Modelagem Cinemática de Robôs Industriais · Modelagem Cinemática de Robôs Industriais Mário...
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Modelagem Cinemática de Robôs
Industriais
Mário Luiz TroncoProf. Mário Luiz Tronco
Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco
Transformação direta de coordenadas
θ1
θ2
Mário Luiz TroncoProf. Mário Luiz Tronco
...
θN
Variáveis
cartesianasVariáveis de
junta
Transformação inversa de coordenadas
Transformação
inversa
Mário Luiz TroncoProf. Mário Luiz Tronco
Variáveis de
junta
inversa
Variáveis
cartesianas
Robô Elementar (1 Grau de Liberdade) – pêndulo simples
Modelo Matemático associado:
X = L. sen θ
Y = L. ( 1 – cos θ)
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Y = L. ( 1 – cos θ)
Para deslocarmos a extremidade do
segmento L do robô para uma posição
desejada M = (Xo, Yo)T basta utilizarmos a
coordenada θ, ou seja, θ = arc sen (Xo/L),
com Yo ≤ L· .
Robô com 2 Graus de Liberdade – pêndulo duplo
Modelo Matemático associado:
X = L1. sen θ1 + L2. sen θ2
Y = L1. (1 – cos θ1 ) + L2. ( 1 – cos θ2 )
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A transformação inversa de
coordenadas consistirá na definição
de um vetor θ = (θ1, θ2)T, a partir
do posicionamento do robô num
determinado ponto M(Xo,Yo)T, a
partir da obtenção dos valores θ1 e
θ2 expressos em função de Xo e Yo.
A cinemática inversa não pode ser resolvida, pois há
apenas duas equações e 3 incógnitas (os três ângulos de
juntas).
Existem infinitas soluções de ângulos que satisfazem a
condição do órgão terminal atingir um dado ponto no
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condição do órgão terminal atingir um dado ponto no
plano.
Fixando a orientação da junta J3 com ângulo φ (com
relação à horizontal)
A posição de J3, denotada por x3 e y3 vale:
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Cinemática Direta: idêntica à do primeiro exemplo
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O braço apresenta três variáveis de junta (ϴ1,a2 e ϴ3) deve-se
obter 3 equações para a cinemática inversa.
A cinemática direta fornece apenas duas equações
Infinitas soluções possíveis
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Infinitas soluções possíveis
A posição x3,y3 da junta J3 fica fixada se o ponto P= (x,y) e o
ângulo φ forem conhecidos:
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A projeção do ponto P
(órgão terminal) sobre o
plano xy fornece a
distância horizontal d:
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Cinemática Inversa – 4 variáveis de junta ϴ1, ϴ2,ϴ3 e a2
A cinemática direta fornece três equações: necessário
utilizar a condição fornecida para o ângulo de punho: φ =
ϴ2+ ϴ3
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Modelo Geométrico
O modelo geométrico de um robô expressa a posição e orientação de seu elemento
terminal em relação a um sistema de coordenadas solidário a base do robô, em
função de suas coordenadas generalizadas (coordenadas angulares no caso de juntas
rotacionais). O modelo geométrico é representado pela expressão:
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X = f( θ )
onde
θ = (θ1, θ2, ......, θn): vetor das posições angulares das juntas e
X = (X, Y, Z, ψ, θ, φ): vetor posição, onde os três primeiros termos denotam a posição
cartesiana e os três últimos a orientação do órgão terminal.
Esta relação pode ser expressa matematicamente pela matriz que
relaciona o sistema de coordenadas solidárias a base do robô com um
sistema de coordenadas associadas com o seu órgão terminal. Esta
matriz é chamada de matriz de passagem homogênea e é obtida a partir
do produto das matrizes de transformação, Ai, i-1, que relaciona o
sistema de coordenadas de um elemento i com o sistema de
coordenadas anterior i-1, isto é:
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coordenadas anterior i-1, isto é:
Tn = A0.1*A1,2*........*An-1,n
Tn = [ n s a p ]
Tn = A0.1*A1,2*........*An-1,n
Tn = [ n s a p ]
onde
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onde
p = [ px , py , pz ]: vetor posição e
n = [ nx ny nz ], s = [ sx sy sz ] e a = [ ax ay az ]: vetor ortonormal que
descreve a orientação.
A descrição da matriz de transformação é normalmente realizada
utilizando a notação de Denavit-Hartenberg, após a obtenção dos
quatro parâmetros θi, ai, di e αi,, descritos a seguir.
Parâmetros de Denavit-Hartenberg
Permitem obter o conjunto de equações que descrevem a
cinemática de uma junta com relação à junta seguinte na cadeia
cinemática, e vice-versa;
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cinemática, e vice-versa;
Procedimento para obtenção dos parâmetros D-H para a junta Jn
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