Notas de aula - Física II – Prof. Ricardo 1

MOVIMENTO ONDULATÓRIO

1 – Ondas Mecânicas e Ondas Eletromagnéticas A principal característica de uma onda mecânica é que ela é governada pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se propagarem.

Por outro lado, a onda eletromagnética não requer um meio material para sua propagação e tem campo elétrico e campo magnético oscilando em conjunto. O exemplo mais comum de uma onda eletromagnética é a luz. 2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais As ondas transportam energia e momento através do espaço, mas não transporta matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio. Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1). As ondas de gravidade na atmosfera são exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma interessante animação no seguinte endereço: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html . As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação (Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Applets/Waves/LWave01/LW01.html .

Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal.

Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal.

Pulsos Ondulatórios (Função de Onda) A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante 0=t . A forma da onda, neste instante, pode ser representada por uma função ( )´xfy =′ . Num instante posterior o pulso avançou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O’, que avança com a mesma velocidade do pulso, este pulso é estacionário.

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Fig. 3 – Pulso ondulatório que move sem alterar sua forma. O valor de x´ não é fixo.

As coordenadas nos dois sistemas estão relacionadas por:

vtxxvtxx −=′⇒+= ´ . (1) Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avançando para direita é:

( )vtxfy −= . (2) No caso de uma onda avançando para esquerda teremos:

( )vtxfy += . (3) Nas duas expressões anteriores, v é a velocidade de propagação da onda. A função

( )vtxfy −= é a função de onda. No caso de ondas numa corda, a função de onda representa o deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acústicas no ar, a função de onda pode representar o deslocamento longitudinal das moléculas do ar, ou então a pressão. Velocidade das Ondas

A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas não depende do movimento da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do movimento ondulatório. Para ondas numa corda, quanto maior for a tensão na corda, mais rápida será a propagação das ondas. Além disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa corda pesada, ambas sujeitas à mesma tensão. A velocidade (v) de propagação de uma onda numa corda, como mostraremos depois, é dada por:

µF

v = (4)

onde F é a tensão na corda e µ a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento). No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou a água, a velocidade ( )v de propagação é da por:

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ρB

(5)

onde B é o módulo de compressibilidade (já estudado no Capítulo de Fluidos) e ρ é a densidade do meio. Em geral, a velocidade das ondas depende da propriedade elástica do meio (tensão nas cordas e módulo de compressibilidade, nas ondas acústicas) e de uma propriedade inercial do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). Mostraremos mais na frente que a velocidade ( )v do som num gás é dada por:

M

RTv

γ= (6)

onde T é a temperatura absoluta em kelvins (K), γ depende da espécie do gás. Nos gases de moléculas diatômicas O2 e N2, γ tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R é a constante dos gases ideais e vale 8,314 J/mol.K Demonstração da equação (4) Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tensão F será aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com velocidade v para direita, o pulso está estacionário e a corda se desloca com velocidade v . A Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento S∆ . Num certo instante, o segmento tem velocidade v numa trajetória circular e, por isso, tem uma aceleração

centrípeta Rv2

.

θ/2

θ/2 Fy F

R

F

Fy

Corda

θ/2

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Considere um seguimento de corda tensionado com a presença de uma onda (pulso) propagando com uma velocidade v. Sejam os seguintes parâmetros necessários para obtenção da relação de velocidade da onda e tensão: µ = Densidade linear de massa; F = Tensão na corda; Fr = Componente radial da tensão; R = Raio do arco de circunferência (seguimento da corda); As componentes horizontais das forças não serão consideradas porque elas serão anuladas. Veja que estas componentes têm sentidos opostos. A partir da figura acima podemos escrever que:

sen sen2 2

yy

FF F

F

θ θ = ⇒ =

. (7)

Igualando o somatório de Fy a força centrípeta e considerando o ângulo bem pequeno (sen θ ≅ θ), obtemos:

2 2

2 22

y

mv mvF F F

R R

θθ = = ⇒ =

(8)

Mas a massa no segmento de corda é dada por:

θµµ Rlm == . (9) O que leva a seguinte equação:

µθµ

θF

vR

vRF =⇒=

2

. (10)

2 – Ondas Harmônicas Numa Corda Uma onda que pode ser representada por uma senóide ou cossenóide é denominada de onda harmônica (veja Figura 6).

Fig. 6 – Onda harmônica em um dado instante. A abscissa é dada em termos de x expresso em função do comprimento de onda ou em termos de número de ondas.

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Numa corda, à medida que a onda se propaga, cada ponto da corda se desloca para cima e para baixo, perpendicularmente à direção de propagação, descrevendo um movimento harmônico simples, cuja a freqüência f é denominada freqüência da onda. Durante um intervalo de tempo

(período da onda) fT 1= , a onda avança de uma distância λ denominada de comprimento de

onda. Desta forma velocidade da onda será dada por:

λλ

fT

v == (11)

A função seno que descreve o deslocamento (para cima e para baixo) é:

)sen()( δ+= kxAxy (12)

onde A é amplitude (deslocamento máximo), δ é a constante de fase (deslocamento para 0=x ). O número de onda, k, representa a quantidade de onda em um metro de comprimento. No nosso caso vamos utilizar o número de onda angular, muitas vezes chamado de número de onda, cuja unidade é rad/m. Assim como a frequência representa o número de oscilações no tempo, o número de onda representa o número de oscilações no espaço.

Consideremos um ponto 1x separado de outro 2x por comprimento de onda ( )λ , de modo que

λ+= 12 xx . Os deslocamento nos dois pontos são iguais, ou seja, )()( 21 xyxy = , assim

( ) ( ) ( ) ( )λλ kkxxkkxkx +=+== 1121 sensensensen , (13) esta igualdade trigonométrica só ocorre se πλ 2=k (uma volta completa no círculo trigonométrico).

Consideremos agora a onda avançando para direita com velocidade v , a variável x na equação (12) passa a ser vtx − . Tomando a fase como zero podemos escrever:

( ) ( ) ( )kvtkxAvtxkAtxy −=−= sensen, ou

( ) ( )tkxAtxy ω−= sen), (14)

onde fizemos kv=ω , freqüência angular, e está relacionada com a freqüência f e o período T

por T

fπ

πω2

2 == . Note que a equação (14) tem duas variáveis.

Energia das Ondas Numa Corda A Figura 7 mostra uma rolha de cortiça dentro da água quando é interceptada por uma onda. A onda transfere energia para rolha. Esta energia aparece como um aumento na energia potencial da rolha. A fim de calcular a energia que uma onda numa

Fig. 7 – Rolha de cortiça elevada por uma onda.

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corda transporta, vamos considerar que um segmento da corda, dentro de um período de oscilação, tem tanto energia cinética com energia potencial elástica. A energia potencial gravitacional, neste caso, não é considerada visto que, num período de oscilação, ela se anula. Seja x∆ o comprimento do segmento de uma corda e x∆µ a respectiva massa ( )m∆ . O deslocamento em relação à posição de equilibro é dado pela função de onda )sen( tkxAy ω−= .

A velocidade é dada por dtdy . Assim, a energia cinética do segmento será:

( ) ( )2

2

2

1

2

1

∆=∆=∆dt

dyxvmK y µ (15)

Calculando a derivada de y com relação a t, obtemos:

( )( )( )

sencos

d A kx tdyA kx t

dt dt

ωω ω

−= = − − (16)

Escrevendo a energia cinética na forma diferencia:

( )2 2 21cos

2dK A kx t dxµω ω= − (17)

Ao integrarmos dK dentro de um comprimento de onda completo (isso equivale a integrar dentro de um período T), obtemos a energia cinética média dentro deste intervalo, ou seja 1 :

2 2 2 2 2

0

1 1cos ( ) .

2 4K A k x t dx A

λµω ω µω λ= − =∫ (18)

Lembre-se que k = 2π/λ. A energia potencial de um segmento é o trabalho realizado na elongação da corda. A expressão é mesma daquela que usamos quando queremos calcular a energia que uma mola distendida (ou comprimida) possui. Se um segmento da corda de massa) m está numa posição y, então a energia potencial elástica deste segmento é dada pela equação abaixo:

2 21( )

2U m yω∆ = ∆ (19)

Na forma diferencial, podemos reescrever a energia potencial como sendo:

( )2 2 21sen .

2dU A kx t dxµω ω= − (20)

Ao integrar (20), semelhante ao que fizemos com a energia cinética , obtemos:

1 ( ) ( )2 2

0 0

cos sen2

k x t dx k x t dxλ λ

λω ω− = − =∫ ∫ .

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2 21.

4U Aµω λ= (21)

A energia total média será soma destas duas energias:

2 21.

2mE K U Aµω λ= + = (22)

As equações (18) e (21) podem ser entendidas com o valor médio dentro de um comprimento de onda (ou período). Sendo assim, podemos entender a equação (30) como a energia média total contida em um comprimento de onda. Ou seja:

2 21

2medE Aµω λ= . (23)

Potência média de uma onda Consideremos que uma onda em uma corda atinja um ponto 1p no instante 1t . A parte da corda

à esquerda de 1p tem energia devido ao movimento harmônico simples dos seus segmentos, no

entanto, a parte da corda à direita de 1p não tem energia, pois seus segmentos estão em repouso (veja Figura 8a). Depois de um tempo t∆ a onda avançou para direita uma distância v t∆ (veja Figura 8).

A energia média que passou pelo ponto 1p durante o intervalo de tempo T é a energia média em

vTλ = , ou seja,

2 21

2medE A vTµω= (24)

A potência média transmitida é dada pela taxa temporal de transmissão de energia:

2 21

2

medmed

EP A v

Tµω= = (25)

A equação (33) mostra que a energia e a potência média são proporcionais ao quadrado da amplitude.

λ

p1

Fig. 8 – Onda numa corda, direita de 1p sem energia (superior). Onda na corda, direita de 1p com energia

(inferior).

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Ondas Sonoras Harmônicas As ondas sonoras harmônicas podem ser geradas, no ar, por um diapasão, por uma pessoa falando, ou por um alto-falante que esteja vibrando com movimento harmônico simples. A fonte de vibração provoca a oscilação das moléculas com suas vizinhanças em torno de um ponto de equilíbrio. Os choques entre moléculas vizinhas provocam oscilações semelhantes. Podemos descrever uma onda sonora através de uma função ),( txs que representa o deslocamento das moléculas em relação ao equilíbrio:

)sen(),( 0 tkxstxs ω−= (26)

Os deslocamentos estão orientados na direção do movimento da onda e provocam variações na densidade e na pressão no ar. Figura 9 mostra a variação, com x, do deslocamento das moléculas.

Como a pressão de um gás é proporcional a sua densidade, a variação de pressão (pois está superposta uma pressão de equilíbrio) é máxima quando a variação de densidade for também máxima. A Figura 9 mostra que a variação de densidade (ou pressão) está defasada do deslocamento de 90°. Quando o deslocamento é nulo, a variação de densidade (ou pressão) é máxima ou mínima. Quando o deslocamento é máximo ou mínimo, a variação de densidade (ou pressão) é nula. Dessaa forma, podemos representar uma onda sonora por uma onda de pressão dada por:

( )20πω −−= txksenpp (27)

onde p é variação de pressão em relação á pressão de equilíbrio, 0p é o máximo (quando a

função seno é igual um) desta variação de pressão. A amplitude da variação de pressão 0p está

relacionada com a amplitude do deslocamento 0s por:

00 vsp ρω= (28)

onde v é a velocidade de propagação e ρ a densidade do gás no equilíbrio. Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 HZ até cerca de 20.000 HZ. Um ouvido humano normal consegue ouvir sons (dentro do limiar de audição) entre 3x10-5 e 30 Pa.

Fig. 9 – Gráfico do deslocamento das moléculas de ar num dado instante. Veja uma interessante animação com esta figura no seguinte endereço: http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves-intro/waves-intro.html

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Energia de Ondas Sonoras A energia média de uma onda sonora harmônica, num elemento de volume V∆ , é dada pela equação (23):

xAEmed ∆=∆ 22

2

1µω

Por analogia, podemos substituir A por 0s e xm ∆=∆ µ ou Vm ∆=∆ ρ , tomando ρ como a

densidade média do meio. Dessa forma:

VsEmed ∆=∆ 2

0

2

2

1ρω (29)

A energia média por unidade de volume é a densidade de energia média ( )medη :

2

0

2

2

1s

V

Emedmed ρωη =

∆∆= (30)

3 – Ondas em Três Dimensões Estas ondas são geradas por uma fonte puntiforme que oscila com movimento harmônico simples. O comprimento de onda é a distancia entre cada superfície esférica (concêntricas) sucessiva. Cada superfície esférica é uma frente de onda. O movimento das frentes de onda pode ser representado por raios que são retas perpendiculares às frentes de onda.

Fig. 10 – Frente de ondas esféricas divergindo de uma fonte puntiforme. Intensidade das Ondas

A potência média por unidade de área perpendicular à direção de propagação é a intensidade da onda e é dada por:

A

PI med= . (31)

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Fig. 11 – Determinação da intensidade de uma onda num certo ponto.

A uma distância r de uma fonte puntiforme, que emite uniformemente em todas as direções, a intensidade é:

24

medPI

rπ= . (32)

A intensidade de uma onda varia com o inverso do quadrado da distância. A unidade da Intensidade no SI é Watts/m2. A Figura 12 mostra uma onda esférica que atingiu uma distancia 1r . O volume dentro da esfera

de raio 1r contém energia, pois, nesta região, as partículas estão oscilando harmonicamente.

Fig. 12 – Volume da casca = A tv∆ . Onde A é a área da casca esférica de raio r1.

A região fora da esfera de raio 1r não contém energia porque a onda ainda não atingiu esta região. Após um intervalo t∆ a onda avançou uma distancia tvr ∆=∆ . A energia média na casca esférica de área A , espessura tv∆ e volume V∆ é dada por:

tAvVE medmedmed ∆=∆=∆ ηη (33)

A potência média que entra na casca será dada por:

Avt

tAv

t

EP med

medmedmed η

η=

∆∆

=∆∆= (34)

Assim, a intensidade será:

vA

Av

A

PI med

medmed ηη

=== (35)

A equação (43) mostra que a intensidade de uma onda é igual ao produto da densidade média de energia pela velocidade de fase da onda. Utilizando a equação (38) determinamos à intensidade de uma onda sonora:

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v

pvsvI med ρ

ρωη2

02

0

2

2

1

2

1=== , (36)

onde fizemos vps ρω

00 = . Este resultado é geral para qualquer tipo de onda, ou seja, a

intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude.

Fig. 13 - O ouvido humano consegue ouvir um som cuja intensidade mínima é de 1x10-12W/m2. A intensidade máxima, em que o ouvido sente dor, é de 1W/m2.

Nível de Intensidade e Sonoridade A sensação psicológica de sonoridade (volume do som) varia aproximadamente com o logaritmo da intensidade e não com a própria intensidade. Para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora, adota-se uma escala logarítmica β . A unidade de medida é o decibel (dB), definido por:

0

log10I

I=β (37)

onde I é a intensidade do som e oI é o limiar da audibilidade (10-12 W/m2)

Nesta escala teremos:

( )

===→

==→

−dBdordeSensação

dBdeaudibilidadaLimiar

12010log1010

1log10

0I

I10log

12

12

0

0

β

β

__________ Obs.1) Se y = log (x), então x = 10 y. 2) É possível uma pessoa escutar um som com nível de intensidade abaixo de 0 dB!!?? Ao ladrar, um cachorro emite cerca de 1 mW de potência. a) Se esta potência estiver uniformemente distribuída em todas as direções, qual o nível de intensidade do latido a uma distância de 5 m? b) Qual seria o nível de intensidade se dois cachorros estivessem latindo ao mesmo tempo, cada um emitindo 1 mW de potência? Solução:

Calculamos o de intensidade utilizando a equação 24 rPIπ

= .O nível de intensidade e a

intensidade estão relacionados por 0

log10 II=β . Assim, a intensidade para mr 5= será:

Notas de aula - Física II – Prof. Ricardo 12

( )26

2

3

2/1018,3

54

10

4mWx

r

PI −

−

===ππ

Agora podemos calcular o nível de intensidade:

dBXx

I

I65)1018,3log(10

10

1018,3log10log10 6

12

6

0

====−

−

β

Se considerarmos

1I a intensidade do latido de um cachorro, a intensidade para os dois será

12 2II = . Desta forma, o nível de intensidade para os dois cachorros será:

dBI

I

I

I

I

I

o

682log10log102log102

log10log100

1

0

122 =+=+=== ββ .

Este exercício mostra que se a potência estiver distribuída uniformemente e se a intensidade for duplicada, o nível de intensidade aumenta de 3 dB. Veja uma simulação da variação de dB e frequencia sonora no endereço: http://science.education.nih.gov/supplements/nih3/Hearing/activities/lesson3.htm . Nota: Se o cachorro estivesse no chão, poderíamos dizer que o som propagaria uniformente num hemisfério (metade de uma esfera). Neste caso, a área deve ser dada por 2πr2. A sensação de sonoridade depende da freqüência e também da intensidade do som. A Tabela 1 mostra a intensidade em dB de algumas fontes sonoras. A Figura 14 mostra a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência.

Tabela 1 – Fontes sonoras e suas respectivas intensidades

Fonte 0I

I dB Descrição

100 0 Limiar da audibilidade Respiração normal 101 10 Quase inaudível Folhas sussurrantes 102 20 Murmúrios (a 5 cm) 103 30 Muito silencioso Biblioteca 104 40 Escritório tranqüilo 105 50 Silencioso Conversação normal (a 1 m) 106 60 Tráfego pesado 107 70 Escritório barulhento; fábrica comum 108 80 Caminhão pesado (a 15 m) 109 90 Exposição constante prejudica a

audição Trem de metrô 1010 100 Construção civil (a 3 m) 1011 110 Concerto de rock com amplificadores (a 2 m; decolagem de jato (a 60 m)

1012 120 Limiar de audição dolorosa

Martelo pneumático; metralhadora 1013 130 Decolagem de jato (nas vizinhanças) 1015 150 Motor de foguete de grande porte (nas vizinhanças)

1018 180

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Fig. 14 – Gráfico mostrando a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência. Note que o ouvido humano é mais sensível, em todos os níveis de intensidade, aos sons com freqüências aproximada

de 4 kHz.

Fig. 14-a – O gráfico mostra o nível de intensidade em função da freqüência percebida por um paciente. Note que

o ouvido é mais sensível aos sons com freqüências aproximada entre 500 e 1000 Hz. 4 – Ondas Sonoras Encontrando Obstáculos O comportamento de uma onda sonora ao atingir uma superfície é semelhante àquele que ocorre com uma onda luminosa ao incidir, por exemplo, num vidro ou num espelho. Ou seja, ela sofre reflexão e/ou transmissão na interface destes dois meios. O ângulo que uma onda luminosa é transmitida e/ou refletida depende dos índices de refração destes meios (este assunto é melhor estudado num curso de Ótica); no caso de uma onda sonora, as velocidades das ondas nestes meios, mais especificamente, é quem vai dizer o comportamento do raio transmitido e do refletido. Em três dimensões, a fronteira entre duas regiões onde as velocidades são diferentes é uma superfície. A Figura 15 mostra um raio incidindo sobre uma superfície.

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Fig. 15 – Onda atingindo a fronteira de dois meios nos quais a velocidade da onda é diferente. Parte da onda é refletida e parte da onda é transmitida. A mudança na direção do raio transmitido é a refração.

Quando uma onda sonora incide sobre uma fronteira que separa duas regiões onde as velocidades da onda são diferentes, esta onda pode ter uma parte refletida e outra transmitida.

Reflexão – dizemos que ocorreu reflexão quando a onda (ou parte dela) é refletida.

Refração – dizemos que ocorreu refração quando a onda (ou parte dela) é transmitida.

O raio (linha reta perpendicular a frente de onda) transmitido aproxima-se ou afasta-se da normal conforme a velocidade da onda no segundo meio seja menor ou maior do que a velocidade no meio inicial. À medida que o ângulo de incidência aumenta (Figura 16), o ângulo de refração também aumenta, até que se atinge um ângulo de incidência crítico para qual o ângulo de refração é de 90°. Se o ângulo de incidência for maior do que este ângulo crítico, não ocorrerá mais refração, e ocorrerá um fenômeno denominado de reflexão total. Este fenômeno é utilizado na fabricação de fibras óticas.

Fig. 16 – Variação do ângulo de incidência.

Difração- Quando uma onda incide sobre uma barreira provida de uma pequena abertura, passa através da abertura propagando-se como uma onda esférica ou circular. Embora as ondas que encontram uma abertura sempre se difratem, a difração depende de o comprimento de onda ser pequeno ou grande em relação ao tamanho da abertura. Se o comprimento de onda for muito maior do que a abertura os efeitos da difração são notáveis, caso contrário não ocorre difração. A difração estabelece um limite na exatidão da localização de pequenos corpos por reflexão de ondas sonoras. As ondas sonoras com freqüências acima de 20.000 Hz são os ultra-sons. Os morcegos, por exemplo, emitem e percebem ultras com freqüências da ordem de 120.000 Hz (correspondendo a comprimento de onda de 2,8 mm). Na medicina, os ultra-sons são usados no levantamento de diagnóstico.

v1

v2

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5 – O Efeito Doppler

Quando uma fonte de ondas e o receptor estão em movimento relativo, a freqüência observada não coincide com a freqüência emitida. Quando a fonte e o receptor se aproximam um do outro, a freqüência observada é maior do que a freqüência emitida. Quando os dois se afastam um do outro, a freqüência observada é menor do que a emitida. Exemplo bem comum é o da variação da altura do som de um carro quando se aproxima de um observador.

Considere uma fonte de freqüência 0f em movimento com velocidade su em relação ao meio. As ondas na direção

para frente da fonte estão comprimidas, e as emitidas para trás estão mais espaçadas (veja figura 17). Seja v a velocidade das ondas em relação ao meio. Esta velocidade depende exclusivamente das propriedades do meio e não

do movimento da fonte. Num intervalo de tempo t∆ , a fonte emite N ondas, onde tfN ∆= 0 , pois 0f é o

número de onda por unidade de tempo ( )tNf ∆=0.

Fig. 17 – Frentes de ondas sucessivas emitidas por uma ponte

puntiforme que move para direita com velocidade su .

A primeira frente de onda avança de uma distância tv∆ , enquanto a fonte cobre a distância tus∆ . O comprimento

´λ de onda na frente da fonte será a distância ocupada pelas ondas ( ) tuv s ∆− , dividida pelo número de ondas:

( ) ( )0

´f

uv

tf

tuv

N

tuv s

o

ss −=

∆∆−

=∆−

=λ (38)

Atrás da fonte temos:

0

´f

uv s+=λ (39)

Outra situação é aquela em que a fonte está parada e o receptor move-se com velocidade ur. Se rv é a velocidade

relativa entre as ondas (v) e o receptor, o número de ondas que passam pelo receptor no tempo t∆ é igual ao

número de ondas na distância tvr∆ (veja Figura 18):

( )t

uvtvN rr ∆

±=

∆=

´´ λλ, (40)

Valendo o sinal negativo para frente da fonte (receptor se aproximando da fonte) e o negativo para trás (receptor se afastando da fonte).

us

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Fig. 18 – O número de ondas que passam por uma receptor estacionário, durante o intervalo de tempo t∆ , é igual

ao número de ondas na distância tv∆ ( v é a velocidade da onda). Se o receptor se aproxima da fonte com

velocidade ru , passa também pelo número extra de ondas na distância .

A freqüência observada é o número de ondas dividido pelo intervalo de tempo:

( )( )

´

´´λ

λ rr uv

t

tuv

t

Nf

±=

∆

∆±=

∆= (41)

Se o receptor estiver parado temos 0=ru , a freqüência será:

( ) ( ) 00

1

1

´´ f

vu

fuv

v

f

uvvv

fss

o

s ±=

±=

±==

λ (42)

A Equação (42) é válida para a fonte em movimento e o receptor estacionário. Quando a fonte está em movimento aproximando-se do receptor, a freqüência aumenta e vale o sinal negativo da Equação (42), caso contrário a freqüência diminui e vale o sinal positivo.

Se a fonte estiver estacionária, 0

0´ fv== λλ , a freqüência observada será:

00

0

1´ fv

uf

v

uv

fv

uvf rrr

±=±

=±

= (43)

Combinando as Equações (38-43) podemos obter uma equação geral:

00

0

1

1

´´ f

vu

vuf

uv

uv

fuv

uvuvf

s

r

s

r

s

rr

±

±=

±±

=±±

=±

=λ

(51)

O sinal (negativo ou positivo) é determinado a partir do movimento relativo entre fonte e receptor. Por exemplo, se a fonte se move na direção do receptor e este também se move na direção da fonte, o sinal positivo vale no numerador e o negativo no denominador. Lembrando que a freqüência aumenta quando fonte e receptor se aproximam e diminui quando se afastam.

Pode-se mostrar que, se su e ru forem muito menores do que a velocidade da onda v , o deslocamento de

freqüência é dados, aproximadamente, por:

( )vuv

u

f

f<<±≈

∆

0

, (52)

onde rs uuu ±= é a velocidade relativa entre a fonte e o receptor.

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E se o meio estiver em movimento, por exemplo o ar com uma corrente de vento, a velocidade da onda é substituída

por wuvv ±=´ , em que wu é velocidade do vento.

Exemplo A freqüência de uma buzina de carro é de 400 Hz. Calcular a) o comprimento de onda do som e b) a freqüência observada se o carro estiver com a velocidade de us = 34 m/s (cerca de 122 km/h) em relação ao ar tranqüilo esse aproxima de um receptor estacionário. Tomar como 340 m/s a velocidade do som no ar. c) calcular a freqüência observada se o carro estiver estacionário e o receptor se mover com a velocidade de us = 34 m/s na direção da buzina. Solução: a) As ondas da frente estão comprimidas então adotamos o sinal negativo na equação (46).

mf

uv

o

s 765,0400

34340=

−=

−=λ

b) Calculamos a freqüência utilizando a seguinte equação:

Hzv

f 444765,0

340

´´ ===λ

c) Para o receptor em movimento, a freqüência observada é dada pela equação (50). Neste caso o comprimento não se altera, porém um maior número de ondas passa pelo receptor num certo intervalo de tempo. O sinal desta equação é tomado positivo, pois a freqüência aumenta.

( ) Hzv

uff r 4401,1400

340

3414001´ 0 ==

+=

+=

Ondas De Choque Se a fonte se desloca com velocidade maior do que a velocidade da onda, não haverá ondas na frente da fonte. Ao contrário, as ondas se acumulam atrás da fonte e constituem uma onda de choque. No caso de ondas sonoras, esta onda de choque se manifesta como um estrondo sônico (veja Figura 19).

Fig. 19 – Ondas de choque de um veículo supersônico

Na Figura 20 uma fonte está no ponto 1P , movendo-se para direita com velocidade u . Depois de um certo tempo

t , a onda emitida do ponto 1P avançou a distância vt . A fonte avançou a distância ut e estará np ponto 2P . A

reta que passa pela nova posição da fonte e é tangente à frente da onda em 1P faz um ângulo θ com a trajetória

da fonte e se tem

Notas de aula - Física II – Prof. Ricardo 18

u

v

ut

vt==θsen (53)

Fig.20 – Fonte com velocidade u maior do que a velocidade da onda v. A envoltória das frentes de onda é uma superfície cônica com vértice na posição da fonte. A onda de choque fica confinada num cone cuja abertura diminui à medida que a velocidade da fonte aumenta. O número de Mach é definido como sendo a razão entre a velocidade da fonte e a velocidade da onda.

vuMachdeNumero = (54)

Exercícios

1) A função de onda de uma onda harmônica numa corda é ( ) )5,32,2sen(03,0, txtxy −= , x está em

metros e t em segundos. a) Em que direção a onda avança e qual a sua velocidade? b) Calcular o comprimento de onda, a freqüência e o período da onda. c) Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento da corda? d) Qual a velocidade máxima de qualquer segmento da corda?

2) Uma onda de comprimento de onda de 35 cm e amplitude de 1,2 cm desloca-se ao longo de uma corda de

15 m, cuja massa é de 80 g e sujeita a uma tensão de 12 N. (a) Qual a velocidade e a freqüência angular da onda? b) Qual a energia total média da onda na corda.

3) Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 Hz até cerca de 20.00 Hz. Se a velocidade

do som no ar for de 340 m/s, que comprimentos de onda correspondem a estas freqüências. 4) O diafragma de um alto-falante tem 30 cm de diâmetro e vibra a 1 kHz com a amplitude de 0,020 mm.

Admitindo que a amplitude das moléculas de ar nas vizinhanças do diafragma seja também de 0,020 mm, calcular a) a amplitude da variação de pressão na região vizinha e à frente do diafragma, b) a intensidade do som na frente do diafragma e c) a potência acústica irradiada pelo diafragma. d) Se a irradiação do som for uniforme no hemisfério frontal ao diafragma, calcular a intensidade do som a 5 m do alto-falante.

5) Um absorvedor acústico atenua de 30 dB o nível de intensidade sonora. Qual o fato de decréscimo da

intensidade? 6) Um trem, a 90 km/h, aproxima-se de uma estação onde está um ouvinte e faz soar a sua buzina, cuja

freqüência é de 630 Hz. (a) Qual o comprimento de onda das ondas na frente do trem? b) Qual a freqüência do som percebido pelo ouvinte? Use a velocidade do som como 340 m/s.

7) Num instante t=0, um avião supersônico está na vertical do ponto P e avança para leste a uma altitude de

15 km. O estrondo sônico é ouvido em P quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual a velocidade do avião?

Notas de aula - Física II – Prof. Ricardo 19

8) Sobrevoando um poço do inferno, um demônio observa que os gritos de um condenado em queda com a velocidade terminal variam de freqüência de 842Hz a 820Hz. a) Calcular a velocidade terminal do condenado; b) os gritos do condenado refletem-se no fundo do poço. Calcular a freqüência do eco percebido pelo condenado em queda; c) calcular a freqüência do eco percebido pelo demônio. (Tipler 4a Ed., problema 15-115)

Solução: Se o condenado em queda está sobre o demônio, então este o escuta com a freqüência de 842Hz(fonte se aproximando). Ao passar pelo demônio, este escuta-o com uma freqüência de 820Hz (fonte se afastando). Em termos de equações, temos: ur = 0, pois o demônio está parado. Usando a Equação 51, obtemos:

00

3401*820

1

820 fu

v

uf s

s

=

+⇒+

= (fonte se afastando) (1)

00

3401*842

1

842 fu

v

uf s

s

=

−⇒

−= (fonte se aproximando) (2)

resolvendo as equações acima, obtemos que a freqüência emitida pelo condenado é f0 = 830,9 Hz e sua velocidade terminal (us) é igual a 4,5m/s. b) O som emitido pelo condenado e que se propaga em direção ao fundo do poço tem uma freqüência de 842Hz. Esta é a freqüência que irá ser refletida( pois o fundo do poço está parado). Neste caso, o fim do poço é uma fonte estacionária emitindo nessa freqüência. Assim, se o condenado se move em direção a uma fonte (fim do poço) que emite uma freqüência de 842Hz, este perceberá o som na seguinte freqüência (Equação 51 com us=0m/s e f0 = 842Hz): feco = (1 + 4,5/340)*842 = 853Hz. c) O eco percebido pelo demônio é igual ao som refletido pois o demônio está parado com relação a fonte que também está parada. Ou seja, 842Hz.

9) Um apito que emite continuamente a 500Hz descreve um círculo de 1 m de raio a 3 rev/s. Qual a freqüência máxima e a mínima percebida pelo ouvinte no plano do círculo, a 5 m do centro do círculo? (Tipler 4a Ed., problema 15-104)

Freqüência maior: antes é necessário calcular a velocidade escalar do apito, ou seja: v=w.r ⇒ v = 3.2.π .1 ⇒ v = 6π m/s. Da Equação 51, temos:

apito

O apito gira no sentido anti-horário (suponha), assim, a seta inferior do círculo indica que o som se propaga na direção do ouvinte. Logo, neste caso a freqüência percebida aumenta. A distância entre o apito e o receptor não influencia no resultado.

Notas de aula - Física II – Prof. Ricardo 20

.529

340

61

500

1

1´ 0 Hzff

vu

vuf

s

r =−

=′⇒±

±=

π

Para a situação em que o apito move se afastando do receptor, temos:

.474

340

61

500

1

1´ 0 Hzff

vu

vuf

s

r =+

=′⇒±

±=

π

Se você fosse o ouvinte, você escutaria uma variação na freqüência do som do apito a medida que ele se afastasse ou se aproximasse de você. Exercícios para casa Vide o livro 4 a edição (capítulo 15) De 1 a 8, 23 a 27, 33 a 38, 39 e 40, 51 e 52,68 a 72