Moralisches Risiko

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Das Grundmodell

Es gibt einen Prinzipal und einen Agenten.

Der Prinzipal delegiert die Erledigung einer Aufgabe an den Agenten.

Technologie und Praferenzen

I e ∈ {0, 1} : Aufwands- bzw. Sorgfaltsniveau des Agenten

I Ψ(e) = ψ · e : Kostenfunktion (mit ψ > 0)

I Ψ(0) = 0 < ψ = Ψ(1)

I S ∈ {SL, SH} : Output des Prinzipals

I 0 < SL < SH

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Aufwand e und Output S sind stochastisch miteinander verknupft:

P[S = SH | e = 0] = π0, P[S = SH | e = 1] = π1,

wobei0 ≤ π0 < π1 ≤ 1.

Es besteht also ein Interessenkonflikt zwischen Prinzipal und Agent, da einhoher Aufwand ...

I die Wahrscheinlichkeit eines hohen Outputs fur den Prinzipal erhoht, ...

I aber zugleich mit hoheren Kosten fur den Agent verbunden ist.

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Der Prinzipal und der Agent werden als risiko-neutral angenommen.

I t : Geldtransfer vom Prinzipal an den Agent

Der Nutzen der Parteien setzt sich zusammen aus (Brutto-)Nutzen/Kosten derTransaktion und Geld.

uP(S , t) = S − t,

uA(e, t) = t −Ψ(e).

Insbesondere bedeutet dies, dass Nutzen transferierbar ist.

Kommt keine Transaktion zustande, so erhalt jede Partei ihrenReservationsnutzen.

I uP : Reservationsnutzen des Prinzipal

I uA : Reservationsnutzen des Agenten

Wir normieren uP und uA jeweils auf Null.

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Informationsverteilung und Vertage

Bis auf die Wahl von e durch den Agenten sind alle Großen(SL,SH , ψ, π0, π1, uP , uA) allgemein bekannt (common knowledge).

Ein Vertrag ist eine rechtlich bindende Vereinbarung, die von einem Gerichtdurchgesetzt wird.

In Konsequenz kann ein geschlossener Vertrag nicht gebrochen werden!

Damit ein Gericht den Vertrag durchsetzen kann, mussen alle Aspekte, auf dieder Vertrag abstellt, offentlich beobachtbar und verifizierbar sein.

Offentlich beobachtbare und verifizierbare Aspekte werden als kontrahierbarbezeichnet.

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Der Output S und die Transfers t werden als kontrahierbar angenommen.

In Bezug auf den Aufwand e unterscheiden wir zwei Falle:

I nicht-kontrahierbarer Aufwand:Der Aufwand e ist nur vom Agenten beobachtbar.

I kontrahierbarer Aufwand:Der Aufwand e ist vertraglich kontrahierbar.

Im Falle von nicht-kontrahierbarem Aufwand ist e private Information desAgenten und er kann e frei wahlen.

I Man sagt: es liegt “Moralisches Risiko” vor.

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Ein Vertrag ist eine rechtlich bindende Vereinbarung zwischen Prinzipal undAgent.

Ist e nicht-kontrahierbar, so spezifiziert ein Vertrag ein Paar (tH , tL) vonZahlungen in Abhangigkeit nur von S .

I tH : Zahlung wenn S = SH

I tL: Zahlung wenn S = SL.

Ist e kontrahierbar, so spezifiziert ein Vertrag nicht nur eine Zahlung t inAbhangigkeit von S , sondern auch ein Aufwandsniveau e .

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Im Prinzip stellen wir uns eine Situation vor, in der der Prinzipal und der Agenteinen Vertrag aushandeln.

Die einfachste Art, dies zu modellieren, ist anzunehmen, dass der Prinzipal dievolle Verhandlungsmacht hat. Dies ist haufig nicht unrealistisch.

Der Prinzipal macht dem Agent also ein “take–it–or–leave–it”(“Friss-oder-stirb”) Angebot, indem er einen Vertrag vorschlagt.

I Nimmt der Agent an, wird der Vertrag durchgefuhrt.

I Lehnt der Agent ab, erhalten beide Parteien ihren Reservationsnutzen.

Damit ist der resultierende Vertrag, der den Nutzen des Prinzipals maximiert,der sogenannte optimale Vertrag.

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Zeitablauf

1.) Der Prinzipal offeriert einen Vertrag.

2.) Der Agent nimmt an oder lehnt ab.

I Falls er ablehnt, erhalten beide Parteien ihreReservationsnutzen.

I Falls er annimmt, wahlt der Agent seinen Aufwand e.

3.) Der Output S realisiert sich und die Vertragsbedingungen werdenentsprechend implementiert.

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Materielle Effizienz

Referenzfall: First–Best

Abstrahieren wir zunachst von allen Vertragsproblemen und fragen uns, was dasbeste denkbare Aufwandsniveau ist.

Die beste Aufwandsentscheidung ist diejenige, welche den erwartetenHandelsuberschuss (synonym: “Uberschuss”, “Handelsgewinne”, “Kuchen”)maximiert.

I πeSH + (1− πe)SL − ψe : erwarteter Handelsuberschuss

I eFB : uberschussmaximierendes Aufwandsniveau

Es gilt:

eFB = 1 ⇐⇒ ψ ≤ (π1 − π0)(SH − SL) =: ψFB

Der Vergleich mit diesem Referenzfall gestattet es, Friktionen zu identifizieren,die durch das Vertragsproblem ausgelost werden.

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Unbeschrankte Haftung des Agenten

Unbeschrankte Haftung des Agenten bedeutet, dass die Transfers ohne jedeEinschrankung gewahlt werden konnen

Kontrahierbarer Aufwand

Unter kontrahierbarem Aufwand legt ein Vertrag nicht nur die Transfers tL undtH , sondern auch das Aufwandniveau e fest.

Damit der Agent den angebotenen Vertrag annimmt, muss folgendePartizipationsbedingung erfullt sein:

πeteH + (1− πe)te

L − ψe ≥ 0 (Pe)

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Das Problem des Prinzipals zur Implementierung von e ist also:

max(e,te

L,te

H)πe(SH − te

H) + (1− πe)(SL − teL)

u.d.N.

(Pe) : πeteH + (1− πe)te

L − ψe ≥ 0.

(Pe) muss im Optimum binden. Ware dies nicht der Fall, ...

I konnte der Prinzipal die Transfers leicht senken, ...

I was seinen Gewinn strikt steigern wurde ...

I ohne (Pe) zu verletzen.

Dann kann der ursprungliche Vertrag aber nicht optimal sein.

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Folglich betragt der Nutzen des Prinzipals bei Implementierung vonAufwandsniveau e:

πeSH + (1− πe)SL − ψe

.

Proposition 1

Unter kontrahierbarem Aufwand ist der Vertrag mit hohem Aufwand optimalgenau dann, wenn gilt:

(π1 − π0)(SH − SL) ≥ ψ.

Insbesondere wird das First–Best Aufwandsniveau implementiert.

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Nicht–kontrahierbarer Aufwand

Unter nicht–kontrahierbarem Aufwand legt ein Vertrag nur die Transfers tL undtH fest.

Da Aufwand nicht vertraglich festgelegt werden kann, muss der Agent motiviertwerden, den erwunschten Aufwand zu liefern.

Soll Aufwand e implementiert werden, so muss der Vertrag (tH , tL) die folgendeAnreizvertraglichkeitsbedingung erfullen: fur e 6= e,

πetH + (1− πe)tL − ψe ≥ πetH + (1− πe)tL − ψe. (AVe)

Diese Bedingung stellt sicher, dass der Agent auch tatsachlich den gewunschtenAufwand wahlt.

I Ist hoher Aufwand erunscht, so erfordert dies tH > tL.

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Um die Teilnahme des Agenten zu gewahrleisten, muss ein Vertrag, der (AVe)erfullt, die Partizipationsbedingung erfullen:

πetH + (1− πe)tL − ψe ≥ 0 (Pe)

Ein Vertrag der (AVe) und (Pe) erfullt, heißt auch anreiz-zulassig fur e.

I Man sagt: der Vertrag implementiert den Aufwand e.

Wir zerlegen das Optimierungsproblem des Prinzipals in zwei Schritte.

I Schritt 1: Was ist der optimale Vertrag fur gegebenen Aufwand?

I Schritt 2: Welcher Vertrag ist optimal uber alle Aufwandniveaus hinweg?

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Schritt 1: Das Problem des Prinzipals zur Implementierung von e ist:

max(tH ,tL)

πe(SH − tH) + (1− πe)(SL − tL)

so dass

(AVe) : πetH + (1− πe)tL − ψe ≥ πetH + (1− πe)tL − ψe;

(Pe) : πetH + (1− πe)tL − ψe ≥ 0.

Lemma 1

Der optimale Vertrag mit nicht–kontrahierbarem Aufwand, der einen Aufwandvon e = 0 implementiert, ist gegeben durch

tH = tL = 0.

Der Nutzen des Prinzipals ist π0SH + (1− π0)SL.

Beweis: In der Vorlesung.

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Intuition:

I Aufgrund von (P0) darf die erwartete Zahlung an den Agenten nicht striktnegativ sein.

I Die niedrigste erwartete Zahlung, auf die der Prinzipal hoffen darf, ist alsoNull.

I Transfers tH = tL = 0 fuhren zu einer erwarteten Zahlung von Null underfullen daruber hinaus (AV0).

Wenden wir uns nun der Implementierung von hohem Aufwand zu.

Ein Vertrag (tH , tL) implementiert also e = 1, wenn gilt:

(AV1) π1tH + (1− π1)tL − ψ ≥ π0tH + (1− π0)tL,

(P1) π1tH + (1− π1)tL − ψ ≥ 0.

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Lemma 2

Unter dem optimalen Vertrag bei nicht–kontrahierbarem Aufwand, der einenAufwand von e = 1 implementiert, bindet die Partizipationsbedingung. DerNutzen des Prinzipals ist π1SH + (1− π1)SL − ψ.

Beweis: In der Vorlesung.

Unter dem optimalen Vertrag entschadigt der Prinzipal den Agent folglich nurfur dessen Aufwandskosten.

Da der Nutzen des Prinzipals durch die bindende (P1) vollstandig festgelegtwird, ist es ihm egal, wie die Transfers gewahlt werden, so lange (AV1) erfulltist.

Eine Moglichkeit ware die Transfers so zu wahlen, dass auch (AV1) bindenderfullt ist:

tH = ψ + (1− π1)ψ

π1 − π0, tL = ψ − π1

ψ

π1 − π0.

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Schritt 2: Nachdem der optimale Vertrag fur ein gegebenes Aufwandsniveaubestimmt wurde, wird jetzt der insgesamt optimale Vertrag bestimmt.

Proposition 2

Bei nict-kontrahierbarem Aufwand ist der Vertrag, der einen Aufwand e = 1implementiert, optimal genau dann, wenn gilt:

(π1 − π0)(SH − SL) ≥ ψ.

Insbesondere wird das First–Best Aufwandsniveau implementiert.

Unter unbeschrankter Haftung schrankt moralisches Risiko also dieokonomischen Moglichkeiten nicht ein.

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Implementierung des optimalen Vertrags: “Selling the Firm”

I Betrachte die Transfers

tH = SH − T , tL = SL − T ,

mitT = πeFB SH + (1− πeFB )SL − ψ · eFB .

I Falls der Agent den Vertrag annimmt, dann wahlt er das First-BestAufwandsniveau.

I Dies bedeutet, dass die Partizipationsbedingung per Konstruktion bindenderfullt ist.

I Da der Agent die “Zahlung” T auf jeden Fall entrichtet, ist es, als wurdeder Prinzipal die “Firma” und damit die Rechte am Output an denAgenten ex ante verkaufen.

I Der erwartete Gewinn des Prinzipals entspricht dem “Verkaufspreis” Tund damit genau dem First-Best Handelsuberschuss.

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Beschrankte Haftung des Agenten

Wir betrachten nun einen Agenten, der einer sogenannten beschranktenHaftung (“limited liability”) unterliegt.

Das heißt, man kann dem Agenten nur Zahlungen bis zu einer bestimmtenGrenze aufburden.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Haftungsgrenze bei Null liegt,d.h., die Lohne mussen dann mindestens Null sein:

tH ≥ 0, tL ≥ 0. (LL)

Betrachtet sei das Optimierungsproblem des Prinzipals unternicht-kontrahierbarem Aufwand.

Wir zerlegen das Optimierungsproblem des Prinzipals wieder in die zwei zuvorbeschriebenen Schritte.

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Schritt 1: Der optimale Vertrag zur Implementierung von geringem Aufwandist nach wie vor durch tH = tL = 0 gegeben.

Das Problem des Prinzipals zur Implementierung von hohem Aufwand ist:

max(tH ,tL)

π1(SH − tH) + (1− π1)(SL − tL)

so dass

(AV1) : π1tH + (1− π1)tL − ψ ≥ π0tH + (1− π0)tL;

(P1) : π1tH + (1− π1)tL − ψ ≥ 0;

(LL) : tH ≥ 0, tL ≥ 0.

Wir werden im Folgenden sehen, dass der Prinzipal nun (im Unterschied zumFall ohne beschrankte Haftung) eine Rente zahlen muss, um den Agent zumotivieren.

Unter einer Rente versteht man hierbei die Differenz zwischen demtatsachlichen erwarteten Nutzen des Agenten und seinem Reservationsnutzen.

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Lemma 3

Der Agent unterliege beschrankter Haftung. Unter dem optimalen Vertrag beinicht-kontrahierbarem Aufwand, der einen Aufwand von e = 1 implementiert,gilt

tLLL = 0, tLL

H =ψ

π1 − π0.

Der Agent erhalt eine positive Rente (die sogenannte Rente aus beschrankterHaftung) in Hohe von

ULL = (1− π1) · 0 + π1ψ

π1 − π0− ψ = π0

ψ

π1 − π0> 0.

Beweis: In der Vorlesung.

Die Notwendigkeit einer Rentenzahlung entsteht also daraus, dass sowohlmoralisches Risiko (nicht kontrahierbarer Aufwand) als auch beschrankteHaftung vorliegen.

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Schritt 2: Nun vergleichen wir wiederum die Vertrage, die jeweils hohen bzw.niedrigen Aufwand implementieren.

Proposition 3

Der Agent unterliege beschrankter Haftung. Der Vertrag mit hohem Aufwandist optimal genau dann, wenn

(π1 − π0)(SH − SL) ≥ π1ψ

π1 − π0.

Beschrankte Haftung des Agenten dazu fuhrt, dass hoher Aufwand seltenerimplementiert wird, als im First–Best.

I Dies liegt daran, dass der Prinzipal nun einen Teil desHandelsuberschusses an den Agenten als Rente abgeben muss.

I Es liegt also eine Zielkonflikt zwischen Effizienzmaximierung undRentenminimierung vor.

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Mehr als zwei Outputs

Nach wie vor gebe es lediglich zwei Aufwandsniveaus und der risiko-neutraleAgent sei durch beschrankte Eigenmittel geschutzt.

Der Output fur den Prinzipal kann nun I > 2 mogliche Werte annehmen:

I e ∈ {0, 1}I S ∈ {S1, . . . , SI}I S1 < S2 < . . . < SI

Bei Aufwand e realisiert sich Output Si mit Wahrscheinlichkeit

P[S = Si | e] = πie ,

wobei fur alle i ∈ I ≡ {i = 1, ..., I} und e ∈ {0, 1} gilt:

0 < πie < 1,I∑

i=1

πie = 1, πi1 6= πi0

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Die zentrale Frage bei mehr als zwei Outputniveaus ist, wie das Lohnschemavom Output abhangt.

In der Realitat beobachtet man haufig das folgende:

I Hoherer Output fuhrt zu hoherem Lohn.

I Lohnschemata sind “einfach”: z.B. gibt es einen Grundlohn, der immerbezahlt wird, ...

I und einen Bonus, wenn der Output eine bestimmte Grenze uberschreitet.

Unter welchen Bedingungen hat das optimale Lohnschema diese Eigenschaften?

I Wir werden sehen, dass es dabei auf eine bestimme Relation derWahrscheinlichkeiten ankommt.

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Im folgenden werden wir annehmen, dass der optimale Vertrag hohen Aufwandimplementiert.

I Wir fragen also, wie das optimale Lohnschema fur e = 1 aussieht.

Das Problem des Prinzipals lautet:

max(t1,...,tI )

I∑i=1

πi1(Si − ti )

so dass

(AV1) :I∑

i=1

πi1ti − ψ ≥I∑

i=1

πi0ti ;

(P1) :I∑

i=1

πi1ti − ψ ≥ 0;

(LL) : ti ≥ 0 ∀i .

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Offenbar implizieren (LL) und (AV1) schon die Bedingung (P1).

Bedingung (AV1) kann umgeschrieben werden zu

I∑i=1

(πi1 − πi0)ti ≥ ψ.

Per Annahme gilt πi1 6= πi0 fur alle i ∈ I und∑I

i=1(πi1 − πi0) = 0. Folglichexistiert folgende nicht triviale Partition der Menge I:

I+ = {i ∈ I|πi1 > πi0} and I− = {i ∈ I|πi1 < πi0}

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Im Optimum muss also ti = 0 fur alle i ∈ I− gelten.

I Falls ti > 0 fur ein i ∈ I−, dann konnte man diesen Transfer leichtabsenken, ...

I was den Gewinn des Prinzipals erhohen wurde ohne (AV1) oder (LL) zuverletzen.

Weiterhin muss im Optimum ti > 0 fur mindestens ein i ∈ I+ gelten. Sonstware (AV1) nicht erfullt.

Daruber hinaus muss im Optimum (AV1) binden. Sonst ware es profitabel, denstrikt positiven Transfer ti > 0 ein wenig zu senken.

Schließlich ist die Maximierung von∑I

i=1 πi1(Si − ti ) aquivalent zur

Minimierung von∑I

i=1 πi1ti .

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Damit konnen wir das Problem vereinfachen zu

min{ti}i∈I+

∑i∈I+

πi1ti

so dass

(AV1) :∑i∈I+

(πi1 − πi0)ti = ψ;

(LL) : ti ≥ 0 ∀i ∈ I+.

Betrachte folgende Variablenanderung:

ρi1 = πi1ti .

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Damit konnen wir das Problem wie folgt umschreiben:

min{ρi1}i∈I+

∑i∈I+

ρi1

so dass

(AV1) :∑i∈I+

πi1 − πi0

πi1ρi1 = ψ;

(LL) : ρi1 ≥ 0 ∀i ∈ I+.

Beachte:πi1 − πi0

πi1= 1− πi0

πi1

Folglich gilt:πi1 − πi0

πi1>πk1 − πk0

πk1⇔ πi1

πi0>πk1

πk0

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I Man nennt πk1πk0

die “Likelihood Ratio”.

I Sei

I∗ =

{i ∈ I

∣∣∣ πi1

πi0≥ πj1

πj0, ∀j ∈ I

}.

Lemma 4

Der Agent unterliege beschrankter Haftung. Sei (tLL1 , . . . , tLL

I ) eine Losung desProblems des Prinzipals. Dann gilt, dass

tLLi = 0 fur alle i 6∈ I∗.

Fur i ∈ I∗ sind alle Lohne tLLi ≥ 0 optimal, so dass (AV1) bindet.

Beweis: In der Vorlesung.

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Der Prinzipal belohnt also nur die Outputniveaus, fur die die Likelihood Ratiomaximal ist.

I Falls es also einen eindeutigen Maximierer gibt (also: I∗ = {i∗}), dannwird nur fur die Outputrealisierung Si∗ ein positiver Lohn bezahlt.

I Fur alle anderen Outputrealisierungen Si , i 6= i∗ ist der Lohn in diesemFall gleich Null.

Damit lasst sich der Lohnvertrag als ein Bonusvertrag interpretieren infolgendem Sinne interpretieren:

I Es gibt einen Grundlohn von Null.

I Wenn der Output Si mit i ∈ I∗ realisiert wird, gibt es einen BonustLLi > 0.

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Intuition fur die Form des optimalen Vertrags:

I Angenommen, der Agent wurde randomisieren und mit Wkt. p den hohenAufwand wahlen.

I Der Prinzipal beobachtet den Output und versucht auf den Aufwand zuschließen.

I Dann ist die a posteriori Wahrscheinlichkeit, dass der hohe Aufwandeingetreten ist, bedingt auf das Outputniveau Si , gegeben durch

P[e = 1 | S = Si ] =p · πi1

p · πi1 + (1− p) · πi0=

p(p + 1−p

p· πi0πi1

) .I Diese a posteriori Wahrscheinlichkeit ist aber maximal, wenn die

Likelihood Ratio πi1πi0

maximal ist.

I Folglich werden nur diejenigen Outputniveaus entlohnt, die die starkstenIndikatoren fur einen hohen Aufwand darstellen.

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Haufig beobachtet man, dass Bonuszahlungen nur bei besonders hohem Outputerfolgen.

I Ohne weitere Bedingungen an die Wahrscheinlichkeiten ist dies aber unterdem optimalen Vertrag nicht unbedingt der Fall.

I Vielmehr benotigt man dafur, dass die Likelihood Ratio monoton ist.

Proposition 4

Es gelte die Monotone Likelihood Ratio Eigenschaft:

πi1

πi0ist wachsend in i .

Dann kann das optimale Lohnschema so gewahlt werden, dass es wachsend imOutputniveau ist.

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