menaksir simpangan baku

of 22 /22
ESTIMASI Salah satu aspek untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dengan memakai sampel yang diambil dari populasi tersebut menggunakan estimasi (penaksiran) Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ maka θ yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga yang dinamakan dengan estimator (penaksir) θ ˆ

Embed Size (px)

description

Lumayan

Transcript of menaksir simpangan baku

ESTIMASISalah satu aspek untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dengan memakai sampel yang diambil dari populasi tersebut menggunakan estimasi (penaksiran) Jika parameter populasi disimbolkan dengan maka yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga yang dinamakan dengan estimator (penaksir)

Ciri-ciri estimator / penaksir yang baik 1. Tak bias, jika rata-rata semua harga akan sama dengan , E( )= 2. Efisien, jika memiliki varians yang minimun 3. Konsisten, jika yang dihitung berdasarkan sampel acak berukuran n semakin besar n menyebabkan mendekati lim = n

Contoh : 1. rata-rata dari distribusi sampling rata-rata x = maka rata-rata sampel x penaksir tak bias

2. rata-rata dari dist sampling rata-rata, x = dan juga Med = tetapi s = n

1.2533 Med = n

sedemikian hingga dist rata-rata memiliki varians lebih kecil dari dist median sehingga rata-rata sampel sebagai penaksir yang efisien

CARA MENAKSIR1. Interval Estimations (Interval taksiran) dari penelitian dan perhitungan-perhitungan harga statistik suatu sampel, bisa dihitung suatu interval dimana dengan peluang tertentu, harga parameter yang hendak ditaksir terletak dalam interval tersebut (A < < B) 2. Point Estimations (titik taksiran) harga parameter hanya ditaksir dengan satu harga yakni harga sitatistik sampelnya =

Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisin kepercayaan dengan 0 < < 1 Untuk menentukan interval taksiran parameter dengan koefisien kepercayaan maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan P(A < < B) = dengan A dan B fungsi dari statistik, yang berarti peluangnya adalah bahwa interval yang sifatnya acak yang terbentang dari A ke B akan berisikan atau 100 % percaya bahwa parameter akan berada dalam interval A dan B

A

B

I. MENAKSIR RATA-RATA, Titik taksiran untuk populasi dengan parameter rata-rata akan ditaksir, diambil sampel yang dihitung nilai statistik x . Titik taksiran untuk adalah x Interval taksiran untuk

a) Simpangan baku diketahui, populasi normal maka 100 % interval kepercayaan untuk adalah x z 12

n

< < x + z 12

n

.......... .(1)

b) Simpangan baku tidak diketahui, populasi normal maka 100 % interval kepercayaan untuk adalah s sx tp n < < x + tp n .......... .( 2 )

dengan tp = niali t dari daftar dist t, p = (1 + ) dk = derajat kebebasan = n 1 Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :

(1) menjadi :x z 12

n s n

Nn < < x + z 1 2 N 1 n Nn s < < x + tp N 1 n

Nn N 1 Nn N 1

( 2 ) menjadi :x tp

Contoh : 1. Ukuran berat dari sebuah sampel acak yang terdiri dari 200 bola-bola yang dihasilkan oleh sebuah mesin tertentu selama satu minggu menunjukkan rerata sebesar 0.824 kg dan simpangan baku 0.042 kg tentukan batas interval bila 95% bagi berat ratarata semua bola ! Penyelesaian : x = 0.824 n = 200 s = 0.042 Berarti simpangan baku tidak diketahui, diasumsikan normal maka dengan 95% interval kepercayaan adalah (silahkan coba dihitung)

2. Suatu biro riset ingin mengestimasi rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu dari ibu-ibu rumah tangga. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 ibu rumah tangga telah dipilih dari populasi ibu rumah tangga. Dari ke-100 tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp 190.600 dengan simpangan baku Rp 10.600. Hitung 98% interval kepercayaan untuk pengeluaran rata-rata untuk pembelian bahan makanan per minggu dari semua ibuibu rumah tangga (silahkan coba, sebagai latihan)

II. MENAKSIR PROPORSI, P populasi binom berukuran N dimaka terdapat proporsi P untuk peristiwa A Titik taksiran untuk P x = titik taksiran untuk P adalah p dg x banyaknya n peristiwa A Interval taksiran untuk P 100% interval kepercayaan P adalahpq p z 1 < P < p + z 1 2 2 n x dengan p = q=1pn

pq n

Contoh : Sebuah sampel acak yang terdiri 100 penggarap sawah, 60 orang penggarap di atas ternyata juga merupakan pemilik sawah yang bersangkutan. Tentukan 90% interval kepercayaan guna penaksiran proporsi penggarap yang juga pemilik sawah Penyelesaian : x n = 100 dan x = 60 maka p = = 0.6 dan q = .. n z1/2 = z(1/2)0.9 = 1.64 Sehingga 90% interval kepercayaan adalah .< P < .. Dengan demikian 90% interval kepercayaan, proporsi populasi berkisar diantara .

(

III. MENAKSIR SELISIH RATA-RATA, 1 2 Titik taksiran untuk (1 2) adalah x 1 x 2 a) 1 = 2 populasi normal dengan 1 = 2 = Interval taksiran : 1 1 1 1 x1 x 2 z 1 + < 1 2 < x1 x 2 + z 1 + 2 2 n1 n 2 n1 n 2

(

)

)

(

)

Jika besarnya 1 = 2 = tidak diketahui

(

1 1 1 1 x1 x 2 t p s + < 1 2 < x1 x 2 + t p s + n1 n 2 n1 n 2p = (1 + ) dk = n1 + n2 - 2

)

(

)

2 (n1 1) s12 + (n2 1)s2 s= n1 + n2 2

b) 1 2 Dilakukan pendekatan dengan memisalkan s1 = 1 dan s2 = 2 , interval taksiran :

(

1 1 1 1 x1 x 2 z 1 + < 1 2 < x1 x 2 + z 1 + 2 2 n1 n 2 n1 n 2

)

(

)

c) Observasi Berpasangan Variabel acak X dan variabel acak Y diambil sampel berukuran sama n1 = n2 = n tiap data sampel dari kedua variabel acak saling dipasangkan. Misal x1 dengan y1, x2 dengan y2 dan seterusnya sehingga diperoleh beda ratarata B = x y dan selisih tiap pasangan B1 = x1 y1 , B2 = x2 y2 dan seterusnya

Interval taksiran :B tp dengan sB n : < B

< B + tp

sB n

B = sB =

Bi n n B i2

(

Bi

)

p = (1 + ) dk = n1 + n2 - 2

2

n(n 1)

Contoh : Ada 2 cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat : Cara I dilakukan 50 kali dengan rata-rata 60.2 dan varians 24.7 Cara II dilakukan 60 kali dengan rata-rata 70.4 dan varians 37.2 Tentukan 95% interval kepercayaan mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu Penyelesaian :

2 (n1 1) s12 + (n2 1) s 2 2 s gab = n1 + n 2 2 (50 1)24.7 + (60 1)37.2 = = 31.53 50 + 60 2

p = (1 + ) =.. dk = n1 + n2 2 =.. Sehingga tp = Batas-batas interval taksiran adalah

(x

1

x 2 t ps

)

1 1 + n1 n2 31.53 1 1 + 50 60

(70 . 4 60 . 2 ) 1.984

Sehingga diperoleh : .. < 1 2 < Dengan demikian 95% percaya bahwa selisih ratarata pengukuran kedua cara itu akan berada pada interval .. IV. MENAKSIR SELISIH PROPORSI, P1 P2 Misalx1 p1 = n1 x2 p2 = n2

Interval taksiran untuk interval kepercayaan 100% selisih (P1 P2) adalah pq pq pq pq 1 p 2 ) z 1 1 1 + 1 1 < P1 P2 < (p1 p 2 ) + z 1 1 1 + 1 1 (p 2 2 n1 n1 n1 n1 Dengan q1 = 1 p1 q2 = 1 p2

Contoh Sampel acak dari 100 kendaraan masing-masing yang telah dipilih dari populasi terdiri dari kendaraan di dua kota A dan kota B. di kota A, 80 buah ternyata sudah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di kota B hanya 66 buah. Buat interval keprcayaan 95% untuk menaksir harga perbedaan proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota Penyelesaian : p1 = ...... p2 = ...... n1 = n2 = 100 = 0.95 z1/2 = 1.96 interval taksiran untuk interval kerpercayaan 95% adalah . < P1 P2 <

V. MENAKSIR SIMPANGAN BAKU, Jika populasi berdistribusi normal dengan varians 2 maka interval taksiran 100% untuk 2 adalah 2 2(n 1)s (n 1)s 2