Modelos de Probabilidade e Inferncia Estatstica

Departamento de Estatstica

Universidade Federal da Paraba

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Distribuio Qui-quadrado

Definio 9.1: Uma varivel aleatria contnua X tem distribuio qui-quadradocom n graus de liberdade, denotada por 2n , se sua funo densidade for dadapor:

f (x) =1

2n/2(n/2)xn/21ex/2, x > 0, n> 0

Sendo, (w) =

0xw1ex dx , w > 0.

IDEIA Graus de liberdade: Considere um conjunto de dados qualquer. Grausde liberdade o nmero de valores deste conjunto de dados que podem variaraps terem sido impostas certas restries a todos os valores.

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Distribuio Qui-quadrado

ExemploConsideremos que 10 estudantes obtiveram em um teste mdia 8.0. Assim, asoma das 10 notas deve ser 80 (restrio). Portanto, neste caso, temos um graude liberdade de 101 = 9, pois as nove primeiras notas podem ser escolhidasaleatoriamente, contudo a 10a nota deve ser igual a[80 (soma das 9 primeiras)].

A distribuio qui-quadrado pode ser interpretada da seguinte forma:

InterpretaoComo a soma de normais padronizada ao quadrado.

Ou seja, se Xi N(0,1), enton

i=1 X2i 2n

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Distribuio Qui-quadrado

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Distribuio Qui-quadrado

A distribuio qui-quadrado possui numerosas aplicaes importantes eminferncia estatstica.

Devido a sua importncia a distribuio qui-quadrado est tabulada paradiferentes valores do parmetro n.

Assim, poderemos achar na tabela o valor 2 que satisfaa P(X 2) = ouP(X 2) =, dependendo da tabela.

O que tabelado a funo inversa, em relao a rea direita ou esquerdade cada curva. Isto , dado um valor de rea na cauda direita, a tabela retornaum valor 2 tal que P(X 2) = e dado um valor de rea na cauda esquerdaa tabela retorna um valor 2 tal que P(X 2) =.

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Exemplo de Tabela Qui-quadrado

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Distribuio Qui-quadrado

Exemplo 1 Suponha que X segue uma distribuio qui-quadrado com 17 grausde liberdade e queremos encontrar x1 e x2 tais que P(x1 X x2) = 0.95.

OBSERVAO 9.1: Poderamos ter encontrado outros valores de x1 e x2 para osquais P(x1 X x2) = 0.95, porm, na prtica, sempre buscamos por valores deforma que as probabilidades P(X < x1) = P(X > x2).

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Distribuio Qui-quadradoExemplo 2 Suponha que X segue uma distribuio qui-quadrado com 7 graus deliberdade.

a) Determine P(X > 9).b) Determine o valor x tal que P(X x) = 0.95c) Determine o valor x tal que P(X > x) = 0.95

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Propriedades da distribuio Qui-quadrado

Propriedades

E(X) = n

Var(X) = 2n

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Distribuio Qui-quadrado

Teorema 9.1: Seja X uma varivel aleatria com distribuio normalpadronizada. Ento X 2 tem distruibuio 2 com um grau de liberdade.

Teorema 9.2: Sejam X1,X2, . . . ,Xn variveis aleatrias independentesnormalmente distribudas com mdia 0 e varincia 1. Ento Z =

ni=1 X

2i segue

uma distribuio qui-quadrado com n graus de liberdade.

Teorema 9.3: Sejam U1,U2, . . . ,Uk variveis aleatrias independentes comdistribuio qui-quadrado com n1,n2, . . . ,nk graus de liberdade resepectivamente.Ento a soma W = U1 + U2 + + Uk tem distribuio qui-quadrado comn1 + n2 + + nk graus de liberdade.

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Distribuio Qui-quadrado

Teorema 9.4: Suponha que a varivel aleaatria Y tenha distribuio 2n . Entopara n suficientemente grande (n 30), a varivel aleatria

p2Y tem

aproximadamente a distribuio N(p

2n1,1).

Teorema 9.5: Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatria de uma distribuio normalcom mdia e varincia 2, ento

(n1)S2

2=

ni=1(Xi X)2

22(n1)

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Distribuio t de Student

A distribuio t de Student uma das distribuies mais utilizadas na estatstica,com aplicaes que vo desde a modelagem estatstica at testes de hipteses.

Definio 9.2: Uma varivel aleatria contnua X tem distribuio t de Studentcom graus de liberdade, denotada por t , se sua funo densidade for dada por:

f (x) =1p

+12

2

1 +x2

+12

, = 1,2,3, . . . x R

A expresso acima assustadora????

Boa Notcia: No precisaremos dela para calcular probabilidades.

Mais uma vez, o parmetro , chamado de graus de liberdade, est associado aonmero de parcelas independentes em uma soma.

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Propriedades da distribuio t de Student

Propriedades

E(X) = 0 para > 1

Var(X) =

2, para > 2

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Distribuio t de Student

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Distribuio t de Student

Principais CaractersticasCada nmero de graus de liberdade da origem a uma distribuio t diferente.

A funo densidade tem a mesma forma em sino da distribuio Normal,mas reflete uma maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que dese esperar em amostras pequenas.

A distribuio t-Student se aproxima da normal quando aumenta o nmerode graus de liberdade.

A curva simtrica em torno do zero, ou seja, dado um aR, tem-se quef (a) = f (a). Logo P(X a) = P(X a).

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Distribuio t de StudentAo contrrio da distribuio normal, no existe uma relao entre as diferentesdistribuies t, assim seria necessria uma tabela para cada valor de .

comum que os livros didticos apresentem tabelas da distribuio t queenvolvem os valores crticos.

O motivo para isso que a maioria das aplicaes da distribuio t envolve aconstruo de intervalos de confiana ou de testes de hipteses.

Nessas aplicaes, nosso interesse est no valor crtico associado a um nvel designificncia que, como visto no grfico a seguir, o valor da abscissa quedeixa probabilidade (rea) acima dela.

Na tabela t , cada linha corresponde a um nmero diferente de graus de liberdadee cada coluna corresponde a uma rea na cauda superior. No corpo da tabelatemos a abscissa t que deixa a rea acima dela.

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Distribuio t de Student

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Exemplo de Tabela t de Student

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Distribuio t de StudentTeorema 9.6: Sejam Y e Z varieis aleatrias independentes, Y sendonormalmente distribuda com mdia 0 e varincia 1, e Z tendo distribuioqui-quadrado com graus de liberdade. Ento, a varivel

T =Yp

Z/

tem distribuio t de Student com graus de liberdade.

Observao 9.1: Considere X1,X2, . . . ,Xn variveis aleatrias independentes comdistribuio normal com mdia e desvio padro . Ento, a varivel

t =X s/p

n

onde s o desvio padro amostral, tem distribuio t de Student com n1 grausde liberdade.

Este fato decorrente do teorema acima.Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuies Qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor 04/14 20 / 32

Distribuio t de Student

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Distribuio F de Snedecor

A distribuio F de Snedecor tambm conhecida como distribuio de Fisher frequntemente utilizada na inferncia estatstica para anlise da varincia.

Definio 9.3: Uma varivel aleatria contnua X tem distribuio F de Snedecorcom 1 e 2 graus de liberdade, denotada por F1,2 , se sua funo densidade fordada por:

f (x) =

1+22

12

1/2x1/21

12

22

12

x + 1(1+2)/2

, 0< x

Propriedades da distribuio F de Snedecor

Propriedades

E(X) =2

22para 2 > 2

Var(X) =222 (1 +22)1(24)(22)2

, para 2 > 4

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Distribuio F de Snedecor

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Distribuio F de Snedecor

Principais Caractersticas

Cada par de graus de liberdade da origem a uma distribuio F diferente.

A distribuio F depende de dois parmetros. O primeiro (1) o grau deliberdade do numerador e o segundo (2) do denominador.

A varivel aleatria F no-negativa, e a distribuio assimtrica direita.

A distribuio F se parece com a distribuio qui-quadrado, no entanto, osparmetros 1 e 2 fornecem flexibilidade extra em relao forma.

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Exemplo de Tabela F de Snedecor

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Distribuio F de Snedecor

Teorema 9.7: Sejam Q1 e Q2 variveis aleatrias independentes, comdistribuio qui-quadrado com 1 e 2 graus de liberdade, respectivamente.Ento, a varivel aleatria

F =Q1/1Q2/2

tem distribuio F de Snedecor com 1 graus de liberdade no numerador e 2graus de liberdade no denominador.

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Distribuio F de Snedecor

Observao 9.2: Suponha que temos duas populaes independentes tendodistribuies normais com varincias iguais a 2. Considere Y11, . . . ,Y1n umaamostra aleatria da primeira populao com n observaes e Y21, . . . ,Y2m umaamostra aleatria da segunda populao com m observaes. Ento, a estatstica

f =

(n1)S21(n1)2

(m1)S22(m1)2

tem distribuio F de Snedecor com (n1) graus de liberdade no numerador e(m1) graus de liberdadade no denominador, onde s1 e s2 sos os desviospadro amostrais da primeira e da segunda amostra, respectivamente.

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Distribuio F de Snedecor

Observao 9.3: Em geral, as tabelas contm apenas os pontos percentuais dacauda superior (valores de F,1,2 para 0.50)

Os pontos percentuais da cauda inferior F1,1,2 podem ser encontrados apartir da seguinte relao:

F1,1,2 =1

F,2,1

RELAES IMPORTANTES:

F1,1, = t21/2,

F, ,=2,

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Distribuio F de SnedecorExemplo 1: Determine

a) F0.01,15,9b) F0.95,10,15c) F0.99,15,9

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Distribuio F de Snedecor

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Outras Distribuies