Misura della vita media del mesone K - infn.it 2.2.3 Il tubo a vuoto e i calorimetri sui ... 5...

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Universit`adegli studi “Roma Tre” Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Tesi di Laurea di secondo livello in Fisica Misura della vita media del mesone K L utilizzando il decadimento K L π 0 π 0 π 0 Candidata: Relatori: Ludovica Aperio Bella Prof. Filippo Ceradini Dr. Antonio Passeri Anno Accademico 2007-2008

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Universita degli studi “Roma Tre”

Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e NaturaliTesi di Laurea di secondo livello in Fisica

Misura della vita media del mesone KL

utilizzando il decadimento KL → π0π0π0

Candidata: Relatori:

Ludovica Aperio Bella Prof. Filippo Ceradini

Dr. Antonio Passeri

Anno Accademico 2007-2008

A mio nonno

Indice

1 Fisica dei mesoni K neutri 111.1 La fisica dei K neutri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Un po’ di storia: la fenomenologia della fisica

dei K neutri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 La Hamiltoniana del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Violazione di CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Violazione indiretta di CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Violazione diretta di CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Misura del doppio rapporto <e(ε′/ε) . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 L’angolo di Cabibbo e l’unitarieta della CKM . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 Determinazione dell’elemento di matrice Vus . . . . . . . . . . 19

2 L’esperimento KLOE a DAΦNE 212.1 L’anello di collisione e+e− DAΦNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Il rivelatore KLOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 La camera a deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Il Calorimetro elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Il tubo a vuoto e i calorimetri sui quadrupoli . . . . . . . . . . 302.2.4 Il sistema di Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.5 Il sistema di acquisizione dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.6 Il Filtro di Fondo FILFO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.7 L’identificazione del bunch crossing . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Il KL tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1 Determinazione del t0 dell’evento . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 Dipendenza dell’efficienza di tag dal LK . . . . . . . . . . . . 382.3.3 Il volume fiduciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Simulazione Monte Carlo del rivelatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Le condizioni della raccolta dati 413.1 Il campione di dati e di Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Analisi dei dati 434.1 Metodo di misura: ”Il vertice neutro” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Analisi del campione di controllo KL → π+π−π0 . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Qualita di ricostruzione del vertice di singolo fotone . . . . . . 464.2.2 Risoluzione del vertice di singolo fotone . . . . . . . . . . . . . 514.2.3 Efficienza di ricostruzione del vertice di decadimento del KL . 56

5

4.3 Ricostruzione del decadimento KL → π0π0π0 . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1 Vertice multifotonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.2 Moltiplicita di fotoni e cluster merging . . . . . . . . . . . . . 654.3.3 Reiezione del fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.4 Misura delle interazioni nucleari del KL in KLOE . . . . . . . 74

4.4 Effetti delle interazioni nucleari del KL . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Risultati 795.1 Fit della distribuzione di tempo proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1 Sottrazione del fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1.2 Efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.3 Il Fit e la vita media del KL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Stima degli errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.1 Errore sistematico dovuto alla funzione di efficienza . . . . . . 925.2.2 Incertezza sistematica dovuta alla sottrazione del fondo . . . . 945.2.3 Sistematica dovuta alla calibrazione assoluta della scala dei

tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2.4 Incertezza sistematica dovuta alle interazioni nucleari del KL . 965.2.5 Incertezza sistematica dovuta alla scelta dell’intervallo di fit e

del binning dell’istogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2.6 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Conclusioni 99

Bibliografia 102

Introduzione

Stato dell’arte: misure della vita media del KL

La misura della vita media del KL e necessaria per determinare, data la frazionedi decadimento misurata, tutte le larghezze parziali di decadimento del KL, e inparticolare, per estrarre dai decadimenti semileptonici del KL l’elemento |Vus| dellamatrice CKM .

La conoscenza attuale della τ(KL) proviene da una misura effettuata piu di 30anni fa [1]. Questa misura e rimasta per molto tempo la miglior stima della vitamedia. Tuttavia la sua incertezza statistica inficia la determinazione di |Vus| daidecadimenti semileptonici del KL.

La misura della vita media del KL risulta piuttosto complessa in quanto si ne-cessita di apparati abbastanza grandi. Infatti τ(KL) e circa 50 ns, il che corrispondead una lunghezza di decadimento λ = p

mccτ (con cτ per il mesone KL di circa 15 m);

inoltre il KL non puo essere fermato.L’esperimento KLOE a DAΦNE (φ Factory a Frascati), e l’ideale per compiere

una misura del genere: i KL prodotti sono quasi monocromatici con un impulsopK ∼ 110MeV/c che corrisponde ad un percorso medio di 340 cm. Il rivelatoreKLOE ha una zona di rivelazione attiva con r = 200 cm e percio una grande frazionedi essi (∼ 50%) decade all’interno del rivelatore.

L’errore statistico sulla vita media dipende fortemente dal numero di even-ti ∝ 1/

√N e dall’intervallo temporale considerato [2]:

δτ

τ=

1√N×

[−1 + e3T + (eT − e2T )(3 + T 2)

(−1 + eT )

3] 1

2

(1)

dove T = ∆tτ

e l’intervallo di tempo usato per il fit in unita di tempo proprio e N eil numero di eventi in tale intervallo. L’equazione (1) deriva dalla ben nota formulada cui si ricava l’accuratezza statistica per un parametro p dato un set di N misuredella quantita fisica x una volta nota la funzione di distribuzione f(x; p):

σp =

√− 1

∂2W∂p2 |p=p

(2)

dove W = logL , L =∏

i f(xi; p) e la funzione di likelihood e p e la migliore stima

di p che massimizza la L. Nel nostro caso f(x; p) = e−tτ . Nel caso dell’esperimento

KLOE avremo T ∼ 0.4 e N ∼ 9 · 106 con un errore statistico di ∼ 0.3%.

7

8 INDICE

Nella misura diretta della vita vita media del KL effettuata nel 1972 al Princeton-Pennsylvania Accelerator (PPA), i KL sono prodotti con un fascio di protoni da 3GeV che vengono accelerati verso un bersaglio. Il collimatore e il rivelatore sono po-sti su carrelli che si possono muovere indipendentemente lungo una guida parallelaalla direzione dei fasci; il carrello del rivelatore si muove fino a 22 m lungo la direzio-ne di decadimento del KL, distanza che corrisponde a circa 1.6− 3.7 vite medie delKL nell’intervallo di impulso dell’esperimento. Per scandire il tempo dell’apparato estato usato un secondo fascio di particelle con un ben definito tempo di estrazione.Una volta combinato il tempo di rivelazione della particella con il tempo assolutodell’apparato si ottiene la misura di tempo di volo del KL su una nota distanza.Il risultato di questa misura fatta con 0.4M di eventi, riportato sul Particle DataGroup e di : τKL

= 5.154± 0.044 10−8 s [1].KLOE ha invece misurato τ(KL) con due strategie completamente indipendenti.

• Nel primo approccio si ricava la vita media del KL imponendo che∑

i Bi =1. Con KLOE si misurano i quattro maggiori modi di decadimento del KL

mentre i valori di quelli meno significativi (π+π−, π0π0, γγ) sono presi dal PDG’04. Poiche l’efficienza geometrica dell’individuazione dei decadimenti del KL

dipende da τL allora i valori delle quattro frazioni di decadimento soddisfano:

BR(KL → f)/BR(0)(KL → f) = 1 + 0.0128ns−1(τL − τ

(0)L

), (3)

dove BR(0) e il valore della frazione di decadimento valutato con un valore divia media τ

(0)L . Le quattro relazioni definite dall’equazione 3 insieme con la

condizione che la somma di tutti i modi di decadimento del KL deve essereuno permettono la determinazione della vita media e la misura delle quattrofrazioni di decadimento.Il fit di vita media che tiene in considerazione la matrice di correlazione trale frazioni di decadimento misurate e la vita media del KL, da come risultatocon un totale di circa 13M di eventi, τKL

= 5.072± 0.011± 0.035 10−8 s [3] .

• Nel secondo, che e quello seguito in questo lavoro, la misura di vita media euna misura diretta che risulta da un fit della distribuzione del tempo propriodel KL in un intervallo di tempo T ; il tempo proprio e calcolato a partire dallamisura della lunghezza di decadimento del KL dal decadimento KL → π0π0π0.L’intervallo di lunghezza di decadimento preso in esame e di conseguenza l’in-tervallo T per questa misura in KLOE e condizionato dalla struttura dell’ap-parato stesso. Infatti piu il vertice di decadimento del KL e rivelato vicino allepareti del calorimetro, piu risulta difficile ricostruire correttamente i prodottidi decadimento del KL. Per questo sono stati performati dei tagli sul volumefiduciale in modo tale che per il fit di tempo proprio si consideri un intervallodi tempo T , e quindi una distanza spaziale, nella quale l’efficienza di ricostru-zione sia alta e uniforme entro un volume fiduciale di ∼ 0.4λL. Il risultato delfit con 15M di eventi e τKL

= 5.092± 0.017± 0.025 10−8 s [4].

In questa tesi ci si e proposti di migliorare la misura diretta della vita media delKL misurata con KLOE con questo secondo approccio diminuendo l’errore statisticoad essa associato. Per questa misura si sono utilizzati i dati di KLOE collezionati

INDICE 9

durante il 2005 con una luminosita integrata di circa 1.2fb−1.

Il tempo proprio del KL e ottenuto evento per evento misurando la lunghezza didecadimento del KL dal decadimento KL → π0π0π0 (LKL

).La presenza del KL e segnalata dal decadimento KS → π+π− . La posizione delvertice di decadimento del KL e determinata dal tempo di arrivo dei fotoni sul ca-lorimetro elettromagnetico come descritto nella Sez.4.1.Il tempo proprio del KL, t∗, e ottenuto dalla lunghezza di decadimento λL divisa peril fattore di Lorentz del KL in KLOE : βγc = pKL

/mK . L’impulso del KL e valutatoevento per evento usando le informazioni del decadimento KS → π+π− (vedi Sez.2.3).

Sono stati osservati circa 40M di decadimenti entro un intervallo di tempo pro-prio tra 10 e 26 ns . Dal fit della distribuzione di tempo proprio in questo intervallosi e ottenuta una τKL

= 49.920± 0.08 · 10−8 s. L’errore sistematico di circa 0.70%e essenzialmente dominato dall’incertezza sulla dipendenza dell’efficienza di tag daLK e dalla conoscienza del fondo.

Capitolo 1

Fisica dei mesoni K neutri

1.1 La fisica dei K neutri

L’esperimento KLOE e stato progettato per realizzare misure di precisione dei para-metri principali della violazione della simmetria CP nel sistema dei mesoni K neutri.Il meccanismo della violazione della simmetria CP nell’ambito del Modello Standarde l’attuale situazione sperimentale sono descritti brevemente di seguito.

1.2 Un po’ di storia: la fenomenologia della fisica

dei K neutri

I kaoni sono stati osservati nel 1947 da Rochester e Butler [5] come particelle neutreprodotte dall’interazione dei raggi cosmici con uno spessore di piombo. Sebbenela produzione di tali particelle fosse dovuta all’interazione forte, i tempi di decadi-mento in due pioni carichi (∼ 10−10 s) erano tipici delle interazioni deboli. Comeconseguenza delle loro caratteristiche particolari, sono state definite particelle strane.Qualche anno dopo, Gell-Mann e Nishijima introdussero un nuovo numero quantico,la stranezza (S), conservata nelle interazioni forti ed elettromagnetiche ma non inquelle deboli, definita dalla relazione:

Q = I3 +B

2+

S

2

dove Q e la carica elettrica, B il numero barionico ed I3 la terza componente dell’i-sospin. Il fatto che le interazioni forti conservino la stranezza implica la produzioneassociata di coppie particella-antiparticella di stranezza opposta, ma tali particel-le possono decadere solo attraverso l’interazione debole con variazione del numeroquantico stranezza ∆S = 1 non essendoci particelle strane di massa piu leggera.

Le loro caratteristiche come composizione di quark come numeri quantici |qq, S, I3〉sono le seguenti:

|K0〉 = |ds, +1,−1/2〉,|K0〉 = |sd,−1, +1/2〉,|K+〉 = |us, +1, +1/2〉,|K−〉 = |su,−1,−1/2〉.

(1.1)

11

12 CAPITOLO 1. FISICA DEI MESONI K NEUTRI

I kaoni si dividono in due doppietti di isospin: uno di particelle (K0, K+) con S = 1e uno di antiparticelle (K−, K0) con S = −1.

Nel 1955 il fatto che la stranezza non fosse conservata nelle interazioni deboliporto Gell-Mann e Pais [6] ad ipotizzare che i due stati della coppia particella-antiparticella K0−K0 non fossero autostati di massa, dal momento che puo avvenirela transizione:

K0 → ππ → K0.

Nel 1957 Lee e Yang mostrarono che le interazioni deboli violano separatamen-te la parita P (operatore di inversione delle coordinate spaziali) e la coniugazionedi carica C (operatore di trasformazione particella-antiparticella). Landau [7] as-sunse percio, ampiando la teoria di Gell-Mann e Pais, che gli autostati di massafossero invarianti per trasformazioni dell’operatore combinato CP e quindi fosserocombinazione lineare degli stati K0 e K0 :

|K1〉 =|K0〉+ |K0〉√

2(CP = +1);

|K2〉 =|K0〉 − |K0〉√

2(CP = −1).

(1.2)

La conservazione di CP prevede che le particelle K1 e K2, stati fisici reali ri-spettivamente a vita media breve e a vita media lunga, abbiano come prodotti didecadimento gli stati a due e tre pioni:

KShort = K1 → 2π (CP = +1);KLong = K2 → 3π (CP = −1).

(1.3)

con vite medie:

τS = 1/ΓS = 0.89 · 10−10 s;τL = 1/ΓL = 5.17 · 10−8 s.

(1.4)

dove ΓS e ΓL stanno ad indicare le larghezze di decadimento delle due particelle. Taledifferenza nelle vite medie e dovuta all’ampiezza dello spazio delle fasi a disposizione,in quanto la massa di tre pioni e di poco inferiore alla massa del K neutro.

Nel 1964 Christenson, Cronin, Fitch e Turlay [8] osservarono sperimentalmenteche una piccola percentuale di KL poteva decadere anche in due pioni carichi, confrazione di decadimento:

BR(KL → π+π−) = (2.0± 0.4)× 10−3. (1.5)

Tale evidenza sperimentale mostro la violazione della simmetria CP nei decadi-menti dei K e dunque anche nelle interazioni deboli.

1.3 La Hamiltoniana del sistema

Se valesse la simmetria CP, allora gli autostati di CP:

|K1〉 =|K0〉+ |K0〉√

2, |K2〉 =

|K0〉 − |K0〉√2

1.3. LA HAMILTONIANA DEL SISTEMA 13

sarebbero anche autostati fisici di massa. La rottura della simmetria CP implica chegli autostati di massa e di CP non coincidano. Il sistema delle due particelle vienedescritto nello spazio di Hilbert bidimensionale attraverso una base di due vettoricon stranezza definita, |K0〉 − |K0〉.

Sia H la hamiltoniana del sistema che ne descrive gli effetti di decadimento,essa viene scomposta in due termini, uno adronico-elettromagnetico che conserva lastranezza ed un termine debole che non la conserva:

H = M − i

2Γ (1.6)

dove

M =H + H†

2=

(M11 M12

M21 M22

)

Γ = i(H −H†) =

(Γ11 Γ12

Γ21 Γ22

)

sono le matrici di massa e di decadimento, rispettivamente, entrambe 2× 2, hermi-tiane e definite positive. L’evoluzione nel tempo per il sistema K0 − K0 e regolatadall’equazione di Schrodinger dipendente dal tempo:

id

dt

(K0

K0

)= H

(K0

K0

)(1.7)

La condizione che H sia hermitiana e invariante sotto trasformazioni CPT richie-de che siano soddisfatte le condizioni:

(CPT ) : M11 = M22 Γ11 = Γ22;(H = H†) : M12 = M∗

21 Γ12 = Γ∗21.(1.8)

Imponendo le relazioni sopra scritte, si trova l’espressione degli autovalori:

λS,L = M11 − iΓ11

2± ∆λ

2= mS,L − i

ΓS,L

2(1.9)

dove:

∆λ = (mS −mL)− iΓS − ΓL

2= 2

√(M12 − i

Γ12

2

)(M∗

12 − iΓ∗12

2

)(1.10)

Gli autostati corrispondenti a tali autovalori saranno dunque:

|KS〉 = p|K0〉+ q|K0〉|KL〉 = p|K0〉 − q|K0〉 (1.11)

ed in generale non sono ortogonali fra loro. I coefficienti p e q vanno calcolati dallarelazione di completezza |p|2 + |q|2 = 1 e dalla relazione:

q

p=

√M∗

12 − i2Γ∗12

M12 − i2Γ12

. (1.12)

14 CAPITOLO 1. FISICA DEI MESONI K NEUTRI

Se il sistema fosse invariante per la simmetria CP, allora gli elementi H12 e H21

della matrice Hamiltoniana nella nuova base dovrebbero essere uguali (a meno di unfattore di fase), e sarebbe dunque soddisfatta la condizione:

∣∣∣∣q

p

∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣M∗

12 − i2Γ∗12

M12 − i2Γ12

∣∣∣∣ = 1 ↔ arg

(M12

Γ12

)= 0, (1.13)

necessaria per la richiesta che implica l’identificazione degli stati |K1,2〉 con gliautostati di massa.

1.4 Violazione di CP

L’evidenza sperimentale mostra che la simmetria CP e violata dunque gli autostatidi massa |K1,2〉 non sono autostati di CP. Si possono scrivere i nuovi autostati dimassa in funzione degli autostati |K1,2〉 (che formano una base):

|KS〉 =|K1〉+ ε|K2〉√

1 + |ε|2 , (1.14)

|KL〉 =|K2〉+ ε|K1〉√

1 + |ε|2 . (1.15)

dove il parametro di mixing ε e definito cosı:

ε =1− q/p

1 + q/p. (1.16)

La violazione di CP a causa dell’osservazione dei decadimenti del KL in due pionipuo avvenire in due modi differenti:

• violazione indiretta: dovuta alla presenza dello stato |K1〉 nello stato |KL〉;• violazione diretta: dovuta all’ampiezza di decadimento non nulla per lo stato|K2〉 in due pioni.

1.4.1 Violazione indiretta di CP

La violazione indiretta di CP e dovuta alla contaminazione di |K1〉 nello stato |KL〉,e indotta dalle transizioni K0 ↔ K0 con |∆S| = 2. Cio comporta che le ampiezzedi decadimento delle reazioni con |∆S| = 2 K0 → K0 e K0 → K0 siano diverse, edi conseguenza per il parametro di mixing si ha:

∣∣∣∣1− ε

1 + ε

∣∣∣∣ 6= 1 ⇐⇒ <e(ε) 6= 0. (1.17)

Tale parametro di mixing e dipendente dalla scelta di fase e non e direttamentemisurabile. E’ invece osservabile l’asimmetria di carica δl, dipendente dalle larghezzedi decadimento semileptonico, che vi dipende:

δl =Γ(KL → π−l+νl)− Γ(KL → π+l−νl)

Γ(KL → π−l+νl) + Γ(KL → π+l−νl)=

2<e(ε)

1 + |ε|2 . (1.18)

1.4. VIOLAZIONE DI CP 15

Questa formula e stata ricavata facendo uso della regola di selezione ∆S = ∆Q, cheproibisce i decadimenti, coniugati sotto CP, K0 → π+l−νl e K0 → π−l+νl. Il valoresperimentale ottenuto per tale grandezza e [9]:

δl = (3.27± 0.12)× 10−3, (1.19)

da cui si ricava, trascurando |ε|2,

<e(ε) = (1.63± 0.06)× 10−3. (1.20)

1.4.2 Violazione diretta di CP

La violazione diretta di CP si ha quando l’ampiezza di decadimento con |∆S| = 1per lo stato |K2〉 in due pioni e non nulla, cioe 〈2π|K2〉 6= 0.

Piu rigorosamente, la violazione di CP diretta e possibile quando l’ampiezza diun determinato processo e differente da quella del suo coniugato sotto la simmetriaCP. Si considerino le ampiezze:

A+− = 〈π+π−|H|K0〉, A+− = 〈π+π−|H|K0〉,A00 = 〈π0π0|H|K0〉, A00 = 〈π0π0|H|K0〉.

La violazione diretta consiste nel verificarsi di:

A+− 6= A+−, A00 6= A00.

Introduciamo per semplicita la scomposizione in ampiezze di isospin. Sia:

f〈2πI|Ss|2πI〉i = e2iδI

la fase di rescattering introdotta dall’interazione forte (Ss) dei due pioni nello stato diisospin I. La hamiltoniana libera dei mesoni K neutri contiene un termine H|∆S|=1

dovuto all’interazione debole che provoca il decadimento in pioni. Si consideral’ampiezza di decadimento del processo K0 → ππ relativa allo stato di isospin I inquesta forma:

f〈2πI|H|∆S|=1|K0〉 = AIeiδI .

Assumendo l’operatore CPT conservato, si trova dall’unitarieta della matrice S:

f〈2πI|H|∆S|=1|K0〉 = A∗Ie

iδI .

Si possono a questo punto esprimere le ampiezze totali come sovrapposizionedelle ampiezze di isospin relative agli stati con I = 0, 2 per i rispettivi coefficienti diClebsch-Gordan:

A+− =√

23A0e

iδ0 +√

13A2e

iδ2 , A+− =√

23A0e

iδ0 +√

13A2e

iδ2 ,

A00 =√

13A0e

iδ0 −√

23A2e

iδ2 , A00 =√

13A0e

iδ0 −√

23A2e

iδ2 ,(1.21)

16 CAPITOLO 1. FISICA DEI MESONI K NEUTRI

e la conservazione di CP implica:

arg

(A2

A0

)= 0. (1.22)

Quindi la violazione diretta di CP si ha solo se le ampiezze deboli hanno fasidiverse.

Sperimentalmente e conveniente introdurre le due quantita complesse:

η+− ≡ 〈π+π−|H|KL〉〈π+π−|H|KS〉 ,

η00 ≡ 〈π0π0|H|KL〉〈π0π0|H|KS〉 .

(1.23)

Usando le definizioni seguenti dovute alla decomposizione in ampiezze di isospin:

ε=〈ππ, I = 0|H|KL〉〈ππ, I = 0|H|KS〉 , ε2 =

〈ππ, I = 2|H|KL〉〈ππ, I = 0|H|KS〉 , ω=

〈ππ, I = 2|H|KS〉〈ππ, I = 0|H|KS〉 ,

si possono esprimere η+− e η00 in questo modo:

η+− = ε + ε2

√2

1 + ω√

2,

η00 = ε− ε2

√2

1− ω√

2.

(1.24)

Si puo scrivere il parametro ε in funzione delle ampiezze di isospin e del parametrodi mixing ε cosı:

ε =ε + i(=mA0/<eA0)

1 + iε(=mA0/<eA0)' ε + i

=mA0

<eA0

(1.25)

dove e stato trascurato il termine al secondo ordine ε(=mA0/<eA0) nel denomina-tore. Si procede in maniera analoga nel calcolo degli altri due parametri:

ε2 = ei(δ2−δ0) i(=mA2/<eA0) + ε(<eA2/<eA0)

1 + iε(=mA0/<eA0)' iei(δ2−δ0)=mA2

<eA0

(1.26)

ω = ei(δ2−δ0) (<eA2/<eA0) + iε(=mA2/<eA0)

1 + iε(=mA0/<eA0)' iei(δ2−δ0)<eA2

<eA0

(1.27)

ove e stato trascurato anche il termine ε(A2/A0), in quanto si haA2/A0 ' 1/

√600.

L’equazione (1.25) mostra che la violazione di CP non dipende soltanto dal mi-xing ε, come accade per i decadimenti semileptonici, ma e funzione della somma delparametro di mixing piu la componente diretta.

Si possono scrivere a questo punto η+− e η00 in questo modo, sostituendo le (1.26)e (1.27) nelle espressioni (1.24):

η+− ' ε + ε′ (1.28)

η00 ' ε− 2ε′ (1.29)

1.5. L’ANGOLO DI CABIBBO E L’UNITARIETA DELLA CKM 17

ove si e definito ε′ in questo modo:

ε′ =i√2ei(δ2−δ0)=mA2

<eA2

− =mA0

<eA0

<eA2

<eA0

=i√2(ε2 − ωε). (1.30)

La violazione di CP si osserva percio nella differenza tra η+− e η00.I valori trovati sperimentalmente per questi due parametri sono [9]:

|η+−| = (2.228± 0.014)× 10−3, φ+− = (43.52± 0.06)◦; (1.31)

|η00| = (2.276± 0.014)× 10−3, φ00 = (43.50± 0.06)◦. (1.32)

1.4.3 Misura del doppio rapporto <e(ε′/ε)

Gli esperimenti finalizzati alla determinazione del parametro di violazione diretta diCP hanno misurato finora il doppio rapporto R:

R ≡ Γ(KL → π0π0)/Γ(KS → π0π0)

Γ(KL → π+π−)/Γ(KS → π+π−)≡

∣∣∣∣η00

η+−

∣∣∣∣2

= 1− 6<e

(ε′

ε

). (1.33)

I risultati attuali sul doppio rapporto provengono da esperimenti a bersaglio fisso,realizzati al CERN ( NA31 nel 1993 e successivamente NA48 nel 2002) e al Fermi-lab (E731 nel 1993 e successivamente KTeV nel 2003). Questi esperimenti hannoottenuto i risultati seguenti per il doppio rapporto <e

(ε′ε

)in unita di 10−3:

(2.30± 0.65) ( NA31 [10])(0.74± 0.52± 0.29) ( E731 [11])

(1.47± 0.22) (NA48 [12])(2.07± 0.28) ( KTeV [13])

(1.34)

Infine il valore quotato dal PDG [9] e il seguente:

<e

(ε′

ε

)= (1.67± 0.26)× 10−3 ( PDG [9]) (1.35)

e confermata quindi l’esistenza della violazione diretta di CP.

1.5 L’angolo di Cabibbo e l’unitarieta della CKM

La coppia di kaoni neutri derivanti dal decadimento φ → K0K0

sono in uno sta-to puro di JPC = 1−−. Nel Modello Standard la forma della Lagrangiana delleinterazioni elettrodeboli puo essere scritta come:

Lcc =g√2W+

α

(ULVCKMγαDL + eLγανeL + µLγανµL + τLγαντL

)+ h.c. (1.36)

Risultano evidenti due importanti proprieta : c’e un’unica costante di accoppiamentoper i leptoni e per i quark, e i quark sono mescolati con la matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (VCKM) [14], [15] , la VCKM deve essere unitaria.

18 CAPITOLO 1. FISICA DEI MESONI K NEUTRI

La costante di accoppiamento di Fermi a 4-fermioni, GF e connessa all’accoppia-mento di gauge, g dalla relazione GF = g2/(4

√2m2

W ) .Una misura precisa delle frazioni di decadimento leptoniche e semileptoniche dei Kpuo dare delle informazioni sull’universalita dei leptoni. Combinando questi risul-tati con il decadimento β nucleare e i decadimenti dei pioni queste misure possonoportare a importanti informazioni sull’unitarieta della matrice di mixing.

La matrice di mixing delle tre generazioni dei quark, VCKM , scritta in terminidei parametri di Wolfenstein (λ,A, ρ, η) [16] ben illustra il ruolo centrale di λ e lecostrizioni ortonormali dell’unitarieta. Questo modo di parametrizzare la matrice dimixing riflette immediatamente le conoscenze attuali del valore di alcuni elementi emostra che la fase di violazione di CP appare solo nei due elementi fuori dalla dia-gonale principale al piu basso ordine in λ. Questo parametro e funzione dell’angolodi Cabibbo λ = sin θCabibbo = Vus e descrive il mixing dei quark u e s. Il suo valoree un ingrediente fondamentale per la determinazione degli altri parametri e per leprove di unitarieta della VCKM .La parametrizzazione di Wolfenstein della matrice VCKM fino ai termini di ordineλ3 e:

VCKM =

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

=

1− λ2/2 λ Aλ3(ρ− iη)−λ 1− λ2/2 Aλ2

Aλ3(1− ρ− iη) −Aλ2 1

+O(λ4). (1.37)

con A un numero reale vicino ad uno, A ∼ 0.84± 0.006 e con | ρ− iη |∼ 0.3.La violazione di CP richiede che η 6= 0, η e ρ non sono conosciuti molto bene. Allostesso modo non vi e alcuna violazione di CP se gli elementi lungo la diagonale sonouguali a 1. La matrice di Wolfenstein non e esattamente unitaria: V †V = 1+O(λ4).

Molti vincoli su η e ρ possono essere ottenuti dalle misure sperimentali. ε puoessere calcolata a partire dall’ampiezza con ∆S = 2 mostrata nel diagramma asinistra nella Figura 1.1 il cosiddetto diagramma box. Al livello dei quark il calcoloe semplice ma le complicazioni sorgono nella stima dell’elemento di matrice tra K0

e K0. Oltre che da questa incertezza ε dipende da η e ρ come | ε |= aη + bηρ uniperbole nel piano η : ρ. Il calcolo di ε′ e piu complicato.Ci sono tre ampiezze con ∆S = 1 che contribuiscono ai decadimenti K → ππ datedal piu basso ordine in λ sia per la parte reale che per la parte immaginaria. Essecorrispondono allo scambio dei quark u, c e t nel loop.

A(s → uud) ∝ VusV∗ud ∼ λ (1.38)

A(s → ccd) ∝ VcsV∗cd ∼ −λ + iηA2λ5 (1.39)

A(s → ttd) ∝ VtsV∗td ∼ −A2λ5(1− ρ + iη) (1.40)

dove l’ampiezza dell’Eq. (1.38) corrisponde al calcolo nel Modello Standard dell’am-piezza per il processo K → ππ e le ampiezze delle equazioni (1.39) e (1.40) derivanodalla violazione diretta di CP. Se quest’ultime due ampiezze sono poste uguali a zero

1.5. L’ANGOLO DI CABIBBO E L’UNITARIETA DELLA CKM 19

Figura 1.1: A sinistra : diagramma della transizione K0 → K0. A destra :diagramma dell’operatore effettivo delle correnti neutre con cambio di flavor.

non ci sarebbe alcuna violazione diretta di CP nel modello standard. A destra infigura 1.1 il diagramma delle correnti neutre con cambio di flavor (FCNC) chiamatoil diagramma a pinguino che contribuisce alle ampiezze (1.39), (1.40). La stima delrapporto <e(ε′/ε) e in un range che va da ×10−3 a 10−4.

1.5.1 Determinazione dell’elemento di matrice Vus

| Vus | puo essere determinato dai decadimenti dei mesoni K, dai decadimenti degliiperioni e dai decadimenti del τ . Principalmente per la determinazione di questoparametro sono utilizzati i decadimenti Kl3:

ΓKl3=

G2F M5

K

192π3SEW (1 + δl

K + δSU2)C2 | Vus |2 f 2

+(0)I lK (1.41)

dove l si riferisce ai leptoni carichi leggeri (e o µ), GF e la costante di Fermi, MK ela massa del K, SEW e la correzione radiativa a brevi distanze, δl

K e la correzioneradiativa, dipendente dal modo di decadimento leptonico del K, a lunga distanza,f+(0) e il fattore di forma calcolato momento trasferito nullo per il sistema l − ν, eI lK e l’integrale dello spazio delle fasi che dipende dai fattori di forma semileptonici

misurati. Per i decadimenti dei K carichi, δSU2 e la deviazione da uno del rapportotra il f+(0) per i decadimenti dei K carichi e per i decadimenti dei K neutri; e paria zero per i K neutri. C2 e 1 (1/2) per i decadimenti dei K neutri (dei K carichi).

La maggior parte delle determinazioni di | Vus | si sono basate solo sullo studiodei decadimenti K → πeν; i decadimenti K → πµν non sono utilizzati a causa dellagrande incertezze su Iµ

K .Le misure sperimentali per determinare il valore di | Vus | sono: le larghezze didecadimento semileptoniche, sulla base della frazione di decadimento semileptonicae sulla vita media, e i fattori di forma che consentono il calcolo dell’integrale dellospazio delle fasi. I calcoli teorici sono necessari per determinare SEW, δl

K , δSU2 edf+(0).

Capitolo 2

L’esperimento KLOE a DAΦNE

2.1 L’anello di collisione e+e− DAΦNE

L’esperimento KLOE e situato presso l’accelleratore DAΦNE a Frascati. DAΦNE(Double Anular φφφ -factory for Nice Experiments) e una macchina acceleratrice afasci collidenti in cui elettroni e positroni si annichilano con un’energia del centro dimassa di 1020 MeV, pari alla massa della risonanza φ. Il mesone vettore φ infattiha Mφ = (1019.456 ± 0.020) MeV e larghezza Γφ = (4.26± 0.05) MeV [17].

La sezione d’urto di produzione della φ a DAΦNE ha un valore di picco di:σ(e+e− → φ) ∼ 3.1 µb . Questo tipo di acceleratori sono comunemente chiamatiφ-factory.

I prodotti di decadimento della φ sono analizzati con il rivelatore KLOE. Nume-rose misure di bassa energia possono essere effettuate, in particolare possono esserestudiati i decadimenti e le caratteristiche dei mesoni φ, η , e dei mesoni strani.

L’intero complesso di DAΦNE e schematizzato in Fig. 2.1. Elettroni e posi-troni vengono portati ad un’energia di 510 MeV attraverso un acceleratore lineare(LINAC) e inseriti nell’accumulatore. La catena d’iniezione (LINAC e accumulato-re) funziona alternativamente per e+ e per e−. I fasci di elettroni e positroni sonocomposti da pacchetti iniettati in due diversi anelli coplanari. La configurazione adoppio anello e necessaria per ridurre l’interazione tra i due fasci, effetto che limitala luminosita. I due anelli di collisione si intersecano in due punti. Il rivelatoreKLOE si trova in una di queste due zone di interazione vedi Figura 2.2.

In DAΦNE le traiettorie dei due fasci si intersecano al centro della zona diinterazione in KLOE (chiamato IP) con un angolo di θx ' 12.5 mrad nel pianoorizzontale, percio la φ e prodotta con un piccolo impulso nel piano orizzontale dicirca 13 Mev.DAΦNE e stato progettato per funzionare con un numero massimo di 120 pacchetti,

ogni T ' 2.7 ns. Quindi, gli elettroni e i positroni circolano raggruppati in npacchetti costituiti da N particelle l’uno. Se Lo rappresenta la luminosita del singolopacchetto, la luminosita totale e espressa dalla:

L = nLo = nνN2

4πσxσy

(2.1)

dove ν e la frequenza di collisione dei pacchetti e σx,y sono le deviazioni standardrelative alle dimensioni orizzontali e verticali del fascio nel punto di interazione.

21

22 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

Figura 2.1: Schema dell’apparato di acceleratori di DAΦNE.

2.2. IL RIVELATORE KLOE 23

Figura 2.2: Schema dell’collisore a doppio anello per e+e−.

L’esperimento KLOE e stato in funzione fino al 2005, anno in cui ha raccoltouna luminosita integrata di ∼ 1.26 fb−1.

2.2 Il rivelatore KLOE

Il rivelatore KLOE (K LOng Experiment) e stato progettato per lo studio dellaviolazione di CP nei decadimenti dei mesoni strani. La versatilita di questo espe-rimento, pero, permette un ricco programma di studi di fisica di basse energie checomprende tra gli altri argomenti: la misura dei decadimenti radiativi della φ, lamisura delle caratteristiche e dei numerosi decadimenti dei K neutri e carichi, emisure di sezioni d’urto adroniche. Nella tabella 2.1 sono riportate le frazioni didecadimento piu probabili della φ [17]. La φ prodotta nelle interazioni e+e− decade

Canali di Branchingdecadimento ratio

K+K− (49.1± 0.6) %K0

LK0S (34.0± 0.5) %

ρπ + π+π−π0 (15.4± 0.5) %ηγ (1.295± 0.025) %π0γ (1.23± 0.10)× 10−3

e+e− (2.98± 0.04)× 10−4

µ+µ− (2.85± 0.19)× 10−4

η e+e− (1.15± 0.10)× 10−4

Tabella 2.1: Le maggiori frazioni di decadimento del mesone φ

con una frazione di decadimento del 34% in coppie KSKL con impulso di 110 MeV.Il KS ha una vita media molto breve (τS = 10−10s) mentre il KL ha una vita me-dia maggiore ( τL = 5 × 10−8s) e decade in tre corpi salvo che per una frazione didecadimenti in due pioni (∼ 3 × 10−3) che violano CP. Di conseguenza il cammino

24 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

Figura 2.3: Sezione trasversale del rivelatore KLOE.

2.2. IL RIVELATORE KLOE 25

medio delle due particelle e molto diverso: λS = γβcτS = 0.6 cm, λL = γβcτL = 340cm. Nella tabella 2.2 sono riportate le maggiori frazioni di decadimento del KL edel KS. La lunga vita media del KL forza la scelta di un rivelatore di grandi dimen-

Canali di Branchingdecadimento ratio

KS → π+π− (69.20± 0.05) %KS → π0π0 (30.69± 0.05) %

KL → π±e∓νe (40.55± 0.12) %KL → π±µ∓νµ (27.04± 0.07) %KL → π0π0π0 (19.52± 0.12) %KL → π+π−π0 (12.54± 0.05) %

KL → π0π0 (8.65± 0.06)× 10−4

Tabella 2.2: Le maggiori frazioni di decadimento di mesoni KS e KL

sioni per poter raccogliere una frazione sufficiente di decadimenti. L’apparato deveinoltre essere in grado di ricostruire: i vertici di decadimento di particelle cariche diimpulso compreso tra 50 e 250 MeV/c o i fotoni prodotti con energia tra 20 e 280MeV.Per fare cio l’esperimento KLOE e composto di due sottorivelatori: una camera aderiva (Drift Chamber) per misurare le tracce cariche, e un calorimetro elettroma-gnetico (Electromagnetic Calorimeter) per rivelare i fotoni. Entrambi i sottorive-latori sono immersi in un campo magnetico parallelo all’asse di incrocio dei fasci di0.52 T generato da una bobbina superconduttrice.Una sezione trasversale del rivelatore e mostrata in Figura 2.3. In KLOE si utilizzail seguente sistema di assi coordinati: l’asse z e l’asse lungo la bisettrice dei fasci,l’asse y e l’asse verticale, mentre la direzione orizzontale ortogonale alla linea deifasci e l’asse x.

2.2.1 La camera a deriva

La camera a deriva (DC) [18], circonda il tubo a vuoto. La camera a deriva di KLOEsoddisfa le seguenti caratteristiche:

• un volume attivo omogeneo ed isotropo;

• un’efficienza di tracciatura alta ed uniforme all’interno di tutto il volumesensibile;

• una risoluzione spaziale nel piano trasverso σrφ ' 200 µm, σz ' 2 mm e unarisoluzione del vertice di σvtx ' 1 mm;

• una buona risoluzione dell’impulso (∆p⊥/p⊥ ' 0.5%) per tracce con impulsotrasverso (50 < p⊥ < 300 MeV). In questa regione di energie il contributodomiante alla risoluzione in impulso delle tracce e lo scattering multiplo:

∆p⊥p⊥

=0.053

L | B | β

√L

X0

26 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

dove p⊥ e il momento trasverso in GeV, β e la velocita della particella, L ela lunghezza della traccia in m, B e il campo magnetico in Tesla e X0 e lalunghezza di radiazione nel gas che e circa proporzionale a ∝ 1/Z2, in gr/cm2

(senza dimenticare la densita del gas);

• deve essere trasparente per fotoni di bassa energia.

La DC ha una struttura a celle uniformi in un grande volume cilindrico, la cuilunghezza e variabile da 2, 8 m in prossimita della linea dei fasci a 3, 3 m in prossimitadelle pareti del calorimetro; il raggio esterno e di 200 cm, il raggio interno e di 25cm. La richiesta di una tracciatura tridimensionale ed uniforme ha portato allascelta di celle con geometria quadrata a singolo filo anodico, organizzate in anellicoassiali, dove i fili sono inclinati di un piccolo angolo rispetto all’asse del rivelatoreper determinare la coordinata longitudinale z.

I materiali sono scelti per minimizzare la densita e lo scattering multiplo lungoil cammino delle particelle. La struttura di supporto e un composito di fibra dicarbonio per uno spessore complessivo ≤ 0.1X0. Per ridurre lo scattering multiploe la conversione dei fotoni la miscela di gas usata per riempire la camera e a base dielio (90% He − 10% iC4H10) con lunghezza di radiazione X0 ' 1300 m. Tenendo inconsiderazione anche i fili anodici la lunghezza di radiazione media nel volume dellacamera e di X0 ∼ 900 m.

Il guadagno utilizzato per ottimizzare le prestazioni della camera e 105, coneffetti di invecchiamento trascurabili. La velocita di deriva degli elettroni del gas edi 20mm/µs.

I segnali che si propagano lungo i fili anodici vengono amplificati, discriminaticon soglia a 4mV e quindi inviati a convertitori TDC con risoluzione temporale dicirca 1 ns.

2.2.2 Il Calorimetro elettromagnetico

Il calorimetro (EmC) ha una struttura cilindrica che circonda la DC. L’asse delcilindro e nel piano orizzontale parallelo all’asse dei fasci. Il EmC di KLOE ha leseguenti proprieta:

• un’ottima risoluzione temporale (' 100 ps) e uan buona determinazione delpunto d’impatto del fotone (' 1.4 cm), questo compito e molto importanteper discriminare gli eventi che vengono prodotti nel IP da quelli prodotti neidecadimenti dei K che accadono nel volume della camera a deriva. La buonarisoluzione della posizione insieme con il grande raggio (∼ 2 m) consentono diavere una buona risoluzione sull’angolo del punto d’impatto del fotone;

• un’alta ermeticita (98% dell’angolo solido), grazie alla quale i processi mul-tifotonici hanno un’accettanza spaziale accettabile e negli eventi con un altonumero di fotoni, questi possono essere separati correttamente. La risoluzionein energia e buona (5, 7%/

√E[GeV ]) e il calorimetro e pienamente efficiente

in un intervallo di energie 20÷ 500 MeV;

• un tempo di risposta molto veloce che viene utilizzato per attivare il primolivello di trigger, vedi Sez. 2.2.4.

2.2. IL RIVELATORE KLOE 27

Figura 2.4: Vista schematica della composizione piombo e fibre di ogni modulo delcalorimetro elettromagnetico di KLOE.

Il calorimetro elettromagnetico di KLOE, [19], e un calorimetro a campionamen-to costituito da piombo e fibre scintillanti (Figura 2.4).Le fibre scintillanti forniscono una buona trasmssione della luce su distanze fino a∼ 4.3 m.Il calorimetro di KLOE e composto da tre elementi principali: una struttura cilin-drica centrale chiamata barrel, e da due unita laterali chiamate endcap.

Il barrel approssimabile ad un cilindro cavo di 4 m di diametro, 4.3 m di lunghezzaattiva e 23 cm di spessore, e formata da 24 moduli di sezione trapezoidale dove lefibre dei moduli sono posizionate parallelamente alla linea del fascio.

Gli endcap invece, sono composti da 32 moduli a forma di ”C” disposti vertical-mente (Fig. 2.5) e chiudono ermeticamente il calorimetro. In questo caso le fibresono perpendicolari ai fasci, in modo tale che siano sempre disposte trasversalmenterispetto alle traiettorie delle particelle.

L’intera struttura copre il 98% dell’angolo solido. Infatti il barrel copre unaregione con un angolo ϑ (l’angolo di apertura dall’origine del sistema) compreso tra45◦e 135◦, gli endcap coprono rispettivamente gli angoli compresi tra 10◦e 45◦e tra135◦e 170◦.

Grazie alla grande zona di sovrapposizione tra il barrel e gli endcap (vedi Fig. 2.6)il calorimetro non e inattivo nella zona di interfaccia tra le due diverse componenti.La sezione trasversale dei moduli e di forma rettangolare e di larghezza variabile. Imoduli sono inclinati per mantenere l’asse dei fototubi parallelo al campo magnetico.

Tutti i moduli sono realizzati con 200 scanalature con fogli di piombo di 0, 55mm di spessore alternati con 200 strati di fibre scintillanti con diametro di 1 mm.Questo basso valore del contenuto di piombo fa si che il calorimetro sia quasi omo-geneo. In questo modo la perdita di energia nella parte passiva del materiale e quasiindipendente dalla direzione dello sciame e la risposta in energia e indipendente dalladirezione.

La densita media dei moduli del calorimetro e di 5 g/cm3, la lunghezza di ra-diazione e di circa X0 ' 1.5 cm, e lo spessore totale del calorimetro e di circa 15

28 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

Figura 2.5: Sezione trasversale del rivelatore KLOE e possibile vedere la forma deimoduli del EmC degli endcup.

Figura 2.6: Visione schematica della regione di overlap tra il barrel e gli endcap.

2.2. IL RIVELATORE KLOE 29

Figura 2.7: A sinistra sopra: Linearita della risposta in energia del calorimetro diKLOE in funzione dell’energia del fotone; sotto: risoluzione in energia del calorime-tro di KLOE al variare di Eγ; entrambe le curve sono ricavate con eventi Bhabharadativi. A destra: risoluzione in tempo del calorimetro elettromagnetico di KLOEin funzione di Eγ per i diversi decadimenti radiativi della φ.

lunghezze di radiazione. La luce e raccolta su entrambi i lati di ogni modulo e for-nisce la segmentazione del calorimetro in celle di dimensioni 4.4× 4.4 cm2. Questoconsente una buona risoluzione spaziale. La coordinata longitudinale e misurata conuna differenza di tempo.Il deposito di energia in ogni cella e ottenuto con la carica misurata ad ogni latodei moduli dagli ADC (Analog to Digital Converter); mentre il tempo della cella ederivato dagli intervalli di tempo misurati su ciascun lato dei moduli da parte deiTDC (Time to Digital Converter).

La risoluzione in energia e la linearita vengono controllate usando i fotoni daeventi Bhabha radiativi, e+e− → e+e−γ, determinando l’energia Eγ a partire dagliimpulsi delle tracce ricostruite con la DC e confrontandola con l’energia depositatanel calorimetro, Eclu. A sinistra nella figura 2.7 e mostra la risoluzione energiaσE/Eγ e la deviazione relativa dalla linearita (Eγ − Eclu)/Eγ in funzione di Eγ. Lalinearita e migliore dell’1% per Eγ > 75 MeV, mentre deviazioni si osservano perbassa energia, probabilmente a causa della perdita di frammenti di sciame.Fittando la risoluzione in energia con la funzione di risoluzione a/

√E[GeV ] + b,

si ottiene che il termine costante e trascurabile, e che la risoluzione e dominata dafluttuazioni di campionamento con un termine stocastico a = 5.7%:

σE

=0.057√Eγ(GeV)

. (2.2)

La risoluzione in tempo e stata ricavata da eventi e+e− → e+e−γ, ed e riportata a

30 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

Figura 2.8: Il tubo a vuoto intorno al punto di interazione di KLOE

destra in Figura 2.7, in funzione dell’energia del fotone. Il buon accordo tra le misurenei diversi canali si osseva dopo i 100 MeV. La curva mostrata in figura rappresentala funzione:

σt =54 ps√Eγ[GeV ]

⊕ 140 ps (2.3)

il primo termine e dovuto alle fluttuazioni statistiche del campionamento, il secondotermine e invece una costante che va sommata in quadratura. Il termine costantee dato a sua volta dalla somma in quadratura di due contributi: la miscalibrazioneresidua del calorimetro che contrubuisce per ∼ 50 ps, e il time spred intrinsecodovuto essenzialmente alla dimensione finita del pacchetto di particelle lungo l’assez che contribuisce per ∼ 125 ps.

La posizione del baricentro di un cluster (centroide) nel piano trasversale e de-terminata dalla distribuzione geometrica delle celle colpite ed ha una risoluzioneσ⊥ ∼ 1, 4 cm mentre le coordinate longitudinali sono determinate con la differenzadel tempo di arrivo del segnale alle due estremita del modulo e hanno una risoluzionespaziale di σz = 1.4 cm√

Eγ [GeV ].

2.2.3 Il tubo a vuoto e i calorimetri sui quadrupoli

Per osservare i decadimenti del KL e del KS senza interferenze dovute alla rigenera-zione KL → KS, il volume di decadimento dal punto di interazione con un r > 15λS

deve rimanere nel vuoto. Il tubo a vuoto del fascio, vedi Fig.2.8, circonda il puntodi interazione, con una sfera di 20 cm di diametro interno, con pareti 0, 5 mm dispessore composta da un composto sintetizzato di Berillio e Alluminio. Il Berillio haun numero atomico basso ed e stato utilizzato per minimizzare le interazioni delleparticelle prodotte nel IP con le pareti del tubo a vuoto. Questa sfera fornisce unlivello di vuoto efficace per evitare le rigenerazioni KS → KL.

Quadrupoli permanenti per focalizzare il fascio sono dentro l’appatato a unadistanza di 46 cm dal IP e circondano il tubo a vuoto del fascio. I quadrupoli abasso-β sono dotati di due calorometri a piombo e fibre scintillanti, QCAL, di ∼ 5X0

di spessore, con lo scopo di individuare i fotoni chealtrimenti sarebbero assorbiti daiquadrupoli. In particolare, il compito principale dei QCAL e quello di identificaree respingere i fotoni dal decadimento KL → 3π0 quando si selezionano gli eventi diviolazione di CP KL → 2π0.

2.2. IL RIVELATORE KLOE 31

Figura 2.9: Schema della logica di trigger di KLOE.

2.2.4 Il sistema di Trigger

Le principali funzioni del sistema di trigger di KLOE [21] sono:

• produrre un segnale di avvio per ogni evento di interazione;

• riconoscere gli eventi casuali dovuti ai raggi cosmici e al fondo di fascio;

• riconoscere gli eventi Bhabha, usati per studi di luminosita della macchina;

I raggi cosmici possono penetrare attraverso i 40 cm di ferro del magnete di KLOE;la maggior parte di queste particelle sono muoni che rilasciano circa 30-40 MeV inogni cella dell’EmC, producendo cosı una frequenza di trigger di circa 2.6 kHz. Iraggi cosmici sono segnalati e riconosciuti tramite la coincidenza sui piani esternidel calorimetro con un filtro online.

Per quanto riguarda gli eventi di φ ci sono due principali sorgenti di fondo. Unasono gli eventi Bhabha a piccolo angolo, dove gli elettoni e i positroni colpendo iquadrupoli focheggianti posti molto vicino al punto di interazione producono sciamiall’interno del rivelatore. L’altra sorgente e dovuta alle particelle perse dal fascio,queste particelle ”fuori-momento” sono originate nelle interazioni fascio-gas.

Il trigger per determinare se l’evento deve essere ricostruito si basa sia sulleinformazioni ricavate dai depositi di energia nel calorimetro, che sulle informazioniricostruite dalla camera a deriva. Esso e composto da due livelli (vedi Figura 2.9)al fine di produrre un primo segnale veloce (T1) che attiva l’elettronica di front-end(FEE) e di utilizzare le informazioni che vengono raccolte dalla camera a derivainsieme con quelle colorimetriche in un secondo livello (T2); una volta che entrambii livelli hanno dato esito positivo, e avviato il sistema di Data Acquisition (DAQ).

L’algoritmo del T1 accetta l’evento se una di queste due condizioni e verificata:

• 2 cluster nel calorimetro con energia superiore a una soglia fissata Low Ener-gy Threshold (LET) con diverse topologie per barrel-barrel, barrel-endcap oendcap-endcap. Le soglie sono: 50 MeV per il barrel e variabili tra 90 - 140

32 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

MeV per gli endcap. Questi valori sono piu alti per gli elementi degli endcapvicini alla linea di incrocio dei fasci;

• 15 hit nelle camere a deriva entro 250 ns .

Il trigger fissa un segnale di acknowledge di 2 µs, il quale pone un veto sugli altriT1 e consente la formazione del segnale dalle celle della DC. Il segnale del trigger,prima di essere processato dall’elettronica di front end del calorimetro, viene sincro-nizzato con una risoluzione di 50 ps con la radiofrequenza di DAΦNE divisa per 4(T = 10.8 ns) (vedi sez. 2.2.7). Pertanto il sistema di TDC del calorimetro misuraun tempo che ha un ritardo corrispondente a n periodi dopo la collisione che haoriginato l’evento; dove n deve essere determinato dalla ricostruzione off-line dell’e-vento. Questa tecnica permette di preservare la risoluzione sulla misura in tempo alivello del centinaio di ps, che sarebbe altrimenti dominata dal jitter intrinseco nellaformazione del segnale di trigger.

Dopo la decisione del primo livello, il T2 esegue una piu accurata selezione coni criteri seguenti:

• il ”φ trigger” e definito da uno di queste richieste:

– almeno una cella del calorimetro accesa nel barrel o tre nello stessoendcap;

– 40 hit nella camera a deriva in una finestra di 850 ns dopo il T1;

• il filtro sui raggi cosmici:

– Per i dati presi dopo il 2004 i raggi cosmici vengono riggettati con unsistema di filtri online (livello-3), una frazione di controllo e comunquescritta su disco. Per selezionare eventi derivanti da raggi cosmici, il trig-ger sfrutta il fatto che essi non hanno origine all’interno del rivelatore.L’algoritmo di reiezione dei cosmici richiede due depositi di energia soprasoglia nel piano esterno del calorimetro, nella configurazione barrel-barreloppure endcap-barrel, e nessun segnale nella parte centrale della cameraa deriva.

Il secondo livello di trigger (T2) da il segnale di stop ai TDC della camera e attival’acquisizione dell’evento.

2.2.5 Il sistema di acquisizione dati

Il sistema di acquisizione dati di KLOE [22] (DAQ) e stato progettato per sostenereun flusso di ∼ 104 eventi al secondo e una frequenza di dati trasferiti di circa 50MBytes/s. Il sistema, per essere efficente deve essere in grado di mantenere tem-pi morti ragionevolmente bassi e indipendenti dalla configurazione dell’evento. Ilsistema di DAQ funziona online in maniera asincrona rispetto:

• al tempo di collisione e+e−;

• all’arrivo del segnale dal trigger.

2.2. IL RIVELATORE KLOE 33

Figura 2.10: Schema del DAQ e del flusso di dati.

34 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

Uno schema del sistema di DAQ di KLOE e mostrato in Figura 2.10 . L’acquisizionedati viene effettuata tramite 10 catene di lettura in uscita connesse ad una farm on-line di server di calcolo. Per ogni catena, i dati provenienti dal rivelatore sonoprocessati da un insieme di dispositivi standard, poi raccolti in pacchetti di ”fram-menti di evento” e infine processati dalla farm. Il percorso di elaborazione e quindisu tre livelli differenti:

1. L1: raccolta e digitalizzazione delle informazioni provenienti da ogni parte delrivelatore;

2. L2: combinazione delle informazioni e ricostruzione di frammenti dell’evento;

3. L3: una volta spostati sulla farm assegnata, i diversi frammenti dell’eventovengono combinati insieme per ottenere la ricostruzione finale dell’evento; aquesto livello sono implementate anche tutte le procedure di monitoraggio.

Dopo la fase di ricostruzione, gli eventi formattati sono trasferiti su un buffercircolare per un eventuale estrazione e storage.

2.2.6 Il Filtro di Fondo FILFO

Dopo l’acquisizione tramite il DAQ l’evento e analizzato dal filtro di reiezione delfondo, FILFO. L’algoritmo di reiezione del fondo si basa sulla formazione di clustere sui conteggi delle celle della camera a deriva, cosı che gli eventi di fondo vengo-no eliminati prima della ricostruzione della camera a deriva, che e la sezione piucoinvolta nell’elaborazione dei programmi di ricostruzione. Il principale compito delFILFO e quello di eliminare le contaminazioni dei raggi cosmici e il fondo macchi-na. Per l’identificazione degli eventi di fondo, sono applicati dei tagli, studiati perminimizzare la perdita dei segnali dell’evento fisico in esame.

2.2.7 L’identificazione del bunch crossing

L’accelleratore DAΦNE per funzionare alla luminosita di progetto opera con circa120 bunches per ogni giro, che corrisponde a un periodo di incrocio dei fasci parial periodo di radiofrequenza (RF) della macchina, tRF = 2.715 ns. A causa dellanotevole differenza sui possibili tempi di arrivo delle particelle e del breve tempoche intercorre tra un incrocio dei fasci ed un altro, il tempo del trigger non iden-tifica l’incrocio dei fasci che ha prodotto l’evento e percio tale tempo deve esseredeterminato offline. Al fine di non degradare l’eccellente risoluzione temporale delEmC, l’avvio del sistema di TDC e ottenuto con la sincronizazione del primo livellodi trigger con un clock la cui fase ha una relazione fissa con la fase del segnale aradiofrequenza di DAΦNE. Il periodo del clock e di 4 · tRF = 10.85 ns.

I tempi sono misurati dal calorimetro con un sistema di TDC a 12 bit con sen-sibilita di 53 ps/conteggio in un intervallo di misura di circa ∼ 220 ns. Tali TDCfunzionano in modalita common-start. Il tempo del cluster e misurato, percio, a par-tire dal segnale di stop del TDC dato dal segnale discriminato del Fotomoltiplicatore(PMT):

tcl = tTOF + δc −NBCtRF (2.4)

2.2. IL RIVELATORE KLOE 35

Figura 2.11: Schema della temporizzazione del segnale di incrocio dei fasci, segnaledel calorimetro, e formazione del primo livello di trigger.

dove tTOF e il tempo di volo della particella dell’evento che e originato dal calori-metro, δc e la somma di tutti gli offset dovuti all’elettronica e ai ritardi dei cavi, eNBCtRF e il tempo necessario per generare lo start del TDC (vedi Figura 2.11).

Le quantita δc e tRF sono determinate usando gli eventi e+e− → γγ. Per ognievento, la distribuzione di ∆TOF = tcl − rcl/c mostra picchi ben separati che corri-spondono ai differenti valori di NBC per eventi diversi nel campione (Figura2.12).Si definisce δc la posizione del picco piu alto nella distribuzione, e si ottiene tRF

dalla distanza tra i picchi. Note queste variabili, si calcola la trasformata di Fourierdella distribuione in ∆TOF e si definisce il picco intorno alla frequenza caratteristicaν = 1/tRF . La scala assoluta dei tempi del sistema dei TDC e quindi ottenutaimponendo tRF (fit) = tRF . Entrambi i valori di δc e tRF sono determinati con unaprecisione migliore di 4 ps per ogni 200 nb−1 di dati accumulati.

Risulta chiaro che, se si vuole che il tempo del cluster corrisponda al tem-po di volo delle particelle che lo hanno generato (tTOF ), un tempo di offset ,t0,evt ≡ δc − NBCtRF , deve essere sottratto ad ogni tempo del cluster, tcl, ge-nerato dal calorimetro. Il tempo della formazione del trigger, NBCtRF , varia eventoper evento ed e per questo che e determinato offline (vedi Sez: 2.3.1). Ad ordinezero il valore del NBC (e quindi del t0,evt) e ottenuto assumendo che il primo clusternell’evento sia generato da un fotone ”pronto” proveniente dal punto di interazione.

36 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

Figura 2.12: Distribuzione del ∆TOF per la calibrazione del EmC

Una volta imposto per questo cluster che tTOF = rcl/c , si ottiene:

t0,evt = δc −Nint

[rcl/c− tcl + δc

tRF

]tRF , (2.5)

dove Nint [ ] sta per il numero intero piu vicino alla quantita tra le parentesi. Siconsidera cosı t0,evt il tempo di avvio dell’evento, se il cluster usato per valutarlosoddisfa anche la condizione Ecl > 50 MeV e rxy ≡ (x2

cl + y2cl)

1/2 > 60 cm.

2.3 Il KL tag

La presenza del KL e segnalata dal decadimento KS → π+π− . Per il tag si richiedeun vertice con due tracce di curvatura opposta entro un volume fiduciale (FV)cilindrico di raggio rxy < 10 cm e lunghezza | z |< 10 cm, centrato nella regionedi collisione, che e determinata per ogni run usando eventi Bhabha. La massainvariante delle due tracce, calcolata assumendo per entrambe la massa del pione,deve essere entro 5 MeV da mKS

. Il valore del momento totale delle due tracce deveessere entro 10 MeV dal valore aspettato dalla cinematica del decadimento a duecorpi della φ e dal valore di pφ. Se piu di un vertice soddisfa questi criteri, il KS

e identificato con quello piu vicino alla posizione nominale del punto di interazioneIP.

La miglior stima del valore dell’impulso del KS, pKSe ottenuta dalla cinematica

del decadimento φ → KSKL, usando la direzione del KS ricostruita a partire dagliimpulsi misurati dalle tracce di π+π− e dal valore noto del pφ. Questo perche lecomponenti degli impulsi dei pioni lungo la linea di volo del KS e l’angolo di aperturatra le tracce dei pioni sono inversamente correlati rispetto alla ricostruzione del ver-tice del KS, ma questa relazione non influisce sulla precisione della determinazionedella direzione del KS.

La risoluzione dell’impulso del KS, ottenuta con questo metodo e dominata dallospread dell’energia dei fasci. Visto che il valore di pKS

e molto sensibile al valoredella massa del KS :

δP

P∼ 1

β2· δM

M, (2.6)

2.3. IL KL TAG 37

dove β e la velocita del KS; per questa ragione si e usato come valore della massadel KS, la misura di KLOE [23].

La posizione del punto di produzione della φ, xφ, e determinata come il puntoche minimizza la distanza tra la propagazione all’indietro dell’ impulso del KS finoal vertice, e la linea dei fasci. La linea di volo del KL e quindi costruita a partiredal suo impulso, pKL

= pφ − pKS, e dalla posizione del vertice di produzione xφ.

La richiesta minima per il KL tag e il calcolo del pKL. In ogni caso dal KL tag si

richiedono anche altre informazioni: il t0 dell’evento, e che i cluster del KS soddisfinole richieste del trigger del calorimetro. Per determinare il t0 dell’evento ognuna delletracce provenienti dal vertice del KS e estrapolata a partire dalla prima intersezionecon la superficie del calorimetro. In questa analisi, due variabili sono definite alloscopo di associare le tracce ai cluster : dTCA e la distanza dal punto di impattoestrapolato sul calorimetro e il centroide del cluster ; e d⊥TCA e la componente ditale distanza sul piano trasverso rispetto all’impulso delle tracce nell’impatto.

2.3.1 Determinazione del t0 dell’evento

Come spiegato nella Sez. 2.2.7, il tempo di avvio dell’evento t0,evt, o equivalentemen-te il numero di incrocio dei fasci NBC necessari a far scattare il trigger, e determinatooffline. Prima del tracciamento e della classificazione dell’evento, e possibile ottenereNBC supponendo che il primo cluster nell’evento sia dovuto ad un fotone dal puntodi interazione. Questa prima determinazione fa si che l’evento sia ricostruito e clas-sificato come un canale di fisica. Tuttavia, molti canali di fisica prodotti a DAΦNE,come anche quello preso in esame, non contengono fotoni ”pronti” nello stato finalee percio i tempi del cluster corretti, t(0)

cl , possono essere diversi dall’effettivo tempodi volo per un numero intero di incroci dei fasci ∆NBC :

t(0)cl = tTOF −∆NBCtRF . (2.7)

E possibile ottenere la correzione ∆NBCtRF utilizzando una topologia di eventifacilmente associabile ad un cluster. La correzione si determina conoscendo:

∆NBCtRF =L

βc− t(0)

cl (2.8)

dove L e la lunghezza del cammino percorso dalla particella a cui e associato il clu-ster selezionato, e β e la sua velocita.

Per questa analisi si e determinato il t0 dell’evento usando la coppia di π+π− pro-veniente dal decadimento del KS . Nell’estrapolazione di ogni traccia si consideranosolo cluster con d⊥TCA < 30 cm e con E > 100 MeV. Se c’e piu di un candidato, siusa il cluster piu vicino alla traccia, cioe quello con d⊥TCA piu piccolo.

Una volta che un cluster e stato con successo associato ad una traccia, il t0dell’evento viene stimato dalla differenza tra il tempo di volo misurato e quellopredetto a partire dalla distanza percorsa e dall’impulso misurato :

∆TOF = tcl −[

LKS

βKSc

+Lπ

βπc+ δtint

], (2.9)

38 CAPITOLO 2. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

dove LKSe la distanza tra il vertice del KS e il vertice della φ misurato per l’even-

to, (xφ), βKSe calcolato dal valore dell’impulso, Lπ si riferisce all’intera distanza

percorsa dal pione, includendo l’estrapolazione all’indietro verso il vertice del KS equella in avanti verso il calorimetro; δtint e un parametro dell’ordine di 400 ps chetiene conto della media residua tra il tempo di impatto sul calorimetro e il tempodel centroide del cluster.

Calcolato il tempo del trigger, NBCtRF ≡ ttrig :

ttrig ≡ Texpected + ∆tcal − t(0)cl = ∆tcal −∆TOF, (2.10)

dove ∆tcal e il tempo del ritardo associato alla lettura del segnale del calorimetro(nominato anche ”Delta Cavi Calo”); il t0 dell’evento (t0,evt ≡ δc − NBCtRF ) enoto una volta sottratto ∆tcal.

Una volta che si e ottenuta una buona stima del t0 dell’evento, tutti i rimanentitempi dei cluster sono di conseguenza ricorretti.

2.3.2 Dipendenza dell’efficienza di tag dal LK

Gli eventi KL → π0π0π0 sono segnalati dagli eventi KS → π+π− che soddisfanole richieste descritte nella sezione 2.3. L’efficienza di tag e valutata da simulazioniMonte Carlo come una funzione di LK (posizione del vertice di decadimento del KL)per i canali dominanti del decadimento del KL. Per un KL che decade in un datocanale a un dato LK l’efficienza di tag e definita come:

ε(tag, KL → i, LK) =N(tag, KL → i, LK)

N(KL → i, LK)(2.11)

dove N(tag, KL → i, LK) sono il numero di eventi di un certo canale di decadimentodel KL riconosciuti dal tag, mentre N(KL → i, LK) sono il numero di eventi totalidi un certo canale di decadimento. Nella figura 2.13 sono mostrati i risultati. Ladifferenza tra le efficienze di tag per i diversi canali di decadimento e causata dalladipendenza dell’efficienza del trigger dal tipo di decadimento del KL [20]. Per questaanalisi, e stato usato solo il trigger del calorimetro [21], che richiede due depositi dienergia sopra una certa soglia (Sez. 2.2.4).L’efficienza del trigger e in media del 100 % per i decadimenti KL → π0π0π0 e intornoal 85− 95% per i decadimenti carichi del KL. L’efficienza di trigger dipende inoltredalla posizione del vertice di KL, poiche la soglia di trigger dipende dalla posizionedei cluster. Un’altro contributo e dovuto al fatto che l’efficienza di ricostruzionedelle tracce dei pioni del decadimento KS → π−π+ dipende dalla presenza di altretracce nella camera a deriva. Anche questo contributo dipende dalla posizione delpunto di decadimento del KL e influenza maggiormente gli eventi dove il KL decadein particelle cariche vicino al punto di interazione.

Come si vede in Figura 2.13, l’efficienza di tag per il canale KL → π0π0π0

ha una dipendenza lineare da LK con una pendenza compatibile con zero, b =(2.7± 0.5)× 10−5/cm, e un valore iniziale a = (70.41± 0.05)%.

2.3.3 Il volume fiduciale

Il volume fiduciale, FV, scelto per questa analisi e compreso entro la camera a deriva,ed e definito da un 35 < rxy ≡

√x2 + y2 < 150 cm e | z |< 120 cm, dove (x, y, z) e

2.4. SIMULAZIONE MONTE CARLO DEL RIVELATORE 39

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250KL decay length KINE

ε tag

π+ π- π0

71.38 / 69P1 0.7041 0.5294E-03P2 0.2796E-04 0.5165E-05

π0 π0 π0

Ke3

Kµ3

Figura 2.13: Efficienza del tag in funzione di LK per i maggiori canali di decadimentodel KL

la terna delle coordinate della posizione del vertice di decadimento del KL. Poichela lunghezza di decadimento media del KL in KLOE e 340 cm, il volume fiducialecontiene ∼ 26, 1% dei KL decaduti. Questa scelta minimizza le differenze di tag trai modi di decadimento.

2.4 Simulazione Monte Carlo del rivelatore

Il programma di simulazione montecarlo di KLOE, GEANFI, e basato su librerieGEANT 3.21 [24] , [25] spesso usate per esperimenti di fisica di alte energie odi astrofisica. GEANFI incorpora, inoltre, un’accurata descrizione del rivelatoreKLOE, che include:

• la regione di interazione: la linea dei fasci, i quadrupoli a basso β;

• la camera a deriva;

• il calorimetro del barrel e degli endcap;

• il campo magnetico.

Inoltre sono stati sviluppati dei set specializzati di routine per simulare la rispostadi ogni sottorivelatore, iniziando dalle quantita di base ottenute dalle routine ditracciamento delle particelle e di associazione dell’energia depositata.Le interazioni adroniche sono simulate tramite il generatore di sciami adronici GHEI-SHA. L’introduzione di un simulatore dedicato e stata necessaria poiche il pacchettodedicato agli sciami adronici nelle librerie GEANT3, FLUKA, non produce le in-terazioni adroniche nel range di energia di interesse per KLOE. Le sezioni d’urtoadroniche per i kaoni a basse energie e soprattutto per i processi di rigenerazio-ne KL → KS e KS → KL sono state modificate rispetto alla libreria originaleGHEISHA e sono state incluse nel codice GEANFILASTDB.

Capitolo 3

Le condizioni della raccolta dati

3.1 Il campione di dati e di Monte Carlo

Per la presente analisi si sono usati tutti i dati raccolti da KLOE durante l’anno2005 che soddisfacevano i criteri di data-quality descritti qui di seguito. Questo setdi dati corrisponde ad una luminosita integrata di ∼ 1.26 fb−1.Un’ ora di presa dati (∼ 200 nb−1) corrisponde ad un run. I run vengono in primoluogo suddivisi in gruppi con un valore di

√s simile. Quando e trovato un run

isolato con un valore di√

s molto differente dagli altri membri del gruppo questoviene rigettato.

Per ogni gruppo di run sono applicati dei tagli sulla luminosita integrata; solo igruppi con piu di circa 200 nb−1 sono tenuti. Ogni run di dati raccolto e simulatocon il Monte Carlo standard di KLOE con una procedura di produzione ben definita.

Ad ogni gruppo di run sono anche imposte un set di richieste sulla cinematicadel sistema e+ e− nello stato iniziale: utilizzando gli eventi di scattering Bhabharun per run, si richiede che la media delle componenti y e z dell’impulso totale dellaφ deve soddisfare | pφ

y,z |< 3 MeV; la media totale dell’energia del centro di massadeve soddisfare | √s−1020 |< 5 MeV; la posizione media del punto di incrocio devesoddisfare | x |< 3 cm, | y |< 3 cm , | z |< 5 cm; e lo spread della regione di incrociodei fasci deve soddisfare σx < 3 cm e σz < 3 cm . Tutti questi valori sono ricavaticome una deviazione standard da un fit Gaussiano.

Ogni run usato in questa analisi e stato simulato con il simulatore Monte CarloGEANFI (Sec. 2.4); nella simulazione, run per run, al Monte Carlo vengono passatitutti i parametri della macchina rilevanti come

√s e pφ. Il numero di eventi simulati

per ogni run sono quelli attesi sulla base della luminosita del run.

Per questa analisi viene usato un set Monte Carlo che simula i decadimenti delmesone φ in accordo con le sue naturali frazioni di decadimento. Nella simulazionesono anche incluse la possibile emissione di radiazione nello stato finale e iniziale.Questo set di eventi MC provvede sia al campione di segnale che a quello di fondoper questa analisi.

41

42 CAPITOLO 3. LE CONDIZIONI DELLA RACCOLTA DATI

Figura 3.1: Valore della√

s vs i numeri dei run del 2005.

I run di presa dati del 2005 sono suddivisi in 10 periodi [26]. Questa suddi-visione e resa necessaria dai continui cambiamenti delle condizioni della macchinaacceleratrice, e quindi della

√s, durante l’intero arco dell’anno. Il valore della

√s

fluttua dello 0, 06% intorno ad un valore nominale durante i diversi periodi di presadati ; e per questo che i dati del 2005 sono stati divisi in 10 miniperiodi, costituitida run contigui con un valore piuttosto stabile di

√s intorno al valore nominale di√

s = Mφ = 1019.4 MeV. In figura 3.1 sono mostrate le formazioni dei periodi del2005.

La misura di vita media finale e stata calcolata considerando il campione di daticollezionati nel 2005 completo, quindi sommando su tutti i periodi, dopo tutte leselezioni descritte nei capitoli seguenti.

Capitolo 4

Analisi dei dati

4.1 Metodo di misura: ”Il vertice neutro”

Si e misurata la vita media del KL usando il modo di decadimento completamenteneutro: KL → π0π0π0. Questa scelta e motivata dal fatto che si vuole massimizzareil numero di eventi campione per ridurre l’errore statistico e simultaneamente evitarequalsiasi tipo di sovrapposizione tra gli eventi selezionati e quelli di KS → π+π−

minimizzando in tal modo anche le incertezze sistematiche.Per questa analisi si e usato un campione di circa 1 fb−1 di dati presi durante

il 2005. I run di presa dati del 2005 sono suddivisi in 10 periodi come descritto nelcapitolo 3.

Il mesone φ decade in una coppia KS-KL circa il 34% delle volte. La produzionedi un KL e segnalata dall’osservazione del decadimento KS → π+π− (vedi sezione2.3). Il vertice del decadimento KL → π0π0π0 e ricostruito lungo la direzione oppostaa quella del KS nel sistema a riposo della φ. Le informazioni provenienti dalla DCservono per tracciare il decadimento KS → π+π− e trovare la direzione di volo delKL; il vertice di decadimento del KL e l’energia dei fotoni sono invece ottenuti dalleinformazioni del EmC. Gli eventi di KS devono soddisfare le seguenti condizioni:

1. Devono essere ricostruite due tracce con carica opposta, compatibili con unvertice V entro un cilindro con rV < 10 cm e | zV |< 20 cm e non ci devonoessere altre tracce connesse con il vertice.

2. L’impulso del KS nel sistema di quiete della φ deve soddisfare la condizione100 < pKS

< 120 MeV/c; in piu la massa invariante dei due pioni π+π−,M(ππ), deve soddisfare la condizione 492 < M(ππ) < 503 MeV/c2.

L’efficienza di trovare eventi KS → π+π− che soddisfano questi tagli e ε ∼ 68%.Inoltre ad almeno una delle due tracce deve essere stato associato un cluster nelcalorimetro per poter stabilire il tempo di start dell’evento t0 (vedi sezione 2.3.1), etale cluster deve avere un energia E ≥ 100 MeV.Per gli eventi KS → π+π− il t0 e ricostruito usando il tempo di arrivo del π sulcalorimetro (t), la lunghezza della traccia del pione (L) ricostruita dalla DC, e lasua velocita βγ = p/Mπ. A sinistra in Figura 4.1, e mostrata la distribuzione dit − L/βc di uno dei due pioni del KS prima della correzione in t0: e chiaramentevisibile la struttura cadenzata ogni due incroci dei fasci con un periodo di T = 5.43

43

44 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.1: A sinistra: t−L/βc per uno dei due pioni del KS prima della correzione int0. A destra: Tγ−LK/βc−Lγ/c di un fotone dell’evento KL → π+π−π0 dopo la cor-rezione in t0: i due picchi laterali centrati a ±5.43 ns danno un idea della percentualedegli eventi non correttamente associati all’incrocio dei fasci corrispondente.

ns. Il t0 e usato per correggere tutti i tempi di arrivo delle particelle misuratidal calorimetro. L’accuratezza di questa procedura e controllata utilizzando eventicampione di tipo KL → π+π−π0.

In caso di corretta identificazione dell’evento rispetto all’incrocio dei fasci laseguente equazione deve essere valida:

tclu =LK

βc+

c(4.1)

dove tγ e il tempo di arrivo di uno dei due fotoni del π0 sul calorimetro, LK e β sonola lunghezza di decadimento e la velocita del KL, Lγ la lunghezza del percorso delfotone e c la velocita della luce. LK e calcolata a partire dalla posizione del verticericostruito dai due pioni carichi, e Lγ e ricostuito a partire dalla posizione del verticecarico del KL e il centroide del cluster. La distribuzione (tclu − LK/βc − Lγ/c) emostrata a destra nella Figura 4.1.

In caso di corretta associazione dell’evento con l’incrocio dei fasci corrispondente,questa distribuzione deve avere un picco a zero, mentre in caso di identificazioneerrata la distribuzione raggiungera valori multipli del periodo di incrocio dei fasci,come si vede nella Figura 4.1 di destra, questo secondo caso capita meno del 0.1 %delle volte.

L’impulso del KL , pKL= pφ − pKS

, (vedi anche Sez. 2.3) e misurato dal-l’impulso del KS (misurato a sua volta dalle tracce dei due pioni π+π− evento perevento) e dall’impulso della φ (misurato con eventi Bhabha run per run). La pre-cisione nella determinazione della direzione di volo del KL e determinata tramitegli eventi KL → π+π−π0 misurando l’angolo tra pKL

e la linea che congiunge ilpunto di produzione della φ e il vertice di decadimento del KL con una risoluzioneangolare σφ = 1.5 ◦, σθ = 1.8 ◦.

4.1. METODO DI MISURA: ”IL VERTICE NEUTRO” 45

Figura 4.2: Il triangolo del tempo di volo

La piu rilevante caratteristica del decadimento ”neutro” del KL, KL → π0π0π0,e quella di avere un grande numero di fotoni , ben sei. Per minimizzare gli effettidovuti all’efficienza di ricostruzione dei cluster e alle correzioni di accettanza nelvolume fiduciale, si selezionano gli eventi di KL con un numero di cluster N ≥ 3sul calorimetro non associati a tracce. In piu per rigettare i fotoni di bassa ener-gia, che derivano soprattutto dal fondo macchina, si richiede che i cluster abbianoenergia E ≥ Ethr, con Ethr = 20 MeV. Con queste richieste l’efficienza del segna-le da Montecarlo e ∼ (99.2 ± 0.1)%. Per ridurre la contaminazione degli eventiKS → π0π0 che vengono dalla rigenerazione dei KL → KS nella parete interna e neipiani esterni della camera a deriva, si selezionano inoltre i KL con un angolo polarerispetto all’asse del fascio entro 40 ◦< θL < 140 ◦. La φ decade in KL e KS con unadistribuzione angolare che va come dN/d(cos θ) ∝ sin2 θ, data questa distribuzione,la frazione dei KL entro questa regione e ∼ 92.5%.

I tempi di arrivo e le posizioni dei cluster generati da ogni singolo fotone dannouna determinazione indipendente del ”vertice neutro” del KL. Per ogni fotone sidefinisce un triangolo del tempo di volo [27] (Figura 4.2) : il primo lato e il segmentoche unisce il punto di interazione con il vertice di decadimento del KL (LK); ilsecondo e il segmento tra il vertice di decadimento del KL e il centroide del clusterdel calorimetro (Lγ); e il terzo e il segmento tra il punto di interazione e il centroidedel cluster (L).La direzione di LK e conosciuta tramite il KL tag (confronta Sez. 2.3). La distanzaLK risulta quindi determinata risolvendo l’equazione :

{L2 + L2

K − 2LLKcosθ = L2γ

LK

β+ Lγ = ctclu

dove tclu e il tempo del cluster e β e la velocita del KL.Ogni fotone determina LK con una duplice ambiguita, solo una delle due soluzionie quella geometricamente corretta.La miglior stima di LK e la media pesata in energia del cluster i-esimo dei due piu

46 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

vicini LKi, se non sono piu lontani di 5σ l’uno dall’altro:

〈LK〉 =

∑i=1,2(Ei × LKi)∑

i=1,2 Ei

. (4.2)

L’equazione (4.2) deriva dal fatto che la risoluzione di LK come funzione dell’energiadel cluster va come σ(E) ∼ a/

√E (vedi Sezione 2.2.2 Eq. (2.2) ).

L’evento e selezionato solo se c’e almeno un terzo fotone che ha un LK entro 5 ·σrispetto alla media pesata dei due valori piu vicini fino a quel momento trovati.

4.2 Analisi del campione di controllo KL → π+π−π0

Gli eventi KL → π+π−π0 sono un buon campione di controllo perche la cinematica diquesto canale e la stessa del canale neutro KL → π0π0π0 se si trascura la differenzadi massa tra i pioni carichi e neutri. Inoltre in questi eventi la posizione del verticedel KL e ricostruita dalle tracce della coppia π+π−, per questo e possibile calcolare:

• la scala dei tempi del calorimetro;

• la risoluzione sulla direzione di volo del KL;

• la risoluzione del vertice di singolo fotone;

• la variazione dell’efficienza di ricostruzione del vertice in funzione della lun-ghezza di decadimento.

4.2.1 Qualita di ricostruzione del vertice di singolo fotone

Il confronto tra la posizione del vertice carico (ricostruito a partire dalle tracce dellacoppia π+π− ) e del vertice neutro ( ricostruito a partire dalle misure del tempodi arrivo dei fotoni ) nei decadimenti KL → π+π−π0 e stato usato per studiare laqualita di ricostruzione del vertice di singolo fotone; in particolare si ottengono:

• delle correzioni sulla scala dei tempi di ogni singolo fotone, che servono acalibrare le misure di lunghezze di decadimento del KL;

• la risoluzione con cui la lunghezza di decadimento e stata ricostruita.

Poiche la vita media del KL e determinata a partire dalla distribuzione della lun-ghezza di decadimento, queste correzioni sono essenziali per il livello di accuratezzadella misura di τ(KL).

Selezione degli eventi KL → π+π−π0

La selezione degli eventi KL → π+π−π0 e eseguita senza l’applicazione di alcuntaglio relativo alla posizione del vertice al fine di evitare possibili distorsioni nelladeterminazione delle quantita relative ad essa. Il primo passo e quello di selezionaregli eventi con un vertice di decadimento del KL ricostruito estrapolando all’indietrodue tracce cariche. Il momento mancante per ogni evento e dato dalla relazione

pmiss = pKL− ptrk1

− ptrk2(4.3)

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 47

dove pKLe l’impulso del KL (vedi Sez. 2.3), e ptrk1

e ptrk2sono gli impulsi delle

tracce positive e negative associate alla linea di volo del KL. L’energia mancante edata dall’espressione:

Emiss = EKL− Eπ+ − Eπ− (4.4)

dove EKLe l’energia del KL calcolata dal pKL

, e Eπ+ e Eπ− sono le energie calcolatedalle tracce assegnando ad ognuna la massa del pione. Usando le equazioni (4.3) e(4.4) otteniamo il valore della massa mancante:

M2miss = E2

miss− | pmiss |2 (4.5)

quindi selezioniamo gli eventi KL → π+π−π0 applicando il taglio :

| Mmiss −Mπ0 |< 4MeV,

che corrisponde a circa due deviazioni standard in distribuzione della massa inva-riante. Il campione usato per la determinazione dell’efficienza di singolo fotone, ealla fine selezionato richiedendo un cluster di fotone taggante che abbia un verticeneutro entro 5σ dal vertice ricostruito con le tracce.

Calibrazione spaziale e risoluzione

Per ogni evento e calcolata la distanza tra il vertice carico e il vertice di singolofotone:

∆R ≡ LKL−Rγi

(4.6)

dove LKLe la lunghezza di decadimento del KL calcolato a partire dalle tracce della

coppia π+π− e Rγie la distanza tra il vertice neutro calcolato dall’i-esimo fotone e

il punto di decadimento della φ.A sinistra in Figura 4.3 e mostrato il valor medio di ∆R in funzione di LKL

. Perquesta calibrazione si usa la posizione del vertice carico sia per avere una misuraindipendente dal tempo che e oggetto della calibrazione, sia per beneficiare della finerisoluzione spaziale della camera a deriva. Dalla figura risulta chiaro che il valoremedio del ∆R non e nullo come ci si aspetterebbe. Per verificare la causa di taleandamento si vanno a confrontare i tempi del calorimetro che determinano il valoredi Rγi

con i tempi attesi valutati dalla cinematica del decadimento del campione dicontrollo.

Calibrazione della scala dei tempi del calorimetro

Per studiare la risoluzione spaziale della ricostruzione del vertice di singolo fotone,come si e visto in precedenza, e necessario calibrare la scala dei tempi del calorimetro.Il tempo aspettato per ogni cluster si ottiene dalle informazioni del vertice caricocome:

texp γi= Lγi

/c + LKL/βKL

c (4.7)

dove i = 1, 2 e l’indice del cluster, Lγirappresenta la distanza dal vertice carico e

il centroide del cluster. Per calibrare la scala dei tempi per ogni fotone si calcola il∆tγi

: la differenza tra il tempo del cluster misurato e aspettato:

∆tγi= tcl γi

− texp γi(4.8)

48 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.3: A sinistra: valor medio di ∆R, distanza tra il vertice carico e il verticedi singolo fotone in funzione del di LKL

nel piano trasverso calcolata dal verticecarico, per eventi KL → π+π−π0 nel barrel. I punti rappresentano bin di 10 cm inLKL

. Per ogni punto, il valor medio di ∆R e ottenuto da un fit Gaussiano delladistribuzione del ∆R. A destra : valor medio di ∆tγ, la differenza tra il tempo delcluster misurato e quello atteso per fotoni dal decadimento KL → π+π−π0. I puntirappresentano bin di 10 cm in LKL

. Per ogni punto, il valor medio di ∆tγ e ottenutoda un fit Gaussiano della distribuzione.

La distribuzione del ∆tγiin funzione della lunghezza di decadimento del KL nel piano

trasverso e mostrata a destra in Figura 4.3. Anche in questo caso la distribuzionenon e piatta e risulta distante dallo zero. Per ridurre il disaccordo tra il tempomisurato dal calorimetro e quello atteso dalla cinematica si fa uno studio accuratosul percorso del fotone e sulla propagazione dello sciame generato nel calorimetro.Il texp γi

presuppone che il fotone viaggi lungo tutta Lγ sempre con velocita c, inrealta questo e vero solo fino al punto di impatto del fotone sul calorimetro (apex ),dall’apex fino al centroide del cluster il fotone viaggia ad una velocita βcalo

γ , chedipende dalla depth (profondita che il fotone raggiunge all’interno di un modulodel calorimetro prima di originare lo sciame elettromagnetico). L’apex e definitodall’intersezione della direzione di volo del fotone con il piano che contiene i modulidel calorimetro che racchiudono il cluster ; l’apex e calcolato nei due casi utilizzandoil vertice carico e il vertice neutro per ogni zona del calorimetro (per il barrel, per idue endcap e per la regione di overlap). La depth e calcolata come la distanza tral’apex e il centroide del cluster. Quindi il tempo atteso fino all’apex risulta essere:

texp apex = LKL/βKL

c + Lγapex/c, (4.9)

con Lγapex la distanza che percorre il fotone fino al punto di impatto sul calorimetro.

Per migliorare la risoluzione in tempo e necessario correggere il tclu con unafunzione che parametrizzi il tempo impiegato dallo sciame a percorrere la depth.Per ogni periodo e per ogni zona del calorimetro (Ba, EC, Ov) si e quindi calcolatala distribuzione della differenza tra il tempo di arrivo del cluster sul calorimetro e

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 49

Figura 4.4: Distribuzione del ∆t in funzione della depth prima e dopo la correzionelineare, rispettivamente per barrel ed endcap, con tutta la statistica.

il tempo di volo atteso fino all’apex in funzione della depth, δ:

∆t(0) = tclu − texp apex (4.10)

tale distribuzione del tdepth, e parametrizzabile con una retta, P (1)+P (2)×δ. Questolasso di tempo, che dipende dall’energia del fotone, e dell’ordine di 100 ps, cioe dellostesso ordine della risoluzione temporale del calorimetro (∼ 200 ps). I parametriP (1) e P (2) sono ottenuti per ogni periodo, e sono trattati separatamente nei casiin cui il fotone raggiunge il barrel o gli endcap.

In fine si sottrae al tempo misurato dal calorimetro, tclu il tdepth calcolato in ogniregione (Ba, Ec):

t(1)clu corr = tclu − δ × P (2)− P (1) (4.11)

con δ si indica la depth calcolata a partire dal vertice neutro. E da notare che neidecadimenti neutri non si conosce a priori il valore di δ perche non si conosce conprecisione il punto di impatto del fotone sul calorimetro. Per questo il valore delladepth neutra e stato calcolato con una procedura iterativa:

• il vertice neutro e calcolato senza alcuna correzione dal tempo del cluster, e δe valutata a partire da questo vertice;

• un nuovo vertice neutro e calcolato applicando la correzione lineare al tempodel cluster ed a partire dal nuovo vertice neutro si ricalcola la nuova depthneutra e cosı via.

Tre iterazioni di questa procedura sono abbastanza per riprodurre il valore di δottenuto dal vertice carico.

Come si vede in Figura 4.4, la correzione lineare corregge la distribuzione. Unavolta corretto il tempo del cluster per il tempo che il fotone impiega ad attraversarela depth, si calcola un nuovo ∆t(1) al primo ordine nelle correzioni in tempo:

∆t(1) = tclu − texp lin, (4.12)

50 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.5: A Sinistra: distribuzione del ∆t in funzione di LKLprima e dopo la

correzione lineare. A Destra: distribuzione del ∆t(2) in funzione del tempo del clusterraw per l’ottavo periodo. Il fit di questa distribuzione e dato da un polinomio disecondo grado fino circa 70 ns e cubico per tempi piu alti.

con texp lin pari a :

texp lin =LKL

βKLc

+Lγapex

c+ δch × P (2) + P (1). (4.13)

Da notare che in questa espressione δch e quella ’vera’ cioe calcolata dal verticecarico.

Graficando l’andamento di ∆t(1) in funzione di LKLsi vede subito che questa

correzione non basta, l’andamento infatti risulta, dopo questa correzione, traslatoverso lo zero ma la forma ha ancora delle variazioni significative da zero (a sinistraFigura 4.5). Questo comportamento potrebbe essere dovuto da una miscalibrazionedei conteggi di TDC a cui si e sensibili dato il livello cosı accurato di misura (confron-ta Eq. (2.3)). Per correggere tale miscalibrazione del TDC e necessario correggereil tempo del cluter al suo livello raw, cioe prima delle correzioni del t0 del trigger(si veda la Sez. 2.3.1 ). Si vuole cioe trovare una forma funzionale che riproduca ledeviazioni dal tempo atteso del tipo: f(tclu corr + t0). Quindi si parametrizzano lecorrezioni in tempo al secondo ordine graficando ∆t(2), definito come :

∆t(2) = texp apex − tclu corr, (4.14)

in funzione del tempo del cluster raw : tclu corr + t0. Per ogni periodo abbiamoun andamento riproducibile tramite una funzione quadratica, per valori bassi deltclu corr + t0, e una funzione cubica per tempi piu alti. A destra in Figura 4.5 eriportato l’esempio del periodo numero otto. Calcolati per tutti i periodi, tutti iparametri necessari a parametrizzare tale miscalibrazione dei conteggi di TDC, iltempo del cluster verra quindi nuovamente corretto con una funzione a livello raw,f(t∅) con t∅ = tclu + t0 , che dovrebbe correggere le distorsioni tra i tempi dei fotonimisurati e quelli attesi :

t(2)clu corr = t

(1)clu corr + f(t∅). (4.15)

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 51

Lo stesso tipo di calibrazione dei tempi e stata applicata al campione Monte Carlo.Anche i dati Monte Carlo mostrano distorsioni dovute alla mancata correzione delladepth, anche in questo caso si corregge il tempo del cluster con la correzione linearedovuta alla depth (anche in questo caso una per ogni periodo). Non e stato necessarioinvece correggere il tempo del cluster con la miscalibrazione del TDC poice nonsembra avere rilevanza per il campione Monte Carlo in esame.

4.2.2 Risoluzione del vertice di singolo fotone

Una volta calcolati tutti i parametri necessari a parametrizzare la non perfetta ca-librazione dei tempi raw, si va a calcolare il nuovo vertice neutro con entrambele correzioni fino ad ora trovate: R(1) , R(2). Le distribuzioni dei nuovi ∆R cosıcalcolati:

∆R(0) ≡ LKL−Rγi

∆R(1) ≡ LKL−R

(1)γi

∆R(2) ≡ LKL−R

(2)γi

sono mostrate in Figura 4.6 per ogni zona del calorimetro in funzione del raggiotrasverso, RT , cioe della lunghezza di decadimento del KL proiettata nel pianotrasverso a quello di incrocio dei fasci. Come si nota entrambe le due correzionispostano la distribuzione verso lo zero ma la forma rimane non piatta soprattutto peralti RT . Si terra conto di questa distorsione residua nello studio delle sistematiche.

Per quanto riguarda il campione Monte Carlo le distribuzioni in ∆R sono mostra-te in Figura 4.7; nel caso del Monte Carlo la distribuzione originaria senza nessunacorrezione presenta un’andamento piuttosto piatto con solo uno shift dallo zero,dopo la correzione lineare l’andamento del ∆R di tutta la statistica, Figura 4.7 d,risulta essenzialmente piatto intorno al valore nullo.

Il campione di controllo KL → π+π−π0 e stato anche usato per dare una stimadella risoluzione spaziale della ricostruzione del vertice di singolo fotone in funzionedell’energia misurata, Eclu. Per cluster da fotoni con energia E > 50 MeV larisoluzione spaziale della ricostruzione del vertice di singolo fotone e meglio del2.5% . Per valutare la risoluzione spaziale da usare con gli eventi KL → π0π0π0, sie parametrizzata la σ mostrata in figura con una funzione empirica:

σRγi=

(σ2

1 +σ2

2

E3/2cl γi

)1/2

, (4.16)

dove σ1 e σ2 sono i parametri liberi ottenuti dal fit separatamente per ogni periodo.La distribuzione del ∆R in funzione Eclu e la sua σ, sono mostrati in Figura 4.8per i dati e in Figura 4.9 per il Monte Carlo. Come si nota dalla Figura 4.8 il fitdella σ per i dati per alti valori di energia non segue perfettamente l’andamento deipunti, questa distorsione probabilmente e dovuta alla cattiva risoluzione spaziale delfotone di bassa energia associato a quello molto energetico.

52 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.6: Per i dati. a): distribuzione del ∆R in funzione di RT per l’endcap disinistra con tutta la statistica, in nero senza correzioni, in rosso con la correzionelineare e in blu con la correzione della miscalibrazione del TDC. b): distribuzione del∆R in funzione di RT per il barrel con tutta la statistica, in nero senza correzioni,in rosso con la correzione lineare e in blu con la correzione della miscalibrazione delTDC. c): distribuzione del ∆R in funzione di RT per l’endcap di destra con tuttala statistica, in nero senza correzioni, in rosso con la correzione lineare e in blu conla correzione della miscalibrazione del TDC. d): distribuzione del ∆R in funzionedi RT per tutto il 2005 e tutto il calorimetro, in nero senza correzioni, in rosso conla correzione lineare e in blu con la correzione della miscalibrazione del TDC.

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 53

Figura 4.7: Per il Monte Carlo. a): distribuzione del ∆R in funzione di RT perl’endcap di sinistra con tutta la statistica, in nero senza correzioni, in rosso con lacorrezione lineare . b): distribuzione del ∆R in funzione di RT per il barrel contutta la statistica, in nero senza correzioni, in rosso con la correzione lineare. c):distribuzione del ∆R in funzione di RT per l’endcap di destra con tutta la statistica,in nero senza correzioni, in rosso con la correzione lineare . d): distribuzione del ∆Rin funzione di RT per tutto il 2005 e di tutto il calorimetro, in nero senza correzioni,in rosso con la correzione lineare.

54 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.8: Sopra: la distribuzione del ∆R in funzione di Eclu del fotone misuratonel decadimento KL → π+π−π0 per il campione di dati acquisiti nel 2005. Sotto:la risoluzione spaziale del vertice di singolo fotone in funzione dell’energia. I puntirappresentano i valori ottenuti dalla deviazione standard dal fit Gaussiano delladistribuzione in ∆R con bin di circa 7 MeV della energia del fotone. Il fit e statocalcolato con la funzione dell’Eq. (4.16).

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 55

Figura 4.9: Sopra: la distribuzione del ∆R in funzione di Eclu del fotone misuratonel decadimento KL → π+π−π0 per il campione Monte Carlo del 2005. Sotto: larisoluzione spaziale del vertice di singolo fotone in funzione dell’energia. I puntirappresentano i valori ottenuti dalla deviazione standard dal fit Gaussiano delladistribuzione in ∆R con bin di circa 7 MeV della energia del fotone. Il fit e statocalcolato con la funzione dell’Eq. (4.16).

56 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

4.2.3 Efficienza di ricostruzione del vertice di decadimentodel KL

Dopo la calibrazione della posizione del vertice di singolo fotone per i dati e peril Monte Carlo, e dopo la determinazione della risoluzione spaziale come funzionedell’energia del fotone misurata, si e determinata l’efficienza di ricostruzione delvertice di singolo fotone. Per quest’analisi nuovamente si e usato il campione dieventi KL → π+π−π0 selezionati usando i criteri della sezione 4.2.1.L’efficienza di ricostruzione del vertice di singolo fotone e determinata dal rapportotra il numero di eventi KL → π+π−π0 nei quali entrambi i fotoni del decadimentodel π0 → γγ sono rilevati, e il numero di eventi nei quali almeno un fotone e statorilevato:

εγ =Nγ rec

Nγ tag

(4.17)

dove appunto Nγ tag e il numero di eventi nei quali almeno un fotone e rilevato(questo fotone verra chiamato taggante, γtag), e Nγ rec e il numero di eventi nei qualianche il secondo fotone (γrec) e rivelato. L’algoritmo si divide in due fasi:

1. usando il l’impulso misurato del γtag e i vincoli cinematici del decadimento delπ0 → γγ si ricostruisce l’impulso aspettato del secondo fotone γexp;

2. si cerca il secondo fotone γrec e se si trova si accerta che il suo impulso siacompatibile con quello del γexp.

Per prima cosa si ricerca il fotone taggante. Si selezionano solo gli eventi nei qualic’e almeno un cluster dal quale si e ricostruito un vertice di singolo fotone con∆R ≡ LKL

−Rγ entro una finestra di 5σR da LKL(posizione del vertice carico), dove

si e usata l’equazione (4.16) per la valutazone di σR. Questa procedura e iterataconsiderando a turno tutti i fotoni ricostruiti come γtag. Usando la posizione delvertice carico e la posizione del cluster del γtag, si determina il versore dell’impulsodel fotone taggante, ωωωγ tag . Noto l’impulso del KL e delle tracce dei due pionicarichi, si calcola il momento e l’energia mancante, e assumendo che il fotone derividal decadimento del π0, si ottiene l’energia per il fotone taggante come:

Eγtag =mπ0

2

2(Emiss − pmiss ·ωωωγ tag)(4.18)

Per queste quantita, si costruisce il vettore dell’impulso e dell’energia del γexp:

ωωωγ exp =pmiss − Eγtag ·ωωωγ tag

Emiss − Eγtag

(4.19)

eEγexp = Emiss − Eγtag. (4.20)

Si selezionano solo gli eventi nei quali la direzione del fotone aspettato non intersecala linea dei fasci, e si estrapola questa direzione per ottenere il punto di impatto delfotone sul calorimetro. Si divide il calorimetro in tre regioni differenti per individuarein quale zona del calorimetro ci si aspetta di trovare il γexp:

• il barrel, rxy < 200 cm e | z |< 150 cm;

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 57

• gli endcap, 25 cm < rxy < 175 cm e z > 170 cm oppure z < −170 cm;

• la zona di sovrapposizione del barrel con gli endcaps, rxy > 200 cm e | z |> 150cm, oppure rxy > 175 cm e | z |> 170 cm.

Se si individua un cluster candidato ad essere il cluster corrispondente al fotoneaspettato, γrec, si applicano i seguenti criteri per assicurare la compatibilita conγexp: la posizione del corrispondente vertice di singolo fotone deve soddisfare:

∆R ≡| Rγtag −Rγrec |< 5σR, (4.21)

dove σR e valutata come la somma in quadratura dei valori della formula (4.16) perγtag e γrec. Usando la posizione del cluster corrispondente a γrec e la posizione delvertice carico si ottiene il versore che descrive l’impulso del γrec, ωωωγ rec e si valutal’angolo tra l’impulso del γexp e γrec come:

cosϑrec exp = ωωωγrec ·ωωωγexp. (4.22)

Al fine di evitare l’incorretta assegnazione dei cluster generati da particelle cari-che a γrec, si usa la seguente procedura. Prima di tutto si estrapolano sul ca-lorimetro le tracce ricostruite dal decadimento KS → π+π− e dal decadimentoKL → π+π−π0, e si ottiene il corrispettivo punto di impatto. Un cluster asso-ciato ad una traccia carica e erroneamente associato ad un γrec se il coseno del-l’angolo tra l’impulso del γrec e l’impuso di una qualsiasi delle suddette tracce emaggiore di 0.6 (cosϑrec ch > 0.6, ϑrec ch < 53◦) per i dati ed e maggiore di 0.65(cosϑrec ch > 0.65, ϑrec ch < 49◦) per il Monte Carlo. Quest’ultimo taglio e unpo piu severo, perche la risoluzione che si ottiene negli eventi Monte Carlo e migliore.

L’efficienza di ricostruzione del vertice di singolo fotone e stata calcolata con duediversi approcci.

• Nel primo approccio, per contare il fotone come trovato ai fini del calcolo del-l’efficienza, (al numeratore dell’equazione (4.17)), si richiede la compatibilitadel vertice neutro (Eq. (4.21)) tra γtag e γrec e che il cluster non sia associato atracce cariche; inoltre e necessario che il cluster sia trovato nella stessa regionein cui ci si aspetta che sia. Al denominatore dell’equazione (4.17), si contanoinvece tutti i cluster non associati a tracce cariche, ricostruiti nella regione delbarrel degli endcap o nella regione di sovrapposizione.

• Nel secondo approccio, per la normalizzazione si contano tutti i cluster rico-struiti nel calorimetro, mentre per i cluster da considerare nel conteggio delnumeratore dell’equazione (4.17) si richiede la sola compatibilita del verticeneutro tra il γexp e il γrec . In realta a tale numero, successivamente, si ag-giungono quei cluster erroneamente associati a tracce cariche. Essi vengonorecuperati richiedendo: una compatibilita entro 5σ dal vertice carico, una com-patibilita angolare tale che cosϑrec exp > 0.95 sia per i dati sia per il MonteCarlo, ed inoltre si aggiunge un taglio sulla variabile | δtof |< 2. Tale variabilerappresenta la differenza in tempo tra il tempo del cluster e il tempo di volo

delle particelle che sono prodotte nell’evento: δtof = tclu − LKL

βKLc− d

βπc− 0.42,

58 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

dove LKLe il vertice carico precedentemente calcolato, e d e la distanza estra-

polata dal punto di minimo approccio tra una traccia ricostruita con la DC ela direzione di volo del KL, fino al punto di impatto sul calorimetro; con questotaglio si e in grado di recuperare tutti quei cluster che sono stati erroneamenteassociati a particelle cariche a causa di un’errata estrapolazione delle traccericostuite nella camera a deriva [20].

Si sono in questo modo calcolate le efficienze di ricostruzione del vertice di singolofotone in funzione dell’energia del fotone atteso, e in funzione della posizione radialedel vertice calcolato con il fotone taggante con entrambi i metodi per ognuna delletre regioni del calorimetro. Nelle Figure 4.10 e 4.11 sono mostrati i confronti tra leefficienze ottenute per i dati e per il Monte Carlo nei due metodi per il barrel, per gliendcap, e per la regione di sovrapposizione, rispettivamente in funzione dell’energiadel γexp e in funzione del raggio trasverso del vertice di singolo fotone calcolato conγtag con tutta la statistica a disposizione.

Dal confronto di queste immagini risulta chiaro che in entrambi i metodi l’accor-do dati-Monte Carlo risulta buono. L’efficienza del secondo metodo risulta semprepiu bassa di quella del primo, questa diversita probabilmente e dovuta al fatto chenel calcolo dell’efficienza con il primo approccio non si e tenuto conto dei decadi-menti di tipo Dalitz del π0 ( π0 → e+e−γ ∼ 1.2% ) e nel secondo metodo invecequesti eventi rietrano nel conteggio dei cluster nella normalizzazione.

Come previsto, l’efficienza aumenta con l’aumentare dell’ energia dei fotoni. Ladipendenza dell’efficienza dall’energia del fotone risulta diversa in ciascuna delle treregioni, Figura 4.10. Nel barrel l’efficienza aumenta rapidamente e raggiunge unplateau in entrambi i metodi per fotoni di energia superiore a 50 MeV. Vi e unleggero degrado nella misura di efficienza per fotoni di energia superiore a circa 150MeV; questo effetto puo essere attribuito alla cattiva ricostruzione del fotone tag-gante di bassa energia. Negli endcap, mentre l’efficienza nel primo approccio sembraaumentare in funzione dell’energia fino ad un plateau ben delineato, nel secondo ap-proccio l’efficienza non sembra raggiungere un plateau ad eccezione di una zona dienergie intermedie da 60 a 120 MeV. Nella regione di overlap l’aumento di efficienzain funzione dell’energia non presenta la forma usuale ma risulta simile per entrambii metodi.Come si nota dalla Figura 4.11, c’e un importante effetto geometrico che determi-na la dipendenza dell’efficienza di ricostruzione del vertice di singolo fotone dallaposizione radiale del vertice di decadimento del KL. Questo e riflesso del fatto chepiu il vertice di decadimento del π0 e vicino alla parete del calorimetro (granderaggio trasverso) piu risulta difficile separare e identificare i fotoni prodotti; quindipiu il vertice e lontano dagli elementi morti del rivelatore come la linea del fascioo i QCAL (calorimetri a piccolo angolo, il cui segnale non viene usato per questaanalisi ), maggiore e la probabilita che i fotoni saranno rivelati. Nell’algoritmo perla determinazione dell’efficienza i fotoni devono essere trovati nella stessa regionedel calorimetro in cui si prevede che vengano trovati. Questo requisito e indipen-dente dal taglio sulla compatibilita del vertice neutro, e quindi riduce ulteriormentel’accettanza spaziale. L’efficienza ottenuta con questi metodi non puo quindi essereutilizzata per una correzione assoluta di efficienza; in sede di analisi, si e quindicalcolato il rapporto tra l’efficienza calcolata con i dati e quella calcolata con il cam-

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 59

Figura 4.10: A Sinistra efficienza di singolo fotone calcolata con il primo metodoin funzione dell’energia del fotone aspettato, rispettivamente dall’alto per il barrel,endcap, overlap. A Destra efficienza di singolo fotone calcolata con il secondo ap-proccio in funzione dell’energia del fotone aspettato, rispettivamente dall’alto per ilbarrel, endcap, overlap. In tutti i riquadri in nero i dati e in rosso la simulazioneMonte Carlo.

60 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.11: A Sinistra efficienza di singolo fotone calcolata con il primo metodoin funzione della posizione radiale del vertice di singolo fotone calcolato dal fotonetaggante,rispettivamente dall’alto per il barrel, endcap, overlap. A Destra efficienzadi singolo fotone calcolata con il secondo approccio in funzione della posizione radialedel vertice di singolo fotone calcolato dal fotone taggante, rispettivamente dall’altoper il barrel, endcap, overlap. In tutti i riquadri in nero i dati e in rosso la simulazioneMonte Carlo.

4.2. ANALISI DEL CAMPIONE DI CONTROLLO KL → π+π−π0 61

Figura 4.12: A Sinistra rappoti dati-Monte Carlo dell’efficienza di singolo fotonein funzione dell’energia del fotone aspettato, per le tre regioni del calorimetro ri-spettivamente dall’alto per barrel, endcap e overlap; in nero per il primo approccioin blu per il secondo. A Destra rappoti dati-Monte Carlo dell’efficienza di singolofotone in funzione della posizione radiale del vertice di singolo fotone calcolato dalfotone taggante, per le tre regioni del calorimetrorispettivamente dall’alto per barrel,endcap e overlap; in nero per il primo approccio in blu per il secondo

62 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.13: Per il primo approccio: a Sinistra in alto lego plot del rapporto dell’effi-cienza dati-MC (Rt vs. Eγexp); in basso l’errore associato. A Destra in alto rapportodell’efficienza dati-MC (Rt vs. Eγexp); in basso l’errore associato.

pione Monte Carlo per entrambi i metodi.Lo scopo di questi studi di efficienza di singolo fotone e quindi quello di ottenere un

rapporto di efficienze dati-MC, che verra utilizzato per correggere l’efficienza assolu-ta stimata dal Monte Carlo per l’analisi del campione KL → π0π0π0. Come si e giavisto, le efficienze calcolate risultano simili per i dati e per il Monte Carlo. I rappor-ti di efficienza dati-MC in funzione dell’ energia del fotone atteso e in funzione delraggio trasverso del fotone taggante sono mostrati in Figura 4.12 per ciascuna delletre regioni. Tali rapporti per i due approcci risultano compatibili. La degenerazionedei valori di εdt/MC per raggi trasversi superiori a 160 cm non e importante in quantocon il taglio sul volume fiduciale, che verra applicato nel prosieguo dell’analisi, sonoconsiderati solo quei cluster con 35 < Rt < 160 cm.

Per avere una funzione che descriva il variare dell’efficienza di singolo fotone infunzione sia dell’energia che del raggio trasverso del singolo fotone considerato, sie deciso correggere l’efficienza assoluta di MC con una matrice bidimensionale chetenga conto della correlazione tra l’energia e il raggio trasverso dei cluster. In Figura4.13 e 4.14 sono mostrati i grafici bidimensionali (Rt vs. Eγexp) dei rapporti di ef-ficienza dati-MC e i loro errori, rispettivamente per il primo e per il secondo metodo.

Per scegliere quale dei due metodi utilizzare per la correzione dell’efficienza asso-luta del Monte Carlo e stato sviluppato un Monte Carlo dedicato. Tale campione estato propriamente modificato per conoscere nei decadimenti KL → π0π0π0 quanti

4.3. RICOSTRUZIONE DEL DECADIMENTO KL → π0π0π0 63

Figura 4.14: Per il secondo approccio: a Sinistra in alto lego plot del rapportodell’efficienza dati-MC (Rt vs. Eγexp); in basso l’errore associato. A Destra in altorapporto dell’efficienza dati-MC (Rt vs. Eγexp); in basso l’errore associato.

fotoni venivano ricostruiti sul calorimetro e in che regione. Con questa simulazionee stato possibile avere una stima dell’efficienza di singolo fotone per il campioneKL → π0π0π0, usato per la misura di vita media. Confrontando questa efficienzasimulata con i due approcci misurati si e potuto constatare che l’andamento dell’ef-ficienza calcolata considerando solo i cluster non associati a tracce cariche risultaessere piu simile all’andamento del campione 3π0 simulato. Con il primo metodo,infatti, si restringe il calcolo dell’efficienza ad un campione di eventi piu pulito, eli-minando le ambiguita che derivano da un’errata associazione di cluster prodotti daparticelle cariche ai fotoni del decadimento del KL.

Quindi la matrice scelta per descrivere l’efficienza di ricostruzione di singolofotone e quella ricavata con il primo approccio, Rij. Tale matrice e usata duranteil conteggio dei fotoni e nella ricostruzione del vertice neutro per i decadimentiKL → π0π0π0, come descritto nella Sez. 4.3.1.

4.3 Ricostruzione del decadimento KL → π0π0π0

La posizione del vertice del KL dai decadimenti KL → π0π0π0 e ottenuta dal tempodi arrivo dei fotoni sul calorimetro. La posizione del vertice di KL e assunta lungo ladirezione di volo del KL che e ricostruita a partire dal decadimento KS → π+π−. Iltempo di arrivo di ogni fotone da una determinazione indipendente della lunghezza

64 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

di decadimento del KL, LK . Il valore finale di LK e ottenuto con una media pesatadi tutte le differenti misure di LK .

4.3.1 Vertice multifotonico

I vertici del decadimento KL → π0π0π0 sono ricostruiti accoppiando i diversi verticidi singolo fotone in un unico vertice multifotonico. Per ogni coppia di vertici disingolo fotone lungo la linea di volo del KL, si calcola la quantita:

Dγiγj=| Rγi

−Rγj|

σγiγj

(4.23)

dove gli indici i e j, con i 6= j, corrono su tutti i cluster non associati a traccecariche, Rγi

e la posizione dell’iesimo vertice di singolo fotone proiettata lungo lalinea di volo del KL, e σγiγj

= (σ2γi

+ σ2γj

)1/2 con σγila risoluzione sulla posizione

dell’iesimo vertice di singolo fotone calcolato con l’equazione (4.16). A questo puntosi combinano tutti i vertici di singolo fotone che soddisfano la condizione:

Dγiγj< 5 (4.24)

La serie di vertici di singolo fotone risultante, chiamata chain, puo contenere due opiu vertici di singolo fotone se ciascun vertice e entro 5σ da un altro vertice all’inter-no della catena. Se non e possibile creare la catena, l’evento viene scartato. Se piudi una catena e costruita con successo, si seleziona quella con il maggior numero difotoni associati. Se due catene hanno lo stesso numero di fotoni, si seleziona quellacon energia totale maggiore, che e calcolata come la somma delle energie dei clusterassociati alla chain.La moltiplicita dei fotoni non e altro, quindi, che il numero di vertici di singolo fotoneassociati ad una chain. I decadimenti KL → π0π0π0 sono identificati selezionandogli eventi con molteplicita di fotoni maggiore o uguale a tre.A questo punto si applica alla molteplicita dei fotoni la correzione dell’efficienza disingolo fotone calcolata nella sezione 4.2.3. Come previsto dalla Figura 4.12, per ilcampione di eventi MC la molteplicita dei fotoni non corretta e generalmente su-periore a quella dei dati. Per ogni evento Monte Carlo ,quindi , si campionano ndeviazioni uniformi ri, i ∈ 1...n (uno per ogni cluster nell’evento), e si ”eliminana”l’iesimo cluster se ri > Rij, dove Rij e l’elemento di matrice corrispondente dellamatrice del rapporto dell’efficienza di singolo fotone dati-MC.

La posizione del vertice multifotonico per eventi KL → π0π0π0 e ricostruito come:

xxxKL= xxxφ + pppKL

(1

σγtot

n∑i=1

Rγi/σ2

γi

)(4.25)

dove l’indice i ∈ 1...n corre su tutti i vertici di singolo fotone (Rγi) nella catena dopo

la procedura di merging descritta nella Sezione 4.3.2,

σγtot ≡(

n∑i=1

1/σ2γi

)−1/2

4.3. RICOSTRUZIONE DEL DECADIMENTO KL → π0π0π0 65

Figura 4.15: Distribuzione della molteplicita dei fotoni prima (sinistra) e dopo (de-stra) l’applicazione della procedura di merge. In nero sono rappresentati i dati, inrosso il Monte Carlo. La distribuzione e normalizzata per il numero totale di casiselezionati in ogni evento.

con σγidata dall’equazione (4.16); si ricorda che la posizione di vertice multifotonico

si deve trovare lungo la linea di volo del KL ricostruito a partire da un decadimentoKS → π+π− (Sec. 2.3).

4.3.2 Moltiplicita di fotoni e cluster merging

A sinistra in Figura 4.15 e mostrata la distribuzione della moltiplicita dei fotoni(Nnγ) per gli eventi candidati KL → π0π0π0 normalizzata con il numero totale dieventi candidati (Ntot). Per n = 7 l’accordo dati-Monte Carlo non e soddisfacente.Questo perche a volte dei vertici spuri di singolo fotone sono prodotti da clustersdoppiati in realta derivanti da un unico fotone, questo effetto e sottostimato nellasimulazione MC. Il fenomeno dello sdoppiamento dei cluster spiega la presenza diuna frazione significativa di eventi con nγ = 7 e nγ = 8 che in verita sono statigenerati da un decadimento KL → π0π0π0. Per ridurre l’effetto dello sdoppiamentodei cluster e migliorare l’accordo dati-MC nella distribuzione della molteplicita deifotoni, si e sviluppato un algoritmo dedicato per incorporare due cluster sdoppiati(cluster merging).

Per ogni evento si considerano i due fotoni ricostruiti piu vicini, cioe la coppia dicluster con la distanza tra i due centroidi piu piccola: d12 ≡| x1 − x2 |. Si calcolapoi l’angolo polare della posizione media tra questi due cluster, θavg.In Figura 4.16 sono mostrate le distribuzioni del cos θavg nel volume fiduciale perl’intero campione di dati, (a), per il campione di dati con nγ = 7, (b), e per ilcampione di dati con nγ = 8, (c). Se il processo di splitting dei cluster fosse omoge-neo in tutto il volume attivo del rivelatore la distribuzione del cos θavg risulterebbepiatta; al contrario come e ben visibile in figura, la distribuzione del cos θavg pre-senta un picco nell’intervallo 0.6 < | cos θavg | < 0.8 che corrisponde alla regione di

66 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.16: a): Distribuzione del cos θavg nel volume fiduciale per i dati del periodo3. In nero prima del merge, in rosso tratteggiato dopo la prima procedura di merge,in rosso continuo dopo la procedura di merge specifica per la zona di sovrapposizione.b): Distribuzione del cos θavg nel volume fiduciale per tutti quegli eventi con nγ = 7per i dati del periodo 3. In nero prima del merge, in rosso tratteggiato dopo la primaprocedura di merge, in rosso continuo dopo la procedura di merge specifica per lazona di sovrapposizione. c): Distribuzione del cos θavg nel volume fiduciale per tuttiquegli eventi con nγ = 8 per i dati del periodo 3. In nero prima del merge, in rossotratteggiato dopo la prima procedura di merge, in rosso continuo dopo la proceduradi merge specifica per la zona di sovrapposizione.

4.3. RICOSTRUZIONE DEL DECADIMENTO KL → π0π0π0 67

interfaccia delle due componenti del calorimetro. E da notare che questa non e ladefinizione della zona di sovrapposizione che si era usata per la stima dell’efficienzadi singolo fotone (Sez. 4.2.3). Questo picco deriva dal fatto che per quelle coppiedi cluster con la posizione media dei due centroidi piu vicini ricostruita nella zonadi sovrapposizione tra barrel e endcap e piu probabile che la ricostruzione falliscae invece di riprodurre un solo cluster, dia luogo a piu cluster in diverse regioni delcalorimetro. E per questo che per tutti quegli eventi con il cos θavg ricostruito nellazona di sovrapposizione si usa un criterio di cluster merging dedicato.Per la coppia di cluster piu vicini si definisce:

β12 ≡ d12

| t1 − t2 | ccon d12 la distanza relativa tra i due centroidi dei cluster piu vicini d12 ≡| x1−x2 |,e t1 e t2 i tempi di arrivo dei due cluster.

Due cluster con β12 < 1 non possono essere prodotti da due fotoni distintiprovenienti dallo stesso vertice di decadimento. Infatti se si considerano le distanzedei due cluster dal vertice di decadimento comune (L1 e L2) e la distanza tra i duecluster (

√L2

1 + L22 − 2L1 L2 cos θ12 con θ12 l’angolo d’apertura tra il vertice

di KL e i due cluster) allora due cluster avranno β12 > 1 se:

L21 + L2

2 − 2L1L2 cos θ12 < (L1 − L2)2

o equivalentemente se cos θ12 < 1 che e vero per costruzione.La condizione β12 < 1 discrimina, entro gli effetti della risoluzione, gli eventi in cuiun cluster e prodotto da un frammento di un altro. Le coppie di cluster con β12 < 1sono quindi il risultato o di uno sdoppiamento dei cluster strumentale oppure di unosdoppiamento dovuto ad una cattiva ricostruzione del cluster stesso.Per scegliere la procedura di cluster merging si e analizzata la distribuzione dell’energia minima dei due cluster piu vicini in funzione della variabile β12 . In Figura4.17 e mostrata tale distribuzione di Emin vs. β12 per le coppie piu vicine per i datie per il MC.Per le distribuzioni con nγ = 3, nγ = 7, nγ = 8 la zona piu popolata e quella a basseEmin e bassi β12. Questa distribuzione e in accordo con la previsione dell’effetto dicluster splitting : negli eventi con nγ = 3, 7, 8 l’abbondanza delle coppie di clusterricostruiti a valori molto bassi di Emin e di β12 suggeriscono che nella coppia quellocon energia inferiore e di fatto solo un frammento dell’altro.Sulla base di queste considerazioni le coppie con β12 < 1.1 o Emin < 45−13β12 MeVsono fuse insieme. Il valore del taglio in β12 e in Emin e indicato con la linea rossanella Figura 4.17.

L’effetto di questa prima procedura di cluster merging nella distribuzione dicos θavg e mostrata in rosso tratteggiato nella Figura 4.16. Come si nota, questotaglio non e sufficiente ad eliminare il picco di eventi nella regione di sovrapposizione.E per questo che per tutte quelle coppie di cluster con la posizione media dei duecentroidi piu vicini ricostruita nella zona di sovrapposizione tra barrel e endcap siapplica un taglio piu stretto in Emin : Emin < 60− 10β12 MeV.

Dopo questa seconda procedura di cluster merging la distribuzione di cos θavg pernγ = 7, nγ = 8 risulta piu piatta (confronta distribuzioni in rosso in Figura 4.16).

68 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.17: Criterio di cluster merging per le coppie di cluster ricostruiti nonassociati a tracce cariche e con i centroidi piu vicini nei dati e nel MC. Emin vs. β12

per nγ da 3 a 8. La linea rossa inlustra il criterio di merging scelto: le coppie dicluster che cadono a sinistra della linea vengono unite insieme.

4.3. RICOSTRUZIONE DEL DECADIMENTO KL → π0π0π0 69

Figura 4.18: A sinistra: distribuzione della molteplicta dei fotoni dopo la proceduradel cluster merging per i dati (triangoli neri), campione Monte Carlo del segnale(cerchi verdi), e campione Monte Carlo con tutti i decadimenti del KL in accordo conle frazioni di decadimento (cerchi rossi). tutte le distribuzioni sono normalizzate. Adestra: distribuzione del numero di cluster ricostruiti dal campione MC. I contributidei diversi canali sono mostrati in diversi colori.

Quando due cluster sono fusi in uno solo la posizione del cluster risultante edata dalla media pesata delle singole posizioni dei centroidi, mentre il tempo delcluster risultante e dato dal piu breve dei due tempi di arrivo. La nuova posizionedel vertice neutro viene poi calcolata di conseguenza.

La distribuzione della molteplicita dei fotoni dopo la procedura di merging e mo-strata a destra in Figura 4.15. Come si nota c’e un miglioramento tra l’accordodati-Monte Carlo per gli eventi con nγ = 7. Si puo inoltre notare che gli eventi connγ = 7 e 8 sono notevolmente ridotti: la frazione di eventi con nγ = 7 nei dati escesa dal 4.4% al 3.0%, mentre la frazione di eventi con nγ = 8 dal 0.33% al 0.075%.

4.3.3 Reiezione del fondo

A sinistra in Figura 4.18 e confrontata la distribuzione della molteplicita dei fotoni,dopo il criterio di cluster merging, per i dati (triangoli neri), per un campione MCcontenente solo eventi di segnale (KL → π0π0π0, cerchi verdi) , e per un campioneMC contenente tutti i decadimenti del KL (cerchi rossi).Per nγ = 4, 5 e 6 c’e un ragionevole accordo tra i dati e i MC. In piu vi e anche unragionevole accordo tra tra le distribuzioni degli eventi Monte Carlo di segnale e glieventi Monte Carlo di tutti i modi di decadimento. Questo suggerisce che il fondo emaggiormente soppresso negli eventi con 4, 5 e 6 fotoni ricostruiti.La frazione di eventi di dati con nγ = 8 non sembra avere una buona corrispondenzacon i due campioni MC, che tra di loro risultano coerenti. L’eccesso di dati pernγ = 8 non puo quindi essere attribuito al fondo. E possibile che tale eccesso siadovuto al fatto che nel Monte Carlo per simulare il il fenomeno di cluster splitting si

70 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

usa una soglia per ogni canale del calorimetro di ∼ 1 fotoelettrone mentre nei dati ecirca 4− 5 volte piu grande; in ogni caso questa differenza e dell’ordine del 0, 1% epuo essere considerata trascurabile. La piu grande differenza tra i dati e il MC delsegnale e osservata per nγ = 3. Il fatto che l’accordo per nγ = 3 sia migliore tra idati e il MC di tutti i modi di decadimeto che per il MC del segnale dimostra chegli eventi con nγ = 3 includono una parte significativa di eventi di fondo.I tagli descritti nella sezione seguente sono stati studiati per sopprimere il piupossibile il fondo in questo tipo di eventi.

Reiezione del fondo per vertici a tre fotoni

La contaminazione del fondo e concentrata nel campione di eventi con tre fotoniricostruiti. Gli eventi con piu di quattro fotoni ricostruiti risultano liberi da conta-minazioni del fondo rilevanti. I campioni di eventi con nγ = 3 e nγ = 4 sono, daMonte Carlo, rispettivamente il ∼ 6.5% e il ∼ 11.2% del numero totale di eventi.Le principali fonti di fondo sono:

1. eventi KL → π+π−π0 ;

2. i decadimenti CP violanti del KL KL → π0π0;

3. i decadimenti KS → π0π0, dove il KS si e rigenerato lungo la linea dei fascioppure nelle pareti interne della camera a deriva;

4. le interazioni nucleari del KL con i nuclei del materiale delle pareti del calori-metro;

5. i decadimenti semileptonici del KL: KL → π±e∓νe e KL → π±µ∓νµ.

Canali di B/(S + B) B/(S + B) B/(S + B)decadimento del KL nγ ≥ 3 nγ = 3 nγ = 4

KL → π0π0π0 93.5% 16.2% 88.5%KL → π+π−π0 4.3% 60.5% 3.4%

KL → KS → π0π0 0.25% 1.25% 2.1%KL → π0π0 0.40% 1.5% 4.3%

KL → π±e∓νe 0.67% 9.3% 0.69%KL → π±µ∓νµ 0.26% 3.65% 0.28%KL → other 0.57% 6.78% 1.16%

Tabella 4.1: La contaminazione del fondo in percentuale (B/(S + B)) nel FV pernγ ≥ 3, nγ = 3 e nγ = 4.

A destra in Figura 4.18 e mostrata la distribuzione del numero di cluster associatial vertice di decadimento ricostruito per il segnale e per le diverse componenti delfondo che sopravvivono ai tagli di preselezione (vedi sez: 4.1) nel volume fiduciale(FV) definito come:

40 cm < LK < 165 cm40◦ < θL < 140◦

(4.26)

4.3. RICOSTRUZIONE DEL DECADIMENTO KL → π0π0π0 71

Figura 4.19: A sinistra distribuzione MC dell’ RMS per eventi con nγ = 3; tuttigli eventi a destra della linea nera sono riggettati. A destra distribuzione MC dell’cos θavg per eventi con nγ = 3; tutti gli eventi fuori dall’intervallo delimitato dallelinee nere sono riggettati.

Come si vede in figura, la componente del fondo piu significativa per gli eventi connγ = 3 viene dai decadimenti KL → π+π−π0.Nella Tabella 4.1 e mostrata la contaminazione percentuale delle componenti delfondo che sopravvivono alla preselezione e al taglio sul volume fiduciale. Per la va-lutazione di questi rapporti e stato usato il campione Monte Carlo di un periodo dicontrollo, il periodo tre.La contaminazione del fondo totale k = B/(S + B) e ∼ 6.4% degli eventi analizza-ti, tra i quali ∼ 5.5% incide sul campione con nγ = 3 (principalmente dovuti aglieventi π+π−π0 con cluster sdoppiati o con i cluster non associati ad una traccia)e ∼ 0.9% incide sul capione con nγ = 4 (principalmente causati dalle interazioninucleari del KL con il materiale del calorimetro o dai decadimenti KL → π0π0 eKL → KS → π0π0).

Il fondo nella selezione di eventi con nγ = 3 e eliminato con due tipi di tagli: ilprimo sfrutta le proprieta temporali e spaziali dei cluster, il secondo e applicato aglieventi con tracce cariche residue. I tagli effettuati studiando le proprieta dei clustersono applicati agli eventi con nγ = 3 e si basano sullo studio delle distribuzioni Mon-te Carlo in RMS e in cos θavg del segnale e del fondo per il periodo tre, assumendoche tali distribuzioni siano costanti nei diversi periodi.In primo luogo si calcola l’RMS della differenza tra le posizioni dei vertici di singolofotone e la posizione del vertice multifotonico:

RMS ≡[

1

n− 1

n∑i=1

(Ri −RKL

σi

)2]1/2

, (4.27)

con Ri definito come nell’equazione (4.23), con σi la risoluzione di Ri definita dall’e-quazione (4.16), e con RKL

la posizione del vertice multifotonico proiettata lungo la

72 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

direzione di volo del KL. Si rigettano quegli eventi con nγ = 3 nei quali RMS > 2,l’effetto e la scelta di questo tagio sono visibili a sinistra in Figura 4.19 dove emostrata la distribuzione MC di RMS per eventi con tre cluster ricostruiti per ilsegnale (in nero) e per le diverse componenti di fondo distinguibili con i diversi co-lori.La seconda distribuzione MC studiata per rigettare il fondo e quella di cos θavg per

gli eventi con nγ = 3 mostrata a destra in Figura 4.19. E ben visibile che la maggiorparte degli eventi di rigenerazione e di interazione nucleare hanno la posizione mediatra i due cluster piu vicini ad un angolo polare o molto piccolo o molto grande cioevicino alla linea di incrocio dei fasci. Per rigettare questo fondo solo gli eventi con| cos θavg |< 0.9 sono conservati.

Canali di FV RMS cut cos θavgcutdecadimento del KL nγ ≥ 3 nγ = 3 nγ = 3

KL → π0π0π0 99.08± 0.08% 98.91± 0.08% 98.89± 0.08%KL → π+π−π0 7.56± 0.02% 2.71± 0.01% 2.55± 0.01%

KL → KS → π0π0 34.66± 0.45% 31.62± 0.42% 31.07± 0.42%KL → π0π0 95.90± 1.17% 94.48± 1.17% 93.91± 1.17%

KL → π±e∓νe 0.372± 0.003% 0.113± 0.001% 0.087± 0.001%KL → π±µ∓νµ 0.218± 0.002% 0.066± 0.001% 0.050± 0.001%KL → other 13.33± 0.11% 7.27± 0.07% 6.37± 0.07%

Tabella 4.2: Efficienza di ricostruzione percentuale MC per ogni canale didecadimento del KL dopo ogni taglio.

Il secondo tipo di taglio utilizzato per eliminare fondo dal campione di eventicon nγ = 3 si basa sull’informazioni derivanti dal tracciamento. Per questa analisinon si e utilizzato nessun veto su tracce non associate al decadimento KS → π+π−,poiche segmenti di tracce non associate provenienti dai secondari del KS → π+π−

possono occasionalmente essere osservati negli eventi KL → π0π0π0 insieme ai seg-menti di traccia generati dalla produzione di coppie da parte dei fotoni o da eventiaccidentali.Le tracce provenienti dai decadimenti carichi del KL, tuttavia, possono essere estra-polate lungo la la linea di volo del KL. Il punto che minimizza la distanza tra latraccia e la linea di volo del KL viene chiamato punto di minimo approccio, PCA.Si definisce la distanza dPCA come la distanza tra il PCA e la posizione del verticemultifotonico. La Figura 4.20 mostra la distribuzione della dPCA per il segnale MC eper tutti gli altri canali di decadimento. Il taglio scelto e tale che vengono eliminatitutti quegli eventi con una dPCA < 10 cm.

Nessuno di questi tagli e stato applicato ad eventi con quattro fotoni ricostruiti,poiche la frazione di segnale che si rigettava nel taglio era maggiore in percentualea quella eliminata del fondo.

In Tabella 4.2 e riportata l’efficienza di ricostruzione Monte Carlo per le variecomponenti del fondo prima e dopo i tagli fino ad ora applicati.

4.3. RICOSTRUZIONE DEL DECADIMENTO KL → π0π0π0 73

Figura 4.20: A sinistra: distribuzione della dPCA per il MC del segnale e delle variecomponenti del fondo con nγ = 3. Sono tenuti solo gli eventi con dPCA > 10 cm.A destra: distribuzione di cos α per il MC del segnale e delle varie componenti delfondo con nγ = 3 e 4. Gli eventi a sinistra della linea nera sono eliminati.

Il valore dell’efficienza per la rigenerazione e per tutti quei processi indicati conKL → other dopo questi tagli non risulta ancora sufficientemente bassa.E chiaro quindi che i processi di interazione nucleare e di rigenerazione nel FV sonoun’importante fonte di fondo ed incidono sull’estrazione del segnale.

I principali processi di interazione nucleare K0N → Σπ , K0N → Λπ, e larigenerazione KL → KS sono dovuti alle interazioni del KL con i materiali delrivelatore.

Canali di dPCA cut cos α cutdecadimento del KL nγ = 3 nγ ≤ 4

KL → π0π0π0 98.73± 0.08 98.39± 0.08%KL → π+π−π0 1.010± 0.007% 0.826± 0.007%

KL → KS → π0π0 30.81± 0.41% 29.11± 0.40%KL → π0π0 93.03± 1.16% 92.47± 1.16%

KL → π±e∓νe 0.076± 0.001% 0.0414± 0.0008%KL → π±µ∓νµ 0.047± 0.001% 0.0225± 0.0008%KL → other 4.82± 0.06% 2.27± 0.04%

Tabella 4.3: Efficienza di ricostruzione percentuale MC per ogni canale didecadimento del KL dopo il talgio in dPCA e cos α per eventi con nγ = 3, 4.

Per eliminare questa componente di fondo, una variabile molto utile da definire el’angolo tra l’impulso del KL e la somma degli impulsi dei fotoni assegnati al verticemultifotonico:

cos α ≡ pKL· (∑n

i=1 pi)

| pKL|| ∑n

i=1 pi | , (4.28)

74 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

dove pi sono gli impulsi dei fotoni ricostruiti dalle energie e dalle posizioni dei clustercorrispondenti.La distribuzione di cos α per il campione MC del segnale e del fondo per eventicon nγ = 3 e 4 e mostrata a destra in Figura 4.20, gli eventi KL → other hannoun picco a cos α = −1 che descrive il rimbalzo dei prodotti di decadimento delleinterazioni nucleari del KL con i nuclei dei materiali della camera e del calorimetro.Per diminuire la componente di fondo dovuta alle interazioni nucleari si richiede checos α > −0.2 per gli eventi con nγ = 3, 4.In Tabella 4.3 sono mostrate le nuove efficienze di ricostruzione MC per il segnale eper il fondo dopo il taglio in dPCA e cos α.

4.3.4 Misura delle interazioni nucleari del KL in KLOE

La simulazione della produzione di Λπ, Σπ prodotte dalle interazioni nucleari delKL con i materiali del rivelatore e anche verificata utilizzando i dati. Per calibrareil livello delle interazioni nucleari simulate con il Monte Carlo in zone differenti delrivelatore si sono definite sei diverse regioni:

0 cm < R < 35 cm

35 cm < R < 100 cm

100 cm < R < 150 cm

150 cm < R < 190 cm

190 cm < R < 210 cm

R > 210 cm

si sono poi confrontate le distribuzioni di cos α per i dati e per due diversi campioniMC, uno contenente tutti i modi di decadimento del KL comprese le interazioninucleari, l’altro che simula tutti i modi di decadimento del KL tranne le interazioninucleari in queste sei regioni del rivelatore. In Figura 4.21 sono mostrate le diversedistribuzioni di cos α per eventi con nγ = 3, 4 per le diverse regioni del rivelatore peri dati e per il Monte Carlo. Come si nota dalla figura si trovano delle incongruenzetra le distribuzioni di cos α per i dati e per i MC nelle diverse zone del rivelatore. Leinterazioni nucleari tra il KL e le pareti interne della camera a deriva e sulla paretedel tubo a vuoto (0 < R < 35 cm) sono significativamente sovrastimate dal MonteCarlo, piu ci si avvicina al volume fiduciale ( 35 < R < 150 cm) piu il contributodelle interazioni nucleari diminuisce e le tre distribuzioni tendono ad assomigliarsi.La discrepanza maggiore si osserva nelle zone definite da grandi raggi che pero ri-sultano al di fuori del FV utilizzato in questa analisi.In generale si puo quindi affermare che il campione di dati si trova sempre a metatra la distribuzione MC che simula tutti i modi di decadimento del KL compresal’interazione nucleare, e la distribuzione MC che simula tutti i modi di decadimentodel KL esclusa l’interazione nucleare. Tale disaccordo e stato rintracciato esserecausato da una errata simulazione dei processi di interazione anelastica dei Kaoniin GHEISHA (confronta Sez:2.4).Questa sovrastima delle interazioni nucleari nel Monte Carlo puo essere quantificataconfrontando dopo il taglio in cos α < −0.2 la differenza fra i dati e il MC privo di

4.3. RICOSTRUZIONE DEL DECADIMENTO KL → π0π0π0 75

Figura 4.21: Distribuzione di cos α per eventi con nγ = 3, 4 in sei differenti zone delrivelatore. In nero i dati, in rosso il MC senza le interazioni nucleari e in blu il MCcon le interazioni nucleari.

76 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

Figura 4.22: A sinistra: Confronto tra la differenza della distribuzione in cos α deidati e la distribuzione di cos α del MC senza le interazioni nucleari e la distribuzionedi cos α del MC con le interazioni nucleari, per sei regioni diverse del rivelatore.A destra media pesata del rapporto bin per bin della distribuzione dati-MC senzainterazioni nucleari e MC delle interazioni nucleari per le due zone limite del volumefiduciale.

interazioni nucleari, e il contributo delle interazioni nucleari stimato dalla simulazio-ne. Le distribuzioni di dati e MC vengono normalizzate imponendo che abbiano lostesso numero di eventi nella regione cos α > 0.9, dove il contributo delle interazioninucleari e trascurabile.A sinistra in Figura 4.22 la differenza della distribuzione in cos α dei dati e delladistribuzione in cos α del MC senza le interazioni nucleari e confrontata con la distri-buzione in cos α del campione MC che simula le sole interazioni nucleari del KL perle varie regioni del rivelatore. E da notare che nelle regioni 35 cm < R < 150 cm epresente pochissimo materiale e quindi le interazioni nucleari sono molto soppresse.In queste regioni infatti la differenza dati-MC viene addirittura negativa probabil-mente anche a causa del fatto che il MC sovrastima anche gli effetti di rigenerazione.Per correggere il contributo delle interazioni nucleari simulato nella regione fiducia-le si e quindi scelto di utilizzare il rapporto (dt − MCno nucl)/MCnucl misuratonelle due regioni adiacenti, assumendo quindi che il fattore di scala ottenuto valgaapprossimativamente nello stesso modo anche nel volume della camera a deriva.

La funzione usata per il fit tra i rapporti di queste distribuzioni e una mediapesata tra i valori dei rapporti nelle zone al bordo del volume fiduciale. Il risultatodel fit e mostrato a destra in Figura 4.22 ed e pari a:

ξ =

(dt−MCnonucl

MCnucl· ζ1|R35 + dt−MCnonucl

MCnucl· ζ2|R150

)

ζ1 + ζ2

= 0.813± 0.025

con ζ1 e ζ2 gli errori relativi ai rapporti (dt−MCnonucl)/MCnucl.

4.4. EFFETTI DELLE INTERAZIONI NUCLEARI DEL KL 77

4.4 Effetti delle interazioni nucleari del KL

Le interazioni nucleari del KL con il materiale all’interno della camera a derivadistorcono la misura della vita media poiche modificano la rate di decadimento delKL. Infatti la diminuzione del numero di KL che passano da L a L + dL e dato da:

N(L + dL)−N(L) = −N(L) ·(

1

λL

+1

λI

)· dL

oppure:

N(L) = N(0) · e−L/λexp

dove:

λexp =λIλL

λI + λL

' λL

(1− λL

λI

)(4.29)

con λL la lunghezza di decadimento media del KL e λI = A/(NA · ρ(L) · σI) dove Ae il peso atomico, NA e il numero di Avogadro, ρ(L) e la densita del materiale e σI

e la sezione d’urto delle interazioni nucleari.I processi di interazione nucleare dominanti la rigenerazione KL → KS , K0N →

Σπ e K0N → Λπ sono simulati con il Monte Carlo. Da GHEISHA, la λI nel mate-riale della camera a deriva e ∼ 50000 cm, mentre λL ∼ 340 cm in KLOE. Pertanto,dall’ Eq. (4.29) , ci si aspetta di trovare una λL ridotta di un fattore λL/λI ∼ 0, 7%rispetto al valore vero.Per calibrare la rate dei processi di interazione nucleare simulata da MC, si e con-frontata questa rate con quella calcolata con i dati [28]. Dal confronto si nota chec’e una sovrastima di tali processi del MC, per questo la simulazione deve essere cor-retta di conseguenza. Nei dati la somma di tutte le interazioni nucleari e ∼ 0, 33%con un errore costante del 50%, (0, 33± 0, 16)%.Questo valore e stato preso in considerazione per correggere la misura della vitamedia del KL.

Capitolo 5

Risultati

5.1 Fit della distribuzione di tempo proprio

Il tempo proprio del KL, t∗L e ottenuto evento per evento dividendo la lunghezza didecadimento LKL

per il βγ del KL nel laboratorio:

t∗L =LKL

βγc(5.1)

Al fine di estrarre la vita media da un fit di distribuzione di tempo tempo propriobisogna avere un campione di decadimenti del KL il piu puro e privo di distorsionipossibile. Per il numero di KL → π0π0π0, N3π0 si vorrebbe avere:

N3π0(t∗) = N3π0(t∗ = 0) · e−t∗/τL = N3π0(LK = 0) · e−LK/λL . (5.2)

Alla fine delle selezioni si ha:

N(l) = N3π0(LK = 0) ·∫

f(L′K) · e−L′K/λ′L · g(LK − L′K)dL′K + Nbckg (5.3)

dove:

• Nbckg e il fondo residuo dopo i tagli di selezione;

• f(L′K) e la funzione di efficienza del segnale;

• g(LK − L′K) e la funzione di risoluzione del vertice;

• λ′ e l’effettiva lunghezza di decadimento media tenendo in consderazione anchele interazioni nucleari del KL con il materiale nella camera a deriva.

Questi effetti sperimentali portano una distorsione nella distribuzione di tempo pro-prio e devono essere adeguatamente presi in considerazione nella tecnica che si utiliz-za per estrarre la misura della vita media. La precisione raggiunta nella conoscenzadi tali effetti fornisce l’incertezza sistematica della misura.

79

80 CAPITOLO 5. RISULTATI

Figura 5.1: A sinistra: la distribuzione della lunghezza di decadimento del KL

( LKL) con tutta la statistica del 2005: i dati sono i punti neri, il MC del se-

gnale+fondo e l’istogramma nero, mentre le diverse componenti del fondo MonteCarlo sono contrassegnate con istogrammi di diversi colori: l’istogramma rosso rap-presenta la distribuzione di LKL

per gli eventi KL → π+π−π0, in verde oltre aglieventi precedenti anche KL → KS, in blu oltre ai precedenti KL → π0π0, in giallooltre ai precedenti KL → πeν, in viola oltre ai precedenti KL → πµν, in fine inceleste la somma di tutte le componenti del fondo comprese le interazioni nucleariche sono scalate di un fattore 0.81. A destra: la distribuzione del tempo propriodel KL ( t∗L ) con tutta la statistica del 2005: i dati sono i punti neri, il MC delsegnale+fondo e l’istogramma nero, mentre le diverse componenti del fondo MonteCarlo sono contrassegnate con istogrammi di diversi colori: l’istogramma rosso rap-presenta la distribuzione di t∗L per gli eventi KL → π+π−π0, in verde oltre agli eventiprecedenti anche KL → KS, in blu oltre ai precedenti KL → π0π0, in giallo oltre aiprecedenti KL → πeν, in viola oltre ai precedenti KL → πµν, in fine in celeste lasomma di tutte le componenti del fondo comprese le interazioni nucleari che sonoscalate di un fattore 0.81.

5.1. FIT DELLA DISTRIBUZIONE DI TEMPO PROPRIO 81

Figura 5.2: A sinistra: distribuzione della lunghezza di decadimento del KL dei datimeno il fondo e del MC solo segnale. A destra: distribuzione del tempo proprio delKL dei dati meno il fondo e del MC solo segnale.

5.1.1 Sottrazione del fondo

A questo punto dell’analisi si vuole sottrarre bin per bin al campione di dati il fondoMC residuo dopo i tagli discussi nel capitolo precedente.Poiche vi e una discrepanza tra il numero di KL che passano il tag nei dati rispettoa quelli nel Monte Carlo gli eventi MC devono essere normalizzati con un fattore dicorrezione pari a:

ζ =Ndati(FV )

N sigMC(FV ) + N bkg

MC(FV )(5.4)

dove Ndati(FV ) e il numero delgli eventi dei dati ricostruiti nel volume fiduciale,N sig

MC(FV ) e il numero di eventi KL → π0π0π0 Monte Carlo ricostruiti nel volumefiduciale, N bkg

MC(FV ) e la somma del numero di eventi delle diverse componenti delfondo Monte Carlo ricostruiti nel volume fiduciale.Si fa notare che la componente del fondo KL → Λπ, Σπ dovuta alle interazioninucleari del KL con i materiali del rivelatore simulata dal MC usata per calcolare ilfattore di normalizzazione ζ e corretta con un fattore di scala ξ = 0.81 (vedi sezione4.3.4).In Figura 5.1 sono mostrate le distribuzioni di LKL

e di t∗L per il campione di dati(puntini neri) e per il campione Monte Carlo cosı normalizzato.A questo punto si sottrarre il fondo stimato da Monte Carlo bin per bin dai dati.In Figura 5.2 sono mostrate le distribuzioni del tempo proprio e della lunghezza didecadimento del KL per ∼ 46M di eventi KL → π0π0π0 per i dati meno il fondoe per il campione MC del segnale raccolti nel 2005. In entrambe le distribuzioni sipuo notare un buon accordo tra i dati e il MC entro il volume fiduciale.

82 CAPITOLO 5. RISULTATI

Figura 5.3: Sopra: a sinistra efficienza Montecarlo Kine in funzione della lunghezzadi decadimeto; a destra uno zoom di questa distribuzione. Sotto: a sinistra effi-cienza Montecarlo Kine in funzione del tempo proprio; a destra uno zoom di questadistribuzione.

5.1. FIT DELLA DISTRIBUZIONE DI TEMPO PROPRIO 83

5.1.2 Efficienza

Le efficienze MC dopo tutti i tagli in funzione della lunghezza del cammino didecadimento e del tempo proprio sono ottenute dal rapporto del numero di eventiKL → π0π0π0 simulati dal MC dopo tutti i tagli descritti nel capitolo 4.3.3 e ilnumero di eventi KL → π0π0π0 simulati dal MC dopo il tag :

ε =NMC

sig after all cut

NMCsig after tag

(5.5)

Come si vede in Figura 5.3 entrambe le efficienza presentano uno strano compor-tamento per piccoli valori di LKL

o di t∗L; questo andamento puo essere spiegatocon la perdita di fotoni sui quadrupoli poiche in questa analisi non si sono tenute inconsiderazione le informazioni raccolte dai QCAL. Ovviamente questa efficienza nontiene conto degli effetti di risoluzione della ricostruzione in quanto per determinarlasi usano solo eventi MC simulati. Tuttavia e stato verificato, attraverso uno studionumerico, che in questo caso essendo la risoluzione spaziale sul vertice neutro moltominore della lunghezza di decadimento (∼ 2 cm vs. ∼ 330 cm) il suo effetto sulladistribuzione di vita media e trascurabile.

5.1.3 Il Fit e la vita media del KL

Il fit di vita media viene fatto sulla distribuzione del tempo proprio del KL dei datidopo la sottrazione del fondo e dopo aver corretto bin per bin la distribuzione deltempo proprio con i valori ottenuti dall’efficienza MC.L’incertezza statistica dell’efficienza MC (dell’ordine di ∼ 0, 1%) e stata aggiunta inquadratura alla fluttuazione statistica di ogni entrata in ogni bin dopo la sottrazionedel fondo.La distribuzione in tempo proprio dopo la correzione per l’efficienza MC risente dell’andamento dell’efficienza MC e presenta degli evidenti scostamenti dall’andamentoesponenziale nella regione di t∗L < 10 ns .Per ottenere il valore della vita media del KL la distribuzione di t∗L e stata fittatacon una funzione esponenziale (f(t∗L) = N · e−t∗L/τ ) in un range in termini di tempoproprio da 10 a 26 ns in modo tale da evitare le perturbazioni a tempi inferiori di 10ns. In Figura 5.4, in alto, e mostrato il risultato del fit con ∼ 20M di eventi nellaregione di fit:

τ = (50.40± 0.13stat) ns

con un χ2/ndf = 1.08.

A questo punto si e provato ad estendere la regione di fit per le distribuzioni ditempo proprio con 60 e 30 bin in un range che includa la regione di t∗L < 10 ns percapire se l’effetto della distorsione dell’efficienza MC puo essere incluso in un bin.Come e visibile in Figura 5.5 la distorsione a bassi t∗L, anche se sembra diminui-re, fornisce un fit di cattiva qualita ( χ2/ndf > 4) con un valore di τ ∼ 48 ns(conseguenza del fatto che i dati in questa regione sono piu alti della distribuzio-ne esponenziale) che inoltre e instabile al variare del limite superiore del range di fit.

84 CAPITOLO 5. RISULTATI

Figura 5.4: Fit della distribuzione di tempo proprio in un range da 10 a 26 ns conin basso i residui del fit.

5.1. FIT DELLA DISTRIBUZIONE DI TEMPO PROPRIO 85

Figura 5.5: Fit della distribuzione di tempo proprio con 60 bin (sopra) e 30 bin(sotto) in un range di [5 : 26] ns e di [6 : 26] ns

86 CAPITOLO 5. RISULTATI

Dallo studio di queste distribuzioni appare chiaro che la correzione di efficienzaMC e eccessiva nella regione di tempo proprio inferiore a 10 ns; cio produce unaover-correzione della distribuzione sperimentale. Per questo si e deciso di provareun approccio diverso: sottrarre il fondo stimato ai dati, ma NON correggere perl’efficienza MC.La vita media viene estratta dalla distribuzione cosı ottenuta tramite un fit che in-clude, oltre al decadimento esponenziale, una forma analitica che descrive l’efficienzastimata da MC (depressioni incluse) in funzione di pochi parametri. In tal modol’ampiezza e la larghezza della depressione, ma anche la pendenza con cui l’efficienzadecresce all’aumentare del tempo proprio, possono essere stimate direttamente dalladistribuzione sperimentale.

In primo luogo e quindi necessario trovare una parametrizzazione semplice dellaforma dell’efficienza MC (sopra in Figura 5.6), limitandosi pero alla regione interes-sante per il fit di vita media (ovvero tempo proprio fra 5 e 26): il plateau leggermentedecrescente e descritto da una retta, la caduta a grandi tempi propri da una Fermi-Dirac, mentre per le due depressioni si e provato inizialmente con una gaussianarovesciata. Tuttavia le despressioni risultano asimmetriche ed e piu conveniente de-scriverle con una funzione di Moyal (sempre rovesciata). A sinistra in figura 5.6 emostrato il fit all’efficienza MC ottenuto con la funzione scelta, nella forma:

g(t∗) =P1 + P2 · t∗

eP8(t∗−P7) + 1− P3

{e−[P5(t∗−P4)+e−P5(t∗−P4)]

}− P6

{e−[(t∗−13)+e−(t∗−13)]

}

dove P2 e il coefficente angolare e (P1) l’intercetta della retta che definisce la zona diplateau della distribuzione, P3 P4 e P5 descrivono la prima Moyal (rispettivamentenormalizzazione, centro e σ), P6 e la normalizzazione della Moyal che riproduce laseconda depressione centrata a 13 ns, mentre P7 e P8 sono i due parametri per laFermi Dirac che descrive la discesa dell’efficenza ad alti valori di t∗. Come si ve-de questa forma analitica riproduce solo approssimativamente l’andamento del MC,tuttavia ci aspettiamo che sia sufficiente per descrivere nel fit ai dati un effetto similealla depressione di efficienza che si osserva nel MC, ma di minore entita.Detta g(t∗) la forma funzionale che descrive l’andamento dell’efficenza MC, la fun-zione di fit per la distribuzione di tempo proprio dei dati dopo la sottrazione delfondo e la seguente:

f(t∗L) = g(t∗L) · P1

(e−t∗L/P2

)(5.6)

Il fit viene fatto con il programma di minimizzazione MINUIT nella regione t∗L ∈[6 : 24] ns. Nella g(t∗) vengono fissati i parametri della Fermi-Dirac che descrive ladiscesa dell’efficienza ad alti t∗, inoltre il fit ai dati mostra di non avere alcuna sen-sibilita alla seconda depressione della curva di efficienza, per cui la relativa funzionedi Moyal e stata azzerata. Infine per avere un fit sufficientemente stabile e statonecessario fissare il centro della prima depressione al valore del MC, t = 7.8 ns.A destra in Figura 5.6 e mostrato il risultato del fit dove P1 e la normalizzazione,P2 e il valore della vita media, P3 P4 e P5 sono rispettivamente l’ampiezza, il centroe la larghezza della depressione nella curva di efficienza, P6 e P7 sono invece inter-cetta a zero e coefficiente angolare della retta che descrive il plateau di efficienza.Ovviamente questi ultimi due parametri sono fortemente correlati con P1 e P2 ri-spettivamente, ed e’ quindi opportuno fissarli al valore ottenuto dal fit all’efficienza

5.1. FIT DELLA DISTRIBUZIONE DI TEMPO PROPRIO 87

Figura 5.6: In alto: parametrizzazione analitica dell’ efficienza Montecarlo Kine infunzione del tempo proprio , come descritto nel testo. In basso il fit di vita mediadella distribuzione del tempo proprio dei dati dopo la sottrazione del fondo nel range[6 : 24] ns, con la funzione di eq.5.6. Il valore della vita media e nel parametro P2.

88 CAPITOLO 5. RISULTATI

MC. Come si vede, il fit e di cattiva qualita (χ2/ndf = 4.5) e tende a sopprimere ilpeso della Moyal fino ad azzerarla. Questo risultato non cambia se si lasciano liberianche P6 e P7. Il valore di vita media ricavato da questa procedura e di:

τ = (49.72± 0.11stat) ns

L’alto χ2/ndf e il basso valore di τ ottenuto, non permettono tuttavia di escludereche i dati siano del tutto esenti dall’effetto di depressione dell’efficienza intorno at∗ ∼ 7.5.

Taglio sull’angolo polare dell’emissione del KL

Per diminuire l’effetto provocato dall’assorbimento dei fotoni sui quadrupoli si eprovato ad applicare un taglio sul coseno dell’angolo polare di emissione del KL

(cos ϑKL) ricavato a partire dalla direzione di volo del KS.

Il cono sotteso dai quadrupoli corrisponde ad un angolo polare di emissione del KL

pari a 0.366 rad. Per eliminare la maggior parte degli eventi che perdono fotonisui quadrupoli e necessario applicare un taglio angolare sensibilmente piu ampio,ϑKL

> 0.7 rad come si evince dalla Figura 5.7, dove e mostrata la distribuzionedella posizione del vertice neutro (Rt vs. z) per due sottocampioni di dati: uno aprevalenza di segnale (nγ = 6 con un taglio in cos α > 0) e l’altro a prevalenza diinterazioni nucleari (nγ = 3 e con taglio in cos α > 0.2). Dalla figura e possibilenotare l’abbondanza di interazioni nucleari nella zona dei quadrupoli ovvero a z ∼±50 cm e Rt ∼ 10÷ 15 cm .A questo punto se si calcola l’efficienza di ricostruzione e selezione MC come:

εcos ϑKLcut =

NMCsig after all cut cos ϑKL

cut

NMCsig after tag cos ϑKL

cut

(5.7)

dove NMCsig after all cut cos ϑKL

cut e il numero di eventi KL → π0π0π0 simulati dal MC

che vengono ricostruiti, passano tutte le selezioni descritte nel capitolo 4.3.3 e an-che il taglio in cos ϑKL

< 0.77, mentre NMCsig after tag cos ϑKL

cut e il numero di eventi

KL → π0π0π0 simulati dal MC che superano il tag e il taglio in cos ϑKL< 0.77.

L’efficienza Monte Carlo cosı calcolata, visibile in alto in Figura 5.8, non mostraalcuna depressione il che significa che nella regione angolare selezionata la proceduradi ricostruzione degli eventi non risente dell’accettanza del rivelatore.A questo punto si e voluto verificare a che punto della nostra analisi potesse essere

rintracciata questa disomogeneita dell’accettanza del rivelatore. Per far cio si e stu-diato, in funzione del tempo proprio, il rapporto tra gli eventi che superano tag etaglio in cos ϑKL

, ed il campione di eventi con la sola richiesta del tag per i principalimodi di decadimento del KL.In basso in Figura 5.8 e mostrato tale rapporto per i principali canali di decadi-mento simulti da MC: l’andamento mostra tutte le distorsioni fino ad ora ritrovatenelle efficienze Monte Carlo (compresa la famosa depressione intorno a t∗ ∼ 7.5 ns).Trattandosi di uno studio interamente basato su variabili MC in generazione, apparechiaro che le distorsioni osservate non hanno nulla a che fare con la ricostruzione, mariflettono solamente l’accettanza geometrica del rivelatore, come e comprovato anchedal fatto che l’andamento resta pressoche identico per tutti i modi di decadimento

5.1. FIT DELLA DISTRIBUZIONE DI TEMPO PROPRIO 89

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

10

10 2

10 3

10 4

ng=6 cosa0 z

Rt

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

10

10 2

10 3

ng=3 cosa-0.2 z

Rt

Figura 5.7: Distribuzione di Rt vs. z della posizione del vertice neutro per i dati. Inalto per nγ = 6 con un taglio in cos α > 0 (decadimenti KL → π0π0π0 al 99.98% daMC ) , in basso per gli eventi con nγ = 3 e con taglio in cos α > −0.2 (componentidi fondo: interazioni nucleari al 79.7%, 8% di π+π−π0, 5% di decadimenti semileptonici stimati da MC).

90 CAPITOLO 5. RISULTATI

Figura 5.8: Sopra: efficienza Monte Carlo Kine in funzione del tempo proprio dopoil taglio su cos ϑKL

< 0.77. Sotto: rapporto tra il numero di eventi che passano iltag e il taglio in cos ϑKL

e quelli che hanno superato il tag, tutti simulati da MC

5.1. FIT DELLA DISTRIBUZIONE DI TEMPO PROPRIO 91

DT Proper Time

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

x 10 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Entries 42617458

Dati

Monte Carlo

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 5 10 15 20 25 30 35 40proper time, ns

resi

dui

Figura 5.9: Sopra a sinistra: distribuzione del tempo proprio per i dati dopo lasottrazione del fondo (puntini neri) e per il campione Monte Carlo del segnale (isto-gramma rosso). Sopra a destra il fit di vita media sulla distribuzione dei dati menoil fondo MC, corretta con l’efficenza MC con il taglio in cos ϑKL

in un range da[6 : 24] ns; sotto i residui del fit.

92 CAPITOLO 5. RISULTATI

del KL. E quindi possibile effettuare una misura di vita media restringendo a priori(prima del tag) l’accettanza del nostro rivelatore a cos ϑKL

< 0.77, verificando chetale restrizione non modifichi la distribuzione temporale del decadimento (o tenendoconto di eventuali piccoli effetti).

Si e dunque proceduto al fit della nuova distribuzione di t∗L (ottenuta dai datimeno il fondo Monte Carlo, corretti per l’efficienza MC bin per bin), in un rangeda [6 : 24] ns. Il risultato del fit e mostrato in alto a destra in Figura 5.9. Lavita media risultante e di: τ = (50.05 ± 0.10stat) ns con un χ2/ndf = 4.78, e conuna distribuzione dei residui molto disomogenea (in basso in Fig. 5.9). A quantopare rimangono degli effetti che distorcono l’andamento esponenziale dei dati a bassit∗, come si vede anche nella distribuzione dei dati meno il fondo MC confrontatacon il MCsignal in alto a sinistra in Fig. 5.9. Avendo ormai escluso che tali effettiprovengano dall’efficienza di ricostruzione si deve supporre che siano provocati dauna non perfetta sottrazione del fondo in quella regione di tempo proprio (comesi vedra piu avanti, lo studio delle incertezze sistematiche fornisce altre indicazioniin questo senso). La comprensione e la correzione di questi effetti richiedera unulteriore lavoro che esula dagli scopi di questa tesi.Per questi motivi si e scelto di utilizzare per la presente misura di vita media il fit aidati senza tagli in accettanza angolare, nel range 10 ÷ 26 ns, mostrato in Fig. 5.4,che fornisce

τ = (50.40± 0.13stat) ns (5.8)

5.2 Stima degli errori sistematici

L’incertezza sistematica in questa analisi deriva dalla conoscenza dell’efficienza delsegnale e delle varie componenti che la determinano, dallla conoscenza della distri-buzione e della quantita del vari contributi di fondo che vanno sottratti dai dati, daidettagli del fit alla distribuzione del tempo proprio, dalla conoscenza della scala deitempi assoluta e infine dalla conoscenza dell’intensita delle interazioni nucleari delKL con il materiale della camera.

5.2.1 Errore sistematico dovuto alla funzione di efficienza

Questa analisi e stata effettuata mantenendo l’efficienza sul segnale la piu alta possi-bile al fine di ridurre al minimo le sue variazioni lungo la lunghezza di decadimento.Infatti per una misura di vita media non conta il valore integrato dell’efficienza(perche non serve ricostruire il numero esatto di eventi di segnale), bensı la suauniformita in tutto l’intervallo temporale utilizzato per la misura. Quindi gli errorisistematici originati dall’efficienza di selezione del segnale sono legati alla conoscenzadel suo andamento in tempo.Nel caso piu semplice di efficienza con una dipendenza lineare da t∗ ε(t∗) = a + bt∗

si ha che il numero di KL a un dato t∗, N(t∗), e dato da:

N(t∗) = N0 e−t∗/τ · (a + bt∗) =∑

n

[dn

dtn(a + bT ∗)N0 e−t∗/τ

]0

t∗n

n!

= a ·N0

∑n(1− n b

aτ) t∗n

n!τn ' a ·N0

∑n

1n!

(1− b

aτ)n (

t∗τ

)n

' a ·N0 · e−t∗/τ∗(5.9)

5.2. STIMA DEGLI ERRORI SISTEMATICI 93

conτ ∗ ∼ τ(1 + (b/a)τ) (5.10)

Per esempio con τ ∼ 50 ns e (b/a) ∼ 10−5/ ns si misura un τ ∗ = 1.0005 · τ cioeun fattore 0.05% maggiore del valore vero. A seconda dei casi la correzione diquesto shift della vita media deve essere fatta a posteriori, oppure e gia inclusa neltrattamento dei dati.

Inoltre, l’incertezza statistica dei parametri a e b introduce un’incertezza siste-matica nella conoscenza di τ ∗ di:

δτ ∗

τ ∗∼ τ × b

(δb

b⊕ δa

a

)(5.11)

In questa analisi la funzione di efficienza ha tre contributi:

ε = εtag ⊗ εric ⊗ εcut (5.12)

e necessario percio valutare le correzioni e le corrispondenti incertezze sistematicheda applicare al risultato finale .

Efficienza di tag

L’efficienza di tag in funzione del t∗ e mostrata in Fig: 5.10. E interessante notarecome si differenzi per i vari modi di decadimento del KL, come gia discusso nellaSez.2.3.2.

L’andamento di εtag(t∗) e stato descritto con una retta di intercetta a = (0, 7047±

0, 0002) e pendenza b = (14, 3± 0, 8)10−5 . Dalla Eq. 5.10 si ottiene una correzionesul valore della vita media (b/a) · τ = −1, 01%, che per il valore ottenuto dal fit,Eq. 5.8, fornisce una correzione di −0.51. Tale correzione additiva va applicatadirettamente al risultato del fit di vita media.

L’andamento di εtag(t∗) e dovuto ad una dipendenza dell’efficienza di trigger dal-

la posizione del vertice di decadimento del KL nel FV in quanto le soglie del triggernon sono uniformi nelle varie zone del calorimetro, come descritto nella Sec. 2.2.4Questa condizione, unita alla richiesta che almeno uno dei due pioni di decadimentodel KS abbia un cluster associato di energia superiore a 100 MeV, determina l’anda-mento osservato. La sua stabilita puo essere verificata variando di ± una deviazionestandard (usando la risoluzione del calorimetro riportata in formula 2.2) la soglia dienergia richiesta offline. La variazione media della correzione ottenuta portando lasoglia a 85 MeV ed a 115 MeV e 0.17 ns, pari ad una incertezza sistematica dello0.34% .

Efficienza di ricostruzione

La richiesta minima per la ricostruzione di un vertice multi fotonico e di avere almenotre cluster neutri con energia maggiore di E > 20 MeV connessi con lo stesso verticeentro 5σ. L’efficienza di ricostruzione del vertice di singolo fotone e stata studiata neidati e corretta nel campione MC prima della ricostruzione del vertice multi fotonico,come descritto nel paragrafo 4.3.1. Con questa tecnica, ogni eventuale distorsionedella distribuzione temporale e automaticamente corretta nell’efficienza stimata da

94 CAPITOLO 5. RISULTATI

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

0.76

0.78

0.8

0 5 10 15 20 25 30 35 40proper time KINE

ε tag

π+ π- π0

144.3 / 79P1 0.7047 0.1681E-03P2 0.1430E-03 0.8377E-05

π0 π0 π0

Ke3

Kµ3

Figura 5.10: Distribuzione dell’efficienza di tag in funzione del tempo proprio per ilmaggiori canali di decadimento del KL.

MC. L’errore sistematico causato dall’errore statistico con cui si e misurata la cor-rezione di efficienza dai dati e trascurabile, come e stato verificato spostando di unadeviazione standard tutti i fattori di correzione.Un effetto piu rilevante deriva dall’incertezza sulla energia di soglia dei fotoni: larisoluzione del calorimetro intorno a 20 Mev e di ∼ 7 MeV: ripetendo la misura consoglia a 13 ed a 27 MeV si ottiene una variazione della vita media dello 0.16% .

Efficienza della selezione del segnale

I tagli di selezione che si sono studiati nella sezione 4.3.3 hanno grande impatto sullapercentuale di fondo ma hanno piccoli effetti sull’efficienza del segnale. Inoltre talitagli sono stati applicati solo a eventi con nγ = 3 e 4, che sono una frazione piccoladegli eventi totali entro il volume fiduciale. Dalle tabelle 4.2 e 4.3 si ricava chequesta selezione produce un’inefficienza totale sul segnale dello 0.7%. Supponendoche la conoscenza del rapporto dati- MC sia la stessa per ogni nγ, dalla Figura5.11 si vede che il rapporto dati-MC per eventi quasi privi di fondo con nγ = 5, 6e una costante con una RMS nel FV di ∼ 0.6%. Assumendo questa RMS comeincertezza sistematica di fondo sulla conoscenza del segnale da MC, si puo stimareuna incertezza sistematica sull’efficienza di selezione di selezione pari a 0.7%×0.6% =4.2 · 10−5, cioe completamente trascurabile.

5.2.2 Incertezza sistematica dovuta alla sottrazione del fon-do

Malgrado la contaminazione di eventi di fondo sia molto contenuta, come si osservanella Figura 5.1, la dipendenza del risultato del fit dalla sottrazione di questa com-ponente puo essere molto marcata. In effetti questo e proprio quello che accade al

5.2. STIMA DEGLI ERRORI SISTEMATICI 95

Figura 5.11: Distribuzione e fit costante dell’efficienza del segnale dati-MC per ilcampione di eventi con nγ = 5, 6.

-0.01

-0.0075

-0.005

-0.0025

0

0.0025

0.005

0.0075

0.01

-0.1 -0.075-0.05-0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1∆b/b

τ/τ

Figura 5.12: ∆τ/τ in funzione di ∆b/b .

96 CAPITOLO 5. RISULTATI

presente risultato: variando di ∆b/b la quantita di fondo sottratto ai dati si osservauna variazione di ∆τ/τ ∼ −0.1 ·∆b/b, come mostrato in figura 5.12. Probabilmentecio e dovuto alla distribuzione non uniforme in tempo del fondo. Purtroppo cioimplica che: anche un errore contenuto nella conoscenza del fondo si riflette in unerrore rilevante su τ . In particolare se si fa la ragionevole assunzione che il fondo sianoto al 10% (come suggerito da tutte le distribuzioni studiate nei dati e nel MC perfissare i cirteri di selezione), si ottiene comunque un errore sistematico su τL dell’1%.Un errore cosı elevato chiaramente inficia tutta la misura e verra nel seguito tenutoseparato dagli altri contributi. Il suo abbattimento richiedera una revisione dei cri-teri di selezione o, addirittura, di escludere completamente dalla misura gli eventiin cui vengono ricostruiti meno di 5 fotoni (purche si controlli poi accuratamentel’efficienza del segnale nei dati).

5.2.3 Sistematica dovuta alla calibrazione assoluta della sca-la dei tempi

Nella sezione 4.2.2 si e studiata la differenza tra la posizione del vertice neutro delKL ricostruita a partire dalle informazioni del calorimetro, e la posizione del verticecarico (KL → π+π−π0) ricostruita con la camera a deriva. In Figura 4.6 d), sivede che l’andamento del ∆R in funzione di Rt non e completamente piatto ma perraggi trasversi superiori a 100 cm inizia una salita, che puo essere approssimata dauna parabola. L’effetto sulla vita media di tale errata calibrazione e stato stimatoper mezzo di un toy MonteCarlo, nel quale la funzione di decadimento esponenzialee stata convoluta con la forma parabolica ricavata dai dati. Si ottiene uno shiftsistematico di -0.3% che andra applicato direttamente al risultato della misura.L’errore sistematico associato, deriva solo dall’errore sperimentale con cui e nota lacurva parabolica che approssima l’errore di calibrazione, ed e stato verificato esserepari allo 0.12% .

5.2.4 Incertezza sistematica dovuta alle interazioni nuclearidel KL

Come discusso nella sezione 4.4 il risultato della misura deve anche essere correttoper l’effetto delle interazioni nucleari, che sono di fatto in competizione col processodi decadimento e determinano un aumento fittizio della frequenza di decadimento,ovvero abbassano la vita media apparente. La correzione stimata dai dati in altreanalisi di KLOE [20], e pari a 0.33% con un errore sistematico pari allo 0.16%. Unaverifica sul campione usato per la presente misura sara indispensabile in futuro.

5.2.5 Incertezza sistematica dovuta alla scelta dell’intervallodi fit e del binning dell’istogramma

Al fine di studiare la stabilita del valore del fit al variare dei limiti si sono cambiatigli estremi del range di fit uno alla volta mantenendo fisso l’estremo opposto alvalore nominale (10 ns o 26 ns). Si ottiene una buona stabilita, vedi Figura 5.13 el’errore sistematico associato al range di fit si puo considerare trascurabile. L’effetto

5.2. STIMA DEGLI ERRORI SISTEMATICI 97

49

49.5

50

50.5

51

51.5

52

21 22 23 24 25 26 27 limite superiore del range di fit (limite inf. 10 ns), ns

Lif

etim

e, n

s

49

49.5

50

50.5

51

51.5

52

9 10 11 12 13 14 15 limite inferiore range fit (limite sup. 26 ns), ns

Lif

etim

e, n

s

Figura 5.13: distribuzione della vita media al variare dei limiti del fit.

della scelta del numero di bin dell’istogrmma della distribuzioni di tempo proprioestato valutato ripetendo i fit di vita media nel range da 10 a 26 ns con un binningpiu largo di un fattore 2 e di un fattore 4. Il valore ottenuto per la vita media non ecambiato sensibilmente e quindi anche questo effetto sistematico si puo trascurare.

5.2.6 Risultati

In Tabella 5.1 e mostrato un riepilogo delle correzioni e delle incertezze sistematicheassociate a questa misura di vita media. Mettendo insieme tutti i risultati ottenuti

Sorgente ∆τ/τ ∆τ Correzione

Efficienza di tag 0.34% 0.17 ns - 0.51 nsEfficienza di ricostruzione 0.16% 0.08 ns -

Efficienza di selezione - - -Scala dei tempi 0.12% 0.06 ns - 0.15 ns

Interazioni Nucleari 0.16% 0.08 ns + 0.17 ns

Totale 0.21 ns - 0.49 ns

Bckg 1.0% 0.50 ns -

Tabella 5.1: Riepilogo delle correzioni e delle incertezze sistematiche della misura diτKL

.

il valore della vita media del KL trovato e di:

τKL= (49.92± 0.12stat ± 0.21sys ± 0.50bckg) ns.

Capitolo 6

Conclusioni

In questo lavoro di tesi si e effettuata una misura diretta della vita media del KL,attraverso eventi KL → π0π0π0 selezionati attraverso eventi KS → π+π− con uncampione 20M di eventi.Con questa analisi si e ricavata una misura di vita media di

τ = (49.92± 0.12stat ± 0.21sys ± 0.50bckg)ns

calcolata in un intervallo di fit da 10 ns a 26 ns.

Questo valore entro 2σ e compatibile con la misura diretta di vita media del KL,[28], pubblicata da KLOE con i dati raccolti nel 2001-2002.A parte il contributo dovuto alla sottrazione del fondo, che segnala un difetto dicomprensione dei dati che andra chiarito negli studi successivi, il confronto dell’er-rore sistematico tra le due misure risulta del tutto compatibile, mentre ovviamentel’errore statistico della presente misura e ridotto grazie alla dimensione del campionestatistico a disposizione.Tale campione di dati permettera sicuramente di limare anche i vari contributi al-l’errore sistematico attraverso studi dedicati.

Si puo concludere, quindi, che questo lavoro di tesi e un primo contributo per ilraffinamento della misura di vita media del KL nei dati di KLOE del 2005 (e del2004, che non sono stati inclusi nel presente lavoro).Con questo lavoro di tesi sono stati evidenziati numerosi e interessanti spunti per lacomprensione del campione di dati e la conoscenza degli effetti sistematici.

99

Ringraziamenti

Questa tesi mi ha permesso di lavorare all’analisi dei dati e di sviluppare un sensoe una sensibilita scientifica indispensabili per questo mestiere. Osservare e

imparare come approcciarsi a una misura e alle problematiche che derivano dalragiungimento di un risultato sono sicuramente gli obbiettivi che ho raggiunto in

questi mesi di lavoro.Vorrei ringraziare quindi il professor Filippo Ceradini per avermi spinto alla ricerca

del senso fisico e alla ricerca della “ semplicita ” di imparare,il dottor. Antonio Passeri per avermi seguito, aiutato e “iniziato ” al fantastico

mondo di KLOE.Inoltre vorrei ringraziare Simona per essere stata un’insegnante “alla pari”

e Cecilia, Gian Luca e Luca per essere stati i migliori amici fisici che esistono.

Non staro qui a ringraziare tutto il mio mondo al di fuori dalla fisica, pero nonposso non ringraziare la mia incredibile famiglia che nonostante le sue stranezze e

peculiarita rimane il mio sistema di riferimento,e mio nonno che ha reso possibile che questa tesi sia priva di errori di sintassi e di

ortografia Italiana.

Bibliografia

[1] K.G. Vosburgh et al., Phys. Rev. Lett. 26 (1971), 866 e Phys. Rev. D6 (1972),1834.

[2] P.Franzini, Predicting the statistical accurancy of an experiment, The SecondDAΦNE Physics Handbook, Vol. II, p823, ed L. Maiani, G. Pancheri, N. Pa-ver (1995). Guardare inoltre Statistic, The method of maximum likelihood, inReview of Particle Physics,Phys.Lett. B 592 (2004).

[3] F. Ambrosino et al., Phys. Lett. B 632 (2006) 43-50.

[4] F. Ambrosino et al., Phys. Lett. B 626 (2005) 15-23.

[5] G. D. Rochester and C. C. Butler, Evidence for the existence of new unstableelementary particles. Nature, 160: 855-857 (1947).

[6] M. Gell-Mann and A. Pais, “Behavior of neutral particles under chargeconjugation.” Phys. Rev. 97: 1387-1389 (1955).

[7] L. D. Landau, “On the conservation laws for weak interactions.”Nucl. Phys. 3: 127-131 (1957).

[8] J. H. Christenson, J. W. Cronin, V. L. Fitch and R. Turlay “Evidence for the2π decay of the K0

2 meson.” Phys. Rev. Lett. 13: 138-140 (1964).

[9] S. Eidelman et al. [Particle Data Group Collaboration],Phys. Lett. B 592 (2004) 1.

[10] G. D. Barr et al. (NA31 Collaboration), “A new measurement of direct CPviolation in the neutral kaon system” Phys. Lett. B 317: 233-242 (1993).

[11] L. K. Gibbons et al. (E731 Collaboration), “Measurement of the CP violationparameter <e(ε′/ε)” Phys. Rev. Lett. 70: 1203-1206 (1993).

[12] J. R. Batley et al. (CERN NA48 Collaboration), Phys. Lett. B 544: 97 (2002).

[13] A. Alavi-Harati et al. (FNAL KTeV Collaboration),Phys. Rev. D 67: 012005 (2003).

[14] N. Cabibbo,Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 531.

[15] M. Kobayashi, T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 652 (1973) 49.

[16] L. Wolfenstein, Phys. Rev. Lett. 51, 1945 (1983).

103

104 BIBLIOGRAFIA

[17] S. Eidelman et al., (Particle Data Group), Phys. Lett. B 592 (2004) 1.

[18] M. Adinolfi, et al., The tracking detector of the KLOE experiment, Nucl.Instrum. Meth. A 488 (2002) 51.

[19] M. Adinolfi et al., The KLOE electromagnetic calorimeter, Nucl. Instrum. Meth.A 482 (2002) 364.

[20] M. Antonelli, P. Beltrame, M. Dreucci, M. Moulson, M. Palutan, A. Sibidanov,Measurements of the absolute branching fractions for the dominant KL decays,the KL lifetime and | Vus | with the KLOE detector, KLOE note n.204 (2005).URL: http://www.lnf.infn.it/kloe/pub/knote/kn204.ps

[21] M. Adinolfi et al. (KLOE collaboration), The trigger system of the KLOEexperiment. Nucl. Instr. Meth. A 492: 134-146 (2002).

[22] A. Aloisio et al. (KLOE collaboration), Data acquisition and monitoring forthe KLOE detector. Nucl. Instr. Meth. A 516: 288-314 (2004).

[23] M. Antonelli, M. Dreucci, Measurment of the K0 mass from φ → KSKL, KS →π+π− , KLOE Note 181 (2002).

[24] R. Brun, et al., GEANT3, CERN-DD/EE/84-1 (1984).

[25] R. Brun, et al., GEANT: Simulation for particle physics experiments, user guideand reference manual, CERN-DD-78-2-REV (1978).

[26] S. Fiore, G. Venanzoni Quality selection for 2005 data, KLOE MEMO n.331(2006).

[27] F. Ambrosino, et al., Data handling, reconstruction, and simulation for theKLOE experiment, Nucl. Instrum. Meth. A 534 (2004) 403.

[28] G. Lanfranchi, Direct measurement of the KL lifetime, KLOE NOTE n.203