (Merle, Dijon)Soit Qp = (2p+ 2)X2p+1 − (2p)X2p−1 − (2p− 1)X2p−2 . . .− 2X− 1.1) Avec Python :

a) Écrire une fonction calculant Qp.b) Calculer les racines complexes de Qp pour p = 3, 4, 5, 10.c) Le faire pour p < 30 et les afficher sur un dessin comportant aussi le cercle unité de C. Conjecturer.d) Faire calculer le maximum des modules des racines.

2) Soit Rp = X2p+1Qp(1/X). Montrer que Rp possède une unique racine réelle positive ; en déduire lamême propriété pour Qp. On notera αp la racine positive de Qp.

3) Vérifier que Qp = (2p+ 2)X2p+1 − 1 − X2p+1

(1 − X)2+ (2p+ 1)X2p

1 − X .

En déduire qu’à partir d’un certain rang, 32 < αp < 2.

Exercice 32. Mines (Sorci, Dijon)

Résoudre dans C :

{x+ y+ z = 1|x| = |y| = |z| = 1xyz = 1

Exercice 33. Mines (Mlle Beaufils, Dijon)Pour quelles valeurs de n l’application z 7→ z2 est-elle une bijection de Un sur lui-même ?

Exercice 34. Centrale (Marc, Dijon)Soient α,β les racines de X2 − X− 1 et A = {x+ yα tq x, y ∈ Z}.1) Montrer que A est un anneau et que σ : x+ yα 7→ x+ yβ est un automorphisme.2) Montrer que z ∈ A∗ ⇔ N(z) = |zσ(z)| = 1.

Exercice 35. CCP (Delmaire, Dijon)Déterminer tous les ponynômes P ∈ C[X] \ {0} tels que P(X2) = P(X)P(X − 1). On pourra étudier lesracines d’un tel polynôme.

Exercice 36. Mines (Lhenry Félix, Dijon)Trouver tous les morphismes de (Sn, ◦) dans (C∗,×).

oral-2018.tex – page 4

Page 5: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Arithmétique

Exercice 37. ENS Lyon (Mlle Fournis, Dijon)Soit an = card{d ∈ [

√n/2,

√2n [ ∩ N tq d|n}.

1) La suite (an) converge-t-elle ?2) La suite (an) est-elle bornée ?

Exercice 38. ENS Lyon (Mlle Fournis, Dijon)Soient a, b, c, d entiers tels que pour tout n ∈ n, an + c et bn + d sont premiers entre eux. Quepouvez-vous dire de a, b, c, d ?

Exercice 39. Mines (Goepfert, Dijon)Soit Dn la somme des diviseurs positifs de n (par exemple D6 = 12). Montrer que si a ∧ b = 1 alorsDab = DaDb.

Exercice 40. Mines (Goepfert, Dijon, déjà sorti en 2017)Soit A l’ensemble des entiers naturels uniquement composés de 1 (ex : 1, 11, 111 . . .). Trouver l’ensembledes polynômes P tels que P(A) ⊂ A.

Exercice 41. Mines (Lhenry Corentin, Dijon)

Résoudre dans Z :{x ∨ y = 72x ∧ y = x− y.

Exercice 42. ENS (Remond, Dijon)Soit n un nombre premier et T le triangle de R2 de sommets (0, 0), (0, n), (n, 0). Pour i ∈ [[2, n − 1]]on considètre le triangle Ti de sommets (0, 0), (i, n − i), (i − 1, n − (i − 1)). Le but de l’exercice est deprouver que le nombre de points à coordonnées entières dans T̊i ne dépend pas de i et de le calculer.Après une dizaine de minutes où le candidat a fait des essais et tenté de construire un raisonnementanalytique, l’examinatrice lui indique :Si P est un polygone plan d’aire A dont les sommets sont à coordonnées entières, alors on aA = a + b/2 − 1 où a est le nombre de points à coordonnées entières dans P̊ et b le nombrede points à coordonnées entières sur Fr(P). Résoudre l’exercice en admettant ce théorème, puisdémontrer ledit théorème.

Algèbre linéaire

Exercice 43. Mines (Balland, Dijon)

Soit A =

(0 −c bc 0 −a

−b a 0

)∈ M3(R) et t ∈ R. Calculer exp(tA).

Exercice 44. Centrale (Merle, Dijon)Soient E = Mn(C) et E∗ l’ensemble des formes linéaires de E dans C.Pour A ∈ E on note LA = (T → tr(AT)) ∈ E∗.1) Montrer que l’application A→ LA est un isomorphisme de E sur E∗.2) Donner les hyperplans de E.3) Soient T +

n et T −n les sev de E constitués des matrices triangulaires supérieures strictes et des ma-

trices triangulaires inférieures strictes. Soit T une matrice triangulaire et H = Ker(LT ). Donner lesdimensions de H ∩ T +

n et H ∩ T −n .

Exercice 45. Mines (Mlle Beaufils, Dijon)

Soit A =

(0 1 10 0 10 −1 0

).

1) Donner les valeurs propres de A.2) Déterminer la matrice diagonale D semblable à A.3) Soit M telle que M+M3 = 0. Montrer que M est semblable à D.

oral-2018.tex – page 5

Page 6: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 46. St Cyr (Mlle Beaufils, Dijon)

1) Soit A =

(0 1 11 0 01 1 1

). Donner P inversible et D diagonale telles que A = PDP−1.

2) On considère le système différentiel :

f′(t) = g(t) + h(t),g′(t) = f(t),h′(t) = f(t) + g(t) + h(t).

Le mettre sous forme matricielle.3) Soit Y(t) = P−1X(t). Donner Y′(t).4) En déduire f(t), g(t), h(t).

Exercice 47. Navale (Mlle Beaufils, Dijon)Pour M ∈ Mn(R) on note C1, . . . , Cn les colonnes de M et M′ la matrice ayant pour j-ème colonneC′j =

∑i6=j Ci. Montrer que l’application u : M 7→M′ est diagonalisable.

Exercice 48. Mines (Marc, Dijon)Soit p ∈ N∗ et A ∈ M2p(R) telle que tous ses coefficients diagonaux sont nuls et les autres coefficientssont égaux à 1 ou −1. Montrer que A est inversible.

Exercice 49. Mines (Marc, Dijon)Déterminer tous les polynômes P ∈ C[X] tels que : ∀A ∈ Mn(C), P(A) = 0 ⇒ tr(A) = 0.

Exercice 50. CCP (Marc, Dijon)On note pour x réel et n entier, Mn(x) la matrice tridiagonale contenant x sur la diagonale et 1 sur lesdeux diagonales secondaires. On note Dn(θ) = det(Mn(2 cos θ)).1) Montrer que l’on a Dn+2(θ) = aDn+1(θ) + bDn(θ) avec a, b à préciser.2) Montrer que Dn(θ) = sin((n+ 1)θ)/ sin θ. En déduire les valeurs de θ pour lesquelles Dn(θ) = 0.3) Mn(x) est-elle diagonalisable ?4) Déterminer les valeurs propres de Mn(x).

Exercice 51. CCP (Rochel, Dijon)Soient E un ev de dimension finie et v ∈ L(E). soit f l’endomorphisme de L(E) qui à u associe u ◦ v.1) Montrer que sp(f) ⊂ sp(v).2) Soit λ ∈ sp(v) et u une projection sur Ker(v− λ idE).

a) Prouver que sp(f) = sp(v).b) Prouver que si v est diagonalisable, alors f l’est.

On admettra que dimKer(f− λ idL(E)) = dim(E) dim Ker(v− λ idE).3) Montrer que f et v ont même polynôme minimal.4) Prouver la propriété admise en 2b.

Exercice 52. Centrale (Rochel, Dijon)On donne une focntion Python Liste(n) qui donne la liste des listes à n éléments constituées uniquementde 0 et de 1. Soit Bn l’ensemble des matrices M de taille n à coefficients dans {−1, 1} telles queMtM = nIn. Soit B+

n le sous-ensemble des matrices de Bn dont la première ligne et la première colonnene sont constituées que de 1. Soit enfin Dn l’ensemble des matrices n × n diagonales dont tous lescoefficients diagonaux appartiennent à {−1, 1}.1) a) Déterminer B2 et B3 (la question peut être traitée sans ordinateur, mais l’interrogateur attendait,

sans l’avoir indiqué, l’usage de la fonction Liste).b) Déterminer B+

4 .2) Les matrices de Bn sont-elles inversibles ?3) Bn est-il stable par transposition ?4) Calculer det(M) pour M ∈ Bn.5) Montrer que M ∈ Bn si et seulement s’il existe ∆1, ∆2 ∈ Dn et A ∈ B+

n telles que M = ∆1A∆2.

Exercice 53. Mines (Delmaire, Dijon)Soit N ∈ Mn(C) nilpotente. Comparer Ker(N) et Ker(exp(N) − In).

oral-2018.tex – page 6

Page 7: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 54. Centrale (Lhenry Corentin, Dijon)Soit σ une permutation de [[1, n]]. On pose Aσ = (δiσ(j)) ∈ Mn(R).1) Soit τ une transposition et M ∈ Mn(R). Calculer AτM et MAτ.2) Montrer que AσAσ′ = Aσ◦σ′ .

Exercice 55. Mines (Lhenry Corentin, Dijon)Soient a, b ∈ R etMa,b ∈ M2n−1(R) la matrice constituée de a sur la diagonale, de b sur l’anti-diagonale,de a+ b au milieu et de zéros partout ailleurs. Déterminer le polynôme minimal de Ma,b.

Exercice 56. Mines (Lhenry Félix, Dijon)Soit E l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de R dans R et T l’endomorphisme de E définipar T(f)(x) = f(px+ q) où p, q sont deux réels srictement positifs tels que p+ q = 1.1) Montrer que les valeurs propres de T appartiennent à ] − 1, 1] \ {0}.2) Soit f une fonction propre pour T . Montrer qu’il existe k ∈ N tel que f(k) = 0.3) Déterminer les éléments propres de T .

Algèbre bilinéaire

Exercice 57. Mines (Guérin, Dijon)

Soient a, b deux vecteurs de Rn non nuls et f :{Rn −→ Rn

x 7−→ (a|x)b.Déterminer si Im f et Ker f sont supplémentaires.

Exercice 58. Mines (Merle, Dijon)

Soit E euclidien, u ∈ L(E) symétrique et f :{E −→ Rx 7−→ ‖u(x)‖2 − (u(x)|x)2.

f est-elle majorée ? minorée ? Dans ce cas donner les bornes de f.

Exercice 59. CCP (Balland, Dijon)On munit M2(R) du produit scalaire canonique. Calculer la distance de la matrice

(1 0

−1 2

)au sous-

espace des matrices triangulaires supérieures.

Exercice 60. Mines (Sorci, Dijon)Soit A ∈ Mn(R) antisymétrique. Montrer que Ker(A) ⊕ Im(A) = Rn.

Exercice 61. Mines (Velut, Dijon)Soit u un endomorphisme de E, espace euclidien. Montrer que u est une homothétie si et seulement si ucommute avec tout automorphisme orthogonal de E.

Exercice 62. St Cyr (Mlle Beaufils, Dijon)On pose pour A,B ∈ Mn(R) : (A|B) = tr(tAB).1) Montrer qu’on a un produit scalaire.2) En déduire tr(A)2 6 n tr(tAA) et étudier le cas d’égalité.3) Soit F = {M tq tr(M) = 0}. Montrer que c’est un sev de Mn(R) et donner sa dimension.4) Déterminer F⊥.5) Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

oral-2018.tex – page 7

Page 8: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Probabilités

Exercice 63. CCP (Guérin, Dijon)On dispose de deux urnes U1 et U2. L’urne U1 contient deux boules blanches et trois boules noires.L’urne U2 contient quatre boules blanches et trois boules noires. On effectue des tirages successifs dansles conditions suivantes.– On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on laremet dans l’urne d’où elle provient.– Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1, sinon le tirage suivant se faitdans l’urne U2.Pour tout n ∈ N∗, on note Bn l’évènement « la boule tirée au n-ème tirage est blanche » et on posepn = P(Bn).1) Calculer p1.2) Prouver que : ∀n ∈ N∗, pn+1 = 4

7 − 635pn.

3) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de pn.

Exercice 64. Mines (Merle, Dijon)Cinq personnes se trouvent autour d’une table ronde. Au départ, deux voisins possèdent chacun unballon. A chaque tour, le possesseur d’un ballon le transmet à son voisin de droite ou de gauche, demanière équiprobable. Étudier la variable aléatoire X donnant le nombre de tours avant que les deuxballons se retrouvent dans les bras d’une même personne (on pourra étudier la distance entre les deuxballons).

Exercice 65. Centrale (Velut, Dijon)On appelle dérangement toute permutation n’ayant pas de point fixe. On représente une permutation σde [[1, n]] en Python par une liste de longueur n dont le k-ème élément est σ(k).1) Écrire une fonction derangement prenant une liste comme argument et retournant le booléen qui dit

si cette liste est ou n’est pas un dérangement.2) Conjecturer avec l’aide de Python la dépendance par rapport à n. . .

a) de l’espérance du nombre de points fixes ;b) de la probabilité qu’une permutation aléatoire soit un dérangement.

On choisit une permutation σ de [[1, n]] au hasard et on note Xk la variable aléatoire indicatrice del’évènement {σ(k) = k}. On note aussi Nn la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes de σet Dn l’évènement {σ est un dérangement}.3) Exprimer Nn et Dn en fonction des Xk. En déduire une démonstration de la conjecture 2a. Peut-on

aussi démontrer ainsi la conjecture 2b ?On pose Dnk = (n!)P(Nn = k) et dn = Dn,0.4) Montrer que Dnk =

(nk

)dn−k. En déduire que n! =

∑nk=0

(nk

)dk.

5) En déduire que dn = n!∑nk=0

(−1)k

k!. Déterminer la limite de dn/n!. En déduire la loi de Nn.

Exercice 66. St Cyr (Mlle Beaufils, Dijon)1) Pour q ∈ ] − 1, 1[, établir la convergence et calculer la valeur de

∑∞n=0 nq

n.2) On lance un dé à six faces jusqu’à obtenir un 6. On note X la variable aléatoire donnée par le nombre

de lancers effectués. Si X est pair, on gagne X euros, si X est impair on perd X euros. Y est la variablealéatoire représentant le gain.a) Écrire une fonction Python simulX simulant la variable X. Écrire de même une fonction simulY.b) Donner la loi de X. Donner Y en fonction de X et calculer l’espérance de Y.

Exercice 67. Mines (Mlle Caminade, Dijon)Soient X, Y deux variables aléatoires strictement positives de même loi et indépendantes. Montrer queE(XY) > 1.

oral-2018.tex – page 8

Page 9: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 68. CCP (Mlle Caminade, Dijon)Soit une pièce que l’on lance jusqu’à obtenir deux Pile. On obtient Pile avec une probabilité p ∈ ]0, 1[.On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de Face obtenus avant d’avoir ces deux Pile. SiX = n ∈ N, on dépose dans une urne n+ 1 boules numérotées de 0 à n et on pioche au hasard l’une deces boules. Soit Y le numéro de la boule piochée.1) Donner la loi de X.2) X admet-elle une espérance ? Si oui la calculer.3) Déterminer la loi de Y. Y admet-elle une espérance ? Si oui la calculer.4) X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 69. Mines (Noblet, Dijon)Soient n ∈ N∗, m1, . . . ,mn ∈ N∗, p1, . . . , pn ∈ ]0, 1[ et X1, . . . , Xn des variables aléatoires définies surun même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, telles que la loi de Xi est la loi binomiale deparamètres mi, pi. On pose X = X1 + . . .+ Xn. Montrer que la loi de X est binomiale si et seulement sitous les pi sont égaux.

Géométrie

Informatique

Exercice 70. ENS Paris (Mlle Fournis, Dijon)Soit u ∈ Σ∗. On dit que v ∈ Σ∗ est un sur-mot de u s’il existe ψ : N → N strictement croissante telle que

∀ i ∈ {0, |u| − 1}, ui = vψ(i).

On note u 6 v cette relation. Soit L un langage. On note L l’ensemble des sur-mots des mots de L.1) Donner L0 et L1 pour L0 = (ab)∗ et L1 = ab∗a.2) Montrer que pour tout langage L, on a L = L.3) Montrer que si L est régulier alors L l’est aussi.4) Comment pourrait-on calculer la clôture d’un langage L ? Discuter de l’efficacité.5) On admet le théorème suivant : pour toute suite (wn) ∈ (Σ∗)N, il existe i < j tels que wi 6 wj.

Montrer que pour tout langage L, il existe un langage F fini tel que L = F.6) En déduire que tout langage clos par sur-mot (L = L) est régulier.7) Existe-t-il des langages L qui ne s’écrivent pas F ?8) Un langage clos par sous-mot est-il régulier ?

oral-2018.tex – page 9

Page 10: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

solutions

Exercice 1.Si cela a lieu pour tout ε > 0 alors f est limite uniforme de fonctions polynomiales, donc est continue.La réponse est donc « non en général » pour f discontinue.

Supposons à présent f continue avec pour zéros x1, . . . , xk ∈ [0, 1]. On peut trouver g, continue affine parmorceaux, telle que ‖f− g‖∞ 6 ε/2 avec comme contraintes supplémentaires :

– g ne s’annule qu’en x1, . . . , xk ;– g est dérivable à dérivée non nulle en ces points.

Pour ce faire : choisir une subdivision de [0, 1] de pas suffisament petit en évitant les xi ; interpolerlinéairement f entre les points de subdivision et modifier légèrement les hauteurs des points d’interpolations’il apparaît un segment horizontal indésirable.

Par construction, la fonction h : x 7→ g(x)/(x−x1) . . . (x−xk) est continue et ne s’annule pas sur (0, 1]. Ona alors α = min |h| > 0 par compacité. Soit ensuite q polynomiale telle que ‖h− q‖∞ 6 min(α/2, ε/2).Par choix de α, on a q(x) 6= 0 pour tout x ∈ [0, 1]. Enfin, posons p(x) = (x− x1) . . . (x− xk)q(x) : p estpolynomiale, s’annule uniquement en x1, . . . , xk et on a :

‖f− p‖∞ 6 ‖f− g‖∞ + ‖g− p‖∞ 6 ε/2 + ‖x 7→ (x− x1) . . . (x− xk)‖∞‖h− q‖∞ 6 ε.

Exercice 2.Déjà, on peut remplacer l’hypothèse « ϕ continue » par « ϕ continue par morceaux ». En effet, unefonction continue par morceaux sur un segment est limite simple de fonctions continues uniformémentbornées, et on peut ainsi passer à la limite sous les intégrales par convergence dominée. En particulier,en prenant pour ϕ la fonction indicatrice d’un intervalle [a, b] ⊂ [0, 1], on obtient :

∀ 0 6 a < b 6 1,∫ 1

01[a,b] ◦ P = b− a.

La fonction 1[a,b] ◦ P vaut 1 pour les x tels que a 6 P(x) 6 b et 0 pour les autres. Étant polynomiale,P est monotone par morceaux et l’ensemble des x tels que a 6 P(x) 6 b est union finie d’intervallesdisjoints. La somme des longueurs de ces intervalles vaut donc b− a.

On montre alors par l’absurde que P′ ne peut s’annuler sur ]0, 1[ : si P′(x0) = 0 avec x ∈ ]0, 1[, alorspour ε > 0 on a α > 0 tel que |P′(x)| 6 ε pour tout x ∈ [x0 − α, x0 + α], donc |P(x) − P(x0)| 6 αε pourde tels x. La longueur 2a de l’intervale [x0 − α, x0 + α] est alors majorée par la longueur de l’intervalle[P(x0)−αε, P(x0)+αε]∩ [0, 1] donc est aussi majorée par 2αε. Mais 2α 6 2αε est intenable si l’on prendε < 1.

Ainsi, P est strictement monotone sur [0, 1] et, quitte à remplacer P(X) par P(1−X), qui vérifie la mêmepropriété que P, on peut supposer P strictement croissante sur [0, 1]. Pour [a, b] ⊂ [0, 1], l’ensemble desx tels que a 6 P(x) 6 b est donc réduit à unique intervalle de longueur b− a, soit :

∀ 0 6 a < b 6 1, P−1(b) − P−1(a) = b− a.

Ainsi, la fonction P−1 est affine. Par réciproque, P l’est aussi et on conclut facilement que P = X.

En conclusion, les polynômes cherchés sont P = X et P = 1 − X.

oral-2018.tex – page 10

Page 11: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 3.Si P est constant : P = a ∈ R alors il faut cos(a) = a. Par étude de fonction, cette équation admet uneunique racine réelle et le polynôme constant associé convient.

Si deg(P) = 1 : P = ax + b avec a ∈ R∗ et b ∈ R alors il faut cos(ax + b) = a cos(x) + b pourtout x ∈ R. En dérivant : −a sin(ax + b) = −a sin(x) donc b ≡ 0 (mod 2π). En redérivant, il vient−a2 cos(ax) = −a cos(x) pour tout x, donc a = 1 en prenant x = 0 car a 6= 0. Enfin en reportant dansl’équation initiale, on trouve b = 0 soit P = X qui convient effectivement.

Supposons à présent deg(P) > 2. Toujours en dérivant, il vient − sin(x)P′(cos x) = − sin(P(x))P′(x).Comme P(x) et P′(x) ont des limites infinies en +∞, on peut trouver une suite (xk) tendant vers +∞telle que P(xk) = (k+ 1

2 )π et |P′(xk)| −→k→∞

+∞ avec k ∈ N.

Alors | sin(xk)P′(cos xk)| = | sin(P(xk))P′(xk)| −→k→∞

+∞, ce qui est impossible car le premier membre estborné. Il n’existe pas de polynôme de degré au moins 2 solution.

Exercice 4.fn et gn convergent simplement vers la fonction nulle. ‖fn‖∞ = fn(αn) avec tan2(αn) = 1/n donc‖fn‖∞ ∼ 1/

√en. La convergence des fn est uniforme, celle des gn ne l’est pas.

Exercice 5.Si yn −→

n→∞0 : soit ε > 0 et N ∈ N tel que |yk| 6 ε pour tout k > N. Il vient pour n > N :

|xn| = |yn−1 − αxn−1|β

6 εβ

+ αβ|xn−1| 6 . . . 6 ε

β+ . . .+ εαn−N−1

βn−N+ αn−N|xN|

βn−N6 εβ− α + αn−N|xN|

βn−N.

En particulier, pour n assez grand, |xn| 6 2εβ− α et ainsi, xn −→

n→∞0.

Si yn −→n→∞

` : alors yn − ` = α(xn − `′) + β(xn+1 − `′) avec (α + β)`′ = `. d’après le premier cas,

xn − `′ −→n→∞

0, soit xn −→n→∞

`′.

Exercice 6.Si ‖ ‖ est une norme euclidienne : soit (y1, . . . , yk) une base orthonormale de Im(v) et xi un antécédantde yi par v. Alors la famille (u(x1), . . . , u(xk)) est orthonormale car

4(u(xi)|u(xj)) = ‖u(xi) + u(xj)‖2 − ‖u(xi) − u(xj)‖2

= ‖u(xi + xj)‖2 − ‖u(xi − xj)‖2

= ‖v(xi + xj)‖2 − ‖v(xi − xj)‖2

= ‖yi + yj‖2 − ‖yi − yj‖2

= 4(yi|yj).

Par ailleurs, k = rg(v) = n− dim(Ker v) = n− dim(Keru) = rg(u), donc (u(x1), . . . , u(xk)) est une baseorthonormale de Im(u). On complète (y1, . . . , yk) et (u(x1), . . . , u(xk)) en deux bases orthonormalesde Rn et on choisit ϕ ∈ O(Rn) qui envoie la première base sur la deuxième. Par construction, u = ϕ ◦ v.

Dans le cas non euclidien, le résultat est trivial si v est bijective, et faux dans le cas général. Contre-exemple : ‖ ‖ = ‖ ‖∞ sur R2, u(x, y) = (x, x) et v(x, y) = (x, 0). Un endomorphisme ϕ tel que ϕ ◦ v = u

est tel que ϕ(1, 0) = (1, 1) et donc mat(ϕ) =(

1 a1 b

). Alors ‖ϕ(x, 1)‖∞ = max(|x + a|, |x + b|) tandis

que ‖(x, 1)‖∞ = max(|x|, 1). Un tracé des courbes de ces deux quantités en fonction de x montre qu’ellesne peuvent être constamment égales.

oral-2018.tex – page 11

Page 12: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 7.2) Hexagone de sommets (1, 0), (1, 1), (0, 1), (−1, 0), (−1,−1), (0,−1).3) Les normes ‖ ‖1 et ‖ ‖∞ conviennent.4) (N1(x, y) 6 1)⇐⇒(N2(x, y) 6 1) donc par homogénéïté (N1(x, y) 6 a)⇐⇒(N2(x, y) 6 a) pour

tout a > 0. Avec (x, y) 6= (0, 0) et a = N1(x, y) il vient N2(x, y) 6 N1(x, y) et par symétrie, il y aégalité. Le cas (x, y) = (0, 0) est trivial.

Exercice 8.1) |f| − f > 0 ⇒ µ(|f|) > µ(f), et |f| + f > 0 ⇒ µ(|f|) > −µ(f) d’où µ(|f|) > |µ(f)|.

Soit F le sev de E constitué des fonctions continues bornées. On a pour f ∈ F : |f| 6 ‖f‖∞1I d’où|µ(f)| 6 µ(|f|) 6 ‖f‖∞µ(1I). Étant linéaire, µ est alors continue sur F.

2) Pour t ∈ R, on a 0 6 µ((f − tg)2) = µ(f2) − 2tµ(fg) + t2µ(g2). Si µ(g2) > 0, on obtient l’inégalitédemandée en considérant le minimum de cette fonction de t, atteint pour t = µ(fg)/µ(g2). Siµ(g2) = 0, on obtient µ(fg) = 0 en considérant les limites lorsque t→ ±∞.

3) Faux, on peut avoir µ = 0. Si l’on ajoute l’hypothèse µ 6= 0, soit f telle que µ(f) 6= 0 et g = f/√h.

Avec la question précédente, on a 0 < µ(f)2 = µ(g√h)2 6 µ(g2)µ(h) d’où µ(h) > 0.

Exercice 9.Soient x0, . . . , xd, d points distincts fixés dans [a, b] et (L0, . . . , Ld) la base de Rd[X] des polynômes deLagrange associés (Li(xj) = δij). Pour x ∈ [a, b] on a

Pk(x) =d∑i=0

Pk(xi)Li(x) −→k→∞

d∑i=0

f(xi)Li(x) = f(x).

Ceci prouve que f est polynomiale de degré inférieur ou égal à d et que les coordonnées de Pk dans labase (Li) convergent vers celles de f. Par équivalence des normes, il y a convergence pour toute normesur Rd[X], en particulier pour la norme de la convergence uniforme sur [a, b].

Exercice 10.1) Le seul point douteux est (0, 0) et |f(x, y)| 6 |y| permet de conclure.2) ∂f

∂x(x, y) = 2xy3(x2 + y2)2 et ∂f

∂y(x, y) = x4 − x2y2(x2 + y2)2 si (x, y) 6= (0, 0).

∂f∂x

(0, 0) = ∂f∂y

(0, 0) = 0 par retour à la définition.

3) f((0, 0) + t(1, 1)) = t d’où D(1,1)f(0, 0) = 1.4) Si f est différentiable en (0, 0) alors Def(0, 0) = df(0,0)(e) est une quantité linéaire par rapport à e

nulle sur les vecteurs de la base canonique donc nulle pour tout e, ce qui n’est pas au vu de la questionprécédente. Ainsi f n’est pas différentiable en (0, 0) et donc encore moins de classe C1.

On peut aussi constater directement la discontinuité en (0, 0) des fonctions ∂f∂x

et ∂f∂y

:

∂f∂x

(t, t) = 12 −→t→0

12 6= ∂f

∂x(0, 0) et ∂f

∂y(t, 0) = 1

4 −→t→014 6= ∂f

∂y(0, 0).

Exercice 11.Condition nécessaire : f(0) = 0. Si cette condition est remplie, on a pour x > 0 : g(x) =

∫ 1t=0 f

′(tx) dt,quantité prolongeable de façon C∞ en 0+ à l’aide du théorème de Leibniz.Il vient : g(k)(0+) = f(k+1)(0)/k+1. Par parité, g est alors C∞ en 0 si et seulement si toutes les dérivéesd’ordre impair de g en 0+ sont nulles, soit : f(k)(0) = 0 pour tout k impair.

Exercice 12.On a facilement xn −→

n→∞+∞, puis xn+1 ∼ xn. Donc x2

n+1 − x2n = (xn+1 + xn)/xn −→

n→∞12 ce qui donne

par sommation : xn ∼√n/2.

oral-2018.tex – page 12

Page 13: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 13.Pour β < −1, on a un ∼ nαζ(−β) et la série converge si et seuulement si α < −1.Pour β > −1, on a un ∼ nα+β+1/(β+ 1) et la série converge si et seuulement si α+ β < −2.Pour β = −1, on a un ∼ nα ln(n) et la série converge si et seuulement si α < −1.

Exercice 14.4) S(x) = − ln(1 − x)

1 − x .

Exercice 15.2) S(x) = 1/x− S(x+ 1) = 1/x− S(1) + o(1) = 1/x− ln(2) + o(1).

Exercice 16.1) Il se peut qu’il n’y ait pas limite, par exemple avec f(x) = 1 s’il existe n ∈ N∗ tel que n 6 x 6 n+1/n2

et f(x) = 0 sinon. Par contre, si l’on sait qu’il y a limite, finie ou infinie, alors cette limite est nulle.2)∫ 2xt=x f(t) dt 6 xf(x) 6 2

∫ xt=x/2 f(t) dt et les deux gendarmes tendent vers zéro.

3) x 7→ 1/x ln(f(x)) étant intégrable sur [1,+∞[, par changement de variable y = ln(x) la fonctiony 7→ 1/f(ey) l’est sur [0,+∞[. Il s’agit d’une fonction décroissante, elle est donc négligeable devant 1/ylorsque y→ +∞ (soit x→ +∞). Ainsi, pour x suffisament grand, 0 6 1/f(x) = 1/f(ey) 6 1/y = 1/ex

ce qui implique l’intégrabilité de 1/f.

Exercice 17.Exercice ignoble qu’il convient de refuser.

Exercice 18.Il y a convergence absolue par domination par 1/x2 au voisinage de +∞.En linéarisant : 4 sin3(x) = 3 sin(x) − sin(3x), il vient :

4I = lima→0+

∫ 1/a

x=a

3 sin(x) − sin(3x)x2 dx

= lima→0+

(3∫ 1/a

x=a

sin(x)x2 dx−

∫ 1/a

x=a

sin(3x)x2 dx

)= lima→0+

(3∫ 1/a

x=a

sin(x)x2 dx− 3

∫ 3/a

y=3a

sin(y)y2 dy

)= lima→0+

(3∫ 3a

z=a

sin(z)z2

dz− 3∫ 3/a

z=1a

sin(z)z2

dz).

On a sin(z)/z2 = 1/z+O(1) si z→ 0+ et sin(z)/z2 = O(1/z2) si z→ +∞.

En intégrant,∫ 3az=a

sin(z)z2

dz −→a→0+

ln(3) et∫ 3/az=1/a

sin(z)z2

dz −→a→O+

0. Ainsi, I = 34 ln(3).

Exercice 19.1) L’intégrale converge en 2 et diverge en +∞.2) L’intégrale converge si et seulement si a > 1.

Exercice 20.1) Par DL, x 7→ 1

x− 1

sin xest prolongeable par continuité en 0+.

3) In − In−1 =∫ π/2x=0 2 cos(2nx) dx = 0 donc In = I0 = π/2.

4) DL de ϕ′.5) Intégrer poar parties, Jn −→

n→∞0.

6) Jn =∫ (2n+1)π/2x=0

sin xx

dx− In donc∫ (2n+1)π/2x=0

sin xx

dx −→n→∞

π2

.

oral-2018.tex – page 13

Page 14: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 21.2) Par convergence dominée par 1

1 + t2,∫[0,+∞[ fn −→

n→∞

∫ 1t=0

dt1 + t2

= π4

.

Exercice 22.Soit f(x) =

∫ 2πt=0 ln(x2 − 2x cos(t) + 1) dt. L’intégrale est généralisée en t = 0 et en t = 2π si x = 1 ; en

t = π (point intérieur) si x = −1 et est non généralisée dans les autres cas. Par ailleurs, le changementde variable t 7→ π+ t donne f(x) = f(−x) compte-tenu de la 2π-périodicité de l’intégrande, dans tous lescas où l’une des deux intégrales existe.

Étude du cas x = 1 : en 0+ on a ln((1 − cos(t))2) = ln(t4/4 + o(t4)) = 4 ln(t) + o(1) donc l’intégraleconverge au voisinage de 0+. Il y a aussi convergence au voisinage de 0− par le même raisonnement (avecln(|t|) à la place de ln(t)) donc convergence au voisinage de 2π− par 2π-périodicité. Ainsi f(1) existe etpar parité, f(−1) existe aussi donc en définitive, f est définie sur R.

Continuité de f : soit x ∈ [0, 1[ et a tel que x < a < 1. Pour y ∈ [0, a] et t ∈ [0, 2π] on a

(1 − a)2 6 (1 − y)2 6 y2 − 2y cos(t) + 1 6 (1 + y)2 6 (1 + a)2

donc |ln(y2 − 2y cos(t) + 1| 6 max(− ln((1 − a)2), ln((1 + a)2)). Par convergence localement dominée,f est continue sur [0, 1[. On montre de même la continuité de f sur ]1,+∞[. Soit à présent x = 1 ety ∈ [ 12 ,

32 ]. Pour t ∈ [0, 2π] on a

y2 − 2y cos(t) + 1 = (y− 1)2 + 2y(1 − cos(t)) > 2y(1 − cos(t)) > 1 − cos(t)

y2 − 2y cos(t) + 1 = (y+ 1)2 − 2y(1 + cos(t)) 6 (y+ 1)2 6254.

Il vient |ln(y2 − 2y cos(t) + 1| 6 max(− ln(1 − cos(t)), ln(25/4), puis par convergence dominée, f estcontinue en 1. Étant paire, f est donc continue sur R.

Dérivation : on montre de manière analogue que f est dérivable sur [0, 1[ et sur ]1,+∞[ avec

f′(x) =∫ 2π

t=0

2x− 2 cos(t)x2 − 2x cos(t) + 1

dt

= 2∫ π

t=0

2x− 2 cos(t)x2 − 2x cos(t) + 1

dt

= 2∫ +∞

u=0

2x(1 + u2) − 2(1 − u2)(x2 + 1)(1 + u2) − 2x(1 − u2)

× 2du1 + u2 (u = tan(t/2))

= 2∫ +∞

u=0

2(x− 1) + 2(x+ 1)u2

(x− 1)2 + (x+ 1)2u2 × 2du1 + u2

=4x

∫ +∞

u=0

( 11 + u2 +

x2 − 1(x− 1)2 + (x+ 1)2u2

)du (x 6= 0)

=4x

[arctan(u) + arctan(u

x− 1x+ 1

)]+∞

u=0

={

0 si 0 < x < 14π/x si x > 1.

Ainsi f est constante, sur [0, 1], égale à f(0) = 0 et pour x > 1 : f(x) = 4π ln(x) + f(1) = 4π ln(x).

oral-2018.tex – page 14

Page 15: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 23.2) Si a = 0, découper l’intégrale en une série d’intégrales sur des segments adjacents de longueur t puis

encadrer chaque intégrale à l’aide de la décroissance de f.

Si a > 0, écrire f = g+ h avec g décroissante et h nulle en dehors de [0, a]. La somme relative à g setraite comme précédement ; celle relative à h relève du théorème sur les sommes de Riemann.

Exercice 24.1) R = 1.2) (2n+ 3)an+1 = (2n+ 2)an+ calculs.

3) ddx

(√

1 − x2f(x)) = (1 − x2)f′(x) − xf(x)√1 − x2 = 1√

1 − x2 , d’où f(x) = arcsin x√1 − x2 .

Exercice 25.1) Qu’il en existe une et une seule définie sur ]0,+∞[ prenant une valeur et une dérivée fixées en un

point t0 > 0 et une et une seule définie sur ] −∞, 0[ prenant une valeur et une dérivée fixées en unpoint t1 < 0.

3) La question précédente semble montrer que ln(ϕ(t)) = A√t, soit ϕ(t) = eA

√t, ce que l’on confirme

par le calcul avec A = 1. Le même calcul indique aussi t 7→ e−√t est solution et ces deux fonctions

étant linéairement indépendantes, elles constituent un système fondamental de solutions sur ]0,+∞[.

On pense alors pour t < 0 à remplacer√t par i

√|t|, ce qui fournit, après vérifications, un système

fondamental de solutions sur ] −∞, 0[.4) Seule la fonction nulle convient.

Exercice 26.1) Leibniz + regroupement + reconnaissance de d(cos θ sin(x sin θ))/dθ.2) On peut facilement développer l’intégrande précédent en série entière par rapport à x et intégrer

terme à terme, donc F est une solution développable en série entière (de rayon infini), ainsi que tousses multiples. Il n’y a pas unicité. . .

Par contre, l’injection de y =∑∞n=0 anx

n dans (E) donne an+1 = −an−1/(n+1)2 avec a0 indéterminéet a1 = 0. Il y a donc unicité à un facteur multiplicatif près.

Exercice 27.On remarque que ϕ est développable en série entière : ϕ(x) =

∑∞n=0(−1)nx3n/(2n)! avec R = ∞. Par

ailleurs, si y est une fonction de classe C1 sur un intervalle I ⊂ ]0,+∞[, alors 2xy′ +y = 2√xd(y

√x)/dx.

Donc y est solution de l’équation proposée si et seulement si elle est de la forme

y =1√x

(a+

∫ x

t=b

32

√tϕ(t) dt

).

On intègre terme à terme sans difficulté le développement en série de√tϕ(t) et on obtient :

y =c√x

+∞∑n=0

(−1)nx3n+1

(2n+ 1)!.

Ceci est la somme d’une série entière si et seulement si c = 0 et alors y = sin(x3/2)/√x. La même série

entière est aussi solution sur ] −∞, 0[ et c’est la seule ; elle a pour expression y = − sh((−x)3/2)/√−x.

oral-2018.tex – page 15

Page 16: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 28.1) Soient g, g′ ∈ G tel que les ensembles gHg−1 et g′Hg′−1 ont en commun un élément x 6= e : x =ghg−1 = g′h′g′−1. Alors h = g−1g′h′g′−1g ∈ H ∩ (g−1g′)H(g−1g′)−1 et h 6= e car x 6= e. Il vientg−1g′ ∈ H, soit g′ ∈ gH.

Réciproquement, si g′ ∈ gH : g′ = gk avec k ∈ H alors g−1g′Hg′−1g = kHkk−1 = H puis g′Hg′−1 =gHg−1.

En conséquence, quand g et g′ décrivent G, les ensembles gHg−1 \ {e} sont g′Hg′−1 \ {e} sont soitdisjoints, soit égaux et pour g fixé, le nombre de g′ pourlequels il y a égalité est card(gH) = card(H).Par ailleurs, ces ensembles ont tous même cardinal, card(H) − 1. Il vient :

card(⋃g∈G

(gHg−1 \ {e})) =card(G)card(H)

(card(H) − 1) = card(G) − card(G)card(H)

.

Et enfin, card(K) = card(G)card(H)

.

Remarque : l’interrogateur prétend que K est un sous-groupe de G, mais que ce fait est long et difficileà démontrer.

2) Si igig−1 = e alors gig−1 = i 6= e ce qui est exclus par hypothèses sur H et g.

Si k = ij /∈ K alors k appartient à un conjugué de H que l’on note H′ = uHu−1. On a aussik−1 = ji ∈ H′ = uHu−1 et ji = jkj−1 ∈ jH′j−1 = (ju)H(ju)−1. Comme k 6= e, on en déduit qu’ilexiste h ∈ H tel que ju = uh, soit j = uhu−1 ∈ H′. Mais alors i = kj ∈ H′ donc H et H′ ont unélément autre que e en commun, puis u ∈ H et enfin j ∈ H ce qui est faux.

Exercice 29.1) Sinon, P a une racine multiple, donc racine de P′, et les racines de P′ ne conviennent pas.2) a2 + b2 + c2 = (a+ b+ c)2 − 2(ab+ ac+ bc) = 2.

a3 = a− 1, donc a6 = (a− 1)2 et a7 = a3 − 2a2 + a = −2a2 + 2a− 1, de même pour b et c. Il vienta7 + b7 + c7 = −5.

Exercice 30.1) Unicité par connaissance de Pn sur un ensemble infini. Existence par récurrence : P0 = 2, P1 = X,Pn+1 = XPn − Pn−1. On peut aussi invoquer la suite des polynômes de Chebychev définie parTn(cos θ) = cos(nθ), d’où Tn((z+1/z)/2) = (zn+1/zn)/2 pour tout z ∈ U donc aussi pour tout z ∈ C∗.Alors Pn = 2Tn(X/2) convient.

3) les racines complexes de Pn sont les z de la forme z = u+ 1/u avec u2n = −1, soit uk = ei(2k+1)π/2n

et zk = 2 cos((2k+ 1)π/2n) avec 0 6 k < n. Elles sont simples, d’où 1Pn

=∑n−1k=0

1(X− zk)P′n(zk)

.

La relation Pn(x+1/x) = xn+1/xn donne par dérivation : (1−1/x2)P′n(x+1/x) = n(xn−1−1/xn+1),d’où

P′n(zk) =n(unk − 1/unk )uk − 1/uk

=(−1)kn

sin((2k+ 1)π/2n).

Exercice 31.2) Étude de fonction.

3) X2p + . . .+ 1 = 1 − X2p+1

1 − X , ce qui donne la formule à vérifier par dérivation.

Il vient Qp(2) = (2p+5)22p−1 > 0, Rp(1/2) > 0 donc 1/αp > 1/2 par décroissance de R, soit αp < 2.Aussi, Qp( 3

2 ) = ( 32 )2p(7 − p) − 4 < 0 pour p > 4 et on conclut de même.

oral-2018.tex – page 16

Page 17: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 32.x = eiα, y = eiβ, z = e−i(α+β), sinα+ sinβ = sin(α+ β), sinα(1 − cosβ) = − sinβ(1 − cosα).

Si cosα = 1, alors x = 1 puis y = ±i, z = −y. Réciproquement, les triplets (1, i,−i) et (1,−i, i)conviennent. Par symétrie, (i, 1,−i), (−i, 1, i), (i,−i, 1) et (−i, i, 1) sont aussi solution.

Si cosβ = 1, on obtient y = 1 puis x = ±i, z = −x, solution déjà trouvée. Si cosα 6= 1 et cosβ 6= 1 alorssinα

1 − cosα= − sinβ

1 − cosβ, soit tan(α/2) = − tan(β/2) donc α + β ≡ 0 (mod 2π). On trouve alors z = 1,

x = ±i, y = −x, solution déjà trouvée.

En conclusion, les solutions sont les six couples cités.

Exercice 33.Pour n impair.

Exercice 34.2) Avec z = x + yα, on a zσ(z) = x2 + xy(α + β) + y2αβ = x2 + xy − y2 ∈ Z. σ étant un morphisme

d’anneaux, la fonction N est multiplicative donc z ∈ A∗ ⇒ N(z) ∈ Z∗ ⇒ N(z) = 1. Réciproquement,si N(z) = 1 alors ±σ(z) est inverse de z dans A.

Exercice 35.Si P(a) = 0 alors P(a2) = 0 puis P(a4) = 0, etc. P ayant un nombre fini de racines, il vient a = 0 ou aest une racine de l’unité, et en particulier a ∈ U∪{0}. On a aussi P((a+ 1)2) = 0, donc a+ 1 ∈ U∪{0}.Ainsi a appartient à (U ∪ {0}) ∩ (U ∪ {0} − 1) = {−1, 0, j, j2}. On ne peut avoir a = −1 car alors a2 = 1n’appartient pas à l’intersection précédente. On ne peut avoir a = 0 car alors (a + 1)2 = 1 n’est pasracine de P. Ainsi, seuls j et j2 peuvent être racines de P et par factorisation : P = λ(X − j)α(X − j2)β.En reportant dans la relation P(X2) = P(X)P(X − 1), il vient λ = 1, α = β, P = (X2 + X + 1)α etréciproquement tout tel polynôme convient.

Exercice 36.Si f désigne un tel morphisme, alors f envoie toutes les transpositions sur la même image (deux transpo-sitions sont conjuguées dans Sn) et cette image est une racine carrée de 1. Ainsi f est constante ou égaleà la signature et la réciproque est bien connue.

Exercice 37.1) Non : pour tout p premier supérieur ou égal à 5 on a a2p = 0 et ap2 = 1.2) Lorsque n = pαqβ avec p, q premiers distincts, les diviseurs de n à considérer sont les entiers de la

forme pxqy avec (x, y) ∈ [[0, α]] × [[0, β]] tels que 12 6 p2x−αq2y−β 6 2. Lorsque (α,β) décrit N2 et

(x, y) décrit [[0, α]] × [[0, β]], le nombre r = p2x−αq2y−β décrit le sous-groupe multiplicatif H de R+∗

engendré par p, q. On construit ci-dessous une suite (rk) d’éléments de H \ {1} convergeant vers 1.Il en résulte que H ∩ [

√1/2,

√2[ est un ensemble infini et donc q’il existe des valeurs de α,β pour

lesquelles apαqβ est arbitrairement grand. En conséquence, (an) n’est pas bornée.

Construction de (rk) : pour x ∈ N∗ soit y l’unique entier tel que qy < px < qy+1. le réel pxq−y

appartient donc à [1, q] et l’application x → pxq−y étant injective, on a ainsi une trouvé suited’élements dans H∩ [1, q] deux à deux distincts. On en extrait une sous-suite convergente et on prendpour rk le quotient de deux termes successifs de cettte sous-suite.

oral-2018.tex – page 17

Page 18: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 38.Déjà il faut c ∧ d = 1, ce que l’on supposera désormais.

Cas particulier, b = 0, d 6= 0 : si p est un diviseur premier de d qui ne divise pas a alors a est inversiblemodulo p donc on peut trouver n ∈ N tel que an + c ≡ 0 (modp). Pour un tel n, an + c et d ont pcomme diviseur commun, ce que l’on ne veut pas. Ainsi, une condition nécessaire dans le cas considéréest que tous les facteurs premiers de d divisent a et aucun ne divise c. Et elle est clairement suffisante.

Deuxième cas particulier, b = d = 0 : an + c est premier à 0 si et seulement s’il vaut ±1 et on a celapour tout n si et seulement si a = 0, c = ±1.

Cas b 6= 0 : on applique la première étape de l’algorithme d’Euclide au couple (a, b) : a = qb+ r doncan + c = q(bn + d) + rn + (c − qd). En conséquence, an + c et bn + d sont premiers entre eux si etseulement si bn + d et rn + (c − qd) le sont. Il n’y a plus qu’à continuer jusqu’à l’obtention du pgcdde a et b, et on est ramené à l’un des deux cas particuliers précédents.

Détaillons : soient δ = a ∧ b, a = δα, b = δβ, ua+ vb = δ.La transformation (x, y) → (ux + vy, αy − βx) = (x′, y′) est une bijection de Z2 car la matriceM =

(u v

−β α

)est à coefficients entiers, inversible d’inverse elle aussi à coefficients entiers. Il en ré-

sulte qu’elle conserve le groupe additif engendré : 〈x, y〉 = 〈x′, y′〉 par double inclusion. Ainsi, an+ c etbn+ d sont premiers entre eux si et seulement si (ua+ vb)n+ (uc+ vd) et (αb− βa)n+ (αd− βc) lesont, soit (δn+ uc+ vd) ∧ (αd− βc) = 1. Ceci a lieu pour tout n si et seulement si αd− βc 6= 0, tousses facteurs premiers divisent δ et aucun ne divise uc+ vd.

Exercice 39.Par décomposition en facteurs premiers, si n = pα1

1 . . . pαk

k alors Dn = (1 + . . .+ pα11 ) . . . (1 + . . .+ pαk

k ),quantité multiplicative s’agissant d’entiers premiers entre eux.

Exercice 40.Considérons l’application ϕ : n 7→ 9n+1

10 . ϕ réalise une bijection de A sur l’ensemble B des puissancesde 10. Il en résulte qu’un polynôme P conserve A si et seulement si ϕ ◦ P ◦ ϕ−1 conserve B. SoitQ =

∑qi=0 aiX

i avec aq 6= 0 un polynôme conservant B : pour tout entier naturel n, il existe pn ∈ Ntel que Q(10n) = 10pn . Alors Q(10n)/10nq = 10pn−nq −→

n→∞aq. Ainsi, aq appartient à l’adhérence de

E = {10k, k ∈ Z}. On montre facilement que cette adhérence est E ∪ {0} et comme aq 6= 0, il vientaq = 10k pour un certain k ∈ Z. De plus, pn − nq −→

n→∞k donc pn − nq = k pour tout n suffisament

grand. Enfin pour un tel n, 10pn = Q(10n) = 10qn+k + R(10n) avec R = Q − aqXq donc R(10n) = 0.Ayant une infinité de racines, le polynôme R est le polynôme nul. En résumé, Q(B) ⊂ B ⇒ Q = 10kXq etréciproquement un tel Q convient pour k ∈ N et seulement k ∈ N. En revenant à la question de départ,

les polynômes conservant A sont les polynômes de la forme P = 10k+1−q(9X+ 1)q − 109

avec k, q ∈ N.

Exercice 41.Avec d = x ∧ y, x = ad, y = (a− 1)d il vient a(a− 1)d = 72, soit (d, a) ∈ {(1, 9), (6, 4), (12, 3), (36, 2)}puis (x, y) ∈ {(9, 8), (24, 18), (36, 24), (72, 36)}, valeurs qui conviennent effectivement.

oral-2018.tex – page 18

Page 19: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 42.On suppose n > 3 pour qu’il y ait au moins un triangle. L’aire d’un triangle est 1

2 |det(u, v)| où u, v sontles vecteurs portant deux côtés du triangle (ne pas utiliser la formule base×hauteur/2 si aucun côtédu triangle n’est parallèle à l’un des deux axes de coordonnées !). On trouve aire(Ti) = n/2. Parailleurs, les seuls points à coordonnées entière sur la frontière de Ti sont ses trois sommets du fait de laprimalité de n. On obtient a = (n− 1)/2, indépendant de i.

Démonstration du théorème (à mettre en forme) : le cas d’un rectangle à côtés parallèles aux axes esttrivial ; le cas d’un triangle rectangle à côtés parallèles aux axes s’en déduit facilement par symétrie (lespoints sur l’hypothénuse intérieurs au rectangle associé comptent pour moitié dans le triangle et dansson symétrique). Le cas général s’en déduit probablementt par décomposition du polygone en trianglesdont les sommets sont à coordonnées entières.

Méthode plus simple : on cherche le nombre de couples (x, y) ∈ N2 tels que

0 < x+ y < n etn− ii

<y

x<n− i+ 1i− 1

.

En prenant z = x + y comme variable auxilliaire, il s’agit de dénombrer les couples (x, z) ∈ N2 tels que

1 6 z 6 n− 1 et (i− 1)zn

< x < izn

. Par primalité de n les bornes ne sont pas entières, et le nombre de

x à z fixé est égal à la différence des parties entières, soit⌊ izn

⌋−⌊ (i− 1)z

n

⌋=iz

n− (iz) mod n

n− (i− 1)z

n+

(i− 1)z mod nn

=z

n− (iz) mod n

n+

(i− 1)z mod nn

.

Comme z est premier à n, l’application i 7→ (iz) mod n est une bijection de [[1, n−1]] sur Z/nZ\{0 mod n}et par conséquent,

n−1∑z=1

(iz) mod nn

=n−1∑z=1

((i− 1)z) mod nn

et le nombre total de couples (x, z) cherchés estn−1∑z=1

z

n=n− 1

2.

Exercice 43.χA(x) = x(x2 + a2 + b2 + c2) donc pour (a, b, c) 6= (0, 0, 0), A admet trois valeurs propres complexesdistinctes, 0, iα,−iα avec α2 = a2 + b2 + c2 et l’on a

exp(tA) = e0tU+ eiαtV + e−iαtW = U+ cos(αt)(V +W) + i sin(αt)(V −W),

pour des matrices U,V,W que l’on peut calculer par exemple par identification du développement limitéen t = 0 :

exp(tA) = I3 + tA+ t2A2/2 + o(t2)

U+ cos(αt)(V +W) + i sin(αt)(V −W) = U+ V +W + tiα(V −W) − t2α2(V +W)/2 + o(t2),

d’où U = I3 +A2/α2, V +W = −A2/α2, i(V −W) = A/α.

oral-2018.tex – page 19

Page 20: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 44.1) Elle est linéaire injective entre deux ev de même dimension finie.2) H = KerLA, A décrivant E \ {0}. A est déterminée par H à un coefficient multiplicatif non nul près.3) Si T est triangulaire supérieure alors T +

n ⊂ Ker(LT ) donc dim(H∩T +n ) = dim(T +

n ) = n(n−1)2 . Si T est

diagonale alors on a aussi T −n ⊂ Ker(LT ) et dim(H ∩ T −

n ) = n(n−1)2 . Si T est triangulaire supérieure

non diagonale alors il existe une matrice M ∈ T −n telle que tr(TM) 6= 0, donc H∩T −

n est un hyperplande T −

n , d’où dim(H ∩ T −n ) = n(n−1)

2 − 1. On traite de manière similaire le cas où T est triangulaireinférieure.

Exercice 45.1) χA = x3 + x, donc sp(A) = {0, i,−i} ∩K.2) Il n’y a pas unicité d’une telle matrice. Mettons D = diag(0, i,−i) sous réserve que K = C.3) Énoncé faux, M = 0 vérifie cette relation.

Exercice 46.

1) P =

(−1 0 2

1 −1 10 1 3

), D = diag(−1, 0, 2).

3) Y′ = DY.4) f(t) = −ae−t + 2ce2t, g(t) = ae−t − b+ ce2t, h(t) = b+ 3ce2t.

Exercice 47.u2 − (n− 2)u = (n− 1) id.

Exercice 48.det(A) est congru modulo 2 au déterminant de la matrice J− I2p où J ∈ M2p(R) est la matrice dont tousles coefficients valent 1. Comme J2 = 2pJ, on a sp(J) ⊂ {0, 2p}, donc sp(J − I2p) ⊂ {−1, 2p − 1} et parconséquent det(J− I2p) est un entier impair. Il en va de même pour det(A).

Exercice 49.Si P admet une racine λ 6= 0 alors la matrice A = λIn contredit la propriété voulue. Donc 0 est l’uniqueracine éventuelle de P et P = αXp avec α 6= 0 et p ∈ N. Réciproquement, ces polynômes conviennent.

Exercice 50.1) a = 2 cos θ, b = −1.2) Dn(θ) = 0 ⇔ θ ∈ π

n+ 1Z \ πZ.

3) Oui, elle est réelle symétrique.4) x− 2 cos(kπ/(n+ 1)), 1 6 k 6 n.

Exercice 53.exp(N)− In est un polynôme en N sans terme constant, donc Ker(N) ⊂ Ker(exp(N)− In). Réciproque-ment, si X ∈ Ker(exp(N) − In) et Y = NX alors P(N)Y = 0 où P(t) = 1 + t/2 + . . . + tn−1/n!. P estpremier avec le polynôme minimal de N qui est une puissance de t donc la matrice P(N) est inversible.Il vient Y = 0, soit X ∈ Ker(N). Ainsi les noyaux sont égaux.

Exercice 54.1) (AτM)ij = mτ(i),j et (MAτ)ij = mi,τ(j).

Plus généralement, (AσM)ij = mσ−1(i),j et (MAσ)ij = mi,σ(j).

Exercice 55.Ma,b = aI2n−1 + bJ2n−1 où J2n−1 est la matrice consituée de 1 sur l’anti-diagonale, et de zéros ailleurs.On a J22n−1 = I2n−1, d’oùM2

a,b = (a2+b2)I2n−1+2abJ2n−1 = (b2−a2)I2n−1+2aMa,b. Lorsque b 6= 0,Ma,b n’est pas scalaire et son polynôme minimal est de degré au moins égal à 2 ; c’est X2−2aX+a2−b2.Lorsque b = 0, le polynôme minimal est X− a.

oral-2018.tex – page 20

Page 21: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 56.1) Soit ϕ(x) = px+q : On a T(f) = f ◦ϕ, et plus généralement, Tk(f) = f ◦ϕ[k] où ϕ[k] = ϕ ◦ . . . ◦ϕ︸ ︷︷ ︸

k fois

=

x 7→ pk(x − 1) + 1. En particulier, si λ ∈ sp(T) et f est une fonction propre associée, on a pourtout x ∈ R et tout k ∈ N : λkf(x) = f(pk(x − 1) + 1) −→

k→∞f(1). En choisissant x tel que f(x) 6= 0,

on voit que la suite (λk) est convergente, d’où λ ∈ ] − 1, 1]. Le cas λ = 0 est à exclure car T estmanifestement bijective.

2) Si T(f) = λf alors T(f′) = (1/p)(T(f))′ = (λ/p)f′ et plus généralement, T(f(k)) = (λ/pk)f(k). Ayantλ 6= 0 et 0 < p < 1, il existe k ∈ N tel λ/pk /∈ ] − 1, 1] et pour un tel k, on a f(k) = 0.

3) En cherchant f, fonction propre, comme combinaison linéaire des fonctions polynomiales x 7→ (x−1)k,on trouve f(x) = a(x− 1)k, λ = pk.

Exercice 57.Oui si et seulement si (a|b) 6= 0.

Exercice 58.Orthodiagonaliser u. Il vient f(x) =

∑i λ

2ix

2i − (

∑i λix

2i )

2 ou les λi sont les valeurs propres de u et xiles coordonnées de x dans une base orthonormale propre associée. S’il existe i tel que λi 6= 0, alors enprenant xi = t, xj = 0 pour j 6= i il vient f(x) = λ2

i (t2 − t4) −→

t→∞−∞ et donc f est non minorée. S’il

n’existe pas de tel i alors f est identiquement nulle, et par conséquent minorée avec inf(f) = 0.

S’il existe i, j tels que λiλj < 0 : on prent xi = t/√|λi|, xj = t/

√|λj| et tous les autres xk nuls. Il vient

f(x) = (|λi| + |λj|)t2, quantité non majorée. Si au contraire, λiλj > 0 pour tous i, j alors

f(x) =∑i

λ2i (x

2i − x4

i ) − 2∑i<j

λiλjx2ix

2j 6

∑i

λ2i (x

2i − x4

i ) 614

∑i

λ2i .

En conclusion, f est majorée si et seulement la suite (λi) est de signe constant. Reste à déterminer sup(f)dans ce cas . . .

Exercice 59.La base canonique de M2(R) est orthonormale, donc la distance est la racine carrée de la somme descarrés des coefficients en trop ; d = 1.

Exercice 60.Il suffit de prouver que l’intersection est nulle. Si X = AY et AX = 0 alors tXX = tYtAX = −tYAX = 0donc X = 0.

Exercice 61.La condition est clairement nécessaire. Pour le caractère suffisant, on considère (e1, . . . , en) une baseorthonormale de E et σi la réflexion de base e⊥i . On a u(σi(ei)) = σi(u(ei)), soit u(ei) ∈ 〈ei〉 et doncu(ei) = λiei pour un certain λi ∈ R. Ensuite, pour i 6= j soit σij l’unique réflexion échangeant ei et ej.De u(σij(ei)) = σij(u(ei)), on tire λi = λj. Ainsi u et λ1 idE coïncident sure une base de E ; ils sontégaux.

Exercice 62.2) Inégalité de Cauchy-Schwarz, il y a égalité si et seulement si A est scalaire.3) C’est un hyperplan, de dimension n2 − 1.4) F⊥ = 〈In〉.

Exercice 63.On supposera les tirages mutuellement indépendants et le choix de l’urne initiale uniforme.1) p1 = 1

2 ( 25 + 4

7 ) = 1735 .

3) pn+1 − pn = − 635 (pn − pn−1) d’où pn+1 − pn = (− 6

35 )n−1(p2 − p1) puis

pn = p1 +∑n−1k=1 (pk+1 − pk) = p1 + (p2 − p1)

1 − (− 635 )n−1

1 + 635

= 2041 − 3

1435 (− 635 )n−1.

oral-2018.tex – page 21

Page 22: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 64.On ajoute les hypothèses d’indépendance mutuelle qui s’imposent et on note dk ∈ {0, 1, 2} la distanceentre les ballons après k tours (d0 = 1). X est le nombre de tours nécessaires pour passer de l’état{d0 = 1} à l’état {d0 = 0} ; on note Y le nombre correspondant si l’on était parti de l’état {d0 = 2}. Ilvient :

P(X = n) =12P(X = n− 1) +

12P(Y = n− 1),

P(Y = n) =12P(Y = n− 1) +

14P(X = n− 1) +

14δn1.

En passant aux fonctions génératrices, on obtient :

GX(z) = z(GX(z) +GY(z))/2,GY(z) = z(GY(z)/2 +GX(z)/4 + 1/4).

puis GX(z) = z2

8 − 8z+ z2, ce qui permet d’obtenir la loi de X. En particulier, E(X) = 8.

Exercice 65.3) Nn = X1 + . . .+ Xn, donc E(Nn) = E(X1) + . . .+ E(Xn) = 1. Dn = {X1 = 0, . . . , Xn = 0}, mais cela

ne donne pas directement P(Dn) car on ne dispose pas facilement de la loi conjointe de (X1, . . . , Xn).4) Une permutation σ appartient à l’évènement {Nn = k} si et seulement s’il existe un sous-ensembleX ⊂ [[1, n]] de cardinal k tel que σ(x) = x pour tout x ⊂ X et un dérangement s de [[1, n]] \ X tel queσ(x) = s(x) pour tout x ∈ [[1, n]] \X. A X fixé, le nombre de telles permutations σ est égal au nombrede dérangements de [[1, n]] \ X, soit dn−k et le nombre de sous-ensembles X est

(nk

), d’où la première

formule, sachant que Dnk est exactement le nombre de permutations de [1, n]] ayant k points fixes.La deuxième en résulte en sommant sur k et en remarquant que

(nk

)=(nn−k

).

5) Il est bien connu que les matrices A =((i−1j−1

))et B =

((−1)i+j

(i−1j−1

))de Mn+1(R) sont inverses

l’une de l’autre. D’après la question précédente,

( 0!...n!

)= A

d0...

dn

, d’où

d0...

dn

= B

( 0!...n!

)et en

particulier, dn =∑n+1j=1 (−1)n+1+j

(nj−1

)(j− 1)! =

∑n+1j=1 (−1)n+1+j n!

(n− j+ 1)!= n!

∑nk=0(−1)k 1

k!.

On en déduit dn/n! −→n→∞

e−1. Enfin, P(Nn = k) = Dnk/n! = dn−kk! (n− k)! .

Exercice 66.1) Par dérivation terme à terme ou produit de Cauchy, on sait que

∑∞n=0 nq

n−1 = 1(1 − q)2

. D’où∑∞n=0 nq

n = q(1 − q)2

.

2) b) P(X = k) = 5k−1

6k , Y = (−1)X × X, E(Y) =∑∞k=1(−1)kk× 5k−1

6k = 15 × −5/6

(7/6)2 = − 649 .

Exercice 67.Faux, prendre X = Y = 1

2 (fonction constante).

Exercice 68.1) J’interprète l’énoncé en considérant que les deux Pile à obtenir n’ont pas à être consécutifs. Dans ce

cas, P(X = k) = (k+ 1)p2qk avec q = 1 − p.2) E(X) =

∑∞k=0 k(k+ 1)p2qk = 2q

p.

3) P(Y = k) =∑∞n=0 P(X = n, Y = k) =

∑∞n=k p

2qn = pqk puis E(Y) = q/p.4) Non.

oral-2018.tex – page 22

Page 23: MP -2018 Exercices d’oralmichel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf · 3) Prouver que si hest strictement positive, alors (h) >0. Exercice 9. Mines (Noblet, Dijon) Soient d2 N et (P k)

Exercice 69.Par indépendance mutuelle, GX(t) = GX1(t) . . . GXn

(t) =∏ni=1(pit + 1 − pi)mi . Par unicité d’une

factorisation dans C[t], ce produit est la fonction génératrice d’une variable binomiale si et seulement sitous les facteurs ont mêmes racines, soit si et seulement si tous les pi sont égaux.

Exercice 70.1) Un sur-mot de u s’obtient en ajoutant des mots arbitraires entre les lettres de u ainsi qu’au début et

à la fin de u. Ainsi, si u = a1 . . . an alors l’ensemble des sur-mots de u est Σ∗a1Σ∗ . . . Σ∗anΣ

∗.

En particulier, l’ensemble des sur-mots de ε est Σ∗ et le langage des sur-mots de tout langage Lcontenant ε est Σ∗. Ainsi, L0 = Σ∗ et L1 = Σ∗aΣ∗aΣ∗, le langage des mots contenant au moinsdeux a.

3) Transformer un automate reconnaissant L en ajoutant une flêche étiquetée par Σ à chaque état.4) La réponse précédente fournit un algorithme. L’efficacité ne pourrait se discuter que si l’on savait

comment trouver un mot dans L \ Fn. . .5) On construit une suite (Fn) de langages finis de proche en proche de la manière suivante :

– on pose F0 = ∅.– si Fn est défini et Fn 6= L, alors on choisit ωn ∈6= L \ Fn et on pose Fn+1 = Fn.

Par récurrence Fn ⊂ L et pour tous i < j tels que wi et wj existent, on n’a pas wi 6 wj. Avec lethéorème admis, la suite (Fn) est finie et le dernier langage construit convient.

6) Résulte de 3) et 5).7) Oui, tout langage non clos, par exemple ε.8) Par sous-mot de u, on entend tout mot obtenu à partir de u en supprimant des lettres. Si L est

un tel langage, alors le langage L′ = Σ∗ \ L est clos par sur-mot, donc régulier. Ainsi, en tant quecomplémentaire, L est lui aussi régulier.

oral-2018.tex – page 23