Memorias X Encuentro Nacional de Educación Matemática y ... · PDF...

ISSN No. 2248-7727

Encuentro Nacional de

Educación Matemática y

Estadística

Vol. 10

U n i v e r s i d a d

P e d a g ó g i c a y

T e c n o l ó g i c a d e

C o l o m b i a

F a c u l t a d S e c c i o n a l

D u i t a m a

T e l : ( 0 9 8 )

7 6 2 4 4 3 3 / 3 6 / 3 7 ‐

E x t 1 3 1 ‐ 1 3 2

8 y 9 d e s e p t i e m b r e

d e 2 0 1 1

“Espacios de reflexión e intercambio

de saberes”

ENCUENTRO NACIONAL DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA Tit. Abreviado Encuentro nac. Educ. mat.estad. Vol. 10 Septiembre de 2011 Duitama-Boyacá ISSN: 2248-7727

Publicación anual de la Escuela de Matemáticas y

Estadística de la Uptc Facultad Duitama, cuyo propósito

es brindar espacios de actualización, reflexión

e intercambio de saberes en torno a la Matemática, la

Estadística y su Didáctica; con el fin de contribuir al

desarrollo del conocimiento profesional de profesores de

matemáticas en formación inicial y en ejercicio.

Encuentro Nacional de Educación matemática y estadística:

[recurso informático]. — Duitama: Uptc., vol.1 2002- ISSN: 2248-7727 Anual

Título abreviado Encuentro nac. Educ. mat.estad. Título anterior Encuentro Nacional de experiencias de aula en Educación matemática y estadística vol.1-7 2002-2008.-- Encuentro Nacional de Educación Matemática y Estadística vol. 8

2009- 1-Educación matemática – Congresos, conferencias, etc. – 2. Matemáticas – Congresos – Conferencias, etc. – 3. Estadística –

Congresos – Conferencias, etc. --- 4. Didáctica – Congresos, Conferencias, etc. CDD 370

http://www.uptc.edu.co/eventos/2011/enemes/

© Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

Comité Científico

MSc. Carmen Helena Cepeda A. Uptc, Colombia

MSc. Clara Emilse Rojas Morales. Uptc, Colombia

MSc. Luis Abey Gómez Gómez. Uptc, Colombia

Editora

Clara Emilse Rojas Morales. Uptc, Colombia

Directora

Sandra Patricia Cárdenas Ojeda, Uptc, Colombia

Contacto: [email protected]

Grupos de Investigación Uptc Duitama, Colombia

GIE , EDUMAES, Algebra y Análisis

Comité Editorial

Yolanda Romero, Uptc, Colombia

Comité Organizador

Alexis Favián Malpica Vega

Gilberto Peréz Poblador

Dairo Gil Gil

Se permite la reproducción parcial y total, citando

siempre la fuente

Directivos

Gustavo Orlando Álvarez Álvarez, Rector

Orlando Vergel Portillo, Vicerrector Académico

Celso Antonio Vargas Gómez, Decano Facultad Seccional Duitama

Sandra Patricia Cárdenas Ojeda, Directora de Escuela de Matemáticas y Estadística

mailto:[email protected]

CCOONNTTEENNIIDDOO

CONFERENCIAS PLENARIAS Pág.

Modelamiento Estadístico de datos experimentales Teoría Básica con aplicaciones. Jaime Eduardo Dávila Sanabria.

10

ATLAS.TI y una Descomposición Genética como herramientas de análisis de la práctica docente: la Función Exponencial. Jeannette Vargas Hernández.

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EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Conferencias

Didáctica y comunicación en la clase de matemáticas. Miguel Arcangel Díaz Moreno 30 Funciones alternas. William Jiménez. Sandra Milena Rojas. Magda Pilar Ángel. 39 La conversión en la teoría de Duval: Notas para explicar la comprensión en matemáticas. Gloria Inés Neira. 43

Talleres Enseñanza de la Estadística en los Grados 3º a 9º. Oscar Gallo. José Cisneros 50 El impacto de la geometría dinámica en la construcción del pensamiento. José Agudelo 57 Saber pensar es la clave, que pensar cualquiera sabe. Germán Torres 62 Uso de las Tic´s en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas y geometría-manejo de software educativo “regla y compás. Martha Márquez

65

Sombreros, zapatos y algunos acertijos topológicos.Laura Peña y Erika Quintero

69

Comunicaciones Breves

Un aplicativo para la enseñanza del problema de optimización del consumo en economía empleando Mathematica. Nicolás Marciales Parra

75

Semillero de investigación. Erika Johana Monroy Rodríguez.Carlos Andrés Cely Vergara.Javier Alfredo Dávila Cano. Carlos Ramos.

81

El doblado de papel como una herramienta para la enseñanza de la geometría. Eliana Castillo García. Mauricio barrera Mesa.

87

Pensamiento Numérico y Sistemas Posicionales. Sandra Jazmín Tovar Espinel , Wilmer Merado Gómez Blanco.

90

Gráficos existenciales Alfa. Sandra Jazmín Tovar Espinel, Wilmer Merado Gómez Blanco. 94 Construcción de una lógica trinaria con la hoja de cálculo de excel. William Jiménez, Sergio Pachón, Paola Martínez, Paula Moreno y Daniel Duque.

98

Transformaciones de funciones en coordenadas polares. William Jiménez. Laura Alejandra Mayorga Cadavid, Juan Pablo Ahumada López, Alejandro Cuchigay.

101

Constructivismo y concepto de número. Emiro Enrique Méndez Mulett. 104 Teselados en geogebra. Elvia Lucia Silva. Clara Rojas. 110 La actividad demostrativa en una clase de geometría con estudiantes en edad extraescolar bajo la aproximación metodológica propuesta por el grupo Æ•G. Carolina María Luque Zabala. Luis Alejandro Robayo León.

113

Construcción del significado de las fracciones algebraicas y sus operaciones a partir de las fracciones aritméticas. Aura González

120

Un breve estudio histórico y epistemológico de la función exponencial y análisis de algunos libros de texto. Aily Diomara Morales

127

Un breve análisis de la enseñanza de la proporcionalidad directa que promueven los libros de texto. Sonia Milena Molina Cárdenas

134

Propuesta didáctica para el aprendizaje de la interpretación de medidas de variación y correlación en estudiantes de Educación Básica. Agustín Darío Tamayo Yanguma.

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MATEMÁTICAS

Conferencias

Nuevas herramientas para solucionar problemas de optimización. Omaida Sepúlveda. Nelsy González.

144

Representación y modelación de objetos de la naturaleza. Publio Suárez Sotomonte 148

Talleres

Aplicación de tic´s, simulink, para el modelado y simulación de sistemas dinámicos. Zagalo Suárez. 160 Límite de una función. Arbey Gómez. 167

Comunicaciones Breves

Análisis de la bifurcación Hopf en el Sistema de Van Der Pol. Hector Aponte Betancurt 173 Sobre uniformidades definidas por cubrimientos y completado fibra a fibra. Héctor Antonio Ricaurte Moncaleano.

175

Análisis de las soluciones de un problema de Neumann para un modelo discreto asociado a un operador de difusión no local con término de absorción. Luz Adriana Pabón Cachope.

182

Estudio de un modelo de difusión no-local en n dimensiones.Luz Maricel Elorreaga Rodríguez 187 La ecuación de Laplace, el problema de DIRICHLET. Alexis Favian Malpica Vega 190 Análisis de la estabilidad asintótica de un brazo manipulador por medio del segundo método de Lyapunov y simulink en matlab.Edinson Fuentes

200

Un estudio introductorio a la ecuación de la onda en Rn. Juan Giraldo y Alexis Malpica 207

Acerca de las soluciones no triviales para un problema de Dirichlet asintóticamente lineal. Mireya García

213

Soluciones no triviales para un problema de Dirichlet semilineal con múltiples valores propios no lineales. Wilson Rivera

216

Aplicación de las cónicas en tres problemas de movimiento parabólico. Herberth Jesús Cárdenas Ramírez. Jhonny Tolosa Cetina

218

ESTADÍSTICA

Taller

Análisis exploratorio de datos en R. Carlos Ramos, Sandra Cárdenas. 225

Comunicación Breve

Bondades del análisis exploratorio de datos. Sara Cristina Guerrero 233

[MEMORIAS ENCUENTRO NACIONAL DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA] 8 y 9 de Septiembre

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Uptc Facultad Seccional Duitama-Boyacá 2011

PLENARIA

MODELAMIENTO ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES TEORÍA BÁSICA CON APLICACIONES

Eduardo Dávila

M.Sc. en estadística, candidato a Ph.D. [email protected]

Camilo Niño Ingeniero Agrónomo

[email protected]

Resumen

En esta ponencia se presenta una sinopsis de la metodología relacionada con el análisis de datos provenientes de experimentos. Después de definir el concepto básico de modelamiento, los autores presentan los pasos esenciales que todo investigador debe tener en cuenta para un correcto análisis de datos, cuando se hace uso de métodos paramétricos. Mediante un ejemplo, se presentan los errores que pueden cometerse, cuando no se validan los supuestos asociados a cada modelo estadístico. Finalmente, el lector contará con las herramientas mínimas para que el modelo que busque ajustar tenga validez en la comunidad científica internacional.

Palabras clave: Modelos Estadísticos, Validación de Supuestos, Selección del Modelo e Inferencia.

Abstract This paper presents an overview of the methodology related to data analysis from designed experiment. After defining basic concept of modeling, the authors present the essential steps that all researchers must take into account for proper analysis, when dealing with the use of parametric methods. Through one example, it is presented the typical errors committed once the assumptions are not validated in relation to the selected statistical model. Finally, the reader will have the minimal tools for modeling with acceptance in the scientific community.

Key Words: Statistical Models, Verify Assumptions, Model selection and Inference. INTRODUCCIÓN Existe en la literatura muchos textos sobre modelos estadísticos, que ofrecen alternativas para el análisis de diferentes tipos de datos, obtenidos mediante encuestas o por medio de experimentos diseñados para tal fin; en el primero o segundo caso, la mayoría de autores dedican sólo unos cuantos renglones al proceso inicial que busca responder cómo escoger el correcto método estadístico de análisis. Según Crawley (2007), la parte más difícil del proceso es iniciar, lo cual incluye la dura tarea de atreverse a escoger algunos tipos de modelos. En términos generales, se puede organizar el proceso de modelamiento estadístico en las siguientes partes consecutivas:

a) seleccionar el tipo correcto de método de análisis estadístico, b) de cada método seleccionado, determinar los valores más apropiados de los parámetros que lleven a

proponer el “mejor” modelo que se ajuste a los datos, c) verificar el modelo con base en los supuestos asumidos, d) inferir.

La primera parte depende del tipo de datos y del contexto científico; la segunda está en el esquema de la selección del modelo, asociado al término muy usado de “bondad de ajuste”; el tercer aparte va adherido a la definición de modelo estadístico; finalmente, la inferencia es el fin mismo del modelamiento que lleva a la verificación de hipótesis científicas, que son la base sobre las que se construye la teoría científica y, por tanto, el conocimiento formal. Con lo anterior, el objetivo de esta ponencia es revisar cada uno de las partes que llevan a un correcto


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modelamiento estadístico. El artículo se presenta en tres secciones, estando la Sección 1 dedicada a la revisión formal del modelamiento, partiendo de la definición del modelo estadístico; la Sección 2 muestra una aplicación, paso a paso, haciendo uso del programa R de libre distribución; en la tercera Sección se hace una breve reflexión sobre la evolución del modelamiento y se concluye.

CONCEPTOS BÁSICOS DEL MODELAMIENTO ESTADÍSTICO Después de presentar una definición de modelo estadístico, se revisarán los pasos formales que llevan a un apropiado análisis paramétrico de datos.

Definición de Modelo Estadístico De forma general un modelo estadístico es una familia de distribuciones sobre un espacio muestral; formalmente, un modelo estadístico es una tripleta:

,

Donde Ω es un espacio muestral, F es una sigma-algebra y es una familia de distribuciones, dentro de la cual

se espera esté la densidad que genera los datos y que se asocia a la variable aleatoria Y (Liese and Miescke, 2008). Una definición bien elaborada de un modelo particular se presenta a continuación. Definición 1. Modelos propios de dispersión PD(λ,µ): es una familia de distribuciones cuya densidad, con respecto a la medida de Lebesgue, está dada por

con , función conocida y la función de varianza.

Dentro de los supuestos incluye una variable aleatoria continua y una función de varianza con ciertas propiedades que caracteriza la familia; para detalles véase (Jϕrgensen, 1997). El modelamiento estadístico es un proceso algorítmico que tiene como objetivo primordial seleccionar el modelo más apropiado, que en términos prácticos será aquel que genere la menor cantidad de variabilidad no explicada, sujeto a la restricción que todos sus parámetros sean estadísticamente significativos; además, el modelo buscado deberá cumplir el principio de parsimonia, que en términos prácticos significa, según Crawley (2007), que:

a) deberá tener la menor cantidad de parámetros posibles, b) de preferencia estará en la clase de los modelos lineales y no en los no lineales, c) estará basado en pocos supuestos, d) iniciará en un grupo de modelos complejos para irse simplificando hasta un nivel adecuado, e) se asociará a explicaciones simples en menor grado que a complejas.

Entendidos el objetivo y los principios del modelamiento, a continuación se estudiará cada parte de dicho proceso. Etapas del Modelamiento Estadístico Antes de iniciar con el proceso de modelamiento propiamente dicho, es importante seleccionar el método estadístico apropiado y luego, dentro del método, buscar los modelos mejor indicados. En cuanto al método a usar, debe haber claridad sobre qué tipo de variable respuesta se va a analizar (continua, conteo, proporción, binomial, categórica, tiempo de sobrevida, etc.) y cuál es la naturaleza de las variables explicativas (continuas, categóricas o mezcla de ambas); Dobson (2002) ofrece una buena referencia de métodos de análisis con base en los tipos de variables respuesta y categóricas. Después de un correcto análisis exploratorio de los datos, las etapas del modelamiento deben darse en el orden que se presentan a continuación.

(i) Formulación del modelo.


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En esta primera etapa se debe relacionar una función de la variable respuesta Y con funciones de las variables explicativas (X1,…Xp), por medio de una ecuación, más una distribución de probabilidad para la variable respuesta, en conjunto con los supuestos necesarios para poder considerar que los datos han sido generados por este mecanismo probabilístico.

(ii) Selección del modelo. En esta fase es importante recordar (Crawley, 2007) que el modelo estadísticos se puede organizar dentro de cinco tipos.

a) El modelo nulo. Tiene un solo parámetro, la media general µ, tiene el máximo número de grados de libertad (n-1), no tiene ajuste ni poder explicativo.

b) El modelo minimal adecuado. Es un modelo simplificado cuyo número de parámetros ( ) está delimitado

por su ajuste es menor, aunque significativamente igual con respecto al modelo maximal;

tiene grados de libertad y su poder explicativo está determinado por la relación entre la

variabilidad explicada y la variabilidad total (R2).

c) El modelo maximal. Contiene todos los factores, que incluyen interacciones y covariables de interés; sus

grados de libertad son ; su poder explicativo depende de cada caso.

d) El modelo saturado. Contiene un parámetro para cada dato, su ajuste es perfecto, no tiene grados de libertad y no tiene poder explicativo.

Claramente, el objetivo de la selección del modelo es encontrar el modelo minimal adecuado a cada situación. El orden lógico será ajustar el modelo maximal e iniciar con la eliminación de los términos menos significativos; el proceso se detiene al lograr el modelo con la mayor variabilidad explicada y con el menor número de parámetros. En al ajuste del modelo maximal se deberán chequear los supuestos hechos en la etapa de formulación; usualmente en este punto es donde los usuarios de los métodos estadísticos cometen más fallas. Para la selección del modelo minimal, el uso de los Criterios de Información ha sido bastante generalizado (Claeskens and Hjort, 2008); de éstos, el Criterio de Información de Akaike (AIC), es el más empleado, cuya expresión tiene la forma

para cada modelo candidato (M). En (1) es el logaritmo de la verosimilitud de cada modelo y es

la longitud del vector de parámetros. Claramente el AIC es una verosimilitud (logaritmo de) penalizada por el número de parámetros que se incluyen en M. Al igual que en modelamiento, el uso del AIC está limitado a modelos tradicionales que incluyen el supuesto de variables independientes e idénticamente distribuidas. Existen razones matemáticas muy precisas, en cuanto la relación que hay entre el AIC y la distancia de Kullback-Leibler, que hacen del uso de este criterio un tanto riesgoso cuando no hay independencia entre observaciones o cuando el modelo que se asume para los datos está lejos (con respecto a la distancia de Kullback-Leibler)

de la “verdadera” densidad que genera los datos ; casos típicos se tienen en los datos correlacionados, la

sobredispersión en modelos asociados a la familia Poisson y binomial o cuando no se cumplen los supuestos de normalidad en errores, entre otros (Dávila and López, 2010). Cuando no se tienen los requisitos necesarios para aplicar el AIC, una buena referencia que incluye extensiones de este criterio es Claeskens and Hjort (2008). Entre las alternativas más empleadas está el Criterio de Información de Takeuchi (TIC), cuya penalización es la traza del producto de la matriz de la varianza de los Scores y la inversa de la matriz de la Información de Fisher esperada. En el caso muy usual de sobredispersión, en modelos lineales generalizados (familias Poisson y binomial), se tiene el

donde es el parámetro de sobredispersión. Finalmente, el Criterio de Información de Schwarz o Bayesiano (BIC)

ofrece una penalización más severa a la complejidad del modelo, éste toma la forma

.


9


(iii) Revisión del modelo. Es importante recalcar que muchos profesionales fallan al atarse a una clase de modelos, luego es importante recordar lo citado en Crawley (2007), esto es:

a) Todos los modelos son malos, b) Algunos son mejores que otros, c) El modelo correcto nunca se podrá reconocer con certidumbre total, d) Lo simple que sea el modelo lo hace preferible.

Además, la revisión del modelo seleccionado deberá ser estricta en cuanto a: a) Detectar predicciones muy pobres, b) Diagnosticar heterocedasticidad, c) Mostrar falta de normalidad en los errores, d) Ser fuertemente influenciado por escaso número de datos, e) Mostrar algún patrón sistemáticos en los errores, f) Exhibir sobredispersión.

Existen varios métodos, de los cuales los gráficos tienen muy buena aplicabilidad y son de fácil entendimiento. Entre los principales gráficos se pueden citar los siguientes:

a) Residuales contra valores ajustados=> en busca de heterocedasticidad, b) Residuales contra covariables=> en busca de falta de linealidad, c) Residuales contra el orden de recolección=> en busca de correlación temporal, d) Residuales contra desvíos normales estandarizados=> buscando falta de normalidad.

En la Tabla 1 se presentan algunos de los supuestos que se deben verificar en modelos conocidos. Se recuerda que la prueba de Bartlett es usada para diagnosticar heterocedasticidad y la de Shapiro-Wilks para normalidad, entre otras. Tabla 1. Algunos supuestos que deben validarse para modelos conocidos.

Clase de Modelos Supuestos a verificar

Análisis de Varianza Clásico Normalidad, homocedasticidad, linealidad

Regresión Lineal Varianza constante y normalidad de errores

Lineal Generalizado Dispersión nominal, linealidad en la función de enlace.

Copulas Continuidad en las marginales.

(iv) Inferencia. Una vez revisado el modelo, el investigador procederá a resolver los problemas de decisión estadísticas que motivaron el uso del modelo, ya sea prueba de hipótesis, estimación puntual, estimación por intervalo, etc.

APLICACIÓN El caso a analizar corresponde a datos no publicados, propiedad de la empresa TALEX SAS, recolectados en un ensayo en el cultivo de rosas, en la sabana de Bogotá. El objetivo del trabajo fue evaluar el efecto de un producto nutricional y profiláctico (KlingQuel

® Raíces) en la población de ácaros (Tetranychus). Para esto, se montó un

diseño en bloques completos generalizados (cuatro bloques), con dos Productos (KlingQuel® Raíces y Testigo); cada

tratamiento o Producto tuvo 16 subrepeticiones, el total de observaciones fueron 128. Para efecto didáctico, se seguirá paso a paso la metodología descrita, haciendo uso de dos clases de modelos: análisis de varianza clásico (ANOVA) y modelo lineal generalizado (GLM) y sus extensiones. Formulación de los Modelos Modelo ANOVA. Considérese el arreglo:

,


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donde µ es la media global, es el efecto del i-ésimo tratamiento, es el efecto del j-ésimo bloque, es el

efecto del submuestreo y es el error que se distribuye normal e independiente, esto es NID(0, ).

Modelo GLM. Considérese que la variable aleatoria sigue una distribución de Poisson, con parámetro λ ,

además se tiene el arreglo:

siendo .

Selección de los Modelos Al construir los modelos maximales, en cada caso se obtuvo lo siguiente. Modelo ANOVA: no se cumple con el supuesto de normalidad, luego se hace transformación de Box & Cox, la potencia seleccionada es cero, entonces se hace uso de logaritmo natural. Calculando el AIC, su máximo valor (313,67) sugiere el siguiente modelo que se presenta con su tabla de ANOVA. Tabla 2. Análisis de varianza, variable respuesta ácaros por tallo.

Fuente GL Sum. Cuad. Cuad. Medio F Calc. p-valor

Bloques 3 5.185 1.7284 2.7472 0.04593 *

Productos 1 18.129 18.1291 28.8142 3.948e-07 ***

Bloque:Productos 3 14.925 4.9749 7.9071 7.408e-05 ***

Error 120 75.501 0.6292

El modelo minimal coincide con el modelo maximal. Modelo GLM: el supuesto de dispersión nominal no se cumple al ajustar el modelo maximal, ya que hay un desvío residual de 598,8 sobre 120 grados de libertad. De esto se derivan varias alternativas, una son los modelos de Cuasi-verosimilitud, la otra usar una función de varianza tipo binomial negativa. En el primer caso se tiene el siguiente modelo minimal, como se registra en la Tabla 3. Tabla 3. Análisis de quasi-verosimilitud Poisson, variable respuesta ácaros por tallo.

Modelo GL Desvío GL resid. Desvío Resid. P(>|Chi|)

Nulo 127 791,97

Producto 1 71.03 126 720.96 0.0004902***

Producto:Bloque 6 122.153 120 598.80 0.0019084 **

Es claro que bajo Cuasi-verosimilitud Poisson, el efecto simple de los Bloques no es significativo, luego el modelo minimal es un caso especial de modelo maximal. Por la otra ruta, al hacer uso de la familia binomial negativa, se obtiene un resultado similar al del ANOVA, pues el modelo minimal sugerido por el AIC (748,3) es igual al modelo maximal (Tabla 4). Tabla 4. Análisis de desvíos, bajo familia binomial negativa, variable respuesta ácaros por tallo.

Modelo GL Desvío GL resid. Desvío Resid. P(>|Chi|)

Nulo 127 192.07

Producto 1 13.639 126 178.43 0.0002216 ***

Bloque 3 10.124 123 168.31 0.0175370 *

Producto:Bloque 3 20.670 120 147.64 0.0001233 ***


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Revisión de los Modelos e Inferencia En el caso del modelo ANOVA, las pruebas de homogeneidad de varianzas (Bartlett, p-valor= 0,62), normalidad de errores (Shapiro, p-valor=0,28) y aditividad (gráfico de residuales contra covariables) indican que los supuestos del ANOVA se cumplen, luego la inferencia lleva a afirmar que hay efectos de los tratamientos, lo que se confirma con la prueba de Tukey que da una diferencia altamente significativa (p-valor= 4e-07) entre KlingQuel

® Raíces (4,97

ácaros/tallo) y el Testigo (8,85 ácaros/tallo); el resultado propone recomendar el producto en la disminución de la población de ácaros. Sobre los modelos de Cuasi-verosimilitud Poisson y binomial negativo, ambos presentan buenos diagnósticos en cuanto al análisis gráfico; el binomial negativo compromete ligeramente la linealidad en la transformación, pero sin ser aberrante; ambos se consideran apropiados sobre la base de sus supuestos; además los dos modelos reportan efecto altamente significativo de los Productos.

DISCUSIÓN Y CONCLUSIÓN Se usaron tres tipos de modelos para analizar un mismo conjunto de datos, los cuales llevaron a universos

inferenciales ligeramente diferentes. Es importante recalcar que la variable respuesta analizada, población de ácaros, tiende a estar asociada a conteos de contagio, en los cuales la varianza es muy superior a la que el modelo Poisson sugiere; esto lleva al fenómeno conocido como sobredispersión, que fue diagnosticado en el modelamiento. Al hacer el ANOVA sin transformación de Box & Cox, violando los supuestos, se llega a la misma inferencia del modelo de Cuasi-verosimiltud, rechazando el efecto significativo de los Bloques sobre la variable respuesta (p-valor= 0,222), lo que permite observar, para el caso analizado, que el uso del modelo en el que se debilita el supuesto de la distribución, está llevando a una inferencia incorrecta. La ausencia de independencia univariada y, en la mayoría de casos, multivariada, está forzando el desarrollo de nuevos modelos estadísticos, para el análisis de variables no normales y no independientes, cuya transformación en busca de normalidad no resuelve satisfactoriamente el problema del modelamiento de la varianza de los estimadores (Dávila and López, 2010). Uniendo la revisión teórica con los resultados de la aplicación, se puede concluir que el seguimiento al proceso formal de modelamiento, lleva a inferencia más acorde al universo de aplicación, aun haciendo uso de clases diferentes de modelos como fueron el ANOVA clásico y la familia binomial negativa. La validación de los supuestos y la revisión general del modelo asumido, aseguran la generación de conocimiento científico veraz y en los profesionales de la estadística está la responsabilidad para que esto se cumpla.

BIBLIOGRAFÍA

Claeskens, G. and Hjort, N. (2008). Model Selection and model Averaging. Cambridge: Cambridge University Press.

Crawley, M. (2007). The R Book. New York: Wiley.

Dávila, E. and López, L. (2010). Modeling Multivariate Overdispersed Binomial Data. En: International Biometrics Conference. XXV International Biometric Conference. Florianópolis, Brazil 5-10 Dec 2010. The Brazilian Region (RBras) and the Argentinean Region (RArg).

Dobson, A. (2002). An Introduction to Generalized Linear Models. 2 ed. London: Chapman and Hall.

Jϕrgensen, B. (1997). Dispersion Models. London: Chapman and Hall.


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PLENARIA

ATLAS.TI Y UNA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA COMO HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS DE LA PRÁCTICA DOCENTE: LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Jeannette Vargas Hernández Aspirante a Doctora en Educación Matemática Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca

[email protected]

Resumen

En esta comunicación se describe la manera cómo se clasifica y realiza un análisis de primer orden sobre los datos obtenidos en

una investigación cuyo objetivo es caracterizar la práctica de los docentes universitarios de precálculo del concepto función

exponencial. Para ello se hace un planteamiento de una descomposición genética del concepto función exponencial y se usa

ATLAS.ti que permite almacenar todos los datos, codificarlos, categorizarlos y analizar los resultados obtenidos a partir de la

noción de modelación de la descomposición genética.

Palabras clave: Educación Matemática, función, exponencial, docentes. 97C70, 97C30, 97B10, 26A12

Abstract This communication describes how it is classified and analyzed the first order data from the research on the characterization of teaching methods' instructors of the exponential function concept at the college level in a precalculus class. The approach employ is a genetic decomposition of the exponential function concept and use ATLAS.ti. This allows to save, code, sort and analyze all data so results are obtained from the modeling notion of the genetic decomposition.

Key words: 97C70, 97C30, 97B10, 26A12

INTRODUCCIÓN

La utilización de las nuevas tecnologías en la investigación educativa ha obligado a los investigadores a perfeccionar

los métodos a seguir así como la selección de los instrumentos, herramientas y técnicas más adecuadas para

conseguir los objetivos planteados. Si repasamos las diferentes fases de una investigación: selección de sujetos,

metodología a aplicar, el diseño de instrumentos, la recogida de datos,...en cada uno de esos momentos se ha

logrado que las nuevas tecnologías formen parte del proceso investigador como ayuda o enriquecimiento de dicho

proceso. Así nos han permitido:

- Acceso a los sujetos objeto de investigación a través de diversos medios: páginas web, correo electrónico, redes

sociales,...

- Diseño de una metodología de aula innovadora que implique el uso de las TIC.

- La recogida de los datos mediante audiograbadoras digitales, de cámaras de vídeo, cámaras web o software de

captura de pantallas (Codes, 2009)

Modificar el centro de interés, por ejemplo, el análisis de los gestos realizados por los alumnos cuando resuelven



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un problema matemático no habría sido posible sin el uso de cámaras de vídeo

En general, cuando se habla de metodología cualitativa, el trabajo del investigador se ha caracterizado por ser

bastante artesanal, teniendo que superar grandes dificultades para estructurarlo y sistematizarlo, en definitiva, es

un trabajo muy complejo que requiere mucho tiempo y reflexión por parte del investigador.

A partir de la década de los 90, fueron apareciendo herramientas informáticas como ayuda para facilitar el análisis

de datos cualitativos que conforman lo que hoy en día se conoce bajo las siglas CAQDAS (Computer Assisted

Qualitative Data Analysis). Estos programas han soportado una gran resistencia a su uso por parte de los

investigadores debido al uso lineal y las restricciones que imponían. Pero hoy en día, muchas de estas barreras han

sido superadas y encontramos programas que pueden apoyar a los investigadores en las diferentes fases de la

investigación y que pueden ser clasificados en diversas categorías según su uso:

- Los de asistencia a la transcripción: SOUNDSCRIBER, TRANSANA

- Los orientados a la lógica como AQUAD

- Los que permiten análisis de contenido TESTQUES

- Los que ayudan al análisis ATLAS/ti, NUDIST, QDAMiner, NVivo, MaxQDA.

Es importante señalar que la aplicación de estos paquetes se debe asumir con atención, criticidad y reflexión (Farias

y Montero, 2005), generando un acercamiento centrado en las necesidades del investigador o del tema.

Atlas.ti como recurso para el análisis de datos

El programa ATLAS.ti fue desarrollado en Berlín mediante un proyecto de colaboración entre el departamento de

Psicología de la Universidad Libre de Berlín y Thomas Muhr y se sigue perfeccionando en nuestros días. Se usa

como medio de almacenamiento, categorización, codificación y estructuración de los datos obtenidos en una

investigación a través del diseño de diagramas, mapas y redes. Permite el almacenamiento de los datos en un único

lugar (unidad hermenéutica) a partir del que se va a hacer el análisis. Posteriormente, se segmentan, se asignan

códigos a cada segmento incluyendo comentarios y anotaciones (memos) y se forma así una base relacional de

datos a partir de los que el programa genera redes semánticas (networks) para que finalmente sean interpretados

por el investigador.

Los objetos o elementos que constituyen el programa son:

- Documentos primarios: documentos de texto, gráficos, sonoros o visuales situados en el disco duro. El programa

no los modifica ni los guarda sino que almacena referencias a ellos.

- Citas: fragmentos de los documentos primarios seleccionados por su significación en relación con la investigación.

Puede ser una cadena de texto, un gráfico, una imagen, …

- Códigos: indicadores de conceptos o expresiones que se van asignando a las citas seleccionadas.

- Notas (memos) textos breves con ideas asociadas a algunos de los elementos


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- Familias: conjunto de objetos que comparten una cualidad, pueden ser familias de códigos, de documentos

primarios, etc. Se suelen usar cómo filtros en la búsqueda de los miembros de algún objeto.

- Redes: están compuestas por nodos y relaciones creados a través de un editor específico. Los nodos pueden ser

cualquiera de los objetos del programa y las relaciones son los nexos establecidos entre esos nodos.

Todos los objetos llevan datos sobre la fecha y hora de su creación e incluso, si nuestro trabajo es en equipo, se

pueden distinguir las aportaciones de los distintos miembros del equipo.

Referentes teóricos

En esta comunicación se pretende mostrar un ejemplo del proceso de análisis de datos en el caso de una

investigación sobre la práctica docente en torno a la función exponencial.

Uno de los objetivos que justifica el análisis de la práctica del profesor de matemáticas en el ámbito de la educación

matemática es determinar en qué medida lo que el profesor hace en el aula (su discurso matemático) y los

problemas y recursos que utiliza facilitan el que los estudiantes doten de significado a las ideas matemáticas

(Gavilan et al, 2007a, 2007b). En este contexto la secuencia de construcciones mentales y los mecanismos

cognitivos por los cuales los estudiantes pueden desarrollarlos se convierte en un referente para determinar en qué

medida la práctica del profesor permite esa construcción. De esta manera, la descomposición genética de un

concepto se convierte en un referente para identificar y explicar aspectos relevantes de la práctica del profesor de

matemáticas.

La función exponencial es un concepto que se incluye en los cursos de precálculo a nivel universitario en Colombia

y una característica importante que la identifica es ser la única función cuya derivada es proporcional a la propia

función. Sin embargo, su aprendizaje no está exento de dificultades relacionadas con las restricciones sobre los

valores de la base (Davis, 2009), los cómputos tanto si el exponente es natural como cuando no lo es (Confrey y

Smith, 1995) o el significado de su crecimiento (Lezama, 1999). Desde el punto de vista de su enseñanza, se ha

realizado una inversión respecto a su génesis histórica dado que lo habitual es que se enseñe previamente a la

función logaritmo cuando, en realidad, surgió como inversa de ésta. Esto ha conducido a que se descuiden aspectos

que la dotan de significado y que tienen que ver tanto con dicha génesis histórica como puede ser la relación entre

la estructura aditiva de los exponentes y la multiplicativa de la variable dependiente como con las aplicaciones de la

función exponencial en ámbitos muy diversos como las ciencias naturales o la economía. Esto pone de manifiesto

los prerrequisitos para su construcción como los nuevos significados que deben ser generados: razón de cambio,

covariación y crecimiento.

A partir de las consideraciones anteriores se hace una propuesta de descomposición genética de la función

exponencial (Vargas, J., González, MT y Llinares, S, 2011). Se elabora y examina la propuesta teniendo presente que

la descomposición genética del concepto hace referencia a dos componentes del modelo de comprensión APOS: las

formas de conocer: acción, proceso, objeto y esquema, y los mecanismos de construcción: interiorización,

inversión, coordinación encapsulación y desencapsulación. En el siguiente esquema (Dubinsky, 1991, p. 107) se

pueden ver las relaciones entre estos dos componentes lo cual es una ayuda al esbozar las ideas que se presentan

en las descomposiciones.


15


Esquema 1. Formas de conocer y mecanismos de construcción en la teoría APOS, p. 107.

Para realizar la descomposición genética se establecieron unos prerrequisitos para luego describir cada uno de los

mecanismos de construcción en dos grupos de registros de representación: el analítico-tabular y el gráfico-

analítico, considerando así tanto los aspectos aritméticos y algebraicos por un lado como los geométricos y gráficos

por otro.

La idea inicial es partir de la noción de potencia como operación, junto con los diferentes significados del

exponente; considerar los exponentes naturales mayores que uno como una multiplicación reiterada en la que se

busca una economía en la escritura y luego la noción de exponente no natural como una convención matemática

para uniformizar las operaciones entre monomios a partir de las leyes de las exponenciales. Esta introducción

permitirá generar en los estudiantes formas de conocer la potencia como una acción que posteriormente

permitirán generar mecanismos de interiorización de la idea de potencia con exponente natural.

Además, en el contexto de las funciones se parte de las funciones lineales y polinómicas, entre ellas las funciones

potenciales, para llegar a la función compuesta y la función inversa.

Comienza la construcción de la función exponencial por medio de las llamadas acciones en la teoría APOE,

transformaciones de objetos percibidas por el estudiante como externas. Estas transformaciones se producen

como una reacción a una indicación que ofrece información sobre los pasos a seguir. Se realiza en dos planos, el

analítico y el gráfico para los cuáles se consideran algunos casos particulares como bases enteras y racionales,

teniendo en cuenta, además que las funciones exponenciales xbxf )(

son aquellas funciones cuya razón de

cambio es proporcional al valor de la función y, por tanto, los estudiantes deben ser conscientes de esta razón de

cambio. Por otro lado hay que tener en cuenta la noción de covariación entre las dos estructuras, la aditiva de la

variable independiente y multiplicativa de la dependiente. Estos dos últimos aspectos deben permitir al estudiante

identificar la naturaleza creciente o decreciente de la función. En cuanto a los aspectos gráficos, hay que considerar

la representación en el plano cartesiano de los puntos de la curva exponencial para lo que se requiere el uso de

elementos geométricos como la media geométrica, la semejanza o el producto de segmentos. En definitiva, se trata

de:

• Analítico- tabular

Acción de evaluar numéricamente la expresión de función exponencial con una base dada.

Acción de calcular las diferencias entre dos valores de la variable independiente y los valores correspondientes de


16


la variable dependiente.

Acción de comparación de diferencias y cocientes de dos valores de la variable independiente e dependiente

respectivamente.

• Gráfico- analítico

Acción de ubicar en el plano cartesiano puntos correspondientes a parejas de coordenadas donde la segunda

componente es una potencia de exponente la primera componente, recurriendo a construcciones geométricas

cuando la ubicación de puntos lo requiera.

El mecanismo de interiorización es la construcción mental de un proceso que tiene que ver con una serie de

acciones sobre objetos cognitivos, es decir, las acciones se interiorizan en procesos. Este mecanismo permite ya la

comparación de funciones exponenciales de diferente base, distinguiendo de este modo el tipo de crecimiento

relacionado con los valores de la base tanto desde el punto de vista analítico como gráfico, la adquisición del

proceso asociado a la covariación de la función exponencial y del proceso de proporcionalidad de la razón de

cambio con el valor de la función asociado a la función exponencial.

• Analítico- tabular

Interiorización de las acciones en un proceso cuando se realizan iteraciones correspondientes a elevar una base fija

cuando se varía el exponente, considerando los casos en que la base es mayor que uno o cuando tiene un valor

entre cero y uno.

Interiorización de las acciones de comparación de diferencias y cocientes de dos valores de la variable dependiente

e independiente respectivamente, para buscar las relaciones entre ellas.

Interiorización de las acciones del cambio que se efectúa en la variable x, para x muy grande en el caso de la

función decreciente y x muy pequeño en el caso de la función creciente para comparar el cambio que se genera en

y.

Interiorización de las acciones de comparación de la razón de cambio promedio en un punto con el valor de la

función en ese punto.

• Gráfico-analítico.

Interiorización de las acciones de ubicar diferentes puntos en el proceso gráfica de la función exponencial sin

recurrir a realizar las acciones de reemplazar en la fórmula esos diversos valores en donde está definida la función.

Representación del triángulo característico para diferentes puntos de la gráfica de una función.

El mecanismo de coordinación es el acto cognitivo de asociar dos o más procesos para construir un nuevo proceso,

en este caso los procesos construidos mediante el mecanismo de interiorización son coordinados para formar el


17


proceso función exponencial en el plano analítico y en el plano gráfico.

• Analítico -tabular.

Coordinación entre el proceso función exponencial, cuya razón de cambio promedio es directamente proporcional

al valor de la función en ese punto y el proceso de funciones crecientes para bases mayores que uno y decrecientes

para bases mayores que cero y menores que uno con corte en (0,1) y asíntota al eje x.

• Gráfico-analítico.

Coordinación entre el proceso curva de la función exponencial asíntota al eje x con corte en el eje y; y el proceso

función creciente para bases mayores que uno y decrecientes para bases mayores que cero y menores que uno.

El mecanismo de encapsulación es la transformación mental de un proceso dinámico en un objeto cognitivo

estático Este objeto puede ser visto como una entidad total y puede ser transformado mentalmente por otras

acciones o procesos. En este caso se dice que el proceso ha sido encapsulado en un objeto cognitivo.

Encapsulación del proceso función exponencial en el objeto xbxf )(

función exponencial y su representación

con b>0 y b≠1, dominio en el conjunto de los números reales y rango los número reales positivos, que tiene como

asíntota el eje x, es una función creciente para b<1 y decreciente para 0<b<1 con una raíz para x=1 y relación de

proporcionalidad entre la función y su razón de cambio.

Finalmente el mecanismo de generalización permite considerar la función exponencial en diferentes contextos

tanto matemáticos como no matemáticos incrementando la imagen del concepto y con ello dotando al concepto

de sentido.

Generalización de la función exponencial objeto xbxf )(

por diversas transformaciones relacionando los

diferentes parámetros de la representación analítica con sus efectos en la representación gráfica.

Aplicación de la generalización anterior con los procesos de solución de ecuaciones exponenciales.

Utilización de la función exponencial en diferentes contextos: crecimiento de poblaciones, decaimiento,

temperatura e interés compuesto, comportamiento radiactivo.

Ejemplo de uso en una investigación sobre la práctica profesional del profesor de matemáticas: El caso de la

enseñanza de la función exponencial

Para indagar sobre la forma cómo se construye en el aula el concepto de función exponencial, se han utilizado

ciertas herramientas conceptuales e informáticas. En cuanto a la primera adoptamos el constructo modelación de

la descomposición genética (Gavilán, 2005) generado a partir de la teoría APOS (Dubinsky, 1991) para explicar la

práctica del docente entendida como “una descripción de los mecanismos de construcción que el profesor modela,

de la secuencia de estas modelaciones y de la organización de las relaciones que establece entre dichos

mecanismos a través del uso de diferentes instrumentos de la práctica”. Y, en relación con el segundo aspecto,


18


optamos por utilizar el programa ATLAS.ti para llevar a cabo el proceso de análisis de la práctica de los docentes.

Esta investigación que pretende responder a ¿Cómo guía el docente la construcción de la función exponencial con

estudiantes de precálculo? es un estudio de casos de dos1 docentes universitarios de precálculo con una

experiencia profesional de 15 y 10 años respectivamente. Los instrumentos utilizados para la recogida de datos de

cada sesión de aula correspondientes a la enseñanza de la función exponencial fueron: una entrevista inicial sobre

la planificación, un audio y videograbación de las sesiones correspondientes a la implementación y una entrevista

final, por cada sesión, de contraste entre el investigador y cada docente.

Los videos junto con las grabaciones de voz tanto de las clases como de las entrevistas fueron transcritos en su

totalidad e incorporados a una unidad hermenéutica del programa. Es importante señalar que el programa es

solamente una ayuda para el investigador, puesto que, en definitiva, tiene que ser él mismo quien debe ingresar

tanto los documentos, como los videos, grabaciones de voz y demás datos que requiera para establecer relaciones

de acuerdo con los objetivos planteados. La siguiente imagen (figura 1) del documento2 20 muestra una parte de

la entrevista posterior a la sesión 5, que ya forma parte de la Unidad Hermenéutica de ATLAS.ti :

Figura 1. Extracto de una entrevista.

Después de realizar por un lado las transcripciones y por otro, a nivel más teórico, la descomposición genética3 de

la función exponencial, se generaron categorías relacionadas con las sucesivas fases de dicha descomposición a las

que se les asignaron códigos y una descripción de su significado. Dichos códigos, por lo tanto, se refieren a los

1 En esta comunicación sólo se va a hacer referencia a uno de los casos, el docente que se ha denominado caso 1.

2 La numeración de los documentos es asignada automáticamente por el programa y puede ser reordenada según lo considere

el investigador. En nuestro caso el orden definido por la investigadora fue: primero las 15 sesiones de clase y luego una a una las entrevistas del caso 1 seguidas de las entrevistas correspondientes al caso 2 y finalmente las entrevistas iniciales. Por lo tanto el documento 20 corresponde a la entrevista 5 entrevista realizada al caso 1 sobre una sesión de clase. 3 Una descomposición genética es un conjunto estructurado de construcciones mentales, las cuales pueden describir cómo el

concepto puede ser desarrollado en la mente de un individuo (Asiala et al., 1996).


19


mecanismos que modela el docente: interiorización4, coordinación5, encapsulación6, inversión7, generalización8.

A partir de esa codificación se fueron seleccionando los segmentos significativos en relación con las categorías

previamente establecidas. Esto permitió observar los mecanismos de construcción que el profesor propicia para

que sus estudiantes construyan el conocimiento en cada sesión de clase (Gavilán, J.M.; García, M. & Llinares, S.

2007b).

En esta comunicación, por razones de extensión, sólo vamos a hacer referencia a tres de esos mecanismos:

generalización, inversión y coordinación. Un ejemplo de un segmento de una clase ya codificado se puede ver a

continuación:

Figura 2. Información de pantalla sobre documentos en ATLAS.ti

En esta indagación, la investigadora ha establecido los códigos de acuerdo con los cuales va a clasificar los

segmentos de clase con anterioridad al análisis propiamente dicho, pero se puede hacer sobre la marcha a medida

que se van revisando los datos obtenidos en la investigación.

El programa también permite incorporar un comentario sobre cada uno de los códigos que, en nuestro caso,

corresponde a la interpretación e indicadores de cada mecanismo, por ejemplo, alguno de los códigos que se

4 La repetición y la reflexión sobre las acciones permiten caracterizar el mecanismo de interiorización (Dubinsky, 1996)

entendido como “traducción de una sucesión de acciones materiales a un sistema de operaciones interiorizadas” (Beth y Piaget

1966, p. 206).

5 Coordinación: A partir de dos o más procesos se construye un nuevo proceso.

6 Encapsulación: Transformación de un proceso en objeto.

7 Inversión: Una vez que existe un proceso internamente, es posible para sujeto pensar en él en reversa, no necesariamente en

el sentido de deshacerlo, sino como un medio de construir un nuevo proceso que consista de revertir el proceso original. 8 Generalización: Aplicación de un esquema en situaciones diferentes a los usos previamente construidos.


20


asignaban fueron los relativos al mecanismo de generalización y el comentario incluido por la investigadora se

refiere a la concreción de este mecanismo en relación con la función exponencial, que incluye:

Generalización de la función exponencial objeto xbxf )(

por diversas transformaciones relacionando los

diferentes parámetros de la representación analítica con sus efectos en la representación gráfica. Gea.

Aplicación de la generalización anterior con los procesos de solución de ecuaciones exponenciales. Geb.

Utilización de la función exponencial en diferentes contextos: crecimiento de poblaciones, decaimiento,

temperatura e interés compuesto, comportamiento radiactivo. Gec

A partir de la codificación, la investigadora interpreta las acciones de los docentes y, guiada por las intenciones que

estos últimos han manifestado en las entrevistas, asigna el mecanismo Generalización y luego dentro de cada cita o

segmento el código Gea, Geb o Gec según corresponda a las acciones marcadas en el segmento. Se procede de

forma similar asignando cada uno de los mecanismos que forman parte de la descomposición genética del

concepto de función exponencial a diferentes segmentos. Este proceso se realiza de una forma ágil permitiendo

establecer relaciones y vínculos entre los diferentes documentos que constituyen los datos. De esta manera se

pueden vincular los segmentos de las clases con las afirmaciones del docente durante las entrevistas.

Para observar estas relaciones y vínculos entre los segmentos de la entrevista y las sesiones de clase se puede

utilizar la herramienta hierarchy. A continuación se presenta un ejemplo que corresponde a la segunda entrevista

realizada al docente. Los encabezados de la forma [17:--] corresponden a la entrevista que fue guardada como

documento 17 y los encabezados [2:--] indican que se refieren a la sesión de clase número dos. Así [17:6] es el

sexto segmento de dicha entrevista aparece relacionado con el noveno segmento de la sesión de clase [2:9] al cual

se le asigna el código correspondiente al mecanismo de interiorización de la función exponencial y tiene un memo

anexo que la investigadora escribió el 30 de octubre del año 2009.

Figura 3. Jerarquía entre vínculos de segmentos de diferentes documentos.


21


Los memos que la investigadora ha asignado a algunos códigos pueden corresponder al análisis o a diversos

comentarios sobre las razones de la codificación, aclaraciones o elementos que se podrían considerar para

profundizar en un análisis con mayor grado de profundidad.

Los nexos entre segmentos de las entrevistas y segmentos de las sesiones de clase también pueden ser observados

en pantalla. En la siguiente imagen (figura 4) el docente durante la tercera entrevista explica por qué escogió en su

sesión de clase [3:14] esa construcción del número e y qué pasos pretende que los estudiantes comprendan al

igual que aquellos que considera secundarios.

Figura 4. Nexos entre segmentos de entrevista y sesión de clase.

Una vez el investigador procede a codificar las sesiones de clase, identificando segmentos o citas a los que asigna

códigos y subcódigos y estableciendo memos cuando lo considera necesario, es posible visualizar la información de

diferentes maneras: tal como aparece en las figuras anteriores o mediante un editor especial, una especie de

pizarra a la que podemos incorporar cualquiera de los objetos que se han mencionado. Estas redes permiten

profundizar en las relaciones entre los datos que se van obteniendo.

En la siguiente imagen (figura 5) aparece una red o esquema que permite mostrar una característica relevante del

programa de análisis seguido como es la de establecer relaciones entre diferentes tipos de datos.

Este ejemplo se apoya en la construcción del concepto de función logaritmo como inversa de la exponencial. De

acuerdo con Wieleitner (1932), Euler fue el primero que vio en la logaritmación una de las dos operaciones inversas

de la elevación de potencias, con lo cual se hizo posible aplicar a los logaritmos procedimientos algebraicos:


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dato valorem quocunque afirmativo ipsius y, conveniens datibur valor pisius z, ut fit az=y; iste autem valor ipsius z,

quatenud tanquam Functio ipsiys y spectatur, ocari solet LOGARITHMUS ipsius y9 (Euler, p. 73).

Por otro lado, los resultados de investigaciones en educación matemática advierten que los itinerarios académicos

para la enseñanza de estas funciones están ligados inicialmente al conocimiento de la función exponencial y el

estudio posterior10 de la función logarítmica como su inversa, adquiriendo así la exponencial un papel

intermediario (De Faria, 2006; Berezovski, 2004; Kastberg, 2002). El esquema que nos presenta el programa en

relación con este mecanismo de inversión de la función exponencial para obtener la logarítmica, es el siguiente:

Figura 5. Inversión de la función exponencial como mecanismo de construcción de la logarítmica.

En este caso (figura 5) se han identificado diferentes segmentos para construir la función logarítmica a partir de la

función exponencial, cuando se construye la gráfica de la función logarítmica [7:17], para calcular su corte con el

eje y [7:32], estudiar su crecimiento [7:33] o determinar el dominio y el rango [7:34] y [7:35].

Este análisis de primer orden permite, no sólo realizar la triangulación de todos los datos recogidos: video de clase,

voz de clase, entrevistas con el docente, sino también la triangulación del análisis puesto que varios investigadores

9 Dado un valor afirmativo cualquiera de y vendrá dado el valor de z conveniente para que sea a

z = y; este valor de z

contemplado en cuanto función de y, suele llamarse LOGARITMO de y.

10 Justo al contrario que la génesis histórica, puesto que inicialmente surgieron los logaritmos para el trabajo de cálculos en

Astronomía con números grandes, mientras que la función exponencial es bastante más tardía (Vargas y González, 2007).


23


pueden trabajar sobre la misma Unidad Hermenéutica y a partir de una descomposición genética establecida (o

categorización previamente establecida), segmentar la clase individualmente, asignar códigos y discutir las

coincidencias de codificación para validar cada categoría asignada. Dicha segmentación de la clase permite

caracterizar la práctica de cada docente ya sea por su presencia frecuente o por su ausencia, por ejemplo, en el

caso del docente 1 se ha comprobado que modela el mecanismo de interiorización, como se puede ver en la

siguiente figura, pero no el de coordinación que no aparece en ningún momento:

Figura 6. Mecanismo de interiorización

Al indagar en los diferentes informes que permite crear ATLAS.ti se pudo advertir efectivamente una ausencia del

mecanismo de coordinación entre los procesos de interiorización Iee y Ief que puede ser debida a que el profesor

se ha centrado en la reflexión sobre ciertas características de la gráfica de la función exponencial como son cuándo

es creciente o decreciente, el corte con el eje x o la existencia de una asíntota (proceso Iee) pero no ha reflexionado

sobre la tasa de variación11 de la función (proceso Ief).

Aún cuando este análisis de primer orden ya permite establecer cierta caracterización, es necesario poder

comparar la descomposición genética previamente elaborada por los investigadores con la modelación de la

descomposición genética que presenta cada caso y para ello es necesario reconstruir el proceso que ha seguido el

docente a lo largo de todas las sesiones de clase, por lo tanto, si en el análisis de primer orden se descompuso la

clase por mecanismos ahora se va a recomponer en el análisis de segundo orden.

CONCLUSIONES

La investigación necesitó de un fuerte soporte teórico dentro del cual emerge nuestra propuesta de una

descomposición genética del concepto función exponencial que se planteó, como lo sugiere la teoría APOS, a partir

11

Este proceso es importante en relación con la función exponencial porque estas funciones se pueden caracterizar porque su razón de cambio es proporcional al valor de la función en ese punto (Thompson, 2008).


24


inicialmente de la experiencia del profesor o investigador una revisión histórica del concepto función exponencial

como de los reportes de las investigaciones en Educación Matemática alrededor de los procesos utilizados por los

estudiantes cuando tratan de comprender el concepto.

La descomposición genética se convierte en un instrumento para el análisis de la práctica del profesor de

matemáticas al ser considerada como un referente de las acciones y recursos usados por el profesor cuando

intenta que sus estudiantes doten de significado a las ideas matemáticas.

Con el programa ATLAS.ti el proceso de análisis de entrevistas, grabaciones de audio y video se logra concretar con

las redes conceptuales que ayudan al investigador en la interpretación de los resultados y avanzar hacia el logro de

los objetivos de investigación.

La clasificación de los datos y los nexos que se establecen pueden ser editados con ATLAS.ti en diferentes

formatos; cada uno de ellos favorece o enriquece un aspecto del análisis, así se puede editar bloques por

mecanismo y mediante su lectura supervisar la codificación, como también los listados de cada código, lo que

permite un mayor control de un basto número de documentos en tiempos reducidos logrando de esta manera

economizar tiempo en labores mecánicas que se puede dedicar para lograr mayor profundidad del análisis de cada

caso.

Los investigadores en Educación Matemática han venido actualizando sus dominios metodológicos mediante el uso

adecuado de los paquetes tecnológicos. Sin embargo, su empleo no se ha generalizado, lo cual puede incentivarse

con la posibilidad de recurrir a paquetes tecnológicos desde el inicio de la formación de investigadores.

Reconocimiento: Este documento forma parte del desarrollo de la tesis doctoral en Educación Matemática que se

está elaborando con la tutela de la Doctora María Teresa González Astudillo. Universidad de Salamanca. España,

Doctor Salvador Llinares Ciscar. Universidad de Alicante. España.

BIBLIOGRAFÍA

Asiala, M. et al. (1996) A framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics

Education. Research in Collegiate Mathematics Education, vol. II, num. 3, pp.1-32.

Berezovski, T. (2004). An inquiry into high school students’ understanding of logarithms. Thesis. Master of Science.

Canada. Simon Frase University.

Beth, E.W. & J. Piaget (1996) Mathematical Epistemology and Psychology. Dordrecht: Reidel.

Codes, M. (2009). Análisis de la compresión de los conceptos de serie numérica y su convergencia en estudiantes

de primer curso de universidad utilizando un entorno computacional. Tesis doctoral. Universidad de

Salamanca.

Confrey, J. & Smith, E. (1995). Splitting, covariation, and their role in the development of exponential functions. Journal for Research in Mathematics Education 26(1), 66-86.

Davis, J.D. (2010) Understanding the influence of two mathematics textbooks on prospectiv secondary teachers’

knowledge. Journal of mathematics teacher education, 12, 365-389.


25


De Faria, (2006) Ingeniería Didáctica en: Cuadernos de investigación y formación en educación matemática. 1(2).

Dubinsky, E. (1991). Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking, En D. Tall. (Ed.). Advanced

Mathematical Thinking,. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 95-123.

Dubinsky, E. (1996) Aplicación de la perspectiva piagetiana a la educación matemática universitaria. Educación

Matemática, 8(3).

Euler, L (1748) Introductio in Analysin infinitorum Lausanne: Marcum Michaelem Bousquet y socios. (Edición facsimil editada por SAEM: Thales y la Real Sociedad Matemática española).

Farias, L. y Montero, M. (2005). De la transcripción y otros aspectos artesanales de la investigación cualitativa.

Internacional Journal of Qualitative Methods, 4(1) p. 7.

Gavilán, J.M. (2005/2010) El papel del profesor en la enseñanza de la derivada. Análisis desde una perspectiva

cognitiva. Tesis doctoral. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. Publicada

en 2010 por Edición Digital @tres, S.L.L.

Gavilán, J.M.; García, M; Llinares, S. (2007a). Una perspectiva para el análisis de la práctica del profesor de

matemáticas. Implicaciones metodológicas, Enseñanza de las Ciencias , vol. 25, pp. 157–170.

Gavilán, J.M.; García, M.; Llinares, S. (2007b). La modelación de la descomposición genética de una noción

matemática. Explicando la práctica del profesor desde el punto de vista Del aprendizaje potencial de los

Estudiantes. EDUCACION MATEMATICA , vol. 19, pp. 5- 39.

Kastberg, S. E. (2002). Understanding Mathematical Concepts: The case of the Logarithmic Function. Thesis.

Doctor of Philosophy. Athens, Georgia.

Lezama, J. (1999). Un estudio de reproducibilidad: El caso de la función exponencial. Tesis de maestría inédita.

México. Departamento de Matemática Educativa.

Thompson, P. (2008) Conceptual analysis for mathematical ideas: some spadework at the foundations of

mathematics education. In O. Figueras, J. L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano & A.Sépulveda (Eds.), Proceedings

of the Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol 1, pp.

45-64). Morélia, Mexico: PME. Available at

http://patthompson.net/PDFversions/2008ConceptualAnalysis.pdf.

Vargas, J. y González, M.T. (2007) Segmentos de la historia: la función logarítmica. Matemática: Enseñanza

Universitaria, 15(2), 129-144

Vargas, J., González, M.T., Llinares S (2010). ATLAS.ti como herramienta de Análisis de la Práctica docente: El caso

de la Función Exponencial. En: España. Memorias XIV Simposio de la SEIEM. En imprenta.

Vargas, J., González, M.T., Llinares S (2011). Descomposición genética de la función exponencial: mecanismos de

construcción. En: Brasil. Memorias del Evento 2011. XIII CIAEM. Consultado el 3 de agosto de 2011. En:

http://cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/1292/154

Wieleitner, H. (1932). Historia de las Matemáticas. Barcelona: Editorial Labor.

http://cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/1292/154


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CONFERENCIA

DIDÁCTICA Y COMUNICACIÓN EN CLASE DE MATEMÁTICAS Miguel Arcangel Diaz Moreno

Magister en Educación GRUPO PIRAMIDE Uptc Tunja

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

mdiazm.edumat yahoo.es

Resumen La Educación Matemática en Colombia enfrenta una de las mayores crisis debido a la desmotivación por el estudio de esta

disciplina, hecho que se evidencia en los bajos logros obtenidos en las diferentes pruebas tanto a nivel nacional como

internacional y en los indicadores de mortalidad y deserción en los diferentes niveles del sistema educativo. Mientras a nivel

nacional se discuten las políticas que permitan salir de la crisis, debemos reflexionar sobre lo que se puede hacer desde el lugar

y rol que desempeñamos como educadores matemáticos. Para no quedarse solo en la crítica y en la búsqueda de responsables,

es pertinente compartir experiencias de aula para facilitar la interpretación y aplicación de propuestas didácticas que ayuden a

dar nuevos significados a nuestra práctica docente y a mejorar la competencia comunicativa, considerada como núcleo de la

competencia pedagógica.

Palabras clave: didáctica, comunicación, confianza, aprendizaje, evaluación

INTRODUCCIÓN En la labor del educador (matemático) ocurre algo similar al rol de ser padre, no importa cuánto se prepare para

serlo, su labor será imperfecta, y es la propia práctica de ser, lo que permite lograr gradualmente esa maduración,

que se anhelaría tener desde el comienzo en tan delicada misión.

La experiencia como docente de la Licenciatura en Matemáticas y de otros programas académicos de la sede

central de la UPTC, me ha permitido detectar en los estudiantes las falencias que son comentadas por la mayoría

de colegas y que no vale repetir aquí, pero al mismo tiempo me ha proporcionado la oportunidad de implementar

cada vez con mayor convicción algunas de las importantes ideas que prestigiosos investigadores han aportado a la

Didáctica de las Matemáticas, como es el caso de Jean Piaget, Carlos Vasco y John Mason.

Con estas ideas orientadoras, he podido experimentar pequeños cambios en el ambiente de aula, especialmente

con estudiantes de primero y segundo semestres, que ayudan a resignificar mi quehacer docente y a pensar más y

mejor en su aprendizaje, concluyendo que si no tiene sentido un profesor sin estudiantes, tampoco lo tiene una

enseñanza sin aprendizajes.

DESARROLLO

Educación y Comunicación

Durante los estudios de la Maestría en Educación, uno de mis profesores, siguiendo muy seguramente el



27


pensamiento de Paulo Freire, hizo mención a la frase “La Educación es un diálogo entre dos generaciones”, frase

que recientemente fue también expresada por Víctor Pérez, Rector de la Universidad de Chile, con motivo del

ciclo de conferencias “Relatos para la Educación en el Bicentenario”, quién la complementó diciendo: “La Educación

es un diálogo entre dos generaciones, que descansa en forma fundamental en la figura del profesor”.

En concordancia con lo anterior, es en las instituciones educativas concebidas por la sociedad para la formación de

las nuevas generaciones en donde se privilegia este diálogo, y al mismo tiempo se juega un doble rol

aparentemente contradictorio: el de ser depositarias de toda la herencia cultural para que sea comprendida y

valorada por los niños y jóvenes, y por otro lado, el de generar propuestas para transformarla buscando responder

a las exigencias de una sociedad en permanente cambio. En este proceso de conservación-renovación cultural, el

aula de clase se constituye en uno de los espacios en los que se concreta, con más frecuencia, el diálogo formativo

a través de los procesos de enseñanza y de aprendizaje.

En Educación Matemática, este diálogo presenta profundos problemas de comunicación, dando origen a lo que se

puede denominar la confrontación de dos generaciones: una generación que critica (los profesores) y una

generación crítica (los estudiantes); pues en el caso particular de la clase de matemáticas la situación comunicativa

se complica con el uso de sistemas de símbolos o de registros semióticos propios de la disciplina, manejados

algunas veces sin la claridad suficiente respecto de a qué sistemas conceptuales se refieren.

La generación que critica la conformamos los profesores de matemáticas ‘más antiguos’, que acreditamos algunos

años de experiencia y hemos podido comparar cómo era la educación matemática ayer y cómo es ahora, y que

percibimos cómo cada cohorte de estudiantes que ingresan a la universidad es cada vez más frágil, en lo referente

a la posesión de un pensamiento matemático que sea consistente con los indicadores y estándares de calidad que

ha formulado el Ministerio de Educación Nacional para cada uno de los niveles del sistema educativo.

Para ilustrar cómo se ha venido debilitando el nivel de exigencia en la educación matemática, en el cuadro 1

comparto un mensaje de autor anónimo que recibí en mi cuenta de correo y que presenta la transformación de un

enunciado de un ejercicio desde la década de los años 60. Sobran los comentarios:

Cuadro 1: “TRANSFORMACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS”

DÉCADA ENUNCIADO DE UN EJERCICIO

1960 Un cortador de leña vende un carro de leña por $ 100.000. El costo de producción de ese carro de leña es igual a 4/5 del precio de la venta. ¿Cuál es la ganancia?

1970 Un cortador de leña vende un carro de leña por $ 100.000. El costo de producción de ese carro de leña es igual al 80% del precio de la venta. ¿Cuál es la ganancia?

1980 Un cortador de leña vende un carro de leña por $ 100.000. El costo de producción de ese carro de leña es de $ 80.000. ¿Cuál es la ganancia?

1990 Un cortador de leña vende un carro de leña por $ 100.000. El costo de producción de ese carro de leña es de $ 80.000. Escoja la respuesta correcta que indica la ganancia: ( ) $ 20.000 ( ) $40.000 ( ) $60.000 ( ) $80.000 ( ) $100.000

2000 Un cortador de leña vende un carro de leña por $ 100.000. El costo de producción de ese carro de leña es de $ 80.000. La ganancia es de $ 20.000. ¿Es correcto? ( ) Si ( ) No

2010 Un cortador de leña vende un carro de leña por $ 100.000. El costo de producción de ese carro de leña es de $ 80.000. Si Ud. sabe leer coloque una X en los $ 20.000 que representan la ganancia.. ( ) $ 20.000 ( ) $40.000 ( ) $60.000 ( ) $80.000 ( ) $100.000


28


Sin pretender minimizar la complejidad del problema, comparto plenamente la posición de que la mayor

responsabilidad la tenemos precisamente nosotros, la generación que critica, pues independientemente de los

lineamientos que establece el MEN en materia curricular, incluida la evaluación, el docente finalmente decide qué

se hace en el salón de clase. La responsabilidad aumenta para los que hemos tenido la función de formar a los

educadores matemáticos en las facultades de educación. “Las facultades de educación y las normales no están

formando a sus egresados en cómo enseñar a un niño a deducir o argumentar”. (Zubiría, El Tiempo 31-07-2011,

sección ‘debes hacer’, p.17)

En la introducción ya se mencionó que la labor del educador (matemático) se parece al rol de ser padre, se

aprende a ser mejor padre cuando los hijos ya están grandes, pues es cuando se ha logrado esa maduración que

solo da la experiencia. En este sentido se expresa Héctor Abad Gómez12

en su libro Cartas desde Asia:

“Qué gran cantidad de equivocaciones las que cometemos los que hemos pretendido enseñar sin haber alcanzado todavía la madurez del espíritu y la tranquilidad de juicio que las experiencias y los mayores conocimientos van dando al final de la vida. El mero conocimiento no es sabiduría. La sabiduría sola tampoco basta. Son necesarios el conocimiento, la sabiduría y la bondad para enseñar a otros hombres. Lo que deberíamos hacer los que fuimos alguna vez maestros sin antes ser sabios, es pedirles humildemente perdón a nuestros discípulos por el mal que les hicimos.” (Abad, 2010, p. 200)

Me atrevo a hacer una analogía entre la sabiduría que hace referencia a un ‘buen saber’, y una buena cena: una

buena cena no deja sensación de llenura y permite que se mantenga el deseo de volver a degustarla, más aún, una

buena cena adquiere dimensiones pedagógicas cuando los invitados son citados con anticipación a participar en su

elaboración y no existen recetas rígidas dando apertura a improvisaciones pertinentes con nuevos ingredientes y

procedimientos. Así es muy difícil que alguien se quede marginado, pues aunque por algún motivo de fuerza mayor

o indisposición no pueda degustar el plato final, podrá reconstruir la receta porque ya participó en el proceso. Cada

clase debería ser una buena cena donde se cambian los ingredientes pero el ambiente es similar.

Recordemos que la mayoría de nuestros discípulos de ayer son los profesores de hoy, y sus estudiantes son los que

recibimos como “primíparos” en la universidad en los diferentes programas académicos. Es oportuno preguntarnos

a qué clase de ‘cena’ los invitamos en su momento para poder concluir si somos la generación que critica, o mejor,

aceptando nuestra responsabilidad, la generación que se auto-critica.

Pedagogía, Didáctica y Comunicación

Cuando los proyectos y tareas que emprende el ser humano marchan bien y todo fluye en forma natural, se tiene

una cómoda sensación de estabilidad. Si algo sale mal o se obtiene un resultado no esperado, se presenta un

estado de conflicto o de desequilibrio, que generalmente conduce a revisar y reflexionar sobre lo ocurrido para

encontrar explicaciones y establecer correctivos.

12

El doctor Héctor Abad Gómez se desempeñó como profesor de medicina de la Universidad de Antioquia durante

25 años, se le recuerda como un gran líder de causas sociales defensor de los derechos humanos. Fue asesinado el

26 de agosto de 1987.


29


Los resultados del Sistema Educativo en Colombia dejan en evidencia que las buenas intenciones de mejoramiento

en la calidad de la educación no se concretan en cifras significativas. “Las pruebas saber 11 muestran que la mitad

de los egresados de la educación media tiene resultados muy bajos: el puntaje promedio del país es de 46 ––de 100

puntos posibles––, Pisa (Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes), por su parte, nos dice que el 78%

de los estudiantes no llega al nivel 2 de lectura, es decir, no logran argumentar ni deducir… Se ha hecho mucho en

cobertura, pero poco en calidad” (Zubiría, Periódico El Tiempo, 31-07-2011, p. 17)

Los resultados en matemáticas obtenidos en la prueba Pisa 2006 “…indican que la mayoría de los estudiantes

colombianos no identifica información, no lleva a cabo procedimientos matemáticos rutinarios siguiendo

instrucciones directas en situaciones explícitas y no responde a preguntas relacionadas con contextos que resultan

conocidos, en los que está presente toda la información pertinente y las preguntas están claramente definidas.”

(ICFES, 2010, p. 32). Colombia obtuvo una leve mejoría de 11 puntos en el promedio al pasar de 370 en el año 2006

a 381 en 2009. Una nueva prueba, esta vez con énfasis en matemáticas, se realizará en el año 2012.

Con este panorama no queda otra salida que reflexionar seriamente sobre las prácticas educativas, y cuando se

reflexiona en esta dirección y el conjunto de saberes que se obtienen, se ordenan, se sistematizan y se apoyan en

resultados validados de otras disciplinas del conocimiento, nace la Pedagogía. “Hay pedagogía cuando se reflexiona

sobre la educación, cuando el “saber educar” implícito, se convierte en un “saber sobre la educación” (sobre sus

“cómos”, sus “por qués”, sus “hacia dóndes”)”. (Lucio, 1989, p.36)

Cuando la práctica educativa se desarrolla en ambientes institucionalizados, atendiendo a programaciones

específicas con objetivos, recursos, contenidos y metodologías en espacios y periodos de tiempo predeterminados,

se da la creación a un proceso más específico, el de enseñanza, y se materializa en el salón de clase. Para que este

proceso se pueda desarrollar de manera eficiente, implica responder no solamente qué, para qué, cómo y con qué

se enseña, sino también y más importante, a quién se enseña y cómo se medirá la calidad no solo de los resultados

sino de todo el proceso

Para responder a los aspectos enunciados en el párrafo anterior, se dedica una parte de la reflexión pedagógica que

se ha denominado didáctica, la cual debe ocuparse también del aprendizaje y de la evaluación en su conjunto.

“Considero la didáctica no como la práctica misma de enseñar, sino como el sector más o menos bien delimitado

del saber pedagógico que se ocupa explícitamente de la enseñanza”. (Vasco, 1990, p.15), “Excluir el aprendizaje de

la reflexión pedagógica y centrarla solo en la enseñanza es desvertebrar uno solo de los aspectos de la compleja

relación maestro-alumno(s), y delegar la reflexión sobre el aprendizaje exclusivamente a la psicología”. (Vasco,

1990, p. 17).

El diagrama 1 ilustra las relaciones entre educación y enseñanza como prácticas sociales y, entre pedagogía y

didáctica como constructos teóricos fruto de la reflexión. También se puede observar la ubicación de la praxis en

una especie de nube que conecta estos dos planos de hechos e ideas, de práctica y teoría, de acciones y

pensamientos, y que se entiende como la reflexión sobre la práctica o como la práctica teórica. “En la praxis, el

pensamiento y la acción (o teoría y práctica) están dialécticamente relacionados. Deben entenderse como

mutuamente constitutivas de un proceso de interacción que es una continua reconstrucción del pensamiento y la

acción en el proceso histórico vivo que se muestra en todas las situaciones sociales reales” (Carr y Kemmis, 1988,

p.34).


30


Diagrama 1: Relaciones entre educación, pedagogía, enseñanza y didáctica.

¿Enseñanza sin Aprendizaje?

Si no hay quien aprenda, no tiene sentido enseñar, así como no tiene sentido un profesor sin estudiantes o enseñar

sin que haya aprendizajes. Aprendizaje sin enseñanza, estudiantes sin profesor, no solo tiene sentido sino que es lo

deseable y lo que se busca con la acción formativa y la promoción del aprendizaje autónomo y del aprender a

aprender, pasar del ‘enseñar así no se aprenda’ al ‘aprender así no se enseñe’. Aprender sin alguien que enseñe es

sinónimo de desarrollo y de progreso, y en su más alto nivel es una competencia propia de los investigadores más

reconocidos en cada disciplina, los que producen el conocimiento de punta.

Lo más importante de ser profesor es tener estudiantes. Por un lado, independientemente de la modalidad

(presencial o desescolarizada), como ya se mencionó antes, un profesor sin estudiantes no tiene sentido Si no hay

estudiantes ¿a quién va dirigida la acción docente?, una condición necesaria (pero no suficiente), y por lo tanto

importante, para ser profesor es tener un auditorio, contar con unos estudiantes.

Por otro lado, se puede contar con un grupo de inscritos en las asignaturas a cargo, pero que no son estudiantes.

Como dicen algunos en referencia a la religión “soy católico pero no practicante”, en el contexto educativo se

puede traducir “estoy matriculado pero no soy estudiante”. Aquí entra en juego toda una compleja problemática

que se refleja en los altos índices de mortalidad y en los diferentes tipos de deserción, y que incluye actitudes y

creencias de estudiantes y docentes en relación con el aprendizaje, variables que se pueden abordar en el contexto

del aula. Otros factores problemáticos rebasan el campo de acción del salón de clases y por lo tanto no son

competencia de la reflexión pedagógica o didáctica.

Cuando la desmotivación hacia el estudio se debe a vacíos conceptuales, el acompañamiento del docente es

fundamental si se quiere rescatar a un posible desertor. No hay fórmulas para hacerlo, pero la experiencia indica

que con la creación de un ambiente de mutua confianza y respeto que gire alrededor de procesos comunicativos

dialógicos, se logra gradualmente despertar en el estudiante una buena actitud ante las dificultades y disposición

hacia el trabajo.

No pueden coexistir los buenos profesores y la ausencia de aprendizajes. Un buen profesor no solo es el que

domina un campo disciplinar sino el que además logra contagiar y seducir con su actitud, entusiasmo y buena

comunicación a los estudiantes. Es oportuno citar aquí la propuesta de Tamayo de “…ubicar como núcleo de la


31


competencia pedagógica, la competencia comunicativa…”

(Tamayo, 2003, p. 3), en el sentido de señalar

igualmente que la mayoría de los fracasos que se presentan en el aula de clase se deben a fallas en la competencia

comunicativa de profesores o alumnos, competencia que “…hace referencia al poder que tiene un hablante para

comunicarse de manera eficaz en contextos culturalmente significantes” (Hernández, Rocha y Verano, 1998, p. 30)

y que comprende las (sub)competencias interpretativa, argumentativa y propositiva.

Comunicación en la clase de matemáticas.

En las clases de todas las asignaturas, incluso en las de español, se presentan dos estilos comunicativos: el cotidiano

o informal y el propio de la disciplina de estudio. En matemáticas se ha construido un lenguaje propio con formas

de representación y reglas sintácticas específicas constituyendo sistemas semióticos que en la mayoría de los casos

‘solo lo entienden los matemáticos’ y que desde el punto de vista del aprendizaje, según Duval, enfrenta tres

fenómenos que están estrechamente ligados: la diversificación de los registros de representación semiótica, la

diferenciación entre representante y representado y la coordinación entre los diferentes registros. (Duval, 1999, p.

30)

Sumado a los problemas comunicativos de convivencia en la comunidad del aula de clase, la educación

matemática debe ocuparse de lo que podría denominarse la ‘transposición comunicativa’, y que debe responder a

cuál es la mejor forma de ir introduciendo a los estudiantes en el uso del lenguaje matemático, esto es, cómo lograr

que se comuniquen matemáticamente. En este sentido Mason, Graham, Pimm y Gowar indican que el propósito

fundamental de la matemática es la generalización y el lenguaje algebraico es el más apropiado para expresarla. “El

enfoque seguido en este libro ─las rutas hacia el álgebra y raíces del álgebra─ llama la atención hacia el propósito

primario del álgebra, como un lenguaje expresivo sucinto, y su aprendizaje como el aprendizaje de toda lengua que

se aprende por medio de su uso constante. Esto significa que hay que usarlo para expresar lo inexpresable”

(Mason, 1999, p. 105)

El uso de lenguaje especializado ya lo tiene el profesor, luego es la voz de los estudiantes la que hay que escuchar

en clase para que lo vayan adquiriendo y por lo tanto hay que reducir al máximo las intervenciones invasoras y a

veces suplantadoras del docente. ¿Qué tal una clase muda? “En general, con pequeñas diferencias, las

investigaciones sugieren cambiar el enfoque de la clase tradicional expositiva, como monólogo explicativo del

profesor de matemáticas ─modelo lineal de comunicación, entendida como trasmisión─, por enfoques con

entornos de clase novedosos, que combinan, de alguna forma, las teorías cognitivistas y las de naturaleza cultural y

social” (Jiménez, 2011, p.7)

Para lograr que los estudiantes ─especialmente de primer semestre, que es el de mayor deserción─ se comuniquen

matemáticamente se pueden recomendar cuatro pasos que combinan la reflexión personal individual con el

proceso de negociación social de significados y establecimiento de acuerdos y consensos. En ellos se pone en

práctica el desarrollo de las competencias interpretativa, argumentativa y propositiva. (Por cuestión de espacio

solo se describe el primero, los otros se tematizan en la exposición).

Desbloqueo, ¡Tengo algo qué decir!: busca iniciar una comunicación informal entre los estudiantes, proponiendo

actividades que aparentemente no tienen que ver con matemáticas y que ayuda a los más tímidos lanzar una

opinión o hacer una pregunta. Se comienza abordando durante un tiempo adecuado y de manera individual la


32


situación objeto de análisis para luego compartir sus impresiones con un compañero ‘el de al lado’ y un poco más

tarde con ‘otra pareja’. El trabajo en grupos pequeños con asistencia del docente ayuda a este propósito, que de

paso, también facilita al profesor hacer una aproximación a un diagnóstico del estado del grupo y el aprendizaje de

los nombres de los integrantes.

Este primer momento para crear confianza comunicativa es fundamental, por lo tanto la escogencia de los

problemas y preguntas se deben referir a situaciones sencillas pero interesantes, que admitan múltiples respuestas

y su análisis esté al alcance de una ‘lógica cotidiana’ ─para primer semestre─, de lo que puede enfrentar una

persona del común en alguna actividad de su diario vivir, (por ejemplo: transacciones comerciales, consumo de

servicios públicos, remuneraciones salariales, descuentos, observación de diagramas, solución de pasatiempos…)

No puede haber comentarios degradantes y las intervenciones del docente son para animar la discusión y la

interacción en cada grupo. Se concluye con una sesión plenaria bajo los mismos principios, y un tiempo para toma y

revisión de apuntes por los estudiantes.

Construcción inductiva de nociones y conceptos, ¡Acuerdos y consensos!: Entrando en materia; identificación de

regularidades, observación de patrones. Lo que es y lo que no es. Nominaciones. Ficheros de azar. Técnica de la

pregunta y doble golpe.

Refinamiento, ¡Dígalo bien!: claridad y concisión, contraejemplos.

Registros semióticos especializados, ¡Píntelo!: Diferenciación entre sistemas simbólicos y sistemas conceptuales.

Didáctica de las Matemáticas

La reflexión sobre la enseñanza incluye al aprendizaje. Cuándo se da respuesta a las preguntas típicas de la

didáctica se está pensando en el aprendizaje. ¿Para qué se seleccionan metas, contenidos, recursos, métodos y

evaluaciones si no buscan mejorar el aprendizaje?, una didáctica que apunta a la calidad del aprendizaje está

centrada en el estudiante, en la persona, y debe estar orientada por una pedagogía humanocéntrica (no

antropocéntrica) o humanista, con enfoque crítico social.

La pregunta más frecuente de los profesores de matemáticas es cómo lograr cautivar la atención de sus

estudiantes para que aprendan. En la literatura especializada se dispone de variadas propuestas metodológicas que

proponen pasos y etapas con este propósito, como las de Zoltan P. Dienes, Van Hiele, John Mason y Carlos Vasco,

entre otros. Desde hace varias décadas, Jean Piaget (1975) nos indicó cómo lograrlo y su aporte se puede visualizar

como una cadena de efectos que conectan los estados de equilibrio y desequilibrio en los esquemas mentales, por

medio de dos procesos: asimilación del objeto al sujeto y acomodación del sujeto al objeto.

La atención se logra cautivar si el estudiante está motivado y la motivación aflora si hay interés. Estos son procesos

internos a los que se puede aproximar el profesor observando el estado de ánimo y las actitudes el estudiante.

¿Cómo hacer que se interese?, son múltiples los factores que tienen que ver con el interés, una de ellas consiste en

la satisfacción de una necesidad y la necesidad es el resultado de un estado de desequilibrio. Los desequilibrios en

la persona se pueden clasificar en tres clases: fisiológicos (F), afectivos (A) e intelectuales (I), ─con estas letras se

identifican en la figura triangular del diagrama 2, que ilustra este proceso─ y como en este caso interesan los

desequilibrios de tipo cognitivo, la mejor forma de causarlos es a través de preguntas (P) o problemas (P)

retadores.


33


A

I

F

Diagrama 2: Secuencia generadora de reestructuraciones mentales

Se dispone de este recurso para hacer buen uso de él y buscar que se genere la secuencia que conduzca a lograr

centrar la atención del estudiante para su crecimiento intelectual, conquistando y construyendo esquemas

mentales cada vez más complejos, de relativa estabilidad. Es vital en este proceso, el afinamiento del rol docente

como cuestionador y problematizador.

Además de la evaluación y los recursos, que se tratarán en la exposición, una preocupación frecuente de los

profesores se relaciona con la extensión de los contenidos, pues como consecuencia de las dificultades de

aprendizaje no se logra desarrollar todo el programa propuesto. Al respeto Ricardo Lucio (2009) propone un

tratamiento intensivo: priorizar temáticas y tratarlas con profundidad. De muy poco sirve que el profesor termine

un programa que el estudiante no ha comenzado.

BIBLIOGRAFÍA Carr, W. y Kemmis, S. (1988). Teoría crítica de la enseñanza. La investigación-acción en la formación del

profesorado. Barcelona. Martínez Roca.

Duval, Raymond (1999). Semiosis y Pensamiento Humano. Registros semióticos y Aprendizajes

intelectuales. Traducción de Myriam Vega Restrepo, Artes Gráficas Univalle. Cali, Colombia.

Hernández, C., Rocha, A. y Verano, L. (1998). Exámenes de Estado: Una propuesta de Evaluación por

Competencias. ICFES. Bogotá.

Jiménez, A. (2011). La comunicación en la clase de matemáticas. Comunicación científica, XIII CIAEM-


34


IACME, Universidad de Campinas, SP, Brasil.

Lucio, R. (1989). Educación y Pedagogía, Enseñanza y Didáctica: diferencia y relaciones. Revista de la

Universidad de la Salle. Año XI, No. 17, Bogotá´.

Lucio, R. (2009). La gestión de la Enseñanza y el Aprendizaje. Seminario permanente de pedagogía, UPTC,

Tunja.

Mason, J., Graham, A., Pimm, D. & Gowar, N (1999). Rutas hacia el álgebra y Raíces del álgebra.

Traducción y edición de Cecilia Agudelo Valderrama. Tunja: Sección de Publicaciones, UPTC.

Piaget, J. (1975). Seis Estudios de Psicología. Barcelona: Barral Editores.

Tamayo, V. Alfonso. (2003). Cuatro tendencias de la Pedagogía en Colombia. Acción Pedagógica, No 31

UPTC, Tunja.

Vasco, C. (1990). Reflexiones sobre Pedagogía y Didáctica. Serie: Pedagogía y currículo No. 4, Ministerio

de Educación Nacional de Colombia. Editorial El Griot. Bogotá.


35


CONFERENCIA FUNCIONES ALTERNAS

William Alfredo Jiménez

Magister en Docencia de las Matemáticas Instituto Pedagógico Nacional y Universidad Distrital

Coordinador grupo Talento Matemático del IPN [email protected]

Sandra Milena Rojas

Magister en Docencia de las Matemáticas Profesora Fundación Gimnasio los Portales

[email protected]

Magda Pilar Ángel Ruiz Licenciada en Matemáticas

Instituto Pedagógico Nacional [email protected]

Resumen Se presenta una nueva interpretación de la definición de función, haciendo un cambio del conector lógico de la conjunción, involucrado en su definición formal, por los otros 15 conectores lógicos existentes, analizando cuáles relaciones en un conjunto con dos elementos cumplen dicha definición en el conjunto de los reales, para posteriormente hacer una representación gráfica de los 16 tipos de funciones resultantes en el plano cartesiano real.

Palabras clave: Función, conectores lógicos.

Abstract Presenting a new interpretation of the function definition, making a change of logical combination connector, involved in the formal definition for the other 15 existing software connectors, analyzing what relationships in a set with two elements meet that definition at all the real, to later make a graphic representation of the 16 types of functions resulting in the real Cartesian plane.

Key words: Function, logic connectors.




36


NTRODUCCIÓN Dado un conjunto A en el que cada uno de sus elemento es un valor de verdad, un conector lógico es una función

f:Ax A (Ostra, 2001). Por ejemplo, el caso más usual es cuando se dan dos valores de verdad: falso (1) y

verdadero (0), es decir A={0,1} y AxA={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}; en la figura 1.a. se presenta la función definida por el

conector ).

a.

p q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

b.

Figura 1. Función conjunción

Es habitual presentar las funciones definidas por los conectores en una tabla como aparece en la figura 2.b.

conocida como la tabla de verdad del conector; al usar esta representación es posible definir una notación para los

conectores. Como se puede ver en la tabla del , en la tercera columna aparece el número 0001 que tiene por

característica tener sólo dos posibles dígitos en cuatro posiciones, es decir, un número de cuatro dígitos en base

binaria; los números que cumplen esta característica son 16 y cada uno de estos determinará una función f:AxA A

denotada con su respectivo número en sistema decimal, en el caso de la función definida por el conector , ésta se

identificará con el número 7. Los 16 conectores lógicos en su correspondiente base binaria son: 0000, 0001, 0010,

0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001,1010, 1011, 1100, 1101, 1110, y 1111

(0

,0

)

(0

,1

)

(1

,0

)

(1

,1

)

0

1


37


DESARROLLO

El Concepto de Función modificando 16 Conectores Lógicos

Uno de los objetos matemáticos más importante en las matemáticas escolares, universitarias y profesionales es el

de función debido a su aplicabilidad a la misma ciencia, un claro ejemplo es la invención misma del cálculo

diferencial surgido a manos de Newton y Lebnis al estudiar el comportamiento y variación de las funciones reales

(Setewart I, 2005). El propósito de este documento es mostrar una ampliación de este concepto con ayuda de los

16 conectores lógicos.

La “definición formal” del concepto de función es una consecuencia del estudio de la teoría de conjuntos en donde

los conectores lógicos son una cuestión fundamental a la hora de caracterizar un concepto. Muñoz (2006, p.78)

define un conjunto f como una función así:

Una función es una relación en la cual no existen dos o más parejas distintas con la misma primera componente; o lo

que es lo mismo:

f es una función ↔f es una relación y

Con el propósito hacer una interpretación más amplia este concepto, se reemplazará el conector de esta

definición por alguno de los 15 conectores restantes, obteniendo así, diferentes tipos de función. Por ejemplo, la

definición de la función tipo 3 (0011) es:

f es una función tipo 3 ↔ f es una relación y

Con el propósito de encontrar una generalización y una representación de estas 15 funciones definidas sobre el

conjunto de los números reales, se analizaron las relaciones de un conjunto con dos elementos (B={n,m}) para

determinar cuáles de éstas cumplen con la definición de función. Los resultados aparecen consignados en la tabla 1.

Relaciones Vs. Tipos de función

TIPOS DE FUNCIÓN

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

REL

AC

ION

ES

𝜙 no si no si no si no si no si no si no si no no

{(n,n)} no no no no no no no si no no no no no no no no

{(n,m)} no no no no no no no si no no no no no no no no

{(m,n)} no no no no no no no si no no no no no no no no

{(m,m)} no no no no no no no si no no no no no no no no

{(n,n),(n,m)} no no no no no no no no no si no si no si no no

{(n,n),(m,n)} no no no no no no si si no no no no no no si no

{(n,n),(m,m)} no no no no no no si si no no no no no no si no

{(n,m),(m,n)} no no no no no no si si no no no no no no si no

{(n,m),(m,m)} no no no no no no si si no no no no no no si no

{(m,n),(m,m)} no no no no no no no no no si no si no si no no

{(n,n),(n,m),(m,n)} no no no no no no no no no no no no no no si no

{(n,n),(n,m),(m,m)} no no no no no no no no no no no no no no si no

{(n,n),(m,n),(m,m)} no no no no no no no no no no no no no no si no

{(n,m),(m,n),(m,m)} no no no no no no no no No no no no no no si no

{(n,m),(m,n),(m,m),(n,n)} no no no no no no no no Si si si si si si si no

Tabla 1. Estudio de las relación en un conjunto de dos elementos usando como parámetro tipos de función.


38


El análisis de la tabla 1 permitió deducir que existen cuatro tipos de funciones básicas: 7, 11, 13 y 14, a partir de las

cuales se pueden generar las demás; por ejemplo; las funciones tipo 3 dependen de las funciones tipo 11 y tipo 7.

Este resultado conlleva a centrar la atención sobre estas funciones básicas, específicamente sobre las condiciones

que se encontraron para que una relación sea una función tipo n.

Función tipo 7: esta es la función que se trabaja usualmente en matemáticas.

Función tipo 14: R es una función tipo 14 en B es función tipo 7 en B.

Función tipo 11 y 13: R es una función tipo 11 o 13 sobre B si cumple

CONCLUSIONES Las condiciones dadas para estas funciones permiten realizar su representación gráfica en plano cartesiano real;

por ejemplo, la figura 2(a) es una función tipo 14 dado que es el complemento de la función real f(x)=x2

y la figura

2(b) es una función de tipo 13 o 11 formada por la unión de un conjunto de rectas paralelas al eje y.

a. b.

Figura 2. Las condiciones dadas para estos tipos defunción hace que su aparición simultanea sea escasa y la dependencia de las condiciones hace que estos sean los únicos tipos que se deben analizar, sin embargo cabe la duda sobre conceptos relacionados con la función como la derivada, la integral y su interpretación sobre estos nuevos tipos de función. BIBLIOGRAFÍA Muñoz, Q. (2002). Introducción a la teoría de conjuntos. Ed. Universidad Nacional de Colombia. Ostra A. (2001) Simetría y Lógico La notación de Peirce para los 16 conectivos binarios. En memorias XII Encuentro

de Geómetra y sus Aplicaciones. Universidad Pedagógica Nacional. Stewart, I. (2005). De aquí al infinito. Ed. Crítica.


39


CONFERENCIA LA CONVERSIÓN EN LA TEORÍA DE DUVAL: NOTAS PARA EXPLICAR LA COMPRENSIÓN EN

MATEMÁTICAS Gloria Inés Neira Sanabria

Doctorado en Educación Matemática – Culminación de estudios Universidad Distrital Francisco José de Caldas

[email protected]; [email protected]; [email protected]

Resumen

¿Es la matemática un lenguaje?, ¿El simbolismo matemático es necesario e imprescindible para aprender matemáticas?,

Cuando se modela un enunciado del lenguaje normal (o verbal), en símbolos, ¿se puede decir que se está “traduciendo” de un

lenguaje a otro? ¿Aprender matemáticas es ser capaz de entender el lenguaje matemático y saberlo traducir, ó es más que

eso?, Esa palabra traducción, ¿está bien utilizada? Es decir, ¿el problema de simbolizar o modelar es una traducción? Si así

es, ¿tendríamos aquí un obstáculo para el aprendizaje? Se aborda esta problemática a la luz de la teoría de las

Representaciones Semióticas de Duval.

Palabras clave: Representaciones Semióticas, Conversión, Comprensión, Aprendizaje, Traducción Simbólica.

Abstract

¿Is mathematics a language?, ¿Is the mathematical symbolism necessary and essential for learning mathematics?, When

modeling a statement of ordinary language (or verbal), in symbols, can you say you are "translating" from a language to

another? Learning mathematics is being able to understand mathematical language and to know how translate it, or is it

something more?, That word translation, is well used? That is, the problem of symbolizing or model is a translation? If so, do we

have here an obstacle to learning? Let’s study this problems with the theory of semiotic representations of Duval.

Key words: Semiotics Representations, Translation, Understanding, Learning, Symbolic Translation

INTRODUCCIÓN

Hermosa niña de ojos radiantes, dime, si tú has comprendido el método de inversión. ¿Cuál es el número que multiplicado

por 3, agregándole las 3/4 partes del producto, dividiendo por 7 y disminuyendo en 1/3 el cociente multiplicado por sí mismo, disminuyendo 52, extrayendo la raíz cuadrada,

sumándole 8 y dividiéndole por 10, da el número 2? (BHASKARA, SIGLO XIII)

Todo conocimiento es inseparable de los fenómenos de representación. Las matemáticas siguen siendo

incomprensibles para la mayoría de los alumnos, inclusive después de estar diez años en la escuela… Igual que en la

vida nadie piensa por uno, nadie comprende como lo hace uno; la comprensión es una cosa individual. (Raymond

Duval, Seminario Doctoral en Bogotá, Julio de 2008)





40


La actividad matemática integra dos tipos de transformaciones de representaciones semióticas: una que

corresponde a un cambio de registro de representación y otra que consiste en utilizar las posibilidades de

transformación propias a cada registro. Es el primer tipo de transformación lo que resulta más difícil y más

desconcertante para los alumnos. Las dificultades para pasar de una representación en un registro a una

representación en otro registro hace evidente la complejidad, de la articulación entre los registros de

representación utilizados en matemática. Se plantea la siguiente tesis: la conversión es un proceso o

transformación semiótica fundamental para la comprensión en matemáticas.

DESARROLLO

Afirma el profesor Duval que las matemáticas se distinguen de otras áreas del conocimiento, entre otros aspectos,

en que el único acceso a ellas es de naturaleza semiótica, vía la representación. Conceptualiza entonces la

representación y distingue entre representaciones externas y representaciones internas. Habla así de los registros

de representación, y de los sistemas que las producen, los cuales determinan el contenido de la representación. 13

Cada representación no presenta las mismas propiedades o características del objeto y recíprocamente, ninguna

representación es completa y adecuada al objeto. Además, según la naturaleza del sistema productor de la

representación, y el modo fenomenológico de producción de éstas, se habla entonces de representaciones

semióticas, cuya producción es intencional, para distinguirlas de las representaciones neurales, cuya producción no

es intencional sino automática, en tanto se involucran procesos motores y neuronales.

Desde esta perspectiva se postula en primer lugar que las representaciones en matemáticas son de naturaleza semiótica y que toda actividad matemática implica el recurso a representaciones semióticas porque los objetos estudiados no son accesibles perceptiva o instrumentalmente, como en otros ámbitos de conocimiento científico. Y en segundo lugar, postula su tesis acerca de lo que se ha llamado la paradoja de Duval: “sólo se puede acceder a los objetos matemáticos mediante sus representaciones, y no se puede confundir el objeto con su representación”: ¿Cómo evitar que esa (s) representación(es) se convierta en el mismo objeto, si sólo conozco de él lo que la representación me dice?

14

Según Duval, las transformaciones de representaciones se pueden clasificar en dos tipos. Por una parte, el

Tratamiento, como transformación de una representación en otra representación de un mismo registro, y por otro

lado, la Conversión, como transformación de la representación de un objeto en un registro en otra representación

del mismo objeto en otro registro. En palabras de Duval:

13

Una representación no puede ser comprendida independientemente del sistema que ha permitido producirla. Un signo

puede significar algo sólo gracias a las relaciones de oposición que pueda tener con otros signos (Saussure). Un signo es tal sólo

al interior de un conjunto de otros signos: no hay signo aislado o que pueda ser comprendido independientemente de otros

signos. Y un Sistema Semiótico comporta reglas, más o menos explícitas, que permiten combinar los signos entre sí de tal

manera que la asociación formada tenga también un sentido. Pag 43 Los problemas fundamentales del aprendizaje…

14 “Una representación es la propiedad de una cosa, en virtud de la cual, la cosa está, para la producción de un cierto efecto

mental, en lugar de otra. La cosa que tiene este carácter, lo llamo representamen, el efecto mental o pensado, su interpretante,

la cosa por la cual la representación aparece, el objeto” Peirce, Semiótica y Lógica, material fotocopiado para el seminario.


41


Dos características distinguen el papel central y particular de las representaciones semióticas en matemáticas. En primer lugar, no se las utiliza para evocar objetos, o para comunicar, sino para efectuar tratamientos, es decir, razonamientos, hacer cálculos, etc. Es decir, las representaciones semióticas sólo son importantes en la medida en que pueden transformarse en otras representaciones. En segundo lugar, se debe recurrir a tipos diferentes de representaciones semióticas, ya que cada sistema semiótico ofrece posibilidades diferentes de tratamiento. Es decir, el punto fundamental en la actividad matemática no es (solamente) la utilización necesaria de representaciones semióticas sino la capacidad para pasar de un registro semiótico de representación a otro registro. En cuanto al aprendizaje, la teoría de Duval es radical al postular la comprensión en matemáticas como la habilidad

para articular registros de representación, es decir se postula la conversión como el paso crucial en la comprensión.

Se plantea que cuando se le brinda al estudiante una pluralidad de representaciones del mismo objeto matemático,

se están brindando mayores posibilidades de comprensión de ese objeto, pero enfatiza también que no basta la

multi-representación15

, es decir no es suficiente con representar de diversas maneras un objeto, si no se garantiza

mediante el trabajo cognitivo, el reconocimiento del mismo objeto en los diferentes registros. Por ejemplo el

objeto “mitad”, se puede representar como ½, o como el 50%, o como “la mitad de” o como un cuadrado divido en

dos partes y sombreada una de ellas.

Es decir, el tratamiento, transformación en el mismo registro que permite producir información nueva, requiere,

exige, unas competencias importantes, pero es la conversión la que demanda y a su vez garantiza posibilidades y

competencias de comprensión reales y aún mayores.

Estas dos clases de transformaciones de representaciones yacen en el corazón de la actividad matemática. Por ello

el primer requisito metodológico para analizar los problemas de la comprensión matemática de los estudiantes es

diferenciar por completo estas dos clases de transformación.

La conversión y el tratamiento son fuentes totalmente independientes de problemas en el aprendizaje y se postula

que la conversión es un problema cognitivo más complejo que el tratamiento. El problema que la mayoría de

estudiantes encuentra es tan profundo que la conversión puede ser considerada como el umbral de la

comprensión. ¡La conversión de representaciones semióticas aparece a menudo como un truco que no puede ser

bien aprendido y que no es enseñado!

¿Por qué la conversión es crucial en la comprensión de los estudiantes?

En una aproximación dual a la actividad matemática, de una parte el contenido matemático conceptual y no

semiótico, y por el otro las representaciones semióticas, el uno mental y el otro externo o material, la conversión

15

Claro que una multi-representación es deseable en nuestras aulas, en las que generalmente se trabaja con un modelo

axiomático tradicional que todavía manteiene el esquema :deficion, ejemplos, ejerecicios. Cada objeto casi tiene una sola

representación, en la gran generalidad de nuestras aulas de clase, así que ya de por sí postular la importancia de las diversas

represesntaciones para un mismo objeto es ya importante, en cuanto cada una nos permite capturar unas u otras propiedades

del objeto, pero Duval trasciende lejos esta mera enunciación al afirmar que la enseñanza debe basrse y propiciar la articulación

de los registros, trabajar la conversión, favorecer el tránsito entre unas y otras y reconocer el mismo objeto en todas ellas.


42


emerge como el resultado de la comprensión conceptual. A este respecto Duval postula dos requisitos16

de la

actividad matemática

Las representaciones semióticas deben ser usadas necesariamente

Los objetos matemáticos representados nunca deben confundirse con el contenido de las representaciones semióticas utilizadas

El primer requisito es importante por dos razones que resalta el estatus epistemológico particular de las

matemáticas y que la distingue de las otras áreas científicas: los objetos de conocimiento (números, funciones,

propiedades, relaciones,…) no son accesibles físicamente, ni a través de los sentidos ni mediante instrumentos. La

única forma de acceder a ellos y trabajar con ellos es a través de signos y representaciones semióticas. Pero hay

que resaltar que el papel principal no es representar los objetos matemáticos sino trabajar en ellos y con ellos, por

ejemplo, el papel principal del sistema de representación de los números no es representarlos sino calcular, y los

algoritmos son diferentes según el sistema y la notación utilizados, y de si el sistema tiene o no el signo cero. Es

decir, los sistemas semióticos son utilizados principalmente para operar, o sea, para el tratamiento. Es por esto que

se afirma que sin mediaciones semióticas no es posible la actividad matemática.

Por otro lado, el contenido de cada representación semiótica no depende solo de los conceptos o de los

objetos representados, sino también de los sistemas semióticos de representación empleados. Y es aquí donde la

mayoría de estudiantes se enfrentan con problemas, porque cambiar de un sistema a otro significa cambiar el

contenido de la representación sin cambiar las propiedades matemáticas representadas. Así surge una pregunta

¿cómo el contenido matemático puede discriminarse de lo específico del sistema semiótico utilizado y de lo que no

tiene relevancia matemática? Fuera de las matemáticas no se tiene este problema porque el acceso a los objetos

del conocimiento no es semiótico, son independientes de cualquier mediación semiótica.

Los problemas de comprensión con los que tropiezan la mayoría de los estudiantes, también son muy

específicos del aprendizaje de las matemáticas, porque la transferencia de conocimientos y la comprensión siempre

implican la conversión de representaciones, de hecho el isomorfismo matemático entre dos representaciones

nunca involucra su isomorfismo cognitivo y por tanto no puede ser reconocido por los estudiantes.

Por supuesto que la comprensión no significa dar un salto desde el contenido de la representación hasta el

concepto puramente matemático representado; consiste más bien en relacionar diversos contenidos de

representación del mismo concepto. La comprensión en matemáticas requiere una coordinación interna entre los

diversos sistemas de representación semiótica usados y sin desarrollar tal coordinación es imposible cruzar el

umbral de la conversión de representación.

De esta manera, la habilidad para movilizar diversas representaciones conjuntamente, depende del desarrollo

de esta coordinación, y la comprensión conceptual no es la condición de tal coordinación, sino que surge de su

desarrollo. Así, lo más importante para la enseñanza de las matemáticas no es la elección del mejor sistema de

representación, sino lograr que los estudiantes sean capaces de relacionar muchas maneras de representar los

contenidos matemáticos.

16

En los que subyace la paradoja cognitiva.


43


Acerca de la comprensión de los estudiantes

Duval manifiesta la importancia que tiene para los profesores el hecho de que los alumnos usen diferentes

representaciones en el aprendizaje de conceptos matemáticos pero a la vez resalta que el tema principal es saber

cuáles son los tipos de tareas y actividades para lograr este propósito.

Al parecer la idea más obvia es exponer varias posibles representaciones al mismo tiempo. Pero, desde un punto

de vista didáctico estas actividades no conducen a ninguna parte, dado que toda representación comporta dos

dimensiones semánticas: la del contenido que representa, y que es intrínseca al registro movilizado, y la del objeto

que representa, que es independiente del registro que se moviliza.

Por ejemplo el contenido de una representación gráfica puede ser una recta, una parábola, un círculo, etc., que son

tres contenidos visualmente diferentes y representan tres objetos matemáticos: una función lineal, una cuadrática

y una relación que no es una función pero que caracteriza un objeto geométrico, como es el círculo. Se dice además

que la yuxtaposición de dos representaciones de un mismo objeto en dos registros diferentes no puede resolver el

problema cognitivo del reconocimiento del mismo objeto representado, porque las diferencias de contenido de las

representaciones varían independientemente de los objetos representados. Así aparecen dos situaciones de

reconocimiento en cierta manera opuestas:

a) Reconocer el mismo objeto en dos representaciones cuyos contenidos son muy diferentes porque corresponden a dos registros diferentes, por ejemplo una ecuación de primer grado y el grafo de una recta.

b) Reconocer dos objetos diferentes en dos representaciones cuyos contenidos parecen semejantes porque corresponden al mismo registro, como por ejemplo dos grafos que son visualmente rectas o parábolas, o entre dos enunciados de problemas que utilizan las mismas palabras y describen la misma situación real (como por ejemplo los problemas aditivos o los problemas de proporcionalidad, etc.).

Dada la complejidad de estas dos situaciones de reconocimiento, Duval llama la atención sobre la limitación de

todas las actividades didácticas que se apoyan en una yuxtaposición simultánea de varias representaciones de un

mismo objeto porque se limitan a un reconocimiento mediante asociaciones que son particulares en cada caso.

Manifiesta también que la estructura de la tarea cognitiva que subyace en estas actividades no ofrece las

condiciones que permiten tomar conciencia de esta doble discriminación necesaria para la conversión de las

representaciones.

Otros investigadores como Radford, plantean el tránsito de la nominación "traducir", usada tantas veces para

significar el paso del lenguaje natural al lenguaje simbólico por el término "narrativa simbólica". Una búsqueda

rápida de lo que subyace en el término narrativa nos arroja lo siguiente: las estructuras narrativas son estructuras

lineales, donde hay a grandes rasgos una sola voz, o donde las voces corean al unísono, o al menos, en la misma

dirección. La estructura narrativa central es el relato, pero se considera también, como estructura del orden

narrativo, a la descripción. No implica solamente pasar al lenguaje de símbolos, sino que la palabra narrativa

implica una nueva manera de contar, de relatar, de describir, de interpretar, con unas reglas propias y diferentes de

la anterior forma de narrar: se pasa, en efecto a un espacio semiótico nuevo.

Por ejemplo, abrir el paso a esa nueva narrativa implica darle giros a una frase del estilo ”Kelly tiene dos dulces más

que Manuel”17

, pero darle tantas vueltas y re-decirla hasta llegar a una frase asertiva del tipo: “Kelly tiene lo que

17

La actividad matemática se basó en el siguiente problema verbal corto: "Kelly tiene 2 caramelos más que Manuel. José tiene 5

caramelos más que Manuel. Todos juntos tienen 37 caramelos” [1]

. El mismo problema verbal fue utilizado para generar tres


44


tenga Manuel más 2” es de una complejidad mayor que posibilita de alguna manera el paso a la solución del

problema.

Los sujetos, los adjetivos cambian de una narrativa a otra, luego se comprende esta manera de nombrar lo que casi

siempre hemos llamado “lenguaje de simbolos”, significando con esto una traducción semántica y sintáctica directa

de un lenguaje a otro, que una vez más Radford llama la atención acerca de lo erróneo de este imaginario. Es decir,

nos lleva a la toma de conciencia que al cambiar de narrativa los personajes cambian, los héroes ya no son más los

que eran (Camila, Manuel, José), sino que se emergen como protagonistas, como héroes las relaciones numéricas:

son ellas las que pasan a ser los sujetos, porque la nueva narrativa abre un nuevo espacio semiótico.

El análisis de un problema tan sencillo como el de la experiencia que relata, tan común en todos los países, los

textos y las aulas, deja ver que con toda razón hay dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas,

empezando por la comunicación, por la expresión de las situaciones, por la argumentación, por las "malas"

inferencias". También deja entrever el origen semiótico de tales dificultades o conflictos, utilizando el término de

Juan Díaz Godino, en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición en matemáticas.

CONCLUSIONES

Esto nos lleva a reflexionar sobre cómo en la mayoría de casos en los que se pide a los alumnos que resuelvan

problemas tipo historieta como el que se analiza en el texto, no se piensa en las implicaciones cognitivas que

requiere su solución, sino que se espera que el estudiante pase casi que directamente del enunciado a la ecuación

que lo resuelve.

Considero que es de un valor pedagógico y didáctico muy grande las propuestas y los análisis de estos

investigadores para hacer esa transición, mostrando los procesos y dificultades que se dan antes de llegar a la

ecuación, como son el modo de designación de los objetos del discurso a través del simbolismo algebraico y las

operaciones que se realizan sobre los símbolos que designan los objetos, aspectos a los cuales se les pone muy

poca atención en la enseñanza del álgebra.

Desde el punto de vista didáctico valoro el reconocimiento de frases comparativas en el enunciado de una situación

y la estrategia de transformarlas en frases asertivas para facilitar y comprender la introducción de letras para

designar las cantidades desconocidas y la elaboración de expresiones simbólicas. Este análisis es muy importante

para ser discutido con los docentes, pues les podría dar herramientas para ayudar a los alumnos a comprender la

resolución de este tipo de problemas. Suele ocurrir, en la mayoría de los casos que el alumno debe elaborar sus

propias expresiones simbólicas y operar con ellas para formar la ecuación sin mayor comprensión de los procesos

involucrados, lo cual los lleva a adivinar e inventar procedimientos, muchas veces equivocados.

problemas involucrando transformaciones en la expresión algebraica de los datos. En el problema 1, a los estudiantes se les

pidió designar el número de caramelos de Manuel por x, elaborar una expresión simbólica para los de Kelly y José, y, luego,

escribir y resolver una ecuación correspondiente al problema verbal. Los problemas 2 y 3 incluyen cuestiones similares. La

diferencia es que, en el Problema 2, a los estudiantes se les pidió que designaran el número de caramelos de Kelly por x,

mientras que en el Problema 3, se les pidió que designaran del número de caramelos de José por x.


45


BIBLIOGRAFÍA Duval, R. (2006a). Un tema crucial en la educación matemática: la habilidad para cambiar de registro de representación. La Gaceta de la RSME., 9(1), 143-168.

Duval, R. (2006b). La conversión des représentations: Un des deux processus fondamentaux de la pensée. Grenoble: Presses universitaires de Grenoble. Duval, R. (1988) Graphiques et Equations: l’articulation de deux registres. Annales de Didactique et de Sciences

Cognitives 1, 235–255.


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TALLER ENSEÑANZA DE LA ESTADISTICA EN LOS GRADOS 3° A 9°

Oscar Fernando Gallo Mesa

Matemático Universidad de Antioquia

[email protected]

José Wilder Cisneros Esp Computación

Universidad de Antioquia, IE Andrés Bello [email protected]

Resumen

Se desarrolla un taller básico de estadística descriptiva y de probabilidad, con la utilización de mediadores físicos y virtuales, donde se presentan los elementos conceptuales y la aplicación a diversas situaciones cotidianas con algunos comentarios didácticos para orientar el y, generando una reflexión acerca de la importancia de la enseñanza de la probabilidad a nivel de básica primaria y segundaria. Palabras clave: pensamiento variacional, manipuladores físicos y virtuales, azar en la enseñanza, evaluación .

Abstract

They are looking to develop a basic workshop of descriptive statistics and probability, with the use of mediators physical and virtual, where conceptual elements are and the application to various daily situations with some comments teaching to guide the process and generate a dialog about the importance of the teaching of probability at the level of basic primary and secondary schools.

Key words: variational thought, manipulators physical and virtual, random in the teaching, evaluation.

INTRODUCCIÓN El desarrollo de la tecnología computacional ha revolucionado la práctica de la estadística (Thisted et al., 1992). Sin embargo, la aplicación de las computadoras en la enseñanza y aprendizaje de la estadística se ha rezagado respecto de su contraparte práctica (Shaughnessy, et. al., 1996). En nuestro país, las TIC ha ido cobrando importancia en la enseñanza y aprendizaje de las ciencias y en particular de las matemáticas y la estadística, desarrollado proyectos que involucran computadoras y calculadoras graficadoras como herramientas potenciadoras de competencias , además, el Ministerio de educación Nacional en su plan decenal ha incorporado las MTIC en cada una de las áreas y asignaturas del currículo, por ello el interés en muchos educadores para incorporar el uso de la tecnología en las aulas de clase. Actualmente, investigadores y educadores que promueven la educación estadística, en la cual la enseñanza de ésta

debe ser apoyada por el uso de tecnología para facilitar los procesos de cálculo, inducen hacia la comprensión de

conceptos y mejoramiento del razonamiento estadístico apoyados en diversos paquetes con capacidades gráficas y

de procesamiento de datos que pueden utilizarse en la enseñanza del análisis de datos entre ellos EXCEL, SPSS o

STATGRAPHICS. Sin embargo, dichas herramientas no han sido diseñadas con propósitos educativos y por lo tanto,

presentan algunas dificultades para una exploración flexible e interactiva y acomodación de conceptos, al mismo

tiempo que entra en juego la informática y la didáctica y en este sentido es que se involucra este taller.




47


DESARROLLO

La matemática es útil para modelar situaciones que se presentan en diversos escenarios de la vida cotidiana, de

esta manera el saber matemático y, en particular la estadística, se puede considerar como un instrumento con el

que es posible, reconocer y transformar la naturaleza y la sociedad. Dacunha en su libro "Chemins de L`Aleatorie. Le

hasard et le risque dans la société moderne.'', señala que el azar ha sido un recurso que han utilizado algunas

sociedades para resolver diversas situaciones y que en nuestra época hasta se ha intentado utilizar en la asignación

de empleos, añade que, hay que aprender a dudar, a reconocer la incertidumbre, a saber que ella es parte del

ejercicio de la ciudadanía. Los estudiantes deberían integrar a su juicio la dimensión de lo aleatorio, cuando se trata

de su responsabilidad individual y colectiva.

Se debe, por tanto, fortalecer en la enseñanza de la matemática el concepto de lo aleatorio y un conjunto de

teorías que permitan a los estudiantes tener acceso a los elementos básicos de probabilidades, que le posibilite

tomar decisiones en su vida cotidiana y contar con una formación mínima para que puedan desarrollarse desde esa

perspectiva en cualquier campo profesional o científico. "La probabilidad tiene la enorme cualidad de representar

adecuadamente la realidad de muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su conocimiento permite

comprender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos'' (Pérez y otros, 2000, pág 15).

Se hace importante considerar cuales son aquellos aspectos en los que se debe fijar la atención para lograr que las

probabilidades se inserten en el bagaje cultural, se plantean algunos de ellos:

Considerar el marco epistemológico e histórico en que se debe desarrollar la enseñanza de la probabilidad. Integrar la enseñanza de la probabilidad con otros sistemas matemáticos y no tratarla en forma aislada. Utilizar los mediadores físicos y virtuales, que sirven de apoyo en el trabajo del aula, identificando sus

características. Ayudar a comprender otros temas donde, es común, el uso de tablas o gráficos estadísticos. Comprender el papel de la estadística en la sociedad y su aplicación en diversos campos del saber. Proporcionar al estudiante una experiencia estocástica que aporta al desarrollo de la intuiciones y la

interpretación crítica La estadística es una herramienta clave que aporta al desarrollo de habilidades para el tratamiento de la

información, la resolución de problemas y el trabajo en grupo. Los estudios de Piaget e Inhelder (1951), muestran la

importancia que tiene la enseñanza del concepto de probabilidad para los niños y para el desarrollo de modos de

razonamientos de nuestros estudiantes.

Metodología del taller

En el taller para grados 3º a 9º, se emplea la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales y se realizan unas

prácticas sobre probabilidad, la razón por la cual se introduce el estudio de situaciones aleatorias y en especial la

probabilidad en la enseñanza básica (en los grados 3º a 5º) debido a que tales situaciones son frecuentes en la vida

cotidiana tanto de docentes como de estudiantes, las cuales toman fuerza en el desarrollo del pensamiento

numérico, basados en los estándares: “describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes

contextos y con diversas representaciones; Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de

medición, relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones”.

Y nada mejor para ilustrar los estándares, y analizar el concepto de probabilidad que a partir de simulaciones de

“experimentos” como la ruleta, el lanzamiento de monedas, extracción de balotas de una urna entre otros.


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Taller

Simulación 1: la ruleta

Estándares Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos

1. Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. 2. Conjeturo y pongo a prueba predicciones a cerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos.

Objetivos 1. Clasificar información sobre el tamaño de la muestra 2. Asignar posibilidades en forma subjetiva

Indicadores de desempeño 1. Prediga situaciones de acuerdo al conjunto de datos de la muestra. 2. Interpreta representaciones gráficas. 3. Induce al concepto de probabilidad 4. Diferencia casualidad de aleatoriedad

Software: NLVM: Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales Ingresar a la página: http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

Hacer click en Análisis de Datos & Probabilidades En Análisis de Datos & Probabilidad (Grados 3 - 5) dar clic en Ruleta. Cambiar las regiones de la ruleta (Nombre, Color y Tamaño)

Se cambia el tamaño de una región haciendo clic en el botón Cambiar Ruleta.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html


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Para cambiar las regiones que inicialmente son 4, coloque las pestañas en cero dejando los colores que desees, luego das clic en aplicar. Preguntas

1. ¿Cuál de los dos colores marcará con más frecuencia la flecha? Explica tu conjetura:

_________________________________________________________________________

Realice la experiencia haciendo click en guardar resultados. En vueltas escribe 20. ¿Coincide tu conjetura con los resultados obtenidos?

Cambie el 20 por 50 en vueltas y observe los resultados, ¿coinciden estos datos con tu conjetura inicial? ¿Cuál es la razón? Repite experimento 999 veces, ¿sigue prevaleciendo tu conjetura? _________________

1. En la siguiente etapa, escoge 3 colores. Responde sin realizar la experiencia: ¿Cuál color marcará la flecha? _________________________________

Realice la simulación. ¿Coincidió el color escogido con el de la simulación? ____________ En caso afirmativo, repite la situación y responde nuevamente. ______________ ¿Cuál crees que es el color que con más frecuencia se repite? __________________________

2. Aumenta a 5 colores. Conteste la misma pregunta del punto 1. 3. ¿Qué sucede a medida que vamos aumentando el número de colores? ¿Es posible predecir con mayor o

menor grado de precisión el color marcado por la flecha? Cambiar las regiones así:


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Haga clic en cambiar ruleta y en regiones de la ruleta deje las marcas como se te indican:

Haga clic en aceptar, te aparece la siguiente ruleta:

4. ¿Sin realizar simulaciones, en cual color crees que caerá la flecha al dar una

vuelta?____________________________________ 5. ¿Si das cinco vueltas a la ruleta es posible que tres de las veces caigan en amarillo?

Explica____________________________________ 6. Realice las simulaciones dando clic en dar vuelta y compara tus conjeturas con lo sucedido. 7. De clic en guardar resultados y coloque 999 y realízalo varias veces, anota tus conclusiones. 8. Coloque tres colores en proporción 3, 2 y 1 y repite el ejercicio desde el punto 5.

Simulación 2: lanzamiento de monedas

Estándares Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos

3. Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. 4. Conjeturo y pongo a prueba predicciones a cerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos.

Objetivos 1. Diferenciar eventos simples de eventos compuestos. 2. Asignar posibilidades en forma subjetiva.

Indicadores de desempeño 1. Prediga situaciones de acuerdo a un conjunto de datos dado. 2. Interprete representaciones gráficas. 3. Calcula algunas posibilidades.

Software: NLVM: Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales Ingresar a la página: http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

Hacer clic en Análisis de Datos & Probabilidades Haga clic en Análisis de Datos & Probabilidad (Grados 6 - 8)


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Allí escoja: Lanzamientos de una moneda INSTRUCCIONES En este taller, E representa el evento obtener cara y S el evento obtener sello. En la simulación se utiliza Escudo y

Cruz, lo cual podríamos establecer con una moneda de $ 50, $ 100 ó $ 500,

¿Al lanzar una moneda 5 veces, ¿es posible obtener la siguiente secuencia?: E E E S S. Explique

________________________________________________________________

Ingrese en la simulación:

En cantidad de lanzamientos digite 5. Luego pulsa el botón Iniciar. Compara los resultados con los dados en tu conjetura. Realiza el ejercicio varias veces.

1. EEscribe una secuencia de 10 lanzamientos __________________________________________________________

2. Realiza los 10 lanzamientos con la simulación: ¿coinciden con la serie tuya? Explique:__________________________________________________________

3. En cantidad de lanzamientos coloca 50 y analice la gráfica. 4. Realice el punto tres en varias ocasiones. Analice lo ocurrido. 5. Cambie los lanzamientos por 100, 300, 500. 999 y analice los datos obtenidos.

Realizar un experimento en forma física: con dos monedas de $100. Escribe tu posible secuencia para 10

lanzamientos, donde cada lanzamiento se representa mediante una pareja ordenada

(E,S)__________________________________________________ Realice los 10 lanzamientos con ambas monedas. ¿Qué concluyes?

6. ¿La experiencia con una moneda es idéntica a trabajar con dos monedas? 7. Si te preguntaras ¿cuál es la posibilidad de obtener dos caras consecutivas en el lanzamiento de dos

monedas, es idéntico a responder sobre la posibilidad de obtener una cara en el lanzamiento con una moneda?

8. Dos estudiantes juegan lanzando dos monedas simultáneamente y van anotando los resultados. Miguel


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elige ganar si salen dos caras, mientras que Clara elige ganar cuando sale un escudo y un sello. Los resultados obtenidos en 50 lanzamientos fueron:

Dos caras EE ///// ///// /// Dos sellos SS ///// //// Una cara y un sello E S ///// ///// ///// ///// ///// ///

¿Cuántas veces ha ganado Miguel? ¿Cuántas veces ha ganado Clara? ¿Cuántas veces no ha ganado ninguno?

CONCLUSIONES

La metodología utilizada, ha permitido a docentes del departamento de Antioquia, en especial de los municipios

de Apartadó, Bello, Girardota realizar conexiones entre el uso del aula taller de matemáticas con las herramientas

físicas manipulables y las virtuales, donde se ha logrado desvirtuar el paradigma de la suerte y llevar a cabo en

forma precisa el fenómeno de la aleatoriedad.

Se ha logrado desde la asignatura de Informática II en la Universidad de Antioquia, comprobar la importancia y

eficacia entre el dual informática – didáctica.

BIBLIOGRAFÍA Batanero, C (1988 a). Current situation and perspectives for statisticak Education. Conferencia plenaria en la IV

Iranian International Statistical Conference. Shahid Beheshtii University, Tehran, Irán,

Batanero, C. y Serrano, L. (1995). La aleatoriedad, sus significados e implicaciones didácticas. UNO, Revista de

Didáctica de las Matemáticas, 5, 15-28.

Gal, I, and Garfield, J (editors) (1997). The assessment challenge in statistics education. The Netherland: IOS Press,

The International Statistical Institute.

Godino, J., Batanero, C. y Cañizares, M. J. (1987). Azar y probabilidad. Fundamentos didácticos y propuestas

curriculares. Madrid: Síntesis.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (2004).Lineamientos curriculares de ciencias y educación ambiental. Santa

Fé de Bogota.D.C.

Piaget, J. Inhelder, B. (1951). La genése de l'idée de hasard chez l'enfant. Paris: Presses Universitaires de France.

Salvador Figueras, Gargallo P. (2003). Análisis exploratorio de datos.


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TALLER EL IMPACTO DE LA GEOMETRIA DINÁMICA EN LA CONSTRUCCIÒN DEL PENSAMIENTO

José Danilo Agudelo Pinzón Especialización Computación para la docencia

Escuela Normal Superior María Auxiliadora Granada, Meta [email protected]

Resumen Se ha vuelto frecuente observar cómo los continuos avances tecnológicos tienen una incidencia muy significativa en todos los planos de la sociedad. El hecho de que las matemáticas sea una disciplina fundamental para estos avances, hace que sea especialmente interesante reflexionar acerca de cómo esas tecnologías pueden modificar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En este taller presentamos algunas reflexiones de cómo la tecnología, y en particular el uso del software de geometría dinámica, permite abordar la resolución de problemas de forma más significativa para estudiantes en formación docente, docentes y estudiantes de bachillerato, mejorando sus desempeños en las diversas técnicas de resolución de problemas.

Palabras claves: Investigación, tecnologías, competencias, solución de problemas, software libre

Abstract It has become common to see how continuing advances in technology have a significant impact at all levels of society. The factthat mathematics is a fundamental discipline for these advances,makes it especially interesting to reflect on how these technologiescan change the teaching and learning of mathematics. In this workshop we present some reflections on how technology, particularly the use of dynamic geometry software allows problem-solving approach in a more meaningful for students in teacher education, teachers and high school students improve their performance in various problem-solving techniques.

Key words: Investigación, tecnologías, competencias, solución de problemas, software libre

INTRODUCCIÓN La geometría ha sido durante siglos uno de los pilares de la formación académica de los jóvenes desde edades muy tempranas. Relacionarse con el espacio físico que nos rodea es una necesidad imperiosa del ser humano desde su nacimiento. Por otra parte, nadie cuestiona la importancia de la geometría como formadora del razonamiento lógico. Pocos son quienes discuten su trascendencia tanto en estudios posteriores de cualquier ciencia como en el desarrollo de habilidades cotidianas. durante la segunda mitad del siglo pasado, la geometría perdió paulatinamente presencia en los planes de estudio. afortunadamente, los actuales currículos de matemáticas de todos los niveles educativos confieren a esta rama de las matemáticas la importancia que nunca debió perder. pero a pesar de esta “recuperación” curricular de la geometría, una serie de interrogantes cuestionan al profesorado de secundaria: ¿estamos enseñando a nuestros alumnos una geometría adecuada? ¿es suficiente que nuestros alumnos calculen longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas a partir de unos datos, despejando la magnitud desconocida de una expresión algebraica que relaciona objetos geométricos? ¿es más importante calcular el área de un triángulo rectángulo o construir el triángulo rectángulo a partir de una circunferencia? ¿pueden nuestros alumnos estudiar geometría analítica en segundo ciclo de educación secundaria sin conocimientos sólidos de geometría sintética? en definitiva:¿qué geometría debemos enseñar?, ¿con qué herramientas metodológicas y tecnológicas?, ¿podemos seguir enseñando geometría como hace cincuenta años? Actualmente disponemos de las herramientas necesarias para que la formación del alumno sea más completa. Los programas de geometría dinámica han demostrado en las dos últimas décadas su capacidad de ayuda al usuario


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para adquirir destrezas en uno de los campos más creativos de las matemáticas. Los ejemplos más importantes para la ayuda de la enseñanza de la geometría mediante medios informáticos son

los llamados programas de Geometría Dinámica. Proporcionan, sin duda una ayuda extraordinaria para la

experimentación, es decir, para la construcción de conceptos y la visualización de resultados y propiedades

geométricas a través de la práctica experimental. Un programa de la categoría de Sistemas de Geometría Dinámica

(DGS) permite construcciones de geometría elemental, donde los elementos que se construyen se definen

fundamentalmente por propiedades cualitativas no mediante ecuaciones y geometría analítica, aunque ésta esté

detrás, en el funcionamiento interno del programa y en algunos casos como Geogebra también delante y en

pantalla (RAFAEL LOSADA, LA GACETA 10, Nº 1, PP. 223)

Marco Teórico

La resolución de problemas como objeto de investigación en Didáctica de la Matemática es un campo que ha

evolucionado bastante en los últimos 20 años y en la actualidad, la mayoría de los diseños curriculares establecen

la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas basada en una instrucción vía resolución de problemas (MEC, 1991,

NCTM, 2000; Rivera & Santos, 2000).

Por otro lado, nadie duda que las Nuevas Tecnologías1 están permeando la escuela y el aula, siendo cada vez

incorporadas con mayor frecuencia al trabajo diario de docentes y alumnos, proporcionando a los investigadores

en Educación Matemática nuevos campos de exploración e investigación, así como nuevos recursos y herramientas

de trabajo a los profesores. Así por ejemplo, el currículo español es sensible a este hecho:

“(...) La misma introducción y aplicación de nuevos medios tecnológicos en matemáticas obliga a un planteamiento

diferente tanto en los contenidos como en la forma de enseñanza” (MEC, 1991, p.74).

La unión de éstas dos componentes de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas genera un nuevo reto para

los educadores de nuestro país, conseguir que los alumnos problematicen su aprendizaje, es decir, “(...) se deben

enfocar las actividades alrededor de preguntas en donde se cuestione por qué las cosas se presentan de tal forma,

investigar y analizar soluciones y, resolver incongruencias o rediseñar o formular nuevos problemas” (Santos, 1998,

p.433). Las nuevas tecnologías ofrecen un marco para llevar a cabo dicha problematización de la enseñanza de los

estudiantes y, en gran medida, a sido gracias a que las representaciones que nos ofrecen los medios tecnológicos,

llamadas “representaciones ejecutables”2 y, a la posibilidad de transitar entre distintos sistemas de representación

de un mismo objeto matemático. Como afirma Rojano & Moreno: “(...) El papel de tales instrumentos va más allá

de servir de prótesis para la acción. La presencia de tales instrumentos puede re-organizar todo el funcionamiento

cognitivo (...)” (Rojano & Moreno, 1999, p.331).

1. Cuando hablemos de Nuevas Tecnologías, nos referimos a las calculadoras gráficas, los programas de ordenador de matemáticas y cualquier software diseñado para la enseñanza de las matemáticas como pueden ser tutoriales, cd-rom interactivos, etcétera.

2. Debido a la naturaleza de las representaciones que nos ofrecen los ordenadores, estas representaciones se denominan ejecutables por que se pueden modificar interactivamente, por ejemplo, se puede rotar una figura, alargar, modificar valores de una función y observar la variación en el resultado

Metodología de Investigación

La naturaleza de la investigación realizada es de corte cualitativo y se encuadra dentro de las denominadas

Investigaciones Descriptivas en el sentido expresado por Best (1970, extraído de Cohen & Manion). Nuestro interés


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es describir la relación entre la incursión de un elemento desconocido por los sujetos del estudio (el trabajo con

Geometría Dinámica) y observar su trabajo durante la realización de diversas tareas y problemas matemáticos. Los

investigadores llevaron a cabo una Observación Participante (Buendía et.al., 1997, Cohen & Manión, 1990), en el

sentido de que se comprometen en las actividades que observan, además de conducir la dirección de dichas

actividades.

Qué es una demostración? y más aún, ¿qué es una demostración usando el Geometría Dinámica? En este taller

intentaremos responder a estas dos preguntas pues son fundamentales, nos sólo para las competencias, sino

también para poder sacarle el mayor interés posible a los problemas.

La demostración de un problema no es solamente la exposición de los pasos que uno realizó para llegar al resultado. Es más que nada, la explicación de por qué uno utilizó esos pasos, de los teoremas e ideas que avalan el procedimiento utilizado para resolverlo. Cuando uno demuestra algo debe imaginar que le está explicando la justificación a otra persona que no entiende nada, o muy poco; y debe imaginar las preguntas que le haría, a uno, esa persona. ¿Qué teorema utilizaste? ¿Usaste alguna otra idea? ¿Cuál? ¿Por qué? ¿Esa idea sirve para un caso particular o Cuando uno quiere hacer una construcción con el Geometría Dinámica, no basta con hacerla a ojo. Para que la construcción esté bien hecha no se debe desarmar al mover la figura y debe seguir cumpliendo las condiciones que pedía el problema. Otro error muy común es utilizar el comando MEASURE para medir segmentos y ángulos y justificar el problema basándose en los datos así obtenidos. La idea de medir sirve solamente para notar regularidades, pero de ningún modo sirve para demostrar un problema. También para el caso general que pide el problema? Si es un problema de geometría, ¿que pasa si se cambia la figura? ¿Hay otra forma mejor de resolver el problema? En fin, cualquier pregunta que haría alguien que quisiera saber con certeza la solución del problema. Ahora, ¿cómo es una demostración utilizando el Geometría Dinámica? ACTIVIDADES DEL TALLER Actividad 1 La plaza (problemas dirigidos)

Objetivo Queremos aprovechar la facilidad que ofrece la Geometría Dinámica para cambiar las condiciones iníciales de muchos problemas, permitiendo de esta forma una rápida aproximación a distintos casos de los que podamos inferir una pauta o una ley. El problema que proponemos tiene el siguiente enunciado. El suelo de una pequeña plaza rectangular está formado por filas de grandes losas cuadradas de idénticas dimensiones. Hay n filas, y en cada fila hay m losas. Un día, una hormiga atraviesa en línea recta la plaza, siguiendo exactamente una diagonal. ¿Cuántas losas distintas pisa la hormiga?


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Actividad 2 La Corona (percepción y medición) Objetivo Nos valdremos de GeoGebra para plantear un problema de forma muy rápida. La visualización dinámica junto con las herramientas de GeoGebra podrá ayudar a los alumnos a resolverlo. El enunciado es: "Averiguar el área de la corona circular de la siguiente figura." Actividad 3 Diagonales ( ¿Y si...? Curiosidad, intuición y conjeturas) Mostraremos un ejemplo de razonamiento inductivo, a partir de una actividad muy sencilla de construir con GeoGebra. Creamos un polígono regular de n vértices y nos preguntamos cuántas diagonales tiene. Aprovecharemos esta construcción para usar un método de posicionar cualquier objeto en la Vista Gráfica independientemente de la escala, así como establecer medidas que se ajusten automáticamente a las dimensiones de la Vista Gráfica.

Actividad 4 (Proyecciones 3D, Proyección) Objetivo: Un punto tridimensional {px, py, pz} se puede proyectar en la Vista Gráfica como: (px sin(β) + py cos(β), -px cos(β) sin(α) + py sin(β) sin(α) + pz cos(α))

Donde α y β son los ángulos de inclinación y rotación del objeto. Veremos cómo

podemos usar esta proyección para crear modelos tridimensionales.

Actividad 5 (Conexiones matemáticas Integrales definidas)

Objetivo

Usaremos Geometría Dinámica para visualizar la serie de finos rectángulos con base en el eje de abscisas y un

extremo del lado opuesto en la gráfica de una función, quedando ese lado entre la gráfica de la función y el eje de

abscisas. La suma de las áreas de esta serie de rectángulos converge, al tender la base de cada rectángulo a cero, al

área de la superficie entre la función y el eje X.

Esta convergencia puede observarse dinámicamente, lo que facilita en gran medida la comprensión del proceso de paso al límite. También veremos otras figuras relacionadas, como la serie superior de rectángulos, la serie de trapecios y la integral definida. GeoGebra incorpora varios comandos que facilitan la visualización de los conceptos correspondientes a los elementos básicos del cálculo infinitesimal. Podemos alterar tanto el intervalo en el que actuamos como la propia definición de la función, manteniendo intacta el resto de la construcción. También intentaremos cuidar la estética de la figura resultante y posibilitar el control de visualización de los elementos que se superpongan.

CONCLUSIONES Geogebra es uno de los software de mayor importancia ya que facilita y ayuda al docente a interactuar dinámicamente con contenidos temáticos en el área de matemáticas; este programa es una de las opciones tecnológicas que enriquece la calidad de las investigaciones y visualiza Las matemáticas desde diferentes


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perspectivas, apoyando a la retroalimentación; además de ofrecer a los docentes estrategias para la instrucción de acuerdo a las necesidades de los alumnos. Así mismo facilita el aprendizaje mediante representaciones virtuales que son representaciones de la realidad y concentra beneficios pedagógicos. El uso del software GeoGebra en la enseñanza de las matemáticas tiene un enorme potencial motivador para el estudiante y el profesor, lo cual se traducirá en mejores resultados en un corto plazo.

BIBLIOGRAFÍA

Buendía, L., et. Al. (1998). Métodos de investigación en psicopedagogía. McGraw-Hill: Madrid

Codina, A. (2000). Elementos para una reflexión acerca del uso de la computadora en el aprendizaje de estudiantes

de bachillerato vía resolución de problemas. Tesis de Maestría, CINVESTAV-IPN: México.

Cohen & Manion, L. (1990). Métodos de Investigación Educativa. La Muralla: Madrid.

M.E.C. (Ministerio de Educación y Ciencia), (1991). Real Decreto 1345/1991 por el que se establece el currículo de

la Educación Secundaria Obligatoria.Suplemento del B.O.E. número 220 de 13 de septiembre, pp. 72-82.

Moreno, L. (1999). ‘On representations and situated tools’. En Proceedings of the Twenty Firs Annual Meeting P.M.E.-N.A. vol 1. (Ed. Hitt, F, & Santos, M.) ERIC: Columbus, pp.97-104.

N.C.T.M. (National Council of Teachers of Mathematics), (2000). Principles and Standards for School Mathematics.

NCTM: Reston, Virginia.

Rivera, A. & Santos, M. (2000). ‘El curriculum de matemáticas en el nivel medio superior en México’. En Actas del

Foro Las matemáticas en México: Educación y Desarrollo. En Prensa, Cocoyoc, Morelos, México.

Rojano, T. & Moreno, L. (1999). ‘Educación Matemática: investigación y tecnología en el nuevo siglo’. En Avance y Perspectiva vol.18, CINVESTAV-IPN. Pp.325- 334.


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TALLER “SABER PENSAR ES LA CLAVE, QUE PENSAR CUALQUIERA SABE”

Germán Torres Roa GRUPO PIRAMIDE Uptc Tunja

Especialista en Matemática Avanzada, Coordinador Club de Matemática Recreativa Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Tunja

[email protected]

Resumen

Se trata de examinar cuidadosamente el cuarto paso del método heurístico de George Polya como técnica pedagógica efectiva

para favorecer el desempeño de los alumnos en la resolución de problemas. Se da cabida al desarrollo del pensamiento crítico y

creativo en el alumno, y a la mejora de su autoevaluación, dando la oportunidad de crear nuevos problemas, algunos incluso

más complicados que los originales y propicios para la investigación.

Palabras clave: Resolución de problemas, heurística, pensamiento crítico, habilidades matemáticas, investigación.

INTRODUCCIÓN

En desarrollo del proyecto Matemática Recreativa en las instituciones educativas del área de influencia de la

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia se enfatiza que la actividad matemática debe enmarcarse en el

Enfoque de Planteamiento y Resolución de Problemas. La capacidad de resolver problemas solamente se desarrolla

resolviendo problemas. Lo que menos importa es el resultado; lo más importante es el proceso, es decir el camino

que hay que recorrer para llegar a la solución. Uno de los grandes maestros expertos en este Enfoque, el científico

húngaro George Polya (1980), recomienda prestar atención a cuatro pasos muy concretos. Pero examinar la

respuesta no debe limitarse a determinar si se ha llegado a un resultado matemático correcto, si tiene sentido y

puede comprobarse. Debe orientarse el trabajo a desarrollar más las verdaderas habilidades matemáticas. Aquí se

ilustran las acciones resultantes de la reflexión sobre el cuatro paso, en permanente experimentación y validación

en las instituciones del proyecto.

DESARROLLO

Referentes Teóricos

Los cuatro pasos del Método Heurístico de G. Polya son: Comprender el problema, Elaborar un plan, Desarrollar el

plan y Echar una mirada retrospectiva [3]. Una vez encontrada la respuesta pueden tener lugar al menos las cinco

etapas siguientes [1]:

1. Comprobar que la respuesta es posible y razonable en la práctica;

2. Escribir un resumen sobre el problema y la solución, reflejando tanto los intentos exitosos como fallidos. Esto

fuerza a examinar los métodos de pensamiento, clarifica ideas y evidencia habilidades para pensar.


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3. Hallar otras soluciones, jalonando la acción del pensamiento creativo.

4. Cambiar las condiciones del problema, lo cual conduce al encuentro de conceptos avanzados.

5. Extender el problema, para construir fórmulas matemáticas, conceptos y generalizaciones, es decir,

descubriendo las matemáticas que subyacen en el problema y posibilitando el proceso de investigar [2].

Metodología

La actividad se desarrollará a partir de la formulación y resolución de problemas pertinentes que permitirán poner

en práctica los cuatro pasos de Polya y propiciar un ambiente de reflexión sobre el cuarto paso, de manera de

experimentar cada una de cinco acciones que de él pueden desprenderse.


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CONCLUSIONES Hacer énfasis en el cuarto paso del Método Heurístico de Polya permite:

• Mejorar la visión y hacer una aplicación poderosa del Enfoque de Planteamiento y Resolución de Problemas.

• Desarrollar habilidades de razonamiento. • Tener el control de cada acción cuando se abordan problemas. • Potenciar el pensamiento crítico y creativo. • Fomentar la motivación por el trabajo en Matemáticas. • Crear ambientes propicios para la investigación.

BIBLIOGRAFÍA Krulik, S., & Rudnick, J. A. (1994). La reflexión: Estrategias para razonar y resolver problemas. Arithmetic Teacher

Vol. 41, n° 6 , 334-338. McLachlan, I. D., & Ryan, D. J. (1994). Evaluación, investigación y habilidades matemáticas. Mathematics Teacher.

Vol. 87, n° 5 , 364-370. Torres, G., & Zuluaga, C. (2008). Matemática Recreativa: Temáticas y aspectos didácticos para la educación básica.

6ª edición. (págs. 16-21). Bogotá: Unidad Editorial Universidad Incca de Colombia.


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TALLER

“USO DE LAS TIC’S EN LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE MATEMÁTICAS Y GEOMETRÍA- MANEJO DE

SOFTWARE EDUCATIVO “REGLA Y COMPÁS” Martha Edilma Márquez Gutiérrez

Especialista en Gerencia Educacional

Escuela de Licenciatura en Matemáticas y Estadística, Grupo Edumaes, Uptc Facultad Duitama

[email protected]

Resumen

Desde el análisis de estrategias e innovaciones en el aula, se presenta una propuesta en manejo de las Tics en el proceso de

enseñanza aprendizaje de las matemáticas y la geometría, cuyo objetivo principal es mostrar las bondades que ofrece el

software educativo “Regla y Compás”, mediante el desarrollo actividades tipo taller, de tal manera que los asistentes puedan

asumir este entorno computacional como un nuevo ambiente propicio para la enseñanza y aprendizaje en su quehacer

pedagógico.

Palabras clave: Enseñanza, aprendizaje, geometría, Software Regla y compás

Abstract

From the analysis of strategies and innovations in the classroom, is a proposal in the management of Tic’s in the teaching

process of mathematics and geometry, whose main objective is to show the benefits offered by the educational software "Ruler

and Compass" through development workshop-type activities, so that attendees can take this as a new computing

environment conducive environment for teaching and learning in their pedagogical work.

Key words: teaching-learning -dynamic geometry - "ruler and compass."

INTRODUCCIÓN El uso de nuevas tecnologías ha invadido los hogares y las instituciones educativas, por tanto los niños, niñas y

jóvenes en general han creado ambientes naturales en relación con el uso de los computadores y el Internet como

medios de entretenimiento y comunicación. Esto obliga a que, como docentes ofrezcamos ambientes coherentes

con el desarrollo personal y cognitivo del estudiante.

Teniendo en cuenta lo anterior y gracias tanto al gobierno como a las mismas Instituciones Educativas que se han

interesado por dotar a los colegios con equipos de computo y el servicio de internet, los docentes deben fomentar

la utilización de estos recursos como herramientas de apoyo mediados por software educativo que fortalezcan los

procesos de enseñanza aprendizaje con el fin de satisfacer las expectativas y necesidades que exige esta nueva

sociedad, y que aporten en la formación de estudiantes competentes tanto a nivel social como laboral.

Se presenta esta propuesta para desarrollar en el “Encuentro Nacional de Educación Matemática y Estadística –

ENEMES”, con el fin de ofrecer una capacitación en el inicio del manejo de software especializado en el área de

matemáticas y geometría, tal como lo es “Regla y Compás”; que es un programa que permite hacer construcciones

geométricas en forma dinámica, fácil de usar y de obtener. El trabajo se centrará en la identificación de las

diferentes herramientas, y el desarrollo de talleres que muestren la versatilidad de este programa, que facilite la


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comprensión del uso de este recurso como estrategia para llevar al aula los conocimientos matemáticos,

especialmente en la enseñanza de la geometría.

DESARROLLO

Con la llegada de los computadores y el desarrollo de programas computacionales, la educación en forma general

ha cambiado, esto ha provocado que tanto docentes como estudiantes reestructuren su forma de actuar y pensar

frente a la enseñanza y aprendizaje (respectivamente) de las distintas áreas del conocimiento.

En cuanto a las matemáticas, tan solo hace unos años, se contaban como únicos recursos didácticos: el tablero, la

tiza o el marcador, el papel cuadriculado, instrumentos de dibujo como la regla y el compás, entre otros, además,

las construcciones gráficas largas y tediosas hacían de esta actividad momentos difíciles e interminables,

especialmente para aquellos que se les dificultaba la comprensión y la generalización de propiedades y procesos de

los distintos objetos matemáticos.

La aparición de programas computacionales hace que docentes y estudiantes replanteen su quehacer pedagógico.

Su utilización determinan tanto los resultados obtenidos por los alumnos como la forma de trabajar en el aula y, lo

que es más importante, cambian las estrategias que se ponen en marcha: la exploración de posibilidades, la toma

de decisiones, el proceso de generalización, etc.

Según Zuriaga de Brutti y otros (2006), en su proyecto “PROCESOS VS. PRODUCTOS- UNA PROPUESTA CON EL

USO DE NUEVAS TECNOLOGÍAS”, los programas de geometría fueron diseñados con la intención específica de

poner a disposición de los alumnos un ambiente del tipo micro mundo para la exploración experimental de la

geometría plana elemental. Al trabajar con lápiz, papel, regla y compás se obtiene una representación más o menos

exacta pero fija, y por lo tanto se limita en extremo la exploración.

En estos programas las figuras geométricas pueden construirse por medio de acciones y en un lenguaje que son muy

próximos a los que se usan en el universo familiar de "papel y lápiz". En contraste con la construcción tradicional, la

geometría dinámica es precisa y es muy fácil y rápido realizar construcciones complejas para luego modificarlas.

La mayoría de estos programas se convierten en herramientas de manipulación de representaciones gráficas con la

capacidad de proveer retroalimentación informativa, con las que las actividades propuestas son algo más que

“mirar la pantalla”.

Básicamente estos utilitarios permiten realizar dos categorías de acciones interdependientes:

Tratamiento y control de los conocimientos teóricos de geometría, que permiten explicar, predecir, producir.

Tratamiento y control perceptivos fundados en el reconocimiento de formas o de fenómenos como la alineación, la perpendicularidad, el paralelismo.


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La interacción fuerte entre percepción y geometría se da cuando se utilizan las funciones de los programas para

verificar las observaciones.

Por otra parte, dos de los rasgos más sobresalientes de este tipo de software son:

holística, poder ver una situación en forma global, visualizando configuraciones con relaciones entre diversos elementos;

dinamismo: permite animar las configuraciones y observar los cambios.

Nuevos conceptos surgen a partir del uso de estas nuevas tecnologías, por ejemplo la expresión “geometría

dinámica”, que fue introducido por Nick Jackiw y Steve Rasmussen (Goldenberg y Cuoco, 1988) y se aplica a los

programas informáticos que permiten a los usuarios, después de haber hecho una construcción, mover ciertos

elementos arrastrándolos libremente y observar cómo otros elementos responden dinámicamente al alterar las

condiciones.

En la Serie Memorias del Seminario Nacional de formación de docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de

Matemáticas, (MEN, 2001-2002. pag. 82) en el artículo “ Instrumentos matemáticos computacionales” de Luis

Moreno Armella, (México) dice al respecto:

“La tecnología informática, ha empezado a revolucionar el conocimiento matemático. Su impacto alcanza también

a la educación matemática. No puede dejarse de lado que ese impacto se refleja a nivel epistemológico. En efecto,

las posibilidades de manipulación sobre el espacio de representación de un computador o de una calculadora con

capacidades de graficación, induce una reificación de los objetos matemáticos que se estudian en las instituciones

educativas. Hay evidencias de que esta reificación genera desarrollos cognitivos nada desdeñables en los procesos

de aprendizaje escolar.

Con relación al uso de las herramientas computacionales, Balacheff & Kaput (1996), han señalado que su mayor

impacto es de carácter epistemológico, refiriéndose con ello al hecho que éstas han generado un nuevo realismo

matemático. Debido a que los objetos sobre la pantalla son producidos y controlados desde el universo interno de

la herramienta computacional .en términos informales podemos decir que el universo interno equivale a la

matemática instalada en el procesador central de la calculadora, podremos afirmar que estos objetos sobre la

pantalla son modelos manipulables de objetos matemáticos.

Estos modelos contribuyen a una mayor interrelación entre la exploración y la sistematicidad ya que ofrecen mayor

capacidad de cálculo, mayor poder expresivo y flexibilidad en la transferencia entre sistemas de representación.

Además, la exploración respeta explícitamente las reglas sintácticas del medio ambiente. Los sistemas de

representación permiten instalar aspectos de nuestro pensamiento en un medio estable y ejecutable en el caso de

las computadoras. Estos medios llegan a ser parte integral de nuestros recursos intelectuales y expresivos.

Permiten, además, generar una forma de realidad virtual asociada a los objetos conceptuales de las matemáticas y

traerlos, virtualizados ya, a la pantalla en donde podemos manipularlos con amplitud”.

Existen diversos software de geometría dinámica algunos comerciales y otros gratuitos. Entre los comerciales, los

más populares son Cabri, Geometer’s Sketchpad y Cinderella. Entre los gratuitos, cabe mencionar Regla y Compás y

Geogebra.

Es así como se propone el cursillo “Uso de las tic’s en la enseñanza aprendizaje matemáticas y geometría- manejo


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de software educativo “Regla y Compás” (RyC), cuyo objetivo principal es que los docentes, estudiantes de

Licenciatura y demás asistentes a este evento, adquieran nuevas competencias frente a la utilización de la

tecnología en el campo de la enseñanza de la matemática y de la geometría, mediante el desarrollo de actividades

didácticas tipo taller, en dos jornadas de 2 horas cada una, en las que el participante pueda conocer algunas

herramientas que presenta el software educativo libre “RyC” y las bondades que este ambiente computacional nos

ofrece y puedan llevarlas al aula con el fin de facilitar y aumentar el interés de los estudiantes por el estudio y la

profundización de las matemáticas.

Actividades:

ESTAPA ACTIVIDAD

Introducción Presentación y generalidades del software “Regla y Compás”:

Significado de las herramientas

Opciones de los menús Identificación de bloques de herramientas Construcción de elementos de geometría básicos Construcción de figuras geométricas

Construcciones Desarrollo de talleres que permitan la identificación de las bondades que ofrece el ambiente educativo “Regla y Compás” mediante construcciones geométricas, que demuestren relaciones y propiedades de algunos objetos matemáticos.

Evaluación Evaluación de actividad desarrollada

CONCLUSIONES Las actividades propuestas permitirán a los participantes adquirir nuevas herramientas que podrán llevar al aula, y plantear nuevas secuencias didácticas que hagan atractiva y dinámica la relación enseñanza aprendizaje de las matemáticas y de la geometría. BIBLIOGRAFÍA Moreno, (2002) Instrumentos matemáticos computacionales. Serie Memorias del Seminario Nacional de

formación de docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. MEN.

Zuriaga de Brutti y otros (2006) , Procesos vs. productos una propuesta con el uso de nuevas tecnologías . XIII

Jornadas Nacionales de Educación Matemática. Talleres Nacionales. Uso de la Informática en la Educación.

Viña del Mar.


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TALLER

SOMBREROS, ZAPATOS Y ALGUNOS ACERTIJOS TOPOLÓGICOS Laura Givelly Peña Garzón

Estudiante Licenciatura en Matemáticas

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Tunja

[email protected]

Érica Constanza Quintero Rosas

Licenciada en Matemáticas

Colegio de Educación Básica Joan Comenius

[email protected]

Resumen El Pensamiento Lógico ha desempeñado un papel muy importante en los avances de la ciencia y la tecnología, y más

específicamente en Matemáticas, pues empleamos este pensamiento ya sea para dar solución a un problema o para demostrar

un teorema. Aunque este pensamiento posee una inmensa utilidad y efectividad, resulta incompleto; encontrándose una gran

limitación de posibilidades cuando se trata de buscar soluciones eficientes a nuevos problemas. Se hace necesario entonces

complementarlo con el Pensamiento Lateral, cuyo estudio inicial se debe al doctor Edward de Bono (1970). Este taller tiene

como propósito trabajar con los asistentes el Pensamiento Lógico junto con el Pensamiento Lateral, aplicando de manera

oportuna las seis formas para pensar (sombreros) y las seis formas para actuar (zapatos) en la resolución de algunos acertijos

topológicos, buscando identificar y establecer de manera intuitiva conceptos tales como Topología, Grafo y Homeomorfismo.

Palabras clave: Pensamiento lateral, pensamiento lógico, sombreros para pensar, zapatos para actuar, acertijo topológico.

INTRODUCCIÓN

En este taller se proponen métodos muy sencillos y prácticos basados en lo que el doctor Edward de Bono llamó

“Pensamiento Lateral”; las seis formas para pensar (sombreros) y para actuar (zapatos), hacen referencia al hecho

de movernos del lugar en donde habitualmente nos paramos para enfrentar un problema, con el fin de encontrar

diferentes puntos de vista, percepciones y conceptos para abordarlo. Se pretende ir más allá de una

conceptualización de lo que es el Pensamiento Lateral, expuesto con mayor rigurosidad en talleres previos

realizados por las autoras. Ver [6] y [7].

Conociendo la efectividad que tienen las formas de pensar y de proceder cuando se enfrenta un problema de tipo

topológico (ver [8]), se quiere dar a conocer algunos de éstos, mostrando la pertinencia educativa que tienen estas

técnicas, al igual que su eficacia en el establecimiento de manera intuitiva de algunos conceptos topológicos.

DESARROLLO

Referentes Teóricos

Pensamiento Lógico. Es aquel que se desprende de las relaciones entre los objetos y procede de la propia

elaboración del individuo. Surge a través de la coordinación de las relaciones que previamente ha creado entre los


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objetos. Se emplea para analizar, argumentar, razonar, justificar o probar razonamientos y posee características

como: es preciso, exacto, se basa en datos probables o en hechos, es analítico, sigue reglas, es racional, sensato y

secuencial. [9]

Pensamiento Lateral. Fue un término introducido en 1970 por el médico inglés especialista en psicología y

fisiología Edward de Bono. Es un tipo de pensamiento creativo y perceptivo; como su nombre lo indica, es aquel

que nos permite movernos hacia los lados para mirar el problema con otra perspectiva y ésta es una habilidad

mental adquirida con la práctica. El Pensamiento Lateral actúa liberando la mente del efecto polarizador de las

viejas ideas para estimular las nuevas, lográndolo a través de la perspicacia, la creatividad y el ingenio, procesos

mentales con los que se encuentra íntimamente relacionado. En lugar de esperar que estas tres características se

manifiesten de manera espontánea, De Bono propone el uso del Pensamiento Lateral como una técnica, de

manera consciente y deliberada. El Pensamiento Lateral es libre y asociativo. La información se usa no como fin

sino como un medio para provocar una disolución de parámetros o esquemas a los que se recurriría usualmente, y

su consiguiente reestructuración en nuevas y eficaces ideas. Estamos acostumbrados a pensar en una sola

dirección y dar por obvio algo que no lo es; el Pensamiento Lateral está concebido hacia la generación de distintas

direcciones del Pensamiento, ignorando paradigmas previamente establecidos. Asimismo, el Pensamiento Lateral

se fundamenta en la búsqueda de soluciones distintas para proceder ante un mismo problema, …en ser creativo,

pensar como un niño, imaginar lo que a nadie se le ha ocurrido y ofrecer soluciones y/o caminos diferentes frente

a una situación. [2]

Formas para pensar y para actuar

Permiten dirigir la atención a seis aspectos diferentes (sombreros) de una situación, los cuales pueden conducirnos

a tomar decisiones y actuar (zapatos).

Seis sombreros para el pensamiento. Sólo podemos usar un sombrero en cada ocasión. Permite al pensador hacer

una cosa por vez. Cuando el pensamiento es claro y sencillo, resulta ser más grato y eficaz. [3]

Sombrero blanco. Tiene que ver con la información disponible, es neutral y objetivo. Trata hechos, cifras,

necesidades y ausencias de opiniones o anécdotas del pensador que está usando el sombrero.

Sombrero rojo. Tiene que ver con la intuición, los sentimientos y las emociones. Permite exponer una

intuición o sentimiento sin tener que justificarla.

Sombrero negro. El negro es triste y negativo. El sombrero negro cubre los aspectos negativos: por qué

algo no se puede hacer.

Sombrero amarillo. El amarillo es alegre y positivo. El sombrero amarillo es optimista y cubre la

esperanza y el pensamiento positivo.

Sombrero verde. El verde es césped, vegetación y crecimiento fértil, abundante. Es el sombrero de la

creatividad: ideas nuevas, alternativas, propuestas, busca lo que es interesante, estímulos y cambios.

Sombrero azul. El azul es frío, y es también el color del cielo, que está por encima de todo. El sombrero

azul se ocupa del control y la organización del proceso del pensamiento. También del uso de los otros

sombreros.


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Seis pares de zapatos para la acción. Hay dos zapatos en un par. Podemos realizar una combinación de dos clases

de zapatos. [4]

Zapatos formales de color azul marino. Rutina, disciplina y procedimientos formales.

Zapatillas de deporte grises. Se relacionan con la exploración, la investigación y la reunión de evidencias.

El propósito es conseguir información y usarla.

Zapatos marrones. Están relacionados con lo práctico y lo pragmático. El problema se resuelve usando la

iniciativa, el comportamiento práctico y la flexibilidad.

Botas de goma naranjas. Se relacionan con las emergencias, las crisis y las situaciones de peligro.

Pantuflas rosadas. Se relacionan con la atención humana: la simpatía, la compasión y la ayuda. Se usan

cuando nos estamos dirigiendo a una persona o a un público con el fin de no herir susceptibilidades.

Botas de montar color púrpura. Forma de actuar relacionada con la autoridad civilizada. La persona no

está actuando por sí misma sino en un papel oficial. Se usan cuando estamos dirigiendo una actividad en

particular.

Aspectos metodológicos

El taller se iniciará con una experiencia sencilla de Pensamiento Lógico y su relación con el Pensamiento Lateral,

dando a conocer en qué consiste cada forma de pensar (sombreros) y cada forma de actuar (zapatos), para luego

invitar a cada asistente a abordar los diferentes acertijos topológicos propuestos, revelando la o las soluciones

encontradas, y los sombreros y zapatos que se colocaron para llegar a éstas. Finalmente se buscará identificar y

establecer de manera intuitiva el concepto topológico previsto para cada acertijo.

Acertijo Topológico N° 1

Los Cinco Ladrillos [5]

¿Puede dibujar la siguiente figura con solo tres trazos? No se permite pasar dos veces por la misma línea.


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Al trabajar este acertijo pensamos que se puede emplear la exploración, el análisis de los intentos realizados para

encontrar la solución y el uso de la iniciativa en la justificación de ésta (sombrero amarillo, sombrero negro y

zapatos marrones). Además, podremos identificar y establecer intuitivamente cuál es el objeto de estudio de la

Topología.

Acertijo Topológico N° 2

Grafos de Kuratowski [10]

Tres casas (A, B y C) quieren tener acceso a agua, electricidad y gas. Como resulta que los vecinos no se llevan muy

bien, cada uno quiere una conexión directa con la toma de la ciudad.

Además los cables y/o tuberías no se pueden cruzar en ningún punto. ¿Cómo han de colocarse las líneas?

La generación de propuestas, el uso de la iniciativa, el pragmatismo y la efectividad (sombrero amarillo y zapatos

marrones) son formas para pensar y para actuar, que posiblemente emplearán los asistentes al enfrentarse a este

acertijo. Además, pondremos en evidencia una solución poco usual en la que se recurre al máximo a la creatividad

y la provocación (sombrero verde). Con este acertijo podremos identificar y establecer intuitivamente el concepto

de grafo. Adicionalmente, complementaremos este concepto con una breve exposición de uno de los problemas

topológicos más importantes de la Matemática: Los cuatro colores.

Acertijo Topológico N°3

Tijeras [1]

Toma un pedazo de cuerda de aproximadamente un metro y anuda sus dos extremos. Pásalo a través de los “ojos”


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de las tijeras. Pídele a alguien que sostenga los extremos anudados de la cuerda. ¿Puedes sacar las tijeras sin cortar

ni desanudar la cuerda?

Es muy posible que la exploración de diferentes caminos en la búsqueda de soluciones utilizando la iniciativa

(sombrero verde y zapatos marrones) sea una excelente forma para pensar y para actuar en la búsqueda de

soluciones a este acertijo, pudiéndose identificar y establecer intuitivamente qué significa que dos objetos sean

homeomorfos.

Estos acertijos son topológicos porque no se tiene en cuenta las dimensiones y formas de los objetos que se

trabajan en cada acertijo.

CONCLUSIONES • El Pensamiento Lateral es un poder latente que todos tenemos; puede desarrollarse mediante el

entrenamiento, exigiendo solo un cambio de actitud mental y un enfoque abierto a la solución de problemas.

• El mundo necesita pensadores laterales, personas que den un nuevo enfoque a los problemas que se presentan

en todos los ámbitos de la vida.

• Los seis sombreros para pensar y los seis pares de zapatos para la acción son métodos sencillos y prácticos que

se pueden dar a conocer a diferentes personas independientemente de su grado de estudio. Sería interesante

poder aplicar estos dos métodos en diferentes clases de Matemáticas ya sea en la educación básica y media o en la

educación superior.

• El empleo de las formas de pensar con los seis sombreros y las formas de actuar con los seis pares de zapatos se

concreta aplicando el Pensamiento Lateral en la búsqueda de soluciones a los tres acertijos topológicos que

permiten la introducción de los siguientes conceptos topológicos:

Topología, grafo y homeomorfismo.

• Es posible pensar de una forma diferente a la convencional mostrando que se puede hacer Matemática de una

forma completamente distinta e innovadora.


70


BIBLIOGRAFÍA Alboukrek, A. (1999). Mega Destrezas y Desafíos. México: Larousse Ediciones. De Bono, E. (1970). El Pensamiento Lateral - Manual de creatividad. Barcelona: Paidós Ediciones. De Bono, E. (1999). Seis Sombreros para Pensar. Barcelona: Paidós Ediciones. Gardner, M. (1999). Matemática para Divertirse - Colección de Mente Juegos & Co, Buenos Aires: Zugarto

Ediciones. Martín, A. & Martín Sierra, M. (2011). El indomable Will Hunting. Obtenido de Cine y TV para la adquisición de las

competencias básicas en Matemáticas: http://www.doredin.mec.es/documentos/01720102007488will.pdf. Peña, L. (2008). Taller: ¿Es el Pensamiento Lateral una habilidad, secreta o compleja?. Tunja: XXI Jornada de

Matemáticas y Estadística, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Peña, L. & Quintero, É. (2009). Taller.: Hacia un súbito destello de perspicacia, creatividad e ingenio… ¿Realmente

pensamos?, Tunja: 2do. Congreso Internacional “Las Matemáticas un Lenguaje Universal - Alammi 2009”, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.

Quintero, É. (2010). Trabajo de Grado: El pensamiento lateral en la resolución de acertijos topológicos, Tunja:

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.


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COMUNICACIÓN BREVE UN APLICATIVO PARA LA ENSEÑANZA DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DEL CONSUMO EN

ECONOMÍA EMPLEANDO MATHEMATICA® Nicolás Marciales Parra

Matemático Universidad Santo Tomás Sede Bogotá [email protected]

Resumen

El presente trabajo ilustra el desarrollo de un aplicativo en Mathematica ®, para mostrar el problema de optimización del consumidor. En él se tiene una representación gráfica en el espacio y en el plano cartesiano de las funciones involucradas en el problema, junto con las variaciones de los parámetros que se trabajan en forma interactiva. Con esta herramienta computacional, se contribuye a mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje de áreas relacionadas con la optimización estática para de los estudiantes de pregrado de economía e ingeniería industrial.

Palabras clave: Consumidor, Mathematica, Microeconomía, Optimización, Utilidad.

Abstract The present work illustrates an applicative development in Mathematica® to shows the consumer optimization problem. There is a graphic representation in the space and Cartesian plane about functions involved in the consumer problem inside it, furthermore it shows variations over functions in an interactive way. Computational tool contributes to improve teaching – learning process of static optimization and related areas for economics and industrial engineering undergraduate students. Key words: Consumer, Mathematica, Microeconomics, Optimization, Utility

INTRODUCCIÓN

La microeconomía neoclásica como parte del estudio de la economía, es un área fundamental para que el estudiante comprenda las características de los objetos económicos desde un punto de vista no agregado. Dentro de ésta, se analiza el problema que subyace por las características de cada individuo como consumidor de bienes y servicios en términos de su elección, sus preferencias y su renta. El problema a desarrollar se plantea usualmente en un curso básico de microeconomía, sin embargo, para su análisis es necesario emplear herramientas matemáticas que se encuentran en un curso de cálculo vectorial, estas son el estudio de las funciones multivariadas y la optimización de las mismas con restricciones de igualdad. Dado que los textos sobre los cuales se desarrolla un curso de microeconomía básico, no contienen el formalismo matemático para describir las características que subyacen dentro del uso de funciones multivariadas (no están escritos para enseñar matemáticas), se presenta la necesidad de ilustrar al estudiante la relación que existe entre las funciones económicas que él usa y las funciones en varias variables, su representación gráfica y las variaciones de los parámetros de las mismas. Con este fin, el software Mathematica® posee dentro de sus comandos uno que puede describir las variaciones de los objetos con respecto a diferentes parámetros, el comando Manipulate, que se constituye en una base para realizar algunas de las demostraciones, con las que se puede explorar visualmente ideas en Mathematica®. Con ayuda de este comando, se crea una herramienta gráfica que puede contribuir en el proceso de enseñanza


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aprendizaje de los estudiantes de economía e ingeniería industrial que exploran particularmente el problema de la maximización en el contexto mencionado anteriormente. DESARROLLO Presentación del problema. Conforme a la teoría microeconómica convencional, le concierne a esta el estudio del comportamiento individual de los actores económicos, la agregación de sus acciones y los posibles resultados que ellos obtienen por la acción de otros (Kreps, 1990). Desde una perspectiva tradicional, los actores económicos se pueden dividir entre consumidores y empresas (para este caso solo se tendrá en cuenta a los consumidores). Estos actores económicos tienen un comportamiento completamente racional y toman decisiones (en el caso de los consumidores, se tiene una relación de preferencia que simula el gusto entre los bienes que puede elegir para consumir). Adicionalmente, la teoría neoclásica supone que los individuos con características similares se comportan de la misma forma, lo que supone la existencia de un agente representativo, que en condiciones ideales representa a cada consumidor. El consumidor posee preferencias sobre los bienes factibles que va a consumir, esto se denomina relación de preferencia racional

18. Basado en la relación de preferencia se construye una función de utilidad del consumidor

definida de que convierte la ordinalidad de la relación de preferencia en valores sobre . Esto es, si

representa la relación racional de preferencia del consumidor y es continua19

, entonces existe una función de

utilidad definida que cumple que: . Esto hace que si existen dos bienes, la función de

utilidad se representa como una superficie en el espacio. Las características sobre las funciones de utilidad del individuo son numerosas, conforme a lo que se desee analizar de las mismas (creciente, convexa ó cuasiconvexa, diferenciable, entre otras).

Figura 1. Un ejemplo de una gráfica similar a las propuestas por los textos

de microeconomía sobre el problema de la maximización de la utilidad Empleando la función de utilidad del consumidor, se introduce el estudio del problema de decisión del consumidor: Dada una función de utilidad , el problema del consumidor de buscar su cesta de consumo preferida, dado un

vector de precios y un nivel de renta , se puede resolver mediante el problema de maximización:

18 Relación binaria sobre vectores de que debe cumplir completitud: junto con la transitividad.

19 Para toda sucesión de parejas ordenadas donde y entonces se tiene que


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s.a

Para una simplificación del problema, suponemos que el consumidor emplea todo su nivel de renta, la restricción, llamada restricción presupuestal, se convierte en igualdad, lo que implica que el problema puede ser resuelto por el método de multiplicadores de Lagrange. La representación gráfica usual del problema anterior, se hace a través del desplazamiento de las curvas de indiferencia (las curvas de nivel de la función de utilidad) dada la restricción presupuestal fija. Como se observa en la figura 1. En libros con rigor matemático (Mas-Colell, Winston, & Green, 1995; Jehle & Reny, 2001) el problema se resuelve analíticamente

20, sin embargo, no existen representaciones gráficas sobre las funciones de utilidad y su

relación con el desplazamiento de las curvas de indiferencia. Construcción en Mathematica. Existen una gran variedad de software científico especializado para realizar diferentes tareas, sin embargo, existen pocos donde el usuario puede interactuar en forma tan variada como lo permite Mathematica, sin necesidad de emplear un lenguaje de programación como C o Java. Aunque otros software están en capacidad de realizar interacciones con los usuarios en diferentes formas (botones, mouse, barras de desplazamiento, etc.), Mathematica permite hacerlo en forma más sencilla

21.

El comando Manipulate en su forma simple viene dado por la instrucción:

Manipulate[expr,{u,umin,umax}] Donde u representa el parámetro que se quiere variar sobre el objeto llamado expr. Dado que el objetivo principal de la demostración es permitir que el estudiante observe los cambios sobre la función de utilidad, sus curvas de indiferencia y la restricción presupuestal del consumidor, lo que se desea ilustrar son los cambios en gráficas de superficies y curvas en el plano cartesiano. Las funciones de utilidad para dos bienes frecuentemente usadas en microeconomía son de tres tipos

22:

1. Cobb – Douglas: , con .

2. CES: ,

3. Leontieff23

: , con

Donde e corresponden a las cantidades consumidas de los bienes 1 y 2. Se supone además que se tiene un nivel

de utilidad constante para construir una curva de indiferencia, esto es un plano paralelo al plano xy, y para complementar el problema una restricción presupuestal:

20 En economía se llaman demandas marshallianas a la funciones solución del problema de maximización de la utilidad en términos de los

precios y la renta.

21 Aunque posee una estructura diferente a la mayoría, algunos procesos se pueden realizar en menor cantidad de líneas de código.

22 En algunos apartes de la teoría microeconómica se requiere que las funciones sean homogéneas de grado 1, por tanto los parámetros de las

funciones deben ajustarse para tal fin, aunque no siempre se tienen.

23 En Varian(1996) la función Leontieff viene dada por: , sin embargo la presentación dada es más conveniente para

unificar parámetros.

http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Manipulate.html


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Donde representan los precios de los bienes 1 y 2, y una renta .

Como se quiere que el estudiante pueda elegir entre los tres tipos de funciones, se construyen dos listas de tres elementos cada una, donde la primera está compuesta por las superficies respectivas, y la segunda por las curvas de nivel de cada una en forma paramétrica (Mathematica no permite expresar relaciones que no son funciones de forma directa y por ello es necesario escribirlas paramétricamente principalmente por la curva de nivel de la función de utilidad de tipo Leontieff, la cual no es en sentido estricto, una función en el plano cartesiano,

a diferencia de las otras dos). Finalmente se ubican y etiquetan los controles que permiten interactuar con los parámetros de las funciones y sus curvas de nivel. El resultado es el siguiente código en Mathematica: Manipulate[ funciones = List[2 xâlfa*y^(1 - alfa), (xâlfa + yâlfa)^(1/alfa), Min[x/alfa, y /beta]]; curvasindiferencia = List[{t, (curva/(2 tâlfa))^(1/(1 - alfa))}, {t, (curvaâlfa - tâlfa)^(1/alfa)}, {{curva*alfa + t, curva*beta}, {curva *alfa, curva*beta + t}}]; Grid[{{ Show[ Plot3D[funciones[[tipo]], {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, PlotStyle -> FaceForm[Yellow, Orange], PlotRange -> {0, 20}, Mesh -> 7, ImageSize -> Medium], Plot3D[curva, {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, PlotStyle -> FaceForm[Red, Orange], PlotRange -> {0, 20}, Mesh -> 7, ImageSize -> Medium], ParametricPlot3D[{t, -(p1/p2)* t + presupuesto/p2, z}, {t, 0, 20}, {z, 0, 20}, PlotRange -> {{0, 10}, {0, 10}, {0, 10}}, Mesh -> 7] ], ParametricPlot[{curvasindiferencia[[ tipo]], {t, -(p1/p2)* t + presupuesto/p2}}, {t, 0.01, 15}, ImageSize -> Medium, PlotRange -> {{0, 15}, {0, 15}}] }}], {{tipo, 1, "Función de Utilidad"}, {1 -> "Cobb-Douglas", 2 -> "CES", 3 -> "Leontieff"}, ControlType -> PopupMenu}, {{alfa, 0.5}, 0.01, 0.99, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{beta, 0.5}, 0.01, 0.99, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{curva, 1, "Nivel de Utilidad"}, 1, 20, Appearance -> "Labeled"}, {{p1, 1, "Precio del bien 1"}, 0.1, 5, Appearance -> "Labeled"}, {{p2, 1, "Precio del bien 2"}, 0.1, 5, Appearance -> "Labeled"}, {{presupuesto, 0, "Renta"}, 0, 50, Appearance -> "Labeled"}, ControlPlacement -> Left ] Con el código anterior, se obtiene una demostración en Mathematica que tiene la siguiente presentación:


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Figura 2. Función de Utilidad Leontieff

Figura 3. Función de utilidad Cobb – Douglas

Figura 4. Función de utilidad CES


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CONCLUSIONES

El uso de las TICs para la enseñanza todavía tiene muchas ramas abiertas, más cuando las herramientas son interactivas para el usuario. Se ha elaborado una demostración en Mathematica el cual es un software que tiene un gran potencial para elaborar demostraciones para complementar la enseñanza universitaria de muchas áreas del conocimiento, y que para el caso particular, permite complementar la teoría usual de los textos en microeconomía. Esto no significa que sea una única herramienta para enseñar el problema del consumidor, es fundamental que un docente explique el problema en forma apropiada y rigurosa, pero esta herramienta puede contribuir a afianzar al estudiante conceptos que son de gran importancia en las áreas del conocimiento que se trabajan. Visto desde la perspectiva de la teoría microeconómica, es un aplicativo que ilustra una primera aproximación al problema del consumidor, por tanto, futuros trabajos pueden complementarse con la ubicación interactiva del punto óptimo de la solución del problema, ilustrar las demandas marshallianas, el efecto sustitución y efecto renta, así como la tasa marginal de sustitución y otros conceptos económicos que se derivan del problema de elección del consumidor y de su función de utilidad, sin dejar de lado el rigor que demandan.

BIBLIOGRAFÍA Jehle, G., & Reny, P. (2001). Advance Microeconomic Theory. Addison Wesley. Kreps, D. M. (1990). A Course in Microeconomic Theory. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Mas-Colell, A., Winston, M., & Green, J. (1995). Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. Varian, H. R. (1996). Microeconomia Intermedia. Un Enfoque Actual. Cuarta Ed. Barcelona: Antoni Bosch Editor S.A.


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COMUNICACIÓN BREVE

SEMILLERO DE INVESTIGACIÓN SANTO TOMÁS DE AQUINO

Erika Johana Monroy Rodríguez Carlos Andrés Cely Vergara Javier Alfredo Dávila Cano

Estudiantes

Carlos Alberto Ramos Soler Lic. en Matemáticas y Estadística

[email protected]

Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino Duitama

Resumen

En la actualidad la investigación constituye un mecanismo a través del cual se llega a la construcción de conocimiento en diversos escenarios, es así como los semilleros de investigación en diferentes áreas permiten la interacción de estudiantes y docentes en el entorno académico, el presente trabajo pretende mostrar algo del trabajo que se viene desarrollando en el Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino de Duitama referente a investigación, en el documento se puede encontrar parte del documento de creación del semillero y algunas propuestas de trabajo que los estudiantes vienen trabajando.

Palabras clave: Semillero, Investigación, Matemáticas, Estadística, Educación

Abstract

At present research is a mechanism through which leads to the construction of knowledge in various scenarios, as well as the seed of research in different areas allow the interaction of students and teachers in academia, this paper aims to show some of the work that is being developed at the Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino of Duitama, the document can be found in the document creating the nursery and some proposals for work that students are working.

Key words: Seed, Research, Mathematics, Statistics, Education

INTRODUCCIÓN La creación y consolidación de grupos de estudiantes con propósitos en común (semilleros de investigación) permiten dar una nueva dinámica al proceso de adquisición del conocimiento en el entorno escolar, ya que dichos grupos permiten la participación activa del estudiante en la construcción del conocimiento a través de diferentes actividades orientadas por sus docentes, dichas actividades permiten la interacción estudiante – docente en un ambiente diferente al que comúnmente se conoce ya que estos semilleros son espacios de discusión y formación integral de carácter interdisciplinario, multidisciplinario y transdisciplinario, que amplía la interacción entre profesores y estudiantes con miras a fortalecer el progreso académico y científico. Los semilleros de investigación no se restringen a la formación investigativa de sus participantes sino que también ayudan a formar bachilleres de mayor calidad, de mayor capacidad de integración y de interlocución, con compromiso social y alto sentido de pertenencia por su institución.


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SEMILLERO DE INVESTIGACIÓN SANTO TOMÁS DE AQUINO

PRESENTACIÓN DEL SEMILLERO

En la actualidad la investigación constituye un mecanismo a través del cual se llega a la construcción de conocimiento en diversos escenarios, es así como los semilleros de investigación en diferentes áreas permiten la interacción de estudiantes y docentes en el entorno académico. Estos semilleros son grupos de trabajo conformados por docentes y estudiantes en formación interesados en una temática común. El semillero tiene como propósito la formación en aspectos básicos referentes al proceso de investigación tales como: Saberes específicos e interdisciplinares, uso de tecnologías y herramientas, formulación de proyectos, metodología de la investigación, redacción técnica, informes, artículos científicos etc., técnicas de comunicación para la socialización de proyectos en eventos, entre otros aspectos. El semillero de investigación surge de la necesidad de fomentar el hábito de la investigación en los estudiantes desde el colegio, además de brindar espacios de tipo académico en los cuales se aborden diferentes problemáticas que involucren a la comunidad académica del Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino. El semillero pretende brindar apoyo a; Estudiantes, mediante el fortalecimiento de grupos de trabajo liderado por los mismos estudiantes con el acompañamiento de docentes. Directivas, mediante investigación y desarrollo de proyectos acorde a las necesidades institucionales y en general a todas las áreas que de una u otra forma necesiten apoyo en procesos de investigación. Misión El semillero tiene como misión contribuir al desarrollo de procesos de investigación en las diferentes áreas del conocimiento en el entorno escolar de la comunidad educativa del Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino. Con tal propósito se formularán proyectos en las áreas con la participación de estudiantes y docentes. Visión El semillero se ve como un grupo de estudiantes y docentes que lideren la investigación a nivel escolar en la ciudad de Duitama, capaces de socializar sus resultados en eventos académicos regionales y nacionales. Objetivos Objetivo general Contribuir al desarrollo de la comunidad académica del Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino en el ámbito investigativo a través del desarrollo de proyectos en sus diferentes áreas del conocimiento.


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Objetivos específicos

Fomentar la participación de los estudiantes en grupos de trabajo Incentivar la actividad investigativa dentro de la comunidad académica Formular o ejecutar proyectos que respondan a las necesidades de la comunidad académica Permitir la interacción entre las áreas del colegio Divulgar los resultados obtenidos de las investigaciones en eventos académicos Integrarse a Colciencias a través del programa Ondas

Líneas de investigación

Matemáticas y estadística aplicada en el entorno escolar: Esta línea busca indagar y aplicar los conocimientos matemáticos y/o estadísticos que los estudiantes poseen en el bachillerato a problemas de su entorno.

Temas de investigación

Estadística descriptiva (Caracterización de variables en diferentes entornos) Algebra, trigonométrica y cálculo (Aplicación de algunos de los temas a problemasespecíficos)

Estrategias

Actividades de formación en investigación para docentes y estudiantes Encuentros semanales extra jornada Conversatorios con la comunidad académica a fin de identificar posibles problemáticas atrabajar Participación en proyectos interdisciplinarios Participar en la Jornada de matemáticas organizada por el colegio Publicación de avances de los diferentes temas de investigación en medios reconocidos Generar trabajos de grado

Algunas propuestas que se vienen trabajando Caracterización de los estudiantes de básica secundaria del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino Duitama El instituto técnico santo tomas de Aquino de Duitama recopila información básica en el momento de la matrícula de cada estudiante. A pesar de que tienen información de cada uno, aún no están totalmente informados de las necesidades básicas que poseen. Es preciso aclarar que no todos los estudiantes tienen las mismas facilidades de estudio y de investigación para responder adecuadamente, por tal razón se desea implementar un método para la ayuda de los estudiantes con dificultades, seleccionándolos para intentar ayudar y cambiar el estilo de vida y de fuentes para el desarrollo estudiantil, tanto en el rendimiento académico como en su aprendizaje. Mediante una serie de encuestas, se desea conocer aspectos importantes de los estudiantes de básica secundaria del instituto técnico santo tomas de Aquino tales como: facilidades de transporte, situación económica, relación familiar, localidad de la vivienda, estrato social. ¿Dicha información recopilada del proyecto beneficiara en algo a la institución?


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Tanto los docentes, como las directivas deben tener un buen conocimiento acerca de las necesidades que tienen en casa los estudiantes, si se les facilita o se les dificulta el material o implementos para responder con el estudio. Objetivo general Caracterizar a los estudiantes del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino sede bachillerato. Objetivos específicos

Realizar una serie de encuestas Elaborar una base de datos con la información obtenida Elaborar el informe final del proyecto de investigación. Tabular los datos obtenidos Realizar el debido estudio estadístico para analizar los resultados

Matemática musical En la naturaleza podemos observar que las matemáticas están presentes en todos los aspectos y campos de la vida en el universo; dentro de estos dichos aspectos podemos encontrar a la música como una manifestación cultural de la humanidad, la cual no es ajena a las matemáticas y la cual posee una estrecha y muy cercana relación con esta. Se pueden citar y sustentar algunos ejemplos de la relación anteriormente mencionada como:

Se puede deducir primeramente que al igual que las matemáticas, que posee entes abstractos (los números), la música también los posee, pero en forma de sonido que son las notas musicales (Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si); estos dichos entes abstractos también tienen una jerarquía, un valor, un orden absoluto y universal.

Otra relación que se observa entre las matemáticas y la música es el de las vibraciones propias de cada

nota en una cuerda, como por ejemplo la cuerda La tiene una frecuencia de 440 Hz (Hertz), lo cual hace el sonido único. La relación está dada en que tenemos que numerar las vibraciones de dicha cuerda a través de las matemáticas, del conteo.

¿Cuál es la influencia que podría tener el uso de la música como una herramienta para el aprendizaje de las matemáticas? Desde tiempos remotos el hombre ha querido saber más acerca de los diferentes fenómenos que acontecen en el medio que lo rodea, para alimentar la curiosidad natural que se despierta en su capacidad de razonar. En la actualidad, se puede ver en un contexto muy ligado a nosotros (los estudiantes y los profesores) que en muchas de las asignaturas vistas en el plantel, los estudiantes muestran una actitud muy negativa hacia al aprendizaje de dichas materias. Con esta investigación se quiere plantear la música como una herramienta para el aprendizaje de estas materias. Principales personajes que han influido en la historia de las matemáticas.

Hay muchos personajes que le han aportado a las Matemáticas para que su estudio no sea tan complejo, Los estudiantes del grado noveno del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino no se sabe o no tienen conocimiento de los principales personajes que han influido en la historia de las matemáticas. Ha ocurrido que cuando se les pregunta a algunos estudiantes por qué un proceso matemático lleva el nombre de algún personaje mencionado quedan perdidos y piensan que el nombre asignado a este proceso es un nombre cualquiera que no tiene nada que ver con dicho proceso o que el nombre fue escogido al azar. No se sabe si los estudiantes de noveno del


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Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino tengan conocimiento acerca de los principales personajes de la historia de las matemáticas por este motivo se quiere realizar una encuesta que se llevará a datos estadísticos para tener conocimiento del nivel de estos estudiantes y de acuerdo a esto se procederá a realizar el proyecto de investigación. El aspecto central del tema de investigación es los principales personajes de la historia de las matemáticas porque en este aspecto es en el que se basa la mayoría de teoría que se ha estudiando en los diferentes cursos. La incógnita que se plantea en el problema es ¿Será que los estudiantes de noveno del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino tienen conocimiento acerca de los principales personajes de la historia de las matemáticas?, Objetivos Objetivo general Dar a conocer a los estudiantes de grado noveno del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino la importancia de los principales personajes que han influido en la historia de las matemáticas, para mejorar sus conocimientos adquiridos a lo largo del bachillerato. Objetivos específicos

Determinar el interés por los principales personajes de la historia de las matemáticas.

Realizar las pruebas diagnosticas para determinar el nivel en el que están los estudiantes de noveno del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino.

Realizar los talleres lúdicos para mejorar el nivel de los estudiantes de noveno del Instituto Técnico Santo

Tomas de Aquino.

Mejorar el conocimiento de historia en las matemáticas en los grados noveno del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino.

Realizar encuestas a lo largo del año 2012.

Elaborar el informe final del Proyecto de Investigación.

Incentivar la historia de las matemáticas en los grados novenos del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino.

Mejorar el compañerismo e incentivar la armonía entre los estudiantes del Instituto Técnico Santo Tomas

de Aquino Virtual mathematics Virtual mathematics will be created to be taken into account by the students of 10 and 11 of the Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino of the specialty of mathematics in which you/they are planned to go up the projects of the specialty of mathematics to it paginates it of the school so that the students have an example to continue of the projects that their partners have presented it is for this reason that we see the necessity that for, him less the relating projects to the modality of mathematics


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are entered in a link inside of the page of the institution. Since this not alone it would preserve the work that the students carry out with so much care but rather in turn it would allow the whole student population to be informed of these and the legacy was preserved this way ma and it would contribute to that this information is diffused all and favor with the evolutionary process and of formation of each one of the students and people that enter to the page of the institution in an or another way. To carry out our project we have to follow the following steps

to look for the projects to write the projects in the computer to create a blok to go up them paginates it of the school

Influencia de los vicios en el rendimiento académico de los estudiantes Planteamiento del problema En la adolescencia se atraviesan por muchos cambios, entre estos se pueden mencionar; la apariencia de los jóvenes cambia, debido a los eventos hormonales de la pubertad; el cuerpo se transforma en el de un adulto. También cambia su pensamiento y se vuelven muchos más competentes para pensar, sus sentimientos cambian casi del todo y se enfrentan a la tarea más importante que es: Lograr la identidad, volverse más independiente y a tomar decisiones propias. La rapidez del crecimiento físico y el desarrollo pueden influenciar los aspectos de la vida del adolescente, así los efectos de la edad en la cual comienzan los cambios de la pubertad, combinados con las formas en que los amigos, los compañeros, las familias y la sociedad en general responden a estos cambios, pueden tener efectos a largo plazo sobre un adolescente, es así como a medida que el niño se convierte en adolescente se encuentra con diferentes elementos que pueden incidir en su desarrollo. En este contexto en el medio hay diferentes vicios o hábitos que afectan el desarrollo de los adolescentes y que pueden llegar a afectar el rendimiento académico de los estudiantes entre otros aspectos Pregunta de investigación ¿Los vicios afectan el rendimiento académico de los estudiantes de la institución santo tomas de Aquino? Estos son algunos trabajos que los estudiantes del instituto Técnico Santo Tomas de Aquino vienen desarrollando dentro de la especialidad de matemáticas y Estadística.

CONCLUSIONES El desarrollo de cada uno de los proyectos ha sido un buen ejercicio para los estudiantes como preparación a futuros proyectos que tendrán que presentar como requisito de grado en una Universidad y en general en cualquier otro contexto. Mediante el desarrollo de cada uno de los proyectos escogidos por los estudiantes se ha venido profundizando en temáticas que de otra manera no serían abordadas en el desarrollo normal del planeamiento curricular. La puesta en marcha de este tipo de proyectos permite la interacción entre los docentes y los estudiantes de una manera colaborativa, creando con esto ambientes de aprendizajes óptimos para los estudiantes.


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COMUNICACIÓN BREVE EL DOBLADO DE PAPEL COMO UNA HERRAMIENTA PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Eliana Castillo García Mauricio Barrera Mesa

Estudiantes de octavo semestre Licenciatura en Matemáticas y Estadística Universidad Pedagógica Y Tecnológica De Colombia

Facultad Seccional DUITAMA [email protected]

[email protected]

Resumen La presente comunicación muestra la utilización del doblado de papel como recurso didáctico para la enseñanza de la geometría en los primeros años de educación secundaria. Es un trabajo teórico práctico donde el doblado de papel se toma como una herramienta de aprendizaje, en este caso con la geometría. Se presentan sus beneficios y cualidades para la enseñanza, las habilidades que desarrollan su utilización y los contenidos que se pueden trabajar con él. La segunda parte de la comunicación muestra la experiencia manual de trabajar con el doblado de papel de manera didáctica y eficaz aplicando conceptos básicos de geometría y por qué no, reforzar el conocimiento de conceptos básicos usando una hoja de papel como herramienta de trabajo, produciendo un resultado visible que es al mismo tiempo llamativo y satisfactorio como ejemplo de “aprendizaje esquemático”.

Palabras clave: doblado de papel, geometría, didáctica.

INTRODUCCIÓN

El trabajo tiene como propósito mostrarle al docente una herramienta para la enseñanza básica de la geometría; con el fin de que le permitan explorar, experimentar y desarrollar habilidades y destrezas necesarias para su acción eficaz y constructiva en la clase de geometría. Al mismo tiempo solucionar la falta de aplicaciones didácticas apropiadas para el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría, planeando, elaborando, ejecutando, reflexionando y discutiendo de manera crítica y fundamentada su pensamiento teórico en relación con la problemática que gira en nuestro entorno.

DESARROLLO

El doblado de papel una alternativa

En la comunidad académica se han desarrollado varios estudios investigativos en los que autores como Noraisa González Gonzalez, Víctor Larios Osorio (1997), el modelo pedagógico del matrimonio Holandés van hiele adaptado al a teoría de solidos a partir de una descripción que hace Treffers(1987) en los que han afirmado que es importante trabajar con el doblado de papel, la construcción de figuras a partir de conceptos geométricos, porque les permite a los alumnos reflexionar y reforzar conceptos básicos de la geometría mediante el método deductivo. De ahí la pertinencia de la aplicación del doblado de papel en el trabajo que realizan los docentes en el aula de clase, es importante que como futuros profesores reflexionemos sobre la importancia de este tema que como se analizó en el curso de didáctica IIdirigido en la universidad pedagógica y tecnológica de Colombia,no solo se basaban en clases dirigidas única y exclusivamente en el tablero, con marcadores,de forma mecánica. Las cuales seguían un procedimiento al pie de la letra del libro guía con un amplio relleno de conceptos y la escases de implementación de nuevas estrategias provocando así un poco gusto de la geometría, quitándole la importancia que esta merece.

En las últimos años se han ocasionado muchos cambios en los métodos de enseñar la Geometría, que ya no puede




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verse únicamente desde su estructura puramente formalista y deductiva, sino que debe dar cabida a nuevas formas de acercarse y trabajar con los contenidos geométricos. Vemos como se han implementado software, origami, tangram, doblado de papel y diferentes materiales didácticos que facilitan mostrarle al alumno nuevas formas de adquirir el aprendizaje; ya que se conciben como herramientas didácticas, las cuales permiten al estudiante visualizar algunos conceptos de diferente índole a partir de actividades, previamente planificadas por el docente.

Entre sus bondades destacamos

El desarrollo de habilidades motoras finas y gruesas, pensamiento lateral, percepción espacial, la generación de ambientes de aprendizaje que incentivan la motivación, la creatividad y el dinamismo en el proceso enseñanza-aprendizaje y otras como:

Dar al profesor de matemáticas una herramienta pedagógica que le permita desarrollar diferentes contenidos no solo conceptuales, sino también procedimentales, también desarrolla habilidades motoras finas y gruesas que a su vez permitirá al alumno desarrollar otros aspectos.

Desarrollar la destreza manual y la exactitud en el desarrollo del trabajo, y precisión manual. Une la matemática con otras ciencias como las artes por ejemplo:Motiva al estudiante a ser creativo ya

que puede desarrollar sus propios modelos e investigar la conexión que tiene con la geometría no sólo plana sino también espacial.

El doblado de papel no es solamente divertido sino que es un método valioso en el desarrollo de habilidades o destrezas básicas.

Las reglas para el doblado de papel son las siguientes

No se pueden hacer trazos con lápiz en la hoja de papel. Sólo marcaremos puntos determinados por dobleces (cada doblez de la hoja determina una recta), o puntos dados de

antemano.

Que se pretende con el doblado del papel La comunicación pretende reforzar el conocimiento de conceptos geométricos básicos usando hojas de papel en las que se aplican una serie de acciones de doblado por medio de las cuales desarrollamos conceptos propios de la materia y permitimos a los estudiantes reforzar su conocimiento a través de la práctica.

Queremos mostrar las ventajas de trabajar con el doblado de papel en la clase geometría con el sentido de realizar experiencias que permitan al estudiante generar otros ambientes de aprendizaje.Propiciando el desarrollo de competencias propias del pensamiento geométrico.

Partiendo de material muy sencillo como lo es una hoja de papel, la cual se puede convertir en una herramienta didáctica asociada a la adquisición de conceptos geométricos elementales como: punto, segmento, recta, perpendicular, paralela, mediatriz, bisectriz, ángulos rectos y figuras geométricas tales como rectángulos, cuadrados y triángulos etc... De los más básicos a los más complejos conociendo cada una de sus características de un amanera sencilla y eficaz.

Desarrollo de la actividad

Pretendiendo involucrarlos un poco más a fondo en el tema del doblado de papel se realizarauna actividad en la cual por medio de conceptos geométricos, en 17 pasos fáciles de aplicar obtenemos una réplica de una tortuga y desarrollamos las siguientes destrezas en los asistentes. Habilidades de comportamiento


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El doblado de papel es un ejemplo de “aprendizaje esquemático” a través de la repetición de acciones. Para lograr el éxito, el asistente debe observar cuidadosamente y escuchar atentamente las instrucciones específicas que luego llevará a la práctica. Este es un ejemplo en el cual los logros del asistente dependen más de la actividad en sí que del ponente. Aprendizaje en grupo El doblado de papel es muy adecuado para trabajar en salón con 20 o más asistentes En un ambiente de diversas edades, el doblado de papel tiende a eliminar las diferencias de edad. Desarrollo cognitivo A través del doblado, los asistentes utilizan sus manos para seguir un conjunto específico de pasos en secuencia, produciendo un resultado visible que es al mismo tiempo llamativo y satisfactorio. Los pasos se deben llevar a cabo en cierto orden para lograr el resultado exitoso: una importante lección no sólo en matemática sino para la vida. Piaget sostenía que “ la actividad motora en la forma de movimientos coordinados es vital en el desarrollo del pensamiento intuitivo y en la representación mental del espacio”.

CONCLUSIONES:

Habilidades de comportamiento:

El doblado de papel es un ejemplo de “aprendizaje esquemático” a través de la repetición de acciones. Para lograr el éxito, el asistente debe observar cuidadosamente y escuchar atentamente las instrucciones específicas que luego llevará a la práctica. Este es un ejemplo en el cual los logros del asistente dependen más de la actividad en sí que del ponente. Aprendizaje en grupo El doblado de papel es muy adecuado para trabajar en salón con 20 o más asistentes En un ambiente de diversas edades, el doblado de papel tiende a eliminar las diferencias de edad. Desarrollo cognitivo A través del doblado, los asistentes utilizan sus manos para seguir un conjunto específico de pasos en secuencia, produciendo un resultado visible que es al mismo tiempo llamativo y satisfactorio. Los pasos se deben llevar a cabo en cierto orden para lograr el resultado exitoso: una importante lección no sólo en matemática sino para la vida. Piaget sostenía que “ la actividad motora en la forma de movimientos coordinados es vital en el desarrollo del pensamiento intuitivo y en la representación mental del espacio”.

BIBLIOGRAFÍA

González, N. Larios., V. (1997),”El doblado del papel: una experiencia en la enseñanza de la geometria”

Gutiérrez, Á., Jaime, A. (1991) “El modelo de razonamiento de van Hiele como marco para el aprendizaje compresivo de la geometría ” En: Revista EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Vol. 3. P. 49


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COMUNICACIÓN BREVE PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS POSICIONALES

Sandra Jazmín Tovar Espinel , Wilmer Merado Gómez Blanco Licenciada en Matemáticas , Licenciado en Matemáticas

Colegio Dulce Corazón de María – Villa de Leyva , Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia - Tunja [email protected] , [email protected]

Resumen

Se analiza como a través de la aritmética en diferentes sistemas de numeración posicional, se fomenta, desarrolla y promueve el pensamiento numérico. Observando que cuando uno se ve enfrentado a situaciones de trato numérico, suele convertir la resolución de un problema en la solución de algoritmos; no se analiza, en cambio si se opera. Se busca que mediante bases numéricas diferentes al decimal, se analicen y comprendan los principios posicionales implícitos al operar. La investigación se centra en tres pilares que contribuyen a desarrollar el pensamiento numérico, tomados del Ministerio de Educación Nacional y del investigador Luis Rico Romero y su grupo de investigación, los cuales son:

Comprensión de los números y de la numeración. Comprensión del concepto de las operaciones.

Cálculos con números y aplicaciones de números y operaciones.

Palabras clave: Aritmética – Sistema posicional – Pensamiento numérico - Principio posicional

Abstract

It is analyzed since the arithmetic in different systems of positional numeration is promoted and developed the numerical thought. Observing that on having faced situations of numerical treatment, it is turning the resolution of a problem into the solution of algorithms; it is not analyzed, on the other hand if it is occurred. It is Search that through different numerical bases to the decimal, it is analyzes and understand the positional implicit beginning to operate. The investigation centre’s on three props that help to develop the numerical thought, taken of the Department of National Education and of the investigator Luis Rico Romero and his group of investigation

Comprehension of the numbers and of the numeration Comprehension of the concept of the operations Calculations with numbers and applications of numbers and operations

Key words: Arithmetic – Positional system - numerical thought - Positional beginning

INTRODUCCIÓN El aprendizaje de la aritmética es un hecho social, establecido por el nivel de progreso y desarrollo de cada

comunidad, se hace desde tiempos remotos cuando nace la necesidad cultural de contar y calcular, ya sea

queriendo canjear mercancías, saber cuánto tengo y cuánto necesito hasta manejar la contabilidad de

organizaciones o estados. Esto lo vemos desde la división clásica del saber con el Trivium conformado por la

retórica, lógica y gramática y el Quadrivium por la aritmética, geometría, música y astronomía donde cada una de

ellas era de obligatorio estudio para la vida en sociedad.

La investigación realizada pretendió fortalecer el pensamiento numérico, tomando como referencia las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación, división) entre números naturales, en los sistemas de numeración


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posicionales: binario, ternario, cuaternario, quinario y senario; un tema poco estudiado y de cierta forma aislado o tomado como comparación ante nuestro sistema de numeración. Inicia teorizando los sistemas de numeración, y su utilización a lo largo de la historia, llegando a los sistemas posicionales, que se toman como objeto de estudio; se indaga y surge el querer operar en dichos sistemas.

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS POSICIONALES Es bien sabido que la matemática y principalmente la aritmética es primordial en el desarrollo diario de cada

persona, por ello desde la escuela se debe motivar hacia un aprendizaje útil para el futuro; lo estudiado debe estar

bien fundamentado y consolidado para no ser un aprendizaje del momento y en cambio poder emplear el

conocimiento en las diferentes actividades cotidianas, de ahí el querer fortalecer el pensamiento numérico en los

estudiantes.

Se observa que al transcurrir el tiempo, se está tan acostumbrado a la aritmética en el sistema decimal que el

contar y operar pasa a ser algo repetitivo y transmisivo, olvidando el grado de complejidad que se tuvo al empezar

a estudiar. Al enfrentarse a situaciones problema que requieren un tratamiento numérico, los estudiantes se

limitan a aplicar un algoritmo y no analizan la situación planteada, concibiendo la matemática como la simple

ejecución de algoritmos, sin reflexionar en los procesos generales de la actividad matemática. Esto se ve en casos

como cuando realizando una sustracción se utiliza la expresión “Le prestó una” se toma tan general que no se

analiza, por ejemplo cuando se tiene 156 – 49 se dice como 6 < 9 al 6 le prestó una y queda convertido en 16, uno

se pregunta ¿si 6 le prestan una no se convierte en 7?

La investigación se compone de una parte teórica y una práctica. En principio se realizó una consulta exhaustiva de

los sistemas de numeración y su utilización en las diferentes culturas mundiales, lo que condujo a los sistemas

posicionales exactamente a los sistemas Binario, Ternario, Cuaternario, Quinario y senario. Se estudió el modo de

operar en cada sistema, al encontrar poca información y que siempre se compara ante el decimal, se organizó y

complementó la teoría de cómo operar en cada base numérica independientemente y qué diferencias y similitudes

se encuentran con los sistemas de numeración aditivos e híbridos.

Es bien sabido que con un buen enfoque de la aritmética se desarrolla el pensamiento numérico y que para ello no

es suficiente operar a la perfección; se tomó al Doctor Luis Rico Romero como autor principal y a partir de tres

postulados que el plantea para fomentar este tipo de pensamiento se empezó a desarrollar el trabajo.

Reconocer el significado de la operación en situaciones concretas. Reconocer los modelos más usuales y prácticos de las operaciones. Comprender el efecto de cada operación y las relaciones entre operaciones.

Queriendo poner a prueba la teoría y fomentar el pensamiento numérico en una población en especifico se trabaja

con 24 estudiantes de grado VI de la Institución Educativa Ecológica San Francisco del municipio de Cómbita-

Boyacá, para ello se planean y ejecutan diferentes clases-taller, ayudados de los referentes: Etapas del aprendizaje

de las matemáticas de Zoltan Dienes, Resolución de problemas de George Polya, Constructivismo y Pensamiento

Numérico según Luis Rico romero.

Para cada sistema numérico se planeó, diseñó y elaboró un material, el cual permite de una manera ágil y práctica

realizar las cuatro operaciones básicas. El material es una especie de Yupana Inca adaptada a los sistemas Binario,

Ternario, Cuaternario, Quinario y Senario; en el cual representar las cantidades se convierte en aplicar los principios


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posicionales, a continuación se muestra un ejemplo en el sistema cuaternario donde se tienen una cantidad de

tapas y se necesita saber cuántas son:

Se tienen estas tapas

¿Qué cantidad de tapas hay?

Se ubican en el material diseñado y este nos indica cuantas son:

Cuadro 1. Ejemplo del material en cuaternario.

Respuesta: hay 1034 tapas.

Se trabajó con los estudiantes cada base numérica como un sistema autónomo, sin compararlo con los demás,

realizando las cuatro operaciones básicas y observando las particularidades propias de cada sistema.

Como cada base numérica objeto de estudio es un sistema posicional, se enfatizó en los siguientes principios

posicionales:

Principio fundamental

En cualquier sistema de numeración se pueden escribir todos los números con tantas cifras como tenga la base

(incluyendo el cero). Es decir en el sistema de base n, con n cifras 0, 1, 2, 3,…, n-1 se pueden representar todos los

números.

Principio de orden

En un número toda cifra posee un orden que usualmente se cuenta de derecha a izquierda, al contrario que el lugar

de la cifra que se toma de izquierda a derecha.

Principio de valor relativo

Una cifra a la izquierda de otra constituye unidades tantas veces mayores a las que constituye la anterior como

unidades tenga la base.


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Principio de la base

La base en un sistema de numeración es un número entero mayor que la unidad que establece la cantidad de

guarismos del sistema y la forma de agrupar para convertir el número de determinada base a decimal. En el

sistema en base “n” se pueden emplear “n” cifras diferentes que son: 0, 1, 2,… , (n-1).

Principio posicional

En un número toda cifra posee un valor posicional dependiendo de la base:

Al concluir la investigación se observa como desde de la escuela se debe repensar el enfoque que se le da a la aritmética, no es solo enseñar a sumar, restar, multiplicar y dividir; antes de ello se debe comprender la noción de número, de cantidad, el significado de cada operación y cada algoritmo que se aplica.

CONCLUSIONES El estudio y análisis de la historia de la aritmética ayuda a comprender los obstáculos didácticos y

epistemológicos que se presentan en su evolución, haciendo más sencillo enfocar la enseñanza de esta rama de la matemática.

El material presentó gran acogida, es adecuado, de fácil entendimiento y motivador para el trabajo de la aritmética; pero sobre todo para el estudio de los números y el trato ante la adición y sustracción; gracias a él y al enfoque didáctico expresado se permite a los estudiantes construir conceptos aritméticos sólidos a partir de manipulación y experiencia.

El material además de ser adecuado para lo realizado, también lo es para el trabajo de conversión entre las diferentes bases numéricas con el sistema decimal y viceversa, esto sustentado en conjeturas, recomendaciones y aportes tanto de los estudiantes del grado 6° como en los docentes del área de Matemáticas que manipularon el material.

Estudiando varios sistemas numéricos posicionales se puede contribuir no sólo al análisis y concientización de los principios que aplicamos en el sistema decimal si no también al manejo de otros sistemas que fortalezcan el pensamiento numérico del estudiante.

Al trabajar con la aritmética en diferentes sistemas posicionales se reflexiona que no son solamente cuatro operaciones básicas y otras complementarias sino que también entra en juego comprender los números, sus conceptos y el significado que cada número posee dentro de una situación determinada.

BIBLIOGRAFÍA Castro, E., Rico., L., y Castro E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Grupo Editorial

Iberoamericana. México.

Tovar, S., Gómez, W. (2010). Pensamiento Numérico a través de la Aritmética en diversos Sistemas Posicionales. Trabajo de Grado. Licenciatura en Matemáticas. UPTC.


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COMUNICACIÓN BREVE GRÁFICOS EXISTENCIALES ALFA

Sandra Jazmín Tovar Espinel, Wilmer Merado Gómez Blanco Licenciada en Matemáticas, Licenciado en Matemáticas

Colegio Dulce Corazón de María – Villa de Leyva , Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia - Tunja

[email protected] , [email protected]

Resumen

En el trabajo se presentan los Gráficos Existenciales Alfa propuestos por Charles Peirce equivalentes al cálculo proposicional en lógica clásica.

Palabras clave: Gráfico Existencial – Regla de Transformación

Abstract

In the work is presented the existential graphs Alpha Proposed by Charles Pierce equivalent to the propositional calculation in classic logic.

Key words: Existential graph - Rule of transformation

INTRODUCCIÓN

El filósofo, lógico y científico estadounidense Charles Sanders Peirce en el siglo XIX desarrollo un sistema de diagramas en lógica los cuales denomino gráficos existenciales, el cual se divide en tres subsistemas los cuales tienen su equivalente en la lógica clásica.

Sistema Alfa. (Cálculo Proposicional) Sistema Beta (Cálculo de Predicados) Sistema Gama (Lógicas Modales)

Estudiaremos el sistema alfa, el cual consiste en figuras bidimensionales a través de las cuales se puede leer, escribir y calcular formulas proposicionales. Para ello Peirce introdujo unos símbolos, convenciones de escritura y reglas de transformación, a través de ello realizaremos todas las deducciones sin necesidad de reglas de inferencia ni tautologías.

GRÁFICOS EXISTENCIALES ALFA

Los gráficos existenciales alfa nos permiten representar razonamientos con proposiciones en forma de diagramas, para lo cual manejamos tres símbolos:

Hoja de aserción: Es la superficie sobre la que se escribe: una hoja o tablero; matemáticamente representa el dominio de los objetos a tratar.


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Letras proposicionales: Letras mayúsculas (gráficos) que representan las expresiones proposicionales en lógica.

Cortes: Son curvas simples cerradas que se escriben en la hoja de aserción.

FUNDAMENTOS. Lectura y Escritura.

Escribir un gráfico en la hoja de aserción es afirmarlo. P P

Escribir uno, dos o más gráficos significa afirmarlos a todos. P y Q y R P Q R

Cercar un gráfico en un corte significa negarlo.

No P Apartir de estos fundamentos podemos establecer unos enlaces básicos e incluso se puede observar diferentes lecturas de los gráficos. P y Q P Q

No P

P y no Q

P implica Q También se puede leer: No ( P y no Q)

P o Q Observemos que también se puede leer: No ( no P y no Q) (no P) implica Q (no Q) implica P PARIDAD Un área es una región de la hoja de aserción delimitada por cortes. Un área se dice par o impar dependiendo del número de cortes que la rodean.


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REGLAS DE TRANSFORMACIÓN ALFA En los diagramas propuestos por Charles Peirce se pueden realizar operaciones, las cuales se realizan a través de las siguientes reglas. B. Regla de Borramiento (par) Un gráfico en un área par se puede borrar.

Si P implica ( Q y R ) en particular P implica R

E. Regla de Escritura (impar) Un gráfico puede escribirse en un área impar.

Si P implica Q se tiene P y R implica Q

I. Regla de Iteración (no en sí mismo) Un gráfico puede repetirse en su área o en cortes realizados en la misma, siempre y cuando no formen parte del gráfico que se va a iterar.

Si P implica Q se tiene P implica ( P y Q)

D. Regla de Desiteración Un gráfico que pudiera ser resultado de iteración, puede borrarse.

Si P y ( P implca Q) entonces P y Q

C. Corte doble El corte doble puede ser escrito o borrado alrededor de un gráfico en cualquier área.


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A partir de los fundamentos y reglas anteriores podemos realizar cualquier deducción dentro del sistema alfa (cálculo proposicional). Obviamente se empieza con deducciones que requieren la utilización de pocas reglas, para la presentación de este formato de ponencia realizamos una deducción que mezcla varias reglas. + Premisas: P implica Q , P o R , no R Conclusión: Q

CONCLUSIONES

Los gráficos existenciales alfa de Charles Peirce son todo un sistema lógico, diagramático y formal que posee ciertas ventajas al estudiar el cálculo proposicional y donde no se necesitan conocer tantas reglas como lo son las tautologías clásicas, ya que todo se deduce de las cinco reglas de transformación alfa.

Para un primer curso de lógica se tiene la opción de alternar los gráficos alfa y el cálculo proposicional (lógica clásica) en búsqueda de una mejor comprensión y fortalecimiento de los conceptos.

BIBLIOGRAFÍA Zalamea, F. (1997). Lógica Topológica: Una introducción a los gráficos existenciales de Peirce. XIV Coloquio Distrital

de Matemáticas y Estadística. Bogotá, Colombia: Universidad Pedagógica Nacional.


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COMUNICACION BREVE CONSTRUCCIÓN DE UNA LÓGICA TRINARIA CON LA HOJA DE CÁLCULO DE EXCEL

William Jiménez Magister en Docencia de las matemáticas.

[email protected] Sergio Pachón, Paola Martínez, Paula Moreno, Daniel Duque

Estudiantes Educación Básica Secundaria. [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Instituto Pedagógico Nacional

Resumen

Nuestro trabajo está basado en el proyecto realizado por los estudiantes de la promoción 2010 del Instituto Pedagógico Nacional del énfasis de matemáticas, que consistió en analizar los 16 conectores lógicos generados a partir de la disyunción (V) y la negación (¬). Este trabajo dio las herramientas para dar inicio a nuestro proyecto, que radica en generar un sistema “trinario”, investigando el comportamiento y propiedades de cada uno de los conectores lógicos resultantes de tres valores de verdad y sus negaciones existentes. Buscamos cuál de las posibles negaciones mantiene las mismas propiedades en el sistema trinario con respecto al binario.

Palabras clave: Sistema trinario, lógica.

Abstract

Our work is based on the project by students from the Class of 2010 National Pedagogical Institute of the emphasis on mathematics, which was to analyze the logical connectors 16 generated from the disjunction (V) and negation (¬). This work gave the tools to begin our project, which lies in generating a "trinary" investigating the behavior and properties of each of the logical connectors resulting from three values of truth and his denials exist. We are looking for which of the possible negatives maintains the same properties in the trinary system with respect to binary.

Key words: Trinary system, logic.

INTRODUCCIÓN Para comenzar a generar el sistema trinario, definimos la operación , con tres valores de verdad, tomando 0 como

verdadero, 1 como neutro y 2 como falso, tratando de mantener las propiedades que se dan con sólo dos valores de verdad. Teniendo esta tabla, se buscó representar esta operación en Excel por medio de la función RESIDUO (multiplica los números, luego lo divide entre tres y finalmente da el residuo en módulo 3) con la intensión de programar las otras tablas, con la cual logramos determinar la primera tabla de disyunción ( ):

Se puede observar que la tabla 1 cumple las características de la disyunción ( ) como: conmutativa, modulativa,

asociativa.

Tabla 1





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DESARROLLO Después de observar estas propiedades, definimos una negación inicial para programar, de modo que si esta tabla de negación es afectada cambiando sus términos entonces todas las otras tablas definidas por ésta y por la tabla de disyunción, también se verán afectadas. Utilizando estas dos tablas comenzamos a definir nuestras 15 tablas de verdad faltantes. Primero, comenzamos con las que necesitaban de pocas transformaciones como por ejemplo las operaciones número: 1-2-4-7 las cuales seguimos trabajando y con ellas generamos las otras 15 proposiciones:

Con base a las tablas anteriores logramos programar en Excel algunas tautologías básicas que se cumplen en el sistema binario, con la intención de analizar y comprobar si estas proposiciones siguen siendo tautologías dentro del sistema trinario, para lo cual hay que probar con cada una de las negaciones biyectivas y, así determinar en qué casos se cumplen más tautologías o si estas no se mantienen en ningún momento. Como tautologías básicas tomamos:

1. ¬(p ^ q) (¬p V ¬q)

2. ¬(¬p) p

3. (p q) (¬p V q)

4. ¬(p V q) ¬p ^ ¬q

El siguiente paso después de tener estas tautologías fue escribir los conectores en términos de la disyunción, por ejemplo p q es equivalente a ¬p V q, con el objetivo de hacer la comprobación programando la hoja de Excel

como lo veníamos haciendo. Las tautologías quedaron así:

1. ¬((¬((¬ (¬p V ¬q)) V (¬p V ¬q))) V (¬((¬p V ¬q) V (¬ (¬p V ¬q))))) 2. ¬((¬(¬p V p))V(¬(p V ¬p))) 3. ¬((¬((¬(¬p V q)) V (¬p V q))) V (¬((¬p V q) V (¬ (¬p V q))))) 4. ¬((¬ ((p V q) V (¬(p V q)))) V (¬ ((¬ (p V q)) V (p V q))))

Después de tener estas tautologías programadas en la hoja, seguimos a probar cada una de las 6 negaciones existentes, para observar cuál de ellas cumplía. (tabla 2)


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Tabla 2

La programación planteada por los estudiantes de undecimo que iniciaron este estudio, facilitó conjeturar que sólo la siguiente negación cumple con tres de las tautologías, lo que nos hace tomar a esta negación como esencial para nuestro sistema; por supuesto que al cambiar la negación los anteriores 15 conectores también variaran obteniendo como resultado final:

Podríamos después entrar a analizar en qué momento se pierde la tautología número 2, la cual en ninguna de las negaciones puede ser una tautología para el sistema trinario.

CONCLUSIONES La programación en la hoja de cálculo de Excel permitió concluir que no existe una negación biyectiva en el sistema trinario que permita hacer una copia fiel de la lógica binaria, es decir, que al comparar las propiedades de las tablas obtenidas en el sistema binario con las construidas en el trinario, se llega a la conjetura que estas no se mantienen en los dos sistema, lo que se debe quizás a la elección inicial del conector “V” y su tabla asociada, la cual se determinó como la función residuo.

BIBLIOGRAFÍA Muñoz, Q. (2006). Introducción a la teoría de conjuntos. Ed. Universidad Nacional de Colombia. Ostra A. (2001) Simetría y Lógico La notación de Peirce para los 16 conectivos binarios. En memorias XII Encuentro

de Geómetra y sus Aplicaciones. Universidad Pedagógica Nacional.


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COMUNICACIÓN BREVE TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES EN COORDENADAS POLARES

William Alfredo Jimenez

Magister en Docencia de las Matemáticas Profesor del Instituto Pedagógico Nacional

Profesor Catedrático de la Universidad Distrital Coordinador del grupo Talento Matemático del IPN

[email protected]

Laura Alejandra Mayorga Cadavid, Juan Pablo Ahumada López, Alejandro Cuchigay Estudiantes de Grado Undécimo del Instituto Pedagógico Nacional

Integrantes del grupo Talento Matemático del IPN [email protected], [email protected], [email protected]

Resumen

En este documento se socializan algunos resultados obtenidos por los estudiantes que conforman el grupo Talento Matemático del Instituto Pedagógico Nacional, del estudio de las transformaciones de funciones polares como: traslaciones, reflexiones y homotecias; haciendo uso de la calculadora TI-92, Geogebra, Derive y basados, específicamente, en el comportamiento y características que éstas mantienen a partir de las relaciones que se pueden establecer con las funciones en coordenadas cartesianas cuando se someten a transformaciones rígidas

Palabras clave: Transformaciones de funciones en coordenadas polares.

Abstract

In this document you can see the results found by students who are part of the “Talento Matemático” group of Instituto Pedagógico Nacional, the results of the study are about function transformations in the polar coordinate system like: translations, reflections and dilation; using TI-92 calculators, Geogebra, Derive and specifically based in the behavior and the characteristics transformations have from the relations can be established with functions in Cartesian coordinates when they are intro rigid transformations.

Key words: Function transformations in the polar coordinate system

INTRODUCCIÓN

La situación problema asociada con los resultados que a continuación se presentan consiste en comparar las transformaciones aditivas y multiplicativas de funciones, a partir de la representación gráfica de un conjunto de puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y polares, de tal manera que se pueda establecer si las propiedades de las transformaciones de funciones en coordenadas rectangulares se mantienen o no, respecto de las transformaciones en coordenadas polares.

En el sistema de coordenadas cartesianas las transformaciones aditivas y multiplicativas, independientemente de la función a la cual sean aplicadas, se manifiestan en su representación gráfica a través de movimientos rígidos como: translaciones, reflexiones o transformaciones de expansión o compresión. Lo cual se describe de manera más formal en los siguientes párrafos.


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DESARROLLO

Transformaciones Aditivas

Dada la función y=f(x) en coordenadas cartesianas y las transformaciones y1=f(x+a) o y2=f(x)+b, se tiene que y1 es una translación horizontal de la función y, a unidades y, y2 es una translación vertical de y, b unidades (Stewart, 2007).

Ahora, si se analizan este tipo de transformaciones en coordenadas polares se obtienen los siguientes resultados:

Dada la función r=s(θ) en coordenadas polares, la transformación r1= s(θ)+b resulta ser una expansión de la función s que no mantiene constante la forma; contrario a lo que sucede en coordenadas cartesianas, ya que tal transformación sí mantiene la forma de la función y.

Al realizar un análisis de estas transformaciones en los dos sistemas de coordenadas, se concluye que la distancia entre y y y2 es |b|, propiedad que se mantiene en coordenadas polares, ya que la distancia de un punto P en r=θ, r=sen(nθ) o cos(nθ), y en r=θ+b, r=sen(nθ) + b o cos(nθ )+b, es igual al |b|, a pesar que la función no mantenga su forma; como se ilustra en la figura 1.

El corte en el eje polar se consigue remplazando a θ por 0 y sumando b unidades; por ejemplo, para el caso de las funciones de la forma r=aθ

n +b el corte en el eje polar es b, además el mayor cambio de forma de la función r=θ

n se

presenta en r=θn-π.

;

;

Figura 1. Transformaciones aditivas en cordenadaspolares

Transformaciones Multiplicativas

Dada la función y=f(x) en coordenadas cartesianas y las transformaciones y1=f(xa) o y2=f(x)b, con a>0 y b>0 se tiene que y1 es una expansión o compresión horizontal de la función y, por un factor a y, y2 es una expansión o compresión vertical de y, por un factor b. Si b=-1 entonces y1 es una reflexión de la función con respecto al eje y, además y2 es una reflexión sobre el eje x (Stewart, 2007)

Al hacer una transformación multiplicativa en el plano polar tal que a < 0; se obtiene la gráfica de la función con |a|, y se le aplica una reflexión en el eje polar y otra sobre la recta perpendicular al eje polar que pasa por el origen.

Si analizamos este tipo de transformaciones en coordenadas polares, se observa que la representación gráfica de la


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función en cuanto a su forma se mantiene exactamente igual, pero es mas grande; lo que se presenta en la figura 2 en donde se ilustra la función y su transformación con diferente zoom en coordenadas polares.

Los cortes en el eje polar al aplicar este tipo de transformaciones se obtienen, al igual que en el caso anterior, remplazando a θ por 0 y multiplicándole a unidades, por ejemplo en el caso de las funciones de la forma r=θ

n es 0.

Figura 2. Representaciones polares

CONCLUSIONES

Sea y ; Las coordenadas polares de y son respectivamente y

; es decir y , entonces la distancia entre y en la recta imaginaria es y el corte

en el eje polar de es .

“UNA TRANSFORMACIÓN ADITIVA EN EL EJE CARTESIANO SE PRESENTA COMO UNA DEFORMACIÓN EN EL EJE POLAR” Sea y , la grafica de será veces mas grande que la grafica de y será

veces más pequeña que si y si , entonces la grafica será una reflexión en “el eje ” y en el “eje ” y

veces o veces mas grnde o mas pequeña según corresponda y el corte en el eje polar de es .

“UNA EXPANSIÓN O COMPRESIÓN EN EL EJE EN LAS COORDENADAS CARTESIANAS SE PRESENTA COMO UN UNA

EXPANSIÓN O COMPRESIÓN GENERAL DE LA GRAFICA QUE NO CAMBIA DE FORMA” Sea = , y , entonces es la grafica de una flor con petalos si o

pétalos si .

“UNA EXPANSIÓN O COMPRESIÓN EN EL EJE DE LAS FUNCIONES EN LAS COORDENADAS

CARTESIANAS SE PRESENTA COMO EL CAMBIO DE NUMERO DE PÉTALOS DE LA FLOR” BIBLIOGRAFÍA

Muñoz, J. (2006). Introducción a la teoría de conjuntos. Ed. Universidad Nacional de Colombia

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2007). Precálculo. Ed. CENGAGE Learning. Quinta edición.


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CONSTRUCTIVISMO Y CONCEPTO DE NÚMERO Emiro Enrique Méndez Mulett

Magíster en Educación Matemática. Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino. Duitama. Boyacá.

Grupo Pirámide. UPTC, Tunja. Maestría en Investigación. Línea de Matemáticas. [email protected].

Resumen

El presente escrito expresa muchas de las dificultades que se detectan en el aprendizaje del Concepto de Número por parte de niños (as) en la Educación Básica Primaria, aprendizaje básico para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático de estos y cómo aportar soluciones de hecho a dicha problemática, basados en las teorías, constructivista del Aprendizaje Significativo de Ausubel y en la Psicogenética de Piaget. Habida cuenta que, según Foucault (1971), pensamiento y aprendizaje y van ligados a la idea de concepto y que es, según Piaget y Ausubel, dicho concepto la base para el aprendizaje, se dan algunas pautas metodológicas y didácticas para lograr que los estudiantes obtengan el aprendizaje del concepto de número y lo integren al aprendizaje de las operaciones aritméticas básicas. Según Trillas, (2001), a la par con las teorías relacionadas, se dan a conocer las competencias requeridas para el logro del aprendizaje del concepto de número, entendidas dichas competencias como la capacidad de hacer; esto es, poder realizar operaciones aritméticas básicas, una vez realizadas las etapas de asimilación y abstracción respecto del mencionado concepto.

Palabras clave: Concepto, Número, aprendizaje, Competencias.

Abstract

This letter expresses many of the problems detected in the Number Concept learning by children (as) in Basic Education Primary, basic learning for the development of logical-mathematical thinking and how to provide these solutions in fact this problem, based on the theories, constructivism Meaningful Learning of Ausubel and Piaget's Psychogenetics. Given that, as Foucault (1971), thinking and learning and are linked to the idea and concept which, according to Piaget and Ausubel, that concept the basis for learning, there are some methodological and teaching to make students obtain the learning of the number and integrate the learning of basic arithmetic operations. According Trillas, (2001), along with the related theories are given to know the skills required for learning achievement of the number concept, understood such powers as the ability to do that is, able to perform basic arithmetic operations, after completing the stages of assimilation and abstraction on the aforementioned concept.

Keywords: Concept, Issue, learning, competencies.

INTRODUCCIÓN

El Aprendizaje; según López Calva (2000), entendido como un proceso centrado en el estudiante y cuyo fin es lograr que este, mediante experiencias significativas, desarrolle todas sus potencialidades humanas como agente de su propio desarrollo. El Aprendizaje de los Conceptos Aritméticos El aprendizaje de la aritmética ha sido un reto para las diferentes corrientes sicológicas adentradas en el estudio del aprendizaje y desarrollo del pensamiento. El presente documento pretende dar a conocer las actuales tendencias existentes en este campo y proponer una metodología de trabajo, acorde al dominio del concepto de número y su implicación en el aprendizaje de las operaciones aritméticas básicas, en niños de Educación Básica Primaria. Para tal evento se debe partir de la hipótesis que los estudiantes ingresan a nuestra institución con unas bases cognitivas matemáticas que serán el soporte para la adquisición del nuevo aprendizaje. En esta aseveración se



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fundamenta lo que la escuela sicológica del constructivismo ha llamado Aprendizaje Significativo. El campo educativo suele equiparar al constructivismo con la sicología genética de Piaget, la cual pretende rescatar al estudiante como aprendiz activo y autónomo y hacer del maestro un orientador de dicho aprendizaje, reflejado en los cambios de conducta del aprendiz y conseguido mediante su interacción con los objetos de su entorno, (observación y manipulación de ellos). Se debe tener presente que pensamiento y aprendizaje están ligados a la idea de concepto, que según Foucault (1971) define, “Un concepto es una unidad cognitiva de significado, una idea abstracta o mental que a veces se define como una unidad de conocimiento. La formación del concepto está estrechamente ligada a un contexto de experiencia de la propia realidad; de experiencia individual, cultural, social, etc. siendo de especial importancia la referencia al lenguaje sobre todo referido a la propia lengua, pues mediante ella el conocimiento tiene la posibilidad de adquirir una expresión como habla y, por tanto, comunicable; lo que le da al conocimiento una dimensión pública, sociológica y cultural. Por ser la experiencia algo concreto con respecto a un individuo y, por tanto, subjetiva, única e irrepetible, todos los elementos incorporados a la memoria, tanto de experiencias personales como de cultura, sociedad, y sobre todo de la lengua propia, son elementos interpretadores de la experiencia concreta e influyen de manera decisiva en el proceso de conceptualización”. Dichos conceptos no son almacenados de manera aislada en nuestras mentes, sino que se anudan en estructuras cognitivas preexistentes, permitiendo la asimilación de nuevos conceptos. De allí la importancia en partir de los esquemas cognitivos previos que posee el estudiante para involucrarlo en el aprendizaje de nuevos conceptos. Teóricos del Aprendizaje Según Piaget, el aprendizaje se logra mediante la interacción del individuo con su entorno; es mediante esta que él trasforma sus esquemas mentales, de manera progresiva. Tuvo Piaget formación como Biólogo, lo que quizás le llevó a ser tan determinista en lo respectivo a la acomodación de esquemas previos mediante la interacción con el entorno. Piaget determinó que el desarrollo del pensamiento lógico y aritmético y, por ende el aprendizaje, se alcanzan según la edad del niño; son estas etapas las que determinan el posible trabajo a realizar en el aula con los niños. Esto nos deja entender que no se deben trabajar conceptos que el niño no pueda asimilar en tal o cual edad. Ausubel y el Constructivismo Sí bien es cierto que fue Piaget quien forjó las bases para lograr determinar cómo se logra el aprendizaje de la lógica y la aritmética, también lo es el hecho de que sus teorías, actualmente, son superadas por el constructivismo. De hecho, es Ausubel quien por primera vez diferencia entre varios tipos de aprendizaje y señala distintos procesos para alcanzarlos; ellos son: Recepción, Repetición, Descubrimiento y Procesos significativos. Sin embargo, Ausubel se centra casi completamente en el Aprendizaje Significativo, diferenciando tres tipos:

Aprendizaje significativo de Representaciones, consistente en captar el significado de los símbolos, siendo los principales las palabras y, en aritmética los variados símbolos matemáticos.

Aprendizaje significativo de Proposiciones, relacionado con la captación de nuevas ideas, expresadas en forma de proposición; por ejemplo: siete más tres es igual a diez; tal proposición induce a todas las representaciones que conlleven a tal situación sumativa.

Aprendizaje de conceptos, considerado como un aprendizaje superior a los anteriores, puesto que un estudiante que domine el concepto de suma, por ejemplo, enfrentará con éxito situaciones polémicas que contengan dicha operación, aplicando las estrategias pertinentes para resolverlas.


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Piaget y el Aprendizaje del Concepto de Número en la Aritmética. Según Piaget, el concepto de número y su aprendizaje están ligados al desarrollo de la lógica en los niños. Dicho desarrollo depende de la capacidad de ellos para realizar clasificaciones y seriaciones con los objetos de su entorno. Afirma Piaget que el desarrollo del concepto cardinal con el ordinal, no está desligado; es más, se consiguen simultáneamente y que el concepto de número se lograría mediante el siguiente esquema (figura N°1):

figura N°1

Etapas del desarrollo lógico Trilla, J. (2001), describe como Piaget encontró que los niños ven el mundo según la etapa de desarrollo en que se encuentren y que dichas etapas son cuatro, a saber:

Etapa sensoriomotora: Inicia con el nacimiento y va hasta los dieciocho meses. Etapa preoperacional: Desde los dieciocho meses y hasta los siete años. En ella se desarrollan las

percepciones sensoriales, en especial, auditivas y visuales. Aún no existe una lógica operacional, ya que los niños no manejan la capacidad de conservación de la cantidad ni la inclusión de clases; esto es, no diferencian las partes del todo.

Etapa de operaciones concretas: Comprendida entre los siete y los once años; en ella ya existe la lógica operacional y el concepto de número se desarrolla; se hace posible la inclusión de clases y la conservación del número; todas las operaciones están ligadas a contextos concretos y aún no es posible la abstracción.

Etapa de operaciones formales: Comienza a los once años; en ella se posibilitan la deducción y la abstracción.

Según afirma Piaget, las tareas a realizar y los obstáculos a vencer para apropiar el concepto de número, son los siguientes:

Inclusión de clases; es necesario diferenciar el todo de las partes para poder comprender las operaciones aritméticas de adición y sustracción. Piaget usó bolas de madera de variados colores; muchas rojas y pocas blancas y preguntó a los niños “¿hay mas bolas rojas o de madera?”, a lo que la mayoría de los niños menores de siete años contestó que “había menos de madera”.

Conservación del número: Piaget, colocando dos filas con igual número de bolas y longitud, preguntó a diferentes niños sí las filas tenían igual número de bolas, a lo que estos contestaron que sí; luego le varió la longitud a las filas, sin cambiar el número de bolas y comprobó que la mayoría de niños (as), con menos de siete años, identificaban la fila más corta con menos bolas.

Sin embargo, estos experimentos de Piaget han sido criticados por posteriores sicólogos, aduciendo dificultades en el lenguaje y en la comprensión de las experiencias por parte de los niños participantes, puesto que los llevaba a conclusiones erróneas, además del elevado número de bolas usadas en dichas pruebas.


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Aritmética y el concepto de número en la actual enseñanza La actual enseñanza de la aritmética debe centrarse en lo que el niño sabe y lo que sabe hacer, más que en lo que no es capaz de hacer; ello basado en las teorías y corrientes constructivistas Estadounidenses y de Gran Bretaña, sobre el aprendizaje de la aritmética y teniendo en cuenta que los estudiantes llegan a las instituciones educativas con ciertos conocimientos matemáticos, adquiridos en su entorno. Dichas corrientes hablan de tres grandes periodos en el aprendizaje y la consolidación del concepto de número; ellos son:

Periodo Preescolar; donde hay que fomentar las competencias de contar y comparar cantidades. Periodo Primario inicial; donde los niños deben desarrollar competencias (argumentativas), en estrategias

para solución de situaciones problema y estrategias de cálculo. Periodo Primario final; aquí se acomoda el concepto de número para adaptarlo al sistema numérico

decimal.

Competencias requeridas para el aprendizaje del Concepto de Número Acorde a la citada clasificación, se puede señalar que para adquirir el concepto global de número se deben dominar las competencias de contar, clasificar, seriar y, como derivación de ellas, el reconocimiento de patrones. Según Díaz-Barriga, Frida, (2004), debe entenderse Competencia como la capacidad para realizar una tarea o acción; saber hacer un trabajo. Un niño posee la competencia para contar cuando es capaz de dominar la secuencia numérica; es decir, es capaz de iniciar dicha secuencia en cualquier término de la misma, contando progresiva o regresivamente a partir del término dado. Este proceso recorre diferentes fases y es fundamental en la adquisición del concepto de número. Las fases (de conteo), anteriormente referidas son:

1) Nivel cuerda; en ella comienza el conteo en el número uno y no están bien diferenciados los términos de la secuencia numérica.

2) Nivel cadena irrompible; aquí la secuencia comienza siempre en el uno y están bien diferenciados sus términos.

3) Nivel cadena rompible; la sucesión numérica puede comenzar en un término diferente a uno. 4) Nivel cadena numerable; la sucesión consiste en contar un número determinado de términos a partir de

uno cualquiera de la cadena numérica. 5) Nivel cadena bidireccional; consiste en recorrer la sucesión desde cualquier término, hacia adelante o

hacia atrás, pudiendo alternar dicha dirección en cualquier momento de la experiencia. Llegando al Nivel Cinco de dominio de la secuencia numérica, se establecen las relaciones “ordinales” entre términos, como antes de, después de, detrás de, delante de… suceso fundamental para alcanzar el dominio del concepto de Número. Una fase muy importante del proceso de conteo es señalar los objetos para asignarles un término de la secuencia numérica. Iniciando, no basta con señalar dichos objetos, sino que el niño debe tocarlos y establecer una correspondencia objeto-término (relacionar), importantísima para consolidar el mencionado proceso. Hay que trabajar el conteo en el aula, siguiendo unos principios o reglas básicos:

Principio de Abstracción: Toda colección de objetos es contable. Use todo tipo de elementos como granos o semillas, piedrecillas, puntillas, maras o canicas, lápices, botones, libros, cuadernos, etc.

Principio de orden estable: toda secuencia de conteo debe seguir unas normas: no unir o juntar demasiado dos términos sucesivos evitando así asignarlos a un mismo objeto; no separar demasiado para evitar que dos objetos se asignen al mismo término de la secuencia.

Principio de la relevancia en el orden: se debe asimilar que el orden en que se encuentren los objetos carece de importancia.

Principio de biunivocidad: cada objeto recibirá un y solo un término de la secuencia. Principio de la cardinabilidad: el último término contado será el correspondiente al número de objetos de


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la colección, paso fundamental para asentar el concepto de número. Se dice que un niño posee la competencia para clasificar cuando identifica y diferencia las características de los objetos que manipula. Podemos decir que clasificar es una actividad precedente a la de contar, básica para este proceso. Podemos iniciar clasificando en base a un solo criterio y luego ir combinando características o atributos de las colecciones de objetos usados en la experiencia. Según Piaget, las etapas de clasificación son:

Agrupación por parejas bajo un solo criterio. Agrupar más de dos objetos, dejando sin clasificar el resto. Agrupar todos los objetos de una colección bajo un solo criterio. Agrupar la totalidad de objetos bajo criterios más abstractos que los perceptibles.

Se pueden usar los materiales básicos disponibles del entorno (aula), u otro tipo de materiales didácticos comerciales, tales como los Bloques lógicos de Dienes, que constan de cuarenta y ocho piezas que se agrupan por formas, tamaños, colores, espesor o también las Regletas de Cuisenaire. Con dichos bloques y siguiendo Las etapas descritas por Piaget se pueden realizar ejercicios como:

Agrúpelos en rojos y no rojos (Una propiedad y su negación). Agrúpelos por colores, tamaños, espesores, formas o combinando criterios (rojos y cuadrados, amarillos

no rectangulares, azules cuadrados, etc.). Un estudiante es competente para seriar, cuando puede colocar objetos ordenadamente en base a un criterio elegido; por ejemplo, altura, peso, longitud, grosor, tonalidad, capacidad, tiempo empleado, etc. En las experiencias de aula se puede recurrir a colecciones de objetos no estandarizados o del tipo mencionado en las etapas de clasificación u otros. Es la seriación otro requisito previo para la asimilación del concepto de número (en lo ordinal y lo cardinal); debe ser trabajada en sus aspectos discreto, (cantidad de objetos o de unidades) y continuo (unidades de medición). Todo ello trabajado desde hechos o sucesos de la vida cotidiana del entorno de los estudiantes. Ya alcanzadas y desarrolladas las competencias anteriormente mencionadas, el estudiante está en capacidad de reconocer diferencias y semejanzas entre colecciones de objetos y establecer criterios de orden entre ellos (partiendo de la clasificación y seriación); la realización de estos Talleres Educativos, según Maya Betancourt (1991), permite accionar mecanismos matemáticos tales como la detección de patrones y el descubrimiento de relaciones entre objetos y situaciones problémicas del entorno, afirmación que hace Meirieu (2009), desde su Teoría de la Pedagogía Diversificada. Al detectar patrones, el estudiante demuestra que realiza una abstracción, lo que implica que asimila los esquemas cognitivos previos a los hechos que va descubriendo mediante su interacción con objetos, elementos, materiales y experiencias o situaciones realizadas en el aula; dichos patrones asimilados, crean nuevos esquemas cognitivos mucho más elaborados o complejos, dando paso a una mayor madurez cognitiva e intelectual del estudiante, lo cual se manifiesta en los éxitos académicos mostrados por el niño cuando enfrenta y soluciona situaciones problémicas ,matemáticas, que se le plantean desde eventos de la vida cotidiana. Algunos Documentos recomendados Sí se trata de realizar Talleres Educativos que involucren la Resolución de problemas, es bueno recurrir al Documento Solución de problemas que requieren inferencias lógicas. Proyecto Evaluación Competencias Básicas. (1999). Secretaría de educación. Alcaldía Mayor. Santa Fe de Bogotá. Otro documento muy interesante es Enseñar Matemáticas. De la Paz Ramos, Guillermo, el cual se puede consultar en la dirección [email protected]. De otra parte, se recomienda la siguiente página para efectos de consultar material didáctico referente a bloques y



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regletas: http://www.omerique.net/twiki/bin/view/CEIPsanjose/TallerMatematicas BIBLIOGRAFIA Díaz Barriga, F., Hernández, G. (2004).Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Una interpretación

constructivista. 2ª edición. Editores. Mc Graw Hill. México. López, M. (2001). Planeación y evaluación del proceso enseñanza-aprendizaje: manual del docente. Trillas. México. Maya., A. (1991). El Taller Educativo. Pp. 20-25. Secretaría Educativa del Convenio Andrés Bello. Santa Fe de

Bogotá. Meiriu, P. (2009). Aprender, si. Pero ¿cómo? Editorial Octaedro. Barcelona. Piaget, J. (1983). Observaciones sobre la educación matemática en la enseñanza de las matemáticas modernas.

Selección de HERNÁNDEZ, Jesús. Alianza Editorial. Madrid. Trilla, J. (2001). La Teoría de Piaget en la Educación. Medio Siglo de debates y aplicaciones. En: Pedagogía del Siglo

XX para el Siglo XXI.

http://www.omerique.net/twiki/bin/view/CEIPsanjose/TallerMatematicas


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COMUNICACIÓN BREVE TESELADOS EN GEOGEBRA

Elvia Lucía Silva Ramírez IX Semestre – Licenciatura en Matemáticas y Estadística

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia [email protected]

Clara Emilse Rojas

Magíster en Docencia enla Matemática Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

Grupo Edumaes [email protected]

Resumen

La geometría en el arte siempre ha estado presente con figuras geométricas regulares e irregulares alcanza una combinación de formas, colores y líneas que dan alguna calidad y armonía estática. El manejo del software Geogebra permite que el estudiante construya y aprenda temas que son aplicados en las diferentes formas artísticas, como los teselados que son sencillamente recubrir un plano a través de polígonos a los cuales se les aplican transformaciones tales como simetrías, rotaciones y traslaciones, sin dejar huecos, sin sobreponerse y en el que los ángulos que concurren en un vértice deben de sumar 360 grados.

Palabras clave: Tesela, transformaciones rígidas en el plano, Escher, polígonos, Geogebra

Abstract

Geometry in art has always been present with regular and irregular geometric figures reached a combination of shapes, colors and lines that give a static quality and harmony. Geogebra management software allows the student to build and learn subjects that are applied to the various art forms such as tiles that are simply coating a plane through the polygons to which they apply transformations such as symmetries, rotations and translations, no gaps, no overlap and in which the angles that converge in a vertex must add 360 degrees.

Key words: Tile, rigid transformations in the plane, Escher, polygons, Geogebra

INTRODUCCIÓN En la comunicación se pretende dar cuenta de algunos elementos teóricos de las teselaciones desde aspectos como la historia de algunas civilizaciones; su pertinencia desde el currículo de matemáticas, explicitando la red conceptual involucrada como las competencias matemáticas que se pueden desarrollar. Se darán algunos elementos metodológicos de cómo se pueden abordar los teselados (artísticos, tecnológicos, histórico, entre otros). Por otro lado, se explicitará algunas de las técnicas para teselar al estilo Escher usando Geogebra, relacionadas con “deformar” alguno de los lados de polígonos regulares y llevar los cambios a los otros lados mediante traslaciones, rotaciones o reflexiones.

PERO ¿QUÉ SON TESELAS? El arte de los recubrimientos o teselaciones, del plano mediante figuras poligonales tiene una historia tan antigua


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como la propia civilización Godino (2002). Los teselados se usaban para la construcción de casas y templos cerca del año 4000 A.C. Los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos, también los persas, los moros y los musulmanes. Hoy el tema de teselaciones propicia un contexto interesante para la investigación geométrica y la resolución de problemas en la clase de matemáticas de la educación Básica y Media. A la par, la Educación ve la necesidad de incorporar nuevas estrategias para la enseñanza de las matemáticas, el caso particular del elemento tecnológico. Una muy buena alternativa en geometría es el manejo de software de geometría dinámica. La geometría siempre ha estado relacionada con el arte, aunque muchas veces pasa desapercibida, grandes de los maestros del arte han echado mano de sus conocimientos geométricos para realizar obras excepcionales, tanto en la arquitectura, como en la pintura y la escultura. Como los griegos, artistas del renacimiento y artistas modernos como Escher, Manuel Alvarez, Carmelo Arden Quin, Martín Blasco, José María Cáceres, Norberto Cresta, Hugo Freda, Bolívar Gaudín, César Lopez Osornio, Raúl Lozza, María Martorell, Raúl Mazzoni, Eduardo Moisset de Espanés, Eugenio Monferrán, Jorge Pereyra, Dalmiro Sirabo, Ernesto Soneira y Luís Tomasello. El teselar implica recubrir un plano a través de polígonos a los cuales se les aplican transformaciones tales como simetrías, rotaciones y traslaciones, sin dejar huecos y sin sobreponerse. Según Godino y Ruiz (2002), viéndolo desde el punto matemático también se puede definir como “cualquier curva cerrada simple, con su interior”. Como se mencionó en el arte se pueden encontrar diversas expresiones de la geometría y una de ellas se ve reflejada en las teselaciones y los mosaicos de Maurits Cornelius Escher. Holandes del siglo XX, personaje muy estudiado por los matemáticos, amante de los teselados y las figuras imposibles, donde sus visitas a la Alhambra determinaron su aportación a los mosaicos. Es sus mosaicos una de las características más relevantes es la utilización de la partición periódica del plano. Escher afirmaba que:

"La partición periódica del plano es la fuente de inspiración más rica que haya encontrado jamás y está muy lejos todavía de haberse agotado".

Y esto es lo inspirador del arte que junto con Geogebra darán lugar a una experiencia motivadora y generadora de

nuevos aprendizajes en el aula.

METODOLOGIA Se realizará en primer lugar, la tesela de la pajarita (figura No.1), siendo esta una de las más sencillas , que parte de un triángulo equilátero y teniendo como base el punto medio de los lados, se hacen rotaciones de 180º: Figura 1. Tesela Nazarí Pajarita


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En la sesión, se abordará con Geogebra teselas regulares, es decir, formadas por un solo polígono, deduciendo que para que un polígono regular pueda rellenar el plano sin dejar huecos ni producir solapamientos, el ángulo interior debe ser un divisor de 360º. Geogebra ofrece las herramientas para la construcción de figuras geométricas basada en la metáfora del dibujo en papel con regla y compás, pues la mayor parte de las construcciones básicas se pueden hacer de la misma manera como se harían con una regla y un compás reales, solamente que aquí se usa el mouse, el teclado y la pantalla del computador. Geogebra es un sistema de geometría dinámica centrado en el tratamiento dinámico de objetos geométricos. Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas que luego pueden modificarse dinámicamente (figura No. 2). Figura No. 2. Proceso de Construcción de la tesela.

CONCLUSIONES Las teselaciones articuladas con geogebra, permiten crear espacios potencializadores de los procesos de enseñanza y aprendizaje correspondientes al pensamiento geométrico. Permite además establecer una conexión con aspectos culturales, posibilitando la expresión artística del estudiante a partir del reconocimiento y utilización de nociones geométricas de rotación, traslación, simetría de figuras geométricas.

BIBLIOGRAFÍA Godino, J. (2002). Geometría y su didáctica para maestros, pág. 476.

Reyes, D. (2010). Cartilla virtual de teselados incorporando el SGD Geogebra en grado octavo en la institución educativa Carlos Arturo Torres Peña. Tesis de pregrado para optar por el título de Licenciado en Matemáticas y Estadística. Uptc. Duitama.


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COMUNICACIÓN BREVE

LA ACTIVIDAD DEMOSTRATIVA EN UNA CLASE DE GEOMETRÍA CON ESTUDIANTES EN EDAD

EXTRAESCOLAR BAJO LA APROXIMACIÓN METODOLOGICA PROPUESTA POR EL GRUPO ÆG.

Carolina María Luque Zabala Licenciada en Matemáticas

Universidad Pedagógica Nacional [email protected]

Luis Alejandro Robayo León Licenciado en Matemáticas

Universidad Pedagógica Nacional [email protected]

Resumen

A través de esta comunicación, queremos socializar un avance de nuestro trabajo de grado que tiene como objetivo evidenciar la actividad demostrativa en estudiantes en edad extraescolar. Específicamente pretendemos dar cuenta de algunos de los aspectos metodológicos que han guiado la realización del proyecto, considerando dos referentes teóricos (Actividad Demostrativa y fases de Boero), que son la base de las categorías de análisis.

Palabras clave: Actividad demostrativa, fases de Boero, geométrica dinámica.

Abstract Through this communication, we socialize a preview of our degree work that aims to demonstrate the demonstration activity in school with aged students. Specifically we intend to account for some of the methodological issues that have guided the project, considering two theoretical reference (demonstration activity and Boero phases), which are the basis of the categories of analysis.

Key words: Demonstration activity, Boero phases, Dynamic Geometry. INTRODUCCIÓN El grupo de investigación Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría (ÆG) de la Universidad Pedagógica Nacional (UPN), ha centrado su interés en el aprendizaje y la enseñanza de la demostración en geometría. A través del proyecto de investigación Geometría dinámica en la formación del profesor de matemáticas, que impulsó una reforma curricular dirigida a cambiar un curso de geometría plana centrado en la enseñanza directa de contenidos geométricos por uno centrado en el aprendizaje de la práctica de demostrar en el campo de la geometría, los miembros del grupo identificaron que por medio de tareas especificas y especialmente diseñadas, la interacción social de la clase y el uso de la geometría dinámica, los futuros profesores se involucraban en una actividad demostrativa (constructo que han elaborado a partir del diseño experimental), y reconocían en esta práctica una actividad fundamental del que hacer matemático que permitía la comprensión y la argumentación dentro de una comunidad (Perry, Samper, Camargo, Echeverry y Molina, 2007). Los resultados de la innovación curricular en términos de la manera cómo los estudiantes para profesor se involucraban en la actividad de demostrar, llevó a los

miembros del grupo ÆG a cuestionarse por la posibilidad de la enseñanza de la demostración a nivel escolar. Según Camargo, Samper y Perry (2006) la enseñanza de la demostración es un tema en permanente debate, en el



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que se cuestiona acerca de la pertinencia de su enseñanza en la educación básica y media. Los especialistas en didáctica de la geometría, frente a este debate, han tomado dos posiciones: los que consideran que a nivel escolar no es pertinente su enseñanza y los que por el contrario, creen que esta es un práctica particular de las matemáticas que conduce a la comprensión de los objetos de esta disciplina y por tanto debe enseñarse en la

escuela. El grupo de investigación ÆG, basado en su experiencia con profesores en formación, ha optado por la segunda posición, partiendo del supuesto de que la enseñanza de la demostración resulta pertinente en la escuela si se direcciona hacia la comprensión y la comunicación de ideas matemáticas y no solo se presenta como un mecanismo de validación. Nuestro proyecto de grado, como tesis asociada a la línea de investigación en geometría de la UPN, tiene como propósito indagar a cerca de la posibilidad de la actividad demostrativa en la educación básica en particular con personas en edad extraescolar. Dado que la enseñanza de la demostración no es una

práctica habitual en este nivel educativo y que compartimos la posición del grupo de investigación ÆG frente a esta situación, consideramos pertinente realizar un estudio que aporte información sobre las acciones de estudiantes en edad extraescolar que reflejan la emergencia de un ambiente de actividad demostrativa en una clase de geometría donde se usa CABRI. Hacemos referencia a estudiantes en edad extraescolar porque la población cuyas acciones serán objeto de estudio corresponde a un grupo de 35 estudiantes con un rango de edad entre los 24 y 57 años de edad. Estos estudiantes, en el momento de la implementación de las actividades, se encontraban nivelando los grados octavo y noveno de educación básica en jornada nocturna. A través de esta comunicación, queremos socializar un avance de nuestro trabajo de grado, específicamente pretendemos dar cuenta de algunos de los aspectos metodológicos que han guiado la realización del proyecto haciendo énfasis en la elaboración de las categorías de análisis y de cómo creemos que estas nos pueden ayudar a caracterizar la actividad de los estudiantes. REFERENTES TEORICOS El marco conceptual de nuestro trabajo de grado se compone de dos referentes teóricos: el constructo Actividad

Demostrativa elaborado por el grupo de investigación ÆG de la UPN (Perry, P., et all. 2007) y las fases de Boero (1999) para la producción de teoremas y construcción de pruebas matemáticas. Consideramos que estos referentes teóricos nos permiten categorizar la actividad de los estudiantes durante el desarrollo de las tareas propuestas con miras a dar cuenta de la posibilidad de actividad demostrativa en un curso de geometría de educación básica. El constructo Actividad Demostrativa abarca dos procesos, conjeturación y justificación, los cuales no se constituyen como procesos independientes ni las acciones que los componen se consideran secuenciales. El proceso de conjeturación se compone de acciones de tipo heurístico, tales como: visualizar, explorar, generalizar y verificar. Estas acciones permiten a los estudiantes reconocer el contenido geométrico y las propiedades que subyacen en un enunciado matemático o en una figura geométrica, contribuyen al planteamiento de conjeturas y a la verificación empírica de las mismas. La visualización, es la acción por medio de la cual el estudiante identifica, percibe o evoca propiedades geométricas de una representación gráfica dada o construida. Cuando la indagación del estudiante incluye la visualización y otros modos de actuación tales como tomar medidas, realizar construcciones auxiliares, etc., (e.g. utilizando Cabri), se manifiesta que su proceder es de carácter exploratorio. Tanto en la visualización como en la exploración, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar regularidades en las figuras geométricas, que posteriormente se pueden comunicar en forma de generalidades, las cuales eventualmente pueden ser cuestionadas y comprobadas a partir de la verificación empírica sobre la representación gráfica. Cuando existe la plena seguridad de la veracidad de una conjetura dada, pueden surgir en los estudiantes diversas vías de justificación (segundo proceso) de la misma: la explicación cuando el estudiante basa su justificación en evidencias empíricas, como la percepción de un dibujo o la exploración de un software de geometría dinámica, la prueba cuando el estudiante realiza justificaciones basadas en propiedades generales de las figuras; o la demostración formal, que es la más rigurosa y consiste en una secuencia lógica de afirmaciones y razones, sustentadas en un sistema teórico estudiado y elaborado. En un mismo sentido, Boero (1999) manifiesta que la demostración es una actividad matemática que implica


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acciones que llevan a considerar tanto la producción de la conjetura como la construcción de su justificación. Estas acciones, Boero (1999) las enmarca en lo que ha denominado fases en la producción de teoremas y construcción de pruebas matemáticas. Las fases establecidas por este autor son: (i) Producción de conjeturas. (ii) Formulación del enunciado de acuerdo con convenciones culturales compartidas. (iii) Exploración del contenido (y limites de validez) de la conjetura. (iv) Selección y encadenamiento de argumentos teóricos coherentes en una cadena deductiva. (v) Organización de la cadena de argumentos en la forma de una prueba que es aceptable desde el punto de

vista de los estándares matemáticos vigentes. (vi) Aproximación a la prueba formal.

De las fases mencionadas, las tres primeras se relacionan con el proceso de conjeturación y las restantes con el proceso de justificación de la actividad demostrativa. Dado que consideramos que las fases señaladas son un referente que nos permite categorizar la actividad de los alumnos durante el desarrollo de una tarea propuesta con el uso de CABRI, en el presente trabajo hemos decidido tomarlas como categorías de análisis. En la tabla 1 mostramos, tres indicadores de la categoría de análisis correspondiente a la formulación del enunciado de acuerdo con convenciones culturales compartidas. Dichos indicadores se han establecido con base en los referentes teóricos citados y en la propuesta de Parra y Piñeros (2011) para la elaboración de indicadores de las fases de Boero.

Indicadores Acciones del estudiante

Acciones de la actividad demostrativa inmersas

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Estructura del enunciado

Utiliza el formato condicional “Si…entonces” en la escritura de la conjetura.

Explícita el antecedente y el consecuente pero no escribe la conjetura en el formato condicional.

Tiene en cuenta las convenciones establecidas en la clase en términos del lenguaje y notación al nombrar objetos geométricos involucrados.

Generalización

Correcto establecimiento del antecedente y el consecuente de la conjetura

Reconoce la relación entre antecedente y condiciones impuestas en la situación y entre consecuente e invariantes encontrados en la exploración.

Generalización

Verificación de la formulación de la conjetura.

Utiliza la herramienta arrastre de CABRI para verificar que el invariante este explicito en la conjetura propuesta.

Identifica y explicita que sobran o faltan propiedades o palabras.

Corrobora que las condiciones dadas estén en el antecedente y los invariantes encontrados en el consecuente.

Visualización Exploración Verificación Generalización.

Tabla 1. Adaptación de la tabla propuesta por Parra y Piñeros (2011).


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ASPECTOS METODOLOGICOS DEL ESTUDIO Para dar cuenta de la actividad de los estudiantes, se implementaron unas tareas durante diez sesiones de clase (de 40 minutos cada una). De las 10 sesiones de clase, seis se registraron en audio y video. También se grabaron dos entrevistas realizadas a los estudiantes y se recopilaron sus producciones escritas. Realizada la transcripción de cada una de las sesiones y de las entrevistas, se hizo una lectura superficial de las mismas con el propósito de hacernos una idea global de la información, para luego seleccionar episodios que podrían ser de utilidad en la fase de análisis de datos. En este momento hemos centrado la atención en episodios de dos sesiones de clase y de una de las entrevistas. La selección de éstos episodios obedeció a dos aspectos: reconocimiento de acciones de la actividad demostrativa e identificación de la forma de interacción durante la clase (interacción profesor-estudiante, estudiante-estudiante). Esto último, con el fin de identificar el nivel de autonomía

24 de los estudiantes. Las

interacciones profesor-estudiante se reconocieron en el marco de la clase, mientras que las interacciones entre estudiantes se tomaron en el marco de la actividad llevada a cabo por un grupo de tres personas. La selección del grupo de tres estudiantes (E1, E2 y E9) obedeció a su asistencia regular a las sesiones de clase.

Un ejemplo de análisis: la suma de la medida de los ángulos interiores de un triángulo. Las tareas propuestas en la fase de implementación eran abiertas y propiciaban inicialmente experiencias de carácter empírico que conducían al planteamiento de una conjetura y su validación. Una de estas tareas fue: ¿Para qué tipo de triángulo la suma de sus ángulos es 120? Esta tarea se trabajo en dos sesiones. En la primera sesión, los estudiantes lograron a través de la exploración en CABRI, descubrir que era imposible construir un triángulo con dichas condiciones, pero más allá de esto, estaba en identificar la regularidad de que la suma siempre era 180. La segunda sesión, tenía como objetivo dar el espacio para que los grupos de estudiantes discutieran y formularán el hecho geométrico encontrado. Si se suman las medidas de los ángulos de un triángulo entonces esa suma es siempre 180. Vale la pena resaltar que no se pretendía que los estudiantes probarán o demostrarán el hecho geométrico mencionado, dado que el sistema teórico construido solo les permitía dar explicaciones basadas en lo que veían en CABRI. Posterior a la segunda sesión de trabajo, se realizo una entrevista a los distintos grupos, en la que se buscaba indagar acerca de cómo ellos habían establecido el hecho geométrico. Con base en esta entrevista, se presenta el análisis de episodios que da cuenta de la categoría de análisis 2, a través de dos de sus indicadores, los cuales son: Correcto establecimiento del antecedente y el consecuente de la conjetura, y uso correcto de cuantificadores, ver Tabla 1. En la sesión de trabajo en la que se solicito a los estudiantes establecer un hecho geométrico de la regularidad encontrada en la suma de los ángulos interiores de un triángulo, nos interesamos por el grupo de E1, E5 y E9 debido a que produjo dos versiones, ver Figura 1.

24 Según Perry, P., Samper, C., Camargo, L., Echeverry, A., Molina, O. (2007), “autonomía” hace referencia a la

capacidad de fundamentar con razones propias lo que se dice y lo que se hace independientemente de otra

autoridad.


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Figura 1. Los tres hechos geométricos que establece el grupo conformado por los estudiantes E1, E5 y E9

Correcto establecimiento del antecedente y el consecuente de la conjetura Cuando los estudiantes buscan explicarle a la profesora, que tienen en cuenta para formular un hecho geométrico, hacen explicito la relación que establecen entre antecedente y condiciones impuestas en la situación, y entre consecuente e invariante encontrado durante la exploración. El siguiente episodio de la entrevista señala dicha relación.

14. P Listo. Cuando fueron a escribir el hecho geométrico, qué tuvieron en cuenta para escribir el hecho geométrico. [Los estudiantes se miran y no saben que responder, la profe vuelve a intervenir y replantea la pregunta]. O sea cuando les dicen escribir un hecho geométrico de un invariante qué encontraron cuando estaban explorando en CABRI, en qué piensan para escribir el hecho geométrico.

15. E1 En qué tenemos.

16. P En lo primero que piensan es en lo que tienen, listo. ¿En esta situación que tenían?

17. E5 [Luego de una pausa] Un triángulo.

18. P ¿Un triángulo?

19. E5 Decía que si sumamos la medida de los tres ángulos de un triángulo.

En las intervenciones de los estudiantes E1 y E5, éstos exhiben la necesidad de tener en cuenta lo que les ha sido dado en la tarea propuesta (antecedente) antes de empezar a formular la conjetura. En intervenciones posteriores, se percibe cómo antes de escribir el hecho geométrico buscan identificar las partes que lo constituyen (no solo el antecedente sino también el consecuente), así como formularlo de acuerdo con convenciones establecidas en la clase (estructura si…entonces). El siguiente episodio de la entrevista evidencia lo anterior.

22. P Después de tener en cuenta lo que tienen ¿qué hacen?

23. E5 Pues nos damos cuenta que el resultado siempre va a hacer de 180 grados independientemente el triángulo que sea.


114


24. E1 Y comenzamos a formar, que si tenemos un triángulo que es de lo que estamos hablando, entonces comenzamos a armar con sí y entonces. O sea que por lo menos con el si tenemos un triángulo ya comenzando así vamos armando el hecho geométrico.

La respuesta de E5 a la pregunta realizada por la profesora, nos lleva a inferir que este estudiante reconoce que luego de identificar lo dado debe dar cuenta del invariante encontrado, asignándole el papel de consecuente en la formulación de la conjetura. E1 a diferencia de E5, se enfoca en reconocer la estructura de implicación que debe tenerse en cuenta a la hora de redactar el hecho geométrico, enfatizando que en dicha estructura luego del si se hace referencia al antecedente. Uso correcto de cuantificadores

Otro de los intereses de la profesora en las dos versiones del hecho geométrico se centro en la razón que los llevó a cambiar el término ”independientemente” por “cualquiera”, ella decide preguntarles a los estudiantes sobre la diferencia que encuentran entre las dos versiones propuestas. Las respuestas de los estudiantes a esta inquietud, se señalan en el siguiente fragmento.

72. E9 Ahora otra cosa, cuando decimos un triángulo independientemente, pues cuando decimos que es un triángulo ya sabemos que es cualquier triángulo, aquí ya no le colocamos eso, de un triángulo cualquiera.

73. E1 Le cambiamos el independiente por cualquiera que también sobra. [Risas]

74. P ¿Qué?

75. E1 Esta palabra independiente y cualquiera también sobran porque sabíamos que estábamos hablando de un triángulo.

76. E9 Independientemente y cualquiera, pues a mí me parece que es cómo lo mismo.

En las intervenciones anteriores más que señalar una diferencia entre las dos versiones propuestas, los estudiantes manifiestan una necesidad por utilizar un término que les permitiera hacer explicito que la regularidad encontrada era válida para todo triángulo, en este sentido utilizan los términos “independiente” y “cualquiera” como cuantificadores universales (para todo). Del fragmento anterior se resaltan dos conclusiones del grupo: (i) los dos términos utilizados pueden considerarse como sinónimos [76]. (ii) en la escritura de la conjetura pueden omitirse los términos mencionados debido a que el referirse a un “triángulo” ya implica una generalidad *72+. Es importante señalar que no todas las acciones que se establecieron en el diseño de las categorías de análisis fueron producto de la construcción de la teoría del estudio, algunas fueron emergentes, es decir se identificaron en la práctica al momento de la realización de transcripciones de las sesiones y la selección de los episodios. Por ejemplo, la acción “Identifica y explicita que sobran o faltan propiedades o palabras” del indicador Verificación de la formulación de la conjetura. Surgió, al observar que los estudiantes al plantear un hecho geométrico, buscan utilizar palabras correctas y el releer muchas veces lo que han escrito les permite indagar sobre la pertinencia del mismo. Es lo que sucede en el episodio anterior, los estudiantes del grupo E1, E5 y E9, usaron dos palabras “cualquiera” e “independiente”, la profesora al indagar sobre el cambio pudo establecer, que más allá de la estructura del enunciado, los estudiantes intentan verificar que en el enunciado quede claro la generalización de los triángulos.


115


CONCLUSIONES Dado que esta comunicación es producto de un trabajo en curso, más que plantear conclusiones queremos señalar una de las reflexiones que hemos hecho en relación con nuestra experiencia investigativa. La selección de los episodios y la lectura global de las transcripciones, nos ha llevado a contemplar aspectos en los indicadores de las categorías que no teníamos previamente establecidos. Por ejemplo, considerar que un estudiante puede realizar acciones que lo llevan a identificar elementos que sobran o faltan al formular la conjetura, es un indicador emergente de las acciones del grupo de estudiantes con los que se desarrollo el proyecto, y es un reflejo de que las categorías no solo son el producto de una revisión teórica sino que también emergen de la práctica.

BIBLIOGRAFÍA Boero, P. (1999). Argumentation and mathematical proof: A complex productive, unavoidable relationship in

mathematics and mathematics education. International Newsletter on the teaching and learning of mathematical proof. Traducción realizada por Patricio Herbst.

Parra, D. y Piñeros, A. (2011). Elaboración de conjeturas: El caso de una pareja de estudiantes en una clase de

geometría plana. Tesis de Licenciatura en Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá, Colombia.

Perry, P., Camargo, L., Samper, C. y Rojas, C. (2006). La actividad demostrativa en la formación inicial del profesor

de matemáticas. Bogotá, Colombia: Universidad Pedagógica Nacional. Perry, P., Samper, C., Camargo, L., Echeverry, A., Molina, O. (2007). Innovación en la enseñanza de la demostración

en un curso de geometría para formación inicial de profesores. Memorias XVII Simposio Iberoamericano de Enseñanza Matemática.


116


COMUNICACIÓN BREVE CONSTRUCCIÓN DEL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES A

PARTIR DE LAS FRACCIONES ARITMÉTICAS Aura Liliana González Vivas

Estudiante de último semestre de Licenciatura de Matemáticas y Estadística Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

[email protected]

Resumen

Este artículo presenta el diseño, gestión y resultados de un proyecto de investigación de aula para estudiantes de grado

noveno, orientado a corregir errores y fortalecer el aprendizaje de las fracciones algebraicas y sus operaciones. La propuesta

destaca la importancia de la relación entre las fracciones aritméticas y las fracciones algebraicas. Los resultados se basan en el

análisis de errores propuesto por Socas el at., (1996) y la valoración de la idoneidad didáctica del EOS de Godino et al., (2006).

Palabras clave: fracciones algebraicas, fracciones aritméticas, errores, Idoneidad Didáctica.

Abstract

This paper presents the design, management and results of a research project in the classroom for students ninth grade,

designed to correct mistakes and reinforce the learning of algebraic fractions and operations. The proposal stresses the

importance of the relationship between arithmetic fractions and algebraic fractions. The results are based on the error analysis

proposed by the Socas at., (1996) and assessing the suitability of the EOS Godino didactic et al. (2006)

Key words: algebraic fractions, fractions arithmetic, errors, Teaching Competence.

INTRODUCCIÓN Este proyecto se genera en un curso de apoyo para el aprendizaje de las matemáticas con estudiantes de grado

noveno del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama, en las asignatura Proyecto Pedagógico VI y Ambientes

Educativos IV de la Licenciatura en Matemáticas y Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de

Colombia Seccional Duitama, como parte de la formación integral del futuro docente.

La transición de la aritmética al álgebra es quizás el camino más complejo al cual se enfrentan los estudiantes de

secundaria ya que es el enlace para construir los significados de objetos algebraicos, lo cual genera conflictos que

no permiten avanzar en el aprendizaje. Es por esto, que este proyecto se orienta en la construcción del significado

de las fracciones algebraicas y sus operaciones por medio de las fracciones aritméticas, con el fin de corregir los

errores detectados en un diagnóstico preliminar y de esta forma mejorar en la enseñanza y aprendizaje de los

conceptos y procedimientos matemáticos acogiendo los principios constructivistas.

DESARROLLO

Se llevó a cabo un diagnóstico preliminar con 29 estudiantes, niños y niñas de grado noveno del Colegio Guillermo

León Valencia de Duitama, con una edad promedio de 14 años. Su principal objetivo era identificar los errores que

manifiestan en fracciones algebraicas y sus operaciones. Para esto, se hizo necesaria y la aplicación de

instrumentos que suministró la información precisa, entre los cuales encuentra la matriz de observación donde se


117


registró las situaciones que se presentaron en el aula de clase de forma esquematizada teniendo en cuenta el

objetivo de la observación. El otro instrumento empleado es el cuestionario inicial que se planificó de tal forma

que se pudieran detectar los errores objeto del estudio teniendo en cuenta las categorías de errores en el algebra

propuesta por Socas, Camacho, Palarea y Hernández (1996). Como se muestra en la siguiente tabla:

Tabla 1. Categorización de los errores en algebra según Socas

Se determinó que los errores que se cometen con mayor frecuencia son los relacionados con la compresión de la

aritmética por parte de los estudiantes, ya que si ellos no dominan las operaciones con fracciones las traducen

erróneamente al campo algebraico, tal como se muestra en los siguientes protocolos:

Cuando se les pide a los estudiantes efectuar la siguiente resta de fracciones c

ba

c

1

Se ignora la distribución del signo menos antepuesto a una fracción.

Y cuando se les pide Efectuar la siguiente suma de fracciones algebraicas yx

11


118


Se hace falsa generalización de los algoritmos aprendidos con los números en aritmética, en este caso el uso

inapropiado de algoritmos para sumar fracciones, omitiendo el mínimo común denominador.

De acuerdo con los resultados del diagnóstico se verifica que una de las principales dificultades, también señalada

por Velázquez (2003), es el paso de la Aritmética al Álgebra el cual es uno de los tránsitos más difíciles dentro del

desarrollo gradual de los contenidos matemáticos. De acuerdo a lo planteado, el problema de investigación se

formuló de la siguiente forma: ¿En qué medida las fracciones aritméticas pueden promover la comprensión

significativa de las fracciones algebraicas y sus operaciones?

El desarrollo del proyecto se centró en la construcción del significado de las fracciones algebraicas y sus

operaciones, tomando como punto de referencia las fracciones aritméticas, ya que se comportan de forma similar,

lo que conlleva a plantear la siguiente hipótesis: una propuesta de enseñanza a partir de las fracciones aritméticas

propiciará la compresión significativa de las fracciones algebraicas y sus operaciones.

La investigación está referenciada y apoyada en información sobre los errores comunes cometidos por los

estudiantes en las fracciones algebraicas y sus operaciones de acuerdo con Brousseau, Davis y Werner (1986)

citado por Rico et al. (1997) y la categorización que propone Socas et al. (1996) ya que son un buen indicador de la

construcción del conocimiento matemático por parte de los estudiantes. De igual manera es necesario sustentar el

proyecto con base en la configuración epistémica, necesaria para la valoración de la idoneidad epistémica y en

general la idoneidad didáctica propuesta en el Enfoque Ontológico y Semiótico (EOS) de Godino (2006). También se

sustenta esta propuesta en los principios constructivistas formulados por Waldegg (1998) y deficiencias

encontradas en la transición de la aritmética al algebra (Mata et al., 2009).

Los errores son indicadores fundamentales que permiten visualizar cómo los estudiantes construyen los

significados, por lo cual es indispensable establecer una categorización de errores direccionada hacia las

fracciones algebraicas.

Brousseau, Davis y Werner (1986) citados por Rico et al. (1997), señalan, que los errores son el resultado de un

procedimiento sistemático imperfecto que el alumno utiliza de modo consistente y con confianza. Y de acuerdo con

Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y

no sólo la consecuencia de una falta específica de conocimiento o una distracción.

Categorización de errores en el aprendizaje de fracciones algebraicas

De acuerdo con categorización que hace Socas (1996) con respecto a los errores en algebra, se tienen en cuenta

para la investigación las siguientes categorías:


119


La naturaleza y significado de los símbolos y las letras

El mayor cambio conceptual en el aprendizaje del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética: significado de los símbolos e interpretaciones de las letras. Los símbolos son un recurso que permite denotar y manipular abstracciones. Se encuentran errores como al efectuar la siguiente suma:

Donde el estudiante además de olvidar el denominador común, ignora totalmente la variable y pretende dar una

respuesta de término único, en si clausurar la suma.

La comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes

El algebra es la generalización de la aritmética. Luego la asimilación de la generalización de relaciones y procesos se

lleva a cabo en la aritmética. A veces, las dificultades que los estudiantes presentan en el álgebra no son tanto

dificultades en el algebra sino problemas que se quedan sin corregir en la aritmética. Entre los cuales es muy

común el siguiente:

Donde el estudiante no tiene en cuenta el signo menos antepuesto a la fracción.

El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de procedimientos”.

Algunos errores de los estudiantes se deben al uso inadecuado de operaciones, formulas o reglas conocidas en

situaciones nuevas.

Entre estos se encuentran los errores de linealidad como son:

Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva.

Nos damos cuenta del mal uso de esta propiedad como en lo siguiente:

Algunos de los alumnos llegan a aplicarla correctamente cuando el valor que multiplica se encuentra a la

izquierda pero no saben como resolverla si se encuentra a la derecha, como se encuentra en la siguiente

operación.

EL error anterior puede venir de lo que al estudiante se le expone en clase como por ejemplo:


120


Errores de cancelación.

Se encuentran errores como:

Que probablemente viene de:

Donde esta regla da origen a diversas situaciones como:

Configuración epistémica del concepto de fracción algebraica

Si bien es necesario hacer un análisis profundo de la experiencia docente, teniendo en cuenta la propuesta acerca

de la idoneidad didáctica que exponen Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi (2006), quienes han desarrollado un

conjunto de nociones teóricas desde el enfoque ontológico y semiótico (EOS) de la cognición e instrucción

matemática, que permiten explicar muchos de los fenómenos que se producen en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de las matemáticas.

La configuración epistémica es el referente de comparación que permite valorar el proceso de instrucción

implementado, teniendo en cuenta los seis objetos matemáticos del EOS. (Godino, Font y Wilhelmi, 2006).

De acuerdo con Godino et al. (2006) tanto los sistemas de prácticas como los objetos que intervienen y emergen

están relacionados entre sí constituyendo redes o configuraciones epistémicas, es decir, cómo van apareciendo y

relacionándose los seis objetos matemáticos primarios reconocidos en el EOS: situaciones, lenguaje,

procedimientos, conceptos, argumentos y proposiciones; la descripción de tales redes debe ser un objetivo del

análisis epistemológico de una noción matemática desde la perspectiva de la enseñanza y el aprendizaje.

El desarrollo del proyecto se apoyó en la investigación – acción en el aula. La cual acuerdo con Martínez (2000) es

la estrategia que permite la construcción colectiva del conocimiento, pretende desarrollar actitudes, habilidades y

competencias investigativas en los participantes de la investigación. Acorde con Domínguez (2003) es el método de

investigación en el que el investigador, en este caso el docente, tiene un doble rol, el de investigador y el de

participante, también, combina dos tipos de conocimientos: el conocimiento teórico y el conocimiento de un

contexto determinado. Sin dejar de lado la importancia que tienen los estudiantes que pasan de ser sujetos pasivos

a sujetos activos.

El objetivo de la sistematización consistió en evaluar el proyecto de aula “construcción del significado de las

fracciones algebraicas y sus operaciones a partir de las fracciones aritméticas” mediante los criterios de idoneidad

didáctica propuestos en el EOS en el conocimiento de la instrucción matemática. Además se enfoca en contestar

los siguientes interrogantes: ¿En qué medida es idóneo el uso de las fracciones aritméticas como herramienta para

la construcción del significado de las fracciones algebraicas y sus operaciones? ¿En que nivel se corrigieron los

errores el cuestionario inicial?


121


A continuación se hace énfasis a la valoración de la idoneidad didáctica en sus componentes cognitivo,

interaccional y mediacional.

Idoneidad cognitiva: Es importante destacar que para el desarrollo de esta investigación se hizo una revisión

extensa acerca de las fracciones algebraicas para poderlas abordar en el aula de clase, se pretendió revisar la

mayoría de objetos, significados y procesos que permite una construcción significativa. Sin embargo así como se

evidencia en los cuestionarios inicial y final y las opiniones de los estudiantes en la encuesta que se les aplicó, se

presentaron dificultades de comprensión de significados, se abordó el contraste entre el cuestionario inicial y el

cuestionario final el cual nos permite visualizar que tanto los significados construidos por los estudiantes se acercan

a los institucionales.

De acuerdo a los resultados se evidencia en gran medida que los estudiantes siguen cometiendo los mismos

errores, probablemente debido a vacíos que persisten desde años atrás.

Idoneidad Interaccional. Se conoce de antemano qué errores se cometen relacionados a las fracciones algebraicas

mediante una investigación que permitió determinarlos. A pesar de la intervención y la propuesta implementada

basada en construir el significado de las fracciones algebraicas a través de las fracciones aritméticas, sigue

persistiendo, como se muestra en los siguientes protocolos:

Cuando se le pide al estudiante efectuar e indique el procedimiento que permite pasar de la fracción c

ba a

la fracción c

ab

Se ignora el signo menos antepuesto a una fracción.

Al pedirle al estudiante simplificar la siguiente fracción algebraica.6

69 x

Persiste el mal uso de la cancelación.

Y además salen a flote nuevos errores que dificultan aún más la construcción de un aprendizaje significativo,

relacionados con las propiedades de los exponentes y factorización.


122


Idoneidad mediacional. De acuerdo como lo manifiestas los estudiantes en la encuesta faltó poner en marcha

actividades más innovadoras, pero debido al tiempo y al tema era difícil crearlas y ponerlas en marcha. Aunque las

actividades propuestas pretendían que el estudiante saliera de la rutina tradicional.

CONCLUSIONES

De acuerdo a los resultados obtenidos es necesario indagar acerca del quehacer en el aula de clases ya que se evidencia grandes falencias en el desarrollo cognitivo de los estudiantes. Puede ser que un factor importante como no haber abarcado toda la temática sobre fracciones algebraicas haya incidido en los resultados obtenidos. Se evidencia que para desarrollar esta experiencia es necesario un tiempo más prolongado, ya que dar conclusiones sobre la estrategia aplicada como inadecuada o adecuada es demasiado prematuro, sería conveniente replantearla, mejorarla y corroborar su pertinencia. Sin embargo, hay que tener en cuenta que construir el significado de las fracciones algebraicas a partir de las fracciones es algo relativamente nuevo que tiene que ser explorado y ampliado. También es importante reconocer que estas experiencias permiten ampliar la noción que se tiene acerca de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

BIBLIOGRAFÍA Domínguez, R. (2003). La Investigación Acción como Método de Investigación para docentes Recuperado:marzo de

2011, disponible en: http://www.grade.org.pe/ime/docs/presentGRADE.ppt#261,4,... Godino, J., Bencomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. (2006). Análisis y valoración de la idoneidad didáctica de procesos

de estudio de las matemáticas. Paradigma, 27(2). Martínez, M. (2000). La investigación-acción en el aula. Agenda Académica, 7(1), 27-39. Mata, E., Ramírez, M., Porce, A., & Siwert, P. (2009). Deficiencias en la transición de la aritmética al álgebra. II

Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa en el campo de las Ciencias Exactas y Naturales, (págs. 74-80). La Plata.

Palarea, M. (1999). La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación. Nùmeros. Revista de

didáctica de las matemáticas, 3-28. Rico, L., Castro, E., Castro, E., Coriat, M., Marín, A., Puig, L., y otros. (1997). La educacion matemática en la

enseñanza secundaria. Barcelona: Horsori. Socas, M., Camacho, M., Palarea, M., & Hernández, J. (1996). Iniciación al Algebra. Madrid: Sintesis. Velázquez, F. (2003). Una propuesta de tránsito gradual de la aritmética al álgebra. Conferencias y ponencias de las

XJAEM, 669-688. Waldegg, G. (1998). Principios constructivistas para la educación matemática. EMA, 4(1), 16-31.


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COMUNICACION BREVE UN BREVE ESTUDIO HISTORICO Y EPISTEMOLOGICO DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y ANALISIS DE

ALGUNOS LIBROS DE TEXTO Aily Diomara Morales

Matemáticas Pura

Universidad de Pamplona [email protected]

Resumen

En este trabajo se hará un breve resumen del análisis histórico y epistemológico de la función exponencial, la revisión de

algunos libros de texto, y algunos obstáculos epistemológicos presentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la función

exponencial.

Palabras clave: Exponente, función, función exponencial, obstáculo.

Abstract In this work a brief summary of the historical and epistemological analysis of the exponential function, a review of some textbooks and some epistemological obstacles present in the process of teaching and learning of the exponential function.

Key words: Exponent, function, exponential function, obstacle.

INTRODUCCIÓN Cuando los estudiantes aprenden un concepto deben manejarlo con destreza y agilidad en situaciones que lo requieran, ya sea dentro o fuera del aula de clase; el concepto de función exponencial presenta dificultades para que los alumnos comprendan este concepto, es por eso que para lograr que el estudiante entienda este objeto de enseñanza se debe analizar tanto la construcción que ha tenido este objeto a nivel histórico y la forma en como se enseña en las escuelas, estos aspectos son importantes para poder comprender por qué y para que surge este conocimiento matemático.

ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO

Para la investigación histórica referente a la construcción matemática de la función exponencial se toma como

referencia el trabajo hecho por Sierra (2002).

En donde sustenta que la función exponencial aparece implícita por primera vez en los elementos de Euclides, en

donde se enuncia la igualdad , para m y n naturales, luego para la edad Media Nicolás Oresme

(francés, s XVI) vuelve a hallar esta regla hablando de exponentes racionales y estableciendo otras identidades

como . Pero estas ideas no fueron entendidas sino hasta un siglo después cuando N, Choquet

las retoma.

Al parecer la noción de exponente cero, y negativo surge en el marco del pensamiento algebraico de Nicolás


124


Chuquet (siglo XV).

Este matemático en La tripalty en la Science des Nombres (documento fechado en 1484) construyo la noción de

exponente cero y negativo. En este primer momento se nota que Choquet introduce el exponente cero para indicar

que se trata de una cantidad estricta (sin incógnita); es decir no se interpreta como la potencia cero de una

cantidad continua, sino más bien como su ausencia, ejemplo quiere decir doce, (número lineal) indica

12x, (número superficial cuadrado) significa 12 . Se puede ver que Chuquet utiliza estas expresiones para la

economía de la escritura de las multiplicaciones, para esta época no se hablaba de ya que el exponente

cero se utilizaba para denotar la ausencia de la cantidad.

Dentro del pensamiento algebraico existieron exponentes fraccionarios para denotar la raíz cuadrada y la raíz

cúbica. Esta investigación no pudo determinar las razones que motivaron el uso de esas expresiones pero es de

suponer que la relación entre las progresiones aritmética y geométrica tuvo un papel en ello. En todo caso se

refleja un intento de unificar las notaciones de las raíces y los exponentes naturales.

Wallis (1665) en su Arithmetica Infinitorum, resolviendo el problema de las cuadraturas le permite darle un

significado al exponente cero ya que debe tener una razón característica de 1, debe ser una línea

horizontal. Y además afirma que el índice apropiado de debe ser , y además introduce los

exponentes negativos, definiendo al índice de como -1, el índice de como -2, etc.

El paso a exponentes racionales fue debido a Stifel (siglo XVI), y el paso a exponentes reales fue realizado por

Napier (1614-1620) de manera intuitiva, quien es además quien introduce el número de forma muy discreta; J,

Bernoulli (1683) examino el problema del interés compuesto y, durante su análisis del interés compuesto

continuamente, trato de encontrar el . Uso el teorema del binomio para encontrar que estaba

entre 2 y 3. Hasta donde se sabe, la primera vez que el número aparece explícitamente es en 1690; En ese año,

Leibniz le escribió una carta a Huygens en la que usa la notación b para lo que nosotros conocemos por . Por fin el

número tenía nombre (aunque no sea el actual) y era reconocido. Es tanta la notación matemática actual que le

debemos a Euler que no sorprende descubrir que la notación para este número se la debemos a él. La afirmación

que se ha hecho algunas veces de que Euler uso la letra porque era la primera letra de su nombre es ridícula. Es

probable que ni siquiera venga de “exponencial” sino que sea simplemente la vocal que sigue de la “a”, la cual

Euler ya estaba usando en su trabajo. Sea cual fuera la razón, la notación aparece por primera vez en una carta

que le escribió Euler a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respecto a en los años siguientes

pero no fue sino hasta 1748 con la publicación de Introduction in Analysin infinitorum cuando Euler dio un

tratamiento completo a las ideas alrededor de . Demostró que

Y que

Euler dio una aproximación de con 18 decimales, = 2,718281828459045235. Casi todo el mundo acepta que

Euler fue el primero en probar que es irracional. Y sin duda fue Hermite quien probó en 1873 que no es un

número algebraico.


125


De acuerdo con las investigaciones de Sierra (2002). Dentro de la matemática erudita de fines de siglo XVII el

principal objeto de estudio era la curva Una curva en un sistema de referencia involucra las relaciones entre

distintas cantidades geométricas variables definidas con respecto a un punto variable sobre la curva. Tales

cantidades geométricas variables son por ejemplo: ordenada, abscisa, longitud de arco, radio, arco polar,

subtangente, normal, tangente, área entre curva y eje, rectángulo circunscrito, sólido de revolución, etc. Las

relaciones entre esas cantidades geométricas variables eran expresadas, si esto era posible, por medio de

ecuaciones. Pero esto no siempre era posible; ya que justo antes del fin del siglo XVII no había fórmulas para

relaciones transcendentes, (que trascienden las expresiones algebraicas). De entre las curvas que no contaban con

fórmula se encuentra la que hoy conocemos como la función exponencial. En este sentido aparecen dos causas

para la ausencia de una fórmula para las curvas exponenciales: la ausencia del concepto de función y una

matemática que requiera de dimensionalidad en sus interpretaciones. En la primera mitad del siglo XVIII el centro

de interés cambio de la curva y de las relaciones entre las cantidades geométricas a las expresiones algebraicas que

las relacionaban. Las expresiones analíticas que involucraban números y letras, más que los objetos geométricos de

que se apoyaban, se convirtieron en el centro de atención. Este cambio en el foco de interés hizo posible la

emergencia del concepto de función como fórmula que involucraba una variable (y no la cantidad geométrica). En

donde el término variable era referido, por Euler por ejemplo, como:

“una cantidad indeterminada, o universal, que comprende en si misma a absolutamente todos los valores

determinados... en consecuencia, una cantidad variable comprende en si misma absolutamente a todos los

números, tanto positivos como negativos, tanto enteros como fraccionarios, tanto racionales como irracionales y

trascendentales. Ni siquiera el cero o los números imaginarios quedan excluidos del significado de cantidad

variable”

Y función como: “... La función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera

a partir de esa cantidad variable y de números o cantidades constantes...”

Fue bajo estas circunstancias que se construyó la fórmula de la función exponencial tal y como la conocemos en

nuestros días. La fórmula de la función exponencial .

La función exponencial como solución de una ecuación funcional.

Una de las formas de definir la exponencial es la de construirla como solución de una Ecuación Funcional.

Cauchy encontró que la función exponencial era la única función que satisfacía dos propiedades muy importantes.

Cauchy pregunta en su Cour’s de Analyse:

“Determiner la fonction φ(x) de maniere qu'elle reste continue entre deux limites reelles quel conques de la variable

x, et que l'on ait pour toutes les valeurs reelles des variables x et y:”

φ (x + y) = φ(x) φ (y)

(Fragmento de Cauchy, citado por NAGEL, R. (2000).)

Y encontró que evidentemente quien satisfacía esta propiedad era la función exponencial. Se define también una

característica de la función exponencial para la ecuación funcional “Sea una función con dominio en los reales no

nula, continua en el punto cero que verifica que para todos los reales y . Entonces existe


126


un real tal que,”

Para todo real .

De acuerdo con lo anterior deducimos que la función exponencial nace como consecuencias de esta y otras propiedades que cumple, lo que contradice lo presente en la enseñanza de los libros de texto en donde derivan estas propiedades del concepto de función exponencial.

La Exponencial como solución de una ecuación diferencial.

Una de las formas de definir la exponencial es la de construirla como solución de una ecuación diferencial. De acuerdo a Debarre en su exponentielles et logarithmes M´ethode d’euler quien sustenta en un teorema que:

“Existe una única función derivable con dominio en los reales, que verifica que la función evaluada en cero es igual a uno y que además satisface que .” Y de este teorema se deriva otro aspecto importante: “Sea un numero real y una función con dominio en los reales derivable que satisface que: donde determina la derivada de la función .” De aquí se determina que .

ANÁLISIS DIDÁCTICO

Este da cuenta del estado de la enseñanza, los ambientes de aprendizaje, el reconocimiento de las dificultades,

errores y obstáculos en la aprensión de los objetos y su significado.

Revisión Libros de Texto

Para la revisión de los libros de texto se toma al azar un libro de cada época comprendida entre los años 70 y el año

2000, correspondiente al grado 9 de la básica secundaria. Aclaramos que en todos los textos seleccionados la

presentación de la función exponencial rompe toda relación con la componente histórica de este conocimiento

matemático.

Matemática Moderna Estructurada (1976)

En este texto parten de la potenciación, para introducir el concepto de función exponencial. La estructura

fenomenológica esta contextualizada a problemas de la vida real, utilizando también el problema del interés

compuesto como ayuda didáctica.

Serie Matemática Progresiva (1984)

Suponen las propiedades que tiene la función exponencial como ciertas ya que no las demuestran sustentando que

no están al alcance del curso. Pero no son introducidas sino hasta después que introducen el concepto de función

logarítmica, y son utilizadas para demostrar las propiedades de logaritmo. Lo que no concuerda con el estudio

DEFINICION

EJEMPLOS

CARACTERISTICAS

DERIVADAS DE LA

REPRESENTACION GRAFICA

REPRESENTACION

GRAFICA

DEFINICION

EJEMPLOS REPRESENTACION

GRAFICA


127


epistemológico ya que la función exponencial surge como consecuencia de las propiedades que satisface y no al

contrario. Los ejemplos son totalmente descontextualizados, basados en operaciones aritméticas. El esquema

metodológico para la enseñanza es el siguiente:

Matemática 9 (1992)

Se contextualiza la función exponencial con el problema del interés compuesto, es utilizado como un auxiliar

didáctico, para definir la función exponencial, el texto no presenta una definición formal de la función exponencial,

para los ejemplos recurren solamente a los sistemas de representación gráfica. El esquema para la enseñanza es el

siguiente:

Algebra Y Geometría II (2004).

Los ejemplos están basados en operaciones aritméticas, y no son colocados en un contexto real. Nombran las

posibles situaciones en donde sea necesario aplicar la función exponencial, mas no citan ejemplos de cómo

aplicarla a las situaciones nombradas. No se habla de las propiedades que cumplen estas funciones, se suponen ya

conocidas. El esquema metodológico para la enseñanza es el siguiente:

Una Mirada a los Lineamientos Curriculares de Matemáticas.

En los lineamientos curriculares tienen por objeto y cito Tal cual:

“Desarrollar en los estudiantes una sólida comprensión de los conceptos, procesos y estrategias básicas de la

matemática e, igualmente, la capacidad de utilizar todo ello en la solución de problemas”.

“Desarrollar en los estudiantes la habilidad para reconocer la presencia de las matemáticas en diversas situaciones

de la vida real.”

Lo correspondiente al estudio de la función exponencial se encuentra enmarcado en forma implícita en lo que se

denomina “pensamiento variacional” sistemas algebraicos y analíticos.

Los estudiantes de grado noveno deben aprender a reconocer una función exponencial, construir su gráfica en el

Plano cartesiano, y debe describir sus características e identificar sus componentes principales. Los estudiantes

deben tener cocimientos previos: función, reales, plano cartesiano, representaciones graficas que aprenderán

progresivamente en el transcurso de su ciclo académico.

Obstáculos en el Proceso de Enseñanza Aprendizaje de la Función Exponencial.

Al intentar que el alumno construya su significado del conocimiento colocándolo en situaciones donde tengan que

luchar con sus concepciones anteriores y produzcan uno propio que le permita resolver problemas del común,

obviamente la construcción de este conocimiento no está privado de errores, en donde juegan un papel

EJEMPLOS REPRESENTACION

GRAFICA DEFINICION

CARACTERISTICAS

DE LA FUNCION

EXPONENCIAL


128


importante no solo las situaciones diseñadas en torno al conocimiento, sino también las concepciones de los

alumnos, sus nociones previas.

De acuerdo a la investigación de Socas (1997) y Ferrari (2001) encontramos algunos obstáculos epistemológicos

ligados a la enseñanza de la función exponencial.

Cuando se parte de la enseñanza de estructuras multiplicativas desde las aditivas y el uso de las primeras para

introducir la potenciación, se convierte en un obstáculo para la apropiación y entendimiento de las funciones

exponenciales por parte de los alumnos. Por ejemplo, luego que los alumnos dominan la adición, se les ensena la

multiplicación, presentándola como una suma reiterada, es decir: 3+3+3+3+3 = “cinco veces el tres” = 5×3 a su vez,

se los introduce al concepto de “potenciación”, como una multiplicación repetida, por ejemplo:

3×3×3×3×3= “cinco veces el tres” =

Se ve que, ante esta definición de la potenciación desde estructuras multiplicativas,

significa multiplicar la base por si misma tantas veces como indique el exponente. Esta explicación tiene sentido

para los alumnos en tanto se trate de exponentes enteros y positivos, pues se puede traducir como cinco veces el

tres. Pero, qué significado podrían conferirle a , ¿Cómo calcular “media vez el tres” o “raíz de dos veces

tres”? Incluso, ¿qué sentido darle al cálculo de ? ¿Qué significa multiplicar cero veces el dos o una vez el

dos? Respuestas persistentes y que se encuentran con facilidad giran en torno al 0 o al 2.Claramente una notación

que les era familiar y útil, con el que tenían éxito, deja de funcionarles al extender el dominio de validez de los

exponentes. Otro tanto sucede con los exponentes negativos cuando tienen , que lo dotan de otro significado

por ejemplo:

CONCLUSIONES El hecho de suponer las propiedades que satisface la función exponencial (como la ecuación funcional), como una

consecuencia del concepto está en contradicción con el análisis epistemológico de la función exponencial, ya que

este concepto de función exponencial surge como consecuencia de estas propiedades y no al contrario.

Los alumnos presentan obstáculos de carácter didáctico que los llevan a cometer errores y es un papel del profesor

plantear situaciones problemas en donde el uso de los exponentes no naturales tengan significado y sentido.

Los estándares curriculares del ministerio de educación nacional desean desarrollar en los estudiantes una sólida

comprensión de los conceptos, procesos y estrategias básicas de la matemática e, igualmente, la capacidad de

utilizar todo ello en la solución de problemas, además el estudiante debe identificar fenómenos en la física, la

ingeniería, la economía u otras ciencias que pueden modelarse mediante funciones y ecuaciones exponenciales, y

al ver algunos libros de texto nos damos cuenta que los ejemplos no están contextualizados a estas situaciones

problema.

De acuerdo al análisis hecho anteriormente, podemos ver que la enseñanza de la función exponencial puede ser

problemática, ya que los estudiantes tienen dificultad para comprender el concepto de este conocimiento

matemático, lo cual no les permite desenvolverse bien en la resolución de situaciones en donde sea necesario

aplicar estas funciones. Debido a esto surge el interés de diseñar una unidad didáctica que permita que los


129


estudiantes construyan su propio conocimiento, y que esto les facilite identificar y resolver problemas en la física,

economía, u otras áreas; para esto deseo plantear situaciones a los estudiantes, en donde puedan identificar

fenómenos, por ejemplo de crecimiento o decrecimiento de acuerdo a representaciones graficas de diferentes

funciones, además deseo diseñar problemas relacionados a situaciones reales que permita que el alumno vaya

construyendo su propio conocimiento y que pueda superar los obstáculos que lo llevan a cometer errores, en

donde el papel del profesor es el de servir de guía del estudiante, lográndolo llevar a construir el conocimiento, sin

darle la respuesta, o las soluciones del problema, también es importante aclararle al alumno la importancia de

estas funciones, por qué surgieron y para qué son útiles.

BIBLIOGRAFÍA

Ferrari, M. (2001). Una visión socioepistemológica : estudio de la función Logaritmo. Mexico.

Herrera, A. Salgado, D., Nivia, L., Acosta, M., Orjuela, J. (2004). Algebra y geometría II. Editorial Santillana S.A.

pág.154-157.

Klaus, J. Nagel, R. (2000). One-parameter semigroups for linear evolution equations.

Londoño, N. Bedoya, H. (1984). Serie matemática progresiva. Algebra y geometría. Colombia: Editorial Norma.

pág. 200-209.

Martínez, G. (2000). Hacia una explicación sistémica de los fenómenos didácticos. el caso de las convenciones en

el tratamiento de los exponentes no naturales. México D.F.

Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la Educación

Secundaria.

Villegas, M. Melo C. (1992). Matemáticas 2000 9. Editorial voluntad s.a. Santafé de Bogotá D.C. pág. 217-224.

Wills, D. Guarín, H. Londoño,N. Gómez, R. (1976). Serie Matemática Moderna estructurada 4. Colombia: Editorial

Norma.


130


COMUNICACION BREVE UN BREVE ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA QUE

PROMUEVEN LOS LIBROS DE TEXTO. Sonia Milena Molina Cárdenas

Matemáticas Pura Universidad de Pamplona

[email protected]

Resumen

La siguiente propuesta está encaminada a mostrar como los libros de textos a través de los tiempos ha manejado el concepto de proporcionalidad directa y cuál ha sido el recorrido para su enseñanza, además presentaremos las pautas que maneja los Estándares curriculares de Matemáticas.

Palabras clave: razón interna, razón externa, proporción, proporcionalidad.

Abstract

The following proposal is intended to show how the textbooks through the ages has handled the concept of direct

proportionality and how has the tour for his teaching, and presents guidelines that handles the math curriculum standards.

Key words: Intenal reasons, external reasons, proportion, proportional

INTRODUCCIÓN En la enseñanza de la educación los libros de textos marcan una buena pauta para la formación de los estudiantes,

pues son ellos y el docente quienes se encargan de que los mismos adquieran un buen aprendizaje, este trabajo

pretende mostrar un breve análisis de la enseñanza de la proporcionalidad directa a través del tiempo en algunos

libros de textos, basándonos en trabajos como Freudenthal(1983) quien expone y cito textualmente “ todo esto es

tan obvio que como matemáticos ya no nos preocupamos de ello, pero no esperemos que pase desde nuestro

inconsciente al de nuestros alumnos por mera difusión ” esto con el fin de saber cómo ha sido la ruta que se ha

empleado en la construcción del concepto.

Estado del arte:

Freudenthal (1983)

En su trabajo define lo que es una razón como: una función de un par ordenado de números o valores de una

magnitud, razón como una relación en una magnitud y entre magnitudes, define razones internas para referirse a

razones que relacionan pares de números (valores de magnitud) de un mismo sistema; por ejemplo, sean y

dos tiempos y sean y espacios correspondientes en el caso del movimiento uniforme “en tiempos iguales se

recorren espacios iguales” esto da lugar a la expresión : = : y razones externas si se trata de la relación de

valores de dos sistemas, una expresión que provee lo anterior es la siguiente: : = : . Habla de que las


131


razones pueden interpretarse como un cociente, en esta interpretación la razón interna es un número y la razón

externa es una magnitud, y que al establecer una aplicación entre magnitudes, la constancia de razones externas

significa linealidad de la función; en el ejemplo anterior el movimiento uniforme es una función lineal del tiempo en

el espacio.

Fiol y Fortuny (1990)

Definen magnitud como:

* Sea M un conjunto donde se ha definido la relación de equivalencia de "igualdad" y sobre este conjunto

definimos la operación de adición (+), la cual cumple las siguientes condiciones:

1. Uniformidad: Sea a, b, y c M, si a = b entonces a + c = b + c 2. Conmutativa: Si a, b M, entonces a + b = b + a

3. Modulativa: Si a M, entonces a + 0 = 0 + a = a

4. Asociativa: Si a, b y c M, entonces a + (b + c) = (a + b) + c

Los elementos del conjunto M definen una magnitud, entendiendo por tal la cualidad común que hace que los

elementos de M sean igualables y sumables.

* Proporcionalidad entre Magnitudes Diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales si se puede establecer un isomorfismo entre sus

cantidades tal que:

1. Si entonces 2. Si = 3. Si con la unidad de M, entonces

Revisión Libros de Textos:

Los puntos analizados son los siguientes: De qué tipo de ejemplo se parte para introducir el concepto, como se maneja el concepto, cuales son las situaciones problemas que se plantean en el libro.

Matemática practica 2 (1970) La proporcionalidad no se ve reflejada ya que solo se trabaja problemas que involucran razones denominadas por

Freudenthal (1983) internas y las externas no las emplean. Se introduce el concepto de proporción a partir de la

razón, como metodología para ello se emplean representaciones del ser humano y a partir de esto se construye el

concepto, una vez definido el concepto se procede a plantear las tareas de las mismas ilustraciones para ayudar a

fortalecer lo aprendido. La figura siguiente muestra la ruta de construcción del concepto.


132


Como simbología igualdad de razones

Matemática 2 (1984)

No se evidencia la proporcionalidad directa, y construye el concepto de proporción a partir de la noción razón, no se utilizan muchas representaciones que conlleven a una mejor comprensión del tema, tan solo se emplea un diagrama sagital. La metodología empleada es: se da el concepto, un ejemplo, luego propiedades, las tareas planteadas hacen referencia a situaciones cotidianas. La figura siguiente muestra cómo se trabaja este concepto.

Simbología: Signo de signo de fracción decimal

división razón

Dimensión matemática 7 (1993) La manera de construir el concepto de proporcionalidad directa se muestra en el figura adjunta, no se parte de ningún ejemplo para construir el concepto, las representaciones son graficas y las tareas propuestas no están enfocadas a un contexto real.

Se emplean

representacio

nes

Estatura del ser

humano Hacen varios cocientes

Cada cociente

se llama razón

o5 a 10

Proporción

Razón

intern

a

3 ÷5

3:5

0,6

Igualdad

de dos

razones

internas

Proporción

Propiedades


133


se define

Representación

Como como

conlleva

Álgebra y Geometría II (2004)

La manera de construir el concepto de proporcionalidad directa está presente en la figura adjunta, no se parte de ningún ejemplo para construir el concepto, las representaciones son gráficas, la metodología empleada se: se define el concepto, se da ejemplos de gráficas y completar tablas, las tareas propuestas son de contexto cotidiano y tienen la misma estructura que los ejemplos dados.

Concepto

General

donde donde Una mirada a los Estándares curriculares de Matemáticas

Los Estándares curriculares tienen por objetivo que los estudiantes de séptimo grado: • Conozcan las propiedades de una serie de razones iguales o proporciones.

Magnitud

dd

Magnitudes

correlacionadas

directamente

Magnitudes

directamente

proporcionales

Si aumenta una

de ellas la otra

también aumenta

o viceversa

Si están correlacionadlas

directamente y su razón

permanece constante

Grafica

Funciòn lineal Y= mx

Magnitudes

directamente

proporcionales

Se da cuando al

comparar las medidas

que se corresponden

de dichas magnitudes,

se obtiene una razón

constante

Si es la medida de una

magnitud A y es la

medida de una magnitud

B, se dice que A es

directamente

proporcional a B si:

𝑌𝑋=𝑘

es constante

de

proporcionalida

d


134


• Encuentren un elemento desconocido en una proporción.

• Distinguen entre magnitudes directamente proporcionales y resuelvan problemas relacionados con éstas.

• Representen en el plano cartesiano la relación entre dos variables.

• Conozcan las reglas de tres simple y compuesta y las utiliza para resolver problemas pertinentes.

CONCLUSIONES

1. Tomando como referente el trabajo de Freudenthal (1983), no es evidente que se promueva la

comprensión de la proporcionalidad directa en los libros matemática practica 2 (1970) y matemática

2(1984), ya que solo se igualan razones denominadas por Freudenthal internas y las razones externas no

son manejadas.

2. Basándonos en el trabajo de Freudenthal (1983), es indudable que en los libros Dimensión Matemática 7

(1993) y Algebra y Geometría II (2004), se trabaja proporcionalidad directa ya que se igualan razones

denominadas por Freudenthal externas, sin embargo no hay una construcción del concepto, simplemente

se define y se concluye como una función lineal.

3. Fundamentándonos en el trabajo de Freudenthal (1983), concluimos que en el libro Matemática Practica 2

(1970) hay un intento de hablar de proporcionalidad directa, pero no es suficiente y se trabaja razones

denominadas por el mismo como internas, aunque aquí se muestran graficas de la función lineal.

BIBLIOGRAFÍA

Freudenthal, H (1983). Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas. Traducción: Dr.Luis Puig.

Fiol, M.L. y Fortuny, J.M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número. Madrid: Editorial Síntesis.

Olmos, A, Martínes, L.C. (1970): Matemática practica 2. Editorial voluntad S.A. Santafé de Bogotá D.C. pp. 82-95.

Ochoa, L.O, (1984): matemáticas 2. Editorial Susaeta. Medellín. pp.67-72

Perry, P., Guacaneme, E.,Andrade L., Fernández, F. (2003). Transformar la enseñanza de la proporcionalidad en la

escuela: un hueso duro de roer .Bogotá: Universidad de los Andes,pp.164 � 177 Moreno, G., Otálora, A.,

Jiménez, L., Barón, F.

Quispe, W., Gallardo, J. Y González, J. (2005): Que compresión de la fracción fomentan los libros de texto de

matemáticas peruanos.

Londoño, N, Guarin, H, Bedoya, H, (1993): Dimensión matemática 7. Editorial norma S.A. Santafé de Bogotá D.C.

pp. 236-243

MEN (2006).Estándares para la Excelencia en la Educación. Colombia.


135


COMUNICACIÓN BREVE PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL APRENDIZAJE DE LA INTERPRETACIÓN DE MEDIDAS DE VARIACIÓN Y

CORRELACIÓN EN ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN BÁSICA

Agustín Darío Tamayo Yanguma Candidato a Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Universidad Nacional de Colombia [email protected]

Resumen La enseñanza y aprendizaje de la estadística esta influenciada muchas veces a la manera como el docente aprendió en los programas de formación de pregrado, que en muchos casos no tuvo relación con la educación estadística. Este artículo presenta algunas dificultades en la interpretación de las medidas de dispersión al igual una propuesta de trabajo en clase mediante la metodología de aprendizaje activo.

Palabras clave: Aprendizaje activo, errores en trabajo estadístico, taxonomía de Bloom

Abstract

The teaching and learning of statistics is often influenced the way the teachers taught in the undergraduate training programs, which in many cases was not related to statistics education. This article presents some difficulties in interpreting measures of dispersion as a proposal for work in class through active learning methodology.

Key words: Active Learning, errors in statistical work, Bloom taxonomy

INTRODUCCIÓN Actualmente, la sociedad tiene a su disposición un sinnúmero de información, a la que puede acceder desde diversos medios visuales o auditivos (periódicos, televisión, radio o internet) que el estudiante ve en su entorno social, los cuales, en determinados casos requieren que los individuos desarrollen cierto nivel de interpretación, que facilita, en gran medida, la toma de decisiones en cada uno de los contextos en los que interactúa continuamente. De acuerdo con lo anterior, el papel que juegan la estadística, es de suma importancia para lograr la objetividad en la interpretación de todo tipo de información a la que se accede a diario, brindando fundamento tanto en la elaboración de gráficos como en su análisis e interpretación, logrando así, una visión crítica de esta, facilitando la inferencia y extracción de conclusiones. En contraste con la importancia que tiene la estadística, los docentes cuando van a abordar el trabajo en estadística tiene las siguientes dificultades: a. No hay una aplicación de cada uno de los temas de estadística en el entorno del estudiante y la conexión con

otras áreas de conocimiento. b. El tiempo para compartir los temas de estadística en el aula de clase.

Uno de los aspectos más importantes de la estadística es la interpretación de información y en particular la de gráficos para realizar un análisis de las medidas de variación y dispersión de manera crítica. Mi propuesta está dirigida a presentar una serie de actividades que están enmarcadas en el entorno de los estudiantes en los que se pueda analizar las medidas de variación y dispersión, al igual que actividades que estén enmarcadas en otras áreas del conocimiento utilizando el aprendizaje activo como estrategia de aprendizaje.


136


DESARROLLO

Problemas de los profesores acerca del trabajo en Estadística

En general de los docentes que trabajan en el aula en básica primaria, básica secundaria y media vocacional es que esta es un área de difícil manejo, atribuyéndola esencialmente a:

Cambios progresivos de la estadística dentro de la sociedad en lo referente a los contenidos que se están trabajando en el aula de clase.

La falta en las carreras de pregrado de profundidad de la enseñanza de la estadística. Una comprensión de las técnicas básicas de análisis de datos y de la interpretación de los mismos en

situaciones especificas. La utilización de software tanto en el aula de clase como en internet. La investigación de la enseñanza de la estadística en niveles escolares básicos es escasa en comparación

de la investigación de otras áreas de la matemáticas (aritmética, algebra). La cultura propia del docente la cual es el apoyo en materiales concretos para el aprendizaje (esto dado

por las universidades donde se estudio) como sucede en áreas como aritmética o algebra.

Problemas de los estudiantes con el trabajo en Estadística Para los estudiantes el trabajo con los sistemas de datos se les dificulta debido a la interpretación de gráficas de manera errónea, la no interpretación adecuada de las medidas de centralización como de dispersión. Interpretación de gráficos En la interpretación de gráficos acontecen situaciones como las siguientes:

El desconocimiento previo del tema al que se refiere el gráfico. El no estar familiarizado con el contexto. El desconocimiento de los contenidos matemático del gráfico, Con frecuencia la elección de las escalas de representación es poco adecuadas para el objetivo

pretendido. Los autores incluyen, además, una lista de errores de carácter técnico entre los cuales destacamos los siguientes:

omitir las escalas en alguno de los ejes horizontal o vertical, o en ambos; no especificar el origen de coordenadas; no proporcionar suficientes divisiones en las escalas de los ejes.

Dificultades con las medidas de dispersión Para Campbell (1974) un error frecuente es ignorar la dispersión de los datos cuando se efectúan comparaciones entre dos o más muestras o poblaciones. La desviación típica mide la intensidad con que los datos se desvían respecto de la media. Loosen y cols. (1985) hicieron notar que muchos libros de texto ponen mayor énfasis en la heterogeneidad entre las observaciones que en su desviación respecto de la posición central. Como señalan Loosen y cols., las palabras empleadas: variación, dispersión, diversidad, fluctuación, etc. están abierta a diferentes interpretaciones. Es claro para el profesor, pero no para el estudiante, cuándo estas palabras se refieren a una diversidad relativa a la media o en términos absolutos. Aprendizaje activo En esta estrategia de aprendizaje la interiorización de los conceptos es responsabilidad de propia del estudiante, en donde debe haber un cambio tanto de parte del docente como del estudiante de las metodologías en el interior


137


del aula de clase.

Según Jay y Johnson (2002) los estudiantes deberían aprender no solamente como se reflexiona sobre el objeto de aprendizaje y los propios procesos de aprenderlo, sino también sobre perspectivas o marcos alternativos y las implicaciones de lo que se aprende. Los autores hablan de las tres dimensiones de la reflexión y detallan preguntas típicas que pueden estimular la reflexión. 1.1 Como incentivar el aprendizaje activo en el estudiante. Para esto el docente debe proponer actividades que: a. Motivadoras: de forma que capten la atención del estudiante. b. Objetivos claros: tener los objetivos en forma concreta de manera que con el esfuerzo y trabajo del estudiante se alcance el objetivo propuesto. c. Acorde al grupo de trabajo: No deben ser tan difíciles que no se logre el objetivo propuesto y esto conlleve a una frustración del estudiante, pero tampoco fáciles puesto que el estudiante perdería el interés por la actividad. Al mismo tiempo deben ser actividades donde se trabaje en equipos dado que el conocimiento se construye de manera colectiva en su inicio. d. Programación clara: Las actividades deben responder a un plan de asignatura preestablecido por el docente, respondiendo a las necesidades de los estudiantes.

Taxonomía de Bloom y el aprendizaje activo.

NIVEL DEFINICIÓN MUESTRA DE

VERBOS

CONOCIMIENTO El alumno recordará o reconocerá informaciones, ideas, y principios de la

misma forma (aproximada) en que fueron aprendidos

Escriba, liste, diga, defina.

COMPRENSIÓN El alumno traduce, comprende o interpreta información en base al

conocimiento previo

Explique, resuma, describa, ilustre.

APLICACIÓN El alumno selecciona, transfiere, y usa datos y principios para completar un problema o tarea con un mínimo de

supervisión.

Use, resuelva, demuestre, aplique, construya.

ANÁLISIS El alumno distingue, clasifica, y relaciona presupuestos, hipótesis,

evidencias o estructuras de una declaración o cuestión.

Analice, compare, contraste.

SÍNTESIS El alumno crea, integra y combina ideas en un producto, plan o propuestas nuevas para él.

Cree, planee, elabore hipótesis, invente.

EVALUACIÓN El alumno aprecia, evalúa o critica en base a padrones y criterios

específicos. Juzgue, recomiende, justifique


138


1. EJEMPLO DE TALLER APLICANDO EL APRENDIZAJE ACTIVO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS

MAESTRIA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Entregue esta hoja cuando sea requerida por el profesor o el monitor de la clase. Nombre: ___________________________________________________________________ Grupo: ________

Predicción 1: Al realizar un grafico de los compañeros de su curso donde las coordenadas son (estatura, peso), ¿Qué forma tendría la nube de puntos? Predicción 2: De acuerdo con la gráfica ¿Qué relación se sugiere entre el peso de una persona y su estatura? Predicción 3: ¿Se podría afirmar que las personas que tienen la misma estatura tendrán el mismo peso? Predicción 4¿Qué factores considera usted influyen en el peso de una persona?

CONCLUSIONES

El aprendizaje activo colabora con la construcción participativa y dándole significancia por parte del estudiante

de su conocimiento. El solo conocer del tema tratado en su parte teórica, no ayuda a la apropiación de los temas en el entorno

inmediato. Algunas dificultades en el análisis de la varianza y correlación están dadas por la no interpretación de los

gráficos realizados. La taxonomía de Bloom es una buena herramienta para el aprendizaje bajo la metodología de aprendizaje

activo.

LABORATORIO DE APRENDIZAJE ACTIVO - Correlación de Datos HOJA DE PREDICCIONES INDIVIDUAL

Instrucciones: Esta hoja será recogida en cualquier momento por el profesor o el monitor de la clase. Escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en el taller. En la hoja de resultados que se adjunta, puede escribir sus comentarios y llevársela para estudios posteriores.


139


BIBLIOGRAFÍA

Arteaga, P., Batanero, C., Díaz, C. y Contreras, J. M. (2009). El lenguaje de los gráficos estadísticos. UNIÓN, 18, p.

93-104. Batanero, C . y Díaz, C. (2005). El papel de los proyectos en la enseñanza y aprendizaje de la estadística . I

Congresso de Estatística e Investigação Operacional da Galiza e Norte de Portugal Guimarães, Portugal Díaz, C., Batanero, C. y Wilhelmi, M. (2008). Errores frecuentes en el análisis de datos en educación y psicología.

Publicaciones, 35, 109-123 Estrada, A. (2002). Análisis de las actitudes y conocimientos estadísticos elementales en la formación del

profesorado. Universidad Autónoma de Barcelona. Directores: C. Batanero y J. M. Fortuny Institut De Ciències De L’educació Àrea De Formació. El aprendizaje activo. Una nueva forma de enseñar y

aprender. Universitat Politècnica De Catalunya, 2000.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (2002). Estándares curriculares de matemáticas.


140


CONFERENCIA NUEVAS HERRAMIENTAS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Nelsy Rocío González Gutiérrez

Omaida Sepúlveda Delgado Msc. Matemáticas

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia – Tunja Estudiantes Doctorado en Educación RUDECOLOMBIA CADE UPTC

[email protected], [email protected]

Resumen Una base de Gröbner universal de un ideal es la unión de todas sus bases de Gröbner reducidas. Ésta está contenida en la base de Graver, la cual consta de todos los elementos primitivos. La obtención de una descripción explícita de cualquiera de estos grupos es una tarea no trivial, pero el conocimiento de ellas permite solucionar múltiples problemas de aplicación dentro de las matemáticas y fuera de ellas, por ejemplo en problemas de programación lineal entera.

Palabras clave: Bases de Gröbner, Bases de Gröbner Universales, Bases Graver, Ideal Tórico.

Abstract A universal Gröbner basis of an ideal is the union of all its reduced Gröbner bases. It is contained in the Graver basis, the set of all primitive elements. Obtaining an explicit description of either of these sets is a nontrivial task, even though to know of them allows solve many problems inside and outside of mathematics, for example in computing a solution of an integer programming

problem.

Key words: Gröbner Bases, Universal Gröbner Bases, Graver Bases, Toric Ideal.

INTRODUCCIÓN

El estudio de las bases de Gröbner (GB) tiene sus inicios en el año 1965, (Adams & Loustaunau, 1996), siendo Bruno Buchberguer su creador, éstas a su vez dieron origen a las bases de Gröbner universales (UGB) y hacía el año 1975 aparecen las bases Graver (Gr) como una técnica para solucionar, en forma más eficiente, problemas de programación lineal. Más tarde, cerca a 1990 las actividades de investigación en Geometría Algebraica y Algebra Conmutativa se intensificaron con especial énfasis en cálculos efectivos de éste tipo de bases, debido a que se enfocaron en aplicaciones, entre las que se destaca el desarrollo de técnicas para solucionar problemas de programación entera (Sturmfels, 1995). Dicha técnica está basada en el cálculo de la GB de un ideal tórico el

cual está definido con base en una matriz de restricciones, , del problema de programación entera, donde

es el número de variables.

La investigación orientada a problemas de programación entera está enfocada principalmente al desarrollo de algoritmos eficientes para calcular la GB del ideal

Un problema de programación entera tiene la siguiente forma: Dados , Se desea encontrar una solución en

del sistema


141


La cual minimiza la “función costo”:

BASES DE GRÖBNER (GB)

El principal objeto de estudio de la Geometría Algebraica es el anillo de polinomios, en indeterminadas, con

coeficientes en un cuerpo K, denotado por . Entre los problemas más clásicos y elementales que

involucran a los anillos de polinomios se encuentran: el problema de la membrecía a un ideal, el de determinar cuándo dos ideales son iguales, el de encontrar los representantes del anillo cociente y el de

encontrar una base para el K- espacio vectorial , entre otros. Es de resaltar que la solución de la

mayoría de éstos problemas suele presentar bastante dificultad con técnicas clásicas de Álgebra Conmutativa. Una poderosa herramienta computacional usada para resolver éste tipo de problemas es el cálculo de la base de Gröbner del ideal . Las Bases de Gröbner fueron introducidas en 1965 por Bruno Buchberger, en su tesis doctoral,

(denominándolas así en honor a su director de tesis Wolfgang Gröbner) su principal característica radica en proporcionar soluciones algorítmicas para muchos problemas algebraicos concernientes a ideales. En (Adams & Loustaunau, 1996) se puede encontrar un análisis detallado de éstas bases.

Buchberguer introdujo una relación de reducción en el anillo de polinomios para la transformación de

polinomios en reglas y dar un procedimiento terminante para completar una base de un ideal, interpretado como un sistema de reducción. Éste procedimiento se conoce con el nombre de Algoritmo de Buchberger. Para aplicar dicho algoritmo es necesario establecer un orden de términos en , dado que en un polinomio

siempre se requieren conocer su producto de potencias principal, , su término principal, , y su

coeficiente principal, .

Por ejemplo, sea ; si el orden elegido es el lexicográfico, , con ,

entonces , y .

Definición: Para un subconjunto de se define el ideal de términos principales de como

.

Dado un ideal de un conjunto de polinomios no nulos es una base de Gröbner

para si y sólo si .

Aquí la relación de reducción establecida entre dos elementos de es la división de polinomios. Se

escribe para indicar que el polinomio se reduce al polinomio mediante el polinomio , este proceso se

puede realizar en forma iterada y utilizando un conjunto finito de polinomios, hasta encontrar la forma reducida del polinomio, la cual depende del orden de términos elegido en el proceso de reducción. Debido a que el proceso de reducción usado en el algoritmo de Buchberger es el proceso de división, la base de Gröbner obtenida mediante éste algoritmo no es única, la unicidad se obtiene al calcular la base de Gröbner reducida, la cual se halla eliminando de la base de Gröbner los elementos que se dejan reducir por algún otro elemento de la base. Se dice entonces que una base de Gröbner es reducida si cada uno de sus polinomios es irreducible por el resto de los polinomios de la base. Como la base de Gröbner depende del orden de términos elegido, para cada orden se obtiene una base de Gröbner reducida. El algoritmo de Buchberger se encuentra implementado en librerías de software matemático como , ,

, , , entre otros. (Onn, 2010).

BASES DE GRÖBNER UNIVERSALES (UGB)

Las bases de Gröbner Universales permiten solucionar el problema de unicidad encontrado en las bases de


142


Gröbner, ya que una base de Gröbner universal se obtiene al unir todas las bases de Gröbner reducidas del ideal, más precisamente una base que es base de Gröbner, de su ideal, con respecto a todo posible orden de términos admisible es llamada una base de Gröbner universal.

Un paso clave en el cálculo de una solución de un problema de programación entera usando métodos de Algebra Conmutativa es calcular la base de Gröbner de un ideal tórico.

Un ideal tórico es una clase especial de ideal en el anillo para obtenerlo se fija una matriz (que

puede ser vista como un subconjunto de , cada vector está identificado con un monomio

en el anillo de polinomios Laurent .

Se definen: el conjunto y una relación de orden

parcial en :

Se considera el homomorfismo de semigrupos:

, .

La imagen de es el semigrupo .

La función se extiende al homomorfismo de algebras .

Por ejemplo si , se tendrá ;

El kernel de se denota por y se llama el ideal tórico de Se puede probar que es un ideal primo.

El ideal tórico es extendido como un k-espacio vectorial por el conjunto de binomios

Debido a que todo vector puede ser escrito en forma única como donde y son vectores

con componentes positivas y tienen soporte disyunto, el consiste de todos los vectores tal que

y por tanto se puede ver que

.

Ejemplo

Proposición Para cualquier orden de términos en existe un conjunto finito de vectores tal

que .

Definición Un binomio en es primitivo si no existe otro binomio en con que

divide a y que divide a .

Actualmente paquetes como , y son herramientas muy buenas para calcular bases de

Gröbner de ideales binomiales.

Proposición El carácter primitivo de es equivalente al carácter minimal, respecto a , del vector .


143


BASES GRAVER ( )

Una base Graver es una buena aproximación a una base de Gröbner universal, pero en general, estas dos bases son distintas. Sin embargo, se conocen algunos ejemplos particulares en los cuales las dos bases coinciden (Petrovic, 2010). Como se verá más adelante la base Graver de cualquier ideal tórico contiene propiamente a la unión de

todas las bases de Gröbner reducidas de . Cualquier elemento en la base Graver del ideal es llamado un binomio

primitivo.

Definición Una base Graver de es un conjunto de vectores de dichas bases serán

denotadas por .

Lema Todo binomio en la UGB es primitivo.

El lema anterior permite concluir que toda base de Gröbner Universal es una base de Graver.

Con ayuda del algoritmo de Buchberger se han implementado algoritmos en paquetes matemáticos como que

en algunos casos calculan efectivamente bases de Graver, las investigaciones que actualmente se hacen es este campo están encaminadas a mejorar dichos algoritmos, pues tienen complejidad exponencial y al aumentar la cantidad de variables el algoritmo falla.

Lema Existe un algoritmo tal que dada una base Graver de , vectores con , afirma si

es óptimo del problema , con o devuelve un punto mejor

CONCLUSIONES

El estudio de las bases de Gröbner permite resolver problemas de programación lineal entera proporcionando un conjunto de soluciones, de las cuales se requiere elegir una solución óptima, las bases Graver ayudan a solucionar el problema de encontrar dichos óptimos en algunos casos

BIBLIOGRAFÍA Adams, W. & Loustanau, P. (1996). An Introduction of Gröbner Bases, American Mathematical Society. Onn, S. (2010). Nonlinear Discrete Optimization, An Algorithmic Theory, European Mathematical Society. Petrovic, S. (2010). Equality of Graver Bases and Universal Gröbner Bases of Colored Partition Identities, University

Illinois, Chicago, USA. Sturmfels, B. (1995). Gröbner Bases and Convex Polytopes, American Mathematical Society.


144


CONFERENCIA

REPRESENTACIÓN Y MODELACIÓN DE OBJETOS DE LA NATURALEZA Publio Suárez Sotomonte

Magister en Educación GRUPO PIRAMIDE Uptc Tunja


Resumen

La conferencia describe una propuesta didáctica para representar y modelar en el plano y el espacio tridimensional, de manera aproximada, los atractores de fractales autosemejantes y sus familias, que sintetizan (falsean) representaciones de objetos de la naturaleza, usando los ambientes de geometría dinámica y modelación 3D, proporcionado principalmente por aplicaciones como Xfrog, Lsystem 4, Fractal Visión, Ultrafractal, Winfract, VistaPro y Cabri Geometry II Plus y Cabri 3D. Se inicia con una contextualización teórica sobre Geometría Fractal de la Naturaleza, describiendo una clasificación de Sistemas Itererados de Funciones (IFS´s), desde los fractales autosemejantes clásicos, hasta las familias de fractales conocidas como superfractales. A partir de las nociones elementales de geometría euclidiana, geometría cartesiana, geometría vectorial y de la geometría de las transformaciones, de manera particular de la noción de afinidad regular contractiva, se construyen representaciones aproximadas de los fractales de Pitágoras, curvas y estrellas fractales y varios ejemplos de superfractales, empleando las macroconstrucciones como opciones para simular procesos recursivos e iterativos en espacios discretos, además de evidenciar algunos aspectos de la relación entre arte y geometría. Finalmente se hace una descripción de las actividades planteadas y un breve análisis sobre los resultados obtenidos en la fase de Representación-Modelación de objetos de la naturaleza, dentro de la propuesta para aprender Geometría Fractal, usando el software matemático descrito.

Palabras clave: Geometría Fractal, Modelación, Representación, Sistemas Iterados de Funciones (IFS´s), Objetos de la

Naturaleza, Geometría Dinámica.

INTRODUCCIÓN CONTEXTUALIZACIÓN TEÓRICA Geometría fractal de la naturaleza Es considerada como la geometría de inicios del siglo XXI, la cual se desarrolló plenamente como disciplina a partir de la década de los años sesenta, gracias a los aportes del matemático nacionalizado francés Benoit Mandelbrot, quien profundizó sobre temas descubiertos a principios de siglo XX, rescatados del olvido, por los matemáticos más notables como Gauss, Sierpinski, Hausdorff, Cantor, Peano, Hilbert y Julia entre otros, para crear herramientas y modelos que representan los objetos y fenómenos de la naturaleza, con el propósito de descubrir sus secretos y predecir sus comportamientos

25. La Geometría fractal es una herramienta que permite mirar la realidad con otros

lentes, que atrae enormemente la atención de los estudiantes y constituye una teoría para favorecer el desarrollo del pensamiento matemático, de tipo creativo, a través de la resolución de problemas. El nombre de Teoría Fractal de la Naturaleza se origina en el hecho de ser una fabulosa herramienta de tipo geométrico, para modelar muchos objetos naturales que no pueden ser tratados con la geometría euclidea y la geometría diferencial, con ópticas consideradas en el mundo matemático, como tradicionales.

25 MIGUEL DE GUZMAN Y OTROS. Estructuras fractales, Editorial Labor S.A., Barcelona 1993.


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El desarrollo de la informática, las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) y en especial de la computación gráfica, ha permitido abordar campos sobre la representación de modelos geométricos a partir de técnicas para el manejo del dibujo en dos y tres dimensiones. Se puede avanzar en el estudio de fractales gracias a la implementación de procedimientos y algoritmos, formulados de manera más general en la teoría matemática, como por ejemplo el Teorema del Collage y el Juego del Caos en Sistemas Dinámicos, que particularizados en la pantalla del ordenador generan los distintos ejemplos de la viabilidad al modelar la naturaleza, o al menos aproximarse a través de la representación de sus modelos. Al trabajar con procesos algorítmicos el papel del Análisis Numérico es primordial, pues muy difícilmente se puede avanzar en su óptima implementación, sin analizar las implicaciones sobre el uso de métodos recurrentes e iterativos, como la solución aproximada de ecuaciones no lineales. Los métodos iterativos, proveen una excelente oportunidad para estudiar algunos fractales llamados atractores extraños o los fractales en tiempo de escape finito o infinito, como los generados mediante las órbitas de sistemas dinámicos, representados apropiadamente en el espacio de fases, como por ejemplo, los fractales tipo bifurcación, cuando al abordar su estudio no es de interés la convergencia sino la divergencia de ciertas sucesiones. El matemático Michael Barnsley en su texto Fractals Everywhere, muestra otra alternativa, esta vez desde la Topología, al mostrar los fractales como los objetos matemáticos que viven en los espacios de subconjuntos compactos de un espacio métrico completo. El estudio de los sistemas dinámicos dentro de la Dinámica no Lineal, el concepto de la dimensión en Teoría de la Medida y algunas Ecuaciones Diferenciales y sistemas de ellas, para comprender la dinámica de algunos fenómenos naturales, se constituyen en alternativas no solo para emprender el estudio de los fractales, sino para contextualizar dichos conceptos con soporte en las estructuras matemáticas que conforman cada una de las ramas mencionadas. Las visiones futuristas, han incluido en la formación matemática de nuestros futuros estudiantes, este nuevo tipo de geometría dentro de la amplia variedad de opciones como, geometrías no euclidianas (modelos hiperbólico y elíptico), proyectiva, plana absoluta, diferencial, de coordenadas y de grafos. Tal es la dinámica en el desarrollo de la matemática, que algunos han llegado a afirmar “la matemática que se aprenderá y enseñará dentro de diez años, aún no se ha descubierto”. Cuando se habla de la ciencia a prevalecer en el siglo XXI, la geometría fractal y su relación con la teoría del caos, ocupan un lugar preponderante en las propuestas curriculares visionarias. Por esto, se planteó una investigación que pretende sistematizar algunas experiencias al incorporar la naciente Teoría Fractal de la Naturaleza, al currículo de la educación universitaria especialmente en las asignaturas de geometría y análisis numérico en la carrera de Licenciatura en Matemáticas e Ingenierías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, en los aspectos formales y prácticos, específicamente en los elementos teóricos, conceptos, modelos y estructuras matemáticas necesarias para formalizar la teoría de los fractales como herramienta para describir y descubrir los secretos de objetos de la naturaleza; en cuanto al camino más apropiado para abordar el estudio de la geometría fractal de la naturaleza, con el propósito de plantear los cambios curriculares necesarios en educación básica, intermedia y superior, de tal manera que los conceptos de fractales y de teoría del caos, como: dimensión, transformación afín, incertidumbre, iteración, irregularidad, atractor extraño, algoritmo en tiempo de escape, juego del caos, sistemas iterados de funciones, órbita de sistemas dinámicos, entre otros, sean de común manejo en clases de matemáticas, y por último, en lo referente a las estrategias didácticas apropiadas con el fin de brindar ambientes creativos para aprender la geometría fractal, descubrir nuevos modelos y abordar sus aplicaciones, con la ayuda de la representación computarizada. Las diversas aplicaciones de la teoría fractal han permitido trabajar en campos aparentemente alejados de la matemática, como por ejemplo las artes. El diseño de objetos fractales que representen objetos de la realidad, o que plasmen en bellas imágenes las ideas más novedosas producidas por la imaginación de un artista, es una tarea cada vez más popular, gracias a los esfuerzos de los teóricos de la Geometría Fractal y al trabajo de los empíricos en el desarrollo de aplicaciones interactivas que permiten experimentar, bosquejar y crear las imágenes fractales, actividad propicia para el desarrollar la creatividad.


146


Los sistemas iterados de funciones Una formalización bien conocida propuesta por Hutchinnson

26 en su trabajo sobre fractales y autosimilaridad,

proporciona un sustento matemático de los fractales autosemejantes generados por sistemas iterados de funciones, por sus siglas en inglés (IFS’s). El fractal asociado con un IFS, se representa con el atractor. Las afinidades contractivas permiten estructurar y clasificar los diversos tipos de sistemas iterados de funciones que subyacen como modelos matemáticos de los fractales autosemejantes. Las clases de sistemas iterados de funciones (IFS´s), entre ellos los IFS´s con probabilidades y los IFS recurrentes, se afianzan como temáticas fundamentales para modelar los fractales escalantes. Una clasificación de sistemas iterados de funciones

27 ha sido construida en el

ámbito teórico, la cual comprende: los sistemas iterados de funciones clásicos (IFS’s), los sistemas iterados de funciones con probabilidades (PIFS’s), los sistemas iterados de funciones recurrentes (RIFS’s), los sistemas iterados de funciones locales (LIFS’s), los sistemas iterados de funciones de un solo espacio (ssLIFS’s), fractales v-variables y los superfractales

28. Dicha taxonomía pretende entre otras cosas, mejorar los modelos matemáticos para

representar de manera realista los objetos de la naturaleza. Construcción de fractales con Cabri: Fractal estrella 5P

Se describe inicialmente y a manera de ejemplo, la forma de construir la estrella fractal de cinco puntas (5P). La estrella 5P, dibujada como una poligonal cerrada, a partir de un segmento y considerando un ángulo de 36 grados.

29 Se define una primer macro, con dos parámetros, la longitud del segmento y un ángulo específico (Ver

gráfica 1). El orden en que se escogen los puntos iniciales para definir la macro es importante para darle una orientación fija a la construcción. Una segunda macro auxiliar con dos parámetros, permite determinar un segmento trasladado a partir del original, en cada punta de la estrella: el primer parámetro es un factor de homotecia, respecto al segmento semilla y el segundo parámetro es el ángulo de rotación (Ver gráfica 2). Una tercera macro que se construye, graba el mecanismo de reproducción del fractal estrella de cinco puntas, con la cual se puede dibujar la aproximación del fractal, en el nivel deseado. Se pueden grabar macros intermedias de niveles más altos, por ejemplo nivel tres o cuatro, para agilizar el proceso de representación aproximada del atractor.

GRÁFICA 1. SEMILLA GRÁFICA 2. MACRO INTERMEDIA

GRÁFICA 3. MACRO NIVEL 1

GRÁFICA 4. ESTRELLA 5P

26 HUTCHINSON, J. E. Fractals and self-similarity. Indiana: Univ. Math. J. 30 713–749, 1981.

27 WADSTRÖMER ,Niclas. Coding of fractal binary images with contractive set mappings composed of affine transformations. Linköping:

Linköping University, 2001.

28 BARNSLEY Michael, HUTCHINSON John E. and STENFLO Orjan. V -variable fractals and superfractals. Canberra: Australian National University,

Department of Mathematics 2003.

29 LAUWERIER, Hans. Fractals. New Jersey: Princeton University Press, 1987.


147


La clave para construir modelos de fractales dinámicos en el ambiente gráfico de Cabri, es poder definir macros con parámetros en su construcción, que posteriormente se pueden tomar como variables para realizar las animaciones que permiten obtener la familia de fractales con la misma estructura. En la medida que aumente el número de variables, es obvio que se amplía la gamma de representaciones aproximadas de atractores obtenidos. Se presenta a continuación una colección de modelos de fractales dinámicos, elaborados en cada caso, siguiendo un procedimiento análogo al descrito anteriormente. Al analizar los resultados obtenidos, es evidente que surge una variedad de situaciones abiertas (sin resolver), respecto a problemas métricos como áreas, longitudes laterales, formas diversas de los atractores, lugares geométricos, que son una excelente oportunidad para descubrir muchas propiedades geométricas. Con interés didáctico, en la descripción de los sucesivos modelos de fractales dinámicos no se describen los detalles, pues se busca que los estudiantes aprendan a través del descubrimiento. Las situaciones problemáticas que se plantean pretenden ser cuestionadoras, para enriquecer las experiencias de los estudiantes en el campo de las representaciones gráficas. Las construcciones se clasifican de acuerdo con el creciente grado de complejidad y en el proceso de construcción surgen elementos comunes, que se van descubriendo como regularidades que se constituirán en los primeros pasos para trabajar con estructuras fractales. En síntesis, las representaciones expuestas permiten que el estudiante descubra las propiedades básicas en los distintos tipos de geometría usadas en las figuras construidas; mediante la simulación, determina las propiedades de la composición de traslaciones, rotaciones, simetrías, homotecias y en general de transformaciones afines. Tales construcciones son el propósito de la actividad, pero la riqueza en el manejo de las relaciones y proposiciones relativas a geometría euclideana y de las transformaciones, surge como tarea prioritaria para lograr finalmente las representaciones fractales.

Árbol

binario

Estrella

Fractal de Pitágoras

H-Fractal

Fractal Árbol

Ternario

Triangulo Sierpinski-

Koch

Una experiencia en el aprendizaje de fractales. Se contextualiza en una propuesta para el aprendizaje de la Geometría Fractal de la Naturaleza, en la cual proponen las siguientes cuatro etapas su aprendizaje: exploración como actividad de identificación y clasificación de objetos y fenómenos con características fractales subyacentes; representación-modelación como espacio para conocer y dibujar los fractales más famosos, detectar sus características y propiedades, y también la creación por parte de los estudiantes de sus propios fractales en computador; otra etapa es la construcción formal de los conceptos fractales claves soportados en las estructuras algebraicas de espacios vectoriales y por último la etapa


148


de aplicación de los conceptos fractales en la solución de diversos problemas de la vida cotidiana30

. A continuación se describen algunas actividades relativas a una experiencia didáctica en el aprendizaje de tipo de geometría. Para el propósito de la ponencia solo se enfatizará en la etapa de Representación- Modelación. Práctica de campo

Cada año se lleva a cabo una práctica de campo con estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas e Ingenierías de Tunja, para desarrollar principalmente las dos primeras etapas de la propuesta para el aprendizaje de la Geometría Fractal de la Naturaleza. El principal propósito es explorar los parques naturales más reconocidos de Colombia, para detectar objetos de la naturaleza con característica fractal, como árboles de distintas clases, plantas, hojas, flores, piedras, fósiles, paisajes, montanas, formas ramificadas de ríos o riachuelos, que sean susceptibles de ser posteriormente modelados en computador usando aplicaciones de fractales. Exploración de aplicaciones para modelación fractal.

Como actividad primordial se probaron y experimentaron los demos de las siguientes aplicaciones para elaboración y modelación de fractales en computador. Para modelar fractales autosemejantes, generados por Sistemas Iterados de Funciones (IFS´s), se trabajaron con los estudiantes y grupo investigador las siguientes aplicaciones: FRACTAL VISION, FRACTAL 3D, ULTRAFRACTAL, BRAZIL, FANTASTIC FRACTALS, FRACLIN, FRACTGRAF, los programas de cálculo simbólico MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB, y los ambientes de geometría dinámica proporcionados por CABRI GEOMETRE, GEOGEBRA, SKETCHPAD GEOMETRY y CARMETAL. Para Modelar los objetos de la Naturaleza se emplearon las siguientes aplicaciones: FRACTAL VISION, LSYSTEM, IFS-GRAPHICS. Para la creación de paisajes virtuales se emplearon las aplicaciones VISTAPRO 4.0, FRACTAL DESIGN PAINTER y BRYCE 3D. En la siguiente ilustración se muestran algunos de los resultados del trabajo de modelación de los objetos de la naturaleza seleccionados en las prácticas de campo. También se exploró las aplicaciones FRACTPLANT y FRACTALES 1.0 elaboradas en el lenguaje de programación VISUAL BASIC con librerías de OPENGL, por un grupo de jóvenes investigadores del grupo Pirámide

31 e ingenieros de sistemas.

30 SUÁREZ, P. La representación en educación matemática: atractores de sistemas iterados de funciones (IFS’s). II Congreso Internacional

ALAMMI, UPTC, Tunja 2009

31 VIVAS Nancy y MARTÍNEZ Sergio. Fractplant. Modelación 2D Y 3D de objetos De La naturaleza. Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja:

Licenciatura en Matemáticas y Física. UPTC, 2009.


149


Objetos de la naturaleza

Modelados en computador

Gráfica Nro. 5 Modelación en computador de objetos de la naturaleza32

Plantas a partir de IFS’s

Como se evidencia en la parte izquierda de la anterior gráfica, una de las herramientas que se usó para modelar las estructuras tipo ramificación de los objetos de la naturaleza, son los sistemas iterados de funciones (IFS´s) y los sistemas iterados de funciones con probabilidad (PIFS´s), en donde se incorpora la aleatoriedad para generar los gráficos, empleando la representación por puntos y el algoritmo conocido como “juego del caos”. Finalmente se emplearon los sistemas de funciones iteradas recurrentes (RIFS´s), que son estructuras mucho más generales, en donde los coeficientes de las transformaciones se almacenan en matrices, lo cual facilita el trabajo al dibujar modelos parametrizados. Generando grandes paisajes naturales

Modelar y renderizar escenas naturales implica una enorme complejidad. Primero, el terreno debe ser modelado y las plantas deben ser distribuidas apropiadamente para simular más realismo, reflejando la interacción entre los tipos de plantas y su relación con el entorno. Una escena natural, puede consistir en millones de plantas primitivas, que deben ser renderizadas eficientemente, en donde se incorpora la sutileza de la iluminación en ambientes naturales. Un sistema para desarrollar estos ambientes es descrito más adelante, en donde inicialmente se diseña el terreno usando un editor grafico interactivo, la distribución de las plantas la determina el usuario (como si diseñara un jardín), cuyas plantas individuales están representadas por modelos procesados paramétricamente. La complejidad geométrica de la escena se reduce mediante “muestras aproximadas”, en las cuales, plantas, grupos de plantas y plantaciones son aproximadas por objetos representativos, para luego renderizar la escena. Visualización interactiva de ecosistemas complejos de plantas.

El diseño y la visualización de escenas realistas, son usados para simulación de renovación de bosques, plantación de pastos, creación ambientes naturales modificados por el hombre, el diseño de ambientes naturales intermedios, como zonas reforestadas luego de un incendio, entre otras. Existen diversas aplicaciones para tales propósitos. Otras áreas han sido invadidas por el empleo con carácter educativo de estas aplicaciones de modelación de ecosistemas, para animación por computador, expresión artística, simuladores de vuelo y juegos. Métodos de modelación e interfaces de usuario para la creación de plantas

Lintermann y Deussen proponen una aplicación para el diseño de objetos naturales con estructura de ramificación, en donde combinan métodos de modelado para las propiedades geométricas y de estructura, empleando una técnica basada en grafos que contiene iconos para la representación de las componentes. A través de la interface

32 ROLDAN, Marisol. Los fractales y la naturaleza, V 1.0. Dirigida por: Ing Gilberto Calderón y Publio Suárez. Tunja: Universidad Antonio Nariño.

Ingeniería de Sistemas. 1998.


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gráfica, los usuarios determinan las propiedades geométricas y definen las estructuras de reproducción en el sentido de la formación de la planta. Un aspecto importante lo constituye la incorporación de técnicas de modelados para los órganos de la planta, determinando factores de curvatura axial y colateral y editando formas para el contorno, fijados por el usuario. Adicionalmente, se implementan diversas formas de tropismos que simulan la interacción de la planta con su entorno, como por ejemplo la influencia del viento, y efectos como la sensibilidad a la gravedad, gravi-tropismo y a los campos de luz. En las siguientes gráficas se muestra un ejemplo de la generación de la flor Diente de León, presentado por Lintermann y Deussen

33 y elaborado con la aplicación X-frog,

en donde la intuición del usuario experimentado contribuye a obtener excelentes resultados. Una propuesta paralela y similar con las descritas hasta ahora, debida a Deussen, Hanrahan, Lintermann, Mech, Parr y Prusinkiewicz, desarrolla un sistema para representación de ecosistemas, en donde se modela el terreno y sobre este se aplican técnicas de distribución de las plantas de manera realística, reflejando las interacciones entre las plantas y de ellas con su entorno; se emplean modelos geométricos de plantas individuales de acuerdo con su ubicación dentro del ecosistema, las cuales deben ser sintetizadas para poblar la escena y debido a la complejidad de estas, se incorporan técnicas de renderización apropiadas. La modelación y renderización de grandes escenas se hace difícil por la gran cantidad de información que debe manejarse. Esta área seguirá siendo un campo de investigación permanente muy importante de la computación gráfica y su desarrollo se enfatizará en sistemas distribuidos, graficación en tiempo real y en entornos de realidad virtual. La generación individual de plantas empleando estructuras matemáticas de carácter recursivo, constituyen una fase para obtener mejores resultados en la optimización, tanto en la velocidad de procesamiento de los datos, como en el uso de recursos de memoria. Las técnicas de visualización evolucionan y se adaptan a la complejidad del problema de modelación de los ecosistemas. Muchas técnicas han surgido para tratar de solucionar, en parte, este problema. Las aplicaciones e interfases de usuario deben explotar el conocimiento intuitivo de los usuarios experimentados, y la interacción usuario-maquina, permitirá crear y simular procesos naturales cada vez más cercanos a la realidad.

Gráfica Nro. 6 Representación de plantas con Xfrog34

Gráfica Nro. 7 Plantas susceptibles de ser modeladas con fractales V-variables y superfractales

33 LINTERMANN, Bernd and DEUSSEN, Oliver. Interactive modeling of plants. IEEE Computer Graphics and Applications, 1999.

34 LINTERMANN, Bernd and DEUSSEN, Oliver. Interactive modeling of plants. IEEE Computer Graphics and Applications, 1999.


151


Modelación de terrenos

Un nuevo método para la generación de superficies fractales es utilizado por las aplicaciones de computador para modelación y representación de terrenos; una descripción de dicho método y su justificación como herramienta para representar elementos de la naturaleza se presenta en la gráfica Nro. 9. Debido a la complejidad inherente en los sistemas de información geográfica, es necesario reducir las estructuras espaciales, por ejemplo, en lo referente a los conceptos geométricos, a primitivas sencillas como puntos líneas y polígonos. Esta labor es menos complicada cuando se refiere a las estructuras de carácter topológico propia de los sistemas de representación geográfica, cuyas relaciones son complicadas de manipular. En la aplicación que se describe a continuación, solo se trabajan algunas capas de las que componen la base de datos de un Sistema de Información Geográfica (SIG), como la hidrografía, topografía y vegetación, entre otras, y por eso es solo un acercamiento a las opciones de visualización 3D, implementada en algunos SIG. Como se ha visto en la representación geométrica de superficies, casi todos los métodos se basan en la geometría euclidiana, como parte de la geometría diferencial, por ejemplo en el uso de curvas suaves o diferenciables. Pero la geometría que subyace en la naturaleza, no obedece a ese carácter diferencial, sino a la geometría fractal, incorporada como una opción fundamental para modelar las intrincadas superficies irregulares de las montañas, la complejidad en la formación de las nubes, la naturaleza fragmentada de los contornos de las hojas de una planta, las estructuras de ramificación de los ríos y algunos objetos y fenómenos de la naturaleza, solo mencionando algunas de ellas. Un elemento importante en las aplicaciones que modelan terrenos es la incorporación de técnicas de naturaleza fractal, que proporcionan un realismo mayor a la hora de representar las superficies terrestres, las nubes y la vegetación. Creación de paisajes con VistaPro 4.0

El programa VistaPro 4.0 es un simulador de paisajes interactivos 3D, que usa métodos de representación de los terrenos, basados en superficies fractales como una de sus opciones, para generar paisajes fractales de manera aleatoria. Así mismo usa los formatos de gráficos U.S. Geological Survey (USGS), con el cual han sido modelados parte de la topografía de los terrenos de Estados Unidos. También es compatible con el formato de archivo Digital Elavation Model (DEM), que es un formato de archivo que contiene información para reducción de paisajes digitales tridimensionales.

Gráfica Nro. 8 Paisajes virtuales generados con VistaPro 4.0

A continuación se describe la forma general de obtener superficies fractales, sobre la cual se basa el programa VistaPro, para la creación de superficies de terrenos en forma aleatoria, basado en el movimiento browniano y movimiento browniano fraccionario. Dicho mecanismo es un movimiento aleatorio, es decir, cuando una partícula realiza algún tipo de desplazamiento está dependiendo de dos factores, el primero la ubicación en el espacio, y el segundo el tiempo. Si esta partícula realiza un giro inesperado en un tiempo t inesperado, la trayectoria será un tanto desordenada. Pero si se traza la trayectoria de dicha partícula se evidenciará una fuerte relación entre esta clase de movimiento y la geometría fractal. Este tipo de “desorden” puede ser bien aprovechado en diferentes programas de computación, especialmente el VistaPro, que está basado en este movimiento para la realización de paisajes naturales virtuales,


152


tanto en la generación de los terrenos como en la configuración de las formas irregulares, de los contornos de islas lagos, etc. La generación de superficies fractales se basa así mismo, en el llamado movimiento browniano fraccionario

35.

Para explicar el algoritmo fractal de representación de una superficie, se parte de un triángulo, y tomando los puntos medios de cada triángulo se divide en cuatro sub-triángulos. Dichos puntos medios son tomados como nodos que pueden desplazarse aleatoriamente, en sentido vertical de acuerdo con una interpolación aplicada a los ejes, con respecto a los vértices originales. En la gráfica Nro. 10, se ilustran los pasos básicos para la generación de dicha superficie.

Gráfica Nro. 9 Modelación de terrenos con algoritmo fractal (Tutorial VistaPro)

Los modelos de mallas para representar superficies fractales, generalmente usan mallas triangulares, por su simplicidad, aunque puede ser extendida a otros polígonos. Un concepto importante, que incluye VistaPro como un elemento modificable, es la dimensión del terreno fractal, que oscila entre un valor entre dos y tres; la interpretación intuitiva corresponde que entre mayor irregularidad tenga el terreno, la dimensión es cercana a tres, mientras que si se acerca a dos, el terreno tiende a ser mas plano, o regular o suave en el sentido de la diferenciabilidad de la superficie. Representación de objetos 3D en computador

El escenario natural para representar objetos del plano o espacio tridimensional es el espacio vectorial real y la colección de transformaciones afines regulares con la composición usual de transformaciones, que tiene estructura de grupo, llamado comúnmente grupo afín. Las afinidades regulares son usadas en métodos de segmentación para reconstrucción de superficies a partir de modelos volumétricos. Dos grupos de métodos han sido trabajados, “Marching Cubes” y “Octrees”. Los espacios euclideos, obtenidos al dotar a un espacio vectorial de un producto interior, se constituye en el contexto para tratar con las propiedades métricas de modelos representados. Las aplicaciones gráficas disponibles en el medio, para modelación 3D, generalmente usan algunas librerías para gráficos como OpenGL o paquetes de librerías como Java 3D, en lenguajes de programación como Visual Basic, Visual C++ o Java. Para el manejo de las transformaciones bidimensionales y tridimensionales, se usan comúnmente las coordenadas homogéneas, expresadas matricialmente.

Gráfica Nro. 10 Representación 3D con esquemas de subdivisión fractal tomado de la aplicación

MESHMAN

35 QUINTERO, Leonardo. Fractales autosemejantes como modelos matemáticos para la representación de objetos y fenómenos de la naturaleza.

Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja: Licenciatura en Matemáticas y Física. UPTC, 2000.


153


CONCLUSIONES Esta propuesta didáctica, producto de la experimentación con varios grupos de estudiantes de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC), con sede en Tunja, Boyacá, pertenecientes a la Licenciatura en Matemáticas y programas de Ingeniería, se plantea como una alternativa de trabajo para la construcción de conceptos relativos a la Geometría Fractal de la Naturaleza, que puede ser adoptada, reformulada y enriquecida como alternativa viable en otros contextos educativos similares. Los aspectos relevantes, producto de los resultados del trabajo de investigación se pueden sintetizar en:

En la construcción de los dibujos-dinámicos en Cabri Geometry II, descritos en este trabajo, es muy importante, determinar cuales son los parámetros elegidos mas apropiados, para dotar de mayor dinámica a tales construcciones, usando las opciones de desplazamiento y animación contenidas en el menú. De tal elección depende el éxito en la riqueza de las situaciones problemáticas planteadas y la amplitud de los sistemas semióticos que pueda proporcionar el modelo construido. Las situaciones problemáticas acá planteadas, se pueden tipificar como abiertas (“blandas”, en el sentido de J. M. Laborde), pues obedecen a situaciones menos exigentes (en términos de cantidad de parámetros, no de complejidad). Dichas situaciones son más creativas que descriptivas, poseen características que propician la imaginación y el aprendizaje por descubrimiento. El uso del computador como mediador de aprendizaje implica la modificación de los problemas planteados de manera tradicional, de las preguntas y cuestionamientos, de los enfoques para su solución y hasta en la interpretación de los resultados. Algunos atractores generados por sistemas iterados de funciones, con apariencia distinta, contienen una estructura básica común, la evidencia de este hecho clave, es mostrado con el desarrollo de las actividades propuestas. Las macro-construcciones, son las herramientas que permiten simular los operadores de iteración y retroalimentación en el proceso de construcción de fractales. Las posibilidades de estos sistemas semióticos de representación externos (pizarra electrónica), son prácticamente ilimitados. Desde el espacio discreto de la pantalla del computador (o calculadora), y de acuerdo a una buena resolución de pantalla, las representaciones gráficas son percibidas por la mente como un proceso continuo, tal vez de manera espontánea. Las familias de fractales determinadas por los parámetros establecidos o fijados en la fase de construcción, permiten explorar amplios campos en la visualización de aproximaciones de atractores correspondientes a familias de sistemas iterados de funciones en donde subyacen estructuras similares. La propuesta metodológica para el aprendizaje de la geometría fractal de la naturaleza planteada en este trabajo, si bien corresponde a un esquema tradicional, se considera una alternativa muy buena para el nivel universitario. Las etapas de exploración, representación y modelación, construcción formal y aplicación, se pueden implementar en cada uno de los temas a tratar en esta nueva geometría. No necesariamente se deben desarrollan en forma consecutiva o estricto orden. La etapa de exploración no solo motiva al estudiante para afrontar los problemas referentes a esta novedosa geometría, sino que le proporciona una nueva forma de mirar el mundo y la vida, le brinda otros enfoques, para desvelar y descubrir los secretos del fascinante mundo natural. Esta visión permite intuir que en muchos fenómenos y objetos de la naturaleza, subyacen los conceptos matemáticos, solo hay que observarlos con el lente adecuado para detectarlos y caracterizarlos. La fase de representación - modelación es un espacio para el manejo concreto de las transformaciones geométricas básicas, el manejo activo del espacio y el desarrollo de talleres sobre los conceptos fractales básicos. Se pretende en esta etapa: explotar los sistemas semióticos de representación estáticos y dinámicos para rescatar la imaginación tridimensional, corporizar y dominar activamente las transformaciones afines y conceptos fractales, potenciar las capacidades para el dibujo, el diseño y modelación computarizada de objetos naturales abstraídos de nuestra realidad observada. Es el momento para afrontar los problemas matemáticos que afloran del análisis de dichas situaciones, para lo cual se adopta una heurística de resolución de problemas que pretende desarrollar el


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pensamiento matemático. Todas las experiencias acumuladas se enriquecen y son la base para detectar regularidades y abstraer similitudes que conllevan consolidar estructuras que vinculan el conocimiento cotidiano con el conocimiento académico La etapa de construcción formal, permite la aprehensión de los conceptos claves, consolidar nuevas estructuras conceptuales, formalizar ideas contextualizadas en teorías, cimentadas en estructuras matemáticas y unificadas a través de un lenguaje universal. La etapa de las aplicaciones es el espacio ideal para ligar la teoría con la práctica; buscar actividades que desarrollen las competencias que busquen la solución de problemas cotidianos para mejorar las condiciones y calidad de vida de las comunidades. La meta de esta fase prioriza el establecimiento de algunos puentes entre el conocimiento científico socializado (conocimiento de frontera) y tecnología de punta, con el conocimiento académico. La demostración más destacada de la propuesta se evidencia en la fuerte motivación de los estudiantes y docentes en profundizar en el tema de la Geometría Fractal de la Naturaleza, varios de los cuales emprendieron trabajos de grado con éxito en este campo, como se relaciona al final del documento.

BIBLIOGRAFÍA ALSINA, Claudi y TRILLA, Enric. Lecciones de álgebra y geometría, curso para estudiantes de arquitectura.

Barcelona: Editorial Gustavo Gili S.A., 1984. BARNSLEY, Michael. Fractals everywhere. San Diego: Academic Press INC, 1988. BARNSLEY Michael, HUTCHINSON John E. and STENFLO Orjan. V -variable fractals and superfractals. Canberra:

Australian National University, Department of Mathematics 2003. BARNSLEY Michael. Ergodic theory, fractal tops and colour stealing. Canberra: Australian National University,

Department of Mathematics 2003. BARNSLEY Michael. Theory and applications of fractal tops. Canberra: Australian National University, Department

of Mathematics 2005. BRIGGS, John. Fractals, the patterns of chaos. Discovering a new aesthetic of art, science and nature. New York:

Touchstone Simon & Shuster Inc, 1992. HUTCHINSON, J. E. Fractals and self-similarity. Indiana: Univ. Math. J. 30 713–749, 1981.LABORDE Colette. Soft and

hard constructions with Cabri : contribution to the learning of mathematics. Bogota: XVII Encuentro de Geometría, Universidad Pedagógica Nacional, 2006.

LABORDE Colette. Cabri Geometry: una nueva relación con la geometría. Grenoble: Universidad Joseph Fourier, IUFM, 1998.

LAUWERIER, Hans. Fractals. New Jersey: Princeton University Press, 1987. LINTERMANN, Bernd and DEUSSEN, Oliver. Interactive modeling of plants. IEEE Computer Graphics and

Applications, 1999. MASON, John. Pensar matemáticamente. Madrid: Editorial Labor, 1989. MASSOPUST, Peter R. Fractal functions, fractal surfaces y wavelets. San Diego: Academic Press, 1994. MANDELBROT, Benoit. Los objetos fractales, forma azar y dimensión. Barcelona: Tusquets Editores, S.A, 1984. MANDELBROT, Benoit. The fractal geometry of nature. New York: W. H. Freeman and Company, 1983. MIGUEL DE GUZMAN Y OTROS. Estructuras fractales, Editorial Labor S.A., Barcelona 1993. PEITGEN, Heinz-Otto y otros. Fractals for the classroom, part one, introduction to fractals and chaos. New York:

Springer-Verlang, 1992. PEITGEN, Heinz-Otto y otros. Fractals for the classroom, strategic activities volume Two. New York: Springer-

Verlang, 1992. PEITGEN, Heinz-Otto y RICHTER, P. H. The beauty of fractals. Berlin: Springer-Verlag, 1986. PRUSINKIEWICZ, P., AND LINDENMAYER, A. The algorithmic beauty of plants. New York: Springer-Verlag, 1990. PRUSINKIEWICZ, P., AND HANAN, J. L-systems: From formalism to programming languages. In Lindenmayer


155


systems: Impacts on theoretical computer science, computer graphics, and developmental biology. , Berlin: Eds. Springer- Verlag, 1992, pp. 193–211.

SCHROEDER, Manfred R. Fractals, chaos, power laws. Minutes from an infinite paradise. New York: W. H. Freeman and Company. 1996.

SABOGAL M., Sonia. Sobre autosemejanza topológica. Revista Integración UIS: Bucaramanga, 1999. SABOGAL Sonia y ARENAS Gilberto. Una introducción a la geometría fractal. Bucaramanga: Universidad Industrial

de Santander, 2008. SUÁREZ, S. Publio. El aprendizaje de la geometría fractal, Tesis meritoria de magíster en educación, Universidad

Pedagógica Nacional. Dirigida por Novoa, P, Alberto. Tunja: Publicaciones Universitarias, 1996. VASCO, Carlos E. Un nuevo enfoque para la didáctica de las matemáticas. Volumen I y II Bogotá: Ministerio de

Educación Nacional, MEN, 1992. WEGNER, Tim y TYLER, Bert. El mundo de los fractales, convierta los números en una realidad fractal. Madrid:

Ediciones Anaya Multimedia S.A, 1995. MONOGRAFIAS AYALA, Jairo. Simbiosis Matemática Arte. Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja: Licenciatura en Matemáticas y

Física. UPTC, 1997. AYALA, Jairo. Introducción a los sistemas dinámicos y la teoría del caos. Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja:

Especialización en Docencia de la Matemática. UPTC, 1998. HAYTHER, Laiton y BALLÉN Omar. Fractales en 3D. Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja: Licenciatura en

Matemáticas y Física. UPTC, 2001. QUINTERO, Leonardo. Fractales autosemejantes como modelos matemáticos para la representación de objetos y

fenómenos de la naturaleza. Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja: Licenciatura en Matemáticas y Física. UPTC, 2000.

ROMERO, Alfonso y TORRES Javier. Implementación de nuevas tecnologías en el estudio de los sistemas dinámicos y la teoría del caos. Dirigida por Ms. Suárez, Publio. Tunja: Licenciatura en Matemáticas y Física. UPTC, 2003.

ROLDAN, Marisol. Los fractales y la naturaleza, V 1.0. Dirigida por: Ing Gilberto Calderón y Publio Suárez. Tunja: Universidad Antonio Nariño. Ingeniería de Sistemas. 1998.

VIVAS Nancy y MARTÍNEZ Sergio. Fractplant. Modelación 2D Y 3D de objetos De La naturaleza. Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja: Licenciatura en Matemáticas y Física. UPTC, 2009.


156


TALLER APLICACIÓN DE LAS TIC’S, SIMULINK, PARA EL MODELADO Y SIMULACION DE SISTEMAS

DINÀMICOS Zagalo Enrique Suárez Aguilar

Magister en Ciencias Matemáticas, Estudiante de Doctorado en Educación GRUPO PIRAMIDE Uptc Tunja

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Escuela de Matemáticas y Estadística, Grupo de Algebra y Análisis [email protected]

Resumen

El trabajo comprende la utilización de las principales herramientas para la entrada, proceso y salida de información del programa de simulación simulink junto con matlab. Se realiza un análisis de algunos sistemas físicos ilustrativos descritos por problemas de ecuaciones algebraicas o diferenciales ordinarias que se diseñan y se representan mediante modelos, utilizando los bloques predefinidos de simulink para hacer la simulación y análisis.

Palabras clave: simulación, sistemas dinámicos, modelos, bloques, señales

Abstract

The workshop includes the use of the main tools for input, process and output from the simulation program simulink with

matlab. An analysis of some physical systems described by illustrative problems of algebraic equations or ordinary differential

are designed and are represented by models using predefined Simulink blocks to finally make the corresponding simulations.

Key words: simulation, dynamic systems, models, blocks, signals

INTRODUCCIÓN

El propósito de este trabajo es utilizar una herramienta diseñada específicamente para el modelado y simulación de sistemas dinámicos, adecuada para el desarrollo del curso de ecuaciones diferenciales ordinarias a nivel de pregrado, proporcionando al docente y al estudiante una amplia biblioteca de funciones predefinidas tanto para sistemas lineales como para no lineales, con el objeto de concentrarse en el problema y en el modelo matemático que lo representa analizando las entradas, salidas y sus relaciones, dejando al programa la realización de los cálculos numéricos y lógicos. Simulink permite calcular numéricamente la evolución de sistemas dinámicos en tiempo continuo o tiempo discreto, por lo cual lo constituye en un software apropiado para utilizarlo en situaciones como: ilustración de problemas en la enseñanza de la matemática y la física, análisis y diseño de sistemas de control, tratamiento de

señales, etc. Se presentarán modelos específicos de física, representándolos con el software y realizando

diferentes simulaciones analizando los resultados y proponiendo ejercicios.

DESARROLLO 1. Generalidades: Un sistema dinámico es, según Kuznetsov, la representación matemática de un proceso determinístico, (Kuznetsov, 1995). Si se conoce la ley que gobierna su evolución y su estado inicial, se puede


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predecir cualquier estado futuro del sistema. Todos los posibles estados del sistema se pueden representar por puntos en algún conjunto X llamado espacio de estados de esta forma:

X = {x : x es un estado del sistema dinámico}.

La evolución del sistema dinámico supone un cambio de estado en un tiempo t en T, donde T es un conjunto ordenado. Dependiendo de la naturaleza de T, se pueden clasificar los sistemas dinámicos en dos grupos:

Sistemas dinámicos de tiempo continuo, si T = R, reales. Sistemas dinámicos de tiempo discreto, si T = Z, enteros.

Ejemplos: El cuerpo humano, la bolsa de valores de Bogotá, un circuito eléctrico, tanques interconectados donde se mezclan sustancias, etc. Las ecuaciones en un modelo describen el comportamiento del sistema, estas se obtienen a menudo haciendo una simplificación de la realidad. La simulación consiste en utilizar el modelo para establecer la evolución de cierta variable con la esperanza que este comportamiento se asemeje a la realidad. Para realizarla se requieren el modelo y el valor de las entradas en cada instante de tiempo. Mediante un programa o por otros medios se obtienen las trayectorias de las salidas. Hay varios campos de aplicación como en la medicina, ingeniería, donde se puede determinar si modelos se ajustan a la realidad; en la ecología, demografía los modelos permiten predecir el comportamiento de las variables en estados futuros. En la enseñanza es un recurso atractivo y de fácil acceso para proporcionarle al alumno experiencias a un coste menor que en los laboratorios. 2. Bloques predefinidos Entrada de datos. (Fuentes). Elementos que permiten pasar datos iníciales o resultados de otros sistemas al modelo, por defecto simulink dispone de los bloques: constante, reloj, generador de señales, ondas predefinidas, datos desde entradas externas. Salida de datos. (sumideros). Bloques para visualizar o almacenar la evolución de los sistemas los más utilizados son: visor, pantalla, graficoxy, salida al espacio de trabajo, ver (Works, 1999). Ejemplo 1. Modelo para representar la gráfica de la ecuación, y=f(u)=u

2+3u+4, la variable u entre –10 a 10, la salida

en un visor de matlab, en un archivo de nombre salida1 y en una matriz, ver figura (1)

Figura(1). Bloques de entrada y salida


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Modelos lineales continuos. Bloques predefinidos para realizar integrales, derivadas, sumas, productos a funciones. Estos bloques son Integradores, ganancias, sumadores. Ejemplo con la función y=f(u)=u

2+3u+4, hacer un

modelo para representar la integral y la derivada de la función, ver Figura (2).

Figura (2). Modelo lineal continuo

Ejemplo 2. Parametrización del círculo. Sea la gráfica para la parametrización del círculo está dada por, un modelo en simulink que lo representa es el de la figura (3).

Figura (3). Graficas parametrizadas

Esquemas para resolver modelos lineales continuos de primer orden. En esta sección se analizan los bloques predefinidos: ganancias, sumadores, integradores, derivadores, esquemas para resolver modelos lineales continuos de primer orden subsistemas, su funcionamiento y descripción están basados en las referencias (ALAMO, 2008), y algunos ejemplos de modelos descritos por ecuaciones diferenciales fueron tomados de (Richard., 2002). Ejemplo 3. Caída libre La descripción matemática de la caída libre de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad se modela por una ecuación diferencial simple de segundo orden, la solución de esta ecuación determina la posición del cuerpo respecto al suelo. Se Conoce que la caída libre de objetos cercanos a la superficie de la tierra tienen una aceleración constante . La aceleración es la derivada de la velocidad y ésta a su vez, es la derivada de la distancia


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, Luego si se toma como dirección positiva la dirección vertical hacia arriba, se tiene la fórmula, que

es la ecuación diferencial que al resolverla da la distancia recorrida del cuerpo que cae. Si se conoce la altura inicial desde la cual se deja caer el objeto y su velocidad inicial se puede resolver el problema, que corresponde a,

.

Un modelo en simulink que modela este problema es el representado por la figura (4).

Figura (4), Modelo de caida libre de un cuerpo

3. Construcción de modelos continuos. Ejemplo 4. Tiro parabólico. El modelo que describe el lanzamiento de un objeto al aire con cierta velocidad inicial

, y determina el movimiento vertical como horizontal está descrito por el siguiente par de ecuaciones diferenciales ordinarias, que representan las aceleraciones en cada dirección:

Ecuación diferencial para el movimiento horizontal .

Ecuación diferencial para el movimiento vertical .

La integral de cada una de estas ecuaciones representa las evoluciones temporales de velocidades en cada dirección e integrando las velocidades se encuentra el valor de la posición del objeto en cada instante. Un modelo en simulink que encuentra las velocidades y posiciones de un objeto y el tiempo transcurrido en alcanzar el piso,

dadas las posiciones iníciales velocidades iníciales es el

representado en la figura (5), con las correspondientes gráficas obtenidas al hacer la simulación y el tiempo transcurrido en alcanzar el suelo el objeto.


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Figura (5). Modelo tiro parabólico

Ejemplo 5. Péndulo simple. Un péndulo se considerara como una bola de masa m situada en el extremo de una barra rígida de longitud l. Dicha barra tiene un eje de giro (punto o) en el extremo opuesto alrededor del cual puede girar dando vueltas completas. El péndulo está sometido a fuerzas externas, de las cuales se considerar el par resultante T (momento resultante de dichas fuerzas respecto aleje de giro). La posición angular tiene como origen el lado inferior en la vertical del punto o, ver figura (6).

Figura (6). Péendulo simple


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Modelo matemático: Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación respecto al punto de giro o, que relaciona la resultante de momentos de fuerzas respecto al punto o con el momento de inercia respecto a dicho punto J y la aceleración angular (derivada segunda de la posición angular :

,

Se supondrá que en el eje de giro existe un rozamiento viscoso modelizado como un momento proporcional a la velocidad angular, con constante de proporcionalidad B. También se supondrá que la masa de la barra es despreciable respecto a la de la bola, con lo que el momento de inercia es . Teniendo en cuenta que el momento del peso respecto al punto o es,

el modelo del péndulo queda como:

,

que reordenando los términos y simplificando la notación de las derivadas temporales, queda como:

Se puede observar que es una ecuación diferencial no lineal debido al término . Sólo intervienen dos variables: el par que es la entrada (conocida, dato del problema, acción externa sobre el sistema), y la posición angular que es la salida (incógnita del problema). El modelo Simulik para resolver esta ecuación está representado en la figura (7).

Figura(7). Modelo péndulo simple

CONCLUSIONES Con los avances de la tecnología y las comunicaciones, existe una gran cantidad de herramientas informáticas y tecnológicas en todos los campos, entre ellos la educación y la investigación. Es importante como Docentes utilizar y poner a disposición estos recursos motivadores para orientar el desarrollo de diversos temas buscando aprendizajes significativos, en particular aquellos que justifiquen su uso donde los cálculos se pueden volver rutinarios o muy dispendiosos y no permiten un análisis profundo del problema. Se sugiere la utilización de simulink por parte de estudiantes y profesores como recurso didáctico para la enseñanza, aprendizaje, desarrollo de software e iniciación a la investigación en el tema de sistemas dinámicos, incorporando así el uso de las tecnologías de la informática y las comunicaciones en el currículo del programa de Licenciatura en matemáticas.


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BIBLIOGRAFÍA

Alamo, C. T. (2008). Intoducción al Simulink. Modelado y simulación de sistemas dinámicos. Sevilla, España:

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de Sevilla. Kuznetsov, V. V. (1995). Sistemas Dinámicos. Moscú. Richard., B. W. (2002). Ecuaciones Diferenciales y Problemas Con Valores En La Frontera. Mexico D.F: Limusa Wiley. Works, T. M. (1999). Dynamic System Simulation for MATLAB. Using Simulink . Natick, MA 01760-1500: The Math

Works Inc.


163


TALLER LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Luis Arbey Gómez Gómez Magister Scientiae Matemáticas


Resumen

Aprovechando la variedad de herramientas del programa Geogebra, se sugieren dos construcciones: una sobre el límite de una función real y otra, acerca de la construcción de una curva paramétrica.

Palabras Clave: Límite, intervalo abierto, epitrocoide, epicicloide, hipotrocoide, nefroide, cardioide.

Abstract

With an adequate selection of different GeoGebra features, it will be posible perform two exercices: the observation about a limit of a real function (an example) and, the construction of a parametric curve.

Key words: Limit, open interval, epitrochoid, epicycloid, nephroid, cardioid.

INTRODUCCIÓN

El desarrollo del taller "Límite de una función" comprende dos aspectos el primero presenta algunos conceptos

fundamentales relacionados con límite de una función real, un ejemplo y algunas visualizaciones de éste en el

software libre GEOGEBRA. La segunda parte corresponde a curvas paramétricas, se comenta sobre las trocoides

como curvas obtenidas a través de puntos asociados a una circunferencia que rueda sobre otra, se presenta el caso

particular denominado epicicloides, por último se hacen observaciones que permiten la construcción del caracol de

Pacal y la cardioide.

Límite de una función real

El programa Geogebra permite visualizar fácilmente una gran variedad de funciones de valor real. Gracias a sus herramientas geométricas y analíticas, se pueden realizar construcciones donde de manera sencilla se cambian valores o condiciones, sin necesidad de rehacer todo el proceso. Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como

si la siguiente proposición es verdadera (Leithold L.,1998):


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Dado cualquier real , no importa cuán pequeño sea, existe un real tal que

EJEMPLO

Si se considera la función

y se desea evaluar el límite en un valor a>b, en cuyo caso L>0 y se espera

Al seguir la proposición anterior, en la búsqueda del valor o valores adecuado(s) para el real positivo δ, al revisar la

desigualdad correspondiente a |f(x)-L|<ε se encuentra

Y sumando L, aparece

Surgen dos opciones: ε≥L y ε<L. Considerando la segunda, resulta

Modificándola convenientemente se obtiene

Desarrollando los cuadrados

y por la relación de L con a y b se reduce a

Puesto que

entonces se tiene

a partir de la cual, se puede proponer que el real positivo δ tome el valor (o menor) de

Sin embargo, puesto que el intervalo de centro a y radio debe ser subconjunto del dominio de la función, se requiere entonces tener presente la condición: Este hecho será suficientemente visible cuando en Geogebra se desarrolle la construcción.


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Figura 1.

Observación El valor de δ depende no sólo de ε, por supuesto influye el punto a en donde se analiza el valor del límite L.

Visualización en Geogebra Si se propone un primer cálculo para observar sobre la Figura 1, por ejemplo cuando b=1, los respectivos intervalos para el caso a=2 y ε=0.5, junto con el valor de L y tomando el valor máximo

Figura 2. Centros a, L y radios ε, δ

Como un recurso visual, para apreciar las imágenes de los puntos del intervalo de centro a y radio δ, se agregan cuatro segmentos buscando el intervalo de centro L y radio ε, es decir estableciendo la relación |f(x)-L|<ε:


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Figura 3. Imágenes de puntos del intervalo de centro a y radio δ

Se puede obtener una función discontinua, con ayuda del condicional "Si". De tal manera que si a la función inicial se agrega otra, se puede apreciar el resultado en la Figura 4 y continuar manejando los intervalos respectivos. Naturalmente se deben revisar los cálculos para mantener la existencia de límite, en aquellos puntos donde exista. Se espera que la inexistencia del límite en el punto del salto, pueda apreciarse fácilmente.

En general no se espera que una vez hallado el valor de δ para un cierto ε, este radio δ continúe siendo satisfactorio si se modifica el valor del punto a. Cuando tal hecho sucede, y además si la función es continua, se presenta el caso de la continuidad uniforme.

En el siguiente gráfico, se agrega una función sencilla a partir del valor k, definido por un deslizador con la finalidad de tener un gráfico que pueda cambiarse según la curiosidad del interesado:

Figura 4. Nueva función mediante el condicional "Si"

Una Curva Paramétrica Las trocoides son curvas obtenidas a través de puntos asociados a una circunferencia que rueda sobre otra circunferencia. Las epitrocoides son curvas generadas cuando la circunferencia móvil rueda por la parte exterior de la fija. El caso particular de que el punto generador P esté sobre la circunferencia móvil las curvas obtenidas se denominan epicicloides (Castro L, 2010).


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Figura 5. Epitrocoide

Con el fin de describir la curva resultante en el plano cartesiano xy, se facilita iniciar con los centros de las dos circunferencias sobre el eje horizontal, quedando el centro de la circunferencia fija en el origen y, el centro O′ de la circunferencia móvil en la parte positiva del eje x. Ahora, se propone el punto P sobre el eje x pero, a la izquierda del centro O′. La circunferencia móvil gira en sentido antihorario, de tal forma que el punto de tangencia describe arcos iguales; así, siguiendo la figura 5 se tiene

Figura 6. Nefroide: a=2b

Si se asume que el punto donde inicia el movimiento se encuentra sobre el eje x en su parte positiva, la


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relación anterior permite obtener las ecuaciones para el punto P, en función del parámetro ψ:

donde λ>0 determina la distancia del punto P al centro O′. Cuando λ=1 se genera la epicicloide, como se indicó antes. Si λ<1 se denomina epitrocoide acortada y, el caso λ>1 corresponde a la epitrocoide alargada. Observación

Si la epitrocoide es cerrada al cabo de una vuelta, entonces es un entero. Si la epitrocoide es cerrada

después de varias vueltas, entonces a/b es un racional positivo, pudiendo ser un entero (Castro L, 2010).

Por el momento, se desea revisar la construcción en Geogebra, sin acudir a las respectivas ecuaciones

paramétricas, que dependen de ψ (el parámetro).

Los radios de las dos circunferencias se pueden proponer a través de la herramienta "deslizador", con el fin de

modificarlos para obtener diferentes epitrocoides en la misma construcción. El uso de la relación entre y ψ

posibilita trasladar el valor del ángulo ψ de la circunferencia fija sobre la circunferencia móvil, y así registrar

correctamente la huella o el lugar geométrico que describe el punto P.

Además de la nefroide la cual fue estudiada por Huygens y Tschirnhausen alrededor de 1679, otra epitrocoide es el

caracol de Pascal que se genera cuando a=b. La cardioide, un caso especial del Caracol, fue usada primero por De

Castillon (1708-1791).

CONCLUSIONES

La versatilidad del programa Geogebra, en sus herramientas y manejo, permite desarrollar diversos temas ya sea

de tipo analítico o de tipo geométrico.

El seguimiento de puntos, o de ciertos conjuntos en las gráficas construidas, seguramente resolverá y

fortalecerá los conceptos pertinentes.

BIBLIOGRAFÍA

Castro, J. (2010). Análisis de curvatura de cónicas y curvas clásicas. Duitama, Colombia: UPTC.

Leithold, L. (1998). Cálculo con Geometría Analítica. Séptima Edición. México: Oxford University Press.

Programa Geogebra. Disponible en: <http://code.google.com/p/geogebra/downloads/list>


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COMUNICACIÓN BREVE ANÁLISIS DE LA BIFURCACION HOPF EN EL SISTEMA DE VAN DER POL.

Hector Aponte Betancurt Magister en Ciencias Matemáticas

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. [email protected]

Resumen

En un sistema dinámico, el estudio de las bifurcaciones juega un papel importante en el análisis de su comportamiento. Las bifurcaciones pueden ser globales y locales. Este trabajo se encarga de analizar sobre el origen las características fundamentales de estabilidad de la bifurcaciones Hopf local que presenta el sistema de van der pol que depende de un parámetro α. Este análisis se desarrolla calculando el coeficiente de Lyapunov, que nos permite conocer la estabilidad del sistema sobre el origen para un α suficientemente pequeño, dado que para α =0 se tiene la bifurcación.

Palabras clave: Bifurcación Hopf, Van der pol..

Abstract

In a dynamic system, the study of bifurcations plays an important role in analyzing their behavior. Forks may be global and local. This job is responsible for analyzing the origin of the fundamental characteristics of stability of the Hopf bifurcations that the system presents local van der Pol depends on a parameter α. This analysis is developed by calculating the Lyapunov coefficient, which allows us to know the stability of the origin for α small enough, since for α = 0 we have the bifurcation.

Key words: bifurcation Hopf, Van der pol.

INTRODUCCIÓN

El oscilador de Van der pol es un sistema dinámico no lineal que describe un circuito eléctrico, este sistema esta definido por la siguiente ecuación

Donde y es la variable dinámica y α es un parámetro, dado que el sistema tiene un equilibrio en x=0 se quiere analizar su estabilidad localmente en origen para valores diferente del parámetro α, calculando el coeficiente de Lyapunov, dado que el sistema presenta un bifurcación de Hopf en α=0.

DESARROLLO Consideramos un sistema de tiempo continuo dependiendo de un parámetro

Donde f es suave con respecto a x y α. Sea x=x0 un equilibrio hiperbólico del sistema para α=α0. Si el parámetro se cambia un poco, el equilibrio también se mueve, pero permanece hiperbólico. Existen dos formas donde la hiperbolicidad del equilibrio se puede perder: i) si uno de los valores propios de la matriz jacobiana de f evaluada en el equilibrio se convierte en cero λ=0, o ii) si la parte real de dos valores propios complejos de la matriz jacobiana se vuelve cero λ1=iω0, λ2 =- iω0, ω0>0. El primer caso es condición necesaria para que ocurra una


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bifurcación fold o tangente, y la segunda para que ocurra una bifurcación de Hopf. La bifurcación de Andronov-Hopf se caracteriza por la aparición de un ciclo límite, cuando se varia el parámetro α. Existen dos tipos de bifurcación de Hopf, la subcrítica que es cuando el ciclo límite aparece para α<0, es decir, se encuentra antes de la bifurcación; la otra es conocida como la supercrítica que es cuando el ciclo límite aparece después de la bifurcación, es decir, para α>0. Se puede concluir que de tener un punto de equilibrio se pasa a tener además de este punto de equilibrio, un ciclo límite estable. Dado que l1 (0) es el coeficiente de Lyapunov evaluado α = 0

La bifurcación Hopf supercrítica, se presenta cuando l1 (0) < 0, dado que ω0>0 y sus órbitas periódicas son estables. Este caso se caracteriza por el nacimiento o desvanecimiento de una órbita periódica atractora, al momento de variar el parámetro de bifurcación alrededor de α=0. La bifurcación Hopf subcrítica, se presenta cuando l1 > 0, y sus órbitas periódicas son inestables. Este caso se caracteriza por el nacimiento o desvanecimiento de una órbita periódica repulsora, al momento de variar el parámetro de bifurcación alrededor de α=0. Otro tipo de bifurcación Hopf que se presenta es la bifurcación Hopf degenerada, la cual se presenta cuando l1= 0. Esta se caracteriza por la presencia de un centro de Órbitas periódicas, justo cuando el parámetro de bifurcación es igual a 0.

CONCLUSIONES

En conclusión el sistema de van der pol presenta un bifurcación de Hopf supercrítica sobre el origen, dado que el coeficiente de Lyapunov es negativo.

BIBLIOGRAFÍA

Kuznetsov, Y. (2004). Elements of applied bifurcation theory. Third Edition. Springer Noguerol, A. (2006). Análisis de la bifurcación de Hopf en el regulador centrifugo de watt. Robinson, C. (1999). Dynamical systems. Second Edition. CRC Press.


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COMUNICACIÓN BREVE

SOBRE UNIFORMIDADES DEFINIDAS POR CUBRIMIENTOS Y COMPLETADO FIBRA A FIBRA Héctor Antonio Ricaurte Moncaleano

Magister en Ciencias Matemáticas Universidad Distrital Francisco José de Caldas

[email protected]

Resumen

Basado en el artículo “ Fibrewise covering uniformities and completions ”de los autores Y.Konami y T. Miwa, se estudian versiones fibradas de espacios uniformes, cubrimientos uniformes y espacios uniformes generalizados para mostrar la equivalencia entre las topologías generadas por una uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra y por una estructura uniforme fibra a fibra. Además se presenta una construcción del completado fibra a fibra de un espacio g-uniforme fibra a fibra.

Palabras clave: Uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra, uniformidad generalizada fibra a fibra, completado fibra

a fibra.

Abstract

Based on the paper “ Fibrewise covering uniformities and completions ” by Konami and Miwa, we study fibrewise versions of uniform spaces, uniform covers and generalized uniform spaces for show equivalences between the topologies generated by fibrewise covering uniformities and fibrewise uniform structures. Also, we present a construction of the fibrewise completion of a fibrewise g-uniform space.

Key words: Fibrewise covering uniformity, fibrewise generalized uniformity, fibrewise completion.

INTRODUCCIÓN La teoría de espacios uniformes fibra a fibra fue investigada y desarrollada en gran parte por I. M. James en su libro “ Fibrewise Topology ” (1989), donde él presenta los conceptos de la teoría clásica de espacios uniformes aplicados a los espacios uniformes fibra a fibra y a estos últimos los dota de su correspondiente topología uniforme fibra a fibra. La estructura uniforme fibra a fibra que poseen los espacios uniformes fibra a fibra es una versión fibrada de los espacios uniformes definidos en la Topología General. Otros autores como Willard (1968) y Engelking (1989) en sus libros respectivos General Topology, presentan otra manera de definir estructuras uniformes, no solo desde la perspectiva de entornos, sino bajo el concepto de cubrimiento uniforme, y aquellas estructuras se conocen como uniformidades definidas por cubrimientos. Los autores Y.Konami y T. Miwa (2008), presentan la versión fibrada de uniformidades definidas por cubrimientos algo no visto en el libro de James (1989) para definir una uniformidad por cubrimientos fibra a fibra. Para ello, los autores presentan el concepto de par conjugado de cubrimientos y lo adaptan a la teoría de espacios semi-uniformes y espacios uniformes generalizados presentada en el libro de Morita y Nagata (1989). Konami y Miwa presentan esta nueva adaptación como estructura semi-uniforme fibra a fibra y estructura uniforme generalizada fibra a fibra, creando los espacios semi-uniformes fibra a fibra y los espacios generalizados uniformes fibra a fibra. En los espacios uniformes generalizados fibra a fibra se definen conceptos como b-filtro de Cauchy, b-filtro estrictamente de Cauchy, b-filtro estrella, b-filtro estrella débil, éste último se utiliza para definir un espacio


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completo fibra a fibra y el completado fibra a fibra, conceptos que permiten construir una completación fibrada de un espacio uniforme generalizado fibra a fibra (espacio g-uniforme fibra a fibra).

DESARROLLO Esta comunicación corresponde a mi disertación de tesis de maestría y se refiere al estudio sobre la teoría de uniformidades definidas por cubrimientos fibra a fibra presentada en el artículo Fibrewise covering uniformities and completions (2008), cuyos autores desarrollan para extender la teoría de espacios uniformes fibra a fibra dada por James (1989). Es decir, James describe los espacios uniformes fibra a fibra en términos de entornos que tienen un significado similar al que tienen en la teoría clásica de espacios uniformes, mientras que Konami y Miwa introducen la versión fibrada de cubrimientos uniformes, los cuales son otra manera de estudiar la teoría de espacios uniformes. Dada una estructura uniforme fibra a fibra se puede construir una uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra y además sus topologías generadas son iguales. Recíprocamente, para una uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra y bajo la condición de regularidad sobre el espacio base, podemos obtener una estructura uniforme fibra a fibra en donde sus correspondientes topologías generadas son equivalentes. Los profesores Konami y Miwa (2008), también desarrollan la teoría de espacios uniformes generalizados fibra a fibra (resp. espacios semiuniformes fibra a fibra) que es la versión fibrada de los espacios uniformes generalizados (resp. espacios semiuniformes) introducidos por Morita y Nagata (1989). Así, se estudia la noción de un completado fibra a fibra de un espacio g-uniforme fibra a fibra y se muestra una construcción del mismo. Comenzaremos con esbozar algunos preliminares de la teoría de espacios uniformes.

Definición 1. Willard (1968)(Espacio Uniforme). Un espacio uniforme es la pareja donde es un conjunto

no vacío y es un filtro sobre que satisface los siguientes axiomas:

Si entonces , donde .

Para cada existe tal que , donde la operación viene dada por

o , , vemos que es una extensión de la noción de composición de funciones.

Si entonces , aquí es la relación inversa de .

Los elementos de se llaman entornos y a se le conoce como uniformidad sobre

Ejemplos 1. Willard (1968)

Sea un conjunto no vacío y sea . La pareja es un espacio uniforme

discreto debido a que a se le conoce como uniformidad discreta.

, . La pareja es un espacio uniforme y es la uniformidad trivial

Definición 2 Bourbaki (1966) (Sistema fundamental de entornos). Un sistema fundamental de entornos de una uniformidad sobre es cualquier subcolección de tal que para cada existe tal que . Es

decir actúa como una base de filtro para la uniformidad .

De manera similar a los filtros, se puede generar una Uniformidad a partir de una subcolección de ella la cual actúa como sistema fundamental de entornos. Definición 3. Dados y , definimos el subconjunto de . Es decir es el


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conjunto formado por las segundas componentes de los elementos de un entorno. Teorema 1 (Sistema fundamental de vecindades). Para cada , la colección es un

sistema fundamental de vecindades en , haciendo de un espacio topológico. Si es un sistema

fundamental de entornos, la colección

genera la misma topología para .

Ahora podemos definir un espacio topológico uniforme. Definición 4 (Espacio topológico uniforme). La topología asociada a la uniformidad es la topología uniforme

generada por Un espacio topológico es un espacio topológico uniforme o uniformizable, si para

alguna uniformidad sobre .

Otra forma de presentar espacios uniformes es por medio de cubrimientos uniformes. Definición 5 (Cubrimiento uniforme). Un cubrimiento de un espacio uniforme es un cubrimiento

uniforme si para cada elemento de , existe tal que .

Decimos que un cubrimiento de refina al cubrimiento de y escribimos , si y solo si cada está

contenido en algún .

Definición 6. Si es un cubrimiento de y , la estrella de con respecto a es el conjunto

.

Definición 7 (Refinamiento estrella). Decimos que un cubrimiento es un refinamiento estrella de un cubrimiento

(escribimos ) si .

El siguiente teorema permite relacionar los cubrimientos uniformes y los entornos de una uniformidad sobre .

Teorema 2. La colección de todos los cubrimientos uniformes de un espacio uniforme satisface las

propiedades siguientes: Si entonces para algún , y .

Si y entonces .

De manera recíproca, dada cualquier familia de cubrimientos de un conjunto que satisface las anteriores

propiedades, la colección de todos los conjuntos es un sistema fundamental de

entornos para una uniformidad sobre cuyos cubrimientos uniformes son precisamente los elementos de .

Ahora se presentan las versiones fibradas de espacios uniformes y cubrimientos uniformes dadas por James (1989) y por Konami & Miwa (2008) respectivamente. Definición 8 ( Conjunto fibrado sobre un conjunto base). Un conjunto fibrado (rep. espacio topológico) sobre un

conjunto base (resp. espacio topológico) es la tripleta donde es una función ( resp. continua)

que no necesariamente es sobreyectiva. Definición 9 (Fibra sobre Para cada , el conjunto es la fibra sobre .


174


Figura 1. Fibra sobre

Si entonces se define .

Definición 10 (Función Fibrada). Dados , dos conjuntos fibrados sobre un mismo espacio base y

dada una función entre los espacios e . La función es fibrada si .

Figura 2. Función Fibrada Definición 11 (Topología fibra a fibra). Sea un espacio topológico, un conjunto fibrado sobre , una topología

fibra a fibra sobre el conjunto fibrado , es cualquier topología sobre tal que la proyección es continua.

Definición 12 ( Espacio topológico fibra a fibra). Un espacio topológico fibra a fibra sobre un espacio topológico

es un conjunto fibrado con una topología fibra a fibra.

Ejemplos 2. James (1989)

Si es un espacio topológico discreto, un espacio topológico cualquiera y una función,

entonces es continua y es un espacio topológico fibra a fibra.

es un espacio topológico fibra a fibra sobre sí mismo, con la función identidad como proyección.

El producto con espacio topológico y la primera proyección, es un espacio topológico fibra a

fibra. En general, cualquier función continua entre dos espacios topológicos y , convierte a su

dominio en un espacio topológico fibra a fibra. Por ésta razón a la topología fibrada se le conoce como topología de las funciones continuas.

De forma similar a la Definición 1 se obtiene la versión fibrada de espacio uniforme. Definición 13 (Espacio uniforme fibra a fibra). Sea un espacio topológico, un conjunto fibrado sobre , la

pareja es un espacio uniforme fibra a fibra con un filtro sobre si satisface los siguientes axiomas:


175


Si entonces . A cada elemento de se le llama también entorno.

Si entonces para cada existen y un entorno tales que, con

.

Si entonces para cada existen y un entorno tales que,

.

A también se conoce como estructura uniforme fibra a fibra.

Similarmente al Teorema 1 se tiene la versión fibrada de vecindad, sistema fundamental de vecindades y por ende de topología uniforme fibra a fibra aquí

.

Konami y Miwa (2008) definen el concepto de par conjugado de cubrimientos, de refinamiento estrella de pares conjugados de cubrimientos, sistema de pares conjugados de cubrimientos de las bandas fibradas y

otras nociones, que les permiten definir el espacio uniforme por cubrimientos para el caso fibrado. Definición 14 (Espacio uniforme por cubrimientos fibra a fibra). Sea un conjunto fibrado sobre (rep. Espacio

topológico fibra a fibra sobre ), un sistema de pares conjugados de cubrimientos de . Se

dice que el par es un espacio uniforme por cubrimientos fibra a fibra o que el sistema es una

uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra si cumple con los siguientes axiomas: Si es un par conjugado de cubrimientos de y si existe tal que ,

entonces .

Para cada , , existe tal que .

Para cada y cada , existen y tales que y

es un refinamiento estrella del par conjugado .

Para cada y cada , existen y tales que y

.

Para se tiene contiene a la restricción de con respecto a .

Se observa que los dos primeros axiomas de la Definición 14 son una extensión de las dos propiedades del Teorema 2. Dado un espacio uniforme fibra a fibra se puede construir una uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra, y recíprocamente dado un espacio uniforme por cubrimientos fibra a fibra y bajo la condición de regularidad sobre el espacio base podemos construir una estructura uniforme fibra a fibra.

Estos resultados están plasmados en las proposiciones: Proposición 1. Sea un espacio uniforme fibra a fibra entonces el sistema de pares conjugados de

cubrimientos es una uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra.

Aquí los pares conjugados de cubrimientos de la banda del sistema tienen la forma:

Para cada entorno y cada abierto del espacio base , ,

así es un par conjugado de cubrimientos de .

Proposición 2. Sea un espacio topológico regular y sea un espacio uniforme por cubrimientos fibra

a fibra. Entonces la colección es una estructura uniforme fibra a fibra.

Los entornos de la estructura uniforme tienen la forma


176


Para cada , así

Así como existe un sistema fundamental de vecindades que genera la topología de una estructura uniforme

fibra a fibra , de manera análoga para un espacio uniforme por cubrimientos fibra a fibra lo podemos dotar

de una topología por medio de la colección que forma un

sistema fundamental de vecindades para cada , donde el cubrimiento

.

Luego, la topología generada por la colección está descrita como .

Un primer resultado es la equivalencia entre la topología de un espacio uniforme fibra a fibra y aquella topología

generada en el espacio uniforme fibra a fibra por la uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra

. Otro resultado paralelo es la equivalencia entre la topología de un espacio uniforme por cubrimientos

fibra a fibra con el espacio base regular y aquella topología generada en el espacio uniforme por cubrimientos

fibra a fibra por la estructura uniforme fibra a fibra .

Este resultado se enuncia en la proposición Proposición 3.

Para un espacio uniforme fibra a fibra se cumple que .

Si es un espacio topológico regular. Para un espacio uniforme por cubrimientos fibra a fibra se

tiene que .

El siguiente resultado del estudio realizado en mi Trabajo final de Maestría en Matemáticas inspirado en el artículo Fibrewise covering uniformities and completions de los Profesores Konami y Miwa (2008), se refiere a la construcción de un completado fibra a fibra en una uniformidad generalizada fibra a fibra o lo que es lo mismo en un espacio g-uniforme fibra a fibra, el cual es una extensión fibrada de la noción de espacio uniforme generalizado introducido por Morita y Nagata (1989). Todas las demás nociones conducentes a definir el completado fibra a fibra de un espacio g-uniforme fibra a fibra son versiones fibradas del completado de un espacio uniforme generalizado. Pero la construcción del completado fibra a fibra de un espacio g-uniforme fibra a fibra presentado por los Profesores Konami y Miwa (2008) es totalmente innovador. Se enuncia el resultado a manera de teorema del completado fibra a fibra de un espacio g-uniforme fibra a fibra y en estas memorias se omite su demostración ya que ésta es muy técnica. Sin embargo para los que están interesados, la demostración completa y en español está en el link http://www.bdigital.unal.edu.co/2713/1/830219.2009.pdf Teorema 3. es un completado fibra a fibra de .

Aquí denota el espacio topológico uniforme generalizado fibra a fibra y denota la uniformidad

generalizada fibra a fibra.


177


CONCLUSIONES

1. Se muestra la construcción del completado fibra a fibra de un espacio g-uniforme fibra a fibra. 2. Una uniformidad definida por cubrimientos fibra a fibra es una uniformidad generalizada fibra a fibra. 3. Espacios uniformes fibra a fibra y espacios uniformes definidos por cubrimientos fibra a fibra son

homeomorfos, con sus topologías generadas por sus correspondientes estructuras uniformes, la identidad como función continua y con la condición de regularidad sobre el espacio base.

BIBLIOGRAFÍA Bourbaki, N. (1966). General Topology, Part 1, Elements of mathematics, Addison- Wesley. Engelking, R. (1989). General Topology. Berlin: Heldermann Verlag. James, I. (1989). Fibrewise Topology. Cambridge: Cambridge University Press. Konami, Y. & Miwa, T. (2008). Fibrewise covering uniformities and completions. Acta Math. Hungar, 119, 127-

157. Morita, K. & Nagata, J. (1989). Extension of mappings I, in: Topics in General Topology. Amsterdam: North-Holland.

Chapter 1. Willard, S. (1968). General Topology. United State of America: Addison Wesley.


178


COMUNICACIÓN BREVE ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN PROBLEMA DE NEUMANN PARA UN MODELO DISCRETO

ASOCIADO A UN OPERADOR DE DIFUSIÓN NO LOCAL CON TÉRMINO DE ABSORCIÓN Luz Adriana Pabón Cachope

Maestría en Ciencias Matemáticas Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia – I.E Técnica Eduardo Barajas Coronado

[email protected] [email protected]

Resumen

Estudiamos las soluciones de un problema de Neumann para un modelo discreto asociado a una ecuación de difusión no local con término de absorción, probamos existencia y unicidad de las soluciones, un principio de comparación, luego se analiza la consistencia de las soluciones y finalmente se estudia el comportamiento de las soluciones con un término de absorción con un fenómeno nombrado extinción.

Palabras clave: Difusión no local, absorción, condición de Neumann, extinción, consistencia

Abstract

We study the solutions of Neumann problem associated to nonlocal diffusion equation with absorption term, we prove existence and uniqueness and comparison principle. Next, we analyze quenching behavior of solutions for especial cases of absorption term.

Key words: Non-local diffusion, absorption, Neumann condition, quenching.

INTRODUCCIÓN

Diversas situaciones de mecánica, física, biología y muchas otras áreas de aplicación como procesos de crecimiento y migración de poblaciones, utilizan las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) para modelar procesos, al estudiar las (EDP) que modelan estos fenómenos es importante garantizar existencia y unicidad de las soluciones y dependencia continua de dichas soluciones con condiciones iniciales y como se comportan dichas soluciones a diferentes tiempos. Analizaremos un problema con condición de frontera Neumann para caso discreto. Primero nos aseguraremos que el problema esté bien planteado, luego mostraremos que las soluciones del caso discreto convergen al caso continuo, (análisis de consistencia) y por ´ultimo analizaremos un fenómeno conocido como extinción de las soluciones.

DESARROLLO Hay procesos de reacción-difusión que son modelados por la siguiente ecuación:

(1) donde J : una función no-negativa, suave, simétrica J(−r) = J(r) , estrictamente creciente en *−1, 0+, de

soporte compacto y con ; ver [4]. En [4] la función u(x, t) representa la densidad en un punto x en

un tiempo t y J(x − y) representa la distribución de probabilidad de saltar de la posición y a la posición x entonces




179


(J * u)(x, t) es la razón con la cual lo individuos llegan a la posición x desde las otras posiciones, en forma análoga

representa la razón con la cual los individuos en la posición x viajan a cualquier

otra posición. Estas consideraciones en ausencia de fuentes externas llevan a que la densidad u(x, t) satisfaga la ecuación (1). Un modelo de difusión no-local no-lineal, donde la difusión en un punto depende de la densidad es

estudiado por Córtazar, Elgueta y Rossi en [3]. En el cual representa la distribución de

probabilidad de saltar de la posición y a la posición x, cuando u(y,t) > 0 y 0 en caso contrario. Por lo tanto

, representa la razón de los individuos que saltan a la posición x de otros lugares y

, bajo estas condiciones la densidad u satisface:

Ellos analizan en [3] para (2) la existencia y unicidad de las soluciones, también demuestran que las soluciones satisfacen la propiedad de propagación finita. Luego Bogoya, Ferreira y Rossi en [2] estudian el problema de

Neumann asociado a (2) , el cual es: (3) en *−L,L+×*0,∞) con dato inicial u(x,

0) = u0(x). Para este modelo se asume que ningún individuo puede salir o entrar del dominio *−L,L+. Lo que indica que el flujo de individuos a través de la frontera es nulo, entonces se tienen las condiciones de frontera de Neumann. De la ecuación (3) se realizó el estudio de existencia y unicidad de las soluciones, un principio de comparación y el comportamiento asintótico de las soluciones, ver [2]. Igualmente se analizó el modelo discreto asociado a (3);

con dato inicial ui(0)=u0(xi), para i = −N, ...N . Los autores estudian la existencia y unicidad, el comportamiento asintótico de las soluciones de (1.4). Luego Bogoya en *1+ estudia la generalización del problema (3) en N ≥1 dimensiones teniendo en cuenta una fuente, más aún el problema que estudia es

en Ω × *0, T), con dato inicial u(x, 0) = u0(x). Ω es un dominio acotado con frontera suave, f es una función

creciente positiva que representa la fuente del modelo y α es un parámetro con .

Luego Mora en [5] analiza el modelo asociado a (5), con término de absorción.

y dato inicial u(x, 0) = u0(x). En (6) se analiza, existencia y unicidad, dependencia continua de las soluciones y el fenómeno de extinción. Descripción del problema: Nuestro interés es el estudio del problema de Neumann con término de absorción para el modelo discreto


180


con h > 0, dato inicial ui(0) = u0(xi) para i = −N, · · · ,N., siendo f no negativa, creciente y Lipschitz. En el análisis de existencia y unicidad del problema (7), se establecer ‘a un espacio y operador apropiados para garantizar el teorema del punto fijo de banach. Para ello se utilizar el espacio con i=-N,…N,

dotado de la norma:

En donde , (9), en el espacio X = C([0, t0]; lh1) con t0> 0 fijo. La existencia y unicidad de la

solución de (7) es consecuencia del Teorema del punto fijo de Banach, para tal fin se construye el siguiente operador:

Así:

LEMA: Sean (w0,i)i , (z0,i)i, para todo i = ,−N, ...,N- con componentes no negativas tales que (w0)i , (z0)i 2 l1h, para todo h > 0 , f una función Lipschitz con constante de Lipchitz K y (wi)i,(zi)i2 Xt0 entonces existe una constante ˜ C = C(h,K) positiva tal que:

Teorema de existencia y unicidad

Para toda (w0)i con componentes no negativas, para f una función positiva y Lipschitz

existe una única solución del problema (7). Como consecuencia del Teorema de Existencia y unicidad y del lema anterior se tienen como consecuencia las siguientes observaciones: Observación 1: Las soluciones de (7) dependen continuamente de las condiciones iniciales , en el siguiente sentido: si (ui) i y (vi)i , son soluciones de (7) con datos iniciales ui (0) y vi (0), entonces existe una constante C=(t0 , J, L) tal que:

Observación 2: ui, con i = −N, ...,N es solución de (2) si y sólo si:

. A continuación se presentará un Teorema de comparación válido para soluciones continuas.


181


Teorema de comparación Sean ui(t), vi(t) soluciones continuas de (7), con datos iniciales ui(0), vi(0) respectivamente . Si ui(0) _ vi(0) para todo i = −N,···,N entonces ui(t) _ vi(t), para todo t > 0.

Análisis de consistencia Se analizar la consistencia del problema para garantizar que las soluciones del problema (7) convergan a las del problema (5). Para esto se tiene: TEOREMA Sea u(x, t) ϵ C1 solución positiva del problema continuo (5) , ui(t) solución del problema discreto (7) y f una función lipschitz. Entonces

existe una constante Č= Č(J, T,L), tal que: (13). Análisis fenómeno de extinción

Se hará el estudio del fenómeno de extinción para la solución; cuando el término de absorción es f(u) = up. Definición: Sea f una función a valor real, decimos que u se extingue en tiempo finito T si existe T > 0 tal que:

Con base a lo anterior tenemos el siguiente teorema: TEOREMA: Sea ui(t) solución de (7) con condición inicial (u0)i t > 0, y f(u)=up : i) Si p≥1, entonces ui(t)> 0, 8i = ,−N, ...N-.

ii)0≤p< 1, existe T > 0 tal que CONCLUSIONES Demostramos la existencia y unicidad de las soluciones, un principio de comparación válido para soluciones continuas para (7). Además se demostró que las soluciones del problema continuo convergen a las del problema discreto (7). En cuanto al análisis de extinción de las soluciones de (7) obtuvimos el siguiente teorema. Sea ui(t) solución de (7) con condición inicial (u0)i t > 0, y f(u)=up : i) Si p≥1, entonces ui(t)> 0, 8i = ,−N, ...N-.

ii)0≤p< 1, existe T > 0 tal que


182


BIBLIOGRAFÍA

Bogoya M. Blow up for a nonlocal nonlinear diffusion equation with source. Sometido.

Bogoya M. (2007), Ferreira R, and Rossi J.D. Newmann Boundary conditions for a nonlocal nonlinear

difusion operator. Continuos and Discrete Models. Proceedings of the American Mathematical Society. Vol. 135(12), 3837-3846.

C Cortazar.,M Elgueta .and J.D Rossi. (2005). An nonlocal difusion equation whose solutions develop a

free boundary.Annales Henri Poincar. vol 6(2),pag 269-281. P Fife. (2003). Some nonclassical ternds in parabolic and parabolic-like evolutions. Trends in nonlinear

analysis. Springer. Berln. Mora S. Claudia. (2010). Tesis: Análisis de las Soluciones de un problema de Neumann asociado a una

ecuación de difusión no local con término de absorción. Universidad Nacional.


183


COMUNICACIÓN BREVE

ESTUDIO DE UN MODELO DE DIFUSIÓN NO-LOCAL EN N DIMENSIONES. Luz Maricel Elorreaga Rodríguez

Magister en Ciencias Matemáticas Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.

[email protected]

Resumen

El presente trabajo se refiere al estudio de la generalización de un modelo de difusión simple en N dimensiones (Bogoya, 2008, p. 601-625), considerando una fuente externa f :

con dato inicial

Se prueba la existencia y unicidad, se valida el principio de comparación y se analiza el fenómeno de explosión de las soluciones.

Palabras clave: Difusión, no-local, existencia, unicidad, fuente, explosión.

Abstract

This work concerns the study of the generalization of a simple diffusion model in N dimensions (Bogoya, 2008, p. 601-625) considering an external source f:

with initial data

We prove the existence and uniqueness of the solution, and the validity the comparison principle. Next, we analyzed the phenomenon of blow-up of the solutions.

Key words: diffusion, nonlocal, existence, uniqueness, source, blow-up.

INTRODUCCIÓN Ecuaciones de la forma:

y variaciones de está han sido recientemente usadas para modelar procesos de difusión, (Bates, 1997 p. 105-136.) y (Fipe, 2003). Esta ecuación es llamada ecuación de difusión no-local, debido a que el término difusión además de depender de x, depende de valores de y que estén en una vecindad de x. Como se puede ver en Groisman , (2001 p. 135-155). la ecuación (1) comparte algunas propiedades con la ecuación del calor, entre ellas, el principio del máximo y la propiedad de propagación de velocidad infinita.


184


Cortázar ( 2005, p. 269-281) propone el siguiente modelo de difusión simple, no lineal y no local, donde la difusión para un punto depende de la densidad:

Allí se estudia la existencia y unicidad de las soluciones, un principio de comparación para las soluciones continuas, y el análisis de frontera libre. Luego ( Bogoya, 2007.p. 3837-3846) estudian el problema:

En con dato inicial

En ( Bogoya, 2007.p. 3837-3846) se estudia para (3) la existencia y unicidad de las soluciones, un principio de comparación y el comportamiento asintótico de las soluciones, las cuales convergen al valor medio del valor inicial. Posteriormente, Bogoya ( 2008, p. 601-625) estudia la generalización del problema (2) en N dimensiones , con dato inicial y , el cual conlleva al problema:

Allí se estudia la existencia y la unicidad de las soluciones, un principio de comparación para las soluciones de este modelo y se demuestra que (4) tiene un comportamiento análogo a la ecuación de medios porosos.

DESARROLLO El presente trabajo se refiere al estudio de la generalización del modelo (4) de difusión simple, no- lineal en N dimensiones (Bogoya, 2008, p. 601-625), considerando una fuente externa f y para analizarlo se tiene que:

1. La distribución de probabilidad de saltar de la posición y a la x está dada por:

2. La razón de cambio de los individuos que llegan a la posición x de otros lugares es:

3. La razón de cambio de los individuos que viajan de la posición x a otros lugares es:

4. f es la fuente externa del modelo, la cual satisface:

, función convexa, creciente con


185


Las cuatro condiciones anteriores, conducen a que la densidad satisfaga:

con dato inicial

CONCLUSIONES

El problema (5) tiene única solución, la cual explota en tiempo finito y el análisis de explosión de la solución de la solución para algunas fuentes nos permite enunciar el siguiente teorema. Teorema. Sea la solución de (5) con condición inicial , se tiene que:

1.Si con , entonces

2. Si , entonces .

3. Si con , entonces .

BIBLIOGRAFÍA

Bates, P., Fipe, P., Ren, X. y Wang X. (1997). Travelling waves in a convolution model for phase transitions. En: Arch.Rat.Mech.Annal. Vol.138.

Bogoya, M., Ferreira, R. y Rossi, J. (2007) Neumann boundary conditions for a nonlocal nonlinear diffusion

operator. continuous and discrete models. En: Proceedings of the American Mathematical Society. Vol. 135 Bogoya, Mauricio. (2008). An nonlocal nonlinear diffusion equation in higher space dimensions. En: Mathematical

Analysis and applications. Vol. 334 . Cortazar, C., Elgueta, M. y Rossi, J. (2005) A non-local diffusion equation whose solutions develop a free

boundary. En: Ann. Henri Poincaré. Vol 6. Fipe, Pipe. (2003). Some non classical ternds in parabolic and parabolic-like evolutions. Trends in no linear analysis

Berlin: Springer . Groisman, P. y Rossi, J. (2001) Asymptotic behaviour for a numerical approximation of a parabolic problem with

blowing up solutions. En: Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 135.


186


COMUNICACIÓN BREVE LA ECUACIÓN DE LAPLACE, EL PROBLEMA DE DIRICHLET

Alexis Favian Malpica Vega Magister en Ciencias Matemáticas


Resumen

En esta comunicación se expone de manera elemental el estudio de una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes de la física matemática, la ecuación de Laplace y en particular el problema de Dirichlet.

En primer lugar se encuentra un ejemplo del problema de Dirichlet, este se plantea sobre la bola unidad del plano.

Siendo

con g continua, se construye el núcleo de Poisson y se resuelve el problema utilizando series de Fourier. A partir de este ejercicio se desea mostrar otros métodos para resolver el problema de Dirichlet, como es el caso a través de las fórmulas de Green y de las soluciones radiales se llega a encontrar la función de Green para el Laplaciano. Después se obtiene la función de Green en una bola de ℝⁿ la cual resuelve el problema de Dirichlet..

Palabras clave: Problema de Dirichlet, ecuación de Laplace, Función de Green, Soluciones radiales.

INTRODUCCIÓN Una solución particular de la ecuación de Laplace en una región plana y acotada R está determinada por condiciones adecuadas en la frontera. El problema de encontrar una solución de la ecuación de Laplace que toma valores determinados en la frontera se conoce como Problema de Dirichlet en honor de Peter Gustav Lejeune Dirichlet. El problema de Dirichlet en el disco unidad de R

2

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en el disco unidad de R

2, consiste en encontrar una función u

con segunda derivada continua que satisfaga las condiciones

Siendo

y g continua en la circunferencia unidad.


187


Por la simetría del problema se utilizan coordenadas polares. Llegando a la expresión

Entonces la ecuación de Laplace en cordenadas polares resulta ser

La función es una función continua y de periodo 2π, es decir .

Análogamente, llamando de nuevo a la composición, , se obtiene

.

En resumen, el problema en coordenadas polares resulta ser:

Para resolver el problema anterior se utiliza el método de separación de variables, es decir se buscan soluciones de (1) que sean de la forma

Así la ecuación

se transforma en

Se observa que el término de la izquierda no contiene a θ, en consecuencia no cambia cuando θ varía. Análogamente el miembro de la derecha no contiene a r, luego no cambia al variar r. Como los dos términos son iguales, su valor común no puede cambiar cuando se modifica alguna de las variables y en consecuencia debe ser una constante σ y puede demostrarse además que esta debe ser real. A σ se le llama constante de separación.

De la expresión se obtiene el siguiente par de ecuaciones diferenciales ordinarias

tiene que ser periódica en θ. Para un punto dado , en cada punto con , debe obtenerse el

mismo valor. Para solucionar las ecuaciones diferenciales ordinarias se consideran por separado los tres casos:

.

Para , se tiene , de donde


188


luego

Puesto que cuando , entonces , ya que debe ser acotada. Escogiendo a se

tiene

Por otro lado la expresión con , queda

Su solución viene dada por

y por ser periódica tiene que ser , y así

Haciendo , se llega a

Para , sea , con . Luego las ecuaciones a solucionar son

y

Para la última ecuación se suponen soluciones de la forman , luego la solución es

Si o , la anterior función no es periódica, luego necesariamente , por lo que y así

.

Para , sea , con . Las ecuaciones a solucionar son

y

Entonces la primera solución viene dada por

Como tiene que ser acotada entonces obliga a que , y se obtiene

Para la solución es

Para que sea periódica, con periodo , es necesario que λ sea un entero positivo n, entonces las soluciones


189


adecuadas correspondientes son

Estas funciones junto con , forman un conjunto de soluciones llamadas soluciones fundamentales para

el problema. Ahora se supone que puede expresarse como una combinación lineal de las soluciones fundamentales, es decir

que

La condición en la frontera requiere que

para

La función puede extenderse fuera de este intervalo, de modo que sea periódica de periodo , y por tanto tener

una serie de Fourier. Puesto que la función extendida tiene periodo , se pueden calcular los coeficientes de

Fourier integrando sobre cualquier periodo de la función, en particular se puede usar el intervalo , así

Y

La solución, se expresa en su forma compleja por

donde

...

Para continua, la expresión

con coeficientes dados como anteriormente define una función continua en , la cual al derivarla con

respecto a o con respecto a produce una serie que converge en . Esta función tiene primeras


190


derivadas continuas en , aún más, es infinitamente diferenciable en y como cada

sumando de la serie es solución de la ecuación de Laplace, también lo es . (Peral, 1995)

Queda por verificar

que es la condición (3) del problema. Se comienza expresando detalladamente y teniendo en cuenta que las observaciones anteriores justifican los

cálculos siguientes cuando .

La suma de la serie del último término de la ecuación anterior se puede calcular explícitamente; en efecto,

pero la serie geométrica

para , entonces se tiene

Por otro lado haciendo

Efectuando la suma se obtiene que,

Como , entonces

y así se puede expresar por la fórmula integral


191


Al segundo término de la anterior expresión se le llama integral de Poisson de la función . Por la forma en que se

ha calculado la integral de Poisson de , se tiene que satisface la ecuación de Laplace en el interior del disco

unidad.

DESARROLLO Fórmulas de Green En primera instancia se obtienen las fórmulas de Green que son consecuencia del Teorema de Gauss. Sea , N, un dominio regular en el sentido de la definición.

Primera fórmula de Green Sean y , entonces

donde es la frontera de , es la normal exterior y el elemento de área sobre

Segunda fórmula de Green Sean , entonces

El obtener condiciones integrales es una de las maneras de abordar los problemas para la Ecuación de Laplace. Otro auxiliar importante lo constituyen las soluciones radiales del Laplaciano, es decir, aquellas soluciones

, que sólo dependen de la distancia del punto al origen, siendo independientes de las variables

angulares. Así

siendo la dimensión del espacio. Es decir las soluciones radiales de la ecuación de Laplace vienen dadas por las

soluciones de la ecuación ordinaria de segundo orden

,

que llamando se convierte en la ecuación de variables separables

.

Para establecer las soluciones se analizan por separado los casos y

Estas vienen dadas por


192


que excepto para , es decir las soluciones constantes, son singulares . Esta singularidad es clave en la

utilidad de dichas funciones. Ahora se trata de representar las funciones con derivadas continuas en en forma integral a partir de las

soluciones radiales y de las fórmulas de Green. Dicha representación permite dar las directrices a seguir para resolver el problema de Dirichlet y también para obtener propiedades cualitativas y cuantitativas de las soluciones de la ecuación de Laplace. Se toman en particular las soluciones radiales singulares

donde designa la medida de la esfera , por ejemplo , .

Se considera ahora el caso . Sea un dominio con frontera regular y . Para

sea tal que

Cosidérese la función

es decir la trasladada de la función definida anteriormente de forma que tenga su singularidad en . A la

función se le llama solución fundamental.

Como la solución fundamental no está en la hipótesis para usar directamente la fórmula de Green, se procede

como sigue: Llamando , se tiene que y además

, en

donde denota el laplaciano respecto a la variable .

Obsérvese que la frontera de es la unión de la frontera de con la esfera frontera de , es decir,

Aplicando la segunda fórmula de Green a y sobre se observa que


193


y teniendo en cuenta que en , se obtiene

donde denota la normal exterior de .

y el límite cuando

Además

cuando esto por la continuidad de y porque se está integrando sobre el cascarón de la bola .

En conclusión tomando límites para se tiene que

y

de donde

El problema de Dirichlet en una bola de

Se obtiene la función de Green en el caso en que el dominio es la bola de radio , y

como consecuencia resolver el problema de Dirichlet. Función de Green para

Para calcular la función de Green se debe encontrar la solución del problema


194


donde es fijo y es la medida de la esfera de radio 1 en .

Se ensaya como solución, una función de la forma

donde se supone . Se trata entonces de determinar los parámetros y de manera que se verifique la

condición de contorno ya que toda función como la definida verifica la ecuación La

correspondiente función viene dada por

Como

donde

Entonces la función de Green es

Y

Se calcula ahora el núcleo de Poisson, es decir,

Entonces el núcleo de Poisson

,

viene dado por

y entonces se concluye que


195


CONCLUSIONES La ecuación de Laplace describe procesos estacionarios, es decir en los que el tiempo no es una de las variables independientes. La solución de la ecuación de Laplace se puede interpretar como la distribución de temperatura en un estado estable. Al encontrar la función de Green para el problema de Dirichlet en la bola unidad de , este queda resuelto.

Para una solución u de la ecuación de Laplace, el valor de en el centro es igual al promedio de los valores de

sobre la superficie. Las soluciones de la ecuación de Laplace alcanzan su máximo y su mínimo en la frontera del dominio. La ecuación de Poisson , , con dato continuo en la frontera de , tiene a lo más una

solución. El método de separación de variables reduce algunas ecuaciones en derivadas parciales a ecuaciones diferenciales ordinarias

BIBLIOGRAFÍA Apostol, T. (1998) Cálculo con funciones de varias variables y álgebra líneal, con aplicaciones a las ecuaciones

diferenciales y a las probabilidades. Vol. II. Segunda edición. Colombia: Editorial Reverté. Boyce, W. Diprima, R. (2001) Ecuaciones diferenciales y problemas con valor en la frontera. México: Editorial

Limusa S.A. Peral, A. (1995). Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales. E.U.A: Adison Wesley Iberoamericanal.


196


COMUNICACIÓN BREVE ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD ASINTÓTICA DE UN BRAZO MANIPULADOR POR MEDIO DEL SEGUNDO

MÉTODO DE LYAPUNOV Y SIMULINK EN MATLAB Edinson Fuentes

Licenciado en Matemáticas Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

[email protected]

Resumen

El segundo método de Lyapunov es excelente para determinar la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales porque no se requiere la solución del sistema; este procedimiento solo requiere el conocimiento de algunas características del modelo dinámico, en el caso de un robot manipulador, solo requiere el conocimiento de su energía cinética y potencial. En el trabajo se muestra como los teoremas de Lyapunov garantizan la estabilidad del un brazo manipulador de n grados de libertad, además se utiliza la herramienta simulink de matlab para solucionar numéricamente el sistema de ecuaciones diferenciales.

Palabras clave: Estabilidad, segundo método de Lyapunov, sistemas de ecuaciones diferenciales, guide en matlab y simulink.

Abstract

The second method of Lyapunov is excellent to determine the stability of a system of differential equations because the solution of the system is not required; this alone procedure requires the knowledge of some characteristics of the dynamic pattern, in the case of a robot manipulator, alone it requires the knowledge of its kinetic energy and potential. In the work it is shown as the theorems of Lyapunov they guarantee the stability of the an arm manipulator of n grades of freedom, the tool matlab simulink is also used to solve the system of differential equations numerically.

Key words: Stability, second method of Lyapunov, systems of differential equations, guide in matlab and simulink.

INTRODUCCIÓN

Considérese el modelo dinámico de un robot manipulador de n-g.d.l. (Los grados de libertad dependen del número de eslabones y articulaciones que el brazo manipulador posea) con eslabones rígidos y sin fricción,

( ) ( , ) ( )M C g (1)

o en términos de un sistema de ecuaciones diferenciales plano

1( ) ( ) ( , ) ( )

d

dt M t C g

(2)

Donde ( ) nxnM es la matriz de inercia, ( , ) nC es el vector de fuerzas centrífugas y de Coriolis,

( ) ng es el vector de pares gravitacionales y n es un vector de fuerzas y pares aplicados en las

uniones. Los vectores , , y n denotan la posición, velocidad, aceleración articular y error,

respectivamente. El problema de control (ver 5) de posición de robots manipuladores puede formularse en los siguientes términos:

considérese la ecuación dinámica de un robot de n-g.d.l (1). Dada una posición articular deseada n

d ; que se

supone constante, se trata de determinar una función vectorial ; de tal forma que las posiciones asociadas a



197


las coordenadas articulares del robot lleguen asintóticamente a n

d en el menor tiempo posible:

En términos más formales, el objetivo de control de posición pura, o simplemente control de posición, consiste en determinar una función de tal forma que:

lim ( ) ,dt

t

(3)

Donde n

d es un vector constante.

Se estudiará el control PD con compensación de gravedad, que es capaz de satisfacer el objetivo de control de posición pura en forma global para robots de n-g.d.l. La ley de control PD con compensación de gravedad está representada por:

( )P V

dK K g

dt

, (4)

Donde , nxn

P VK K son matrices diagonales, simétricas, definidas positivas seleccionadas por el diseñador y

denominadas ganancia de posición y de velocidad, respectivamente el vector n

d es la posición articular

deseada, y el vector n

d ; se denomina error de posición.

El controlador (4) hace uso explícito del conocimiento parcial del modelo del manipulador específicamente de

( ) ng ; también la ley de control (4) requiere información sobre la posición deseada n

d y la velocidad

deseada n

d ; así como la medición de la posición y la velocidad a cada instante.

DESARROLLO

Pasos para la demostración de la estabilidad asintótica del sistema de ecuaciones diferenciales:

Paso 1 Obtención de la ecuación dinámica de malla cerrada:

La ecuación de malla cerrada se obtiene combinando el modelo dinámico (1) y el controlador (4):

( ) ( , ) ( ) ( )P V

dM C g K K g

dt

(5)

Paso 2 Representar la ecuación (5) como un sistema de ecuaciones diferenciales:

La ecuación (5) puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales así:

Como d y d es constante entonces su derivada es

d

dt

además como

d entonces

d . Utilizando esta ultima igualdad se reemplaza en la ecuación (5) y se obtiene:

( ) ( , ) ( ) ( )d d P V dM C g K K g

por consiguiente se escribe en términos del vector estado así:

Como d y d es constante entonces su derivada es

d

dt

además como

d entonces


198


d . Utilizando esta ultima igualdad se reemplaza en la ecuación (5) y se obtiene:

( ) ( , ) ( ) ( )d d P V dM C g K K g

por consiguiente se escribe en términos del vector estado así:

1( ) ( , )P V d

d d

dt dt M K K C

(6)

Paso 3 Estudio de la existencia y unicidad de equilibrios de la ecuación en malla cerrada (6):

Igualando 0d

dt

, se obtiene que 0

Ahora igualando 0d

dt

se concluye que

1( ) ( , ) 0P V dM K K C , sabiendo que 0 ,

obtenemos que

0PK

Como 0PK entonces 0 , ya que n es un dominio de integridad, por lo tanto el origen es el único

equilibrio. Debido a que d es constante, el sistema (6) representa un sistema autónoma (invariante en el tiempo).

Paso 4 Aplicación de la teoría de estabilidad de Lyapunov.

Considérese la función candidata de Lyapunov

1( , ) ( , ) ,

2

T

PV K K

Donde ( , )K denota la energía cinética del robot. Por propiedades del modelo dinámico (Ver

5)1

( , ) ( )2

TK M , donde ( )M es simétrica y definida positiva entonces 1

( )2

T M es definida

positiva y por el mismo argumento 1

2

T

PK es definida positiva, entonces ( , )V es definida positiva en

forma global y radialmente desacotada.

Al calcular la derivada de ( , )V se obtiene

( , ) T

VV K


199


como VK es una matriz simétrica definida positiva entonces T

VK es definida positiva y en consecuencia

T

VK es semidefinida negativa es decir

( , ) 0T

VV K (7)

En consecuencia como la función ( , )V es una función de Lyapunov y como ( , ) 0V se concluye que el

origen es un equilibrio estable y que las soluciones ( )t y ( )t están acotadas para toda condición inicial (0)

(Ver 2 y 5).

Por otro lado, como el sistema (6) es un sistema autónomo, cuyo origen es el único equilibrio, además existe una

función candidata de Lyapunov ( , )V definida positiva globalmente y radialmente desacotada tal que su

derivada es ( , ) 0V ecuación (7) entonces se puede utilizar el teorema Lyapunov la Salle para analizar la

estabilidad asintótica global del origen (Ver 5).

Defínase el conjunto como:

2 : ( ) 0nx V x

2 : ( , ) 0nx V

, 0 .n n

Obsérvese que ( , ) 0V si solo si 0 . Para que una solución ( )x t pertenezca a para todo 0t , es

necesario y suficiente que ( ) 0t para todo 0t ( )x t Por lo tanto, también debe satisfacer que

• ( ) 0t para todo 0t . Tomando esto en consideración, se concluye que si ( )x t para todo

0t entonces 10 ( ) ( )PM K t , entonces

0 ( ),PK t lo que significa que ( ) 0t para todo 0t . 2(0) (0) 0T T n

es la condición inicial

en para la cual ( )x t para todo 0t Luego, de acuerdo con el teorema Lyapunov la Salle se garantiza la

estabilidad asintótica global del origen 2(0) (0) 0T T n

.

Como resultado, se afirma que

lim ( ) 0, lim ( ) 0t t

t t

Es decir, que se veri.ca el objetivo de control de posición pura.


200


Ejemplo: Un Manipulador de 1 Grado De Libertad Con Solución En Simulink.

Considérese un péndulo (Ver 2 y 3) sin fricción, de masa m concentrada en su centro de masa, y distancia l desde

su eje de giro hasta el centro de masa, sometido a la acción de la gravedad g . Supóngase por simplicidad, que el

momento de inercia alrededor del eje que pasa por el centro de masa y que es paralelo al eje de giro es

despreciable.

La ecuación diferencial que rige el movimiento del péndulo es:

2 lgsin( )ml m

2 lgsin( ) ( )P Vml m K K g

Para este caso, las matrices de inercia, Coriolis y gravedad están dados respectivamente por 2( )M ml ,

( , ) 0C y ( ) lgsin( )g m . Para la simulación se tomaron los siguientes valores:

2 1ml 1mgl

2PK 3VK

(0) 0 (0) 0

2d

La ecuación (6) con los datos para el manipulador de un grado de libertad, se transforma en el siguiente

sistema,

2 3

d

dt

El diagrama de bloques en simulink, para resolver el sistema en un tiempo de simulación 0 10t es el

mostrado en la .gura (1) y los resultados de la simulación son los presentados en las figuras (2-A) y (2-B).


201


La figura (2-A) representa el error de posición d ; para el tiempo 0t , 2

y lim ( ) 0

tt

comprobando la teoría de estabilidad de Lyapunov que el lim ( ) ( )dt

t t

; La figura (2-B), representa la

velocidad articular ; se observa en esta gráfica que la velocidad parte de cero y tiene un punto máximo en

0.8m

s y luego tiende asintóticamente a cero después de 7 segundos, confirmando que lim ( ) 0

tt


202


CONCLUSIONES

La teoría de Lyapunov, permite determinar la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales, esto en la práctica, signi.ca que el error tienda a cero, es decir, que el sistema funcione correctamente el mayor tiempo posible.

Las ecuaciones diferenciales, el algebra lineal, la física y los métodos numéricos constituyen una útil herramienta para el diseño, análisis, simplificación y elaboración de sistemas robóticos. Estos sistemas pueden ser simulados por medio de software matemático facilitando la optimización de los modelos y su posterior construcción.

El software Simulink, permite determinar la evolución de un sistema descrito por ecuaciones y es una excelente herramienta para encontrar soluciones numéricas, a problemas de difícil tratamiento por métodos analíticos.

BIBLIOGRAFÍA

Borrelli, C. (1998) Ecuaciones diferenciales una perspectiva de modelación. Oxford..

Boyce,D. (2001).Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.( ed No.4). Limusa,

Campos, R. Prolegómenos a los sistemas dinámicos. Colombia:Universidad Nacional.

David, L.( 2000) Ecuaciones diferenciales a través de gráficas, modelos y datos. (ed No.1).

Krasnov. (1976).Funciones de variable compleja cálculo operacional y teoría de la estabilidad. Ed Reverte.

Santibáñez, V. ( 2003). Control de movimiento de robots manipuladores. Pearson.


203


COMUNICACIÓN BREVE UN ESTUDIO INTRODUCTORIO A LA ECUACIÓN DE LA ONDA EN ℝⁿ

Juan Gabriel Giraldo Licenciatura en Matemáticas y Estadística


Alexis Favian Malpica Vega

Magister en Ciencias Matemáticas Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

[email protected]

Resumen

En esta comunicación se muestra un estudio introductorio a la ecuación de la onda en , tomando como punto de partida la

ecuación de onda en una dimensión, también se mostrará algunos de los métodos utilizados para resolver la ecuación de la

onda en ℝⁿ. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que están en los instrumentos musicales fue

estudiado por Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange, la ecuación de onda es el

ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace

referencia a un escalar que satisface,

Donde es el laplaciano y donde es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda

Palabras clave: Ecuación de onda, escalar, espacio n- dimensional, ecuación diferencial.

Abstract

This is an elementary exposition on an introductory study to the equation of the ℝⁿ wave, taking as its starting point the wave

equation in one dimension,also displayed some of the methods used to solve the equation of the wave at ℝⁿ. Historically, the

problem of a vibrating string such as those in the musical instruments was studied by Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler,

Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange the wave equation is the prototype example of a hyperbolic partial differential

equation. In its simplest form, the wave equation refers to a scalar u that satisfies:

Where is the Laplaciano and where is a constant equal to the speed of wave propagation.

Key words: wave equation, n -- dimensional space. differential equations.



204


INTRODUCCIÓN

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a un escalar u que satisface,

Donde es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s. Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo. Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada). La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:

Donde:

y son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio. es la densidad,

es la función de entrada (fuerza motriz), y es el desplazamiento. Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Esta ecuación es conocida a veces coma la ecuación de onda vectorial. Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.


205


DESARROLLO

Ecuación de onda en una dimensión

La más simple de todas las ecuaciones diferenciales hiperbólicas es la ecuación de onda en una dimensión, <

donde es una función de dos variables independiente y . La variable es comunmente asociada con posición y

con tiempo; es una constante positiva. Físicamente puede representar el desplazamiento normal de las

partículas de una cuerda vibrante. Aquí las características son las dos familias de líneas igual a una constante

en el plano . Introduciendo las como coordenadas,

se convierte nuestra primera ecuación en

al asumir el dominio de como una función de , , o, equivalentemente, como una función de convexa. Ya

que se deduce que es independiente de , se dice que, luego

).

Que es,

En las variables originales se encuentra que es de la forma

Aquí si y solo si . Por lo tanto la solución general es obtenida por superposición de una solución

de y de una solución de . Esto corresponde con el

hecho de que el operador diferencial

puede ser descompuesto en

Por lo tanto la gráfica de en el plano son dos ondas propagandose sin cambiar de forma con velocidad

en direcciones opuestas a lo largo del eje .


206


Al imponer condiciones iniciales

Para de la forma

se tiene que

Derivando con respecto a y resolviendo las dos ecuaciones lineales para

se obtiene

o,

con las constantes adecuadas . Aquí .

Por lo tanto

Así

para y esta representa actualmente una solucion del problema con valor inicial.

Algunos métodos utilizados para resolver la ecuación de la onda en el espacio n-dimensional

Método de los promedios esféricos

La ecuación de la onda para una función , de variables en el espacio y el

tiempo esta dada por,


207


con una constante positiva . El operador definido se conoce como el D'Alembertian. Para la ecuación

puede representar ondas en acustica u optica, para ondas en la superficie del agua.

En problemas de valor inicial se busca una solución definida en la dimensión

El problema con valor inicial, puede resolverse por el método de promedios esféricos o Poisson. Generalmente se

asocia con una función continua en .

, con , se obtiene:

Originalmente , esta definida, solo para , se puede extender esta definición para todo real usando

resultando una función balanceada de , al reemplazar por , para compensar con el remplazo de la

variable de integración por . Por otro lado usando el teorema de la divergencia:

Y aplicando el teorema del cambio de variable se obtiene

Multiplicando por , y derivando con respecto a se obtiene:

De este modo los promedios esféricos M_h (x,r), de alguna función , satisface la ecuación en derivadas

parciales

Principio Duhamel's y problema general de Cauchy

Considerese la ecuación de la onda no homogénea:


208


para una función con valor inicial:

El principio de Duhamel's permite la reducción del problema anterior, a una serie de problemas del tipo

□ , para la ecuación homogénea de la onda(el método análogo al de

variación de parámetros para ecuaciones diferenciales ordinarias, se aplica generalmente a ecuaciones lineales

parciales).

Esta es una consideración del problema, para el caso especial donde el valor inicial es,

Solo se debe restar desde la solución del problema que se asume conocida.

La solución en este caso, se obtiene por:

donde para cada es una solución de:

para con valor inicial en el plano

De hecho será una solución de clase en sus argumentos para

BIBLIOGRAFÍA Boyce, W. Diprima, R. (2001). Ecuaciones Diferenciales y problemas con Valores en la Frontera. México: Editorial

Limusa S.A. Fritz, J. (1978) Partial Differential Equations (fourth edition). New York: Editorial Springer. Peral, A.(1995) . Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Wilmington, Delaware, E.U.A:Editorial Wesley

Iberoamericana,


209


COMUNICACIÓN BREVE

ACERCA DE LAS SOLUCIONES NO TRIVIALES PARA UN PROBLEMADE DIRICHLET ASINTÓTICAMENTE

LINEAL Mireya García

Maestría en Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Resumen

En particular el problema de Dirichlet con condición de frontera, genera una ecuación diferencial relacionada con el operador laplaciano, el estudio de esta ecuación al ser ligada con los espacios de Sobolev y el teorema espectral para operadores compactos, muestra que la ubicación del espectro con respecto a la diferencial de la no linealidad del problema de Dirchlet genera múltiples soluciones; y la teoría de grado en este caso sirve para justificar la existencia de estas soluciones, además de brindar información sobre su naturaleza. En este trabajo se demuestra que el problema elíptico semilineal tiene por lo menos tres soluciones no triviales, de las cuales una es positiva, otra negativa y la tercera cambia de signo, mediante el Teorema de Paso de Montaña y el grado de Leray Schauder

Palabras clave: Problema elíptico semilineal, cambio de signo de las soluciones, grado de Leray Schauder.

Abstract

In particular, the Dirichlet problem with boundary condition, generates a differential equation related Laplace operator, the

study of this equation to be linked with Sobolev spaces and the spectral theorem for operators compact, shows that the

location of the spectrum with respect to differential nonlinearity Dirchlet problem of generating multiple solutions; and the

degree theory in this case serves to justify the existence of these solutions, in addition to providing information about its nature.

This paper shows that the semilinear elliptic boundary problem has at least three nontrivial solutions, one of which is positive.

Key words: Semilinear elliptic boundary problema, Sign-changing solutions, Leray Schauder degree.

INTRODUCCIÓN En particular el problema de Dirichlet con condición en la frontera genera una ecuación diferencial relacionada con el operador laplaciano, el estudio de esta ecuación al ser ligada con los espacios de Sobolev y el teorema espectral para operadores compactos, muestra que la ubicación del espectro con respecto a la diferencial de la no linealidad del problema de Dirichlet genera múltiples soluciones. La teoría del caos sirve en este caso para justificar la existencia, además de brindar información sobre su naturaleza. En este trabajo se estudia un problema de Dirichlet no lineal,

donde es un abierto acotado en , con frontera suave, el operador de Laplace y la función

diferenciable tal que y también asintóticamente lineal. Sea la sucesión de valores propios de , con condición cero del abierto y la sucesión de funciones propias

asociadas a cada valor propio entonces mediante el siguiente teorema se muestra la existencia de dos


210


soluciones de un signo ( positivo, negativo, respectivamente), como primera parte, y posteriormente la existecia de otra solución no trivial que cambia de signo, al problema definido anteriormente, mediante la teoría de los espacios de Sobolev, los operadores compactos, el teorema del paso de la montaña, la teoría de grado de Leray- Shaurder es posible su prueba.

DESARROLLO

Teorema: Si , con un número entero par entonces el problema , tiene

por lo menos tres soluciones no triviales , de las cuales una es positiva, otra es negativa, y la tercera cambia de

signo.

La demostración se hace mediante tres momentos, un primer momento determina que el problema de Dirichlet,

posee soluciones no triviales, luego se muestra que una es positiva , la otra es negativa y finalmente se demuestra

una tercera que cambia de signo. En la primera parte de la solución no trivial, consideramos el truncamiento,

Donde y se define el funcional donde H es el espacio deSobolev

definido por

Como y f es sublineal, y por lo tanto y su derivada está dada como

Luego una solución clásica al problema planteado, es una función , entonces u es una solución

débil del problema si y sólo si u es punto crítico de , para mostrar la existencia de este punto crítico

hacemos uso del teorema del paso de la montaña.

Definición: Condición de Palais-Smale. Sea un espacio de Banach, se dice que satisface la

condición de Palais – Samale , si toda sucesión tal que acotada y converge

a cero, posee una subsucesión convergente.

Lema 1. Existe tales que

Lema 2. Existe tal que


211


Lema 3. El funcional satisface la condición de .

Los tres lemas anteriores y el teorema del paso de la montaña, garantizan la existencia de una solución no trivial de

si se define entonces la solución no negativa satisface la ecuación

del problema de Dirichlet no lineal, probar la existencia de una solución positiva, bastaría demostrar la existencia

de una solución no trivial de y justificar que para . Por el principio del máximo se tiene que

en

De la misma manera se muestra la otra solución, la negativa.

Hasta esta parte está demostrado la existencia de dos soluciones que no cambian de sigo. En el siguiente capítulo

se muestra la existencia de una tercera solución que si cambia de signo, prueba en la cual se hace necesario el uso

de la teoría de grado de Leray – Schauder.

CONCLUSIONES Se demostró que el problema de Dirichlet, con las condiciones dadas le existen al menos tres soluciones no triviales, una positiva, una negativa, y una tercera que cambia de signo. BIBLIOGRAFÍA

Ambrosetti, G Mancini. (1979). Sharp Nonuniqueness results for some nonlineal problems, Nonlineal, 3 no(5).

Brezis. (1984). Analisis functional teoría y aplicaciones. Madrid. Bartsch, B. Z , Wang . (1996). On the existence of sign chaging solutions for semilinear Dirichlet problems.

Topological Methods in Nonlinear Analysis.


212


COMUNICACIÓN BREVRE SOLUCIONES NO TRIVIALES PARA UN PROBLEMA DE DIRICHLET SEMILINEAL CON MÚLTIPLES VALORES

PROPIOS NO LINEALES Wilson Rivera Lozano

Magister en Ciencias Matemáticas Universidad Santo Tomás

wriveralo@gmail.

Resumen

En este trabajo se demuestra que el problema elíptico semilineal tiene por lo menos tres soluciones no triviales. Una de estas es positiva, otra negativa y la tercera cambia de signo. La demostración se hace mediante el uso del Teorema de Paso de Montaña y el índice de Morse.

Palabras clave : Ecuación elíptica semilineal, cambio de signo de las soluciones, índice de Morse

Abstract

In this paper prove that a semilinear elliptic boundary value problem has at least three nontrivial solutions when the range of the derivate of th nonlinearity includes at least the first two eigenvalues of the Laplacian and all solutions ar nondegenerate. A pair are of one sign (positive and negative, respectively). The one sign solution has Morse index greater than or equal to 2. Extensive use is made of the mountain pass theorem, and Morse index arguments of the type Lazer-Solimini.

Key words: igual a las palabras clave

INTRODUCCIÓN Encontrar las soluciones no triviales para un problema de Dirichlet de tipo elíptico ha sido un problema fundamental de la física-matemática en especial para los no lineales, donde la teoría clásica ya no funciona. Más precisamente, en este trabajo se estudiara la existencia de soluciones múltiples para el siguiente problema de

Dirichlet si es un abierto acotado de ( ) con frontera suave, el operador de Laplace,

Siendo la función diferenciable tal que y es asintóticamente lineal, y

.

Consideramos la sucesión de autovalores de con condición cero en la frontera de y la sucesión de funciones propias asociadas a cada autovalor se plantea la existencia de tres soluciones no triviales a un problema elíptico semilineal cuando el rango de la derivada de la no linealidad incluye al menos los dos primeros valores propios. En este trabajo se estudia la existencia de las soluciones al problema con las condiciones dadas, llevándose a cabo cicho estudio en tres partes, en el primer capítulo se estudiaran algunos conceptos básicos de los espacios ,los espacios de Sobolev, y operadores compactos. Despué se hace un estudio de las soluciones débiles de un problema de Dirichlet con condición en la frontera tanto de tipo no homogéneo como homogéneo, haciendo uso del teorema de paso de montaña se muestra que el problema tiene


213


dos soluciones clásicas que no cambian de signo, una positiva , una negativa y la existencia de otra solución que cambia de signo.

DESARROLLO

Se estudia la existencia de soluciones múltiples para un problema semilineal de Dirichlet

donde es un abierto acotado en , con frontera suave, el operador Laplaciano y la función diferenciable tal que y asintóticamente lineal es decir

.

Sea la sucesión de valores propios de , con condición cero en la frontera de y

la sucesión de funciones propias asociadas a cada valor propio

Las soluciones son puntos críticos del funcional definido por

Donde Se demostrará el siguiente teorema.

Teorema: Si , con , y todos los puntos críticos de son no

degenerados entonces el problema de Dirichlet planteado , tiene al menos tres soluciones no triviales

, Uno de los índices de las soluciones es menor igual que uno y tiene índice de Morse mayor

o igual a dos.

Se prueba este teorema usando el teorema del paso de la montaña, teorema punto silla y argumentos del índice de Morse del tipo Lazer – Tolimini. Se conjetura que el teorema es válido sin la hpótesis que todos los puntos críticos de J son no degenerados. El primer paso es probar la existencia de , luego se prueba la existencia de La tercera solución obtenida por medio de un importante resultado de Lazer y Solimini el cual muestra que si la hipótesis del teorema de punto silla se satisface entonces existe por lo menos un punto crítico de índice de Morse mayor o igual a dos.

BIBLIOGRAFÍA Bartsch, B. Z , Wang . (1996). On the existence of sign chaging solutions for semilinear Dirichlet problems.

Topological Methods in Nonlinear Analysis. Brezis. (1984). Analisis functional teoría y aplicaciones. Madrid.

Cossio J y Velez C. (2003). Soluciones no triviales para un proble de Dirichlet asintóticamente líneal . Revista

Colombiana Mat Vol (37).

Evans. (2000). Partial differential equations . American mathematical society.


214


COMUNICACIÓN BREVE APLICACIÓN DE LAS CÓNICAS EN TRES PROBLEMAS DE MOVIMIENTO PARABÓLICO

Herberth Jesús Cárdenas Ramírez

Magister en Ciencias-Física Fabián Leonardo Higuera Sánchez

Ingeniero Electromecánico

Jhonny Tolosa Cetina Magister en Ciencias de los Materiales

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

Resumen

Se simulan tres problemas del movimiento parabólico, como una aplicación de las cónicas. Imágenes reales son digitalizadas, con el fin de comprobar experimentalmente la solución. Palabras clave: Movimiento Parabólico. Gráficos Animados en 2D. Rastreo de Imágenes.

Abstract

Three problems of parabolic motion are simulated as an application of conics. Real images are scanned, in order to verify

experimentally the solution.

Key words: Parabolic Movement. Plot 2D Animated. Tracking Images.

INTRODUCCIÓN De todos los movimientos en el plano que se dan en la naturaleza, el movimiento parabólico es tal vez al que mejor

se puede ajustar un modelo matemático. Su descripción a través de funciones paramétricas que dependen del

tiempo (sin tener en cuenta la resistencia del aire), permite con un alto grado de aproximación determinar su

trayectoria y algunos otros parámetros muy usuales como la altura máxima y el alcance. Sin embargo hacer una

comprobación experimental de las ecuaciones que lo modelan es una tarea un tanto difícil, debido a que se

requiere medir con gran exactitud la magnitud de la posición en el tiempo.

Una primera aproximación a la verificación se hace a través de la simulación del movimiento con la herramienta

Plot 2D Animated, del programa Scientific Worplace 5.5, el cual ofrece de una manera muy sencilla la posibilidad de

mostrar el movimiento del objeto, con tan solo especificar las condiciones iniciales de velocidad y ángulo de

lanzamiento. Otra ventaja que ofrece el programa es que las ecuaciones se introducen tal y como se escriben, sin la

necesidad de una programación elaborada.

Una forma relativamente sencilla de medir con gran precisión la posición en el tiempo de un móvil, es captar el

movimiento en un video y luego analizarlo. El programa Tracker permite combinar video y modelamiento por

computador. En éste trabajo se pretende utilizar chorros de agua para captar y analizar sus trayectorias con el fin

de comprobar tres situaciones que se dan en el movimiento parabólico.


215


1. El lugar geométrico que une los puntos de altura máxima, para diferentes ángulos de lanzamiento con la

misma velocidad inicial, es una elipse.

2. La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está

comprendido entre 0 y 180˚, es una parábola (denominada parábola de seguridad).

3. La distancia del punto de lanzamiento a cualquier punto de la trayectoria, aumenta siempre a partir de los

75.9˚, para el ángulo de lanzamiento.

DEDUCCIÓN TEÓRICA DE LAS TRES SITUACIONES

Elipse de las Alturas Máximas

La altura máxima se alcanza cuando , en el instante . La posición del proyectil en

este instante es [1]

(1)

Teniendo en cuenta, la relación trigonométrica

Despejando en la primera ecuación , en la segunda, elevando al cuadrado y sumando, eliminamos el

ángulo .

(2)


216


Esta ecuación representa una elipse centrada en el punto (0, b) cuyos semiejes son 2b y b. [5]

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

200

400

x

y

Elipse de Alturas Máximas

La semidistancia focal c y la excentricidad e valen, respectivamente.

La excentricidad es un valor constante que no depende de ningún parámetro del movimiento.

La Parábola de Seguridad

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para .

(3)

Su valor máximo se obtiene para , teniendo el mismo valor para , que para . Por

ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30° y 60°, ya

que .

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con .

(4)

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo .

La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre

0° y 180° se denomina parábola de seguridad. Esta denominación hace referencia al hecho de que fuera de esta


217


parábola estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad . Se trata de la parábola simétrica respecto

del eje Y de ecuación que pasa por los puntos y ) tal como

se ve en la figura.

La ecuación de dicha parábola es [7]

(5)

Deducción alternativa de la ecuación de la parábola de seguridad

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria

Esta ecuación se puede escribir de forma alternativa

(6)

Consideremos un punto arbitrario P del plano. Sustituimos las coordenadas (x, y) del punto en la ecuación de la

trayectoria y puede ocurrir que la ecuación de segundo grado en no tenga raíces reales. El punto P1 no podría

ser un punto de impacto para un proyectil disparado con velocidad inicial .

1. Que la ecuación de segundo grado tenga dos raíces reales, lo que implicará que el punto

P2 es accesible, y que hay dos ángulos de tiro y que dan en el blanco P2. En la

figura, vemos que cualquier punto en el interior de la envolvente es alcanzado por dos

trayectorias.

2. Cuando la raíz de la ecuación de segundo grado es doble . Como vemos en la

figura, solo hay una trayectoria que pasa por un punto P3 dado de la envolvente.

Para que las raíces sean iguales, se tiene que cumplir que el discriminante de la ecuación de segundo


218


grado sea nulo. [6]

(7)

Esta es la ecuación de la envolvente que hemos obtenido anteriormente, ecuación que representa parábola con

vértice en (0, b).

Parábola de Seguridad

Angulo a partir del cual la distancia del punto de lanzamiento a cualquier punto de la trayectoria

siempre aumenta.

Distancia del origen a cualquier punto P y al punto de altura máxima

En coordenadas polares la posición sobre la parábola está dada por [4]

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

200

400

x

yP

1

P

2

P

3


219


Reemplazando en la ecuación de la trayectoria

haciendo y se puede escribir como, [3]

En términos de las ecuaciones paramétricas

(8)

Derivando a r con respecto a α, e igualando a 0, se obtiene

(9)

El valor de r, debe ser siempre mayor a la distancia al punto de altura máxima, para la cual

(10)

Igualando las dos expresiones (9) y (10) de , se obtiene una ecuación cuadrática cuya solución es

Este valor puede también comprobarse con el uso de la herramienta Manupulate del programa Mathematica.

SIMULACIÓN

Con el fin de verificar los tres problemas, se simula el lanzamiento de proyectiles para ángulos de 15°, 30°, 45°, 60°,

75°, 90° y sus simétricos con respecto al eje Y, superponiéndolos a las curvas de la elipse y de la parábola

(Problemas 1 y 2). También se muestra la variación de r en función del ángulo de lanzamiento (Problema 3).

ANÁLISIS DE VIDEO

Tracker es un paquete de análisis de video construido sobre una plataforma Java Open Source Physics (OSP).

Incluye como características; seguimiento de objetos y su posición, velocidad y aceleración, gráficos, filtros con

efectos especiales, múltiples cuadros de referencia, puntos de calibración, líneas de perfil para el análisis del

espectro, patrones de interferencia y modelos dinámicos de partículas. Está diseñado para ser usado en un curso


220


de universidad introductorio en laboratorios de física. [6]

Fotografía del Experimento Rastreo de un tiro parabólico

Esta ultima parte del trabajo, no se ha implementado aún, sin embargo se espera tener éste análisis para la

ponencia.

CONCLUSIONES La simulación del movimiento de un cuerpo permite hacer una primera aproximación de los modelos matemáticos

y de sus ecuaciones cinemáticas.

El uso de herramientas computacionales permite, además, manipular los parámetros del movimiento parabólico,

para obtener soluciones numéricas en diferentes problemas de cinemática.

Existen relaciones entre la geometría del movimiento parabólico y las cónicas. Algunos trabajos como en [5],

muestran relaciones con la circunferencia y también con la hipérbola como en [2].

BIBLIOGRAFÍA [1] Alonso, M. Finn, E. (1971). Física. Vol I. Mecánica. Fondo Educativo Interamericano.

[2] Kittel, Ch.,. Knight, W. y Ruderman M. (1989). Berkeley Physics Course. Vol 1. Mecánica. Reverte.

[3] Lehmann, Charles M. (1980). Geometría Analítica. Limusa.

[4] Leithold, Louis. (1994). Cálculo.

[5] J. L. Fernández Chapou et. al. Propiedades circulares, elípticas y parabólicas. en el lanzamiento de proyectiles.

Revista Cubana de Física, 27, 193-196.

[6]Tracker. Video Analysis and Modeling Tool for Physics Education. Dispobible en:

www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/

http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/

http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/


221


TALLER ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS EN R

Carlos Alberto Ramos Soler

Lic. en Matemáticas y Estadística [email protected]

Sandra Patricia Cárdenas Ojeda

Magíster en Estadística [email protected]

Uptc Facultad Duitama

Resumen

En el análisis exploratorio de datos existen diferentes programas estadísticos que permiten obtener medidas descriptivas de un conjunto de datos para así llegar a conclusiones referentes a una muestra o a una población en una investigación, el objetivo de este taller es mostrar cómo realizar el análisis exploratorio de un conjunto de datos mediante el uso del programa estadístico R, aprovechando que dicho programa se distribuye gratuitamente bajo los términos de la GNU General Public Licence. En el taller se presenta la forma de descargar el programa de la red, la forma como se instala en el equipo, algunos comandos básicos y el análisis exploratorio de datos mediante la utilización de comandos en R.

Palabras clave: Programa R, Análisis exploratorio de datos, Comandos, Medidas, Gráficos.

Abstract

In the exploratory analysis of statistical data exist different programs to obtain descriptive measures of a data set in order to reach conclusions on a sample or a population in an investigation, the objective of this workshop is to perform exploratory analysis of a set of data using the statistical program R, taking into account that this program is distributed in free way under the terms of the GNU General Public Licence. The workshop show the program is downloaded from the network, the way to install it on your computer, some basic commands and exploratory data analysis using commands in R.

Key words: R Program, Exploratory data analysis, Commands, Measures, Graphics

INTRODUCCIÓN La estadística descriptiva es una parte de la estadística que se dedica al ordenamiento y tratamiento de la información para su presentación por medio de tablas y de representaciones gráficas, así como de la obtención de algunos parámetros útiles para la explicación de la información. En este contexto, R brinda muchas alternativas para calcular medidas descriptivas de una población o muestra. R es un sistema para análisis estadísticos y gráficos creado por Ross Dhaka y Robert Gentleman. R tiene una naturaleza doble de programa y lenguaje de programación y es considerado como un dialecto del lenguaje S creado por los laboratorios AT&T Bell. R se distribuye gratuitamente bajo los términos de la GNU General Public Licence, su desarrollo y distribución son llevados a cabo por varios estadísticos conocidos como el Grupo Nuclear de desarrollo de R. Este taller presenta la forma de


222


descarga e instalación de R desde el internet, se muestran algunos comandos básicos necesarios en la iniciación en R, comandos que permiten calcular medidas numéricas para la descripción de datos y comandos que permiten el análisis grafico de un conjunto de datos.

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS EN R Descarga La descarga del paquete R se puede realizar desde la página (http://www.cran.r-project.org). Haciendo clic en Windows de la región denominada Download and Install R.

Figura 1: Descarga de R

Luego de esto aparece una pantalla titulada R for Windows, en la cual se selecciona el subdirectorio base. Aparece en seguida una pantalla con el nombre de la última versión disponible para descargar, en este caso R–2.11.1 for Windows

http://www/


223


Figura 2. Descarga de R

Junto con R se incluyen algunos paquetes (llamados paquetes estándar), pero muchos otros están disponibles a través de Internet en (http://www.cran.r-project.org/).

Figura 3. Descarga de paquetes en R

http://www.cran.r-project.org/


224


Instalación de R en la PC

Haciendo clic en Inicio, se desplaza el mouse hasta la opción Mi PC, seleccionando la ubicación del instalador (CD o

memoria) si este fue descargado previamente de la web y guardado en alguno de los medios mencionados, luego

doble click sobre el instalador (R-2.11.1 for Windows), en seguida se escoge el idioma en el cual se desea trabajar R,

en las siguientes ventanas de dialogo que aparecen se debe hacer click en aceptar hasta que aparezca la opción

finalizar, con esto R estará instalado en la PC. En el proceso de instalación se crea un acceso directo en el escritorio

que permite iniciar una sesión en R, alternativamente se puede iniciar sesión al hacer click en Inicio / todos los

programas / R / R 2.11.1

Utilización R Cuando R espera la entrada de órdenes, presenta un símbolo para indicarlo. El símbolo predeterminado es “>” Ayuda sobre funciones y capacidades: R contiene una ayuda, para obtener información sobre una función concreta, para acceder a esta ayuda escriba “help(función)”, función se refiere a lo que se desea averiguar. Ordenes de R Mayúsculas y Minúsculas: R es un lenguaje de expresiones con una sintaxis muy simple, distingue entre mayúsculas y minúsculas, de tal modo que A y a son símbolos distintos y se refieren por tanto a objetos distintos. Las órdenes elementales consisten en expresiones o en asignaciones. Uso de R como calculadora: El programa R utiliza un lenguaje similar al de una calculadora, por pantalla se puede digitar la operación que se requiere, en la siguiente tabla se muestran algunas operaciones con su respectiva instrucción:

Operación Suma, resta,

multiplicación y división

Potenciación Raíz

cuadrada Logaritmo Seno Coseno Tangente

Comando +, - ,*, / ^ sqrt() log(x,base) sin() cos() tan()

Tabla 1: Comandos para operaciones básicas

Comandos especiales Comando help(): Permite obtener ayuda sobre funciones específicas, se necesita tener el nombre de la función sobre la cual se desea obtener información, para la utilización de esta ayuda procedemos así: help(comando) Asignación: Consiste en dar un nombre a un valor o a una determinada función, de tal manera que esta pueda ser utilizada más adelante en otras operaciones o con otras funciones más complicadas. La estructura para realizar la asignación es la siguiente:

> nombre = valor ó función Comando c( ): R utiliza diferentes estructuras de datos. La estructura más simple es el vector, que es una colección ordenada de números. Para crear un vector columna de cualquier dimensión, coloque los números dentro de los paréntesis del comando separados por comas, así:

> Y = c(1,2,3,4,5)


225


Comando seq(): Permite generar sucesiones de números, para ello se debe indicar el número inicial, el número final y el incremento que se desee, la estructura para este comando es como sigue:

seq(valor inicial, valor final, incremento) Aritmética vectorial: Los vectores pueden usarse en expresiones aritméticas, en cuyo caso las operaciones se realizan elemento a elemento. Si se tiene un vector llamado X es posible definir las siguientes funciones:

Comando Descripción

sum(x) Suma de los elementos del vector

prod(x) Multiplica los elementos del vector

max(x) Valor máximo del vector

min(x) Valor mínimo del vector

range(x) Rango del vector

length(x) Número de elementos del vector

sort(x) Ordena de menor a mayor los elementos del vector

rev(sort(x)) Ordena de mayor a menor los elementos del vector

Round(x,n) Redondea los elementos del vector a n cifras decimales

cumsum(x) Devuelve un vector donde cada elemento es la suma de los elementos anteriores a él

Tabla 2: Comandos Funciones gráficas básicas para el análisis exploratorio de datos La presentación de datos estadísticos mediante gráficos es muy importante, ya que mediante esta es posible visualizar tendencias y el comportamiento de los mismos, los métodos gráficos proporcionan al investigador un conjunto de herramientas para examinar las variables en un estudio, las posibles relaciones que se pueden dar entre variables y permiten realizar diferentes procesos de acuerdo a los resultados obtenidos. a continuación se presentan algunos comandos para el análisis exploratorio de datos y sus correspondientes algoritmos para ser trabajado en R

Comando

pie(x,labels=N)

barplot(x,names.arg=N)

stem(x)

boxplot(x)

hist(x)

plot(x,y)

Tabla 3: Comandos gráficos

Cada uno de los gráficos mencionados anteriormente poseen argumentos adicionales que pueden ser incorporados en los comandos y que permiten la adición de un título, un color determinado, un tipo de letra especifico, entre otros, para mayor información consulte la ayuda interactiva que ofrece R, por ejemplo; Ayuda para argumentos adicionales de un diagrama de sectores escribahelp(pie)


226


Análisis exploratorio de datos mediante medidas numéricas La finalidad del Análisis Exploratorio de Datos (AED) es examinar los datos previamente a la aplicación de cualquier técnica estadística. De esta forma el analista consigue un entendimiento básico de sus datos y de las relaciones existentes entre las variables analizadas. El AED proporciona métodos sencillos para organizar y preparar los datos, detectar fallos en el diseño y recogida de datos, tratamiento y evaluación de datos ausentes, identificación de casos atípicos y comprobación de los supuestos subyacentes en la mayor parte de las técnicas multivariantes. Salvador Figueras, M y Gargallo, P. (2003) A continuación se presentan algunos comandos que permiten realizar el análisis exploratorio de datos a través de medidas numéricas Medidas de Tendencia central Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usará el valor más elevado ni el valor más pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos más bien que valores típicos. Entonces sería más adecuado buscar un valor central. Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos más bien que a individuos. En la siguiente tabla se muestra el comando utilizado en R para calcular a un vector (x) estas medidas.


mean(vector) o med = sum(x) / length (x)

Media: La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo

Median(x) Mediana: definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él.

Table(x) Moda: Es el dato que más se repiten en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un número igual de veces entonces el conjunto será bimodal.

Tabla 4: Comandos medidas de tendencia central

Medidas de Dispersión Se llaman medidas de dispersión a aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables cuantitativas. En la siguiente tabla se muestra el comando utilizado en R para calcular a un vector (x) estas medidas.


Var(x) O

Varianza: Es el valor obtenido de sumar los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos respecto a la media y dividiendo esta suma por el número de observaciones menos uno

Sd(x) O Sqrt(var)

Desviación estándar: La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza

Quantile(x) Cuantiles: Los cuantiles se usan con frecuencia en los datos para dividir las poblaciones en grupos. Por ejemplo, se puede utilizar el primer cuantil para determinar cual valor deja un 25 por ciento de datos por debajo de él

Quantile(x,seq(0.1,0.9,0.1)) Percentiles: Los percentiles se usan para dividir la población en diez partes.

Range(x) Rango: determina el valor mínimo y el valor máximo de un conjunto de datos.

Tabla 5: Comandos medidas de dispersión


227


El comando summary() permite calcular directamente y a la vez algunas de las medidas de tendencia central y de dispersión como: media, mediana, primer cuartil, tercer cuartil, valor mínimo y valor máximo de un conjunto de datos. Medidas de Asimetría Comparan la forma que tiene la representación gráfica, bien sea el histograma o el diagrama de barras de la distribución, con la distribución normal. Para calcular algunas de estas medidas en R se hace necesario que se cargue la librería moments antes de utilizar los comandos.


skewness ( ) Sesgo: Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media aritmética coinciden. El sesgo mide la simetría de la distribución de un conjunto de datos, este puede ser negativo, cero o positivo

kurtosis ( )

Curtosis: Mide la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda. Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis: Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

Tabla 6: Comandos medidas de asimetría

Distribuciones de frecuencias Agrupamiento de datos en categorías, que muestran el número de observaciones en cada categoría mutuamente excluyente. Cada una de estas categorías es llamada Intervalo de clase; Los intervalos de clase usados en la distribución de frecuencias deben ser iguales. Determine la amplitud de un intervalo de clase sugerido con la fórmula: int = (valor máximo – valor mínimo ) / número de clases. En R es posible construir la tabla de distribuciones de frecuencias de la siguiente manera, teniendo los siguientes datos:

Imagen 4: Vector de datos

de los datos anteriores se tiene que el rango es 10.8, si se desean construir 6 intervalos se tiene que la amplitud de clase es de 1.8 aproximando 2, los intervalos empiezan en 12 y terminan en 24, a continuación se presenta como realizar esta construcción en R

: Imagen 5: Distribución de frecuencias

El argumento seq(valor inicial, valor final, incremento) genera una secuencia, para el ejemplo valor inicial es 12, valor final es 24 y el incremento es 2, el argumento rigth=TRUE especifica que los intervalos construidos son cerrados a la derecha. Si se desea trabajar más adelante con esta tabla de frecuencias se le asigna un nombre (frecuencias=table(cut(...))) , para obtener la tabla de frecuencias acumuladas el nombre asignado a la tabla se coloca dentro del comando cumsum() como se muestra a continuación: cumsum(frecuencias). Si el interés está en ver las tablas de frecuencias relativas y la tabla de frecuencia relativa acumulada. A la tabla de frecuencias obtenida la dividimos en el tamaño del vector que contiene los datos, obteniendo con esto tabla de frecuencia relativa y con esta última obtenemos la tabla de frecuencias relativas acumuladas al aplicarle el comando cumsum().


228


Para mayor información sobre otros comandos y los argumentos utilizados para el análisis exploratorio de datos se pueden dirigir a las ayudas que tiene R o consultar el Libro “Algunos temas estadísticos implementados en R” Momentos El comando moment(x, order=, central=, absolute= ), permite calcular a un vector de datos los momentos muestrales de un orden específico, donde x es vector que contiene el conjunto de datos, order= se refiere al momento que se desea calcular, central= se relaciona con un valor lógico si es igual a TRUE calcula el momento central, si es igual FALSE calcula los momentos respecto al origen y absolute= se relaciona con un valor lógico si es igual a TRUE determina el momento aplicándole el valor absoluto a cada uno de los componentes del vector. Para poder trabajar con este comando se hace necesario cargar previamente la librería moments. Además con el comando all.moments(x, order.max=, central=, absolute= ) es posible calcular varios momentos a la vez de un conjunto de datos, los argumentos son los mismos utilizados en el comando moment y se le adiciona el argumento orden.max= este argumento fija hasta qué momento se desea calcular.

CONCLUSIONES El uso de programas estadísticos para el análisis exploratorio de datos es de gran utilidad ya que estos permiten visualizar de manera rápida medidas que describen el comportamiento de conjuntos de datos El programa R proporciona una herramienta potente en el trabajo de datos estadísticos, además gracias a su distribución gratuita minimiza costos para estudiantes, docentes y empresas que deseen realizar análisis estadísticos. La implementación de programas en el desarrollo de las clases facilita el aprendizaje de diferentes conceptos mediante la experimentación que el estudiante realiza.

BIBLIOGRAFÍA R Development Core Team (2008). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for

Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0. Disponible en: http://www.R-project.org. Ramos, C.A., Cárdenas, S.P., Algunos temas de estadística implementados en R, ISBN 978-958-660-168-9, Colección

investigación Uptc, N.º 36 Salvador Figueras, M y Gargallo, P. (2003): "Análisis Exploratorio de Datos", [en línea] 5campus.com,

Estadística.Disponible en: http://www.5campus.com/leccion/aed


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COMUNICACIÓN BREVE BONDADES DEL ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS

Sara Cristina Guerrero

Msc. Ciencias Estadísticas Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Tunja

[email protected]

Resumen

Se presenta el Análisis Exploratorio de Datos (AED) como el conjunto de procedimientos previos al análisis de información, que permiten estudiar el cumplimiento de los supuestos sobre el cual se fundamenta el desarrollo y la aplicación de algunas técnicas estadísticas. Inicialmente se darán unas generalidades del AED, la importancia de su aplicación, posteriormente, se tratarán los supuestos básicos sobre el cual se fundamenta, normalidad, linealidad, homocedasticidad y finalmente la detección de datos atípicos. Se abordará algunos tópicos concernientes al AED desde el punto de vista univariado y bivariado, se trabajará la estadística descriptiva como la alternativa de análisis que aporta las premisas acerca de los supuestos básicos para el tratamiento adecuado de la información y finalmente se presentarán las pruebas estadísticas específicas que validan dichas evidencias.

Palabras clave: Análisis exploratorio, Verificación de supuestos

Abstract

We present the Exploratory Data Analysis (EDA) as the set of procedures prior to data analysis that allow to study the performance of the assumptions on which to base the development and application of some statistical techniques. Initially a general will of the AED, the importance of their application, then will discuss the basic assumptions on which it is based, normality, linearity, homoscedasticity and finally the detection of outliers. It will address various topics concerning the AED from the standpoint of univariate and bivariate descriptive statistics will work as an alternative analysis which provides the assumptions about the underlying assumptions for the proper treatment of information and finally be presented specific statistical tests that validate this evidence.

Key words: Exploratory analysis, Verification of suppositions INTRODUCCIÓN El AED es considerado, como una etapa previa a la aplicación de métodos estadísticos avanzados, que requieran la

verificación de ciertos supuestos para su análisis; además, permite detectar posibles inconsistencias en la toma de

la información, en la codificación y en el procesamiento de la misma.

El AED es conjunto de técnicas estadísticas que estudia de manera exhaustiva la estructura de la información, inicialmente utilizando las herramientas gráficas y tablas de frecuencia que aportan al analista una idea de cómo es la naturaleza de la información, permitiendo detectar la presencia de posibles fallos, la tendencia de la información


230


como tal si es simétrica, su rango de variabilidad, presencia de datos atípicos, cada uno de estos aspectos pueden ser abordados utilizando algunas medidas descriptivas para afianzar los patrones encontrados desde la exploración visual de la información. Se presentará AED de manera univariada se describirá su estructura y tendencia, luego se mostrará las etapas a tener en cuenta en el caso bivariado. Finalmente se comentará sobre las ventajas que conlleva realizar el AED y se tratarán algunas pruebas ayudan a verificar los supuestos de normalidad linealidad y homocedasticidad

GENERALIDADES ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Caso Univariado En el tratamiento de la información se hace necesario organizar, tabular y describirla a partir de tablas de frecuencias, gráficos y algunas medidas que permitan detallar de manera adecuada los datos, estos aspectos son el soporte para discutir la distribución de los datos objeto de estudio. AED inicia con el análisis de cada variable (clasificación y escala de medición, pues de ello depende la técnica de análisis adecuada), la tabulación y su representación gráfica para observar su tendencia (graficas de barras, histogramas, diagramas de líneas entre otros) pero a la vez estudiar la distribución a partir de un referente teórico o estudiar la variabilidad o relación entre variables (gráficos de normalidad box plot, diagramas de dispersión, etc). En esta etapa también se puede evidenciar la calidad de la información recogida, posibles datos faltantes (missing), o errores en la información recolectada o en la transcripción, la presencia de datos atípicos (outliers). Una vez se ha explorado las herramientas graficas se procede a describir las variables a través de mediadas de tendencia central, localización, dispersión o de forma. El histograma proporciona información respecto a la estructura y distribución de los datos, presencia de valores atípicos tipo de simetría. Cuando el número de datos es pequeño una representación más útil es el diagrama de puntos, líneas o diagrama de tallos y hojas (Peña (1995)). Es conveniente complementar las técnicas gráficas y las tablas de frecuencias, en el caso de variables de tipo cuantitativo con medidas que permitan resumir la información, Figura 1, y que a su vez algunas se pueden identificar en el diagrama de caja que es una de las herramientas clave en el análisis exploratorio de datos. El diagrama de caja o Box plot permite argumentar sobre el rango de variabilidad, simetría, la tendencia de la información, pero además evidencia la presencia de datos atípicos, sobre el cual el investigador debe centrar su atención para verificar si posiblemente se debe a algún fallo en la información o si realmente es un valor observado. Otras medidas de tendencia central como la media recortada (Devore (1998)) cita, la media recortada es un término medio entre la media y la mediana. La media recortada es un promedio que se origina de eliminar x% mínimo y máxima de la información. La media recorta es menos sensible a valores extremos que la media aritmética, debido, a que se recortan los posibles valores anómalos.

Media ponderada, se estima cuando se le asigna un peso o ponderación iw a cada uno de las observaciones.

ii

iii

wn

wnxW

Media geométrica, dado un conjunto de observaciones x1, x2,…, xn la media geométrica Corresponde a la raíz n-ésima del producto del conjunto de datos.

nnG xxxX ...21

Media Winsorizada, para estimar de la media winsorizada, en lugar de eliminar un número entero de


231


observaciones de cada extremo, se sustituyen por el último valor, en cada extremo, que forma parte del análisis.

Tendencia

Central

Medidas Descriptivas

Localización Dispersión

•Media

•Mediana

•Moda

•Cuartiles

•Deciles

•Percentiles

• Rango

• Varianza

• Desv. Estándar

• Coef. Variación

• Ran. intercuartil

Forma

•Asimetría

• Curtosis

Diagrama de caja

Figura 1 Medidas descriptivas

En el AED la herramienta gráfica y el cálculo de algunas mediadas citadas en la Figura 1 se complementan para ello es necesario hacer uso de software estadístico. Batanero (1999) “El análisis exploratorio de datos, introducido Tukey (1962; 1970), se ha extendido como filosofía de aplicación de la estadística, debido principalmente a la disponibilidad de ordenadores y software estadístico con posibilidades de representación gráfica y tratamiento de conjuntos de datos variados”. Tukey (1972), las gráficas permiten visualizar la estructura de la información, estas sugieren las tendencias, el rango de variabilidad, el tipo de simetría, o que tan concentrada (apuntamiento) se encuentra la información. Para el caso de estudiar la asimetría se pueden cuantificar con el coeficiente de asimetría (Pearson, Fisher o Bowley) o el grado de apuntamiento (curtosis). Peña (2002), cuando el coeficiente de curtosis toma un valor alto mayor que 7 u 8 hay presencia de datos atípicos y para situaciones en las que se necesita la posterior aplicación de técnicas como juzgamiento de hipótesis, ajustes de modelos, en general técnicas que requieran el cumplimiento de ciertos supuestos; para ello recurrimos a gráficos de probabilidad normal (Q-Q plot y P-P plot), diagrama de caja, entre otros.

Caso Bidimensional El AED se fundamenta en la estadística descriptiva, en el caso bidimensional, se puede realizar por medio de tablas de contingencia; de gráficos y de medias que muestren su comportamiento individual y conjunto. Para el AED bidimencional se realiza inicialmente el análisis para cada una de las variables, luego se puede presentar la información en tablas de contingencia, aquí se describe teniendo en cuenta el número total de elementos tenidos o teniendo en cuenta las marginales por fila o columna para el último caso Peña (1995) Freund y otros (2000), tablas de contingencia distribución condicionada. Habiendo identificado la forma distribucional se procede a presentar la información en barras agrupadas o en diagramas de dispersión que permiten visualizar el comportamiento conjunto de las variables, estudiar la posible asociación entre las variables, o en diagrama de caja bivariado para comparar la variabilidad. Pero también se puede cuantificar la asociación y la variabilidad conjunta a través de medidas descriptivas como la covarianza y el coeficiente de correlación. La covarianza es una medida de dispersión que mide la relación entre dos variables X y Y. Dado un conjunto de datos de la forma (xi,yi), la covarianza muestral, se define:


232


1

),( 1

n

YyXx

SYXCov

n

i

ii

xy

Walpole (2007) cita “la covarianza entre dos variables aleatorias brinda información respecto a la naturaleza de la

relación, la magnitud xy no indica nada respecto a la fuerza de la relación, ya que xy depende de la escala de

medida. Su magnitud dependerá de las unidades que se miden para X y Y”. El coeficiente de correlación mide el grado de asociación entre dos variables X y Y. El coeficiente de correlación de Pearson, se define de la siguiente manera:

yx

yx

yx

pSS

S

SS

YXCovr

),(

Debido a que la covarianza depende de las unidades de medida de las variables, a partir de esta solamente se tiene la idea del tipo de relación entre dichas variables, en cambio, el coeficiente de correlación permite medir el grado de asociación. El coeficiente de correlación toma Valores entre -1 y 1, si asume el valor de 1 esto indica una asociación lineal perfecta positiva y si es -1 habrá una relación fuerte negativa; cuando vale 0 las variables no están correlacionadas.

pr mide el grado de asociación entre dos variables de tipo cuantitativo. Para el caso de variables de tipo cualitativo

que presenten una escala de medición de tipo ordinal, se estima el coeficiente de correlación de Spearrman (Wayne (2008) Canavos (2002)):

)1(

6

12

1

2

nn

d

r

n

i

i

s

donde cada 2

id corresponde a la diferencia entre de cada jerarquía de Yi y la jerarquía de Xi.

El Análisis exploratorio de datos (AED) se considera como una herramienta estadística, que permite al analista examinar el conjunto de datos objeto de estudio, con el fin de tener un conocimiento previo de la estructura general de la información.

Etapas del análisis exploratorio de datos

Figueras y Gallardo (2003), presenta algunos pasos a tener en cuenta en el AED. Aquí se sugieren algunos pasos a seguir en el AED:

1. Organizar la información En esta primera etapa el analista o investigador debe preparar la información para poder tener un mejor manejo de ella. Aquí se elabora la base de datos, para ello se clasifican las variables, se codifican, se establece la manera adecuada de ingresar la información, además, se debe tener claridad cómo digitar la información, cómo ingresar las variables al ordenador; de acuerdo al lenguaje del programa adecuado que le permita procesar los datos. Algunos de los paquetes más utilizados: R, SPSS, SAS, MINITAB, STATGRAPHICS, MATLAB, S-PLUSS, EPI INFO, STATA, STISTICA, EXECEL, entre otros. 2. Realizar el análisis univariado al conjunto de datos objeto de estudio


233


Como se mencionó anteriormente, independientemente del conjunto de observaciones, el análisis exploratorio de datos se debe realizar inicialmente de manera univarida para tener conocimiento sobre cada una de las variables de estudio; a través de gráficos o acudiendo a medidas descriptivas, para conocer la forma de los datos, evaluar el tipo de simetría, en general, proporciona información respecto a la variabilidad de los datos, presencia de datos atípicos o puede darse el caso de información faltante.

3. Estudiar el tipo de relación entre las variables de manera bivariada. Una vez analizadas las variables de manera unidimensional, el paso a seguir es estudiar la existencia de posibles relaciones entre éstas. Al realizar el análisis descriptivo bivariado; hay ocasiones, en que no hay evidencia suficiente del grado de asociación entre las variables, a partir de la descripción gráfica y de las medidas (covarianza y el coeficiente de correlación), entonces, se necesita de algún estadístico de prueba, que analice si la asociación es significativa. Estadístico de prueba utilizado para contrastar la independencia entre dos categorías cuya información se encuentra dispuesta en tablas de contingencia (Wayne (2008)). La expresión para estimar el estadístico es:

h

i

k

j ij

ijij

e

ef

1 1

2

2)(

donde, ijf son las frecuencias observadas en i-ésimo y j-ésimo renglón, ije las frecuencias esperadas, siendo

f

ffe

ji

ij

.. , .if total de la i-ésima fila y .if total de la j-ésima columna

4. Juzgar los supuestos básicos necesarios para la posterior aplicación de una técnica estadística (normalidad,

linealidad, homocedasticidad)

En métodos estadísticos que tienen que ver con el proceso de juzgamiento de hipótesis, estimaciones de intervalos de confianza, regresiones, modelos lineales, entre otros, fundamentan su inferencia basada en el supuesto de normalidad.

El diagnóstico de la normalidad, en el caso univariado se puede abordar desde el análisis descriptivo; el histograma, el diagrama de caja, muestran la tendencia visual de la distribución. Otra alternativa para estudiar la normalidad es teniendo en cuenta las medidas de tendencia central si estas toman el mismo valor o tienden a tomarlo hay indicios de que la variable de estudio, cumple con éste supuesto. El otro criterio de verificar el supuesto de normalidad es establecer la prueba de hipótesis. Las hipótesis a verificar es si los datos provienen de población(es) que tiene(n) distribución normal. Algunas pruebas que permiten verificar si la distribución de la población de la cual se extrae la muestra es normal por ejemplo: la prueba Ji-cuadrado, Shapiro y Wilks o Kolmogorov y Smirnov entre otras. La prueba Ji-cuadrado, se supone que los datos provienen de una muestra aleatoria simple. Este estadístico

compara las frecuencias observadas iO y las esperadas iE

, el test de prueba está dado por:

k

i i

ii

E

EO

1

2

2

Prueba de Kolmogorov y Smirnov, Verifica la bondad de ajuste de distribuciones continuas, el contraste calcula distancia máxima entre una función de distribución empírica de la muestra y la teórica, adecuado para tamaños de


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muestra grande Díaz (2002), Wayne (2008). El estadístico de prueba:

)().( xFxFMaxD nn

Prueba de Shapiro y Wilks, se recomienda para contrastar el ajuste de los datos una distribución normal, sobre todo cuando la muestra es pequeña (n<30). El estadístico de prueba se define:

2

)(1

1

,2

1

jjn

h

j

nj xxanS

w

donde 2S es la varianza muestral, h es igual a 2/n para n par e igual a

2/)1( n para n impar; los coeficientes

nja , corresponde a valores tabulados y )( jx, es el j-ésimo valor ordenado de la muestra, Díaz (2002).

En cuanto al supuesto de linealidad es un supuesto necesario en la aplicación de técnicas estadísticas basadas en medidas de correlación, (regresión lineal y múltiple, análisis factoriales entre otros). El supuesto de linealidad se evalúa mediante herramientas gráficas. El procedimiento más usual para evaluar la linealidad es avaluar el comportamiento del diagrama de dispersión y el coeficiente de correlación. El supuesto de homocedasticidad estudia la igualdad de varianzas. Dos o más poblaciones son homocedásticas cuando tienen la misma varianza.La verificación de este supuesto se puede hacer por medio de métodos gráficos (diagrama de caja o análisis de los residuales o de contraste de hipótesis (pruebas de Levene, Bartlet o F max, Prueba de Bartlet, Montgomery (2004), método más usual para verificar el supuesto de homocedasticidad. Esta prueba es aplicable a k poblaciones, el procedimiento se fundamenta en verificar si las k poblaciones de las que se extrajeron las muestras tienen la misma varianza. Para la aplicación de este test de manera adecuada es necesario que las poblaciones sean independientes y se distribuyan normalmente. El estadístico de prueba se define:

c

q3026.22

0

donde, 2

1

2 log)1(log )( i

k

i

ip SnSkNq

, con kN

Sn

Si

k

i

i

p

2

12

)1(

y

11

1

)()1()1(3

11

kNnk

ck

i

i

Prueba de Levene, Estadístico de prueba robusto al supuesto de normalidad. El procedimiento para su estimación consiste, primero, en estimar la mediana de cada muestra, y posteriormente se calculan las desviaciones de cada

valor observado con respecto a la mediana, para cada una de las muestras, iij Medyijd y luego con esas

desviaciones se realiza el análisis de varianza a una vía. Si el ANOVA es significativo entonces las poblaciones no cumplen con el supuesto de homocedasticidad. F max o prueba de Hartley, Para la aplicación de este test es necesario que las poblaciones de estudio sean independientes, se distribuyan normalmente pero además que los tamaños de la muestras sean iguales. Esta prueba es válida en diseños totalmente aleatorizados (Kuehl (2000)). El estadístico se define:

5. Identificar valores atípicos y la posible presencia de datos faltantes para evaluar su origen y posible tratamiento.

2

2

Menor

Mayor

S

SF


235


Los datos atípicos son observaciones distintas al comportamiento general de la información. El analista debe

centrar la atención sobre este tipo de mediciones, pues, pueden ser causadas por errores en las mediciones, o

en la transcripción de la información, o al cambio en las unidades de medida o de los instrumentos o puede ser

un valor observado.

El tratamiento de los datos atípicos depende de su naturaleza, pues si su presencia es debida algún tipo de

error y de codificación o medición o por cambio en las unidades de medida el investigador puede corregirlo.

Pero cuando el dato atípico es un valor realmente observado, el investigador debe centrarse pues este

comportamiento puede dar origen a investigar nuevas situaciones.

Peña (2002), presenta dos alternativas para el tratamiento los datos atípicos o “outlier”. La primera recurrir a

estimadores robustos, estos son estimadores que poco se ven afectados por datos atípicos (mediana, media

recortada, entre otros) y la segunda alternativa es detectar los outliers, “limpiar” la muestras de datos atípicos

y realizar la estimaciones.

CONCLUSIONES

Proporcionando al investigador los elementos de juicio para tomar la decisión en el tratamiento adecuado de la información El AED que permite detectar posibles fallos en la toma de la información, codificación, inconsistencias, datos faltantes, o atípicos. El AED describe la estructura de la información tendencia y forma distribucional, que aporta los indicios sobre los supuestos necesarios para la aplicación de métodos estadísticos avanzados.

BIBLIOGRAFÍA Batanero C., Estepa A. Y Godino J. (1999). Análisis exploratorio de datos: sus posibilidades en la enseñanza

secundaria. Canavos, G. (2001). Probabilidad y estadística. Edit. Mc Graw Hill. España.. Diaz, L. (2002). Estadística multivariada inferencia y métodos. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá. Figueras S.Y Gallardo P. (2003). Análisis exploratorio de datos. Levine D., Krehbiel T., Berenson, M. (2006).Estadística para administración. Edit. Pearson. México. Montgomery, Douglas. (2004). Diseño y análisis de experimentos. Edit. Limusa Wiley. México. Pág. 82 Peña, Daniel. (2002). Análisis de datos multivariantes. Edit. McGraw-Hill. España. Peña, Daniel.( 1995). Estadística modelos y métodos. Fundamentos. Alianza editorial S.A Madrid.. Pág. 45-70. Wayne, Daniel. (2008). Bioestadística, base para el análisis de las ciencias de la salud. Edit Limusa Wiley. Mexico.

Pág.707-713.

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