MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS BI-ARTICULADAS...

Método dos Deslocamentos – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) 74

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS BI-ARTICULADAS 3D

Consideremos a estrutura constituida por duas 3 barras bi-articuladas e submetida a uma

acção força P aplicada no nó e a um assentamento de apoio δV.

P

Perspectiva

z

y

x

δV

P

E, A

α

L2L1 . cos α

δV

β

y

z

L3

x

z

P

x y

δV

Alçado yz Alçado xz

=

P

Perspectiva

z

y

x

∆3

∆1 ∆2

δV

P

E, A

α

L2L1 . cos α

δV y

z

L3

x

z

P

x y

δV


∆3 ∆2

∆1

∆3

∆2 X

∆1

que, por sobreposição dos efeitos, é igual à soma de duas estruturas:

P

Perspectiva

z

y

x

R30

R10 R20

δV

Perspectiva ∆3

∆1 + ∆2

z

y

x


Analisando apenas a sub-estrutura relativa às acções, temos:

0) Assentamento de apoio:

Perspectiva

R30

R10 R20

δV z

y

x

E, A

α

L2L1 . cos α

δV y

z

L3

x

z

x y

δV

Alçado yz Alçado xz R30

R20

R10

R30

R10

R20 X

E, A

R’30 R’20

α

R’’30 R’’20

π’10

=

δV αδπ sin

110 ⋅⋅

⋅−=′ VL

AEy

z

x

R’’’30

R’’’10

y

z

x

x

z

y

XR’10 R’10 R’20

απαπ

sincos

0

1030

1020

10

⋅′=′⋅′=′

=′

RRR

1) Assentamento ∆1:

Perspectiva

K31 K11

∆1

z

y

x

K21

E, A

α

L2L1 . cos α

y

z

L3

x

z

x y


K31

K21

∆1

K11

K21

K31K11

∆1 XX


K’31 K’21

α

= K’’31 K’’21

E, A

y

z

x

K’’’33 K’’’23

y

z

x

x

z

y

XK’’’13K’’11K’11

∆1 ∆1

X∆1


Perspectiva

K32 K12

∆2

z

y

x

K22

E, A

α

L2L1 . cos α

y

z

L3

x

z

x y


X

K32

K22

K12 K22

K32

K12∆2 ∆2

K’32

K’22

α

= K’’32 K’’22

π’12

E, A

απ cos1

12 ⋅⋅

=′LAE

y

z

x

K’’’32

K’’’12

y

z

x

XK’’’22 K’’12K’12

x

z

y

απαπ

sincos

0

1232

1222

12

⋅′=′⋅′=′

=′

KKK



Perspectiva

K33 K13

∆3

z

y

x

K23

E, A

α

L2L1 . cos α

y

z

L3

x

z

x y


K33

K23

∆3

K13

XK23

K33

K13∆3 X

K’33 K’23

α

= K’’33 K’’23

π’13

E, A

απ sin1

13 ⋅⋅

=′LAE

y

z

x

K’’’33

K’’’13

y

z

x

x

z

y

XK’’’23

XK’’13

K’13

Estabelecendo as equações de equilíbrio de forças para cada uma das direcções

correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 2, 3, temos:

∆∆∆

⋅

+

=

⋅−⋅−=

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

sincos0

KKKKKKKKK

RRR

PP

FFF

ββ


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: MATRIZ DE RIGIDEZ / ESFORÇOS NOS NÓS

Seja um elemento de barra bi-articulado em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e/ou variações uniformes de temperatura. Aplicando o Princípio de Sobreposição de Efeitos e fazendo uso de valores dos deslocamentos nas extremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduzem o equilíbrio de forças que terá que existir nas três direcções em cada nó extremo da barra.

Forças / Variação de temperatura aplicadas:

L

R3 R6

R1 R4

E, A

∆t

z y

x R2 R5

Deslocamentos calculados:

L

E, A ∆3 ∆5∆2

∆4

z y

x

∆1

∆6

=

Acção Variação de temperatura aplicada:

L

R30=0 R60=0

R10 R40

E, A

∆t

z y

x R20=0 R50=0

+


Acção deslocamentos dos nós:

+

∆1=1

K61=0 K31=0

K21=0 K51=0

K11 K41

∆4=1

K64=0 K34=0

K24=0 K54=0

K14 K44

+ ∆2=1 K62=0 K32=0

K22=0 K52=0

K42=0K12=0

K52=0

∆5=K62=0 K35=0

K25=0

K15=0

K42=0

+

K43=0

∆3=1

K63=0 K33=0

K23=0 K53=0

K13=0

K56=0 ∆6=1

K66=0 K36=0

K26=0

K46=0K16=0

Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós apenas nas direcções 2 e 4 do eixo da barra, as únicas que introduzem esforços na barra, temos:

∆∆

⋅

+

=

4

1

4441

1411

40

10

4

1

KKKK

RR

FF

i.e. { } { } [ ] { }∆⋅+= KRF 0 , designado-se a matriz [ ]K por matriz de rigidez, agora relativa ao

elemento de barra bi-articulado. Por outro lado, o vector { }F não representa mais do que os

esforços nas extremidades da barra segundo as direcções e os sentidos indicados na figura.

Substituindo as forças Kij pelos valores determinados anteriormente e as forças Ri pelos esforços correspondentes, neste caso apenas os esforços axiais, temos:

∆∆

⋅

+−−+

⋅+

=

−

4

1

40

10

1111

LEA

RR

NN

d

e


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: FORMULAÇÃO MATRICIAL

Consideremos uma barra inclinada de um ângulo α em relação à horizontal e dois sistemas

de coordenadas associados: δ correspondente aos g.l. ditos locais da barra (... direcção do

eixo da barra) e ∆ aos g.l. globais (... direcção vertical e direcção horizontal). Exite uma

Matriz de Transformação [ ]T que transforma as coordenadas ∆ nas coordenadas δ:

δ1 ∆1

∆3

∆4

∆6

δ2

α

z y

x

∆5

∆2

∆∆∆∆∆∆

⋅

=

654321

000000

21

zyX

zyX

uuuuuu

δδ

, i.e. { } [ ] { }∆⋅= Tδ

representado ( )zyx uuu as coordenadas do vector versor do eixo da barra no sistema de

eixos global xyz.

O mesmo raciocínio se pode estabelecer para as forças nos nós. Sejam φ as forças

correspondentes aos g.l. ditos locais da barra (... esforço axial) e F aos g.l. globais (... força vertical e força horizontal). A mesma Matriz de Transformação [ ]T transforma as

coordenadas F nas coordenadas φ:

φ1 F1

F3

F4

F6

φ2

α

F5

F2

z y

x


⋅

=

654321

000000

21

FFFFFF

uuuuuu

zyX

zyX

φφ

, i.e. { } [ ] { }FT ⋅=φ

Esta matriz é ortogonal, i.e. { } [ ] { }φ⋅= TTF .

A formulação matricial do sistema de equações que estabelece o equilíbrio de forças nos nós de uma estrutura bi-articulada tridimensional, segue os passos já apresentados para o caso bi-dimensional. Note-se, no entanto, que neste caso a aplicação da transformação à matriz de rigidez no sistema de eixos local, 2x2, na matriz de rigidez no sistema de eixos global, a transfoirma numa matriz de 3x3 elementos.


p

=

p

∆1 ∆2

∆3 ∆4

∆5

=

p

∆1 ∆2

∆3

p

E, I, J

∆1

∆3

∆2

α

X

0) Cargas aplicadas:

p

R10 R20

R30

p

=

∆3

∆2

∆1

p

∆4

=

∆3

∆2

∆1

p

∆1

∆2 ∆3

E, I, A

α

∆to

p


∆3

∆2

∆1

p

PARALELISMO ENTRE ESTRUTURAS CONTÍNUAS PLANAS DO TIPO PÓRTICO E DO TIPO GRELHA


p

E, I, J

=

R10

R30

R20

α

X


∆1 K21

K31

K11


∆2

K21

K31

K11


∆3 K23

K31

K13

E, I, A

R10

R20 R30

α

p

=


E, I, A

K11

K21 K31

α

∆1


E, I, A

K12

K22 K32

α

∆2


E, I, A

K13 K23

K33

α

∆3

Sistema de equações:

∆∆∆

⋅

+

=

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

KKKKKKKKK

RRR

FFF


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: ESTRUTURAS EM GRELHA

Seja uma nova estrutura hiperstática, plana, constituida por duas barras, uma inclinada de

um ângulo θ em relação à horizontal, solicitada por forças na direcção ortogonal ao plano

da estrutura.

p

p

∆1 ∆2

∆3 ∆4

∆5

p

E, I, J

=

∆1

∆3

∆2

α

L2 L1 . cos α

X∆4

∆5

cuja resolução, por analogia às estruturas contínuas de pórticos planos, se simplifica

p

∆1 ∆2

∆3

p

E, I, J

=

∆1

∆3

∆2

α

L2 L1 . cos α

X

Por sobreposição dos efeitos, temos:


p

R10 R20

R30

∆1 ∆2

∆3

+

=

p

E, I, J

=

R10

R30

R20

α

L2 L1 . cos α

X

E, I, J

+

∆1

∆3

∆2

α

L2L1 . cos α

X

Analisando cada uma das sub-estruturas anteriores em separado, temos:


p

R10 R20

R30

α

=

φ’10

φ’20

E, I, J

R’10

R’30=φ’30

Xp

X

R’20

R’’10

R’’30

R’’20

010 =′φ 020 =′φ

αφαφαφαφ

cossinsincos

201020

201010

⋅′+⋅′+=′⋅′−⋅′+=′

RR


∆1 K21

K31

K11

α

=

φ’11

φ’21

E, I, J

K’11

K’31=φ’31

X X

K’21

K’’11

K’’31

K’’21

αφ cos1

11 ⋅⋅

=′LJG

αφ sin4

121 ⋅

⋅⋅−=′

LIE

αφαφαφαφ

cossinsincos

211121

211111

⋅′+⋅′−=′⋅′+⋅′+=′

KK



∆2

K21

K31

K11

α

=

φ’12

φ’22

E, I, J

K’12

X X

K’22

K’’12

K’’32

K’’22

αφ sin1

12 ⋅⋅

=′LJG

αφ cos4

122 ⋅

⋅⋅=′

LIE

K’32=φ’32

αφαφαφαφ

cossinsincos

221222

221212

⋅′+⋅′−=′⋅′+⋅′+=′

KK


∆3 K23

K31

K13

α

=

φ’13=0

φ’23

E, I, J

K’13

X X

K’23

K’’13

K’’33

K’’23

013 =′φ

21

236LIE ⋅⋅

−=′φ

K’33=φ’33

αφαφαφαφ

cossinsincos

231323

231313

⋅′+⋅′−=′⋅′+⋅′+=′

KK



∆∆∆

⋅

+

=

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

KKKKKKKKK

RRR

FFF

sendo ijijij KKK ′′+′= , com i , j = 1, 2, 3.



Seja um elemento de barra em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e concentradas e/ou distribuidas aplicadas ao longo do eixo da barra. Aplicando o Princípio de Sobreposição de Efeitos e fazendo uso de valores dos deslocamentos nas extremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduzem o equilíbrio de forças que terá que existir nas três direcções de cada nó extremo da barra.

Forças aplicadas:

L

F3

F2

F6F1 F4E, I, J

p1 p2

F5


L

E, I, J ∆3

∆2

∆6

∆5

∆1 ∆4

p1 p2

=

Acção carga aplicada:

L

b

c a

p1 p2

R30

R20

R60

R50

R10 R40

E, I, J

+



K11

K21 K31

K41

K61 K51

∆1=1

K14

K24 K34

K44

K64 K54

∆4=1

+

K12

K22

K42

K52

∆2=1

K32 K62 K15 K45 ∆5=1

K35 K65

K25 K55

+

K13

K23

K33 K43

K63

K53∆3=1

K16

K26

K36 K46

K66

K56∆6=1

Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós, temos:

∆∆∆∆∆∆

⋅

+

=

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

60

50

40

30

20

10

6

5

4

3

2

1

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

RRRRRR

FFFFFF

i.e. { } { } [ ] { }∆⋅+= KRF 0 , designado-se a matriz [ ]K por matriz de rigidez. Por outro lado, o

vector { }F não representa mais do que os esforços nas extremidades da barra segundo as

direcções e os sentidos indicados na figura. Substituindo as forças Kij pelos valores determinados anteriormente e as forças Ri pelos esforços correspondentes, temos:

∆∆∆∆∆∆

⋅

−−−

−

−

−

−

−

+

=

−−−

6

5

4

3

2

1

60

50

40

30

20

10

312

2603

122

602

6402620

00003

122

60312

260

26202

640

0000

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LGJ

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LGJ

RRRRRR

TMMTMM

d

fd

td

e

fe

te


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

Reacções resultantes de assentamentos de apoio em barras bi-encastradas. Resumo.

1 3

2

4

5

6

E, I, J

L

∆1 = 1

K11 K31

K21

K41

K51

K61

E, I, J

L

∆ 2 = 1

K12 K32

K22

K42

K52

K62

E, I, J

L

K12

K22 K32

K42

K62 K52

∆ 3 = 1

K13 K33

K23

K43

K53

K63

E, I, J

L

K13

K23 K33

K43

K63 K53

061

051

41

031

021

11

=

=

−=

=

=

=

K

KL

GJK

K

KL

GJK

26

62

252

42

26

32

422

012

LEIKL

EIK

K

LEIKL

EIK

K

−=

=

=

=

=

=

312

63

26

53

043

312

33

26

23

013

LEIKL

EIK

K

LEIKL

EIK

K

−=

=

=

=

=

=


∆ 4 = 1

K14 K34

K24

K44

K54

K64

E, I, J

L

∆ 5 = 1

K15 K35

K25

K45

K55

K65

E, I, J

L

K15

K25 K35

K45

K65 K55

∆ 6 = 1

K16 K36

K26

K46

K56

K66

E, I, J

L

K16

K26 K36

K46

K66

L

K56


Consideremos uma barra inclinada de um ângulo α em relação à horizontal e dois sistemas

de coordenadas associados: δ correspondente aos g.l. ditos locais da barra (... direcção de

translação ortogonal ao plano da barra, rotação na direcção ortogonal ao eixo da barra e na

direcção do eixo da barra) e ∆ aos g.l. globais (...direcção de translação ortogonal ao plano

064

054

44

034

024

14

=

=

=

=

=

−=

K

KL

GJK

K

KL

GJK

26

65

455

045

26

35

225

015

LEIKL

EIK

K

LEIKL

EIK

K

−=

=

=

=

=

=

312

66

26

56

046

312

36

26

26

016

LEIKL

EIK

K

LEIKL

EIK

K

=

−=

=

−=

−=

=


da barra, rotação na direcção horizontal e na direcção vertical). Exite uma Matriz de

Transformação [ ]T que transforma as coordenadas ∆ nas coordenadas δ:

∆3∆1

∆2

∆6

∆5 ∆4

α

δ1 δ3

δ2

δ6

δ5 δ4

∆∆∆∆∆∆

⋅

−

−

=

654321

1000000)cos()(0000)()cos(0000001)000000)cos()(0000)()cos(

654321

αααα

αααα

δδδδδδ

sensen

sensen

, i.e. { } [ ] { }∆⋅= Tδ

sendo α medido sempre da horizontal positiva na extremidade esquerda para a barra para a

barra no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio:

α

δ2

δ3

δ1

δ6

δ5

δ4

∆3

∆1

∆2

∆6 ∆4

∆5

O mesmo raciocínio se pode estabelecer para as forças nos nós. Sejam φ as forças

correspondentes aos g.l. ditos locais da barra (... momento torsor, momento flector e esforço transverso) e F aos g.l. globais (... momento horizontal, momento vertical e esforço transverso). A mesma Matriz de Transformação [ ]T transforma as coordenadas F nas

coordenadas φ:


F3F1

F2

F6

F5 F4

φ6

φ5

α

φ1 φ3

φ2

φ4

⋅

−

−

=

654321

1000000)cos()(0000)()cos(0000001)000000)cos()(0000)()cos(

654321

FFFFFF

sensen

sensen

αααα

αααα

φφφφφφ

, i.e. { } [ ] { }FT ⋅=φ

Esta matriz é ortogonal, i.e. [ ] [ ]TTT =−1 . Seja um elemento de barra inclinado em equilíbrio

submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e concentradas e/ou distribuidas aplicadas ao longo do eixo da barra. De acordo com as relações estabelecidas anteriormente, temos:

Forças aplicadas:

L

E, I, J

p1

p2

α

φ1 φ3

φ2

φ6

φ5 φ4

L α

F6

F5

F4

F3F1

F2

E, I, J

p1

p2



L

E, I, J

p1

p2

α

δ1 δ3

δ2

δ6

δ5 δ4

L α

∆3∆1

∆2

∆6

∆5

∆4

E, I, J

p1

p2

⋅

−−−

−

−

−

−

−

+

=

6

5

4

3

2

1

60

50

40

30

20

10

6

5

4

3

2

1

312

2603

122

602

6402620

00003

122

60312

260

26202

640

0000

δδδδδδ

φφφφφφ

φφφφφφ

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LGJ

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LGJ

, i.e. { } { } [ ] { }δφφ ⋅+= K0

Utilizando as relações anteriores, podemos passar do sistema de coordenadas local δ e φ

para o sistema de coordenadas global ∆ e F,

{ } [ ] { }

{ } { } [ ] { }{ } { } [ ] [ ] { }

{ } [ ] { } { } [ ] { }{ } [ ] { } [ ] [ ] { }( )∆⋅⋅+⋅=⇒

⋅=⇒⋅=∧

∆⋅⋅+=⇒

⋅+=∧

∆⋅=

TKTFTFFT

TKK

T

T

T0

0

0φ

φφ

φφδφφ

δ

i.e. { } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF 00φ . Partindo do equilíbrio de forças da

barra no referencial local, e utilizando as matrizes de transformação de coordenadas, estabelecemos a equação de equilibrio de forças da barra no referencial global. A assemblagem da matriz de rigidez e do vector das cargas, segue os passos já indicados para as barras contínuas e bi-articuladas.


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: ESTRUTURAS MISTAS

Seja a seguinte estrutura hiperstática a resolver pelo método dos deslocamentos:

P

p L1

L2

E, I, A

L3

∆1

P

pL1

L2∆2

∆3 =

E, I, A

L3

que, por sobreposição dos efeitos, é igual à soma de duas estruturas:

R10

P

p L1

L2 R20

R30 +

E, I, A

L3

∆1

L1

L2∆2

∆3

E, I, A

L3




R10

P

p

R20 R30

=

E, I, A

R’’’10

p

R’’’20 R’’’30

P

R’20

R’30

R’’10

R’’20 R’’30


E, I, A

K11

K21 K31

∆1 =

K’’’11

K’’’21 K’’’31

K’21

K’31

K’’11

K’’21 K’’31

∆1=1


E, I, A

K12

K22 K32

∆2 =

K’’’12

K’’’22 K’’’32

K’22

K’32

K’’12

K’’22 K’’32

∆2=1



E, I, A

K13

K23 K33

∆3 =

K’’’13

K’’’23

K’’’33 K’23

K’33

K’’13

K’’23

K’’33

∆3=1



∆∆∆

⋅

+

=

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

KKKKKKKKK

RRR

FFF

sendo ijijijij KKKK ′′′+′′+′= , com i , j = 1, 2, 3.


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS

Seja uma nova estrutura hiperstática, tridimensional, constituida por três barras, ortogonais entre si, solicitadas por forças aplicadas nas barras.

pF

p

∆5 ∆6

∆4 ∆8

∆9

∆2 ∆3

∆1 ∆7

F

p∆5 ∆6

∆4

∆2 ∆3

∆1

ou

F

Por sobreposição dos efeitos, temos:

p

R50 R60

R40

R20 R30

R10

F

∆5 ∆6

∆4

∆2 ∆3

∆1

+




pR50 R60

R40

R20 R30

R10

F

1) Assentamento ∆1: 4) Assentamento ∆4:

K51 K61

K21 K31 ∆1=1

K41

K11

K54 K64

K34

K44

K14

∆4=1

K24


K52 K62

K22 K32 ∆2=1

K42

K12

K55 K65

K35

∆5=1

K45

K15

K25



K53 K63

K43

K23 K33

K13

∆3=1

K56 K66

K26 K36∆6=1

K46

K16

∆6=1


correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, temos:

∆∆∆∆∆∆

⋅

+

=

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

60

50

40

30

20

10

6

5

4

3

2

1

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

RRRRRR

FFFFFF


Seja um elemento de barra em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e concentradas e/ou distribuidas aplicadas ao longo do eixo da barra. Aplicando o Princípio de Sobreposição de Efeitos e fazendo uso de valores dos deslocamentos nas extremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduzem o equilíbrio de forças que terá que existir nas três direcções de cada nó extremo da barra.

Forças aplicadas:

F2F1

F3

F10

F9

F7E, I, A, J

L

F5

F4

F6

F11 F8

F12

z

x

y x

y

p1 p2



∆2∆1

∆3

∆10

∆9

∆7E, I, A, J

L

∆5

∆4

∆6

∆11 ∆8

∆12

z

x

y x

y

p1 p2

=

Acção carga aplicada:

R20R10

R30

R10,0

R90

R70 E, I, A, J

L

R50

R40

R60

R11,0 R80

R12,0

z

x

y x

y

p1 p2

+


E, I, A, J

L

z

x

y x

y

∆2∆1

∆3

∆10

∆9

∆7

∆5

∆4

∆6

∆11 ∆8

∆12


Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós, temos:

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

⋅

−

−

−

−

−

−−−

−

−

−

−−−

−

−

+

=

−−−

−

−

−

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

22

22

2323

2323

22

22

2323

2323

0,12

0,11

0,10

90

80

70

60

50

40

30

20

10

400006200006

0000000000

004600002600

00612000061200

0000000000

60000126000012

200006400006

0000000000

002600004600

00612000061200

0000000000

60000126000012

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LGJ

LEI

L

EILEI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EILEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LGJ

LEI

L

EILEI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EILEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

RRRRRRRRRRRR

MMMNTTMMMNTT

xxxx

yyyy

yyyy

xxxx

xxxx

yyyy

yyyy

xxxx

td

fxd

fyd

d

xd

yd

te

fxe

fye

e

xe

ye


Encontrada a matriz de transformação [ ]T das coordenadas no sistema de eixos global ∆

nas coordenadas no sistema de eixos local δ, i.e. { } [ ] { }∆⋅= Tδ , a transformação e

assemblagem das matrizes de rigidez e dos vectores das acções segue os passos já apresentados para o caso das estruturas planas.

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS BI-ARTICULADAS...

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