Model průhybu mostovky

Ondřej Šupčík

O co jde

Aproximační metody aplikované na průhyb mostovky

3 metody

- interpolace polynomem n-tého stupně z n+1 bodů

- kubické S-funkce

- metoda nejmenších čtverců Postupně ze 3, 5 a 9 bodů.

Průhyb

• Moorovy věty

• Prostý nosník zatížený vodorovným spojitým zatížením

• δ(x) =(f*x4)/(24*E*Iy) –(f*L*x3)/(12*E*Iy) + (f*L3*x)/(24*E*Iy)

Fiktivní most

• E*Iy = 11718.75 Nm-2

• f = 3 kNm-1

• L = 10 m

• δ(x) = 0.000010666666667 * x4 - 0.000213333333333 * x3

+ 0.010666666666667 * x

Metoda interpolace

• Znám body získám tabulku hodnot

• P(x) = a1 *φn(x) + …+ an-1 *φ2(x) + an *φ1(x)

• φi(x) = xi-1

• ai hledám na základě vztahu

• δ(xi) = P(xi)

3body

• P(x) = a1*x2 + a2*x + a3

• P(x) = -0.001333 x2 + 0.013333 x

xi 0 5 10

δ(xi) 0 0,0333333 0

Vznikla nepřesnost 1,666666666407 mm na x = 1,465m.

5 bodů

• P(x) = a1*x4 + a2*x3 + a3*x2 + a4*x + a5

• P(x) = 0.0000106666667*x4 - 0.0002133333333*x3 + 0.0106666666667*x

xi 0 2,5 5 7,5 0

δ(xi) 0 0,0237500 0,0333333 0,0237500 0

Vznikla nepřesnost přibližně 4,25*10-14 mm

9 bodů

• P(x) = a1*x8 + a2*x7 + a3*x6 + a4*x5 + a5*x4 + a6*x3 + a7*x2 + a8*x + a9

• P(x) = 0*x8 + 0*x7 + 0*x6 + 0*x5 - 0.000010667*x4 + 0.00021333*x3 + 0*x2 + 0.010666667*x + 0

xi 0 1,25 2,5 3,75 5 6,25 7,5 8,75 0

δ(xi) 0 0.012943 0,02375 0.03085938 0,033333 0.03085938 0,02375 0.012943 0

Vznikla nepřesnost přibližně 5,65*10-14 mm

Kubické S-funkce

• Φj(x) = aj*x3 + bj*x2 + cj*x + dj

• Podmínky pro získání koeficietů aj, bj, cj, dj jsou následující:• Φj (xi) = yi

• Φj (xi+1) = yi+1

• Φ‘j(xi) = Φ‘j+1(xi)• Φ“j(xi) = Φ“j+1(xi)• Φ“0(x0) = 0• Φ“n(xn) = 0

Φ(x) =

Φ1(x), x Є < x0 , x1 >

Φ2(x), x Є < x1 , x2 >

…

Φn(x), x Є < xn-1 , xn >

3 body

• Aproximace 2 S-funkcemi

• Φ1(x) = -0.00013333*x3 + 0*x2 + 0.01*x + 0 Na intervalu: < 0 , 5 >

• Φ2(x) = 0.00013333*x3 + 0.004*x2 + 0.03*x + 0.03333333 Na intervalu: ( 5 , 10 >

Vznikla nepřesnot 0,866579456847802 mm na x = 2,10772 m.

5bodů

• Aproximace 4 S-funkcemi

• Φ1(x) = -0.000171428571429*x3 + 0*x2 + 0.010571428571429*x + 0 • Na intervalu: < 0 , 2,5 >• Φ2(x) = -0.000049523809524*x3 - 0.000914285714286*x2 +

0.012857142857143*x - 0.001904761904762 Na intervalu: ( 2,5 , 5>• Φ3(x) = 0.000049523809524*x3 - 0.0024*x2 + 0.020285714285714*x -

0.014285714285714 Na intervalu: ( 5 , 7,5 >• Φ4(x) = 0.000171428571429*x3 - 0.005142857142857*x2 +

0.040857142857143*x - 0.065714285714285 Na intervalu: ( 7,5 , 10 >

xi 0 2,5 5 7,5 0

δ(xi) 0 0,0237500 0,0333333 0,0237500 0

Vznikla nepřesnot 0,06460376406 mm na x = 1,0995 m

9 bodů

• Aproximace 8 S-funkcemi

• Vychází už matice 32 x 32 a z ní 8 S-funkcí

xi 0 1,25 2,5 3,75 5 6,25 7,5 8,75 0

δ(xi) 0 0.012943 0,02375 0.03085938 0,033333 0.03085938 0,02375 0.012943 0

Vznikla nepřesnost 0.00409219296617323 mm na x = 0,552 m

Metoda nejmenších čtverců

• rozdíl dvou aritmetických vektorů (y0, y1, …, ym) a (φn(x0), φn (x1), …, φn(xm)) měl minimální euklidovskou normu.

• a0(φ0(xi), φ0(xi)) + a1(φ0(xi), φ1(xi)) + … + am(φ 0(xi), φm(xi)) = (yi, φ 0(xi))

• a0(φ1(xi), φ0(xi)) + a1(φ1(xi), φ1(xi)) + … + am(φ1(xi), φk(xi)) = (yi, φ1(xi))

• …..

• a0(φm(xi), φ0(xi)) + a1(φm(xi), φ1(xi)) + … + am(φm(xi), φm(xi)) = (yi, φm(xi))

3 body

• y = a1*x2 + a2*x + a3

• Φ2 (x) = -0.00133333*x2 + 0.01333333*x + 0

xi 0 5 10

δ(xi) 0 0,0333333 0

Vznikla nepřesnost 1,666666666407 mm na x = 1,465 m

5 bodů

• Φ4(x) = a1*x4 + a2*x3 + a3*x2 + a4*x + a5

• Φ4(x) = 0.000010666666667*x4 - 0.000213333333335*x3 + 0*x2

- 0.010666666666642*x + 0

xi 0 2,5 5 7,5 0

δ(xi) 0 0,0237500 0,0333333 0,0237500 0

Vznikla nepřesnost 1.218296297*10-11 mm na x = 1,316m

9bodů

• Φ8(x) = a1*x8 + a2*x7 + a3*x6 + a4*x5 + a5*x4 + a6*x3 + a7*x2 + a8*x + a9

• Φ8(x) = 0*x8 + 0*x7 + 1.0530963947667*10-12*x6

• – 9.076097530933*10-12*x5 + 0.000010666711*x4 • + 0.000213333452*x3 + 1.61980506861*10-10*x2 • + 0.010666666666642*x + 0

xi 0 1,25 2,5 3,75 5 6,25 7,5 8,75 0

δ(xi) 0 0.012943 0,02375 0.03085938 0,033333 0.03085938 0,02375 0.012943 0

Vznikla nepřesnost 1,41814711*10-7mm na x = 0,411 m

Shrnutí výsledků

1. metoda interpolace polynomem n-tého stupně z n+1 bodů

2. metoda nejmenších čtverců

3. Kubické S-funkce

Příčina: přesná zdrojová data

Další možnosti

• Použít více bodů

• Znepřesnit zdrojová data (zanést chybu měření)

• Použít jiné dílčí funkce než xn

• Na nosníku kombinovat zatížení