Metales: Modelo de electrones libres
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Metales Los electrones se mueven libremente a través del materialtravés del material
Modelo : Gas de electrones libresModelo : Gas de electrones libres
Potencial cristalino
Drude (1900) Sommerfeld (1927)Drude (1900) Sommerfeld (1927)
Aplicó la estadística de Fermi Dirac
Considero un gas clásico para
Potencial del modelo
Fermi-Diracgas clásico para estudiar conductividad
Z: valenciaA: masa atómica (gr/mol)A: masa atómica (gr/mol)ρm = densidad (gr/cm3)
Otra forma de expresar la densidad:
(N ) 2 08 A (N +) 0 98Ars(Na) = 2.08 A rionico(Na+) = 0.98A
Modelo de Sommerfeld
Para un gas de Ne electrones :
Si despreciamos la interacción e-e, resolvemos el problema de 1 electrón:
Ll l i l d í l N lLlenamos los niveles de energía con los Ne electrones
Ej.: N = 6
nF: n correspondiente al último nivel ocupado
En general, si N es par se tiene: nF = N/2 en un cristal N ≈1023
Definimos la Energía de Fermi como la energía del ultimo nivel ocupadop
La energía de Fermi es función de N/L (densidad electrónica del gas)
Para el gas en 3D
ni=1,2,3,..
F
Estas condiciones de contorno no son adecuadas para t di l i d d d b lk d t i lestudiar las propiedades de bulk de un material
Las funciones de onda son autofunciones
del operador momento
Poseen momento lineal definido
Valores posibles de k ?
nii
entero
Superficie de Fermi
= εF
superficie en el espacio superficie en el espacio k (esfera)
Separa los estados ocupados de los vaciosocupados de los vacios
La energía total del estado fundamental del gas se calcula:
Para una muestra macroscópica, los valores permitidos de k llenan densamente el espacio
densidad de estados (k) ( )g(k) o g(E)
1d3d
2dg g g
Calor específico de los metales
La energía interna de un gas clásico de N e- es:
E(T) = 3/2 N KB T (1/2 KB T por grado de libertad)
Cv(clas) = ∂E/∂T = 3/2 N KB
Si N N (6 023 1023) l l ífi l Si N = NA (6.023 1023), el calor específico molar es:
c (clas) = 3/2 NA KB = 3/2 Rcv(clas) 3/2 NA KB 3/2 R
Este término debería sumarse a la contribución proveniente de las ib i d l d l d l bi vibraciones de la red. El cv de un metal a temperatura ambiente
sería c 3/2 R + 3 R 9/2 R cv = 3/2 R + 3 R = 9/2 R
L ib ió d l l d d ió l l ifi La contribución de los electrones de conducción al calor especifico de un metal es pequeña a temperatura ambiente, comparada con la contribución proveniente de las vibraciones de la red (fonones) contribución proveniente de las vibraciones de la red (fonones)
Tratamiento cuántico - Gas de Sommerfeld
La energía total del estado fundamental del gas :
E(T) Cv = ∂E/∂T Cómo calculamos la energía interna E(T) ?interna E(T) ?
donde Distribución de Fermi-Dirac
Estimación de la contribución electrónica al Cv
g(ε)
No e- excitados
V ≈ g(EF) KB T
V
Energía de excitación ≈ K TEnergía de excitación ≈ KB T
E E
V ≈ g(EF) (KB T)2
cv≈ g(EF) KB2 T
Su muestra que para un gas de e- en 3D :Su muestra que para un gas de e en 3D :
g(EF) = = 3 n 3 n
g( F)2 EF 2 KBTF
cv≈ g(EF) KB2 T = 3/2 n KB T/TF
c(clas) = 3/2 n KB T=Tamb
cv
c(clas)
≈ T/TF ≈ 10-2
c(clas)
La contribución de los electrones de conducción al calor especifico La contribución de los electrones de conducción al calor especifico de un metal a Tamb es ~ 1% del valor clásico
P t l Para un metal a bajas temperaturas
C = C e + C phCv = Cv + Cvp
= γ T + α T3
C / T = γ + α T2Cv / T = γ + α T2
γ es proporcional a g(EF)