Bagian 2

andhysetiawan

Sub Pokok Bahasan

� Gelombang pada zat cair� Gelombang di udara (gelombang bunyi)� Gelombang permukaan air� Gelombang permukaan air

andhysetiawan

Elemen Zat cair setebaldengan luas penampang A

x∆

Elemen mengalamideformasi. Perpindahan sisikiri dan kanan elemen tsb

dinyatakan dengan

)()( xxdanx ∆+ΨΨ

B.4 Gelombang Pada Zat Cair

)()( xxdanx ∆+ΨΨ

Hubungan antara tegangan dan regangan :

Modulus Bulk

V

VM

A

F ∆−=

( )xxFxFt

xA ∆+−=∂

Ψ∂∆ )(2

2

ρPersamaan gerak elemen Volume zat Cair

andhysetiawan

Persamaan gerak elemen Volume zat Cair

( )xxFxFt

xA ∆+−=∂

Ψ∂∆ )(2

2

ρ

∆∂∂−−=

∂Ψ∂∆ x

x

FxFxF

txA )()(

2

2

ρ

Ekspansi keDeret Taylor

x

Fx

txA

∂∂∆−=

∂Ψ∂∆2

2

ρ

V

VM

A

F ∆−=

( )[ ]xA

xAxxxxAM

A

F

∆∆−Ψ−∆+Ψ+∆−= )(

xM

xA

xx

AM

A

F

∂Ψ∂−=

∆

∆∂Ψ∂

−=x

AMF∂Ψ∂−=

Hubungan antarategangan dan regangan :

2

2

xAM

x

F

∂Ψ∂−=

∂∂

andhysetiawan

2

2

xAM

x

F

∂Ψ∂−=

∂∂

x

Fx

txA

∂∂∆−=

∂Ψ∂∆2

2

ρ2

2

2

2

xxAM

txA

∂Ψ∂∆=

∂Ψ∂∆ρ

2

2

2

2

x

M

t ∂Ψ∂=

∂Ψ∂

ρ

Substitusi

22 xt ∂∂ ρ

Bandingkan denganPersamaan Umumgelombang

02

2

2

2

=∂

Ψ∂−∂

Ψ∂x

M

t ρ

Cepat Rambat Gelombang :

ρM

v =

02

22

2

2

=∂

Ψ∂−∂

Ψ∂x

vt

andhysetiawan

UDARA

Tidak mengalami perubahan bentuk

Mempunyai respon terhadap perubahan tekanan

C. Gelombang di Udara (Gelombang Bunyi)

d −=→= −− ρρ 21

ρρ

d

dpB =

dV

dpVB −=

perubahan tekanan

Modulus Bulk

dV

V

d

mVdV

dmV

−=

−=→= −−

ρρ

ρρ 21

andhysetiawan

C.1 Cepat Rambat Gelombang Bunyi

Ekspansi ke

[ ])()(2

2

xxpxpAt

xA ∆+−=∂

Ψ∂∆ρ

Fma =

x

p

t ∂∂−=

∂Ψ∂2

2

ρ

Hukum II Newton

Ekspansi keDeret Taylor

andhysetiawan

Dalam perambatannya berlaku hukum kekekalan massa

[ ] cxAxxxxA =∆=Ψ−∆+Ψ+∆ 0)()( ρρ

cx

xA =

∂Ψ∂+∆ 1ρ

1<<∂Ψ∂x

02

=Ψ∂+∂ ρρ

Ekspansi keDeret Taylor C

x=

∂Ψ∂+1ρ

2Ψ∂−=∂ ρρ0

2=

∂Ψ∂+

∂∂

xxρρ

ρB

v =

012

2

=∂

Ψ∂+

∂Ψ∂+

∂∂

xxxρρ

Hukum II Newtonx

p

t ∂∂−=

∂Ψ∂2

2

ρ

2xx ∂Ψ∂−=

∂∂ ρρ

ρρ

∂∂= p

BModulus Bulk

x

p

∂∂

∂∂−= ρ

ρ x

p

t ∂∂

∂∂−=

∂Ψ∂ ρ

ρρ

2

2

ρρBp =

∂∂

2

2

2

2

xB

t ∂Ψ∂=

∂Ψ∂ρ0

2

2

2

2

=∂

Ψ∂−∂

Ψ∂x

B

t ρ

Bandingkan denganPersamaan Umumgelombang

02

22

2

2

=∂

Ψ∂−∂

Ψ∂x

vt

Cepat rambat

Gelombang bunyi

di udara

andhysetiawan

cpV =γ cp =−γρ

Gelombang dalam gas bersifat adiabatik

01 =− −−− ργρρ γγ dpdpγpdp = 01 =− −−− ργρρ γγ dpdpργ

ρp

d

dp =

ρρ

d

dpB =

↑↓

� pB γ=

andhysetiawan

pB γ= ρB

v =

substitusi

RTγ

ργp

v =

M

RTp ρ=

M

RTv

γ=

Tv β=M

Rγβ =

LussacGayHk −.

andhysetiawan

C.2 Intensitas Gelombang Bunyi

Dari Diperoleh hubungan antara gelombangtekanan dan gelombang pergeserandxd

pB

ψ−=

dx

dBp

Ψ−=

Daya atau arus energi

gelombang bunyi: tApP

∂Ψ∂= .

tA

xBP

∂Ψ∂

∂Ψ∂−=

2

..

∂Ψ∂=x

vABP

Rapat arus energi atau

Intensitas

gelombang bunyi P/A

2

..

∂Ψ∂=x

vBI

andhysetiawan

Impedansi

t

xB

A

Z

∂Ψ∂∂Ψ∂

=.

v

Bz =

A

F

xBp =

∂Ψ∂−= .

tZF

∂Ψ∂−= .

Impedansi karakteristikImpedansi jenisRapat Impedansi

dx

dBp

Ψ−=

2

..

∂Ψ∂=x

vBI2

..

=B

pvBI

2.1

pz

I =

andhysetiawan

BelI

I

0

log=β dBI

I

0

log.10=β

Intensitas gelombang bunyi sering dinyatakan sebagai taraf

intensitas β dalam satuan decibel (dB), yang menyatakan tingkat

relatif dan didefinisikan sebagai berikut::

acuan Intensitas/10 2120 == − mWI

Dengan:

andhysetiawan

Gelombang Permukaan Air

Anggap Air Memiliki sifat – sifat sebagai berikut

a. Non viskos, Viskositas yang disebabkan oleh gesekan internal,

diabaikan.

b. Amplitudo gelombang relatif lebih kecil dibanding panj ang

gelombangnya .gelombangnya .

c. Gaya-gaya yang bekerja hanyalah gaya gravitasi dan teg angan

permukaan.

d. Inkompresibel, Volume tidak berubah karena perubaha n

tekanan, jadi rapat massanya

konstan.

andhysetiawan

Selain itu air dipandang sebagai air ideal, dengan sifat sifat :

a. Berlaku hukum kekekalan massa :

( )t∂

∂−=⋅∇ ρρν

0=∂∂

t

ρ

Inkompresibel

( ) 0=⋅∇ ρν

tv

∂Ψ∂=

0=

∂Ψ∂⋅∇t

ρ =Ψ⋅∇ Konstan

andhysetiawan

b. Tidak ada gelembung.

∫ =⋅Ψ 0ˆ dAn

Teorema Divergensi

∫ =Ψ⋅∇ 0dV

0=Ψ⋅∇ 0=∂Ψ∂

+∂Ψ∂

yxyx 0=

∂+

∂ yxc. Tidak ada pusaran.

0=⋅∫ lrr

dv

Teorema Stokes (Rotasi)

∫ =⋅×∇ 0ˆdAnvr

0=∂Ψ∂×∇t ( ) 0=Ψ×∇

∂∂t

( ) 0=Ψ×∇

0ˆ =

∂Ψ∂−

∂Ψ∂

yxk xy

andhysetiawan

D.1. Penerapan Syarat Batas Syarat batas di x = 0 :

….(1)

….(2)Tidak ada

Pers. 1 Pers. 2

0=∂Ψ∂

+∂Ψ∂

yxyx

)3.......(0)(

)( =+−dy

ydfykg )4.......(0

)()( =−

dy

ydgyfk

Tidak adagelembung

0=

∂Ψ∂−

∂Ψ∂

yxxy

Tidak adapusaran

andhysetiawan

Diferensiasikan terhadap y

Persamaan 3

0)()(

2

2

=+−dy

yfd

dy

ydgk

)5.......()(1)(

2

2

dy

yfd

kdy

ydg =

Substitusi ke persamaan 4

Diferensiasikan terhadap y

Persamaan 4

0)()(

2

2

=−dy

ygd

dy

ydfk

)6.......()(1)(

2

2

dy

ygd

kdy

ydf =

Substitusi ke persamaan 3Substitusi ke persamaan 4

0)(1

)(2

2

=−dy

yfd

kyfk

0)()( 2

2

2

=− yfkdy

yfd

( ) kyky BeAeyf −+=

Solusi Persamaan

Substitusi ke persamaan 3

0)(1

)(2

2

=+−dy

ygd

kygk

0)()( 2

2

2

=− ygkdy

ygd

( ) kyky DeCeyg −+=

Solusi Persamaan

andhysetiawan

Syarat Batas : y = -h: 0=ΨyMaka f (-h) = 0

( ) 0=+=− − khkh BeAehf

khAeB 2−−=Persamaan Gelombang arah x dan y pada persamaan (1) dan (2)

( ) ( ) ( ){ } )7.......(sincos 2 yhkkyy eekxtA +−−=Ψ ω

( ) ( ) ( ){ } )8.......(coscos 2 yhkky eekxtA +−+=Ψ ω

( )( ) ( )( )yhkky

kykhky

eeAyf

eAeAeyf+−

−−

−=

−+=2

2 )(

( ) ( )( )yhkky eeAygdy

ydfykg +−+=→=+− 2)(0

)()(:3persdari

( ) ( ) ( ){ } )8.......(coscos 2 yhkkyx eekxtA +−+=Ψ ω

Kasus khusus

a. Bila h >> , maka

( ) ( ) )9.......(sincos kxtAe kyy ω=Ψ

( ) ( ) )10.......(coscos kxtAe kyx ω=Ψ

b. Bila h << , maka :

( ) ( ) )11.......(sincos)(2 kxthyAky ω+=Ψ

( ) ( ) )12.......(coscos2 kxtAx ω=Ψ

Ekspansi kederet pangkat

andhysetiawan

D.2. Hubungan Dispersi Gelombang Permukaan Air

Persamaan Gerak

( )])([2

2

xxpxpyLt

m x ∆+−∆=∂

Ψ∂∆

( )xgxp yΨ= ρ)(

Hukum hidrostatika

( )])([2

2

xxxgyLt

m yyx ∆+Ψ−Ψ∆=

∂Ψ∂∆ ρ

Deret Taylor

( )])([2

xxxgyLt

m yy ∆+Ψ−Ψ∆=∂

∆ ρ

xgxyL

tm yx

∂Ψ∂

∆∆−=∂Ψ∂∆ ρ

2

2

ρxyLm ∆∆=∆ρVm ∆=∆

xg

tyx

∂Ψ∂

−=∂Ψ∂

2

2

andhysetiawan

( ) ( ) ( ){ }yhkkyy eekxtA +−−=Ψ 2sincos ω ( ) ( ) ( ){ }yhkky

x eekxtA +−+=Ψ 2coscosω

xg

tyx

∂Ψ∂

−=∂Ψ∂

2

2

( ){ } ( ){ }yhkkyyhkky eegkee +−+− −=+ 222ω

Syarat batas di y = 0

{ } { }hkhk egke 222 11 −− −=+ω

kh

kh

e

egk

2

22

1

1−

−

+−=ωPersamaan

Dispersi

andhysetiawan

D.3. Gelombang Gravitasi dan Gelombang Riak

kh

kh

e

egk

2

22

1

1−

−

+−=ω Persamaan Dispersi

Kasus Khusus

a. Bila h >> 02 ≅− khe

Persamaan dispersi menjadi :

gk=2ω gk=ωλπ2=k

πλ

2

gv f =

kv f

ω=

Kecepatanfase

andhysetiawan

dk

dvg

ω=

dk

gkdvg = gf vv ≠

Gelombang ini disebut Gelombang Gravitasi

Gelombang ini bersifat dispersif

k

gvg 2

1=

πλ

22

1 gvg = Kecepatan Grup

andhysetiawan

b. Bila h <<, Maka pangkatderetdalame kh2−

( )

)2(1

.......!2

2)2(1

2

22

khe

khkhe

kh

kh

−−=

+−+−+=

−

−

kh

kh

e

egk

2

22

1

1−

−

+−=ω

( )( )kh

khgk

211

2112

−+−−=ω hgk 22 =ω ghk=ω

kv f

ω= ghk

kv f = ghv f =

dk

dvg

ω=dk

ghdkvg = fg vv =ghvg =

Gelombang Riak bersifat non Dispersif

andhysetiawan

γEfek teganganpermukaandiperhitungkan

Ψ2kγTekanan pada elemen massa bertambah

( )x

kgt

yx

∂Ψ∂

+−=∂Ψ∂ 2

2

2

γρρ

x

kg

tyx

∂Ψ∂

+−=∂Ψ∂

ργ 2

2

2

( ) ( )( ) ( )xxkgxxp

xkgxp

y

y

∆+Ψ+=∆+

Ψ+=2

2

)(

)(

γρ

γρ ( )])([2

2

xxpxpyLt

m x ∆+−∆=∂

Ψ∂∆

( ) ( )])([22

2

xxxkgyLt

m yyx ∆+Ψ−Ψ+∆=

∂Ψ∂∆ γρ

Deret Taylor

( ) ( )

∂Ψ∂

∆−+∆=∂

Ψ∂∆x

xxkgyL

tm yx 2

2

2

γρx

gt ∂

+−=∂ ρ2

kh

kh

e

ekgk

2

232

1

1−

−

+−

+=

ργω

Untuk kasus h >>, teganganpermukaan tidak diabaikan

02 ≅− khe

+=

ργω

32 k

gkλρπγ

πλ 2

2+= g

v

∂∂ xt

( ) ( ) ( ){ }yhkkyy eekxtA +−−=Ψ 2sincosω

( ) ( ) ( ){ }yhkkyx eekxtA +−+=Ψ 2coscosω

Untuk kasus h << teganganpermukaan tidak diabaikan, Bagaimana dispersivitasnya?

andhysetiawan