Metodo de Las Fuerzas-FICA-UNHEVAL
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16/07/2013
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Capitulo IV Mtodo de las Fuerzas Pablo Luis Salgado Zevallos
Introduccin
En este captulo se estudiar el mtodo de resolucin de vigas, marcos y estructuras reticulares planas hiperestticas conocido como mtodo de las fuerzas o de las flexibilidades.
Dado que las estructuras que se analizarn son hiperestticas, las ecuaciones de equilibrio (F=0 y M=0) no sern suficientes. As pues, para la resolver este tipo de estructuras se necesitara calcular esfuerzos y deformaciones virtuales los cuales sern luego compatibilizados con las condiciones de borde de esfuerzo y desplazamiento definidas en los apoyos.
Este tipo de anlisis se limitar al rango elstico de deformaciones.
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Formulacin del Mtodo
Para este mtodo se considera, en primer lugar, una estructura que llamaremos primaria. Esta se obtiene a partir de la estructura original eliminando las reacciones redundantes para obtener una estructura estticamente determinada, y conservando el sistema de cargas original. Esta estructura primaria deber ser estable y las reacciones redundantes sern aquellas que exceden el numero posible de determinar mediante las ecuaciones de equilibrio.
Luego, aplicado el principio de superposicin, se ir incluyendo el efecto de cada una de las redundantes, modeladas como fuerzas de magnitud desconocida. De esta forma se obtendr un set de ecuaciones para cada una de las redundantes. Superponiendo cada uno de estos efectos y aplicando las condiciones de borde impuestas por los apoyos ser posible resolver la estructura.
Formulacin del Mtodo
Ejemplo.
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Formulacin del Mtodo
1. A partir de la estructura hiperesttica, definir la estructura primaria, eliminando las restricciones redundantes y reemplazndolas por fuerzas o momentos Xk.
Formulacin del Mtodo
2. Obtener las distribuciones de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y torsin) de la estructura primaria bajo el efecto de las cargas externas originales.
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Formulacin del Mtodo
3. Aplicar en cada una de las k redundantes una carga unitaria y obtener los diagramas de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y torsin) de la estructura.
Formulacin del Mtodo
4. Calcular las deformaciones en las redundantes debido al sistema de carga original.
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Formulacin del Mtodo
5. Calcular las deformaciones en las redundantes debido a una carga unitaria sobre el mismo punto y las dems redundantes.
Formulacin del Mtodo
6. Aplicar las condiciones de compatibilidad geomtrica para obtener el sistema de ecuaciones.
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Formulacin del Mtodo
7. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las redundantes Xk.
Formulacin del Mtodo
8. Obtener el valor de las dems restricciones (no redundantes) mediante las ecuaciones de equilibrio esttico.
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Formulacin del Mtodo Ejemplo 2:
Determinar las reacciones y los diagramas de momento de la estructura de la figura. Obtener adems el desplazamiento vertical del punto B utilizando un sistema virtual apropiado.
Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad
Este caso se refiere a los efectos provocados por un desplazamiento de la redundante en estudio. Se analizara el efecto de los desplazamientos anelsticos (independientes de la magnitud de la carga).
Supongamos un desplazamiento (asentamiento o giro) del grado de libertad k. Para esta situacin, en la ecuacin de compatibilidad geomtrica correspondiente al grado de libertad en cuestin, se conservara a expresin:
con la diferencia de que el valor de k ser distinto de cero y conocido.
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Ejemplo:
Ejemplo:
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Ejemplo:
Defectos de fabricacin, montaje o construccin
Un desplazamiento de un grado de libertas, provocar, adems del efecto sobre la ecuacin de compatibilidad correspondiente, un efecto sobre las dems ecuaciones. Pues generar deformaciones y desplazamientos en toda la estructura, por lo tanto un trabajo.
Este es el tpico caso de tensiones generadas por defectos de fabricacin, montaje o construccin.
Este efecto se deber incluir en las dems ecuaciones mediante le trmino ka. Vale decir las dems ecuaciones adoptaran la forma:
El valor de este trmino de correccin se determinara mediante el principio de los trabajos virtuales (Carga unitaria).
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Ejemplo
Ejemplo
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Efecto Trmico
Para incluir los efectos asociados a la variacin de temperatura (dilatacin-contraccin) se deben agregar trminos relativos a los esfuerzos axiales y de flexin. Si el elemento estructural esta sometido a una variacin de temperatura uniforme, esta generar una dilatacin-contraccin uniforme expresada de la sgte forma: dnde: k : Coeficiente de dilatacin trmica. Tk : Aumento uniforme de temperatura en el elemento k.
Ahora bien, si el elemento estructural esta sometido a una variacin de temperatura no uniforme, vale decir, existe un gradiente de temperatura entre las caras de la barra. Se generar una dilatacin-contraccin de diferente magnitud:
Efecto Trmico
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Apoyo Elstico
Apoyo Elstico
Expresin General
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Modelacin de estructuras reticulares Estructuras reticulares con redundantes externas En esta seccin estudiaremos enrejados con redundantes externas, basando nuestro anlisis en la determinacin de deflexiones, algo muy similar a lo realizado en vigas y marcos.
Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:
Modelacin de estructuras reticulares Para resolver este enrejado eliminaremos la redundante del apoyo B (Xb). Determinaremos la deflexin generada en este punto debido a las cargas externas. Luego se determinara la deflexin provocada en el mismo punto debido a una carga unitaria aplicada en dicho punto.
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Modelacin de estructuras reticulares
La metodologa se hace extensiva a 2 o ms redundantes.
Ejemplo
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Modelacin de estructuras reticulares Estructuras reticulares con redundantes internas A continuacin, estudiaremos enrejados con redundantes internas, es decir, tiene ms barras de las necesarias para garantizar la estabilidad. Basaremos nuestro anlisis en la determinacin de tensiones-deformaciones en barras, tal como se realiz en el mtodo de Castigliano y de la carga unitaria.
Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:
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Modelacin de estructuras reticulares
Los enrejados con redundantes internas pueden analizarse en forma semejante a la empleada en la relacin con las armaduras con redundante externa. Se supone que una barra es la redundante y se elimina tericamente de la estructura. Las barras restantes deben constituir una estructura estticamente determinada y estable. Se supone que los esfuerzos N0, provocados por las fuerzas externas, son de naturaleza tal que generan una separacin de los nudos ubicados en los extremos de la redundante eliminada, provocando un desplazamiento 10.
Acto seguido se realiza un anlisis de tensiones y deformaciones suponiendo un par de fuerzas unitarias, actuando en la direccin de la barra eliminada simulando una traccin. Se calcularn los esfuerzos internos N , provocados por la carga unitaria. Esto originara un desplazamiento de los nudos (alargamiento de la barra) 11.
Finalmente se aplica el principio de superposicin y las condiciones de compatibilidad geomtrica.
Modelacin de estructuras reticulares
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Modelacin de estructuras reticulares
La metodologa se hace extensiva a 2 o ms redundantes.
Ejemplo
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Ejercicio 01: Resuelva la siguiente estructura:
Ejercicio 01:
Sistema isosttico fundamental:
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Ejercicio 01: Diagrama de cuerpo libre:
Diagrama de momentos flectores:
Ejercicio 01: Diagrama de cuerpo libre X1=1tm:
Diagrama de momentos flectores:
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Ejercicio 01: Diagrama de cuerpo libre X2=1t:
Diagrama de momentos flectores:
Ejercicio 01:
Sistema de ecuaciones a utilizar:
11.X1+ 12.X2 = -10
21.X1+ 22.X2 = -20
12
.11 1221 22
= 1020
12
=11 1221 22
1
.1020
Forma matricial:
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Ejercicio 01:
Ejercicio 01:
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Ejercicio 01:
Ejercicio 01:
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Ejercicio 01:
Ejercicio 01:
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Ejercicio 01:
Ejercicio 01:
12
=2,387 3,1803,180 6,820
1
.0,9403,520
12
=0,770,88
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Ejercicio 01: Diagrama de cuerpo libre final:
Ejercicio 01: Diagrama de momento flector final:
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Ejercicio 02: Resuelva la siguiente estructura:
Ejercicio 02:
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Ejercicio 02:
Ejercicio 02:
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Ejercicio 02:
Ejercicio 02:
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Ejercicio 02:
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Ejercicio 02:
Ejercicio 02:
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Ejercicio 02:
Ejercicio 02:
Sistema de ecuaciones a utilizar:
11.X1+ 12.X2 = -10
21.X1+ 22.X2 = -20
12
.11 1221 22
= 1020
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=11 1221 22
1
.1020
Forma matricial:
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Ejercicio 02:
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Ejercicio 02:
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Ejercicio 02:
Ejercicio 02:
12
=3,297 2,3072,307 4,977
1
.(17,081)(23,622)
12
=1,4064,095
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Ejercicio 02:
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