Mg ed1 ed4_ekf_plus_lys

of 35/35
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ Σελίδα 1 από 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 1) ΘΕΜΑ Α 1. Έστω η συνάρτηση 2 f(x) x . Να αποδείξτε ότι f (x) 2x . Μονάδες 9 2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ; Μονάδες 6 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη (α) Αν ισχύει 0 0 f (x )g(x ) 1 0 , τότε οι εφαπτόμενες στις γραφικές παραστάσεις των f,g στο σημείο 0 x είναι κάθετες. Μονάδες 2 (β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (x) 0 , για κάθε x , τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε οποιοδήποτε σημείο της σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα xx . Μονάδες 2 (γ) Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 2 (δ) Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης h(x) f g(x) είναι ίση με h (x) f g(x) g(x) . Μονάδες 2 (ε) Αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι x(t) , τη χρονική στιγμή t, τότε η επιτάχυνση του κινητού θα είναι (t) x (t) . Μονάδες 2
  • date post

    12-Apr-2017
  • Category

    Education

  • view

    610
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Mg ed1 ed4_ekf_plus_lys

  • 1o 2016:

    1 3

    1 ( 1)

    1. 2f (x) x . f (x) 2x .

    9

    2. f

    ;

    6

    3. ,

    , ,

    , ,

    () 0 0f (x )g (x ) 1 0 ,

    f ,g 0x .

    2

    () f f (x) 0 ,

    x , f

    x x .

    2

    ()

    .

    2

    () h(x) f g(x)

    h (x) f g(x) g(x) .

    2

    () x(t) ,

    t, (t) x (t) .

    2

  • 1o 2016:

    2 3

    f , :

    f (x 1) x 2015 f (2018) x .

    1. f (2018) 2016 .

    6

    2. f y x 2 .

    7

    3. f 21 3

    g(x) x2 2

    f .

    12

    2

    f x x 1 x 2 .

    1. f .

    10

    2. fC

    .

    5

    3. fC 0x 1 .

    5

    4.

    2x 1

    f x 4xlim

    x 3x 4

    5

    1. 3 2f x x x 2 x 1, x , .

  • 1o 2016:

    3 3

    )

    f x 0x 2 .

    2

    ) 8 , x f

    .

    5

    ) 8 , x 2limg(x)

    , 2

    f (x)g(x)

    x 12 4

    .

    3

    . ,

    28t 2tx t e 4 m t 0,12 , sec ,

    )

    ;

    5

    ) , .

    5

    )

    6 .

    5

  • 2o 2017:

    1 4

    2 ( 2)

    1. 1 2x , x ,..., x ,

    , , .

    ) iv , ix , i 1,2,..., ;

    3

    ) if ix , i 1,2,..., ;

    3

    ) :

    i. i0 f 1 i 1,2,...,

    2

    ii. 1 2f f ... f 1

    2

    2. ) iF ;

    3

    ) ,

    c,

    1 2 3 4f , f , f , f 1, 2, 3, 4 .

    5

    ix i if

    [0 , )

    [ , ) 6

    [ , ) 15

    [ , )

  • 2o 2017:

    2 4

    3. , , , , , .

    ) To ix x i 1F % F % .

    ) ix iN .

    ) .

    ) , x s ,

    x 3s, x 3s .

    ) .

    ) i ,

    0ii

    f360 i 1,2,..., .

    ) .

    7

    40

    :

    22 22 22 17 29 15 25 12

    6 24 28 23 15 29 20 16

    19 25 16 13 27 11 16 18

    26 14 14 27 29 25 24 24

    10 23 23 28 15 17 21 8

    )

    ( ).

    5

    ) .

    5

  • 2o 2017:

    3 4

    ) .

    5

    ) 20 .

    5

    ) 10 24 .

    5

    .

    .

    x 12 s 1,2 .

    )

    .

    5

    ) 3

    30%

    .

    5

    ( :

    2

    ii = 12 2

    i

    i = 1

    t1

    s t

    )

    . 50 X 5 .

    iF %

    2,0 , B 6,20 , 10,36 , 14,60 , 18,72 ,Z 22,100 .

    )

    ( ).

    5

  • 2o 2017:

    4 4

    ) , .

    5

    ) .

    5

    1 2 vx , x , , x X

    . 2,5% 6 15,85%

    (9,11) :

    ) x s .

    10

    ) 136 (7,9),

    5

    ) 7 10

    5

    ) i 1 i 2y c x c , 1 2c ,c 0 i 1,2,..., , y 10

    ys 2 . 1 2c ,c .

    5

  • 3o 2017:

    1 4

    3 ( 1, 2)

    1. 1 2t ,, t , t X

    x .

    21t x, t x ,, t x

    .

    7

    2. ( ) 1 2t ,, t , t

    X x

    ; .

    5

    3.

    1x A .

    3

    4. (), ,

    (), .

    ) f 0x , 0

    1x xlim f (x) l

    ,

    1l , 0

    1x xlim f (x) l

    ,

    .

    2

    )

    x f (t) 0t 0 0f t ' t ,

    0t 0t .

    2

  • 3o 2017:

    2 4

    ) ,

    ( )

    ( ).

    2

    ) ,

    .

    2

    ) iN

    ix .

    2

    xef (x)

    x 3

    1. .

    4

    2.

    2

    xx 3

    x 675x 2016lim f (x)

    e

    .

    6

    3. f .

    10

    4. x 4e x 3 , x (3, ) .

    5

  • 3o 2017:

    3 4

    3 2x x 21x 45, x 3

    f (x) x 3

    16 s 2 x, x 3

    x 0

    s , 1 2t , t ,..., t .

    M(4,3s) f .

    ) .

    5

    ) x 24 s 3.

    5

    ) 5

    18 :

    i. .

    5

    ii. (21,30) .

    5

    ) 1 2t , t ,..., t

    c . c

    .

    5

    3f (x) x (2 3)x 2 , 0.

    ) f

    A(1,f (1)) y 2 x 0.

    7

  • 3o 2017:

    4 4

    ) 1 2x ,x ,..., x x 2

    1 2y , y ,..., y :

    i. x

    y

    s

    s x ys ,s

    .

    5

    ii. x yCV ,CV ,

    .

    8

    iii. x ys 5 s , y .

    5

    :

    , . , 4 .

    ,

    .

  • 4o 2017:

    1 4

    4 ( 3)

    1. A , B ,

    , .

    7

    2. 1 2, , ,

    . .

    4

    3. ;

    4

    4. ,

    , ,

    , , .

    ,

    .

    ) , .

    2

    )

    .

    2

    ) , .

    2

    ) 0 1 , 1

    , .

    2

    ) , .

    2

  • 4o 2017:

    2 4

    48.

    4

    6

    2 3.

    1)

    .

    9

    2) '

    4

    3) .

    :

    ) 8 3.

    3

    ) 5

    , 1.

    4

    4)

    .

    5

    ln x

    f xx

    , x 0 .

    1. f .

    9

    2.

    A , B , A

    B . :

  • 4o 2017:

    3 4

    i)

    .

    5

    ii) e

    e

    .

    5

    iii) 2

    4

    27.

    6

    .

    : , .

    ,

    1

    9.

    1

    6 .

    .

    20 .

    1)

    .

    10

    216.

    2)

    .

    4

  • 4o 2017:

    4 4

    3) (

    : 0 20)

    0 1 2 3 20

    15 20 17 14 2

    4

    8 18

    (

    0 20

    ):

    ) 6.

    5

    ) .

    6

    :

    , .

    , .

    ,

    .

  • 1o 2017:

    1 5

    1 ( 1)

    1. . 28-29

    2. . 13

    3. () ,

    () ,

    () ,

    () ,

    ()

    1. f (x 1) x 2015 f (2018) x 2017 :

    f (2017 1) 2017 2015 f (2018) f (2018) 4032 f (2018)

    2f (2018) 4032 f (2018) 2016

    2. f (x 1) x 2015 f (2018) f (2018) 2016 :

    f (x 1) x 2015 2016 f (x 1) x 1 (1).

    (1) x 1 y x y 1 :

    f (y) y 1 1 f (y) y 2 . f (x) x 2 x , f

    y x 2 .

    3. f ,g :

  • 1o 2017:

    2 5

    2 2 2

    22 2

    f (x) x 2 y x 2 y x 2

    1 3 1 3 1 3g(x) x y x x 2 x

    2 2 2 2 2 2

    y x 2y x 2 y x 2 y 1

    2x 4 x 3 x 2x 1 0 x 1x 1 0

    1, 1 .

    g (): y x , g (1) 1 ,

    21 3g (x) x x2 2

    . 1, 1 ( ) : 1 1 2 ,

    (): y x 2 , f .

    1. f

    2 2 2

    2

    2

    f x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

    2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 2 x 1 x 1 2x 4 x 1

    x 1 3x 3 3 x 1

    2f (x) 3 x 1 , x .

    2f (x) 0 3 x 1 0 x 1 x 1

    22 2f (x) 0 3 x 1 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

    f .

  • 1o 2017:

    3 5

    f :

    , 1 1, .

    1,1 .

    . 2

    f ( 1) 1 1 1 2 0 .

    2

    f (1) 1 1 1 2 4 .

    2. 0x :

    2f (x) 3 x 1 , x

    f (x) 6x, x R

    f (x) 0 6x 0 x 0

    f (x) 0 6x 0 x 0

    f (x) 0 6x 0 x 0

    f

    .

    f 0x 0 . 2

    f (0) 0 1 0 2 2 ,

    fC 0, 2 .

    3. f (1) 4 . fC 1,f (1) 1, 4

    (): y x , f (1) 0 1, 4 ( ) :

    4 0 1 4 .

    : y 4 .

  • 1o 2017:

    4 5

    4.

    2 2

    2 2 2x 1 x 1 x 1

    f x 4x x 1 x 2 4x x 1 x 2 4xlim lim lim

    x 3x 4 x 3x 4 x 3x 4

    3 2 2

    2x 1 x 1 x 1

    x x 2 (x 1)(x x 2) x x 2 4lim lim lim

    x 3x 4 (x 1)(x 4) x 4 5

    1. ) f x

    2f x 3x 2x 2 , f 2 0 16 2 0 8

    )

    8 21

    f x 3x 2x 16 f x 6x 2 0 x3

    f .

    f 01

    x3

    1 49

    f3 3

    )

    2 2

    2 2x 2 x 2

    3x 2x 16 3x 2x 16g(x) limg(x) lim

    x 12 4 x 12 4

    2 2 2

    x 2 x 22 2

    3x 2x 16 x 12 4 x 2 3x 8 x 12 4lim lim 28

    x 2 x 2x 12 4 x 12 4

  • 1o 2017:

    5 5

    2. )

    28t 2tx t (8 4t)e 0 t 2

    ) 0t 2 , .

    28t 2tt x t 4(3 2t) 5 2t e .

    0t 2 , 82 4e .

    ) 2sec

    8 81S s 2 s 0 e 1 e 1 2sec

    6sec 24 8 8 242S s 6 s 2 e e e e

    8 24

    1 2S S 2e e 1 .

  • 2o 2017:

    1 9

    2 ( 2)

    1. ) iv

    ix .

    ) if ix iv

    , iif , i 1,2,..., .

    )

    i. ii i0 0 1 0 f 1 i 1,2,..., .

    ii. 1 2 1 21 2

    ...f f ... f ... 1 .

    2. ) iF ,

    ix .

    ) 3 1 2 3 41 2 4f f f f ff f f

    1 2 3 4 1 2 3 4

    10,1

    10

    1f 0,1, 2f 0,2 , 3f 0,3 4f 0,4

    33

    15f 0,3 50 1 1f 0,1 50 5 , 2 2f 0,2 50 10

    4 4f 0,4 50 20 .

    c

    0 c c . c

    2c .

    c 2c 3c

    6 6 c 42 2

    :

  • 2o 2017:

    2 9

    ix i if

    [0 , 4 ) 2 5 0,1

    [ 4 , 8 ) 6 10 0,2

    [ 8 , 12) 10 15 0,3

    [ 12,16 ) 14 20 0,4

    50 1

    3. ) ,

    ) , ) , ) , ) , ) , )

    ) R 29 6 23 40 ,

    6 . R 23

    c 3,83 46

    .

    6, .

    ...,... ix iv iN if if % iF iF %

    6,10 8 2 2 0,05 5 0,05 5

    10,14 12 4 6 0,1 10 0,15 15

    14,18 16 10 16 0,25 25 0,40 40

    18,22 20 4 20 0,1 10 0,50 50

    22,26 24 12 32 0,3 30 0,80 80

    26,30 28 8 40 0,2 20 1 100

    40 1 100

  • 2o 2017:

    3 9

    ) .

    .

    .

    ) 1 50%

    22. =22.

    2 iF 50% .

    (50%

    ) //x x. ,

    . =22.

  • 2o 2017:

    4 9

    ) .

    4 18,22 4 4 ,

    20 4 22

    .

    , 20 :

    45 6 2 12 8 22

    2 .

    ) 10 24

    10,14 , 14,18 , 18,22 22,26 ,

    2 3 4 5

    1 0,3 0,3 1,2f f f f 0,1 0,25 0,1 0,45 0,6

    2 2 2 2.

    60% 10 24 .

  • 2o 2017:

    5 9

    .

    ) 3 , : x x 3 15 ,

    s s 1,2

    B 30% , : x x 1,3 15,6 ,

    s s 1,3 s 1,2 1,3 1,56

    ) it , i 1,2,...,

    x 12 s 1,2 . 2

    i iy t ,i 1,2, , v .

    v2

    i

    i 1

    t

    yv

    :

    2 2 2 2

    i ii ii = 1 i = 12 2 2i = 1 i = 1

    i 2i = 1

    t tt t1

    s t s y

    2 2 2 2 2 2 2 2s y x y s x y s x 1,2 12 145,44

    .

    )

  • 2o 2017:

    6 9

    ...,... ix iv iN if if % iF iF %

    2,6 4 10 10 0,20 20 0,20 20

    6,10 8 8 18 0,16 16 0,36 36

    10,14 12 12 30 0,24 24 0,60 60

    14,18 16 6 36 0,12 12 0,72 72

    18,22 20 14 50 0,28 28 1 100

    50 1 100

  • 2o 2017:

    7 9

    )

    50 36 x 14 xx 2,3

    60 36 14 10 24 4 12,3

    R 22 2 20

    1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x v x v x v x v x v 4 10 8 8 12 12 16 6 20 14x 12,4850 50

    ) o ii

    v360

    v

    o o 011

    v 10360 360 72

    v 50 , o o 02

    2

    v 8360 360 57,6

    v 50 ,

    o o 033

    v 12360 360 86,4

    v 50 , o o 04

    4

    v 6360 360 43,2

    v 50 ,

    o o 055

    v 14360 360 100,8

    v 50

  • 2o 2017:

    8 9

    )

    X .

    100% 95%

    2,5%2

    x 2s , x 2s 6 .

    15,85% x 3s, x s x s, x 3s .

    6

  • 2o 2017:

    9 9

    1

    (7,9) 68% ( 1), v

    68 13600

    v 136 68 v 13600 v v 200100 68

    )

    7,10

    68% 13,5% 81,5% ( 1)

    81,5 81,5

    v 200 163100 100

    )

    iz , i 1,2, , v i 1 iz c x , i 1,2, , v ,

    3 99 1 1z c x 8c , 1

    z 1 x 1 1s c s c 1 c , 2 .

    iy , i 1,2, , v i i 2y z c

    y 10 ys 2 , 3 99

    1

    2 1 2y z c 10 8c c , 3 2

    y z 1s s 2 c , 4

    4

    2 2 23 10 8 2 c c 16 10 c 6

  • 3o 2017:

    1 6

    3 ( 1, 2)

    1. . 93

    2. . 93 95

    3. . 14

    4. ) (. 16 )

    ) (. 23 )

    ) (. 76 )

    ) (. 96 )

    ) (. 66 )

    1. f x 3 .

    f A ( ,3) (3, )

    2. 2 2x 675x 2016 x 3x 672x 2016

    x(x 3) 672(x 3) (x 3)(x 672)

    2 x

    x xx 3 x 3

    x 675x 2016 (x 3)(x 672) elim f (x) lim

    e e x 3

    x 3lim(x 672) 669

    3.

    x x x x x

    2 2

    e (e ) (x 3) e (x 3) e (x 3) ef (x)

    x 3 (x 3) (x 3)

    x x

    2 2

    e (x 3 1) e (x 4)

    (x 3) (x 3)

  • 3o 2017:

    2 6

    x

    2

    e (x 4)f (x) 0 0 x 4 0 x 4

    (x 3)

    x

    2

    e (x 4)f (x) 0 0 x 4 0 x 4

    (x 3)

    f ( , 3) (3, 4]

    f [4, )

    f 0x 4

    44ef (4) e

    4 3

    .

    4. f 0x 4

    x x4 x 4

    4

    e ef (x) f (4) e x 3 e x 3

    x 3 e

    x (3, ) .

    ) x 3 3 2 2

    2x x 21x 45 (x 3)(x 2x 15)f (x) x 2x 15x 3 x 3

    .

    2 2x 3 x 3limf (x) lim(x 2x 15) 3 2 3 15 0 .

    f (3) 16 s 2 x.

    f 0x 3 , : x 3limf (x) f (3) ,

    16 s 2 x 0 (1). :

    s 20 16 s 2 x 16 s 2 x CV 0,125 12,5%

    16x.

  • 3o 2017:

    3 6

    CV 12,5% 10% .

    ) (4,3s) f :

    2f (4) 3s 4 2 4 15 3s 9 3s s 3 .(2)

    ) (1) (2)

    16 s 2 x 0 16 3 2 x 0 x 24 .

    ) i.

    X .

    .

    ) x 24, s 3

  • 3o 2017:

    4 6

    100% 95%

    2,5%2

    x 2s 18, 2,5

    5 2,5 500 200100

    .

    ii.

    (21,30)

    68% 13,5% 81,5% ( 1)

    (21,30)

    81,5200 163

    100.

    ) iy , i 1,2, , v i iy t c, i 1,2, , v ,

    3 99 , y x c ys s .

    ys1 1 3 1CV 24 c 30 c 6

    10 10 24 c 10y .

    c 6.

  • 3o 2017:

    5 6

    ) 2f (x) 3x 2 3 x , 0 .

    f , A(1,f (1))

    y x , , f (1) 3 2 3 2 .

    y 2 x .

    A(1,f (1)) (1,3 ) :

    3 2 .

    y 2 x , 0 .

    ) i. i iy 2 x , 0

    i 1,2,..., .

    i iz 2 x , i 1,2, ,

    z zs :

    z 2 x z x xs 2 s 2 s .

    i iy z , i 1,2, , , y

    ys :

    y z y zs s .

    y 2 x xy xy

    s 1s 2 s

    s 2.

    ii. y 2 x x 2 , y 5 .

    x(i)

    x x x

    yy yy

    s

    CV s y s y 1 5 5x 1sCV s 2 2 4s x x

    y

    . y xCV CV

    .

  • 3o 2017:

    6 6

    iii. (i)

    xx y

    y

    s 1 1s 5 s 5 5

    s 2 10.

    1

    10

    1 1y 5 5 y 0,5

    10 2.

    :

    , .

    , 4 .

    ,

    .