MODELOS DE CRECIMIENTO ENDÓGENO

1. El Modelo AK El comportamiento de los hogares

Nota: voy a denotar las variables cambiantes en el tiempo de esta forma: xt, en lugar de x(t) como correspondería a un modelo en tiempo continuo.

Problema del hogar:

{ }

1( )

0

0

1 0, 01

sujeto a: ( ) (1) dado

t

n t t

c

t t t t

cMax e dt

a r n a ca

θρ ρ θ

θ

−∞ − − ⎛ ⎞−> >⎜ ⎟−⎝ ⎠

= − −

∫

Solución de este problema:

( )

( )

( )

1( )

( ) ( )

( )

( )

1 ( )1

Sea ( ) .

:

0 (2)

( )

( )

n t tt t t t

n t n tt t t t t

t tt t

t t t

n tt t t

t

n tt t

cH e r n a c

e e n

CPO

cH cc c

H e na

e r n e

θρ

ρ ρ

θ

ρ

ρ

λθ

μ λ μ λ ρ λ

λλ θλ

μ λ ρ λ

λ

−− −

− − − −

−

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= + − −⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎣ ⎦

≡ ⇒ = − −

∂= → = ⇒ − =

∂

∂− = = − − →∂

− − = ( )

0

( )

( )

( )

- . (3)

lim 0. (4)

Por tanto, las condiciones de op

ts

n tt t

tt

t

r n ds

tt

n

r n

a e

ρ λ ρ λ

λλ

− −

− −

→∞

− − ⇒

= −

∫ =

timalidad son:1 ( ). (5)

( ) (6)junto con (4).

tt

t

t t t t

c rc

a r n a c

ρθ

= −

= − −

El comportamiento de las empresas

( ) ( )

sujeto a: ( ) (7)CPO:

(8)

tt tk

t t

t

Max f k r k

f k Ak

r A r A

δ

δ δ

− −

=

= − ⇒ = −

El equilibrio Dado que esta economía es cerrada, en equilibrio debe ocurrir que . t ta k=Def. Un equilibrio consiste en unas asignaciones { }, ,t t tc a k y unos precios { }tr tales que: a) { },t tc a resuelven el problema del hogar, dado

{ }tr ;b) { }tk resuelve el problema de la empresa dado

{ }tr ;c) Los mercados se vacían , es decir tk a⇒ = t

t

Consumo ProductoInversión

( )t t tc k n k Akδ+ − + =

En definitiva, las condiciones de optimalidad del problema son (sustituyendo (8) y tk ta= en (4)-(6)) :

( ) (9)t t t tc k n k Akδ+ − + =

( )

1 ( ) (10)

lim 0. (11)

t

t

A n ttt

c Ac

k e δ

δ ρθ

− − −

→∞

= − −

=

Es fácil ver de (10) que es una ecuación diferencial en la variable ct, con parámetros constantes, cuya solución es:

1 ( )

(0)A t

tc c eδ ρ

θ− −

= (12) Supondremos que el crecimiento del consumo es positivo, es decir, A δ ρ> + . Además supondremos que la suma de utilidades descontada está limitada o acotada, es decir, el consumo no puede crecer más rápido que el descuento:

1

1( ) ( ) 1

0 0

( ) 1 ( )

0 0

( ) 0

( ) 1

0

1 ( 1)1

n t n ttt

n t n tt

n

n tt

ce dt e c dt

e c dt e dt

e c dt

θρ ρ θ

ρ θ ρ

ρ

ρ θ

θ

−

−∞ ∞− − − − −

∞ ∞− − − − −

∞> − >

∞ − − −

−< ∞⇒ − < ∞

−

⇒ −

⇒ < ∞

∫ ∫

∫ ∫

∫

< ∞

0

1( ) ( )100

1( ) ( )

0(0, )

1 ( )

n A t

n A t

c

e c dt

e dt

n

θρ δ ρθθ

θρ δ ρθ

ρ

−⎡ ⎤− − − − −∞ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦

−⎡ ⎤− − − − −∞ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∈ ∞

⇒ <

⇒ <

−⇒ − −

∫

∫

∞

∞

( ) 0Aθ δ ρθ

− − >

esto es, la “condición de utilidad acotada o limitada”. En definitiva, existe solución con crecimiento del consumo positivo si

1 ( )A A nθρ δ δ ρ δθ−

> + > − − + +

Dinámica de transición Ahora demostramos que el modelo carece de dinámica de transición, y calculamos el valor óptimo del consumo inicial. Con esto tendremos resuelto analíticamente el problema: Sustituyendo (12) en (9) tenemos:

01( ) , donde ( )ct

t t ck A n k c e Aγδ γ δ ρθ

= − − − = − −

La solución a esta ecuación es (ver apéndice 1):

( )0 00 ,

( ) ( )donde ( ) 0 por la condición de "utilidadacotada o limitada".

ctA n tt

c c

c

c ck k e eA n A n

A n

γδ

δ γ δ γδ γ

− −⎡ ⎤= − +⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦

− − − >

Si sustituimos esta expresión en la condición de transversalidad (11) tenemos:

[ ]

[ ]

( )0 00

( )0 00

0 porque ( ) 0

00

lim 0( ) ( )

lim lim 0( ) ( )

lim 0( )

Para que se sat

c

c

c

A n t

tc c

A n t

t tc c

A n

tc

c ck eA n A n

c ck eA n A n

ckA n

γ δ

γ δ

γ δ

δ γ δ γ

δ γ δ γ

δ γ

− − −

→∞

− − −

→∞ →∞

= − − − <

→∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪− + =⎨ ⎬⎢ ⎥− − − − − −⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤

⇒ − +⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦

⎡ ⎤⇒ − =⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

[ ]0 0

isfaga esta expresión, tiene que cumplirseque el consumo inicial óptimo sea:

( ) (13)cc A n kδ γ= − − −

=

Por tanto, la solución al problema es:

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

0

0

0

0

1Dado y = ( ) :

,

( ) ( )

,

c

c

c

c

tt

tt c t c

tt

t t c

t

k A

k k e

c A n k A n k e

y Ak e

k ksy A

γ

γ

γ

γ δ ρθ

δ γ δ γ

δ γ δ

− −

=

= − − − = − − −

=

+ += =

,

Todas las variables que crecen lo hacen a la misma tasa constante.

El problema del planificador

{ }

1( )

0

0

11

sujeto a: ( ) dado

t

n t t

c

t t t t

cMax e dt

k Ak n k ck

θρ

θ

δ

−∞ − − ⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

= − + −

∫

Puede demostrarse que las condiciones de optimalidad son:

( ) (14)t t t tc k n k Akδ+ − + =

( )

1 ( ) (15)

lim 0. (16)

t

t

A n ttt

c Ac

k e δ

δ ρθ

− − −

→∞

= − −

=

Estas condiciones son las mismas que obteníamos en el equilibrio competitivo. Por tanto, podemos decir que el equilibrio competitivo es óptimo y que podemos encontrar unos precios (unos tipos de interés y un precio sombra o variable de coestad0) tales que la solución del planificador coincida con el equilibrio competitivo. En definitiva, se satisfacen los dos teoremas del bienestar.

Apéndice 1

( )

*Solución de la ecuación homogénea =( ) :

, donde es una constante arbitraria.

*Una solución particular: :

Sustituyendo esta solución particular en =(

c c

t t

A n tt

t tt t c

t

k A n k

k B e B

k D e k D e

k A

δ

γ γ

δ

γ

− −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=

= ⇒ =

− 0

0

( )

) -

se tiene que .

Nótese que, por la condición de utilidad limitada: >0.

*Solución general (sumando la solución a la ec. homogénea y la solución particular):

ctt

c

c

A n tt

n k c ecD

A nA n

k B e

γ

δ

δ

δ γδ γ

− −

−

=− − −

− − −

= 0

0

00

( )0 00

.

*Solución completa: teniendo en cuenta que (0) , dado:

entonces .

Por tanto, la solución es:

c

c

t

c

c

tA n tt

c c

c eA n

k kcB k

A n

c ck k e eA n A n

γ

γδ

δ γ

δ γ

δ γ δ γ− −

+− − −

=

= −− − −

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦

MODELO DE CRECIMIENTO ENDÓGENO CON ACUMULACIÓN DE CAPITAL

HUMANO (Notas basadas en el libro de R. Barro y X. Sala-i-Martin: Economic

Growth, de MIT Press) 1. El comportamiento de los hogares (Nota: suponemos, sin pérdida de generalidad, que no hay crecimiento poblacional, es decir, n=0; además, utilizaré como notación xt para aquellas variables que cambian con el tiempo en lugar de x(t), que es la notación usual para las modelizaciones en tiempo continuo). El problema al que se enfrentan el hogar representativo es (suponemos que el sector productor del capital humano no tiene mercado explícito):

{ }

1

0,

1 , 0, 01

sujeto a: (1)

(1 ) (2)

t t

t t

c u

t t t t t t t

t t t h t

cMax e dt

a r a w u h c

h B u h h

θρ ρ θ

θ

δ

−∞ − −> >

−= + −

= − −

∫

0 0dados ,a h

El Hamiltoniano asociado a este problema es:

( ) (

( )

1

1, 2,

, , , , ,

1 (1 )1

Sea , 1,2 , 1,2.

t tt t t t t t t t t t h t

t ti t i t i t i t i t

cH e r a w u h c B u h h

e i e i

θρ

ρ ρ

λ λθ

μ λ μ λ ρλ

−−

− −

⎡ ⎤−= + + − + − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

≡ = ⇒ ≡ − =

)δ

Las Condiciones de Primer Orden (CPO) son:

1,1,

1,

2,

1,Ratio de precio del productividadescapital humano marginales del inputrelativo al precio trabajo edel bien final

0 (3)

0

t tt t

t t t

t t

t t

cH cc c

wHu B

θ λλ θ

λ

λλ

−∂= → = ⇒ = −

∂

∂= → =

∂

fectivo decada sector

1, 1, 1,

(4)

( ) (5)

Nótese que de (3) y de (5) obtenemos la típica condición de Euler:

t t t tt

H rk

μ λ ρ λ∂− = → − − =∂

2, 2, 2,

1,

1 ( ) (6)

( ) (7)

junto con las condiciones de transversalidad:lim

tt

t

t t h tt

tt tt

c rc

H Bh

e aρ

ρθ

μ λ δ ρ λ

λ−

→∞

= −

∂− = → − − − =∂

2,

0

lim 0tt tt

e hρ λ−

→∞

=

=

2. Las empresas El problema de la empresa representativa es:

{ }1

,

1 1 1 1

( ) , (en eq. )

Las CPO de este problema son:

(1 ) (1 ) ( ) (8)

( )

t tt

t t t t t t t t tk h

y

t t t t t t

t t t t t t

Max Ak h w h r k h u h

w Ak h Ak u h

r Ak h Ak u h

α α

α α α α

α α α α

δ

α α

δ α α

−

− −

− − − −

− − + =

= − = −

+ = = (9) 3. El equilibrio competitivo Un equilibrio competitivo es un conjunto de asignaciones

y un conjunto de precios { , , , , ,t t t t t tc u a k h h } { },t tr w tales que:

i) Las asignaciones { } resuelven el problema del hogar representativo dados los precios { },t tr w .

, , ,t t t tc u a h

ii) Las asignaciones { },t tk h resuelven el problema de

la empresa dados los precios { },t tr w . iii) Los mercados se vacían: tu h= , t ta ht th = , es decir,

usando estas igualdades junto con (8) y (9) en la restricción presupuestaria (1) se obtiene la restricción de recursos de la economía:

1

consumo inversión bruta output

( )t t t t t tc k k Ak u hα αδ −+ + =

Una medida amplia o extendida del output de esta economía se obtiene agregando a la producción del bien final la acumulación de capital humano valorado a través de su precio en términos relativos del precio del bien final:

2,1

1,

1

1

( ) (1 )

(1 ) ( ) ( ) (1 )

(1 )(1 ) ( ) 1

tt t t t t t

t

t t tt t t t

tt t t

t

Q Ak u h B u h

Ak u htAk u h B u h

BuAk u h

u

α α

α αα α

α α

λλ

α

α

−

−−

−

= + −

−= +

⎛ ⎞− −= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

−

Las ecuaciones de optimalidad del equilibrio competitivo se resumen en las siguientes:

1 1

1 1

La restricción de recursos de la economía:

( ) (10)

De (6) y (9) se obtiene la condición de Euler:1 ( )

t tt t t

t t

tt t t

t

k cAk u hk k

c Ak u hc

α α

α α

δ

α δ ρθ

− −

− −

= − −

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (11)

De (2) se obtiene la tasa de crecimiento del capital humano:

(1 ) (12)

Sustituyendo (8) en (4) y derivando respecto del tiempo

tt h

t

h B uh

δ= − −

1, 2,

1, 2,

:

;

Usando esta ecuación junto con (3), (7), (10) y (12), y,sin pérdida de generalidad, suponiendo , se obtienela tasa de crecimiento del tiempo dedicad

t t t t t

t t t t t

h

k u hk u h

λ λα α

λ λ

δ δ

⎛ ⎞− = − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

=o a trabajar en el

sector del bien final:1 (13)t t

tt t

u cB B uu k

αα−

= + −

Las ecuaciones dinámicas (10)-(13) determinan la evolución de esta economía en el equilibrio competitivo, junto con las condiciones de transversalidad.

4. El estado estacionario o la senda de crecimiento

equilibrada (Balanced Growth Path) El estado estacionario o el Balanced Growth Path (BGP) es una situación en la cual las variables { }, ,t t tc k h crecen a una tasa constante y la variable ut es constante.

Primero vamos a mostrar que todas las variables con crecimiento no nulo en el BGP crecen a la misma tasa:

( )

* *,

11* *

cBGP

Definimos , para , , , ; ; .

De la ecuación (11), evaluada en el BGP, se tiene que:

1 debe ser constante

t tx t x BGP

t t BGP

t t

t t

x xx c k h y u ux x

k kA uh h

αα

γ γ

γ α δ ρθ

−−

⎛ ⎞≡ = ≡ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )

* *

11* *

BGP

.De la ecuación (10), evaluada en el BGP, se tiene que:

debe ser constante

k h

t t tk

t t tBGP

k c cA uh k k

αα

γ γ

γ δ−

−

⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

* *

11*

.El ratio output/capital físico es constante en el BGP, ya que

es igual a , que ya hemos mostrado que es

constante; por tanto, también el out

c k

t

t BGP

k uh

αα

γ γ

−−

⇒ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

* * * * *

put crecerá a la misma tasaque el capital físico. En definitiva, .c k h yγ γ γ γ γ= = = = Ahora vamos a computar el BGP, es decir, vamos a

determinar * *, , , ,t t t

t t tBGP BGP BGP

c k yuk h k

γ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

en función

de los parámetros estructurales del modelo.

Definimos: * * *, ,t t

t tBGP BGP BGP

c k zk h

χ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≡ ≡ ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

t

t

yk

.

Las ecuaciones (10)-(13) evaluadas en el BGP son:

* * 1 * 1 *

* * 1 * 1

* *

* *

( ) ( ) (10')1 ( ) ( ) (11')

(1 ) (12')1

A u

A u

B u

Bu B

α α

α α

γ ω δ χ

γ α ω δ ρθ

γ δα χ

α

− −

− −

= − −

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

= − −−

= − + (13')

Es fácil probar que la solución a este sistema es:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

*

*

*

11*

1 ( )(1 ) (14)

1 (15)

1 1( )(1 ) (16)

1 ( )(1 ) (17

u BB

B

B B

A BB B

α

ρ δ θθ

γ δ ρθ

αχ ρ δ θθ α

αω ρ δ θθ

−

= − − −

= − −

−= − − − +

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

*

*

)

Es directo probar, dada la definición de , que su valor deestado estacionario es:

/ (18)

z

z B α=

5. La dinámica de transición

Sean 1 1; ;t t tt t t t t

t t t

c k yz A uk h k

;α αχ ω ω − −≡ ≡ ≡ =

Vamos a resumir en las ecuaciones siguientes la dinámica de esta economía, basada tal dinámica en la evolución temporal de las variables: { }, ,t t tz uχ . Dado que estas variables son todas variables de control, una vez que hayamos estudiado su evolución dinámica veremos cómo esta evolución depende de la variable de estado tω . Usando las ecuaciones (10) y (11), junto con (16) y (18) se tiene:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

* * *

(19)

Usando (10) y (12) junto con (14), (16) y (18):

(20)

Usando la definición de y las ecuaciones (13)

t t tt t

t t t

t t tt t t

t t t

t

c k z zc k

k h z z B u uk h

z

χ α θ χ χχ θ

ω χ χω

−= − = − + −

= − = − − − + −

( )

( ) ( )

*

* *

y (20):

(1 ) (1 ) (21)

De la ecuación (13) junto con (14) y (16):

(22)

t t tt

t t t

tt t

t

z u z zz u

u B u uu

ωα αω

χ χ

⎛ ⎞= − − = − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − − −

El sistema dado por (19), (21) y (22) define el comportamiento dinámico de { }, ,t t tz uχ . Veamos cómo es este comportamiento (sólo estudiamos el caso α θ< ):

De (21) podemos obtener la evolución dinámica de independientemente de las otras dos variables ya que sólo aparece dicha variable en esta ecuación. Por tanto, si conociéramos el valor inicial del ratio output capital (z0), la solución a (21) sería:

tz

1* * *0

1*0 0

0

(23)1

Btt

tBtt

z z z z ze zz z z z e

z

αα

αα

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

− −= ⇒ =

−−

Demostración: Demostración:

( ) ( )

( )

( ) ( )

**

*

* *

* *

1(1 ) (1 )

1 (1 )

1 1/ 1/=

tt t

t t t

tt t

RHSLHS

t ttt t t

z z z dz dtz z z z

dz dtz z z

z zLHS dz dzzz z z z z

α α

α

= − − − ⇒ = − −−

⇒ = − −−

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= −

∫ ∫

∫ ∫

( )* * *1

**

1

2

1* **

31

(1/ ) ln (1/ ) ln

(1/ ) ln

(1 ) (1 )

Por tanto, ln (1 ) .

Si evaluamos la solu

t t

t

t

Btt t

t t

z z z z z C

z zz Cz

RHS dt t C

z z z zz t C C ez z

αα

α α

α−⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦⎛ ⎞−

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − = − − +

⎛ ⎞− −= − − + ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

*0

0

1* *0

0

ción en =0 tenemos que .

Así pues, la solución es: .Bt

t

t

z zt Cz

z z z z ez z

αα−⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

−=

− −=

( ) ( )

( )

( ) ( )

**

*

* *

* *

1(1 ) (1 )

1 (1 )

1 1/ 1/=

tt t

t t t

tt t

RHSLHS

t ttt t t

z z z dz dtz z z z

dz dtz z z

z zLHS dz dzzz z z z z

α α

α

= − − − ⇒ = − −−

⇒ = − −−

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= −

∫ ∫

∫ ∫

( )* * *1

**

1

2

1* **

31

(1/ ) ln (1/ ) ln

(1/ ) ln

(1 ) (1 )

Por tanto, ln (1 ) .

Si evaluamos la solu

t t

t

t

Btt t

t t

z z z z z C

z zz Cz

RHS dt t C

z z z zz t C C ez z

αα

α α

α−⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦⎛ ⎞−

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − = − − +

⎛ ⎞− −= − − + ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

+

*0

0

1* *0

0

ción en =0 tenemos que .

Así pues, la solución es: .Bt

t

t

z zt Cz

z z z z ez z

αα−⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

−=

− −=

El siguiente gráfico nos ayuda a estudiar la dinámica de esta variable:

En este gráfico podemos observar que si

. *0 ( ) ( )tz z z< > ⇒ ↑ ↓

zt z*

t

t

zz

El siguiente diagrama de fases nos ayudará a entender la dinámica de tχ y de ut:

* *

*

* *

0 (

010 (

t t t

t t

t t t

z z

z z z

u u uB

)

)

θ αχ χ χθ

χ χ

−= ⇒ = − +

= ⇒ =

= ⇒ = + −

De estos gráficos es directo deducir que:

*0 * *

0 0

Si ( )

t

t t

zz z

u u uχ χ χ

⎧ ↓⎪> ⇒ ⎨> ⇒ ↓⇒ > ↓⎪⎩

χt

zt z*u*

0tχ =0tz =

0tu =

Ahora vamos a relacionar la variable de estado (ωt) con las de control:

* *

*

*0

*0

* *0 0

*0

De (19) y (22):

( ) ( );

Por tanto, si esto sólo es posible si 0, es decir,

si .

( )

En definitiva, si ( ) ( ) .

( )

La dinámica para el resto de

tt t

t

tt

t

z z B u u

z z

z z

u u

χω α γω θ

ωω

ω ω

ω ω χ χ

= − − + −

> >

<

⎧ > <⎪

< > ⇒ > <⎨⎪ > <⎩

las variables del modelo puedendeducirse de igual modo y queda como ejercicio. 6. La solución del planificador El problema del planificador es el siguiente:

{ }

( )

1

0,

1

0 0

1 , 0, 01

sujeto a:

(1 ) dados ,

t t

t t

c u

t t t t t t

t t t h t

cMax e dt

c k k Ak u h

h B u h hk h

θρ

αα

ρ θθ

δ

δ

−∞ −

−

−> >

−

+ + =

= − −

∫

Queda como ejercicio mostrar que la solución del planificador también resuelve el equilibrio competitivo.