Polynômes d’endomorphismes etapplications

Jean-François Burnol, 10 septembre 2010

Dans toute cette fiche il sera question d’endomorphismes sur des K-espacesvectoriels de dimensions finies.

Postface : (15 septembre) bon je me suis visiblement laissé entraîner parmon élan. Je n’en suis pas trop mécontent car cela m’a permis de voir queje connaissais des choses sans même savoir comment, ni d’où, cela venait, etheureusement qu’il y a Internet qui m’a permis de finaliser en y trouvant lesnoms appropriés (par exemple : « matrices compagnons », « décomposition deFrobenius ») pour toutes ces choses. Au final il y a donc ici certaines des notionsqui sont probablement un peu trop poussées pour être directement utiles àl’Oral, mais elles pourraient bien l’être pour l’Écrit. En effet, cette fiche estdevenue un

Mini-Traité sur la réduction des

endomorphismesoù tout ce que vous n’avez jamais voulu savoir sur la décomposition de Frobenius occupe une douzaine de pages alors que le plus raisonnable et convenable

Lemme des Noyaux n’est qu’à peine évoqué à la toute fin.

1 Rapides rappels basiques, qu’il faut connaître de

toute façon

Le théorème de Cayley-Hamilton peut s’aborder de multiples manières. Jevoudrais rappeler d’abord brièvement les aspects les plus basiques de la décom-position des endomorphismes, qui ont en particulier comme conséquence unepreuve du théorème de Cayley-Hamilton. Pour ce dernier (que l’on peut voircomme un énoncé sur les matrices carrées) on peut d’emblée supposer que lecorps K est algébriquement clos. Cette hypothèse permet lorsque l’on a un es-pace vectoriel V de dimension finie muni d’un endomorphisme f de travailleravec les valeurs propres (attention : V 6= {0}). Donc soit λ une valeur proprede f, dim Ker(f − λ) > 0 (l’endomorphisme identité IdV est sous-entendu dansla notation : f − λ = f − λIdV). La suite Kn = Ker(f − λ)n (avec K0 = {0})est croissante pour l’inclusion. Il existe un plus petit indice N (et N ≥ 1) avecKN = KN+1. Comme les inclusions précédentes sont strictes on a dim KN ≥ N,une remarque qui sera utile plus tard. À partir de KN = KN+1 il est facile de voirque KN = KN+1 = KN+2 = . . . (je le laisse en exercice). Soit Jn = Im(f − λ)n.

1

La suite des images Jn = Im(f − λ)n est décroissante pour l’inclusion et se sta-bilise aussi à partir de n = N, en utilisant le théorème du rang pour le calculde la dimension de Jn. Si x ∈ KN ∩ JN alors x = (f − λ)N(y) et (f − λ)N(x) = 0donc (f − λ)2N(y) = 0 donc (f − λ)N(y) = 0 donc x = 0. Donc KN et JN sonten somme directe et comme leurs dimensions sont complémentaires (théorèmedu rang) on obtient la décomposition en somme directe V = KN ⊕ JN. Sur JN,f − λ est injectif (puisque le noyau est K1 et K1 ∩ JN = {0}), donc λ n’est pasvaleur propre de f sur JN. On en déduit par récurrence sur dim V qu’il existeune décomposition (unique d’ailleurs) V = ⊕Vλ indexée par les valeurs propresλ et f − λ est nilpotent sur Vλ. Les espaces Vλ sont les « espaces caractéris-

tiques » de l’endomorphisme f. On peut choisir une base de Vλ de sorte quef y soit représenté par une une matrice triangulaire supérieure avec des λ surla diagonale (f − λ est nilpotente sur Vλ, et la trigonalisabilité d’un endomor-phisme nilpotent N se montre facilement par récurrence sur la dimension del’espace, puisque tout passage à un quotient redonne un endomorphisme nil-potent, ou encore en utilisant une forme linéaire non nulle L avec N*(L) = 0,puisque N* est aussi nilpotent, et alors l’hyperplan L(x) = 0 est stable par N).En combinant les bases des différents Vλ, on obtient une matrice triangulairereprésentant f, et on en déduit que le polynôme caractéristique det(X − f) vaut∏

λ(X − λ)dim Vλ. Comme dim Vλ ≥ Nλ (« remarque utile » faite précédem-ment), l’endomorphisme

∏

λ(f − λ)dim Vλ vaut zéro sur chaque Vλ donc sur Vtout entier : d’où le théorème de Cayley-Hamilton.

Tout ce que je viens de dire, il faut absolument le connaître. Dans la suiteon s’intéresse plus généralement à tous les polynômes en l’endomorphisme f.Paradoxalement peut-être, dans un premier temps au moins on n’y utilisera pasce qui précède, encore que la boucle sera bouclée vers la fin de notre épopée.Et on ne veut pas être restreint à un corps algébriquement clos. Ceci élargit lechamp de vision, et le langage le plus adapté serait celui des modules sur l’an-neau K[X], mais j’ai par masochisme voulu l’éviter (ça me paraissait impossiblemais en fin de compte la Didactique habitue à tous les sacrifices, par usure).

2 Polynômes minimaux (au pluriel)

Soit V un K-espace vectoriel et f ∈ End(V) un endomorphisme. Il existe un(unique) morphisme de K-algèbres de K[X] sur End(V) qui envoie X sur f. Onnote P(f) l’image du polynôme P, car en effet il s’agit de substituer f à X dansP.

Le noyau est un idéal de K[X], idéal non nul, car K[X] est un K espacevectoriel de dimension infinie tandis que End(V) est de dimension finie. Doncil est engendré par un unique polynôme unitaire Mf : on l’appelle polynôme(annulateur) minimal de f. C’est donc le polynôme unitaire de plus bas degré

2

vérifiant Mf(f) = 0. Par exemple si f = 0 alors Mf = X, sauf si V = {0} auquel casMf = 1. Le cas Mf = 1 ne peut survenir que si V est l’espace nul. Si dim V > 0alors deg Mf > 0.

On peut (ici dim V = N > 0) représenter f par une matrice carrée A de tailleN, et Mf est le polynôme unitaire de plus bas degré avec Mf(A) = 0, donc on peutaussi parler du polynôme minimal MA = Mf de la matrice A. Comme pour toutpolynôme P on a P(SAS−1) = SP(A)S−1, le polynôme minimal MSAS−1 = MAest un invariant de similitude de la matrice A. Notons aussi l’énoncé importantsuivant :

Proposition 1. Soit A une matrice carrée de taille N à coefficients dans un corpsK. Le polynôme minimal de A reste inchangé par le passage à un sur-corps Lde K.

Preuve : nous représentons les matrices carrées de taille N comme des lignesavec N2 coefficients. Pour chaque n, appliquons l’algorithme du pivot de Gaussaux n+1 lignes IN, A, . . ., An, algorithme qui procède par combinaisons linéaireset permutations de lignes. Le nombre de lignes non nulles à la fin est égal à ladimension dn de l’espace vectoriel engendré par IN, A, . . ., An. Le degré dupolynôme minimal est le plus petit n avec dn < 1 + n. Comme l’algorithme dupivot ne dépend que des coefficients et non du corps ambiant L, le degré dupolynôme minimal reste inchangé. Donc le polynôme minimal reste inchangé(puisque celui sur L divise dans L[X] celui sur K). On peut aussi faire la preuveen utilisant une K-forme linéaire λ : L → K avec λ(1) = 1, mais la preuved’existence de λ nécessite le Lemme de Zorn si L est de dimension infinie sur K.Cependant si K = R et L = C cette approche marche très bien avec λ(z) = Re(z) :si P ∈ L[X] annule A alors λ(P) ∈ K[X] aussi, et λ(P) est unitaire si P l’est. Onretrouve que le degré du polynôme minimal ne peut pas décroître.

On peut aussi associer à tout vecteur x l’idéal dans K[X] des polynômesP avec P(f)(x) = 0, d’où un polynôme minimal Mx (aussi appelé polynômeannulateur et bien sûr il faudrait plutôt écrire Mf,x). On a deg Mx > 0 sauf six = 0. Certainement Mx divise Mf puisque Mf(f)(x) = 0.

Nous essayons maintenant de comprendre la relation entre Mf et les Mx. Soit(e1, . . . , eN) une base de V. Notons M1, . . ., MN les polynômes minimaux associésaux vecteurs de la base et soit P leur PPCM (que l’on prend unitaire lui aussi).On a P(f)(ej) = 0 pour tout j donc P(f) = 0 donc P est un multiple (au sens de ladivision des polynômes) du polynôme minimal Mf . Mais par ailleurs chaque Mj

divise Mf donc leur PPCM divise Mf . Au final : Mf = P = ppcm(M1, . . . ,MN).

En fait, et cela sera notre premier énoncé très significatif, on peut toujourstrouver un vecteur x avec Mx = Mf . Nous verrons cela plus tard, pour le momentfaisons une pause pour montrer le théorème de Cayley-Hamilton d’une façontrès simple.

3

3 Une démonstration super géniale du théorème de

Cayley Hamilton

Soit A une matrice carrée et P(X) = det(X−A) son polynôme caractéristique.On a :

(1) P(A) = det(A − A) = det 0 = 0

Ceux qui sont satisfaits par cette preuve peuvent arrêter la lecture ici, car ilest peu probable que la suite leur soit utile ! (soit parce qu’ils sont d’excellentsmathématiciens et savent comment convertir la chose ci-dessus en une vraiepreuve, soit au contraire parce qu’ils sont de très modestes mathématicienspour lesquels c’était déjà une vraie preuve).

4 Matrices compagnons et Cayley-Hamilton

Il y a une situation qui sera fondamentale pour nous : on dit que V estcyclique (pour f) s’il existe un vecteur x tel que V soit engendré par x, f(x),f2(x), . . .. Calculons dans ce cas le polynôme minimal de f. D’abord si x = 0alors V = {0} et Mf = 1. Sinon il existe un plus grand entier n ≥ 1 tel que x, f(x),. . ., fn−1(x) soient linéairement indépendants. Donc fn(x) est une combinaisonlinéaire des précédents :

(2) fn(x) = an−1fn−1(x) + · · ·+ a0 x

Par récurrence pour m ≥ n, fm(x) est aussi combinaison linéaire de ces n vec-teurs. Donc ces vecteurs forment une base de V. Notons

(3) P(X) = Xn − an−1Xn−1 − · · · − a0

On a P(f)(x) = 0, donc P(f)(f(x)) = f(P(f)(x)) = 0, etc. . .Donc P est tel queP(f) = 0 et est ainsi un multiple (au sens de la division des polynômes) de Mf .Par ailleurs pour tout polynôme non nul Q de degré strictement inférieur à n,on a Q(f)(x) 6= 0 puisque x, f(x), . . ., fn−1(x) sont linéairement indépendants.Donc Mf est de degré au moins n et finalement Mf = P.

Écrivons la matrice de f dans la base (x, f(x), . . . , fn−1(x)). Elle est

(4) C(P) =

0 a01 0 a1

1 0 a2. . .

. . .

1 0 an−21 an−1

Une telle matrice s’appelle “matrice compagnon” (du polynôme unitaire P).

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Proposition 2. Le polynôme caractéristique de la matrice compagnon est égal àP.

Preuve : par exemple par récurrence en développant le déterminant det(XIn−C(P)) par rapport à la première colonne. Nous ré-aborderons ce point plus tardpour en donner une version plus sophistiquée.

Nous pouvons maintenant donner une preuve rapide du théorème de Cayley-Hamilton :

Théorème 1. Soit V un espace vectoriel non nul et f un endomorphisme depolynôme caractéristique P. Alors P(f) = 0.

Preuve : soit x un vecteur non nul, et Vx le plus petit sous-espace stable parf et contenant x, c’est-à-dire l’espace cyclique engendré par x et ses images sousf. Notons g la restriction de f à Vx. On sait (en complétant une base de Vx parle théorème de la base incomplète et en faisant un calcul de déterminant parbloc) que le polynôme caractéristique Px de g divise celui de f. Or Px par ce quiprécède n’est autre que le polynôme minimal de x, en particulier Px(f)(x) = 0.Donc P(f)(x) = 0. Donc P(f) = 0. Attention, en dimension zéro le théorème estvrai mais de manière un peu spéciale : on doit convenir P = 1 (par exemple parcequ’un produit sur un ensemble vide est toujours pris égal à 1, de même qu’unesomme sur un ensemble vide est toujours prise égale à zéro) donc P(f) = Id eton a IdV = 0V comme identité d’endomorphismes sur l’espace vectoriel nul V.

Il est utile d’étudier de plus près les espaces cycliques.

Proposition 3. Soit P1 et P2 deux polynômes unitaires. S’il existe un isomor-phisme φ : K[X]/(P1) ≃ K[X]/(P2) de K-espaces vectoriels vérifiant ∀Q φ(XQ) =Xφ(Q), alors P1 = P2.

Preuve : notons V1 = K[X]/(P1) et soit f1 ∈ End(V1) la multiplication parX et notons V2 = K[X]/(P2) et soit f2 ∈ End(V2) la multiplication par X.Le polynôme minimal M1 de f1 est P1 et le polynôme minimal M2 de f2 estP2. Or, pour tout polynôme T, on φ ◦ T(f1) = T(f2) ◦ φ. Donc M1(f2) = 0 etM2 divise M1. En échangeant les rôles, M1 divise M2 et finalement M1 = M2c’est-à-dire P1 = P2. On peut aussi dire qu’à cause de l’isomorphisme φ, lamultiplication par X a même polynôme caractéristique dans les deux espacesV1 et V2, or dans le premier sa matrice dans la base canonique (1,X, . . . ,Xn−1)est la matrice compagnon C(P1) et dans le second c’est C(P2). Donc P1 = P2.

L’énoncé qui suit sera utilisé par la suite :

Proposition 4. Soit V = K[X]/(P) et f l’endomorphisme de multiplication parX. Pour tout polynôme unitaire T, le noyau Ker T(f) est le sous espace cy-clique engendré par P

pgcd(T,P)et le polynôme minimal associé est pgcd(T,P).

En particulier :

(5) dim Ker T(f) = deg pgcd(T,P)

5

Preuve : soit T un polynôme unitaire, déterminons Ker T(f). Tout d’abordsi x ∈ V est (la classe d’) un polynôme Q alors tout bêtement T(f)(x) est (laclasse) du polynôme TQ. Donc pour que T(f)(x) = 0, il faut et il suffit queP divise TQ. Notons D = pgcd(T,P), P = DA, T = DB. Pour que DA diviseQDB il est nécessaire et suffisant que A divise QB mais A est premier à Bdonc cela équivaut à ce que A divise Q. Donc le noyau de T(f) est composédes vecteurs x de la forme Q = AR (modulo P). Il s’agit donc du sous-espacecyclique engendré par A (= P

pgcd(T,P)). Si l’on multiplie A par un polynôme

non nul de degré strictement inférieur à celui de D = pgcd(T,P), on obtient unpolynôme non nul de degré strictement inférieur à celui de P donc un élémentnon nul de K[X]/(P). Donc le polynôme minimal de A est pgcd(T,P). Fin de lapreuve.

5 Existence d’un vecteur de polynôme minimal maxi-

mal

Nous prouvons maintenant le résultat crucial suivant :

Théorème 2. Étant donné dans V des vecteurs x1, . . ., xk, de polynômes mini-maux associés M1, . . ., Mk, il existe un vecteur x dans V de polynôme minimalassocié Mx = ppcm(M1, . . . ,Mk).

Preuve : il suffit de faire le cas k = 2 car le cas général en résulte parune récurrence (et le fait que ppcm(M1,M2,M3) = ppcm(ppcm(M1,M2),M3)etc. . .). Supposons donc k = 2 et aussi, dans un premier temps que M1 et M2sont premiers entre eux. Alors je dis que x = x1 + x2 convient. En effet si0 = P(f)(x) = P(f)(x1)+P(f)(x2) alors 0 = (PM2)(f)(x1)+0 donc M1 divise PM2donc M1 divise P. De même M2 divise P donc M1M2 divise P. Donc M1M2 diviseMx. Mais bien sûr (M1M2)(f)(x) = 0 donc Mx divise M1M2. Donc Mx = M1M2.

Dans le cas général on fait quelque chose d’un peu rusé. Il n’y a qu’un nombrefini de polynômes unitaires irréductibles distincts divisant M1 ou M2. Notons-lesπ1, . . ., πk. Ainsi :

(6) M1 = πa11 . . . π

akk M2 = π

b11 . . . π

bkk

Soit J ⊂ {1, . . . , k} l’ensemble des j avec aj ≥ bj et posons (rappel : par conven-tion un produit vide vaut 1) :

(7) N1 =∏

j∈J

πajj N2 =

∏

j∈Jc

πbjj

Par construction ppcm(M1,M2) = N1N2, et N1 et N2 sont premiers entre eux.Enfin écrivons M1 = N1T1, M2 = N2T2, et x′1 = T1(f)(x1) et x′2 = T2(f)(x2).

6

Je prétends que le polynôme minimal de x′1 est N1 et celui de x′2 est N2. Eneffet si P(f)T1(f)(x1) = 0 alors PT1 est divisible par M1 = N1T1 donc N1 diviseP. Et réciproquement N1(f)(x

′1) = N1(f)T1(f)(x1) = M1(f)(x1) = 0. De même

pour x′2. Donc par ce que l’on a fait avant, le polynôme minimal de x′1 + x′2 estN1N2 = ppcm(M1,M2), comme voulu. Ce qui termine cette preuve.

6 Décomposition

Si l’on reprend donc notre discussion d’un endomorphisme f sur un K-espacevectoriel V non nul on sait à ce stade qu’il existe des vecteurs x tels que Mx = Mf ,puisque nous avions vu précédemment Mf = ppcm(Me1 , . . . ,Men) pour toutebase (e1, . . . , en) de V. La deuxième étape cruciale est :

Théorème 3. Soit x tel que Mx = Mf . Alors le sous-espace cyclique Vx de Vengendré par x et ses images sous f admet un complémentaire W stable par f.

La preuve en est assez rusée. Tout d’abord, si V est l’espace nul le théorèmeest vrai bien que pas très exaltant. Si V n’est pas l’espace nul on a deg Mf > 0,donc deg Mx > 0 et x n’est pas nul. Soit n = dim Vx ≥ 1, Vx possède comme basex, f(x), . . ., fn−1(x). Choisissons une forme linéaire L sur V avec les contraintes :

(8) L(x) = L(f(x)) = · · · = L(fn−2(x)) = 0 et L(fn−1(x)) = 1

Bien sûr si n = 1 il faut juste comprendre L(x) = 1. Maintenant on pose L1 = Let L2 = f*(L1), . . ., Ln = (f*)n−1(L1). C’est-à-dire :

(9) Lk(y) = L(fk(y))

Finalement j’écris l1, . . ., ln pour les restrictions de L1, . . ., Ln à Vx. Dans labase de V*

x duale de la base (x, . . . , fn−1(x)) de Vx, les formes linéaires l1, . . .,ln s’écrivent de manière triangulaire inversible (plus précisément la matrice descoefficients de ln, . . ., l1 est triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale).Elles sont donc linéairement indépendantes.

Donc les n formes linéaires L1, . . ., Ln sur V sont linéairement indépendantes.Leur noyau commun W est donc de codimension n, de plus son intersection avecVx est aussi de codimension n dans Vx donc cette intersection est nulle, doncen fait V = Vx ⊕ W. Il reste à prouver que W est stable sous f. Mais si y ∈ Wet z = f(y) alors tout d’abord :

(10) L1(z) = L2(y) = 0,L2(z) = L3(y) = 0, . . . ,Ln−1(z) = Ln(y) = 0

et finalement Ln(z) = L1(fn(y)) or le polynôme minimal Mf est de degré n donc

fn(y) est combinaison linéaire de y, f(y), . . ., fn−1(y). Comme L1 s’annule sur

7

eux, on a bien Ln(z) = 0. Donc z ∈ W, ce qu’il fallait démontrer. Le Théorèmeest établi.

Si V n’est pas l’espace nul nous avons vu que le x n’est pas un vecteur nul,donc W, supplémentaire de Vx est un sous-espace propre de V (éventuellementnul). Si W n’est pas l’espace nul, nous pouvons itérer la construction, et ainside suite jusqu’à obtenir un espace nul. Notons M1 le polynôme minimal de fsur V, M2 celui de sa restriction au sous-espace propre W, etc. . .. Ainsi M2divise M1, etc. . .Ainsi, par récurrence sur la dimension, on obtient le théorèmede structure (première partie : existence) :

Théorème 4. Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel V 6= {0}. Il existeune décomposition de V en somme directe de sous-espaces cycliques non nuls

(11) V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vp

de polynômes minimaux associés M1, . . ., Mp, avec Mj+1 diviseur de Mj pour1 ≤ j < p. Le polynôme minimal de f est M1 et le polynôme caractéristiquedet(X − f) est le produit M1M2 · · ·Mp.

La formule pour le polynôme caractéristique résulte du calcul des polynômescaractéristiques pour les espaces cycliques. On note comme conséquence immé-diate le Théorème de Cayley-Hamilton, puisque notre formule prouve que lepolynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

La décomposition du théorème n’est pas du tout unique, par contre, et c’estlà la deuxième partie du théorème de structure, le nombre p et les polynômesM1, . . ., Mp, eux sont déterminés de manière unique :

7 Unicité

Théorème 5. Soit p ≥ 1 un entier et Mp|Mp−1| · · · |M1 des polynômes unitairesde degrés strictement positifs. Et soit q ≥ 1 un entier et Nq|Nq−1| · · · |N1 despolynômes unitaires de degrés strictement positifs. S’il existe un isomorphisme

(12) φ : K[X]/(M1)⊕ · · · ⊕ K[X]/(Mp) ≃ K[X]/(N1)⊕ · · · ⊕ K[X]/(Nq)

commutant à la multiplication par X alors q = p, Np = Mp, . . ., N1 = M1.

Soit V = K[X]/(M1) ⊕ · · · ⊕ K[X]/(Mp) et notons f la multiplication par Xdans V. Et soit W = K[X]/(N1) ⊕ · · · ⊕ K[X]/(Nq) et g la multiplication par Xdans W. Si T est un polynôme quelconque on a la formule :

(13) φ ◦ T(f) = T(g) ◦ φ

qui généralise φ ◦ f = g ◦ φ faisant partie des hypothèses de l’énoncé.

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Ainsi φ(Ker T(f)) = Ker T(g) et dim Ker T(f) = dim Ker T(g). Or, pour Tunitaire, on a, d’après la Proposition 4,

(14) dim Ker T(f) =∑

1≤j≤p

deg pgcd(T,Mj) ≤ p deg T

l’égalité n’étant atteinte que si T divise tous les Mj, c’est-à-dire si T divise Mp.Je rappelle maintenant que dans notre énoncé on a imposé deg Mp > 0. Je peuxdonc considérer la fonction ψ qui, aux polynômes unitaires non constants Tassocie

(15) ψ(T) =dim Ker T(f)

deg T=

dim Ker T(g)

deg T

Cette fonction est majorée par p et atteint son maximum p en T = Mp etses diviseurs unitaires non constants. Et elle est majorée par q et atteint sonmaximum q en T = Nq et ses diviseurs. Donc p = q, et Mp = Nq car ce polynômeest caractérisé comme étant celui de plus haut degré réalisant le maximum dela fonction ψ.

Notons donc T ce polynôme unitaire non constant Mp = Nq. L’isomorphismeφ : V ≃ W passe au quotient en un isomorphisme φ : V/Ker T(f) ≃ W/Ker T(g).De plus le noyau de la restriction de Mp(f) au module cyclique K[X]/(Mj) estengendré par le polynôme Mj/Mp, et on a l’isomorphisme commutant à la mul-tiplication par X :

(16) (K[X]/(Mj))/(Mj/Mp) ≃ K[X]/(Mj/Mp)

donc

(17) V/Ker T(f) ≃ ⊕1≤j≤p′K[X]/(Mj/Mp)

où l’on a arrêté la somme au plus grand indice j avec deg Mj > deg Mp. Il estpossible qu’il n’y ait aucun tel indice auquel cas M1 = M2 = · · · = Mp. Mais alorsV/Ker T(f) = 0 donc W/Ker T(g) = 0 donc on a aussi N1 = N2 = · · · = Nq et ona déjà vu p = q et Mp = Nq. Donc soit la preuve s’arrête là, soit on s’est ramenéà un isomorphisme entre deux sommes directes non nulles d’espaces cycliquesnon nuls, avec un nombre inférieur de termes. Par hypothèse de récurrence,Mj/Mp = Nj/Nq pour j ≤ p′ = q′ et le Théorème est démontré.

Si l’on revient à la situation d’un espace vectoriel V non nul et d’un endo-morphisme f, et que l’on représente V comme somme directe de sous-espacescycliques non nuls :

(18) V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vp

de polynômes minimaux associés M1, . . ., Mp vérifiant Mp|Mp−1| · · · |M1, toutchoix de vecteurs x1 ∈ V1, . . ., xp ∈ Vp les engendrant comme espaces cycliquesdonne un isomorphisme :

(19) V ≃ K[X]/(M1)⊕ · · · ⊕ K[X]/(Mp)

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qui fait correspondre à f la multiplication par X. Une autre décomposition dumême type donne un autre isomorphisme :

(20) V ≃ K[X]/(N1)⊕ · · · ⊕ K[X]/(Nq)

et par le Théorème que nous venons de prouver on a donc en fait p = q etMj = Nj, pour 1 ≤ j ≤ p.

Attention, dans tout cela on a fait un usage essentiel de la condition queles Mj forment une chaîne décroissante pour la divisibilité des polynômes :l’unicité serait complètement fausse sans cette condition. Et par ailleurs, cesont uniquement les polynômes Mj qui sont uniques, et pas la décompositionelle-même de V en sous-espaces cycliques.

8 Invariants de similitude

Soit f un endomorphisme de V, et soit θ un isomorphisme du K-espacevectoriel V. Soit g = θ ◦ f ◦ θ−1 conjugué à f. Si V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vp estune décomposition en espaces cycliques pour f alors V = θ(V1) ⊕ · · · ⊕ θ(Vp)est une décomposition en espaces cycliques pour g. En effet pour chaque Vj,on a θ : Vj ≃ θ(Vj) avec g(θ(x)) = θ(f(x)), donc θ(Vj) est aussi cyclique pour gavec comme générateur θ(xj) si xj est générateur pour f de Vj, et les polynômesminimaux sont les mêmes. Donc le nombre p et les polynômes M1, . . ., Mp sontles mêmes pour f et g : ce sont des invariants de similitude.

Réciproquement si f et g donnent lieu à des décompositions de V aux mêmespolynômes minimaux associés, alors

(21) φ1, φ2 : V ≃ K[X]/(M1)⊕ · · · ⊕ K[X]/(Mp)

avec φ1 ◦ f = X ◦ φ1, φ2 ◦ g = X ◦ φ2, donc avec θ = φ−12 ◦ φ1 on a :

(22) θ ◦ f ◦ θ−1 = φ−12 ◦ X ◦ φ2 = g

L’endomorphisme f est donc déterminé à similitude près par la connaissancedes polynômes minimaux M1, . . ., Mp.

Si l’on passe après choix d’une base de V à des matrices N×N à coefficientsdans K, on obtient le théorème suivant :

Théorème 6. Soit K un corps. Toute matrice carrée A à coefficients dans K estsemblable à une matrice composée de blocs diagonaux qui sont des matricescompagnons C(M1), . . ., C(Mp) avec Mj+1 diviseur de Mj :

(23) ∃S SAS−1 =

C(M1) 0 . . . . . . 00 C(M2) 0 . . . 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 . . . . . . 0 C(Mp)

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De plus deux telles matrices « réduites », c’est-à-dire sous cette forme diagonalepar blocs, avec Mj+1 diviseur de Mj, ne peuvent être semblables que si elles sontidentiques. Le polynôme unitaire M1 est le polynôme minimal de la matrice A,et le produit M1 . . .Mp est le polynôme caractéristique det(X − A).

Terminologie : les polynômes Mj sont les facteurs invariants de la matrice A(ou de l’endomorphisme f). La décomposition de l’espace vectoriel V en sommedirecte d’espace cycliques (avec condition de divisibilité sur les polynômes mini-maux) ou la réduction de la matrice A s’appelle la Décomposition de Frobenius.

Je donnerai plus loin des « formules » pour les facteurs invariants, mais surtoutun algorithme de calcul, plus efficace.

9 Quelques conséquences du Théorème de Décompo-

sition de Frobenius

Proposition 5. Si deux matrices carrées A et B à coefficients dans un corps Ksont semblables sur une extension L du corps K alors elles sont semblables surK.

Preuve : on peut supposer A et B réduites sur K au sens du Théorèmeprécédent. Si l’on remplace K par un sur-corps L, elles restent réduites en tantque matrices à coefficients dans L. Donc si elles sont semblables sur L elles sontidentiques. Donc les matrices d’origine étaient semblables sur K.

Exercice : prouvez-le directement lorsque L = C et K = R.

Proposition 6. Soit K un corps. Toute matrice carrée à coefficients dans K estsemblable (sur K) à sa transposée.

Preuve : il suffit de le montrer pour une matrice compagnon C(P), n =deg P ≥ 1. Soit V = K[X]/(P), et la base e1 = 1, e2 = X, . . ., en = Xn−1. Lamatrice C(P) est la matrice dans cette base de la multiplication f par X dansV. Considérons f* agissant sur le dual V*. Soit T un polynôme. Il est clair queT(f*) est l’adjoint de T(f). Donc T(f*) est nul si et seulement si T(f) est nul,donc le polynôme minimal de f* est celui de f, à savoir P. Il existe par notrethéorème général une forme linéaire L avec ML = P (en fait il suffit de prendrepar exemple le L tel que L(en) = 1 et tous les autres nuls) et le sous-espacecyclique engendré par L est déjà de dimension égale à celle de V*, donc en faitV* est cyclique pour f*, de polynôme minimal P. Donc pour une certaine basede V* la matrice de f* est aussi C(P). Par contre, on sait d’une manière généraleque si l’on prend comme base de V* la base duale de (e1, . . . , en) alors la matricereprésentant f* est la transposée de la matrice C(P) qui représentait f. DoncC(P) est semblable à sa transposée.

11

10 Magie noire avec les matrices compagnons

Soit P = Xn + an−1Xn−1 + · · ·+ a0 un polynôme unitaire de degré au moins1, et soit C(P) sa matrice compagnon :

(24) C(P) =

0 0 0 · · · · · · −a01 0 0 · · · · · · −a10 1 0 · · · · · · −a2

· · · · · ·. . .

. . . · · · · · ·0 · · · · · · 1 0 −an−20 0 · · · 0 1 −an−1

On sait que det(X−C(P)) = P, et on va préciser cet énoncé d’une manière assezremarquable.

Théorème 7. Il existe deux matrices n×n UP et VP, à coefficients dans l’anneauK[X], de déterminants 1, et telle que l’identité suivante soit vérifiée :

(25) UP · (X − C(P)) · VP =

P1

. . .

11

La matrice de droite est diagonale avec P, 1, . . ., 1 sur la diagonale. En particuliercela redonne det(X − C(P)) = P.

Preuve : tout d’abord si l’on a une matrice (carrée ou rectangulaire) avec deslignes L1, . . ., Ln, alors remplacer Li par Li + tLj (j 6= i) se réalise en multipliantà gauche par la matrice carrée n×n avec des 1 sur la diagonale et comme uniqueautre entrée non nulle un t à l’intersection de la ie ligne et de la je colonne. Demême si les colonnes sont C1, . . ., Cm, remplacer Ci par Ci + tCj se réalise enmultipliant à droite par la matrice carrée n × n avec des 1 sur la diagonale etcomme unique autre entrée non nulle un t à l’intersection de la ie colonne et dela je ligne. Regardons la matrice X − C(P) :

(26) X − C(P) =

X 0 · · · · · · a0−1 X 0 · · · a10 −1 X · · · a2· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · −1 X an−20 0 0 −1 X + an−1

On fait Ln−1 → Ln−1 + XLn, puis Ln−2 → Ln−2 + XLn−1, puis etc. . .et enfinL1 → L1 + XL2 (à ce stade L2 est une ligne commençant par −1 puis il y a

12

n − 2 zéros et enfin un certain polynôme à la fin). Ceci correspond à multiplierX − C(P) par la gauche par une certaine matrice (triangulaire supérieure avecdes 1 sur la diagonale) UP et donne comme résultat :

(27) UP · (X − C(P)) =

0 0 · · · · · · P−1 0 0 · · · *1

. . .. . . · · · · · ·−1 0 *n−2

−1 X + an−1

(28)

=⇒ UP · (X − C(P)) ·

1 0 · · · · · · *11 0 · · · *2

. . .. . .

...

1 X + an−11

=

0 0 · · · · · · P−1 0 0 · · · 0

. . .. . .

. . ....

−1 0 0−1 0

Il ne reste plus qu’à multiplier à droite par la matrice (de déterminant 1) :

(29)

0 −10 −1

. . .. . .

0 −11 0

Théorème 8. Soit A une matrice carrée sur un corps K, de taille N×N. Soit M1,. . ., Mp ses facteurs invariants (de Frobenius) et posons Mp+1 = · · · = MN = 1(on a nécessairement p ≤ N, car p est le nombre de blocs compagnons dansla réduction de A à la forme de Frobenius). Il existe des matrices U et V àcoefficients dans l’anneau K[X], de déterminants des scalaires non nuls, tellesque

(30) U · (X − A) · V = diag(M1,M2, . . . ,MN)

Preuve : il existe S inversible à coefficents dans K avec S−1AS égale à unesuite diagonale de blocs compagnons. Ensuite on applique le théorème précédentà chaque bloc : en assemblant tout par blocs le long de la diagonale on a presquece que l’on cherche, sauf qu’il ne reste plus qu’à conjuguer le tout par une matricede permutation afin de mettre les 1 à la fin, et d’aligner les M1, . . ., Mp à lasuite les uns des autres au début de la diagonale.

11 Une formule théorique pour les facteurs invariants

Théorème 9. Soit A une matrice carrée de taille N×N à coefficients dans un corpsK. Soit M1, . . ., Mp ses facteurs invariants (de Frobenius) et posons Mp+1 =

13

· · · = MN = 1. Alors, pour 1 ≤ j ≤ N, le produit

(31) MjMj+1 . . .MN

est le PGCD des mineurs de taille N − j + 1 de la matrice X − A à coefficientsdans l’anneau K[X].

On peut donc obtenir le polynôme minimal M1, en calculant les N2 mineursde taille N − 1 de la matrice X − A, puis leur PGCD, disons D et alors

(32) M1 =det(X − A)

D

Sûrement pas l’algorithme le moins gourmand en calculs !

Preuve du Théorème : soit A un anneau commutatif quelconque. Si A estune matrice n × m, notons Jk(A) l’idéal de A engendré par les

(nk

)(mk

)

mineursde taille k × k. Je dis que Jk(BA) ⊂ Jk(A) pour toute matrice B (de taillep × n). En effet chaque ligne de BA est une combinaison linéaire des lignes deA, donc par multilinéarité du déterminant, tout mineur de taille k de BA estune combinaison linéaire des mineurs de taille k de A. En particulier si B estune matrice carrée inversible (c’est-à-dire de déterminant une unité de A), on aJk(BA) = Jk(A) car A = B−1BA. De même pour la multiplication à droite, quis’interprète comme des combinaisons de colonnes. Nous appliquons ceci avecA = K[X], et à l’identité du Théorème 8 :

(33) U · (X − A) · V = diag(M1,M2, . . . ,MN)

où U et V sont, comme il y est dit, des matrices inversibles à coefficients dans A.Maintenant, lorsque l’on prend un mineur d’une matrice diagonale, déterminantde l’intersection de k lignes par k colonnes, si l’on retient la ligne i, il fautaussi retenir la colonne i, car sinon on aurait une ligne nulle. Donc les seulsmineurs non nuls sont centrés sur la diagonale. Finalement, compte tenu desrelations de divisibilité MN| · · · |M1, le « plus petit » (au sens de la divisibilité)mineur de taille k de diag(M1,M2, . . . ,MN) est celui en bas à droite, qui vautMN−k+1 · · ·MN. Fin de la preuve.

12 Un algorithme pour le calcul des facteurs invariants

Supposons que l’on ait une identité

(34) U′ · (X − A) · V′ = diag(M′1,M

′2, . . . ,M

′N)

avec des matrices U′ et V′ à coefficients dans K[X], de déterminants scalaireset non nuls, et des polynômes M′

j vérifiant M′N| · · · |M

′1. Alors Mj = M′

j. En

14

effet, la preuve du théorème précédent s’applique à l’identique et montre queles produits M′

jM′j+1 . . .M

′N, donc les M′

j ne dépendent que de la matrice A.

Il suffit donc de réduire X − A à une telle forme diagonale, par des combi-naisons réversibles de lignes, de colonnes, et des permutations de lignes et decolonnes. Prenons comme point de départ n’importe quelle matrice P à coeffi-cients dans l’anneau euclidien K[X]. Regardons les entrées de la première ligne etde la première colonne. Si elles ne sont pas toutes nulles, il existe une entrée nonnulle de degré minimal. Par des permutations soit de lignes soit de colonnes onla met en position (1, 1). Puis on applique l’algorithme de division euclidienne àchacune des autres entrées de la première ligne et de la première colonne pourles remplacer par leurs restes. S’il subsiste un reste non nul, on recommence, etainsi de suite. En un nombre fini d’étapes, on les a toutes réduites à zéro, saufpeut-être l’entrée en position (1, 1). On recommence ensuite à partir de (2, 2).Etc. . .En un nombre fini d’étapes on a réduit la matrice à une autre qui n’ad’entrées non nulles que sur la diagonale principale. Par des permutations onpeut mettre les zéros à la fin. Il reste à se débrouiller pour obtenir les relationsde divisibilité : il faut que l’entrée en (1, 1) soit multiple de toutes les autresnon nulles, etc. . .. C’est là où intervient la formule magique suivante, valabledans tout anneau commutatif intègre (les coefficients sont dans son corps desfractions) :

(35) 0 6= d = an + bm =⇒

( md

nd

−a b

)(

n 00 m

)(

bmd −1

and 1

)

=

(mnd 00 d

)

Supposons en particulier que n = N et m = M soient des polynômes non nuls,et D = AN + BM leur PGCD donné par une identité de Bezout. Alors on a

réduit

(

N 00 M

)

à

(

ppcm(N,M) 00 pgcd(N,M)

)

en la multipliant à gauche et à

droite par des matrices de déterminants 1. En appliquant ceci aux entrées (1, 1)et (2, 2) puis (1, 1) et (3, 3) etc. . ., on met le PPCM (des termes non nuls) en(1, 1), puis on recommence à partir de (2, 2), etc. . . La réduction de la matriceP de K[X] est achevée.

En appliquant cet algorithme à la matrice X − A on obtient au final lesinvariants de Frobenius M1, . . ., Mp de la matrice A.

13 Décomposition de Jordan d’un endomorphisme nil-

potent

Dans le cas d’un endomorphisme nilpotent N, le polynôme minimal et tousles facteurs invariants (qui en sont des diviseurs) sont des monômes Xk. Lamatrice compagnon C(Xk) est conjuguée à sa transposée (il suffit d’ailleurs de

15

passer à la base (Xk−1, . . . , 1) de K[X]/(Xk)) :

(36) C(Xk)t = Jk :=

0 10 1

. . .. . .

0 10

Donc la décomposition de Frobenius dans ce cas donne une décomposition enblocs de Jordan, dont le nombre et les tailles sont des invariants de similitudede l’endomorphisme nilpotent N. Le polynôme minimal est XK avec K la tailledu plus grand bloc, et on a M1 = M2 = · · · = Mq avec q le nombre de fois qu’il

y a un bloc de taille K, puis Mq+1 est XL avec L la taille maximale de ceux quirestent etc. . .

14 Décomposition en espaces caractéristiques d’un en-

domorphisme scindé

Théorème 10. Le polynôme minimal Mf et le polynôme caractéristique Pf =det(X − f) ont les mêmes zéros dans K. L’un est scindé sur K si et seulement sil’autre l’est aussi.

Preuve : par Cayley-Hamilton Mf |Pf donc tout zéro de Mf dans K est unzéro de Pf . Réciproquement si Pf(λ) = 0 alors λ est valeur propre donc il existex non nul avec f(x) = λx. Le polynôme minimal de x est X− λ. Donc Mf est unmultiple de X − λ, autrement dit Mf(λ) = 0. Ceci montre que Mf et Pf ont lesmêmes zéros dans K.

Si Pf est scindé, Mf qui en est un diviseur le sera aussi. Réciproquement, siMf est scindé, les autres facteurs invariants M2, . . ., Mp qui en sont des diviseursle sont aussi donc le produit Pf = M1 · · ·Mp est scindé.

On peut montrer (Mf scindé =⇒ det(X − f) scindé) sans avoir à invoquerla théorie des facteurs invariants. Par exemple, par récurrence sur la dimensionde la manière suivante. Soit x un vecteur non nul et Vx l’espace cyclique qu’ilengendre. Notons W le quotient V/Vx et g l’endomorphisme quotient. On a

(37) det(X − f) = det Vx(X − f)det(X − g)

Le polynôme minimal de g divise celui de f donc est scindé, et par hypothèsede récurrence on a donc det(X− g) scindé. Par ailleurs on sait que detVx(X− f)est le polynôme minimal de x et donc lui aussi divise Mf et est scindé. Doncdet(X − f) est scindé. Le Théorème est démontré.

16

On dit qu’un endomorphisme f est scindé sur le corps K si son polynômeminimal Mf (ou son polynôme caractéristique) est scindé :

(38) Mf =∏

(X − λj)mj , λj ∈ K,mj > 0

(39) Pf =∏

(X − λj)nj , λj ∈ K,nj ≥ mj

Reprenons maintenant le raisonnement fait dans notre toute première sec-tion. À la valeur propre λ on peut associer l’espace caractéristique Vλ, parexemple par la formule

(40) Vλ = Ker(f − λ)dim(V)

En effet, la chaîne Kn = Ker(f − λ)n vérifie dim Kn ≥ n tant qu’elle est stric-tement croissante, donc il y a un indice n ≤ dim(V) avec Kn = Kn+1 et il estfacile de voir alors Kn = Kn+1 = Kn+2 = . . . . L’espace Vλ possède, comme nous

l’avons vu, un supplémentaire canonique stable par f qui est W = Im(f−λ)dim(V).Sur ce W, λ n’est plus valeur propre. Le polynôme minimal (ou caractéristique)de f sur W divise celui sur V donc est scindé, et on peut raisonner par récurrence,car il y aura une nouvelle valeur propre pour continuer. Ainsi :

Théorème 11. À tout endomorphisme scindé f sur V est associé une décomposi-tion de V en la somme directe des espaces caractéristiques Vλ = Ker(f −λ)dim V

associés aux valeurs propres de f.

Notez qu’à la différence de la décomposition de Frobenius de V en sommedirecte d’espaces cycliques, il y a ici une unicité au niveau même de la décom-position vectorielle.

Même si f n’est pas scindé, on peut tout de même faire le raisonnementen utilisant les valeurs propres disponibles. En effet soit λ une première valeurpropre, on a, en notant mλ et nλ les multiplicités de λ dans Mf et Pf , et parnotre raisonnement antérieur :

(41) V = Vλ ⊕ W W = Im(f − λ)mλ = Im(f − λ)nλ

Le polynôme caractéristique Pf = det(X − f) vaut (X − λ)nλ · detW(X − f). OrKer(f − λ) ∩ W = {0} donc λ n’est pas valeur propre de f sur W, donc λ n’estpas racine de detW(X − f). Par contre toute autre racine de Pf est racine dedetW(X− f). On peut itérer et au final on a une décomposition en sous-espacesstables par f :

(42) V = ⊕λVλ ⊕ W W = Im∏

(f − λ)mλ

La formule W = Im∏

(f −λ)mλ demande une petite justification que je laisse enexercice.

Il est possible de caractériser intrinsèquement l’espace W :

17

Théorème 12. Tout sous-espace Z ⊂ V stable par f et sur lequel f n’a aucunevaleur propre est inclus dans W, qui est donc le plus grand avec cette propriété.

Preuve : comme Z est stable par f il est stable par T(f) =∏

(f−λ)mλ. Commechaque f − λ est injectif sur Z, le produit T(f) est injectif, donc bijectif sur Z.Ainsi Z = T(f)(Z) ⊂ W.

15 Décomposition de Dunford d’un endomorphisme

scindé

C’est une version un peu plus abstraite de la décomposition

(43) V = ⊕Vλ

en sous-espaces caractéristiques. Notons d l’endomorphisme qui vaut λId surVλ. Évidemment d est diagonalisable, f = d+ n et n est nilpotent. De plus d etf commutent (évident puisqu’il suffit de le vérifier sur chaque Vλ ceux-ci étantstables par d et par f). Donc d et n commutent. On a le complément suivant,dit Théorème de Dunford :

Théorème 13. Soit f un endomorphisme scindé. Il existe une unique décompo-sition f = d + n avec d diagonalisable, n nilpotent et dn = nd. De plus d et nsont des polynômes en f.

Preuve : on a montré l’existence (on verra après pour la dernière assertion).Supposons f = d′ + n′ avec d′n′ = n′d′. Donc d′f = fd′. Soit µ une valeur proprede d′. Ainsi f laisse stable l’espace propre Wµ = Ker(d′−µ). Mais f−d′ restreintà cet espace est à la fois n′ et f − µ. Donc f − µ est nilpotent sur Wµ donc,d’abord µ est une valeur propre λ de f et ensuite Wµ ⊂ Vλ. Comme d′ estdiagonalisable, V est la somme directe des Wµ, et comme on sait déjà V = ⊕Vλ

la seule possibilité est que Wµ = Vµ et que toutes les valeurs propres de f sontaussi valeurs propres de d′. Ainsi d′ = d.

Pour montrer que d (et par conséquent n) est un polynôme en f, il suffitd’utiliser le théorème des restes chinois. Posons N = dim V et soit λ1, . . ., λp lesvaleurs propres de f.

(44) ∃P ∈ K[X], ∀j, P ≡ λj mod (X − λj)N

Sur Vλ on a (f − λ)N = 0 donc P(f) = λIdVλ= d. Donc P(f) = d sur V tout

entier. Fin de la preuve.

Comme corollaire, notons que tout endomorphisme g qui commute avec fcommutera avec d et n puisque ceux-ci sont des polynômes en f.

18

16 Endomorphismes diagonalisables

On s’inspire d’une partie de notre dernière démonstration pour prouver :

Théorème 14. La restriction d’un endomorphisme diagonalisable f à un sous-espace stable W ⊂ V est diagonalisable.

Preuve : soit λ1, . . ., λp les valeurs propres distinctes de f sur V et Vi =Ker(f − λi) les espaces propres. Considérons les polynômes :

(45) Pi =

∏

j6=i(X − λj)∏

j6=i(λi − λj)

En fait Pi(f) est la projection sur Vi parallèlement à ⊕j6=iVj puisque Pi(f) s’an-nule sur les Vj, j 6= i et est l’identité sur Vi. Comme W est stable par f il eststable par Pi(f). Il en résulte l’identité

(46) W ∩ Vi = Pi(f)(W)

Comme tout vecteur s’écrit

(47) x = P1(f)(x) + · · ·+ Pp(f)(x)

on obtient la décomposition :

(48) W = (W ∩ V1)⊕ (W ∩ V2)⊕ · · · ⊕ (W ∩ Vp)

Donc la restriction de f à W est diagonalisable. De plus en prenant pour chaquej un complémentaire dans Vj de W ∩ Vj, on obtient aussi :

Théorème 15. Tout sous-espace W ⊂ V qui est stable sous f, avec f un endo-morphisme diagonalisable de V, possède un complémentaire stable sous f.

Il est possible de caractériser les endomorphismes diagonalisables par leurpolynôme minimal :

Théorème 16. Un endomorphisme f est diagonalisable si et seulement si sonpolynôme minimal Mf est scindé à racines simples sur le corps K.

Preuve : si f est diagonalisable il est clair que Mf =∏

j(X − λj), le produitportant sur les valeurs propres de f. Réciproquement, si Mf est scindé on peututiliser la théorie expliquée précédemment de la décomposition V = ⊕Vλ, etcomme f−µ est inversible sur Vλ pour tout µ 6= λ, de Mf(f) = 0 résulte f−λ = 0sur Vλ. Donc f est diagonalisable.

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17 Endomorphismes semi-simples

On dit que f est semi-simple si tout sous-espace W ⊂ V stable par f admet uncomplémentaire stable par f. De même une matrice carrée A est dite semi-simplesi l’endomorphisme associé de KN est semi-simple.

Théorème 17. Un endomorphisme f est semi-simple si et seulement si son po-lynôme minimal Mf ne possède pas de facteur carré.

Preuve : supposons Mf = π2N avec π un polynôme unitaire irréductible (nonconstant ; mais je pense que c’est la convention usuelle sur les irréductibles).Notons W = Kerπ(f). Si f était semi-simple, il existerait un complémentairestable Z. Sur Z, π(f) est injectif donc de Mf(f) = 0 résulte N(f) = 0. Doncπ(f)N(f) est nul sur W et sur Z. Donc πN annule f, contradiction.

Supposons maintenant au contraire que Mf est le produit π1 . . . πq de po-lynômes unitaires irréductibles distincts. Ils sont premiers deux à deux, et onpeut utiliser le théorème des restes chinois. Il existe des polynômes P1, . . ., Pq

tels que :

(49) Pi ≡ 1 mod πi et ∀j 6= i Pi ≡ 0 mod πj

Sur Ker πj(f) on a Pi(f) = 0 pour i 6= j, par contre Pi(f) = Id sur Ker πi(f).Supposons qu’on ait une relation

(50) 0 = x1 + · · ·+ xq avec ∀i xi ∈ Kerπi(f)

En appliquant Pi(f) on obtient xi = 0. Donc les Kerπi(f) sont en somme directe.Soit P = P1 + · · · + Pq. On a P ≡ 1 mod πi pour tout i donc P − 1 est unmultiple de Mf , donc P(f) = Id et

(51) ∀x ∈ V x = x1 + · · ·+ xq avec ∀i xi = Pi(f)(x)

Il est clair que πiPi est nul modulo πj pour tous les j = 1, . . . , q donc Mf diviseπiPi, donc πi(f)Pi(f)(x) = 0 pour tout x et par conséquent Pi(f)(x) ∈ Kerπi(f).Nous avons donc prouvé la décomposition en somme directe

(52) V = ⊕i Kerπi(f)

et le fait que Pi(f) est la projection sur Ker πi(f) parallèlement aux autres. Soitenfin W ⊂ V stable par f. Alors W est stable par Pi(f) donc W ∩ Kerπi(f) =Pi(f)(W), ce qui montre que les Pi(f)(W) sont en somme directe. Comme Id =∑

i Pi(f), on a

(53) W = ⊕i(W ∩ Kerπi(f))

et pour le problème de trouver un complémentaire Z de W stable par f, ons’est donc ramené au cas où le polynôme minimal de f est un irréductible π. On

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sait dans ce cas que l’anneau L = K[X]/(π) est un corps. Définissons une loi demultiplication externe par L sur V par les formules

(54) λ · x = Q(f)(x) avec λ ≡ Q mod π

Ceci est bien défini puisque π(f)(x) = 0. Il est clair que 1 ·x = x, que (λ−µ) ·x =λ · x − µ · x, λ · (µ · x) = (λµ) · x, λ · (x − y) = λ · x − λ · y, etc. . . Donc cela faitde V un L-espace vectoriel (et la multiplication externe par L est compatibleà celle par K). Tout sous K-espace vectoriel W ⊂ V stable par f est en fait unsous L-espace vectoriel. On prend Z un L-espace vectoriel complémentaire deW dans V. Ce Z est donc stable par f et la décomposition V = W⊕Z vaut aussiau sens des K-espaces vectoriels. Ceci termine la preuve de l’implication (si Mfn’a pas de facteur carré alors f est semi-simple) et donc la preuve du Théorème.

Théorème 18. Soit K un corps de caractéristique nulle et A une matrice carréede taille N ≥ 1 à coefficients dans K. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. A est semi-simple,

2. il existe un corps L ⊃ K sur lequel A est diagonalisable,

3. A est diagonalisable sur la clôture algébrique K de K,

4. le polynôme minimal de A n’a que des racines simples dans K.

Preuve : soit M le polynôme minimal de A. On a prouvé que A est semi-simplesi et seulement si M =

∏

i πi avec des polynômes irréductibles distincts. Pouri 6= j on a une identité de Bezout Aπi+Bπj = 1 qui prouve que πi et πj ne peuventavoir de racine commune dans aucun corps L ⊃ K. Et par ailleurs, comme K estde caractéristique nulle, on a deg π′i = deg πi−1, π′i 6= 0. Donc pgcd(πi, π

′i) = 1 et

πi ne peut avoir, par le même argument, de racine commune avec π′i dans aucuncorps L ⊃ K, autrement dit il ne peut y avoir dans L que des racines simples.Donc, si A est semi-simple, son polynôme minimal ne peut avoir que des racinessimples dans tout corps L ⊃ K, en particulier dans la clôture algébrique K. Ona donc par nos théorèmes précédents (1) =⇒ (4) =⇒ (3) =⇒ (2). Si A estdiagonalisable sur L son polynôme minimal M (dont on sait qu’il ne dépend pasdu corps) est scindé à racines simples sur L. On remplace L par le sous-corpsL0 extension finie de K engendrée par ces racines, et on sait qu’il existe un Kplongement L0 → K, donc M est scindé sur K à racines simples. Il ne peut doncpas y avoir de facteur carré dans sa décomposition en polynômes irréductiblesde K[X], et par conséquent A est semi-simple, ce qui établit (2) =⇒ (1).

Note : en caractéristique positive notre propriété de « semi-simplicité » n’est passtable par extension de corps. Soit K = Z/2Z(t) et A =

(

0 t1 0

)

. Elle est semi-simple surK mais pas sur K (et n’est diagonalisable sur aucun sur-corps L de K).

Exercice. Montrer que la décomposition de Dunford sur C de tout A ∈ Matn(R)est définie sur R : A = D + N avec D,N ∈ Matn(R), DN = ND, N nilpotente, et Dsemi-simple.Fin par épuisement des combattants. Le fameux Lemme des Noyaux manque mais on a fait à plusieurs reprises des preuves (à chaque fois qu’on a invoqué lethéorème des restes chinois) de cas particuliers, et la méthode employée marche pour l’énoncé plus général.

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