Menghitung Volume BendaPutarAda 2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:1. Metode cakram berdasarkan rumus Volume = Luas Alas tinggi Luas Alas selalu berupa lingkaran sehingga Luas Alas = r2 (r adalah jari-jari putaran) digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

2. Metode cincin silinder berdasarkan pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran karena keliling lingkaran = 2r, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2r A digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penjelasan dan contoh-contoh berikut ini:Diputar pada sumbu x

Contoh 1:Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 x 2 diputar terhadap sumbu x

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 2:Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = x2 + 4x diputar terhadap sumbu xKurva merah: y = x2, kurva hijau: y = x2 + 4xPerpotongan kedua kurva:x2 = x2 + 4xx2 + x2 4x = 02x2 4x = 02x(x 2) = 02x = 0 atau x = 2x = 0 atau x = 2x = 0 y = 02 = 0x = 2 y = 22 = 4Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap sumbu y:Contoh 3:Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y

Perpotongan kurva dan garis:x2 = 2xx2 2x = 0x(x 2) = 0x = 0 atau x = 2x = 0 y = 02 = 0x = 2 y = 22 = 4Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 4:Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y 2)2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi adalah

Perpotongan kurva dan garis:x + y = 4 x = 4 y(y 2)2 = 4 yy2 4y + 4 = 4 yy2 4y + 4 4 + y = 0y2 3y = 0y(y 3) = 0y = 0 atau y = 3y = 0 x = 4 0 = 4y = 3 x = 4 3 = 1Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap garis x = p:Contoh 5:Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x x2 diputar mengelilingi garis x = 4kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x x2, garis biru: x = 4Perpotongan kurva dan garis:x2 = 6x x2x2 + x2 6x = 02x2 6x = 02x(x 3) = 0x = 0 atau x = 3x = 0 y = 02 = 0x = 3 y = 32 = 9Metode cakram:

**pada contoh 6 contoh 8, karena digunakan kurva yang sama, hanya sumbu putar yang berbeda, penjabaran kurva di atas tidak ditulis lagi.

Metode cincin silinder:

Contoh 6:Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x x2 diputar mengelilingi garis x = 1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x x2, garis merah muda: x = 1Metode Cakram:

3Metode Cincin silinder:

Diputar terhadap garis y = a:Contoh 7:Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x x2 diputar mengelilingi garis y = 1kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x x2, garis biru: y = 1Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 8:Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x x2 diputar mengelilingi garis y = 10kurva merah muda: y = x2, kurva merah: y = 6x x2, garis biru: y = 10Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh soal lain :1.volume kurva yg dibatasi y=-x^2+4x dan y=4-x diputar di sb. x=6 brapa?* volumenya lebih mudah dihitung dengan menggunakan metode cincin silinderGambar grafik:

Cara:

2.. daerah D dibatasi oleh y=x, garis x=2y. hitung volume benda putar jika D diputar terhadap: a. sumbu x b. garis y=-1Gambar grafik:

Cara:

3.kurva y=x^2+c di putar terhadap sumbu y=x gimana rumusnyaAnggap grafik y=x^2 + c memotong garis y = x di (a, a) dan (b, b), dimana a < bPutar garis y = x sejauh 45 derajat searah jarum jam terhadap pusat (0, 0) sehingga menjadi sumbu xGrafik y = x^2 + c juga harus diputar 45 derajat searah jarum jam terhadap pusat (0, 0)Rotasi ini menghasilkan:

4.daerah dibatasi kurva y = x^2 + 4 , x = 1, dan x = 4, kemudian diputar terhadap sumbu x = 5, trus formulasi buat ngitung volume nya gimana ya kak??? ,, mohon pencerahan nya, sebelum dan sesudahnya saya ucapkan terima kasih.kalau diasumsikan dibatasi sumbu x juga, maka gambarnya seperti ini:

lebih mudah jika menggunakan cara cincin silinder.Caranya seperti ini:

mungkin dengan gambar ini bisa lebih jelas:

pada kotak yang bawah, dapat dilihat batas y nya dari 0 sampai 5,pada kotak yang atas, batas y nya dari 5 sampai 20semoga membantu5.volume di kuadran 1 yng berada dibawah garis y=2 diatas y=akar x diputar terhadap sumbu y gimana ya?gambarnya:

cara:

selamat belajar ^^6.volume bnda putar jika di ketahui; x= (akar dari 2y) +1, y=2, x=0, y=0 mengelilingi sumbu x.Gambar:

Cara:

7.volume yang dibentuk bila bidang yang dibatasi y=x+1, y=x^2, dan x >= 0 diputar 360 derajat keliling sumbu x tu berapa..??Untuk soal ini lebih mudah menggunakan metode cakram.Gambar:

Cara:

8. y=x^3+x+1, y=1 dan x=1tentukan apakah menggunakan metode cakram atau kulit tabung,, ??Di putar melalui sumbu x sama sumbu x-1 ??Gambar:

Dari gambar di atas, kalau sumbu putar sejajar dengan sumbu x (garis y = k, di mana k = konstanta), lebih mudah menggunakan metode cakram dengan batas integral dari 0 sampai 1Kalau sumbu putar sejajar sumbu y (garis x = k, di mana k = konstanta), lebih mudah menggunakan metode cincin silinder dengan batas integral dari 0 sampai 1Semoga membantu..9. cincin yang dibuat dari putaran bidang yang dibatasi y = 1- (x^2/2) , y=1,1- (x^2/2), garis x = -1, dan garis x = 1, hitung volume yang dibutuhkan Gambar:

Sumbu putarnya tidak diketahui?Kalau tidak diketahui, karena bentuk yang diminta cincin, asumsi sumbu putar y = 1/2Sebenarnya lebih mudah menyelesaikan soal ini dengan metode cakram. Tapi kalau diminta menggunakan metode cincin silinder, berikut ini caranya:

dengan metode cakram: (sumbu putar y = 1/2)

10 kalau diket y=x, y=4x, x=2 gimana gambarnya kakak cara menggambar y = x:untuk x = 0 -> y = 0 -> diperoleh titik (0, 0)untuk x = 1 -> y = 1 -> diperoleh titik (1, 1)hubungkan kedua titikcara menggambar y = 4x:untuk x = 0 -> y = 0 -> diperoleh titik (0, 0)untuk x = 1 -> y = 4 -> diperoleh titik (1, 4)hubungkan kedua titikjadi diperoleh gambar berikut ini:

*garis merah: x = 2garis merah muda: y = xgaris hitam: y = 4xselamat belajar ^^ 11.volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh y^2=1-x^2 dan y=1-x pd kuadran I dputar terhadap sumbu x.. trma ksih Gambar:

Cara:

semoga membantu, selamat belajar ^^.12.Y=x^2 dan y=1 dan x=2 diputar terhadap garis y= -3. Bagaimana volume benda putarnya. Gambar:

Cara:

13. dik kurva y^2=x dan y=x-2a). Gambarnyab). luasnyac). volumed).kel daerahGambar:

Cara:

14.volume benda putar yang diperoleh jika daerah dibatasi oleh kurva y=x^2 y=1 dan x=2 diputar terhadap garis y= -4Gambar:

Cara:

15.luas daerah datar diantara kurva y= x^3-x^2-6x dan sumbu xGambar:

Cara:

16. volume yg terjdi jika daerah yg di batasi kurva = akar y, dan y=x di putar mengelilingi sumbu Y,, Gambar:

Cara:

17. Kurva Y = 4x^2, X=0, Y=16, X-axis = jawabannya di buku Gambar:

Cara:

18. kurva x = (y 2)2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi adalah Untuk soal ini lebih mudah menggunakan metode cincin silinder.Gambar:

Cara:

19.daerahnya dibatasi kurva y= x^2 dan y = akar 8x diputar 360 derajat mengelilingi sumbu XGambar:

Cara:

20. Kurva y=x, y=3x-x^2 dan garis x, diputar pada sumbu x sejauh 360 derajat Gambar:

Untuk soal ini lebih mudah dihitung mengunakan metode cakram:

21. daerah R dibatasi oleh parabola y = x^2 sumbu x dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu y sebagai sumbu putar jadi luas dan volume R ?mohon secepatnya di jawab kak sebelum dan sesudahya terima kasih kak22. hitung luas figure yang dibatasi oleh garis y = -x^2 + 6 dan garis lurus y = xterima kasih ya kak no 21)Gambar:

Cara:

no 22)Gambar:

Cara:

23.volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y=3x+2, x=2, dan x=5, diputar 360 derajat mengelilingi sumbu x diasumsikan daerah yang terbentuk juga dibatasi sumbu x, sehingga gambarnya adalah sebagai berikut:

Volume benda putar yang terjadi lebih mudah dihitung dengan menggunakan metode cakram.Cara:

24.volume yang terbentuk oleh putaran daerah yang diketahui sekeliling garis yang diketahui, menggunakan metode cakram (jawaban dalam satuan kubik)y=4x^2 , x=0 , y = 16 ; sumbu y

Gambar:

Cara:

24. volume benda putar yang terjadi untuk daerah di kwadran II yang dibatasi oleh kurva y= x^2 dengan x+y=2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 derajat adalahGambar:

Cara:

25.Daerah yang dibatasi oleh y=sin x,x=0 dan x=vi(180 derajat) dan y=0 diputar mengelilingi sumbu x.Tentukan volume benda putar yang terjadi.Makasih kak.Gambar:

Cara:

26. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva x^2 + y^2 = 9 dan garis x+y-3=0 diputar 360derajat mengelilingi sumbu x adalah satuan volume27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y=4-x^2 , sumbu x , sumbu y dan garis x = 1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu x adalah.. satuan volume28. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x x^2 dan y=2-x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360derajat adalah. satuan volumeNo. 26Gambar:

Cara:

No. 27Gambar:

Cara:

No28Gambar:

Cara:

29 Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh satu sikloida x=a(1-sin t) ,y=a(1-cos t) dan sumbu x mengelilingi :A.sumbu x,B.sumbu y,C.sumbu simetri.

Volume benda putar yang terjadi jika mengelilingi:A. sumbu xGambar:

Cara:

B. sumbu yGambar:

Cara:

C. sumbu simetriGambar:

Cara:

30. hitunglah luas permukaan bola jari jari r yang terletak diantara dua bidang sejajar masing masing berjarak a/2 dari pusat.(kunci:2 vi ar)makasi ya kak31. kalau daerah dalam volume benda putar, apakah selalu sama jika diputar terhadap sumbu x maupun sumbu y?Tidak sama.Contoh: untuk daerah pada gambar berikut ini:

jika diputar terhadap sumbu x, volume benda putar yang terjadi adalah seperti ini:

jika diputar terhadap sumbu y, volume benda putar yang terjadi adalah seperti ini:

semoga membantu ^^32. Bagaimana menentukan volume dari luasan yg dibatasi y^2= 25-x^2, -2=