Movimiento Armónico Simple - .Movimiento Armónico Simple Ejercicio 1 Una partícula vibra con una

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  • Movimiento Armnico Simple

    Ejercicio 1

    Una partcula vibra con una frecuencia de 30Hz y una amplitud de 5,0 cm. Calcula la velocidad mxima y la aceleracin mxima con que se mueve.

    En primer lugar atenderemos a la ecuacin del movimiento armnico simple dada por:

    x = Asen(t + )

    dnde A representa la amplitud del movimiento, la frecuencia angular y la fase inicial.

    Atendiendo a los datos del enunciado tenemos los siguientes datos (los cuales es obligatorio transformarlos al sistema metro/kg/segundo):

    A = 5 cm = 0,05 m = 2 f = 2 30 = 60rad / s

    Por tanto la onda queda expresada como:

    x = 0,05sen(60t + )

    En este caso la fase inicial no se haya especificada en el problema. Sin embargo para resolver el ejercicio es no es necesaria.

    Puesto que nos piden la velocidad mxima, en primer lugar ser necesario encontrar la expresin de la velocidad del movimiento. Esta viene dada por la derivada con respecto al tiempo de la ecuacin, es decir:

    v = dxdt

    =d(0,05sen(60t + )

    dt= 0,05 60 cos(60 + )

    Para encontrar la velocidad mxima se tiene en cuenta que los valores que puede tomar la funcin coseno se mueven entre [-1,1], por lo que la velocidad mxima se obtiene en el momento en que el coseno vale 1, es decir:

    vmax = 0,05 60 = 3m / s

    Por otra parte, la aceleracin de un movimiento armnico simple se calcula mediante la derivada con respecto al tiempo de la velocidad, es decir:

    a = dvdt

    =d(3 cos(60t + )

    dt= 60 3 sen(60 + )

  • Y al igual que antes, al moverse el seno entre los valores [-1,1], la aceleracin mxima ocurre cuando el seno toma como valor 1, es decir:

    amax = 1802m / s

    2

  • Ejercicio 2

    Cmo se modifica la energa mecnica de un oscilador en los siguiente casos?

    a) Si se duplica la frecuencia.

    La expresin de la energa mecnica para un movimiento armnico simple viene dada por la siguiente expresin:

    Em =12kA2

    Como se puede ver, la energa mecnica del oscilador depende de la amplitud y de la constante elstica / recuperadora k, la cual tiene la siguiente expresin:

    k = 2m

    Por tanto, podemos reescribir la ecuacin de la energa mecnica de la siguiente forma:

    Em =12 2mA2

    Por tanto si se duplica la frecuencia, y teniendo en cuenta que la velocidad angular viene dada por:

    = 2 f

    la velocidad angular se duplicar tambin, y por tanto la energa mecnica ser cuatro veces ms grande:

    2 = 2 (2 f ) Em =12m(2 )2A2 = 1

    2m4 2A2 = 4Em

    b) Si se duplica la masa.

    Al igual que antes, partimos de la expresin de la energa mecnica:

    Em =12 2mA2

    Si la masa se duplica, la energa mecnica ser el doble:

    Em =12 2 (2m)A2 = 2Em

    c) Si se duplica el periodo.

    La velocidad angular tal y como se dijo antes posee la siguiente expresin:

  • = 2 f = 2T

    Por tanto si se duplica el periodo, la velocidad angular se ver reducida a la mitad:

    ' = 22T

    =2

    Y por tanto la expresin de la energa mecnica queda como:

    Em' =

    12m(2)2A2 = 1

    2m 14 2A2 = 1

    4Em

    Es decir, se ve reducida 4 veces menos.

    d) Si se duplica la amplitud.

    Finalmente si se duplica la amplitud, la expresin de la energa mecnica queda como:

    Em' =

    12m 2 (2A)2 = 1

    2m4 2A2 = 4Em

    Es decir, aumenta en cuatro veces ms.

    Ejercicio 3

    Una partcula vibra con una frecuencia de 5Hz. Cunto tiempo tardar en desplazarse desde un extremo hasta la posicin de equilibrio?

    El periodo de un movimiento armnico simple representa el tiempo que tarda la partcula en realizar una oscilacin completa, es decir:

  • Por tanto, el tiempo que tarda en desplazarse desde un extremo hasta la posicin de equilibrio ser la cuarta parte del periodo, puesto que la posicin de equilibrio se alcanza en el corte de la funcin con el eje de las x.

    As que, si la partcula vibra con una frecuencia de 5Hz, el movimiento que genera tiene un periodo de:

    T = 1f=15s

    Y por tanto, el tiempo que tardar en desplazarse desde un extremo (parte ms alta de la onda) hasta la posicin de equilibrio ser:

    T4= 0,05s

    Ejercicio 4

    Una masa de 0,50 kg cuelga de un resorte con constante de elasticidad k = 50N / m . Si la desplazamos 5,0 cm y la soltamos, calcula:

    a) La frecuencia.

    En primer lugar es necesario visualizar el siguiente dibujo:

    Al estirar el objeto hasta abajo estamos generando un movimiento armnico simple que tendr como amplitud los metros que hayamos estirado, en este caso 5 cm = 0,05 m.

    As que:

    A = 0,05m

    Por otra parte, y puesto que conocemos el valor de la constante de elasticidad y la masa que cuelga del muelle, es posible obtener mediante la frmula:

  • k = 2m

    La velocidad angular del movimiento, la cual vale:

    = km

    =500,50

    = 10rad / s

    Y conocida la velocidad angular, la frecuencia se obtiene mediante:

    f = 2

    =102

    = 1,6Hz

    b) La velocidad que tiene cuando pasa por la posicin de equilibrio.

    Para este apartado en primer lugar ser necesario escribir la ecuacin del movimiento armnico simple con los datos proporcionados, es decir:

    x = 0,05sen(10t + )

    La velocidad por tanto queda como:

    v = dxdt

    =d(0,05sen(10t + )

    dt= 0,5cos(10t + )

    Puesto que nos piden la velocidad cuando pasa por la posicin de equilibrio, en primer lugar ser necesario calcular los instantes en los cuales la partcula pasa por la posicin de equilibrio, es decir, cuando x = 0:

    0 = 0,05sen(10t + ) sen(10t + ) = 0

    Dado que en el enunciado no especifican la fase inicial, y ya que el objeto se supone en reposo podemos suponer que esta es 0, por lo que la ecuacin queda como:

    sen(10t) = 0 10t = 0 + k t = k10

    s

    Es decir, la partcula atraviesa la posicin de equilibrio de forma peridica siempre que t

    valga k10

    s .

    Finalmente, tomando por ejemplo k=0, obtenemos t = 0, y por tanto la velocidad en la posicin de equilibrio es:

    v = 0,5cos(10 0) = 0,5m / s

  • Ejercicio 5

    Una partcula vibra de modo que tarda 0,50 s en ir desde un extremo a la posicin de equilibrio, distantes entre s 8,0 cm. Si para t = 0 la elongacin de la partcula es de 4,0 cm, halla la ecuacin que define este movimiento.

    La ecuacin de un movimiento armnico simple viene definida por:

    x = Asen(t + )

    Es decir, es necesario definir el valor de la amplitud del movimiento, la fase inicial y la velocidad angular.

    Por el enunciado sabemos que la partcula tarda 0,5 s en ir desde un extremo a la posicin de equilibrio. En un movimiento armnico simple, el periodo es el tiempo que tarda en realizar una vibracin completa, por ejemplo, entre los dos extremos. Por tanto, y atendiendo al dibujo:

    si la partcula tarda 0,5 s en ir desde un extremo a la posicin de equilibrio, el periodo ser:

    T = 4 0,5 = 2s

    Y conociendo el periodo la velocidad angular vale:

    = 2T

    = rad / s

    En cuanto a la amplitud, esta vale 0,08 m, pues la amplitud representa la distancia entre un extremo y la posicin de equilibrio.

    As que el movimiento tiene la siguiente ecuacin:

  • x = 0,08sen(t + )

    Es decir, solo queda calcular la fase del movimiento. Para ello hay que tener en cuenta que para t = 0 s, la elongacin vale 0,04 m, es decir:

    0,04 = 0,08sen( 0 + );

    12= sen( ) =

    656

    Por lo que la ecuacin del movimiento queda finalmente definida por:

    x = 0,08sen(t + 6)

    x = 0,08sen(t + 56)

    Ejercicio 6

    Un muelle se alarga 25 cm cuando se cuelga de l una masa de 2,0 kg. Calcula la frecuencia y la velocidad mxima de oscilacin de la masa, sabiendo que la amplitud del movimiento es 5,0 cm.

    Dato: g0 = 9,8m / s2

    Cuando colgamos de un muelle una determinada masa aparecen dos fuerzas iguales y de sentido opuesto:

    - La fuerza recuperadora del muelle que tira hacia arriba.- El peso del objeto que tira hacia abajo.

    Como ambas fuerzas adems han de ser iguales, se tiene que:

  • Frecuperadora = Peso kx = mg k 0,25 = 2 9,8 k = 78,4N / m

    Por otra parte sabemos que la amplitud del enunciado es de 0,05m .

    Con estos datos ya es posible responder a las preguntas del enunciado, pues la frecuencia del movimiento es posible calcularla mediante:

    = km

    = 78,42

    = 6,26rad / s;

    f = 2

    = 1Hz

    El movimiento producido tiene la siguiente forma (pudiendo considerar que la fase inicial es 0):

    x = Asen(t + ) x = 0,05sen(6,26t)m

    Por tanto la expresin de la velocidad queda como:

    v = dxdt

    =d(0,05sen(6,26t)

    dt= 0,313cos(6,26t)m / s

    La velocidad mxima se alcanza cuando el coseno vale 1, es decir:

    vmax = 0,313m / s

    Ejercicio 7

    Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5cm. Cuando se aade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilacin pasa a ser de 0,5 Hz. Determinar:

    a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte.

    La constante recuperadora del muelle es siempre la misma independientemente de la masa, por tanto:

    1 = 2 f1 = 2 1 = 2rad / s2 = 2 f2 = 2 0,5 = rad / sk = k m1

    2 = (m + 0,3)22 m4 2 = (m + 0,3) 2 4m = m + 0,3 m = 0,1kg;

    k = m 2 = 0,1 4 2 = 3,94N / m

    b) El valor de la amplitud de oscilacin en el segundo caso, si la energa mecnica es la misma en ambos casos:

  • Em1 = Em

    2 12kA1

    2 =12kA2

    2 A12 = A2

    2 A1 = A2 = 0,05m

    Ejercicio 8

    Un astronauta ha instalado en la Luna un pndulo simple de 0,86 m de longitud y comprueba que oscila con un periodo de 4,6 s. Cunto vale la aceleracin de la gravedad en la Luna?

    Un pndulo de longitud l que oscila en una localizacin con gravedad g tiene el