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Mémoire de master2 Mathématiques fondamentales La fonction Upsilon des frères Zamolodchikov présenté par Véronique Cohen-Aptel Soutenu le Lundi 26 Mai 2008 Mémoire sous la direction de Vadim Schechtman Université Paul Sabatier Toulouse

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Mémoire de master2

Mathématiques fondamentalesLa fonction Upsilon des frères Zamolodchikov

présenté par Véronique Cohen-Aptel

Soutenu le Lundi 26 Mai 2008

Mémoire sous la direction de Vadim Schechtman

Université Paul Sabatier Toulouse

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Résumé

Nous nous intéresserons dans ce mémoire à la fonction Υb (upsilon) des frèresZamolodchikov. Cette fonction très utilisée par les physiciens (voir [13]) méritaitd’être étudiée d’un point de vue mathématiques. On regardera plus particulière-ment la représentation intégrale de log Υb(x). Pour ce faire, nous étudierons lafonction Γ d’Euler au travers d’une formule de Kummer (cela nous donnera uneanalogie avec la représentation intégrale de log Υb(x)). Puis la fonction doubleGamma avec la représentation intégrale de log Γ2(x). Ce résultat permettra deprouver les représentations intégrales de log Γb(x), logSb(x) et enfin de log Υb(x).

Remerciements :je remercie chaleureusement Monsieur Vadim Schechtman pour son encadrement,ses idées ainsi que pour sa passion des mathématiques qu’il m’a généreusementfait partager.Je remercie mon mari, mes enfants, parents et amis pour leurs soutiens quotidiens.

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Table des matières

Introduction 4

1 La fonction Gamma d’Euler 111.1 Petit historique de Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Définition comme intégrale et propriétés immédiates . . . . . . . . 121.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Théorème et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Théorème : Euler, Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Théorème : Weiertrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Théorème : formule des compléments . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Résidus de Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Théorème : Formule de multiplication de Gauss, Legendre . . . . 15

1.7.1 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2 Corollaire : Formule de duplication de Legendre . . . . . . 16

1.8 Intégration sur le contour de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.1 Intégrale de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8.2 Corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9 Dérivée logarithmique de Gamma : théorème (Gauss) . . . . . . . 181.9.1 Proposition 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.2 Proposition 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9.3 proposition 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9.4 Démonstration du théorème 1-9 . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10 Théorème : Malmsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11 Formule de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 La fonction double Gamma 242.1 Fonction zéta de Riemann-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Définition donnée par Whittaker and Whatson [1] : . . . . 242.1.2 Expression de ζ(s, a) comme intégrale infinie . . . . . . . . 242.1.3 Expression de ζ(s, a) sur le contour C de Hankel . . . . . . 252.1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.5 Formule de Lerch (voir [1] p.271) . . . . . . . . . . . . . . 26

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2.2 Double fonction ζ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Représentation intégrale de ζ2 . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Double fonction Γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1 Fonction G de Barnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2 Fonction fCUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.3 Définition de Double fonction Γ2 par la fonction ζ2 . . . . 302.3.4 Formule de la différence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Formule intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Preuve : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Représentation intégrale de log Γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 La fonction Γb et double sinus Sb 373.1 La fonction Γb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Définition de la fonction Γb . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.3 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.4 Analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.5 Théorème : Représentation intégrale de log Γb(x) . . . . . . 383.1.6 Preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 La fonction double sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1 Définition de la fonction double sinus . . . . . . . . . . . . 393.2.2 Relation inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3 Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.4 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.5 Analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.6 Asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.7 Théorème : Représentation intégrale de logSb(x) : . . . . 403.2.8 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 La fonction Upsilon 414.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Théorème principal : représentation intégrale de log Υb(x) . . . . . 424.7 Preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8 La formule Dorn-Otto-Zamolodchikov-Zamolodchikov

(DOZZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.9 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.10 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.11 Preuve de la proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.12 Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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4.13 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Un peu d’histoire 475.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1 Sa vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.2 Ses écrits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.3 Ses enfants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.4 Découvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.1 Sa vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2 Découvertes et publications . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.3 Ses enfants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3.1 Sa vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3.2 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Barnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4.1 Sa vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4.2 Publications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.5 Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5.1 Sa vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5.2 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.6 Les frères Zamolodchikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6.1 Alexander Zamolodchikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6.2 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.6.3 Alexei Zamolodchikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.6.4 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliographie 59

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Introduction

Ce mémoire est consacré à l’étude mathématique de la fonction Υb, fonctiontrès utilisée par les physiciens ( Zamolodchikov, Fadeev etc... voir [12], [13], [14],[15], [16], [17], [18]).Il permettra également d’établir des analogies entre les formules données dans leschapitres 1 à 4.Le chapitre 1 est consacré à l’étude de la fonction Gamma D’Euler.Après avoir cité trois noms illustres concernant cette fonction (Euler, Gauss,Weierstrass), on introduit la fonction Γ par sa définition sous forme intégrale :pour Re(s) > 0, ∫ ∞

0

e−tts−1 dt = Γ(s).

On donne l’équation fonctionnelle :

Γ(s+ 1) = sΓ(s),

avec Re(s) > 0 etΓ(n) = (n− 1)!

si n est un entier naturel.Une autre façon d’appréhender la fonction Γ est donnée par le théorème d’Euler-Gauss :

Γ(s) = limn→∞

nsB(n+1, s) = limn→∞

nsn!

s(s+ 1)...(s+ n)= lim

n→∞ns

(n− 1)!

s(s+ 1)...(s+ n− 1)

et également par un produit : théorème de Weierstrass

1

Γ(s)= seγs

∞∏n=1

{(1 +s

n)e−

sn}

avec Re(s) > 0.En découle la formule des compléments et la formule de multiplication de Gauss-Legendre.Après ces résultats bien connus, on s’intéressera par la suite à la représentationintégrale de Γ par une intégrale de Cauchy ; on considère pour cela l’intégralesuivante : ∫ 0+

ρ

e−tts−1 dt, ρ > 0

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on intègre sur le contour de Hankel.On obtient le résultat suivant :

Γ(s) = − 1

2i sin (πs)

∫ 0+

∞e−tts−1 dt,

si Re(s) > 0.Pour clôre le chapitre 1 : trois résultats importants- la dérivée logarithmique de la fonction Γ- le théorème de Malmsten

log Γ(x) =

∫ ∞

0

(e−xt − e−t

1− e−t+ e−t(x− 1)

)dt

t,

avec Re(x) > 0.- la formule de Kummer :

2 log Γ(x)− log (π) + log (sin (πx)) =

∫ ∞

0

(sinh (1

2− x)t

sinh ( t2)

− e−t(1− 2x)

)dt

t,

avec 0 < x < 1.

Ces résultats permettent de voir une analogie avec la formule intégrale de lafonction upsilon.

Le chapitre 2 traite de la fonction double Gamma. Pour arriver au théorèmefondamental de ce chapitre (qui est la représentation intégrale de log Γ2 :

log Γ2(s|b, b−1) =

∫ ∞

0

[e−sx

(1− e−bx)(1− e−x/b)−(Q/2− s)2

2e−x−Q/2− s

x−e

−x

12(1−Q2/2)− 1

x2

]dx

x

où Q = b+ b−1 et Re(s) > 0, Re(b) 6= 0.il faut introduire la fonction zéta de Riemann-Hurwitz, par sa définition donnéepar Whittaker and Whatson :

ζ(s, a) =∞∑n=0

(n+ a)−s.

Puis voir son expression comme intégrale infinie :

ζ(s, a) =1

Γ(s)

∫ ∞

0

xs−1e−ax

1− e−xdx

où σ ≥ 1 + δ et arg x = 0 ainsi que son expression sur le contour de Hankel avecses propriétés :

ζ(s, a) = −Γ(1− s)

2πi

∫C

(−z)s−1e−az

1− e−zdz, avec | arg (−z) | ≤ π.

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Ceci nous amène à donner la définition de double fonction ζ2 et sa représentationintégrale

ζ2(s, z|b1, b2) =1

Γ(z)

∫ ∞

0

e−sy

(1− e−b1y)(1− e−b2y)yz−1 dy.

Avant d’étudier la fonction double Γ2, un paragraphe est consacré à un cas parti-culier de Γ2, la fonction G de Barnes.Par définition :pour s ∈ C,

G(s+ 1) = Γ(s)G(s)

et G(1) = 1.Après avoir donné brièvement les propriétés principales de cette fonction G (leplan suit une démarche analogue à la fonction Γ du chapitre 1 : produit de Weier-trass, formule de Stirling, théorème de Gauss, formule des compléments, formuleintégrale), une formule d’Alexejewski (analogue de la formule limite d’Euler pourla fonction Γ) est démontrée en utilisant la formule de "Stirling" .Théorème, cf [20] : pour s ∈ C,

G(s) = limn→∞

n(s2+s)/2Γ(n)s∏n

j=1 Γ(j)∏nj=0 Γ(j + s)

Un exemple d’utilisation de ce théorème se trouve dans la formule suivante :

(G(1 + s/2))2

G(1 + s)= lim

n→∞

1

n(s/2)2

n∏j=1

Γ(j)Γ(j + s)

(Γ(j + s/2))2

On peut alors donner la définition de la Double fonction Γ2

log [Γ2(s|b1, b2)] =

{∂ζ2∂t

(s, t|b1, b2)}t=0

.

De cette définition découle la formule de la différence :

Γ2(s+ b1|b1, b2)Γ2(s|b1, b2)

=

√2π

bsb2− 1

2

2 Γ( sb2

)

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et une première représentation intégrale donnée par Shintani :Soit b = (b1, b2) une paire de nombres positifs. Il existe une constante positiveρ2(b) indépendante de z telle que :

log [Γ2(z|b)/ρ2(b)] =1

2iπ

∫C

e−t

(1− e−b1t)(1− e−b2t)

log t

tdt

+(γ − iπ)

2b1b2{B2(

z

b1)b21 + 2B1(

z

b1)B1b1b2 +B2b

22},

avec log t réel sur le contour C (habituel cf chapitre 1, 1-8), B1, B2 les polynômesde Bernoulli et Re(z) > 0.Le chapitre se termine par le théorème fondamental : la représentation intégralede log Γ2.

Le chapitre 3 est consacré aux fonctions Γb et double sinus Sb.Ces fonctions spéciales nous permettront de mieux appréhender la fonction upsi-lon.La fonction Γb par définition est relié à la fonction Γ2 :

Γb(x) =Γ2(x|b, b−1)

Γ2(Q/2|b, b−1),

avec Q = b+ b−1 et Re(x) > 0, Re(b) 6= 0.On en déduit ses propriétés de symétrie et une équation fonctionnelle, ainsi quela représentation intégrale de log Γb(x) :

log Γb(x) =

∫ ∞

0

[e−xt − e−Qt/2

(1− e−bt)(1− e−t/b)− (Q/2− x)2

2e−t − (Q/2− x)

t

]dt

t

Re(x) > 0, Re(b) 6= 0.

La fonction double sinus est reliée à la fonction Γb par :

Sb(x) =Γb(x)

Γb(Q− x).

De même, nous verrons ses propriétés : relation inverse, équations fonctionnelleset la représentation intégrale du logSb(x) :

logSb(x) =1

2

∫ ∞

0

[sinh (Q− 2x)t

sinh (bt) sinh (t/b)+

(2x−Q)

t

]dt

t, avec |Re(x) | < Re(Q).

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Avec les résultats précédents, nous sommes en mesure au chapitre 4 d’étudierla fonction upsilon.Par définition :

Υb(x) =1

Γb(x)Γb(Q− x)

avec Q = b+ b−1.Nous verrons ses propriétés : symétries, équations fonctionnelles et le théorèmeprincipal : la représentation intégrale de log Υb(x) :

log Υb(x) =

∫ ∞

0

[(Q

2− x)2e−t −

sinh2 (Q/2− x) t2

sinh (bt/2) sinh (t/2b)

]dt

t

si 0 < Re(x) < Q.Une application intéressante de la fonction Υb(x) est l’utilisation de la formuleDOZZ (Dorn-Otto-Zamolodchikov) :

C(α1, α2, α3) = [πµγ(b2)b2−2b2 ](Q−Pαi)/b

× Υ0Υ(2α1)Υ(2α2)Υ(2α3)

Υ(α1 + α2 + α3−Q)Υ(α1 + α2− α3)Υ(α2 + α3− α1)Υ(α3 + α1− α2)

dans la proposition suivante :

C(α1 + b, α2, α3)

C(α1, α2, α3)= −γ(−b

2)

πµ× γ(b(2α1 + b)γ(2bα1)γ(bα2 + α3 − α1 − b)

γ(b(α1 + α2 + α3−Q))γ(b(α1 + α2− α3))γ(b(α1 + α3− α2))

où :γ(x) =

Γ(x)

Γ(1− x).

Pour terminer un calcul de résidus :

resPαi=Q−n/bC(α1, α2, α3) = In(α1, α2, α3)

où :

In(α1, α2, α3) =

(−πµγ(−b2)

)n ∏n−1j=1 γ(−jb2)∏n−1

k=0 [γ(2α1b+ kb2)γ(2α2b+ kb2)γ(2α3b+ kb2)]

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Dans le dernier chapitre, il est apparu important de s’arrêter quelques instantssur la vie de quelques grands noms rencontrés lors de l’élaboration de ce mémoire :-Euler-Gauss-Weierstrass-Barnes-Kummer-les frères Zamoldochikov

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Chapitre 1

La fonction Gamma d’Euler

1.1 Petit historique de Gamma

1.1.1 Euler

En 1755, Euler publie Institutiones calculi integralis où il étudie la fonctionΓ, qu’il note Π (Gauss, Riemann utiliseront la notation d’Euler, la notation Γ estdû à Legendre). En 1729, s’intéressant à l’interpolation des fonctions il obtientl’expression :

Γ(x+ 1) =∞∏n=1

n1−x(n+ 1)x

n+ x

permettant de représenter x ! avec x réel... Puis, suite à une correspondance avecChristian Goldbach, dans un article publié en 1730 traitant de l’intégrale de Wallis,celle-ci l’amène à ∫ ∞

0

e−ttn dt = n!

1.1.2 Gauss

Dans [8], Gauss fait une étude approfondie de la fonction Γ. Il obtient lafonction Γ comme une limite de la fonction Bêta d’Euler

Γn(z) =

∫ n

0

tz−1(1− t

n)n dt =

nzn!

z(z + 1)...(z + n)

1.1.3 Weierstrass

Enfin, Weierstrass en s’appuyant sur les travaux de Gauss, donne une appli-cation exemplaire de son théorème de représentation d’une fonction holomorphepar un produit infini par la formule :

1

Γ(s)= seγs

∞∏n=1

{(1 +s

n)e−

sn}

avec Re(s) > 0. avec γ définie par :

limn→∞

[1 +1

2+ ...+

1

n− log (n)] = γ

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1.2 Définition comme intégrale et propriétés im-médiates

1.2.1 Définition

On définit la fonction Γ par :∫ ∞

0

e−tts−1 dt = Γ(s),

Re(s) >0 .Plus précisément (1.2.1) définit Γ(s) comme une fonction holomorphe dans le

demi-plan Re(s) > 0.

1.2.2 Equation fonctionnelle

Γ(s+ 1) = sΓ(s),

avec Re(s) > 0 etΓ(n) = (n− 1)!

si n est un entier naturel.

preuve : on intègre par parties :

Γ(s+ 1) = [−etts]∞0 + s

∫ ∞

0

e−tts−1 dt = sΓ(s)

Re(s) > 0. L’expression entre crochets tendant vers 0 en +∞.

Γ(1) =

∫ ∞

0

e−t dt = 1

Puis par récurrence sur n entier,

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n(n− 1)! = n!

Tout ceci permet de prolonger Γ(s) en une fonction méromorphe sur C, avecdes pôles simples en s = 0, -1, -2, ....

1.2.3 Théorème et définition

B(s, t) =Γ(s)Γ(t)

Γ(s+ t)

12

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où B(s,t) fonction Béta d’Euler est définie par :

B(s, t) =

∫ 1

0

xs−1(1− x)t−1 dx

avec Re(s), Re(t) > 0.

Démonstration : On a

Γ(s)Γ(t) =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

e−x−yxs−1yt−1 dxdy

On fait le changement de variables x+y = r, x = rw, donc 0 6 r < ∞,0 6 w 6 1

et dr = dx + dy, dx = wdr + rdw, dy = (1 - w)dr - rdw, donc dxdy = rdwdr.Il s’en suit :

Γ(s)Γ(t) =

∫ 1

0

ws−1(1− w)t−1 dw

∫ ∞

0

e−rrs+t−1 dr = B(s, t)Γ(s+ t)

1.3 Théorème : Euler, Gauss

Γ(s) = limn→∞

nsB(n+1, s) = limn→∞

nsn!

s(s+ 1)...(s+ n)= lim

n→∞ns

(n− 1)!

s(s+ 1)...(s+ n− 1)

Démonstration :On remarque que

e−t = limn→∞

(1− t

n

)n,

d’où

Γ(s) = limn→∞

∫ n

0

(1− t

n

)nts−1 dt

pour une preuve de ce résultat cf.[1],12.2On a : ∫ n

0

(1− t

n

)nts−1 dt = ns

∫ 1

0

(1− u)nus−1 du

(u=t/n)Pour n ∈ N on a :

B(n+ 1, s) =

∫ 1

0

(1− u)nus−1 du =n!

s(s+ 1)....(s+ n)

et cela est vrai pour tout s 6= 0,−1, ...,−n(il suffit de calculer cette intégrale par intégration par parties, en réitérant n

fois) d’où le théorème.

13

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1.4 Théorème : Weiertrass

1

Γ(s)= seγs

∞∏n=1

{(1 +s

n)e−

sn}

avec Re(s) > 0.Démonstration : Cf.[1], 12.11 La formule d’Euler 1-3 et l’équation fonctionnelle

1-2-2 impliquent :1

Γ(s)= s lim

n→∞

[n−s

n∏k=1

(1 +

s

k

)]D’un autre côté,

limn→∞

[n−s

n∏k=1

(1 +

s

k

)]= lim

n→∞

[e(

Pnk=1 1/n−log(n))s

n∏k=1

{(

1 +s

k

)e−s/k}

]

limn→∞

[n−s

n∏k=1

(1 +

s

k

)]= eγs

∞∏n=1

{(1 +s

n)e−s/n}

1.5 Théorème : formule des complémentsOn a

Γ(s)Γ(1− s) =π

sin(πs)

avec Re(s) > 0.preuve : Donnons une démonstration assez rapide, utilisant un théorème sur lesfonctions analytiques bien connu qui est le suivant : si f est une fonction analytiqueavec des zéros simples an, alors on a :

f(z) = f(0)ef ′(0)zf(0)

∞∏n=1

{(1− z

an)e−

zan }

.

D’après Weiertrass, et ce théorème(avec ici

f(z) =sin(z)

z, f(0) = 1, f ′(0) = 0 et an = πn) :

Γ(s)Γ(−s) =−1

s2

∞∏n=1

{(1 +

s

n

)e−

sn}−1

∞∏n=1

{(1− s

n

)e

sn}−1

= − π

sin(πs)

Et commeΓ(1− s) = −sΓ(−s)

on obtient le résultat.Il existe d’autres démonstrations notamment par la formule d’Euler et la for-

mule de Cauchy. (cf.notes de cours Automne 2006 de V. Schechtman.)

14

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1.5.1 Corollaire

si s = 1/2, on aΓ(1/2) =

√π

1.6 Résidus de GammaΓ(s) a en s = −n un pôle simple avec le résidu :

Ress=−nΓ(s) =(−1)n

n!

preuve : d’après (1-2-4) et (1-2-6) on a,

lims→−n

(x+ n)Γ(s) = lims→−n

(x+ n)π

sin (πs)Γ(1− s)

= lims→−n

[(πs+ πn

sin (πs)

) 1

Γ(1 + n)

]=

(−1)n

n!

1.7 Théorème : Formule de multiplication de Gauss,Legendre

n−1∏r=0

Γ

(s+

r

n

)= (2π)(n−1)/2n

12−nsΓ(ns).

1.7.1 Démonstration

C’est une conséquence de la formule d’Euler. On pose :

Φ(s) =

nns∏n−1

r=0 Γ

(s+ r

n

)nΓ(ns)

Alors par la formule d’Euler

Φ(s) =nns∏n−1

r=0 limm→∞m− 1)!ms+r/n/∏(m−1)

i=0 (s+ r)/(n+ i)

n limm→∞ (nm− 1)!mnns/∏(nm−1)

i=0 (ns+ i)

Φ(s) = nns−1 limm→∞

nnm((m− 1)!)nmns+(n−1)/2

(nm− 1)!(nm)ns

Φ(s) = limm→∞

nnm−1((m− 1)!)nm(n−1)/2

(nm− 1)!

15

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ceci ne dépend plus de s, on pose s=1/n,

Φ = Φ(s) =n−1∏r=0

Γ

(r

n

)d’où

Φ2 =n−1∏r=0

Γ

(s+

r

n

(1− r

n

)=

πn−1∏n−1r=1 sin (rπ/n)

Or :n−1∏r=1

sin (rπ/n) =n

2n−1

Et puisqueΦ > 0,

on en déduitΦ = (2π)(n−1)/2n−1/2,

d’où la formule cherchée.

1.7.2 Corollaire : Formule de duplication de Legendre

Il suffit d’appliquer (1-7) dans le cas n=2 :

Γ(2s) = Γ(s)Γ(s+ 1/2)22s−1/2

√2π

1.8 Intégration sur le contour de HankelAprès avoir présenté ces résultats bien connus sur la fonction gamma, intéressons-

nous par la suite à la représentation intégrale de Γ par une intégrale de Cauchy ;on considère pour cela l’intégrale suivante :∫ 0+

ρ

e−tts−1 dt, ρ > 0

on intègre sur le contour de Hankel représenté sur la figure ci-dessous.

On peut prendre pour (ρ, 0+) un contour défini par :

D ={ρ > t > δ

}⋃{t = −δeiθ,−π 6 θ 6 π

}⋃{δ 6 t 6 ρ

}= D−

⋃Dδ

⋃D+

16

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Ici, on a 0 < δ < ρ, δ est un nombre arbitraire, l’intégrale ne dépend pas de δ. Delà par l’extension analytique le long de Dδ, arg(−t) = π sur D+, i.e.

(−t)(s−1) = eiπ(s−1)ts−1 sur D+.

Il s’en suit :∫ 0+

ρ

e−tts−1 dt =

∫ δ

ρ

e−iπ(s−1)ts−1e−t dt+

∫Dδ

e−t(−t)s−1 dt+

∫ ρ

δ

eiπ(s−1)ts−1e−t dt

= −2i sin (πs)

∫ ρ

δ

ts−1e−t dt+

∫Dδ

e−t(−t)s−1 dt

Maintenant∫Dδ

e−t(−t)s−1 dt = −∫ π

−π(δeiθ)eδ(cos θ+i sin θ)eiθ dθ

= −iδs∫ π

−πeisθ+δ(cos θ+i sin θ) dθ −→ 0 quand δ → 0 si R(s) > 0.

D’où : ∫ 0+

ρ

e−tts−1 dt = −2i sin (πs)

∫ ρ

0

ts−1e−t dt

si Re(s) > 0.En faisant ρ→∞, on a le théorème suivant :

1.8.1 Intégrale de Hankel

Γ(s) = − 1

2i sin (πs)

∫ 0+

∞e−tts−1 dt,

si Re(s) > 0. Et en utilisant la formule des compléments, on en déduit le corollairesuivant :

1.8.2 Corollaire

1

Γ(s)= − 1

2iπ

∫ 0+

∞e−tts−1 dt =

1

2iπ

∫ 0+

−∞ett−s dt,

si Re(s) > 0..

17

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Voici maintenant les trois principaux résultats de ce premier chapitre :- en 1-9 : la dérivée logarithmique de Gamma- en 1-10 : une représentation intégrale de log Γ(x) : [1],chap 12, 12-32, exemple1 : théorème de Malmsten- en 1-11 : [1] chap 12, 12-31, exemple 3 : une formule de Kummer.

1.9 Dérivée logarithmique de Gamma : théorème(Gauss)

Ψ(z) =d

dz[log Γ(z)] =

∫ ∞

0

(e−t

t− e−zt

1− e−t

)dt

preuve : nous allons avoir besoin de trois propositions sur la constante d’Euler,pour démontrer ce théorème :

1.9.1 Proposition 1

1 +1

2+ ...+

1

n=

∫ 1

0

1− (1− t)n

tdt (1)

limn→∞

[∫ 1

0

1− (1− tn)n

tdt−

∫ n

1

(1− tn)n

tdt

](2)

preuve : (1) un raisonnement par récurrence montre facilement ce résultat. Eneffet, si n = 1 ou n = 2, on a :

1 =

∫ 1

0

1− (1− t)

tdt

1 +1

2=

3

2=

∫ 1

0

1− (1− t)2

tdt

Supposons pour un certain entier n que l’on a :

1 +1

2+ ...+

1

n=

∫ 1

0

1− (1− t)n

tdt

Alors∫ 1

0

1− (1− t)n+1

tdt =

∫ 1

0

1− (1− t)n(1− t)

tdt =

∫ 1

0

1− (1− t)n

tdt+

∫ 1

0

(1−t)n dt

= 1 +1

2+ ...+

1

n+

[−(1− t)n+1

n+ 1

]1

0

18

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par hypothèse de récurrence.D’où :

1 +1

2+ ...+

1

n+

1

n+ 1=

∫ 1

0

1− (1− t)n+1

tdt

On a donc montré pour tout entier n :

1 +1

2+ ...+

1

n=

∫ 1

0

1− (1− t)n

tdt

Preuve de (2) : On a

limn→∞

[1 +1

2+ ...+

1

n− log (n)] = γ

Donc

γ = limn→∞

[ ∫ 1

0

1− (1− t)n

tdt− log (n)

]

= limn→∞

[ ∫ 1

0

1− (1− tn)n

tdt+

∫ n

1

1− (1− tn)nt

tdt−

∫ n

1

dt

t

]

= limn→∞

[ ∫ 1

0

1− (1− tn)n

tdt−

∫ n

1

(1− tn)n

tdt

]1.9.2 Proposition 2

γ =

∫ 1

0

1− e−t − e−1/t

tdt

preuve de la proposition 2 :En utilisant la proposition 1 ci-dessus et l’inégalité suivante (voir [1] p.242) :

0 6 e−t −(

1− t

n

)n6 t2

e−t

n(∗)

on a : ∫ 1

0

1− e−t

tdt 6

∫ 1

0

1− (1− tn)n

tdt 6

∫ 1

0

[1− e−t(1− t2

n)]

tdt

Donc par passage à la limite quand n tend vers l’infini :

limn→∞

∫ 1

0

1− (1− tn)n

tdt =

∫ 1

0

1− e−t

tdt

19

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De la même façon, d’après (*) on a :

−∫ n

1

e−t

tdt 6 −

∫ n

1

(1− tn)n

tdt 6 −

∫ n

1

[e−t − t2e−t

n]

tdt

puis avec le changement de variable t=1/T :

−∫ n

1

e−t

tdt = −

∫ 1

1/n

e−1/t

tdt

et

−∫ n

1

[e−t − t2e−t

n]

tdt = −

∫ 1

1/n

[e−1/t − e−1/t

t2n]

tdt

Et par passage à la limite :

limn→∞

[−∫ n

1

[e−t − t2e−t

n]

tdt] = −

∫ 1

0

e−1/t

tdt

limn→∞

[−∫ 1

1/n

[e−1/t − e−1/t

t2n]

tdt = −

∫ 1

0

e−1/t

tdt

Donc :

limn→∞

[−∫ n

1

(1− tn)n

tdt] = −

∫ 1

0

e−1/t

tdt

D’où en utilisant la proposition 1, on a :

γ =

∫ 1

0

1− e−t − e−1/t

tdt

D’après la proposition 2, on a :

γ =

∫ 1

0

1− e−t

tdt−

∫ ∞

1

e−t

tdt

Ceci va nous permettre d’obtenir une nouvelle formule pour γ :

20

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1.9.3 proposition 3

γ =

∫ ∞

0

{ 1

1− e−t− 1

t}e−t dt

preuve de la proposition 3 :

γ = limδ→0

[∫ 1

δ

dt

t−∫ ∞

δ

e−t

tdt

]= lim

δ→0

[∫ 1

dt

t−∫ ∞

δ

e−t

tdt

]

où ∆ = 1− e−δ et

limδ→0

[

∫ δ

dt

t] = lim

δ→0[log (

δ

1− e−δ)] = 0

On effectue un changement de variable t = 1− e−u dans la première intégrale, etremplaçant u par t, on a alors :

γ = limδ→0

[∫ ∞

δ

e−t

1− e−tdt−

∫ ∞

δ

e−t

tdt

]=

∫ ∞

0

[1

1− e−t− 1

t

]e−t dt

1.9.4 Démonstration du théorème 1-9

Pour obtenir la formule de Gauss, considérons l’équation suivante :

Γ′(z)

Γ(z)= −γ − 1

z+ lim

n→∞

n∑m=1

(1

m− 1

z +m)

que l’on obtient facilement en dérivant logarithmiquement :

Γ(z + 1)−1 = eγz∞∏n=1

(1 +z

n)e−

zn

Et écrivons1

z +m=

∫ ∞

0

e−t(z+m) dt,

avec m entier positif et Re(z) > 0.Il vient alors que :

Γ′(z)

Γ(z)= −γ −

∫ ∞

0

e−tz dt+ limn→∞

∫ ∞

0

n∑m=1

(e−mt − e−(z+m)t) dt

Γ′(z)

Γ(z)= −γ + lim

n→∞

∫ ∞

0

e−t − e−zt − e−(n+1)t + e−(z+n+1)t

1− e−tdt

21

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Γ′(z)

Γ(z)=

∫ ∞

0

(e−t

t− e−zt

1− e−t

)dt− lim

n→∞

∫ ∞

0

1− e−zt

1− e−te−(n+1)t dt

Or la limite de la deuxième intégrale est nulle :

limn→∞

∫ ∞

0

1− e−zt

1− e−te−(n+1)t dt = 0

En effet, pour

0 < t 6 1,∣∣1− e−zt

1− e−t∣∣

est une fonction continue en t dont la limite quand t tend vers zéro est finie.Et quand t ≥ 1, ∣∣1− e−zt

1− e−t∣∣ < 1 + |e−zt|

1− e−1<

2

1− e−1= K

Donc :∣∣∣∣ ∫ ∞

0

1− e−zt

1− e−te−(n+1)t dt

∣∣∣∣ < K

∫ ∞

0

e−(n+1)t dt = K(n+ 1)−1 → 0 quand n →∞

Nous avons donc prouvé la formule de Gauss :

Ψ(z) =d

dz[log Γ(z)] =

∫ ∞

0

(e−t

t− e−zt

1− e−t

)dt

avec Re(z) > 0.

1.10 Théorème : Malmsten

log Γ(x) =

∫ ∞

0

(e−xt − e−t

1− e−t+ e−t(x− 1)

)dt

t,

avec Re(x) > 0.

Démonstration : On a :

log Γ(x) =

∫ x

1

d log Γ(t)

dxdt =

∫ x

1

Ψ(t) dt,

avec Re(x) > 0, d’après la formule de Gauss théorème 1-9.

D’où :

log Γ(x) =

∫ x

1

[∫ ∞

0

{e−t

t− e−x

′t

1− e−t

}dt

]dx′ =

∫ ∞

0

[∫ x

1

{e−t

t− e−x

′t

1− e−t

}dx′

]dt

22

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car ∫ ∞

0

{e−t

t− e−x

′t

1− e−t

}dt

converge uniformément pour Re(x′) > 0.

Donc :

log Γ(x) =

∫ ∞

0

{e−xt − e−t

t(1− e−t)+(x−1)

e−t

t

}dt =

∫ ∞

0

{e−xt − e−t

(1− e−t)+(x−1)e−t

}dt

t.

1.11 Formule de Kummer

2 log Γ(x)− log (π) + log (sin (πx)) =

∫ ∞

0

(sinh (1

2− x)t

sinh ( t2)

− e−t(1− 2x)

)dt

t,

avec 0 < x < 1.

Démonstration :

2 log Γ(x)− log (π) + log (sin (πx)) = 2 log Γ(x) + log(sin (πx))

π= 2 log Γ(x)− log Γ(x))− log Γ(1− x)

= log Γ(x))− log Γ(1− x)

Puis on utilise le théorème de Malmsten (1-10)

log Γ(x))− log Γ(1− x) =

∫ ∞

0

[e−xt − e−t

1− e−t+ e−t(x− 1)

] dt

t−∫ ∞

0

[e−(1−x)t − e−t

1− e−t− xe−t

] dt

t

=

∫ ∞

0

[e−xt − e−(1−x)t

1− e−t+ e−t(2x− 1)

] dt

t

=

∫ ∞

0

[et/2(e−xt − e−(1−x)t)

et/2(1− e−t)− (1− 2x)e−t

] dt

t

=

∫ ∞

0

[sinh (12− x)t

sinh ( t2)

− e−t(1− 2x)] dt

t, avec 0 < x < 1

23

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Chapitre 2

La fonction double Gamma

Cette fonction remarquable étudiée par Barnes vers 1900, ne figure pas dansles tables de fonctions spéciales les plus connues.

Elle est citée en exercice (dans " A course of modern analysis p.264 exos 48-49-50) par Whittaker et Watson. Elle a été utilisée par Shintani ( " On a Kroneckerlimit formula for real quadratic fields ").

Avant Barnes, ces fonctions avaient été introduites sous une forme différentepar Hölder, Alexeiewsky, Glaisher, Kinkelin.

2.1 Fonction zéta de Riemann-Hurwitz

2.1.1 Définition donnée par Whittaker and Whatson [1] :

ζ(s, a) =∞∑n=0

(n+ a)−s

où s = σ + it, avec σ et t réel, 0 < a ≤ 1, arg (a+ n) = 0, et σ ≥ 1 + δ

2.1.2 Expression de ζ(s, a) comme intégrale infinie

ζ(s, a) =1

Γ(s)

∫ ∞

0

xs−1e−ax

1− e−xdx

où σ ≥ 1 + δ et arg x = 0

démonstration : d’après chapitre 1, définition 1-2-1, en posant t = (a + n)x,on a :

Γ(s) =

∫ ∞

0

e−(a+n)x(a+ n)sxs−1 dx

D’où :

(a+ n)−sΓ(s) =

∫ ∞

0

e−(a+n)xxs−1 dx,

24

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avec arg x = 0, σ > 0 et à fortiori si σ ≥ 1 + δ, on a :

Γ(s)ζ(s, a) = limN→∞

N∑n=0

∫ ∞

0

e−(a+n)xxs−1 dx

Donc :

Γ(s)ζ(s, a) = limN→∞

( ∫ ∞

0

xs−1e−ax

1− e−xdx−

∫ ∞

0

xs−1

1− e−xe−(N+1+a)x dx

)Or quand x ≤ 0, ex ≤ 1 + x

|∫ ∞

0

xs−1

1− e−xe−(N+1+a)x dx | ≤

∫ ∞

0

xσ−2e−(N+a)x dx = (N + a)1−σΓ(σ − 1)

et cette dernière égalité tend vers zéro quand N →∞. avec σ ≥ 1 + δD’où si σ ≥ 1 + δ et arg x = 0 :

ζ(s, a) =1

Γ(s)

∫ ∞

0

xs−1e−ax

1− e−xdx

Nous allons avoir besoin des résultats suivants pour démontrer le résultat deTakuro Shintani à la fin du chapitre. Les preuves sont dans le livre de Whittakeret Watson, [1] chapitre 13.

2.1.3 Expression de ζ(s, a) sur le contour C de Hankel

Suivant la méthode expliquée au 1-8 du chapitre 1, on a :

ζ(s, a) = −Γ(1− s)

2πi

∫C

(−z)s−1e−az

1− e−zdz, avec | arg (−z) | ≤ π

où C est représenté par le contour suivant :

2.1.4 Propriétés

ζ(0, a) =1

2− a (1)

lims→1

[ζ(s, a)− 1

s− 1] = −ψ(a) (2)

avecψ(z) =

Γ′(z)

Γ(z).

25

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2.1.5 Formule de Lerch (voir [1] p.271)

{d

dsζ(s, z)

}s=0

= logΓ(z)√

2.2 Double fonction ζ2

2.2.1 Définition

(référencée dans [12] par (A.52))

ζ2(s, z|b1, b2) =∑

n1,n2≥0

(s+ n1b1 + n2b2)−z

2.2.2 Représentation intégrale de ζ2De la même manière qu’au 2-1-2, on a :

ζ2(s, z|b1, b2) =1

Γ(z)

∑n1,n2≥0

∫ ∞

0

e−(s+n1b1+n2b2)yyz−1 dy

D’où le premier résultat suivant :

ζ2(s, z|b1, b2) =1

Γ(z)

∫ ∞

0

e−sy

(1− e−b1y)(1− e−b2y)yz−1 dy (1)

Puis en appliquant le même procédé décrit au 2-1-3, on obtient une expressionde ζ2(s, z|b1, b2) sur le contour de Hankel, d’où le deuxième résultat :

ζ2(s, z|b1, b2) = −Γ(1− z)

2πi

∫C

(−w)z−1e−sw

(1− e−b1w)(1− e−b2w)dw, avec | arg (−w) | ≤ π

(2)

2.3 Double fonction Γ2

2.3.1 Fonction G de Barnes

Définition

pour s ∈ C,G(s+ 1) = Γ(s)G(s)

et G(1) = 1.

L’exposé de Barnes (cf [6]) étant remarquable, contentons-nous d’indiquer briè-vement les principales propriétés de G.

26

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Définition par leur produit de Weierstrass : (3 formes)

G(s+ 1) = (2π)s/2e−s/2−γ+12s2

∞∏k=1

[(1 +s

k)ke−s+s

2/2k]

= (2π)s/2e−s/2−γ+12s2

∞∏k=1

[Γ(k)

Γ(s+ k)k)ezψ(k)+ s2

2ψ′(k)]

= (2π)s/2e(γ−12)s−(π2

6+1+γ)s2/2Γ(s)s

∏n>0,m>0,n+m6=0

[(1 +s

n+m)e

−sn+m

+ s2

2(n+m)2 ]

chaque produit est convergent, γ est la constante d’Euler et ψ(s) = Γ′

Γ(s).

Formule de Stirling

x est réel et croît indéfiniment et a un nombre complexe,

logG(x+ a+ 1) =x+ a

2log 2π − logA+

1

12− 3x2

4− ax+ (

x2

2− 1

12+a2

2+ ax) log x+ o(

1

x)

où A est une constante définie par Kinkelin :

logA = limn→∞

[log(11.22...nn)− (n2

2+n

2+

1

12) log n+

n2

4]

dont la valeur numérique est A = 1, 28242713...

Théorème de Gauss

n−1∏r=0

n−1∏s=0

G(z +r + s

n) = K(2π)n(n−1)z/2n−n

2z2/2+nzG(nz)

où :K = A1−n2

en2−1

12 (2π)−(n−1)/2n−5/12

Formule des compléments

on pose :

φ(s) =G(1 + s)

G(1− s)

alors :φ(s) =

π

sin (πs)φ(s− 1).

27

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Relation de Kinkelin

log φ(s) = s log 2π −∫ s

0

πs cot (πs) ds

Valeur au point 1/2

G(1/2) = A−3/2π−1/4e1/821/24

Formule intégrale

si Re(s+ 1) > 0,

logG(s+ 1) = −∫ ∞

0

e−t

t(1− e−t)2[1− st− s2t2

2− e−st] dt+

s2

2(1 + γ)− 3

2log (

2)

"Formule d’Alexejewski"

Voir la note [19]Théorème, cf [20] : pour s ∈ C,

G(s) = limn→∞

n(s2+s)/2Γ(n)s∏n

j=1 Γ(j)∏nj=0 Γ(j + s)

Une forme équivalente :

G(s+ 1) = limn→∞

n(s2+s)/2Γ(n)sn∏j=1

Γ(j)

Γ(j + s)

Démonstration : cf [19] L’équation fonctionnelle

G(s+ 1) = Γ(s)G(s)

et G(1) = 1 impliquent que∏nj=1 Γ(j)∏n

j=0 Γ(j + s)=G(s)G(n+ 1)

G(s+ n+ 1)

On utilise ensuite la " formule de Stirling" pour G(s), [6] :

G(s+ n+ 1) = A′(2π)(s+n)/2e−3(s+n)2/4(s+ n)(s+n)2/2−1/12(1 +O(1/n)

)quand n → ∞, où A’ est une constante (dont la valeur exacte ne nous intéressepas ici).

Il s’en suit ( en écrivant f(n) ∼ g(n) au lieu de f(n) = g(n)(1 +O(1/n)) :

G(n+ 1)

G(s+ n+ 1)∼ A′(2π)n/2e−3n2/4nn

2/2−1/12

A′(2π)(s+n)/2e−3(s+n)2/4(s+ n)(s+n)2/2−1/12

∼ (2π)−s/2e3sn/2+3s2/4.nn

2/2

(s+ n)(s2+2sn+n2)/2(∗)

28

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Or,

nn2/2(s+ n)n

2/2 =(1 +

s

n)−n

2/2 = e−sn/2.esn/2(1 +

s

n)−n

2/2

= e−sn/2.(1 +

s

n+

s2

2n2+O(

1

n3))n2/2(

1 +s

n

)−n2/2

∼ e−sn/2.(1 +

s2

2n2

)n2/2

∼ e−sn/2.es2/4

Ensuite,1

(s+ n)ns= n−ns.

(1 +

s

n

)−nsn−ns.e−s

2

Finalement,1

(s+ n)s2/2∼ n−s

2/2

En rassemblant tous ces résultats dans (*), on obtient :

G(n+ 1)

G(s+ n+ 1)∼ (2π)−s/2ensn−ns−s

2/2 ∼ n−(s2+s)/2Γ(n)−s, (∗∗)

à cause de la formule de Stirling pour Γ(n) :

Γ(n) = (2π)1/2e−nsn−1/2(1 +O(

1

n))

si n→∞ (cf.[1], 12.33). Il est clair que (**) entraîne le théorème.

2.3.2 Fonction fCUE

On trouvera dans [16] (84) un exemple d’utilisation de ce théorème :

Définition :

fCUE(s/2) = limn→∞

1

n(s/2)2

n∏j=1

Γ(j)Γ(j + s)

(Γ(j + s/2))2

29

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Proposition

fCUE(s/2) =(G(1 + s/2))2

G(1 + s)

preuve : d’après la forme équivalente du théorème on a immédiatement :

(G(1 + s/2))2

G(1 + s)= lim

n→∞

1

n(s/2)2

n∏j=1

Γ(j)Γ(j + s)

(Γ(j + s/2))2

2.3.3 Définition de Double fonction Γ2 par la fonction ζ2

(Définition référencée dans [12] par (A-53)) :

log [Γ2(s|b1, b2)] =

{∂ζ2∂t

(s, t|b1, b2)}t=0

Remarque :

Si (b1, b2) = b = 1, alors

G(s) = Γ2(s|b1, b2)

2.3.4 Formule de la différence :

Γ2(s+ b1|b1, b2)Γ2(s|b1, b2)

=

√2π

bsb2− 1

2

2 Γ( sb2

)

preuve :

Γ2(s+ b1|b1, b2)Γ2(s|b1, b2)

= exp (log [Γ2(s+ b1|b1, b2)]− log [Γ2(s|b1, b2)])

Γ2(s+ b1|b1, b2)Γ2(s|b1, b2)

= exp({∂ζ2

∂t(s+ b1, t|b1, b2)

}t=0

−{∂ζ2∂t

(s, t|b1, b2)}t=0

)Γ2(s+ b1|b1, b2)

Γ2(s|b1, b2)= exp

({∂

∂t

[−∑n≥0

(s+ nb2)−t]}

t=0

)

Γ2(s+ b1|b1, b2)Γ2(s|b1, b2)

= exp

({− ∂

∂t

[b−t2 ζ(t,

s

b2)]}

t=0

)on utilise ensuite 2-1-4 (1) et 2-1-5,

Γ2(s+ b1|b1, b2)Γ2(s|b1, b2)

= exp [log (b2)ζ(0,s

b2)− ζ ′(0,

s

b2)]

30

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Γ2(s+ b1|b1, b2)Γ2(s|b1, b2)

= exp [(1

2− s

b2) log (b2)− log Γ(

s

b2) +

1

2log (2π)]

2.4 Formule intégrale

(tirée de l’article de Takuro Shintani " On a Kronecker limit for real quadraticfields", [10])

2.4.1 Proposition

Soit b = (b1, b2) une paire de nombres positifs. Il existe une constante positiveρ2(b) indépendante de z telle que :

log [Γ2(z|b)/ρ2(b)] =1

2iπ

∫C

e−t

(1− e−b1t)(1− e−b2t)

log t

tdt

+(γ − iπ)

2b1b2{B2(

z

b1)b21 + 2B1(

z

b1)B1b1b2 +B2b

22},

avec log t réel sur le contour C (habituel cf chapitre 1, 1-8), B1, B2 les polynômesde Bernoulli et Re(z) > 0.

2.4.2 Preuve :

Il nous faut utiliser un lemme intermédiaire pour démontrer cette proposition.Lemme :

log [Γ(z)√

2π] =

1

2iπ

∫C

e−zt

(1− e−t)

log t

tdt+ (γ − iπ)(

1

2− z)

preuve du lemme : Des propriétés 2-1-3 et 2-1-5, on a :

log [Γ(z)√

2π] =

1

2iπ

∫C

e−zt

(1− e−t)

log t

tdt− 1

2

∫C

e−zt

(1− e−t)

1

tdt+

γ

2iπ

∫C

e−zt

(1− e−t)

1

tdt

Puis de la propriété 2-1-4 (1) et de

−γ =

{d

dsΓ(1− s)

}s=0

,

on a le lemme.

31

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Notons J(z,b) toute la partie après le signe "=" dans la proposition 2-4-1.Alors :

J(z + b1, b)− J(z) =

1

2iπ

∫C

e(−z−b1)t

(1− e−b1t)(1− e−b2t)

log t

tdt+

(γ − iπ)

2b1b2{B2(

z + b1b1

)b21 + 2B1(z + b1b1

)B1b1b2 +B2b22}

− 1

2iπ

∫C

e(−zt)

(1− e−b1t)(1− e−b2t)

log t

tdt− (γ − iπ)

2b1b2{B2(

z

b1)b21 + 2B1(

z

b1)B1b1b2 +B2b

22}

=1

2iπ

∫C

e(−zt)

(e−b2t − 1)

log t

tdt+

(γ − iπ)

2b1b2{b21[B2(

z + b1b1

)−B2(z

b1)] + 2B1b1b2[B1(

z + b1b1

)

−B1(z

b1)]}

=1

2iπ

∫C

e(−zt)

(e−b2t − 1)

log t

tdt+

(γ − iπ)

2b1b2(2zb1 − b1b2),

(par définition des polynômes de Bernoulli : B1(z) = z− 1

2, B2(z) = z2− z+

1

6)

Donc on a d’après le lemme :

J(z + b1, b)− J(z) = − log Γ(z/b2) + log(√

(2π) + log b2(1

2− z

b2)

Donc on a :

J(z + b1, b)− J(z) = log Γ2(z + b1, b)− log Γ2(z, b)

Car d’après la propriété 2-3-4, on a :

log Γ2(z + b1|b) = log√

(2π) + log Γ2(z|b)− log Γ(z

b2) + log b2(

1

2− z

b2)

D’où :J(z + b1, b)− log Γ2(z + b1|b) = J(z, b)− log Γ2(z|b)

etJ(z + b2, b)− log Γ2(z + b2|b) = J(z, b)− log Γ2(z|b)

car J et log Γ2 sont des fonctions symétriques en b1 et b2.

Montrons maintenant que pour tout b :

d

dz(J(z, b)− log Γ2(z|b)) = 0 (∗)

Car alors :J(z, b)− log Γ2(z|b)

32

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est une constante indépendante de z, ne dépendant que de b, et donc :

log Γ2(z|b)− J(z, b) = log ρ2(b)

d’où la proposition 2-4-1.

preuve de (*) : J(z, b)− log Γ2(z|b) est une fonction holomorphe sur la partiedroite du plan, on peut la prolonger analytiquement avec les périodes b1 et b2.Donc :

d

dz(J(z, b)− log Γ2(z|b)) = 0

pour b1 et b2, la partie gauche de cette égalité dépendant continûment de b1 et b2,on a

d

dz(J(z, b)− log Γ2(z|b)) = 0,

pour tout b.

Donnons maintenant pour terminer ce chapitre un des principaux théorèmes dece mémoire, une représentation intégrale du log Γ2 sur [0,+∞[. Ce résultat très im-portant permettra d’expliquer toutes les représentations intégrales de log (Γb(x)),de log (Sb(x)), et log (Υb(x)) dans les chapitres 3 et 4.

33

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2.5 Représentation intégrale de log Γ2

2.5.1 Théorème fondamental

log Γ2(s|b, b−1) =

∫ ∞

0

[e−sx

(1− e−bx)(1− e−x/b)−(Q/2− s)2

2e−x−Q/2− s

x−e

−x

12(1−Q2/2)− 1

x2

]dx

x

où Q = b+ b−1 et Re(s) > 0, Re(b) 6= 0

2.5.2 Démonstration

De la représentation intégrale de ζ2(s, t|b1, b2) sur le contour de Hankel, for-mule 2-2-2 :

ζ2(s, t|b1, b2) = −Γ(1− t)

2πi

∫C

(−w)t−1e−sw

(1− e−b1w)(1− e−b2w)dw, avec | arg (−w) | ≤ π

et par définition 2-3-3 de log Γ2(s|b, b−1), en différenciant par rapport à t et faisantt = 0, et sachant que l’on a :

−γ =

{d

dtΓ(1− t)

}t=0

,

et {d

dt(−z)(t−1)

}t=0

= − log (−z)z

,

on a :

log Γ2(s|b, b−1) =

∫C

e−sz

(1− e−bz)(1− e−z/b)(γ+log (−z)) dz

2iπz, avec | arg (−z) | ≤ π

D’après la méthode décrite au chapitre 1, 1-8 :sur D+ : arg (−z) = −π, donc on a

log (−z) = log |z|+ i arg (−z) = log |z| − iπ

Sur Dδ ( le cercle) :−z = δeiθ

Donc :

log Γ2(s|b, b−1) = limρ→∞,δ→0

∫ δ

ρ

e−sz

(1− e−bz)(1− e−z/b)(γ + log |z| − iπ)

dz

2iπz

34

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+ limρ→∞,δ→0

∫ ρ

δ

e−sz

(1− e−bz)(1− e−z/b)(γ + log |z|+ iπ)

dz

2iπz

+ limδ→0

∫ π

−π

esδeiθ

(1− ebδeiθ)(1− eδeiθ/b)(γ + log δeiθ)

Soit :log Γ2(s|b, b−1) = lim

ρ→∞,δ→0

∫ ρ

δ

e−sz

(1− e−bz)(1− e−z/b)

dz

z

+ limδ→0

∫ π

−π

esδeiθ

(1− ebδeiθ)(1− eδeiθ/b)(γ + log δ + iθ)

Appelons

I1 =

∫ ∞

δ

e−sx

(1− e−bx)(1− e−x/b)

dx

x

et

I2 =

∫ π

−π

esδeiθ

(1− ebδeiθ)(1− eδeiθ/b)(γ + log δ + iθ)

I2 =

∫ π

−π

esδeiθ

(1− ebδeiθ)(1− eδeiθ/b)(γ+log δ)

2π+

∫ π

−π

esδeiθ

(1− ebδeiθ)(1− eδeiθ/b)(iθ)

Or au voisinage de 0 :

esδeiθ

(1− ebδeiθ)(1− eδeiθ/b)=

1

δ2e2iθ+(Q

2−s) 1

δeiθ+[Q

2(Q

2−s)+s2

2−1

6(Q2−1/2)]+o(δ)

D’où :

I2 =

∫ π

−π(γ+log δ)[

1

δ2e2iθ+(

Q

2−s) 1

δeiθ+[Q

2(Q

2−s)+ s2

2− 1

6(Q2−1/2)]+o(δ)]

+∫ π−π[

1δ2e2iθ + (Q

2− s) 1

δeiθ + [Q2(Q

2− s) + s2

2− 1

6(Q2 − 1/2)] + o(δ)]iθ dθ

Donc :

I2 = (γ + log δ)[Q

2(Q

2− s) +

s2

2− 1

6(Q2 − 1/2)] +

1

2δ2+ (

Q

2− s)

1

δ+ o(δ)

35

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Or grâce au lemme suivant ( pour la preuve voir [3] p. 98-99) :Lemme :

(γ + log δ) = −∫ ∞

δ

e−x

xdx+ o(δ)

On a également :1

2δ2=

∫ ∞

δ

dx

x3

et :1

2δ=

∫ ∞

δ

dx

x2

Donc :

I2 = −∫ ∞

δ

e−x

x[Q

2(Q

2−s)+

s2

2− 1

6(Q2− 1

2)] dx−

∫ ∞

δ

dx

x3−∫ ∞

δ

(Q

2−s) dx

x2+o(δ)

Mais on a :

Q2

4− Qs

2+s2

2− Q2

6+

1

12=Q2

12− Qs

2+s2

2+

1

12=

1

12(1−Q2/2) +

(Q/2− s)2

2

Conclusion :on obtient le résultat voulu :

log Γ2(s|b, b−1) =

∫ ∞

0

[e−sx

(1− e−bx)(1− e−x/b)−(Q/2− s)2

2e−x−Q/2− s

x−e

−x

12(1−Q2/2)− 1

x2

]dx

x

où Q = b+ b−1 et Re(s) > 0, Re(b) 6= 0

NB : on enlève àe−sx

(1− e−bx)(1− e−x/b)

la quantité :

(Q/2− s)2

2e−x +

Q/2− s

x+e−x

12(1−Q2/2) +

1

x2,

permettant ainsi à l’intégrale de converger.

36

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Chapitre 3

La fonction Γb et double sinus Sb

Dans ce chapitre nous nous intéresserons à deux fonctions spéciales : la fonctionΓb et la fonction double sinus Sb(x). Elles nous permettront de mieux comprendrela fonction upsilon.

3.1 La fonction Γb

3.1.1 Définition de la fonction Γb

A partir de la fonction double Gamma, on peut définir la fonction Γb."définition référencée dans [12] par (A 55)" :

Γb(x) =Γ2(x|b, b−1)

Γ2(Q/2|b, b−1),

avec Q = b+ b−1 et Re(x) > 0, Re(b) 6= 0

3.1.2 Symétrie

D’après la définition de Γb, nous pouvons déduire la propriété suivante :

Γb(x) = Γ1/b(x)

3.1.3 Equations fonctionnelles

De la première formule vue au chapitre 2 : 2-3-4 formule de la différence :

Γ2(x+ s1|s1, s2)

Γ2(x|s1, s2)=

√2π

sxs2− 1

2

2 Γ( xs2

),

on en déduit immédiatement les deux formules suivantes :

Γb(x+ b) =

√2πbbx−1/2

Γ(bx)Γb(x)

37

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Γb(x+ b−1) =

√2πb−x/b+1/2

Γ(x/b)Γb(x)

3.1.4 Analyticité

De l’étude de la fonction double Gamma de Barnes, il est clair que la fonctionΓb est une fonction méromorphe de pôles : x = −nb−mb−1, n,m, entiers naturels.

3.1.5 Théorème : Représentation intégrale de log Γb(x)

log Γb(x) =

∫ ∞

0

[e−xt − e−Qt/2

(1− e−bt)(1− e−t/b)− (Q/2− x)2

2e−t − (Q/2− x)

t

]dt

t

Re(x) > 0, Re(b) 6= 0

3.1.6 Preuve

Dans le théorème fondamental 2-6-1 ( chapitre 2) on a vu que :

log Γ2(x, b, b−1) =

∫ ∞

0

[e−xt

(1− e−bt)(1− e−t/b)−(Q/2− x)2

2e−t−Q/2− x

t−e

−t

12(1−Q2/2)− 1

t2

]dt

t

Donc d’après la définition de Γb, il est clair que nous avons :

log Γb(x) = log Γ2(x, b, b−1)− log Γ2(Q/2, b, b

−1)

d’où le résultat cherché.Il existe une autre fonction spéciale reliée à la fonction Γb, c’est la fonction

double sinus.

38

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3.2 La fonction double sinus

3.2.1 Définition de la fonction double sinus

La fonction double sinus est reliée à la fonction Γb par :

Sb(x) =Γb(x)

Γb(Q− x)

"définition référencée dans [12] par (A 65)"On en déduit immédiatement la formule suivante :

3.2.2 Relation inverse

Sb(x)Sb(Q− x) = 1

3.2.3 Équations fonctionnelles

Sb(x+ b) = 2 sin (πbx)Sb(x),

Sb(x+ b−1) = 2 sin (πxb−1)Sb(x),

3.2.4 Démonstration

On a :

Sb(x+ b)

Sb(x)= 2π

Γb(x+ b)

Γb(b−1 − x)

Γb(b−1 + b− x)

Γb(x)

=2π

Γ(bx)Γ(1− bx)

= 2 sin (πbx)( par la formule des compléments)

3.2.5 Analyticité

Il est clair que la fonction double sinus est une fonction méromorphe,pôles : x = −(nb+mb−1), n et m entiers naturelszéros : x = Q+ (nb+mb−1), n et m entiers naturelsrésidus : resx=0Sb(x) = 1

39

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3.2.6 Asymptotique

Sb(x) = e±πi2x(x−Q), Im(x) → ±∞

Donnons la représentation intégrale du logSb(x).

3.2.7 Théorème : Représentation intégrale de logSb(x) :

logSb(x) =1

2

∫ ∞

0

[sinh (Q− 2x)t

sinh (bt) sinh (t/b)+

(2x−Q)

t

]dt

t, avec |Re(x) | < Re(Q)

3.2.8 Démonstration

D’après la définition de la fonction Sb et de la représentation intégrale de lafonction log Γb (3-1-5), on a :

logSb(x) = log Γb(x)− log Γb(Q− x), |Re(x) | < Re(Q),

=

∫ ∞

0

[e−xt − e−(Q−x)t

(1− e−bt)(1− e−t/b)+

(2x−Q)

t

]dt

t

=

∫ ∞

0

[sinh (Q− 2x)t

sinh (bt) sinh (t/b)+

(2x−Q)

t

]dt

t

et |Re(x) | < Re(Q)

40

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Chapitre 4

La fonction Upsilon

Nous allons voir dans ce chapitre la fonction upsilon, ses liens importants avecles deux fonctions précédemment étudiées.

4.1 Définition

Υb(x) =1

Γb(x)Γb(Q− x)

avec Q = b+ b−1 (A-58)[12]Comme conséquence directe de la définition, et d’après la propriété de symétrie

vue pour la fonction Γb (chapitre 3, 3-1-2) on a :

4.2 Symétries

Υb(x) = Υb−1(x)

Υb(x) = Υb(Q− x)

Υb(Q/2) = 1

4.3 Equations fonctionnelles

Υb(x+ b) =Γ(bx)

Γ(1− bx)b1−2bxΥb(x)

Υb(x+ b−1) =Γ(x/b)

Γ(1− x/b)b

2xb−1Υb(x)

41

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4.4 PreuvePar définition et d’après 3-1-3, équations fonctionnelles de Γb, chapitre 3, on

a :

Υb(x+ b)

Υb(x)=

Γb(x)Γb(Q− x)

Γb(x+ b)Γb(Q− x− b)

=Γb(x)Γb(b+ b−1 − x)

Γb(x+ b)Γb(b−1 − x)

=Γ(bx)bb(b

−1−x)− 12

Γ(1− bx)bbx−12

=Γ(bx)b1−2bx

Γ(1− bx)

De la même façon, on obtient la deuxième formule.Les zéros de la fonction Υb sont importants pour les applications et se trouventpar définition en les pôles de la fonction Γb, on a alors le résultat suivant :

4.5 ZérosNous avons vu que les pôles de la fonction Γb au chapitre 3 sont x = −nb− m

b,

quand n et m sont des entiers positifs. Il est facile de voir alors que la fonctionΥb(x) a des zéros simples pour x = −nb− m

bet pour x = Q+ nb+ m

b.

Nous arrivons au théorème principal de notre exposé, la représentation inté-grale de log Υb(x) :

4.6 Théorème principal : représentation intégralede log Υb(x)

Si 0 < Re(x) < Q, alors on a :

log Υb(x) =

∫ ∞

0

[(Q

2− x)2e−t −

sinh2 (Q/2− x) t2

sinh (bt/2) sinh (t/2b)

]dt

t

42

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4.7 Preuve du théorème principal

D’après le chapitre 3 : théorème 3-1-5, on a la représentation intégrale de lafonction Γb : Si 0 < Re(x) < Q,

log Γb(x) =

∫ ∞

0

[e−xt − e−Qt/2

(1− e−bt)(1− e−t/b)− (Q/2− x)2

2e−t − Q/2− x

t

]dt

t

Donc en utilisant la définition 4-1 de la fonction Υb, on a pour :

log Υb(x) = − log Γb(x)− log Γb(Q− x)

= −∫ ∞

0

[e−xt − e−Qt/2

(1− e−bt)(1− e−t/b)− (Q/2− x)2

2e−t − (Q/2− x)

t

]dt

t

−∫ ∞

0

[e−(Q−x)t − e−Qt/2

(1− e−bt)(1− e−t/b)− (Q/2− x)2

2e−t − (−Q/2 + x)

t

]dt

t

D’où :

log Υb(x) =

∫ ∞

0

[−e−xt − e−(Q−x)t + 2e−Qt/2

(1− e−bt)(1− e−t/b)+ (Q/2− x)2e−t

]dt

t

=

∫ ∞

0

[(Q

2− x)2e−t −

sinh2 (Q/2− x) t2

sinh (bt/2) sinh (t/2b)

]dt

t

4.8 La formule Dorn-Otto-Zamolodchikov-Zamolodchikov(DOZZ)

C(α1, α2, α3) = [πµγ(b2)b2−2b2 ](Q−Pαi)/b

× Υ0Υ(2α1)Υ(2α2)Υ(2α3)

Υ(α1 + α2 + α3−Q)Υ(α1 + α2− α3)Υ(α2 + α3− α1)Υ(α3 + α1− α2)

avec :Υ0 =

dΥ(x)

dx|x=0

43

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4.9 Définitions

In(α1, α2, α3) =

(−πµγ(−b2)

)n ∏n−1j=1 γ(−jb2)∏n−1

k=0 [γ(2α1b+ kb2)γ(2α2b+ kb2)γ(2α3b+ kb2)]

γ(x) =Γ(x)

Γ(1− x)

4.10 Proposition

C(α1 + b, α2, α3)

C(α1, α2, α3)= −γ(−b

2)

πµ× γ(b(2α1 + b)γ(2bα1)γ(bα2 + α3 − α1 − b)

γ(b(α1 + α2 + α3−Q))γ(b(α1 + α2− α3))γ(b(α1 + α3− α2))

4.11 Preuve de la proposition

On va utiliser les propriétés de la fonction upsilon plus particulièrement l’équa-tion fonctionnelle 4-3.On a :

C(α1 + b, α2, α3)

C(α1, α2, α3)=

[πµγ(b2)b2−2b2 ](Q−Pαi)/b−1

[πµγ(b2)b2−2b2 ](Q−Pαi)/b

× Υ(2α1 + 2b)Υ(α1 + α2 + α3 −Q)Υ(α1 + α2− α3)Υ(α2 + α3− α1)Υ(α3 + α1− α2)

Υ(2α1)Υ(α1 + α2 + α3 −Q+ b)Υ(α1 + α2− α3 + b)Υ(α2 + α3− α1 − b)Υ(α3 + α1− α2 + b)

Or

Υ(α1+α2+α3−Q+b) = γ(b(α1+α2+α3−Q))b1−2b(α1+α2+α3−Q)Υ(α1+α2+α3−Q)

Υ(α1 + α2− α3 + b) = γ(α1 + α2− α3)b1−2b(α1+α2−α3)Υ(α1 + α2− α3)

Υ(α2 + α3− α1 − b+ b) = γ(α2 + α3− α1 − b)b1−2b(α2+α3−α1−b)Υ(α2 + α3− α1)

Υ(α3 + α1− α2 + b) = γ(α3 + α1− α2)b1−2b(α3+α1−α2)Υ(α3 + α1− α2)

γ(b2)−1 = −b4γ(−b2)

Q = b+1

b

D’où la proposition.

44

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4.12 RésidusOn considère que C(α1, α2, α3) dépend analytiquement de s, en posant

s = (Q−∑

αi)/b,

alors :resP

αi=Q−n/bC(α1, α2, α3) = In(α1, α2, α3)

4.13 DémonstrationPosons :

P (α1, α2, α3) = [πµγ(b2)b2−2b2 ](Q−Pαi)/b

× Υ0Υ(2α1)Υ(2α2)Υ(2α3)

Υ(α1 + α2− α3)Υ(α2 + α3− α1)Υ(α3 + α1− α2)

Et :Q(α1, α2, α3) = Υ(α1 + α2 + α3−Q)

D’oùC(α1, α2, α3) =

P (α1, α2, α3)

Q(α1, α2, α3)

On a alors :resP

αi=(Q−n)/bC(α1, α2, α3) =P (s = n)dQ(s)ds|s=n

On aP (s = n) = [πµγ(b2)b2−2b2 ]n

× Υ0Υ(2α1)Υ(2α2)Υ(2α3)

Υ(Q− 2α3 − bn)Υ(Q− 2α2− bn)Υ(Q− 2α1− bn)

On a :Υ(Q− x) = Υ(x)

et pour tout i = 1, 2, 3

Υ(Q− 2αi − bn) = Υ(2αi + bn)

On utilise alors l’équation fonctionnelle de la fonction Υ n fois :

Υ(2αi + bn) =n−1∏k=0

[γ(2αib+ kb2)]bn−4bnαi−nb2(n−1)Υ(2αi),

pour tout i = 1, 2, 3. De plus :

Υ(−bn+ b) = γ(−nb2)b1−2b(−nb)Υ(−nb)

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Ainsi par récurrence sur n et en faisant le produit membre à membre, on a :

Υ(−b) =n−1∏j=2

γ(−jb2)bn+2b2(n−1)(n+2)/2Υ(−nb)

Υ(−b+ b) = γ(−b2)b1+2b2Υ(−b)

donc :

Υ(0) =n∏j=1

γ(−jb2)bn+n(n+1)b2Υ(−nb)

Υ(s) =n∏j=1

γ(b(s− jb))bn−2bsn+n(n+1)b2Υ(s− nb)

On obtient ainsi :

resPαi=(Q−n)/bC(α1, α2, α3) =

(−πµγ(−b2)

)n

× Υ0b−n−nb2−n2b2∏n−1

k=0 [γ(2α1b+ kb2)γ(2α2b+ kb2)γ(2α3b+ kb2)]× 1

dQ(s)ds|s=n

De plus on a :

Υ0

dQ(s)ds|s=n

= lims→0

(Υ(s)−Υ(0)

s× s

Υ(−bn+ s)−Υ(−bn)

)

D’après les résultats ci-dessus :

Υ(−bn+ s)−Υ(−bn) =

(Υ(s)b−n+2bsn−n(n+1)b2∏n

j=1 γ(b(s− jb))− Υ(0)bn+n(n+1)b2∏n

j=1 γ(−jb2)

)

Donc :Υ0

dQ(s)ds|s=n

= bn+n(n+1)b2n∏j=1

γ(−jb2)

Finalement :

resPαi=(Q−n)/bC(α1, α2, α3) =

(−πµγ(−b2)

)n ∏n−1j=1 γ(−jb2)∏n−1

k=0 [γ(2α1b+ kb2)γ(2α2b+ kb2)γ(2α3b+ kb2)]

46

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Chapitre 5

Un peu d’histoire

5.1 Euler

1

5.1.1 Sa vie

Il est né en Suisse, à Bâle, en 1707, où il étudie les mathématiques. Il reçutles leçons de Jean Bernoulli. Par la suite il travaille en tant que professeur demathématiques à Saint-Pétersbourg. Il vient en 1741 se fixer à Berlin, et retourneà Saint-Petersbourg appelé par Catherine II de Russie, où il finit ses jours, le 18septembre 1783. Il domine les mathématiques du XVIIIe siècle et développe trèslargement ce qui s’appelle alors la nouvelle analyse.

Complètement aveugle pendant les dix-sept dernières années de sa vie, il pro-duit presque la moitié de la totalité de son travail durant cette période.

Il était membre des Académies de St-Pétersbourg, de Berlin, associé de l’Aca-démie française des sciences, et fut pensionné par la Russie. Il a fait faire à lascience mathématique de grands pas, surtout au calcul différentiel et intégral ; ilappliqua l’analyse à la mécanique, à la construction des vaisseaux, et donna ladémonstration de plusieurs théorèmes énoncés par Pierre de Fermat. Il eut avec

1Lien internet sur Euler : http ://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

47

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d’Alembert, son rival de science, des démêlés où le bon droit ne paraît pas avoirété de son côté.

5.1.2 Ses écrits

Entre ses nombreux écrits, presque tous rédigés en latin, on doit remarquer :- Mécanique exposée analytiquement, Saint-Pétersbourg, 1736 ;-L’ introduction à l’analyse de l’infini, Lausanne, 1748 ;-La Science navale ; -Les Institutions de calcul différentiel ; -les Institutions de

calcul intégral, 1768 ; - Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets dephysique et de philosophie (princesse d’Anhalt-Dessau, nièce du roi de Prusse),écrites en français, de 1761 à 1762, publiées à Saint-Pétersbourg en 1768, 3 vo-lumes, in-8.

5.1.3 Ses enfants

Euler eut treize enfants, dont trois marchèrent sur ses traces.L’ainé, Jean Albert, né en 1734 à Saint-Pétersbourg, mort en 1810, partagea

plusieurs prix à l’Académie des sciences avec Charles Bossut et Alexis ClaudeClairaut, et enseigna la physique à St-Pétersbourg.

Charles, né en 1740, mort en 1800, remporta également plusieurs prix à l’Aca-démie des sciences ; il exerça la médecine à Saint-Pétersbourg et fut médecin del’empereur.

Christophe, né en 1743 à Berlin, mort vers 1805, appliqua avec succès lesmathématiques au génie militaire.

5.1.4 Découvertes

En mathématiques, il apporte d’importantes contributions à la théorie desnombres et aussi à la théorie des équations différentielles.

Sa contribution à l’analyse, par exemple, est issue de sa synthèse du calculdifférentiel de Leibniz avec la méthode de Newton.

Il établit sa renommée très tôt en résolvant un problème connu de longue date- à savoir la détermination de la somme des inverses des carrés d’entiers :

ζ(2) =∞∑n=1

1

n2=π2

6

où ζ(s) est la fonction ζ de Riemann.Il montra aussi que pour tout nombre réel x,

eix = cos x+ i sin x.

C’est la formule d’Euler, qui établit le rôle central de la fonction exponentielle.L’identité d’Euler en est une conséquence immédiate.

En arithmétique, il introduit la fonction indicatrice Φ(n) ( dite d’Euler), définiecomme le nombre d’entiers inférieurs à n et premiers à n.

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Généralisant le petit théorème de Fermat, il démontre le théorème d’Euler àla base de la cryptographie RSA de nos jours.

En 1735, il travaille sur une constante (qui portera plus tard le nom deconstante d’Euler-Mascheroni) utile dans certaines équations différentielles :

γ = limn→∞

(1 +

1

2+

1

3+ ...+

1

n− log (n)

).

Il est un coauteur de la formule d’Euler-Maclaurin qui est un outil extrêmementpuissant pour le calcul des intégrales, des sommes et des séries difficiles.

Euler écrit Tentamen novae theoriae musicae en 1739, qui est une tentatived’accorder les mathématiques et la musique ; une biographie commente que letravail est destiné « à des musiciens trop avancés dans leurs mathématiques et àdes mathématiciens trop musicaux ».

En géométrie et en topologie algébrique, il y a une relation appelée relationd’Euler qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces d’un polyèdre dugenre 0 (en supprimant une face on obtient une surface simplement connexe), parexemple d’un polyèdre convexe.

Étant donné un tel polyèdre, la somme du nombre de sommets S et de facesF est toujours égale au nombre de côtés C plus 2 c’est-à-dire :

F − C + S = 2

Le théorème s’applique également à n’importe quel graphe du plan. Pour lesgraphiques non plans, il y a une généralisation : si le graphique peut être plongédans une variété M, alors si F est le nombre de faces, S le nombre de sommets etA le nombre d’arêtes,

F − A+ S = χ(M),

oùχ est la caractéristique d’Euler de la variété, une constante qui est invariablesous des déformations continues.

En 1736, Euler résout un problème connu sous le nom du problème des septponts de Königsberg, publiant un article Solutio problematis ad geometriam si-tus pertinentis qui pourrait être l’application la plus ancienne de la théorie desgraphes ou de la topologie. Cette publication serait également la plus ancienne etdonc la première en Recherche Opérationnelle.

On peut affirmer aujourd’hui, comme Condorcet jadis : " Tous les mathémati-ciens célèbres qui existent aujourd’hui sont ses élèves : il n’en est aucun, qui ne soitformé par la lecture de ses Ouvrages, qui n’ait reçu de lui les formules, qui dansses découvertes, ne soit guidé et soutenu par le génie d’Euler. Il doit cet honneurà la révolution qu’il a produite dans les sciences mathématiques ; à l’ordre qu’il asu mettre dans ses grands ouvrages ; à la simplicité, à l’élégance de ses formules ; àla clarté de ses méthodes et de ses démonstrations [...]", ou dire comme Laplace :" Lisez Euler, c’est notre maître à tous ".

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5.2 Gauss

2

5.2.1 Sa vie

Johann Carl Friedrich Gauss (30 avril 1777 - 23 février 1855) était un ma-thématicien, astronome et physicien allemand, doté d’un grand génie et ayantapporté de très importantes contributions ; il est considéré comme un des plusgrands mathématiciens de tous les temps (il est d’ailleurs surnommé le prince desmathématiciens).

Gauss naquit à Brunswick, dans le duché de Brunswick (maintenant en Alle-magne) dans une famille très modeste, dont les parents avaient peu d’éducation.

Gauss fut un enfant prodige, il apprit seul à lire et à compter à l’âge de troisans et à l’école, il impressionna très tôt ses professeurs.

Le duc de Brunswick remarqua ses aptitudes et lui accorda une bourse en1792 afin de lui permettre de poursuivre son instruction. Il fut envoyé au col-lège Caroline qu’il fréquenta jusqu’en 1795 ; il y suivit notamment les cours del’entomologiste Johann Christian Ludwig Hellwig (1743-1831).

Dans cette période, il formula la méthode des moindres carrés et une conjecturesur la répartition des nombres premiers, conjecture qui fut prouvée par JacquesHadamard et de La Vallée Poussin en 1896.

Gauss acquit pendant toute sa scolarité une très grande érudition, et lorsqu’ilalla au collège, démontra à nouveau des théorèmes importants.

Gauss fit une grande percée en 1796, lorsqu’il caractérisa presque complète-ment tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas unique-ment, et compléta de cette façon le travail commencé par les mathématiciens del’Antiquité grecque. Gauss était si satisfait de ce résultat qu’il demanda qu’unpolygone régulier de 17 côtés soit gravé sur son tombeau.

La vie privée de Gauss fut marquée par la mort précoce de sa première femmequ’il aimait, Johanna Osthoff, en 1809, suivie de près par la mort de l’un de sesenfants, Louis. Gauss plongea dans une dépression de laquelle il ne sortit jamaisentièrement. Il se remaria avec Friederica Wilhelmine Waldeck (Minna), mais le

2Lien internet sur la vie de Gauss :http ://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

50

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deuxième mariage ne semble pas avoir été très heureux. Quand sa deuxième femmemourut en 1831 après une longue maladie, l’une de ses filles, Therese, prit en mainles tâches ménagères et s’occupa de Gauss jusqu’à la fin de sa vie.

Gauss a rarement collaboré avec d’autres mathématiciens et était considérépar beaucoup comme une personne distante et austère. Gauss était profondémentpieux et conservateur. Il soutint la monarchie et s’opposa à Napoléon qu’il vitcomme un semeur de révolution.

Il mourut à Göttingen, Hanovre (Allemagne) en 1855 et fut enterré au cimetièrede Albanifriedhof.

5.2.2 Découvertes et publications

Il fut le premier à démontrer rigoureusement le théorème fondamental de l’al-gèbre ; en fait, il produisit quatre preuves entièrement différentes de ce théorèmetout au long de sa vie, et clarifia considérablement le concept de nombre complexe.

Il apporta aussi une source fondamentale en théorie des nombres avec son livrepublié en 1801 Disquisitiones arithmeticae.

Il fut soutenu par des traites du Duc de Brunswick, mais n’apprécia pas l’in-stabilité de cet arrangement et aussi ne crut pas que les mathématiques fussentassez importantes pour mériter une telle aide ; il opta donc pour une place dansl’astronomie, et en 1807 fut nommé professeur d’astronomie et directeur de l’ob-servatoire astronomique de Göttingen.

En 1809, Gauss publia un travail d’une importance capitale sur le mouvementdes corps célestes. Celui-ci contenait un développement influant de la méthodedes moindres carrés, une procédure utilisée aujourd’hui dans toutes les sciences,pour minimiser l’impact d’une erreur de mesure. Il était en mesure de prouverl’exactitude de la méthode dans l’hypothèse d’erreurs normalement distribuées.La méthode fut décrite plus tôt par Adrien-Marie Legendre en 1805, mais Gaussaffirma qu’il l’utilisait depuis 1795.

Gauss découvrit la possibilité de géométries non-euclidiennes mais ne publiajamais ce travail.

Plus tard, Gauss essaya de déterminer si le monde physique était en fait eu-clidien en mesurant des triangles géants. En 1818, Gauss commença une étudegéodésique de l’État de Hanovre, travail qui mena plus tard au développementdes distributions normales pour décrire les erreurs de mesure ; son theorema egre-grium permit d’établir une propriété importante de la notion de courbure.

En 1831, une collaboration fructueuse avec le professeur de physique WilhelmWeber aboutit à des résultats sur le magnétisme, et fut à l’origine de la découvertedes lois de Kirchhoff en électricité. Ceci entraîna la construction d’un télégrapheprimitif.

Il fut également l’auteur de deux des quatre équations de Maxwell, qui consti-tuent une théorie globale de l’électromagnétisme. La loi de Gauss pour les champsélectriques exprime qu’une charge électrique crée un champ électrique divergeant.Sa loi pour les champs magnétiques énonce qu’un champ magnétique divergeantvaut 0, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de monopôle magnétique. Les lignes de champsont donc obligatoirement fermées.

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Bien que Gauss n’eût jamais travaillé comme professeur de mathématiques etqu’il détestât enseigner, plusieurs de ses étudiants devinrent de très grands ma-thématiciens, parmi lesquels figuraient Richard Dedekind et Bernhard Riemann.

5.2.3 Ses enfants

Gauss eut six enfants, trois par femme.Avec Johnanna (1780-1809), ses enfants furent Joseph (1806-1873), Wilhelmina

(1808-1846) et Louis (1809-1810). De tous les enfants de Gauss, Wilhelmina étaitla plus prédisposée à avoir son génie, mais mourut regrettablement jeune.

Avec Minna Waldeck, il eut trois enfants : Eugene (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) et Therese (1816-1864). Eugene émigra aux États-Unis en 1832 environ,après une discorde avec son père, pour se retrouver finalement à Saint-Charles,dans le Missouri, où il devint un membre respecté de la communauté. Wilhelmvint s’installer un peu plus tard dans le Missouri, commença comme fermier et selança dans la vente de chaussures à Saint Louis et devint riche. Therese resta à lamaison jusqu’à la mort de Gauss, et se maria après.

5.3 Weierstrass

Karl Theodor Weierstrass était, aux dires de son collègue Hermite, le légis-lateur de l’analyse. Ce qualificatif de législateur n’est pas associé aux études dedroit que Weierstrass a mené, mais à la rigueur nouvelle qu’il a imposé : qu’a-t-on,et que n’a-t-on pas le droit de faire en analyse.

3

5.3.1 Sa vie

Karl Weierstrass est né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (en Allemagne). Sonpère était inspecteur des impôts, et père de 4 enfants dont bizarrement aucun ne

3Lien internet sur la vie de Weierstrass :http ://www.bibmath.net/bios/ in-dex.php3 ?action=affichequoi=weierstrass

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s’est marié.

Au lycée, Weierstrass est très brillant, et il acquiert des compétences en ma-thématiques déjà très intéressantes. En dépit de cela, son père le contraint à suivredes études de droit et d’économie.

Mais Weierstrass ne fréquente guère les amphithéâtres, et au lieu de celas’adonne à l’escrime, à la boisson et aux mathématiques.

Après 4 ans à l’université de Bonn, il ressort sans le moindre diplôme.Néanmoins, son père consent à financer encore 2 ans d’étude à l’Académie théo-logique et philosophique de Munster, afin que Weierstrass puisse obtenir les titresnécessaires au professorat dans le secondaire.

A Munster, Weierstrass rencontre Guddermann, qui l’éveillera complètementaux mathématiques. Une grande estime mutuelle caractérisa la relation entre lesdeux hommes.

A compter de 1842, Karl Weierstrass est donc professeur dans le secondaire.Loin de toute communauté scientifique active, il poursuit seul des recherches surles fonctions elliptiques entreprises dès Munster. Il publie quelques articles dansle journal de son école, mais ils sont incompris par ses collègues, et ignorés par lesmathématiciens.

Ce n’est qu’en 1854, à près de 40 ans (on est loin des génies précoces !) queWeierstrass accède d’un coup à la célébrité grâce à son article Zur Theorie desAbelschen Functionen qu’il publie dans le prestigieux Journal de Crelle. Il y ré-sume l’essentiel des découvertes qu’il a faites au cours des 15 dernières années.

Quasi-immédiatement, il est fait docteur honoris causa de l’université de Kö-nigsberg. En 1856, il obtient une chaire à Berlin, tandis qu’il publie la versioncomplète de son premier article.

L’Université de Berlin, où se côtoient Weierstrass, Kümmer et Kronecker, de-vient alors la plus prestigieuse du monde dans le domaine des mathématiques.Aux cours très réputés de Weierstrass se pressent les meilleurs étudiants euro-péens. Parmi eux, il y a Sonia Kovaleskaya, que Weierstrass instruit à part, carelle n’a pas le droit de s’inscrire à l’Université. Il contribuera énormément à cequ’elle puisse obtenir le titre de docteur de l’Université de Göttingen et un posteà Stockholm.

La fin de la vie de Weierstrass est assez pénible. Dès 1850, il souffre de gravesproblèmes de santé, qui sont peut-être conséquences de ses excès de jeunesse. En1861, il est victime d’une attaque qui l’éloigne de ses cours pendant un an. Acompter de cette date, il se contentera de dicter ses cours assis, en laissant le soinà un étudiant d’écrire au tableau.

Puis, deux événements vont gravement le marquer. D’abord, en 1877, il s’op-pose assez violemment à son collègue et pourtant ami Kronecker au sujet desdécouvertes troublantes de Georg Cantor. Ensuite, Sonia Kovaleskaya, qu’il avaittant aidée, et avec qui il avait échangé une large correspondance, décède en 1891.Weierstrass est très affecté, et brûle même toutes ses lettres. Il passe ses 3 dernièresannées dans un fauteuil roulant, et décède le 19 février 1897 à Berlin.

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5.3.2 Publications

L’oeuvre mathématique de Weierstrass commence par la théorie des fonctionsabéliennes et elliptiques : il donne une théorie complète de l’inversion des intégraleshyperelliptiques.

Weierstrass se signale aussi par sa volonté d’algébrisation de l’analyse. Lesprincipes de la théorie des fonctions doivent reposer selon lui sur des principes al-gébriques clairs. C’est ainsi que Weierstrass donne les premières définitions claireset rigoureuses des nombres réels, de la continuité. En passant, il découvre unefonction continue nulle part dérivable, ce qui choquera beaucoup l’intuition desanalystes de l’époque.

Weierstrass contribue également grandement à la théorie des fonctions analy-tiques, qu’il définit comme somme de puissances convergentes à l’intérieur d’undisque (les séries entières). Il y démontre les théorèmes de dérivation terme àterme, le principe du prolongement analytique.

5.4 Barnes

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5.4.1 Sa vie

Ernest William Barnes est né le 1er avril 1874 à Birmingham. C’était unmathématicien et un scientifique anglais, mais aussi un théologien et un ecclésias-tique. Il était le plus vieux des quatre fils de John Starkie Barnes et de KerryJane Elizabeth, deux professeurs d’école primaire. En 1883 son père est nomméinspecteur des écoles à Birmingham, une position qu’il occupera pendant tout lereste de sa vie active.

Ernest William a étudié à la "King Edward’s School de Birmingham et plustard en 1883 à l’université de Trinité à Cambridge. En 1898, le premier prixSmith lui est attribué. Il sera nommé conférencier de mathématiques en 1902,

4Lien internet sur la vie de Barnes : http ://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Barnes.html

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doyen junior en 1906-08 et précepteur en 1908. Il a reçu un diplôme Sc.D. del’université de Cambridge en 1907 et a été élu camarade de la société royale en1909. La même année où il est devenu conférencier de mathématiques, Barnes estordonné diacre par l’évêque de Londres.

En 1915, Barnes a laissé Cambridge, et sa carrière de mathématicien, pour unenomination comme maître du temple à Londres.

Il restera maitre du temple jusqu’en 1919 puis évêque de Birmingham en 1924.Ses vues de moderniste l’ont amené à être en conflit avec les Anglo-Catholiquesdans son diocèse. Il restera evêque de Birmingham jusqu’en 1952, date à laquelleil se retirera pour cause de maladie. Il meurt dans sa maison du Sussex à l’âge de79 ans, le 29 Novembre 1953.

L’épiscopat de Barnes a été marqué par une série de polémiques provenant deses croyances religieuses souvent peu orthodoxes. Positions très étonnantes pourquelqu’un qui a eu une place si haute dans l’église.

5.4.2 Publications :

Barnes a écrit 29 papiers mathématiques pendant les années 1897-1910.

Ses premiers travaux ont concerné divers aspects de la fonction gamma, ycompris des généralisations de cette fonction donnée par la G-fonction de Barnes,qui satisfait l’équation G(z + 1) = Γ(z)G(z), et à la double fonction gamma.

Barnes a ensuite tourné son attention vers la théorie des fonctions intégrales,où, dans une série de papiers, il a étudié leur structure asymptotique.

Il a également considéré les équations de différences linéaires de second ordreliées au fonctions hypergéométriques.

Dans les cinq derniers de ses papiers traitant des fonctions hypergéométriques,Barnes a fait l’utilisation étendue des intégrales étudiées par Mellin.

Il a porté à la connaissance des mathématiciens britanniques, la puissance et lasimplicité liées à ces intégrales, maintenant nommées intégrales de Mellin-Barnes.

Son dernier papier mathématique, édité en 1910, était une démonstrationcourte et élégante d’un résultat précédemment connu de Thomae au sujet d’unetransformation d’une fonction hypergéométrique généralisée d’argument d’unitéconvergent plus rapidement qu’une fonction de la même sorte.

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5.5 Kummer

5 Ernst Kummer (29 janvier 1810 à Sorau -14 mai 1893 à Berlin) est un mathématicien allemand.

5.5.1 Sa vie

À l’âge de 3 ans, Kummer perd son père, un médecin.Il fait des études à l’université de Halle, d’abord en théologie puis en mathéma-tiques. Il devint docteur en mathématique en 1831.

Il enseigne pendant 10 ans au lycée de Legnica, où il a Leopold Kronecker etFerdinand Joachimsthal comme élèves.

Nommé en 1840 professeur à l’université de Breslau grâce à l’appui de Jacobiet de Dirichlet, il reprend la chaire de ce dernier à l’Université de Berlin en 1855. Ils’occupe de nombreux doctorants, notamment Georg Cantor et Hermann Schwarz.

Avec Karl Weierstrass, également nommé en 1856 à l’Université de Berlin, ilfonde en 1861 le premier séminaire allemand de mathématique.

Membre correspondant de l’Académie de Berlin dès 1839 grâce au soutien deJacobi, il en est membre à part entière en 1855, et en devient le secrétaire pour lasection mathématiques et physique de 1863 à 1878. Il fut également membre del’Académie des sciences de Paris et de la Royal Society de Londres.

5.5.2 Contributions

Ses premiers travaux concernent les séries hypergéométriques, complétant ceuxde Gauss, ce qui lui vaut l’intérêt de Jacobi, puis de Dirichlet.

Mais son nom est associé à ses travaux sur le théorème de Fermat. Pensantl’avoir démontré une première fois en 1837, ses travaux, utilisant les anneauxcyclotomiques, sont entachés d’une erreur, signalée par Dirichlet, qui rend faussesa démonstration : la décomposition en produit de facteurs premiers n’est pasunique dans n’importe quel anneau cyclotomique.

5Lien internet sur la vie de Kummer :http ://fr.wikipedia.org/wiki/Ernst_Kummer

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Pour corriger ce problème, il met au point la notion de nombre idéal, précurseurde l’idéal d’un anneau. Il démontre ainsi le théorème de Fermat pour tous lesnombres premiers réguliers.

Bien que Kummer n’ait pas réussi à démontrer l’hypothèse de Fermat pourtous les entiers, il reçut tout de même un prix de l’Académie des sciences, pourles avancées qu’ont permis ses travaux.

5.6 Les frères Zamolodchikov

Alexander Zamolodchikov

Alexei Zamolodchikov 6

5.6.1 Alexander Zamolodchikov

Alexander Zamolodchikov est né à Dubna, région de Moscou, en 1952. Il a unfrère jumeau Alexei.

Il obtint son diplôme en physique théorique et mathématique et son Ph.D.en 1978, puis son Doctorat ès-Sciences en 1983, au célèbre Institut de PhysiqueThéorique L.D. Landau à Moscou, où il devint professeur, jusqu’à la fin des annéesquatre-vingts.

Après l’éclatement de l’URSS, il a été nommé professeur de l’université Rutgersaux Etats-Unis, dans le groupe de théorie des cordes, où il travaille actuellement.

6Lien internet sur les frères Zamolodchikov :http ://www.diffusion.ens.fr/index.php ?res=cyclesidcycle=177

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Après 1989, il fit plusieurs séjours en France, à l’Ecole Normale, et au LPTM,à Montpellier. Il est membre élu de l’American Physical Society et le lauréat duPrix Heineman de l’année 1999, peut-être le prix le plus prestigieux en physiquemathématique, après le Prix Nobel.

Pendant son séjour au Laboratoire de Physique Théorique de l’Ecole NormaleSupérieure, il a donné de nombreux séminaires dans divers instituts de recherche etd’universités de Paris- Ile-de-France, ainsi qu’un cours de trois mois, dans le cadrede l’Ecole Doctorale de la région parisienne, sur la théorie des champs d’Ising.

Alexander Zamolodchikov, Professeur à l’Université Rutgers, a bénéficié en2004-2005 d’une Chaire Internationale de Recherche Blaise Pascal. Issu de l’Ecolede Physique Théorique russe, Monsieur Zamolodchikov est l’un des plus célèbresphysiciens théoriciens travaillant dans les domaines fondamentaux de la physiquecontemporaine, tels que la théorie quantique des champs, la physique statistique,la théorie des cordes et la physique mathématique des systèmes intégrables.

Il est à l’origine de disciplines entières en théorie quantique des champs et enphysique statistique, dans lesquelles un grand nombre de physiciens (et mathéma-ticiens) continuent de travailler.

5.6.2 Contributions

Parmi ses contributions les plus importantes en physique théorique, les plussignificatives sont : - l’introduction en 1978 (avec son frère Al. Zamolodchikov) dela matrice S pour les systèmes intégrables des champs quantiques bi-dimensionnelspar la méthode du bootstrap.

C’était le véritable départ du sujet de l’intégrabilité quantique en théorie deschamps.

- le travail fondamental, en 1984 (avec A. Belavin et A. Polyakov) (un desarticles les plus cités au monde en physique théorique) sur la symétrie conformeà deux dimensions.

Cet article a donné naissance à un nouvel instrument en physique théorique,dont l’importance a été reconnue dans plusieurs domaines, de la physique destransitions de phase à la théorie des cordes moderne. Il a aussi inspiré nombre detravaux de recherche en mathématiques.

- l’application, au cours des années 1990, (avec Al. Zamolodchikov et V. Fateev)des méthodes d’intégrabilité quantique à la théorie de Liouville.

- le modèle de base pour beaucoup d’applications en théorie des cordes etthéorie des champs conformes.

Il s’intéresse actuellement au problème fondamental de la thermodynamiquedes états métastables et des états hors d’équilibre avec une approche nouvelle trèsprometteuse.

5.6.3 Alexei Zamolodchikov

Alexei Zamolodchikov, frère jumeau d’Alexander, est mort récemment le 19Octobre 2007, à Moscou. Il est à l’origine de disciplines entières en théorie quan-tique des champs et en physique statistique, dans lesquelles un grand nombre dephysiciens (et mathématiciens) continuent de travailler.

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5.6.4 Contributions

Parmi ses contributions les plus importantes en physique théorique, les plussignificatives sont :

- l’introduction en 1978 (avec son frère Alex. Zamolodchikov) de la matrice Spour les systèmes intégrables des champs quantiques bi-dimensionnels par la mé-thode du bootstrap. C’était le véritable départ du sujet de l’intégrabilité quantiqueen théorie des champs.

- l’application, au cours des années 1990, (avec Alex. Zamolodchikov et V.Fateev des méthodes d’intégrabilité quantique à la théorie de Liouville - le modèlede base pour beaucoup d’applications en théorie des cordes et théorie des champsconformes.

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