Momentos de dipolo magnético - edisciplinas.usp.br · 4300376 - Física Moderna 2 Aula 2 1 z i...

4300376 - Física Moderna 2 Aula 2

1

z

i

(Parênteses eletromagnético) Modelo de Bohr: e– circulando em torno do núcleo, produzindo uma corrente.

re

Te

dtdqi

π2v

===Uma espira de corrente produz um campo magnético, a grandes distâncias, igual ao de um dipolo magnético localizado no seu centro e orientado perpendicularmente:

a

Biot-Savart:

( )( )

( ) ( )⇒

++

+=

=+

+−×=∴

+

+−==⇒+−=

=×

=

2/3222/322

2

2/322

22

2

π4

ˆφπ4

ˆφ

π4ˆˆφ̂φ

ˆˆˆ ˆˆ

e φ̂φ mas , π4

ˆ

zaρiazd

zazdiaza

zzρaiadHd

zazzρa

rrrzzρar

addrridHd

dℓ

r

dH

z

Momentos de dipolo magnético

π4

ˆ2rridHd ×

=


2

( )( )

( ) 32/322 π2π2 zzH

zazH az µµ

=⎯⎯→⎯

+= >>

No limite de grandes distâncias da espira:

e– em órbita também tem momento angular: rmLL v= ;

me

rmre

Lrer

reiA

222π

π2 Mas 2 ==⇒===

vvvv

µµ Só constantes

universais!

Lme

me

LL

me

mL

TA

TAeiA

2 :nteVetorialme .

22

2

:Kepler de Lei pela mas, :forma Outra

==⇒=⇒

⇒===

µµ

µ

µ

Fim do parênteses

( ) ( ) ( ) 2/3222/3222/322

2

π2π2π4ˆπ2

zazaAi

zaziaH

+=

+=

+=⇒

µ

Relação não depende da geometria da órbita

Sonda eletromagnética para perceber momento angular!


3

Podemos definir uma unidade microscópica de momento magnético, o magneton de Bohr, como:

µb =e

2me

= 9, 274×10−23 (A m2 ≡ J/T) = 5,788×10−9 eV/Gauss

Assim, podemos escrever o momento magnético do átomo como:

( ) ( )112

+=+===

bbb ggLgL

me

µµµ

µ

( ) ( ) 122

1 :nteQuanticame +==⇒+=meL

meL µ

mgmgLgb

bz

bz µ

µµµ −=−=−=

no caso do elétron paralelos-anti são e L

µ

(Parênteses eletromagnético) Dipolo magnético submetido a um campo magnético externo sofre um torque:

B

×= µτ

A proporcionalidade entre µ e L é uma propriedade geral de cargas em rotação. Os momentos magnético e angular de um corpo qualquer, de massa M e carga Q, em rotação, sempre satisfazem a relação L

MQg

2=µ

Os detalhes da distribuição determinam o valor do fator g. No caso, gℓ = 1, fator g orbital. Componente z


4

B µ

d/2 i

Consideremos uma espira quadrada, de lado d, com corrente i, submetida a um campo magnético externo B.

BidFd

×=

1

2

3

4 0

sen42

31

=

==

==

∑n

nF

iBdFFiBdFF

θ

Mas F1 e F3 produzem torque:

( )

θτ

θθθθτ

τ

sen

sen2

2sen2

sen2

sen22

3131

Bid

didBdFFFdFdFr

=⇒

⇒=+=+=⇒

⇒×=

BBid

×=⇒=⇒= µτθµτµ sen Mas 2

∫=ângulo

:Trabalho θτdW Convencionando que E(θ = 90o) = 0, temos:

BBBdBE oo

⋅−=−=−==Δ ∫ µθµθµθθµ

θθcoscossen

9090

–µB

µB E

θπ/2 π 0


5

Eisberg, pág. 348

Caso não existam formas de dissipar a energia, µℓ não pode mudar sua orientação em relação a B. Nesse caso, µℓ precessiona em torno da direção de B, mantendo o ângulo entre eles constante.

dtLd

BLgB b

=

×−=×=

τ

µµτ

Mas

BLgdtLd b

×−=⇒µ


6

BmeBg

LBgLdtdL

dtdL

b

b

2

sensensen

==⇒

⇒−====

µω

θµ

τθωφ

θ

Frequência de Larmor

Tratamento quântico: mesmos resultados, só que para os valores esperados das grandezas. O módulo de L permanece constante:

022 =⋅=⋅= LdtdLLL

dtdL

dtd

BLgdtLd b

×−=µ

ωθθω

θφ

θφ ===⇒=

sensen

sen1

sen LL

dtdL

Ldtd

LdLd

meBv

meB

π4π22==⇒=

ωω Lorentz

clássico


7

Voltando ao efeito Zeeman: suponhamos um átomo monoeletrônico em um estado estacionário descrito por uma autofunção Ψnℓm na ausência de campo magnético. Então:

22 )1( +=L O momento magnético tem amplitude:

)1(22 +== bb gLg

µµ

µ A componente z de L é dada por:

mgLgmL bzb

zz µµ

µ −=−=⇒=

Se aplicamos um campo magnético constante, ele passa a definir uma direção privilegiada no espaço, que podemos escolher como o eixo z. A energia de interação com o campo é dada por: BmgBVBV bzMzM µµµ =−=⇒−=

A quantidade 〈VM〉 representa a energia adicional adquirida pelo átomo no estado Ψnℓm devido à presença do campo aplicado. Essa energia depende do valor de m e da intensidade do campo.


8

Camada K, 1 estado

Camada L, 4 estados

Camada M, 9 estados

Camada N, 16 estados


9

Estados com diferentes m têm suas degenerescências quebradas por causa da presença do campo magnético. Estados (nℓ) com valores sucessivos de m apresentam energias com diferenças de: BgE bM µ=δO sinal da variação de energia é o mesmo de m, e os estados com m = 0 não são afetados pela presença do campo. Cada um dos níveis representados na figura corresponde a um estado de precessão diferente do átomo, com energia dada por: na presença do campo B. Por essa razão, o número quântico azimutal, m, é também conhecido como número quântico magnético.

BmgE bn µ+

Quebra da degenerescência em m ⇒ quebra da simetria rotacional


10

Resultado clássico!

Lyman α

Balmer α

A separação dos níveis provocada pelo efeito Zeeman produz mudanças na frequência da radiação emitida pelo átomo nas transições ⇒ regras de seleção: Δℓ = ± 1 e Δm = 0 ou ± 1. Todas as transições indicadas envolvem apenas 3 diferentes energias de fótons emitidos: ΔE – δEM ; ΔE ; e ΔE + δEM onde ΔE representa a energia de transição sem o campo aplicado. Aparece então um tripleto, com variação de frequência dada por:

e

bM

meBBg

hEv

π4π2δδ ===

µ


11

1922: experiência de Stern&Gerlach Vamos imaginar que temos um feixe de pequenos ímãs, que atravessam uma região com campo magnético, como ilustrado na figura abaixo:

A componente z do campo, na posição dos pólos N e S, pode ser escrita, em 1ª ordem, como:

e

onde Bz0 e ∂Bz/∂z são, respectivamente, os valores do campo e de seu gradiente sobre o eixo do dipolo. Se considerarmos que os pólos (hipotéticos) têm intensidades ±g0, a força pode ser escrita como:

Em 1920 já se sabia que havia separação das linhas espectrais mesmo sem a presença de campos magnéticos externos (estrutura fina). Fenômeno então atribuído a processos internos ao átomo: “caroço magnético” responsável por produzir campo e interagir com os elétrons mais externos.

Força depende de µz!


12

feixe de ímãs

imagem Resultados muito diferentes são obtidos se substituímos o feixe de ímãs por um feixe de átomos, pois, nesse caso, cada átomo tem uma

Assim, o momento de dipolo magnético, µz, pode ter apenas alguns valores. No caso de um feixe de átomos de H:

Essa é a força responsável pela deflexão vertical do feixe, dependendo do sinal de µz. Classicamente, µz varia continuamente, por conta da orientação aleatória dos ímãs. Isso deve resultar numa imagem contínua, conforme a figura:

certa probabilidade de ser encontrado com uma certa orientação, definida pelo valor da projeção de seu momento angular sobre o eixo z.

com

Assim, diferentes valores de µz vão sofrer forças distintas e deflexões diferentes, conforme ilustrado na figura abaixo:


13

(2ℓ+1) manchas 2 manchas

momento magnético orbital observado

O experimento original de Stern&Gerlach usou um feixe de átomos neutros de Ag, obtidos por evaporação em um forno. Depois de atravessarem o campo eles eram depositados em uma placa de vidro. (Episódio do charuto, PT56v12(2003)53). Resultado observado concordava com o que se esperava pelo modelo do “caroço magnético” para a Ag. No entanto, um experimento análogo feito com átomos de H – para os quais não era esperada deflexão – obteve os mesmos resultados. O “caroço magnético” não podia explicar esses resultados, pois, no H, o “caroço” é só o núcleo, cujo momento magnético é 3 ordens de grandeza menor que o do elétron.

eb m

e2

=µ ⇒ me ↔ mp ⇒ µe >> µp


14

Resultados de Stern & Gerlach


15

1924: Pauli sugere que as estruturas dos multipletos e as anomalias no efeito Zeeman poderiam ser explicadas se um novo grau de liberdade, formal, com 2 valores, fosse associado ao elétron. Goudsmit e Uhlenbeck (estudantes de pós, ver Eisberg, pág. 356) propõem uma variável, quantizada, com 2 valores, com propriedades de momento angular. Eles supuseram um movimento de rotação do elétron em torno de seu próprio eixo (como a Terra: gira em torno do Sol e de seu próprio eixo).

Analogia com o momento angular orbital ⇒ e e

com e foram observadas 2 manchas ⇒ 2 valores de ms . Como Δms = 1 ⇒ ms = ± ½. Assim, o momento angular de spin é dado:

( ) 222

431 e

2

=+=±== ssSmS sz

incerto

Temos também o aparecimento de um momento de dipolo magnético devido ao momento angular de spin:

sbssbs

s mgSgz

µµµ

µ −=−= e

com gs = 2


16

Um estado estacionário de um átomo monoeletrônico é descrito por um conjunto de 4 números quânticos:

ou


17


18


19

Spin – um efeito quântico-relativístico

trajetória da esfera

observador

vistas observadas

2 1

1 2

3

3

4

4

Momentos de dipolo magnético - edisciplinas.usp.br · 4300376 - Física Moderna 2 Aula 2 1 z i...

Documents

Transcript of Momentos de dipolo magnético - edisciplinas.usp.br · 4300376 - Física Moderna 2 Aula 2 1 z i...