Mit Pi-zza durchs All - Mathematik nicht nur für Außerirdische

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Mit Pi-zza durchs All:Mathematik nicht nur für Außerirdische

Vortrag zum Jahr der MathematikJahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 18. September 2008

Thomas FerberForschung und LehreSun Microsystems GmbH

ππ π π π

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IntroductionIntroduction

Stand 13. September 2008: Wir kennen 309 Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.

Photo: ESO 2008

Photo: ESO 2007

Photo: ESA/ NASA/ UCL (G. Tinetti), Extrasolar planet HD 189733b

Photo: ESO 18a-06

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Es gibt Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.

Es gibt erdähnliche Planeten außerhalb unseres Sonnensystems!

Gibt es auch außerirdisches Leben?

Und dann auch noch intelligentes Leben?

Photo: ESO 18a-06

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Unsere Galaxie

Die Milchstraße

100 -300 Milliarden Sterne100.000 Lichtjahre Durchmesser3.000 -13.000 Lichtjahre dick

Photo: ESO phot-41-99

Es gibt ca. 100 Milliarden Galaxien im Universum

Photo: NASA

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Anzahl der technischen, intelligenten Zivilisationen in unserer Galaxie

Drake-Gleichung

N = R · fS · f

p · n

e · f

l · f

i · f

c · L


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Anzahl der technischen, intelligenten Zivilisationen in unserer Galaxie

Drake-Gleichung

N = R · fS · f

p · n

e · f

l · f

i · f

c · L


R = Sternentstehungsrate pro Jahr in unserer Galaxie ≈ 10 ... 20

fS = Anteil sonnenähnlicher Sterne ≈ 10%

Fp = Anteil Sterne mit Planeten = 0% ... 100%

...

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Anzahl der technischen, intelligenten Zivilisationen in unserer GalaxieDrake-Gleichung

N = R x fS x f

p x n

e x f

l x f

i x f

c x L


Dies ist eine Abschätzung und ergibt je nach eingesetzten Werten Ergebnisse zwischen 1 und 4.000.000Zivilisationen in unserer Galaxie.

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Fermi Paradox

Enrico Fermi: “Where is everybody?”

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Nehmen wir doch einfach einmal an ...es gäbe außerirdisches Leben,

es gäbe intelligentes außerirdisches Leben.

Doch wie wollen wir miteinander kommunizieren?

Auf Deutsch, Englisch, Latein, .... Chinesisch, ....

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Und wie ist es mit der Mathematik ...Betreiben unsere hypothetischen intelligenten Außerirdischen überhaupt die gleiche Mathematik wie wir?Am Beispiel der Zahlen möchte ich zeigen, das die Mathematik universell ist und auch in einem anderen Teil der Galaxis “gesprochen” wird.

Photo: ESO phot-37d-98

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Sind die Zahlen universell?

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Natürliche ZahlenWir betrachten die AnZAHLEN beliebiger Objekte.

Z.B Äpfel

...

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Natürliche Zahlen

N ={ , , , . . .}Damit haben wir die Menge der natürlichen Zahlen gefunden. Und es ist völlig gleich, ob wir als Objekte Äpfel, Eier, pangalaktische Donnergurgler oder Sandkörner auf Gliese 581c oder Aldebaran nehmen.

N = { 1, 2, 3, 4, . . . }

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Rechnen mit natürlichen Zahlen

...

+ =+ =

+ =

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Multiplikation

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Quadratzahlen

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Die Addition alleine reicht aber nicht aus, wir benötigen auch die Subtraktion, d.h. wir geben etwas her, wir ziehen etwas ab.

- =- =

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=- ?Jetzt haben wir ein Problem. Die Menge der natürlichen

Zahlen reicht nicht aus.

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Die NullWir führen ein neues Zahlenelement ein, die Null, und erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die Zahl Null.

N0 = N + { 0 }

=- 0

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Von den natürlichen zu den ganzen ZahlenDoch was ist mit Subtraktionsaufgaben des folgenden Typs, bei dem wir mehr abziehen als wir haben?

- = ?Wir führen weitere neue Zahlenelemente ein, die negativen Zahlen, und erweitern die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null mit den negativen Zahlen und nennen diese neue Menge die Menge der ganzen Zahlen.

Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

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Die ganzen Zahlen

Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }Mit den ganzen Zahlen können wir nun nach Herzenslust rechnen. Ob Addition oder Subtraktion, jede Zahlenkombination ist möglich. Eine beliebige ganze Zahl mit einer beliebigen ganzen Zahl addiert oder subtrahiert ergibt wieder eine ganze Zahl.

Damit könnten wir jetzt aufhören, wenn nicht ....

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Die rationalen Zahlen

: =

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Die rationalen Zahlen

Q = { m/n | m, n ε Z, n≠0 }

¼½

¾

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Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen

NN0ZQ 1, 2, 3, 4, ...

0

-1, -2, -3, ...

5/31/2

17/4

-3/2

m/n

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Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler,nämlich der Zahl 1 und sich selbst.

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Das “Wurzel von zwei”-Problem

√21

1√2 = p/q?

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Die irrationalen Zahlen

π = 3,141592653589793...

√2 = 1,41...

Irrational, weil nicht rational darstellbar. D. h. nicht als Bruch darstellbar.

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Indirekter Beweis

√2 = pq

Annahme des Gegenteils:

p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen

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Indirekter Beweis

√2 = pq


2 = p2

q2 2 = p2q2


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Indirekter Beweis

√2 = pq


2 = p2

q2 2 = p2q2


p2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl

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p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)

Indirekter Beweis

√2 = pq


2 = p2

q2 2 = p2q2



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p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)

Indirekter Beweis

√2 = pq


2 = p2

q2 2 = p2q2



2q2 = (2a)2

q2 = 2a2

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Indirekter Beweis

q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl

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q = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)

Indirekter Beweis


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Damit sind sowohl p als auch q gerade Zahlen und damitdurch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zur Annahme der Teilerfremdheit.


Indirekter Beweis


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Damit sind sowohl p als auch q gerade Zahlen und damitdurch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zur Annahme der Teilerfremdheit.


Indirekter Beweis


√2 ist nicht als rationale Zahl darstellbar

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Die reellen ZahlenDas heißt, dass wir die Menge der Brüche (rationalen Zahlen) Q um alle irrationalen Zahlen (nicht als Brüche darstellbar) erweitern müssen.

Wir gelangen zur Menge der reellen Zahlen

R = Q + { irrationale Zahlen }

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Die Zahlen sind universell.

Die Mathematik ist universell.Photo: ESO phot-37d-98

Foto: ESO eso9846a

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Und was bringt uns das? Und was bringt uns das?

Foto: ESO eso9846a

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Und was bringt uns das?

LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse

Hans Freudenthal

Wikimedia Commons: Hans_Freudenthal.jpg, Urheber: Konrad Jacobs, Erlangen; Quelle: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach

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LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse

Lincos BedeutungX O X 1 = 1XX O XX 2 = 2XXX O XXX 3 = 3X OO XX 1 < 2X OO XXX 1 < 3XX OO XXX 2 < 3XX OOO X 2 > 1XXX OOO XX 3 > 2

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Bilder sagen mehr als tausend Worte

11110000011100011111110........11011110001

14.111 Bits

14.111 = 137 x 103

137103

103137

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Versuch 1

Versuch 2

Versuch 3

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7.109.411 = 3.079 x 2.309

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Photo: EUMETSAT/DLR

Photo: NASA, J. Bell (Cornell U.) and M. Wolff (SSI)

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Zahlensysteme - Additionssysteme

1, 2, 3, 4, 5

1, 2, 3, 4, 5

1, 2, 3, 4, 5

1, 10, 100, 1.000, ...

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Additionssysteme – römische ZahlenI = 1V = 5X = 10L = 50C = 100D = 500M =1.000V = 5.000X = 10.000C = 100.000M = 1.000.000M = 1.000.000.000.....

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MMMMMMMMMMCCCXXVM = ?

Additionssysteme – römische Zahlen

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MMMMMMMMMMCCCXXVM =

10 x 1.000.000 = 10.000.000+ 3 x 100.000 = 300.000+ 2 x 10.000 = 20.000+ 1 x 5.000 = 5.000+ 1 x 1.000 = 1.000 10.326.000

Solsystemi pusilli

Additionssysteme – römische Zahlen

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Zahlensysteme - Stellenwertsystem

853 = 8·100 + 5·10 + 3·1

Dezimalsystem

Wikimedia Commons, Arabic_numerals-de.svg

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Zahlensysteme - StellenwertsystemDualsystem: Basis = 2Ternärsystem: Basis = 3Quinärsystem: Basis = 5Hexalsystem: Basis = 6Oktalsystem: Basis = 8Dezimalsystem: Basis = 10Duodezimalsystem: Basis = 12Hexadezimalsystem: Basis = 16Sexagesimalsystem: Basis = 60

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π-zza π-kant

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Die π-zza-Salami-Methode

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π = 3,141592653589793...Umfang = π * Durchmesser

π = UmfangDurchmesser

22 Salamischeiben7 Salamischeiben = 3,1428.....

Man nehme eine Pizza und eine Salami von geeigneter Größe (7 x Durchmesser der Salami = Durchmesser der Pizza). Von der Salami schneidet man 29 Stücke ab. Das Verhältnis Umfang zu Durchmesser ergibt mit der π-zza-Salami-Methode schon ein sehr gutes Ergebnis. Die beiden ersten Nachkommastellen sind richtig.

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Pizzeria Italiachiuso

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π mit der Stäbchen-Methode

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Wir brauchen:

Zwei Essstäbchen der Länge a.Eine Fläche mit parallelen Linien mit Abstand b.

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Wahrscheinlichkeit(Linie wird geschnitten) =

Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unserer Versuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm

280mm

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Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unserer Versuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm

280mm

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π mit der Stäbchen-Methode – Der Film

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Wenn genau die Hälfte der Stäbchen die Linie berührt

1

2

280 mm

220 mm

= 2 x 2 x 220/280= 4 x 0,7857...= 3,14..

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Wenn alle Stäbchen die Linie berühren

2

2

280 mm

220 mm

= 2 x 1 x 220/280= 2 x 0,7857...= 1,57..

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Wenn kein Stäbchen die Linie berührt

0

2

280 mm

220 mm

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