Mekanika Teknike II - Ushtrime

Dr. sc. Ahmet Shala

1

O ϕ

y

x ρo x

y

z

Kapësja

z

ρ

O1

O

M

ϕ

x(t)

l

mg

S

nr

tr

ϕ

rTa rNa

ev ea

ev ea

ineFϕ

PrisHTinë, 2003 PRISHTINË

Mekanika Teknike II – Permbledhje detyrash te zgjidhura dhe aplikimi i softverit Mathcad

2

P A R A T H Ë N I E

Ky libër përmban ushtrimet nga Mekanika Teknike II, të cilat i kam mbajtur që nga viti

shkollor 1994/95 në Fakultetin e Makinerisë në Prishtinë atëherë lëndët Kinematika dhe

Dinamika.

Përmbajtja dhe rënditja e këtij libri, është përafërsisht e njëjtë me planprogramin e

lëndës Mekanika Teknike II, e cila ndëgjohet në semestrin e II-të , në Fakultetin e

Inxhinierirsë Mekanik, drejtimi Komunikacion rrugor, për studime Bachelor sipas Deklaratës

së Bolonjës.

Qëllimi i hartimit të këtij libri ishte që të lehtësohet përvehtësimi i kësaj lënde dhe të

ngritet cilësia dhe niveli i studimeve, sidomos përmirësimi i mënyrës së prezentimit të

ushtrimeve, duke ofruar mundësinë e ikjes nga sistemi i diktimit. Gjithashtu ky libër përmban

udhëzime për punimet seminarike të parapara për këtë lëmi.

Me këtë libër kam bërë një kontribut modest për plotësimin e literaturës në gjuhën

shqipe.

Gjithashtu në këtë libër kam bërë përpjekje që të paraqes mundësinë e shfrytëzimit të

kompjuterit në llogaritjet e nevojshme. Një mundësi të tillë e kam paraqitur me shfrytëzimin e

softverit MathCad i cili ofron lehtësi të mëdha për punë me vektor, matrica, paraqitje

grafike, derivim dhe integrim të funksioneve me metodën simbolike, etj.

Ky libër mund t’iu shërbejë studentëve të makinerisë, ndërtimtarisë, xehtarisë si dhe

inxhinierëve e punëtorëve shkencorë, pra të gjithë atyre që mirren me studimin e lëvizjes së

sistemeve në përgjithësi.

Në këtë libër janë dhënë dhe zgjidhur detyra karakteristike për konkretizimin e pjesës

teorike si dhe disa udhëzime për zgjidhjen e “detyrave seminarike” duke e shfrytëzuar

softverin MathCad.

Ky libër mund të ketë lëshime dhe të meta, u jam mirënjohës të gjithë atyre që për këtë

do të ma terheqin vërejtjen me sugjerimet e tyre, kështuqë në rast ribotimi të eleminohen.

Prishtinë, Autori

Dr. sc. Ahmet Shala

3

P Ë R M B A J T J A

I. Kinematika e pikës ............................................................................................................... 5

I.1. Mënyrat e dhënjes së lëvizjes së pikës, caktimi i shpejtësisë dhe nxitimit të saj ................ 5 I.1.1. Mënyra vektoriale ............................................................................................................. 5 I.1.2. Mënyra koordinative......................................................................................................... 6 I.1.2.1. Sistemi i koordinatave kënddrejtë të Dekartit................................................................ 6 I.1.2.2. Sistemi i koordinatave cilindrike ................................................................................... 9 I.1.2.3. Sistemi i koordinatave polare....................................................................................... 10 I.1.2.4. Sistemi i koordinatave sferike...................................................................................... 12 I.1.3. Mënyra natyrale .............................................................................................................. 13 Detyra 1........................................................................................................................... 16 Detyra 2........................................................................................................................... 18 Detyra 3........................................................................................................................... 20 Detyra 4........................................................................................................................... 23 Detyra 5........................................................................................................................... 27 Detyra 6........................................................................................................................... 29 Detyra 7........................................................................................................................... 33 Detyra 8 (Udhëzime për detyrat seminarike K-1 ) ........................................................ 35 Detyra 9 (Udhëzime për detyrat seminarike K-1 në hapësirë) ....................................... 37 Detyra 10......................................................................................................................... 39 Detyra 11......................................................................................................................... 43 Detyra 12......................................................................................................................... 44 Detyra 13......................................................................................................................... 48 Detyra 14......................................................................................................................... 51 Detyra 15 (Udhëzime për detyrat seminarike K-2) ........................................................ 55

II. Kinematika e trupit të ngurtë. Lëvizja translative dhe rrotulluese e trupit ngurtë .......... 58

Detyra 1........................................................................................................................... 60 Detyra 2........................................................................................................................... 63 Detyra 3........................................................................................................................... 66 Detyra 4 (Udhëzime për detyrat seminarike K-3) .......................................................... 68

III. Lëvizja plane e trupit të ngurtë ...................................................................................... 70

Detyra 1........................................................................................................................... 72 Detyra 2........................................................................................................................... 76 Detyra 3........................................................................................................................... 81 Detyra 4........................................................................................................................... 90 Detyra 5........................................................................................................................... 95 Detyra 6........................................................................................................................... 99 Detyra 7......................................................................................................................... 106 Detyra 8......................................................................................................................... 111 Detyra 9 (Udhëzime për detyrat seminarike K-4) ........................................................ 118 Detyra 10 (Udhëzime për detyrat seminarike K-5) ...................................................... 121

IV. Lëvizja e trupit rreth pikës së palëvizshme. Këndet e Eulerit dhe lëvizja sferike ...... 123

Detyra 1 (Udhëzime për detyrat seminarike K-8) ........................................................ 123 Detyra 2 (Udhëzime për detyrat seminarike K-9) ........................................................ 125


4

V. Lëvizja e përbërë e pikës................................................................................................. 127

Detyra 1 (Lëvizja zhvendosëse dhe ajo relative janë translative)................................. 127 Detyra 2 (Lëvizja zhvendosëse është rrotulluese kurse ajo relative është translative) . 129 Detyra 3 (Udhëzime për detyrat seminarike K-10) ...................................................... 133 Detyra 4 (Udhëzime për detyrat seminarike K-11) ...................................................... 136

Zgjidhja e një afati të provimit nga Kinematika............................................................... 138

Detyra 1......................................................................................................................... 138 Detyra 2......................................................................................................................... 140 Detyra 3......................................................................................................................... 144

DINAMIKA

DINAMIKA E PIKËS MATERIALE.................................................................................... 148

PROBLEMI I PARË DHE I DYTË I DINAMIKËS ............................................................. 148

Detyra 1: (Problemi i parë i Dinamikës) ................................................................................ 148 Detyra 2: (Forca funksion i kohës F= f(t) ) ............................................................................ 150 Detyra 3: (Rënia e lirë, forca funksion i koordinatës F= f(x,y,z) )......................................... 152 Detyra 4: (Satelitët artificial të Tokës)................................................................................... 154 Detyra 5 (Hedhja e pjerrët): ................................................................................................... 156 Detyra 6: (Lëvizja e pikës nën veprimin e forcave tërheqëse) ............................................... 159

LIGJET E PËRGJITHSHME TË DINAMIKËS ................................................................... 161

Detyra 1 (Sasia e lëvizjes) ...................................................................................................... 161 Deytra 2 (Sasia e lëvizjes) ...................................................................................................... 162 Detyra 3: (Momenti kinetik) .................................................................................................. 163 Detyra 4 (Lëvizja e pikës nën veprimin e forcës qendrore, ekuacioni i Bineut).................... 165 Detyra 5: (Energjia kinetike, puna e forcave) ........................................................................ 166 Detyra 6:(Energjia kinetike, sasia e lëvizjes, puna e forcave) ............................................... 169 Detyra 7: (Lavjerrësi matematik) ........................................................................................... 174 Detyra 8: (Parimi Dalamberit për pikë materiale).................................................................. 178

LËKUNDJET DREJTVIZORE TË PIKËS MATERIALE ................................................... 181

Detyrë: (Lëkundjet e lira që nuk shuhën)............................................................................... 181

LËVIZJA E PËRBËRË E PIKËS

Detyra 1: (lëvizja zhvendosëse dhe ajo relative janë translative T-T) ................................... 184 Detyra 2: (lëvizja zhvendosëse rrotulluese, kurse ajo relative translative R-T)..................... 186 Detyra 3: (lëvizja zhvendosëse translative, kurse ajo relative rrotulluese T-R)..................... 190 Detyra 4: (lëvizja zhvendosëse dhe ajo relative janë rrotulluese R-R) .................................. 193

Literatura ............................................................................................................................. 197

Dr. sc. Ahmet Shala

5

I

KINEMATIKA E PIKËS

I.1. MËNYRAT E DHËNJES SË LËVIZJES SË PIKËS,

CAKTIMI I SHPEJTËSISË DHE NXITIMIT TË SAJ

Lëvizja e pikës materiale mund të jipet në tri mënyra:

- mënyra vektoriale,

- mënyra koordinative, dhe

- mënyra natyrale.

I.1.1. MËNYRA VEKTORIALE

Mënyra vektoriale e përshkrimit të lëvizjes së pikës në hapësirë nënkupton dhënjen e vektorit

i cili fillimin e ka nga një pikë të palëvizshme O kurse fundin në pikën që shqyrtohet M.

Vektori OM quhet rrezevektori i pikës M. Kështu ekuacioni vektorial i lëvizjes së pikës

jipet me funksionin vektorial:

)(trOMr rr==

Lakorja nëpër të cilën lëvizë pika në hapësirë, quhet trajektore e pikës (Fig.1.).

O

M

y

z

x

rr

Figura 1.


6

Meqë tani mund të thuhet se dihet rrezevektori i pikës M në funksion të kohës, pra

)(trOMr rr== , shpejtësia e kësaj pikë paraqet derivatin e këtij vektori sipas kohës t, pra:

rdtrdv &rr

r== ,

kurse nxitimi i pikës paraqitet me derivatin e parë të vektorit të shpejtësisë, përkatësisht me

derivatin e dytë të rrezevektorit sipas kohës, pra:

rdt

rddtvda &&r

rrr

=== 2

2.

I.1.2. MËNYRA KOORDINATIVE

Lëvizja e pikës në hapësirë në mënyrën koordinative jipet me tre parametra, përkatësisht tri

koordinata. Nëse lëvizja e pikës gjatë gjithë kohës realizohet në rrafsh, atëherë lëvizja e saj

përshkruhet me dy parametra – koordinata. Nëse lëvizja e pikës është drejtvizore, atëherë ajo

përshkruhet me një parametër-koordinatë.

Për të përshkruar lëvizjen e pikës në mënyrën koordinative përdoren disa sisteme koordinative

si:

- sistemi i koordinatave kënddrejtë të Dekartit,

- sistemi i koordinatave cilindrike,

- sistemi i koordinatave polare për lëvizje të pikës në rrafsh dhe

- sistemi i koordinatave sferike.

I.1.2.1. SISTEMI I KOORDINATAVE KËNDDREJTË TË DEKARTIT

Në sistemin e koordinatave kënddrejtë të Dekartit, lëvizja e pikës në hapësirë, jipet përmes tri

koordinatave dhe atë:

)(txx = [m],

)(tyy = [m] dhe

)(tzz = [m].

Dr. sc. Ahmet Shala

7

Nëse lëvizja realizohet në rrafsh, p.sh xOy, kemi vetëm dy koordinata, pra:

)(txx = [m] dhe

)(tyy = [m].

Nëse lëvizja e pikës është drejtvizore, p.sh atë drejtëz le t’a emertojmë me x, atëherë lëvizja

përshkruhet me një koordinatë, pra:

)(txx = [m].

O

M

α

y

z

x

M’

x y

z

rr

xv yv

zv vr

xv

yv

zv

vr

β

γ

ir

jrk

r

Figura 2.

Lidhja ndërmjet rrezevektorit rr dhe koordinatave kënddrejtë sipas Fig. 2 është:

kzjyixrrrrr

⋅+⋅+⋅= ,

ku i, j dhe k janë vektorët njësi (vektor konstant me intensitet një) të akseve përkatëse x, y dhe

z.

Kur dihen koordinatat e pikës, shpejtësia e pikës në këtë rast caktohet nga:

xdtdxvx &== - projeksioni i shpejtësisë së pikës në drejtim të aksit x,

ydtdyvy &== - projeksioni i shpejtësisë së pikës në drejtim të aksit y dhe

zdtdzvz &== - projeksioni i shpejtësisë së pikës në drejtim të aksit z.


8

Meqë projeksionet e shpejtësisë së pikës të caktuara më parë, janë normal në njëra tjetrën,

atëherë intensiteti i shpejtësisë së pikës caktohet me shprehjen:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=++=

smzyx

dtdz

dtdy

dtdxvvvv zyx

222222

222 &&& .

Në këtë rast është me interes të jipen shprehjet për përcaktimin e këndeve që vektori i

shpejtësisë së pikës, formon me akset koordinative, përkatësisht kosinuset e drejtimit të

shpejtësisë, pra:

222

)cos(zyx

xv

vx

&&&

&

++==α , α - këndi ndërmjet vektorit të shpejtësisë dhe aksit x.

222

)cos(zyx

yv

vy

&&&

&

++==β , β - këndi ndërmjet vektorit të shpejtësisë dhe aksit y.

222

)cos(zyx

zv

vz

&&&

&

++==γ , γ - këndi ndërmjet vektorit të shpejtësisë dhe aksit z.

Nëse lëvizja e pikës realizohet në rrafsh, p.sh xOy, atëherë merren vetëm shprehjet që kanë të

bëjnë me aksin x dhe y, pra ato në drejtim të aksit z merren zero, pra intensiteti i shpejtësisë së

pikës në këtë rast është:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=+=

smyxvvv yx

2222 && .

Nëse lëvizja e pikës realizohet në drejtim të një drejtëze, p.sh x, atëherë merret vetëm shprehja

që ka të bëj me aksin x, pra ato në drejtim të akseve y dhe z merren zero, pra intensiteti i

shpejtësisë së pikës në këtë rast është:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡===

smx

dtdxvv x & .

Kur dihen koordinatat e pikës, përkatësisht shpejtësia, atëherë nxitimi i pikës në këtë rast

caktohet nga:

xdt

xddt

dva x

x &&=== 2

2 - projeksioni i nxitimit të pikës në drejtim të aksit x,

ydt

yddt

dva y

y &&=== 2

2 - projeksioni i nxitimit të pikës në drejtim të aksit y,dhe

zdt

zddt

dva z

z &&=== 2

2 - projeksioni i nxitimit të pikës në drejtim të aksit z,

Dr. sc. Ahmet Shala

9

Meqë projeksionet e nxitimit të pikës të caktuara më parë, janë normal në njëri tjetrin, atëherë

intensiteti i nxitimit të pikës caktohet me shprehjen:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++= 2222222

smzyxaaaa zyx &&&&&& .

Nëse lëvizja realizohet në rrafsh, p.sh xOy, atëherë nxitimi caktohet me shprehjen:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+= 22222

smyxaaa yx &&&& .

Nëse lëvizja realizohet në drejtim të një drejtëze, p.sh në drejtim të aksit x, atëherë nxitimi i

pikës do të jetë:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== 2smxa

dtdv

a xx && .

I.1.2.2. SISTEMI I KOORDINATAVE CILINDRIKE

Në sistemin e koordinatave cilindrike, lëvizja e pikës jipet me tri koordinata dhe atë:

)(tρρ = [m], )(tϕϕ = [°] ose [rad] dhe )(tzz = [m].

O

M

ϕ

y

z

x

M’

x y

z

rr

ρ


10

Figura 3.

Lidhja ndërmjet koordinatave kënddrejtë të Dekartit dhe koordintave cilindrike është (Fig. 3):

ϕρ cos⋅=x ,

ϕρ sin⋅=y dhe

zz = .

Mund të caktohen shprehjet për llogaritje të shpejtësisë dhe nxitimit edhe përmes

koordinatave cilindrike, por vështirë mbahen në mend, prandaj caktimi i shpejtësisë dhe

nxitimit preferohet të vazhdon me koordinatat kënddrejtë të Dekartit.

I.1.2.3. SISTEMI I KOORDINATAVE POLARE

Nëse lëvizja e pikës realizohet në rrafsh, ajo mund të jipet përmes koordinatave polare që

janë:

)(trr = [m] dhe

)(tϕϕ = [°] ose [rad].

O

M

ϕ

y

x x

y rr

ir

jr orr ocr

rv

cv v

Figura 4.

Lidhja ndërmjet koordinatave kënddrejta të Dekartit dhe koordinatave polare (Fig. 4) është:

ϕcos⋅= rx dhe

Dr. sc. Ahmet Shala

11

ϕsin⋅= ry .

Rrezevektori rr , përmes koordinatave kënddrejta dhe vektorëve njësi shprehet si:

jyixrrrr

⋅+⋅= ,

duke e ditur se shpejtësia e pikës si vektor, në koordinatat kënddrejta është:

jyixjvivv yxr

&r

&rrr

⋅+⋅=⋅+⋅= ,

kurse intensiteti i saj është:

2222 yxvvv yx && +=+= ,

atëherë:

ϕϕϕϕ sincos)cos( ⋅⋅−⋅=⋅=== &&& rrrdtd

dtdxxvx ,

ϕϕϕϕ cossin)sin( ⋅⋅+⋅=⋅=== &&& rrrdtd

dtdyyvy .

Pas zëvendësimit shpejtësia e pikës do të jetë:

222222 )()cossin()sincos( ϕϕϕϕϕϕϕ &&&&&& ⋅+=⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅=+= rrrrrrvvv yx

Nga shprehja e fundit marrim:

rvr &= dhe

ϕ&⋅= rvc ,

përkatësisht vektori i shpejtësisë:

ocor cvrvv rrr⋅+⋅= ,

ku: orr , ocr , - vektor njësi, normal në njëri tjetrin, me intensitet konstant një, por me drejtim

dhe kahje jokonstante. Kështu intensiteti i shpejtësisë mund të shkruhet:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅+=+=

smrrvvv cr

2222 )( ϕ&& .

Në mënyrë analoge caktohet edhe nxitimi i pikës. Nisemi nga:

vektori i nxitimit të pikës: jyixjaiaa yxr

&&r

&&rrr

⋅+⋅=⋅+⋅= dhe


12

intensiteti i nxitimit të pikës: 2222 yxaaa yx &&&& +=+= ,

atëherë:

( )ϕϕϕ sincos ⋅⋅−⋅==== &&&&& rrdtd

dtdv

vxa xxx ,

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ cossinsinsincos 2 ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅= &&&&&&&&& rrrrrax ,

ϕϕϕϕϕ sin)2(cos)( 2 ⋅⋅+⋅−⋅⋅−= &&&&&&& rrrrax ,

( )ϕϕϕ cossin ⋅⋅+⋅==== &&&&& rrdtd

dtdv

vya yyy ,

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ sincoscoscossin 2 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅= &&&&&&&&& rrrrray ,

ϕϕϕϕϕ cos)2(sin)( 2 ⋅⋅+⋅+⋅⋅−= &&&&&&& rrrray .

Pas zëvendësimit shprehja për nxitim merrë formën:

2222 ]cos)2(sin)[(]sin)2(cos)[( ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ⋅⋅+⋅+⋅⋅−+⋅⋅+⋅−⋅⋅−= &&&&&&&&&&&&&& rrrrrrrra

22222 )2()()()( ϕϕϕ &&&&&&& ⋅+⋅+⋅−=+= rrrraaa cr ,

prej nga marrim:

ocor caraa rrr⋅+⋅= ,

2ϕ&&& ⋅−= rrar ,

ϕϕ &&&& ⋅+⋅= rrac 2 .

Dr. sc. Ahmet Shala

13

I.1.2.4. SISTEMI I KOORDINATAVE SFERIKE

Në sistemin e koordinatave sferike, lëvizja e pikës jipet me tri koordinata dhe atë:

)(trr = [m],

)(tϕϕ = [°] ose [rad] dhe

)(tθθ = [°] ose [rad] .

O

M

ϕ

y

z

x

M’

x y

z

rr

θ

Figura 5.

Lidhja ndërmjet koordinatave kënddrejtë të Dekartit dhe koordintave sferike është (Fig. 5):

ϕθ cossin ⋅⋅= rx ,

ϕθ sinsin ⋅⋅= ry dhe

θcos⋅= rz .

Mund të caktohen shprehjet për llogaritje të shpejtësisë dhe nxitimit edhe përmes

koordinatave sferike, por është një punë e panevojshme mekanike dhe vështirë mbahen në

mend, prandaj caktimi i shpejtësisë dhe nxitimit preferohet të vazhdon me koordinatat

kënddrejtë të Dekartit.


14

I.1.3. MËNYRA NATYRALE

Në mënyrën natyrale, lëvizja e pikës është e përcaktuar me trajektoren ( l ) dhe ligjin e

lëvizjes nëpër trajektore s = s (t) (Fig.6).

O

M

y

z

x

rr

Mo s = s ( t )

vr

tr

nr ta

na ar

lR

oTroN

r

l

Figura 6.

Pra: l – trajekroria (rruga) e lëvizjes së pikës,

s = s (t) – koordinata natyrale, ligji i lëvizjes së pikës nëpër trajektore.

O

M1

y

z

x

rr

M ds

1rr

rdr

Mo s

x

y

z

l

Figura 7.

Dr. sc. Ahmet Shala

15

Lidhja ndërmjet koordinatës natyrale dhe koordinatave kënddrejtë të Dekartit caktohet nga:

kzjyixrrrrr

⋅+⋅+⋅= ,

caktojmë diferencialin:

kdzjdyidxrdrrrr

⋅+⋅+⋅= .

Meqë intensiteti i vektorit rdr është përafërsisht i njëjtë me intensitetin e gjatësisë elementare

të harkut ds , atëherë katrori i tyre do të jetë pothuaj i njëjtë, (Fig. 7) pra:

22222 dzdydxrdrddrds ++=⋅==rr ,

222 dzdydxds ++= ,

nga: dtxdxdtdxx && =⇒= , dtydy

dtdyy && =⇒= dhe dtzdz

dtdzz && =⇒= , atëherë:

∫⋅++= /222 dtzyxds &&& ,

∫∫ ⋅++±=ts

s

dtzyxdso 0

222 &&& ,

∫ ⋅++±=t

o dtzyxss0

222 &&& .

Shpejtësia e pikës në koordinata natyrale caktohet me shprehjen:

sdtdsv &== ,

oTsvr

&r

⋅= ,

oTr

- vektori njësi i tangjentës (t),

pra ka drejtimin e tangjentës (t) në trajektore (Fig.6).

Nxitimi i pikës në koordinata natyrale caktohet me shprehjen:

sdtdvat &&== - komponenta tangjenciale e nxitimit,

ll

n Rs

Rva

22 &== - komponenta normale e nxitimit,

lR - rrezja e lakesës së trajektores në pikën M.

onot NaTaarrr

⋅+⋅= - vektori i nxitimit të pikës,

22nt aaa += , intensiteti i nxitimit të pikës.


16

DETYRA 1

Lëvizja e pikës materiale në rrafshin xOy është dhënë me rrezevektorin

][)23()12( mjtitrrrr

⋅−+⋅+= . Të caktohen:

- koordinatat x dhe y në funksion të kohës t,

- pozicioni fillestar,

- ekuacioni i trajektores y = f (x),

- shpejtësia dhe nxitimi i pikës në funksion të kohës.

Zgjidhje:

Nga ][)23()12( mjtitjyixrrrrrr

⋅−+⋅+=⋅+⋅= , marrim koordinatat:

][12)( mttxx +== , ][23)( mttyy −== .

Pozicioni fillestar ),( ooo yxM , caktohet për çastin e kohës to = 0, pra:

mxo 1102 =+⋅= , myo 3023 =⋅−= .

Nga shprehja për koordinatën x marrim se:

2

1−=

xt ,

të cilën e zëvendësojmë në shprehjen për koordinatën y dhe fitojmë:

2

123 −−=

xy ,

përkatësisht ekuacioni i trajektores do të jetë:

xy −= 4 ,

që siç shihet nga shprehja paraprake dhe figura në vijim, paraqet një drejtëz.

x 3 2 1 0 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

5

6

7

y

Mo

M v α

β

Dr. sc. Ahmet Shala

17

Shpejtësia e pikës

jvivv yxrrr

⋅+⋅= ,

2)12( =+== tdtd

dtdxvx ,

2)23( −=−== tdtd

dtdyvy ,

atëherë intensiteti i shpejtësisë do të jetë:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==−+=+=

smvvv yx 228)2(2 2222 .

Drejtimi i shpejtësisë caktohet me shprehjet për kosinusin e drejtimit, pra:

o4542

222

2cos ==⇒===παα

vvx ,

o1354

322

222cos ==⇒−=

−==

πββv

vy .

Siç shihet nga shprehja e shpejtësisë, ajo gjatë tërë kohës ka madhësi konstante.

Nxitimi i pikës

jaiaa yxrrr

⋅+⋅= ,

0)2( ===dtd

dtdv

a xx ,

0)2( =−==dtd

dtdv

a yy ,

atëherë intensiteti i nxitimit do të jetë:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=+= 22222 000

smaaa yx .


18

DETYRA 2

Lëvizja e pikës materiale është dhënë me ekuacionet:

][cos)( mktatxx == dhe ][sin)( mktbtyy == ,

ku a dhe b janë konstante, t – koha në sekonda.

Të caktohen: - pozicioni fillestar dhe trajektoria e pikës,

- shpejtësia dhe nxitimi absolut dhe

- për a = b = R , caktoni komponenten normale dhe tangjenciale të nxitimit si dhe

rrezen e lakesës së trajektores.

Zgjidhje:

Pozicioni fillestar siç dihet caktohet për çastin e kohës to = 0, pra:

akaxo =⋅= 0cos , 00sin =⋅= kbyo .

Trajektoria e pikës

Shprehjen për x e pjestojmë me a kurse atë për y e pjestojmë me b , të dyja i ngrisim në

katrorë dhe i mbledhim anë për anë, pra:

ktax 2

2cos=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

ktby 2

2sin=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

Prej nga marrim:

ktktby

ax 22

22sincos +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

pra trajektoria ka formën:

122

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

by

ax ,

që siç dihet paraqet elipsën me gjysëmboshte, në drejtim të aksit x me madhësi a, kurse në

drejtim në aksit y me madhësi b, dhe qendër në fillimin e sistemit koordinativ O(0,0).

Dr. sc. Ahmet Shala

19

x -a O a

y

Mo

M b

-b

Shpejtësia e pikës

jvivv yxrrr

⋅+⋅= ,

ktakktadtd

dtdxvx sin)cos( −=== ,

ktbkktbdtd

dtdyvy cos)sin( === ,


ktbktakktbkktakvvv yx22222222 cossin)cos()sin( +=+−=+= .

Nxitimi i pikës

jaiaa yxrrr

⋅+⋅= ,

ktakktakdtd

dtdv

a xx cos)sin( 2−=−== dhe

ktbkktbkdtd

dtdv

a yy sin)cos( 2−=== ,


ktbktakktbkktakaaa yx22222222222 sincos)sin()cos( +=−+−=+= .

Për a = b = R :

kRktktkRktRktRkv =+=+= 222222 cossincossin ,

RkktktRkktRktRka 222222222 sincossincos =+=+= .


20

Komponenta tangjenciale e nxitimit caktohet nga:

0)( === kRdtd

dtdvat ,

komponenta normale caktohet nga:

22nt aaa += ,

prej nga:

RkRkaaa tn222222 0)( =−=−= .

Kështu rrezja e lakesës së trajektores do të jetë:

RRk

kRavR

nl === 2

22 )( .

Kjo madhësi e rrezes së lakesës edhe është pritur pasiqë për a = b = R , ekuacioni i trjektores

është rrethi me rreze R , dhe qendër në fillimin e sistemit koordinativ, pra:

122

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

by

ax , a = b = R , do të kemi rrethin: 222 Ryx =+ .

DETYRA 3

Pika materiale lëviz nëpër rrafsh, ashtuqë komponenta radiale e shpejtësisë është ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

smbvr

kurse ajo cirkulare ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

smdvc , ku b dhe d janë madhësi konstante. Të caktohet tajektoria e

pikës, shpejtësia, komponenta radiale dhe cirkulare e nxitimit, nxitimi absolut, komponenta

tangjenciale dhe normale e nxitimit, të gjitha këto në funksion të pozitës së pikës materiale

nëse në çastin fillestar to = 0 kemi: Rro = dhe 0=oϕ .

Zgjidhje

.2222 konstdbvvv cr =+=+=

Dimë se:

bdtdrrvr === & /dt

Dr. sc. Ahmet Shala

21

∫= /bdtdr

∫∫ =tr

r

dtbdro 0

,

btrr o =− , Rro = atëherë

btRr +=

ddtdrrvc ===ϕϕ& /

rdt ,

∫= /dtrddϕ ,

∫∫ +=

t

btRdtdd

00

ϕ

ϕ ,

zëvendësojmë

bdudt

bRutubtR =⇒

−=⇒=+ ,

atëherë

)ln(1ln11 btRb

ubu

dubbtR

dt+===

+ ∫∫ ,

pra:

)ln()ln()ln()ln(0 R

btRbdR

bdbtR

bdbtR

bd t +

=−+=+=ϕ ,

prej nga:

)ln(R

btRd

b +=

ϕ ,

antilogaritmojmë:

Rr

RbtRe d

b

=+

=ϕ

,

prej këtu trajektoria e pikës do të jetë:

ϕ

db

eRr ⋅= ,

që paraqet një spirale logaritmike.


22

xO

ϕ

y

M r

Mo

R

Komponenta radiale e nxitimit caktohet me shprehjen:

2ϕ−= &&& rrar ,

bvr r ==& ,

0)( === bdtd

dtrdr&

&& ,

rd

btRd

Rb

btRR

bd

RbtR

bd

dtd

dtd

=+

=+

=+

== )ln((ϕϕ& ,

r

drdrar

220 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= .

Komponenta cirkulare e nxitimit caktohet me shprehjen:

ϕϕ &&&& rrac += 2 ,

222 )()()(

rdb

btRdbb

btRd

btRd

dtd

dtd ⋅

−=+

⋅−=

+−=

+==

ϕϕ&

&& ,

rdb

rdb

rdb

rdbr

rdbar

⋅=

⋅−

⋅=

⋅⋅−= 22 2 .

Nxitimi absolut llogaritet me shprehjen:

22222

22 bdrd

rdb

rdaaa cr +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+= .

Komponenta tangjenciale e nxitimit caktohet me shprehjen:

0.)()( 22 ==+== konstdtddb

dtd

dtdvat ,

kurse komponenta normale e nxitimit caktohet nga shprehja:

2222

2222 0 bdrdbd

rdaaa tn +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−= .

Dr. sc. Ahmet Shala

23

DETYRA 4

Për pikën materiale është dhënë ligji i ndryshimit të koordinatës në drejtim të aksit x me shprehjen ][62 2 mtx += , ligji i ndryshimit të shpejtësisë në drejtim të aksit y me shprehjen

]/[5 2 smtv y = dhe ligji i ndryshimit të nxitimit në drejtim të aksit z me shprehjen

]/[8 22 smtaz = . Nëse në çastin fillestar është e njohur se ][9 myo = , ][12 mzo = dhe

0=ozv , caktoni koordinatat, shpejtësinë dhe nxitimin e pikës në funksion të kohës dhe për çastin t1 = 1 [s] caktoni rrezen e lakesës së trajektores.

Zgjidhje

Në vijim kemi veprimet e nevojshme në drejtim të akseve përkatëse:

Në drejtim të aksit x në drejtim të aksit y në drejtim të aksit z

62 2 += tx 25tv y = 28taz =

ttdtd

dtdxvx 4)62( 2 =+==

dtdyvy = /dt

dtdv

a zz = /dt

4)4( === tdtd

dtdv

a xx dtvdy y= dtadv zz =

dttdy 25= / ∫ dttdvz28= / ∫

∫∫ =ty

y

dttdyo 0

25 ∫∫ =tv

vz dttdv

z

oz 0

28

335 tyy o =− 3

38 tvv ozz =−

3359 ty += 3

38 tvz =

ttdtd

dtdv

a yy 10)5( 2 === 3

38 t

dtdzvz == /dt

dttdz 338

= / ∫

∫∫ =tz

z

dttdzo 0

338

43

8 4tzz o =−

4

3212 tz +=


24

Nga llogaritjet paraprake pozita e pikës është e përcaktuar me koordinatat:

][62 2 mtx += ,

][359 3 mty += dhe

][3212 4 mtz += .

Shpejtësia e pikës materiale:

tvx 4= ,

25tv y = dhe

3

38 tvz =

prej nga:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++=++=++=

smttttttvvvv zyx

642232222229642516)

38()5()4( .

Nxitimi i pikës materiale:

4=xa ,

ta y 10= dhe

28taz = prej nga:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++=++= 2422222222 6410016)8()10()4(

smttttaaaa zyx .

Rrezja e lakesës së trjektores për çastin e kohës t1 = 1 [s], caktohet me shprehjen:

n

l avR

2= ,

ku për t1 = 1 [s], shpejtësia është:

9642516)1

38()15()14()

38()5()4()1( 2322223

122

12

11 ++=⋅+⋅+⋅=++=== ttttvv ,

Dr. sc. Ahmet Shala

25

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡===

smtvv 936.6)1( 1 ,


22tn aaa −= ,

ku nxitimi absolut për t1 = 1 [s], do të jetë:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⋅+⋅+=++=== 2424

12

11 416.131801641100166410016)1(smtttaa

komponenta tangjenciale e nxitimit caktohet nga:

642

53

642

53642

9642516

3645016

96425162

696410032

9642516

ttt

ttt

ttt

tttttt

dtd

dtdvat

++

++=

++

⋅⋅++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== ,

9642516

3645016

1964125116

13

64150116)1(

642

53

1

++

++=

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=== taa tt .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== 21 591.12)1(smtaa tt ,

atëherë komponenta normale do të jetë:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=−= 22222 633.4591.12416.13

smaaa tn .

Kështu rrezja e lakesës së trajektores në çastin t1 = 1 [s], është:

][383.10633.4

936.6 22m

avR

nl === .

Në vijim këtë shembull e kemi llogaritur përmes softverit MathCad. Jemi nisur se dimë

koordinatat në funksion të kohës dhe pastaj kemi vazhduar deri në caktimin e rrezes së lakesës

së trajektores. Me qëllim të llogaritjes me njësi, kemi përshtatë njësitë e shprehjeve të

koordinatave.


26

R t( ) 10.383 m=

R t( )v t( )2

an t( ):=


an t( ) 4.633m

s2=

an t( ) a t( )2 at t( )2−:=

Komponenta normale e nxitimit të pikës caktohet me shprehjen:

at t( ) 12.591m

s2=

at t( )tv t( )d

d:=

Komponenta tangjenciale e nxitimit të pikës caktohet me shprehjen:

a t( ) 13.416m

s2=

a t( ) 2tx t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

2ty t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+ 2tz t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+:=

Nxitimi absolut i pikës caktohet me shprehjen:

v t( ) 6.936ms

=

v t( )tx t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2

ty t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+

tz t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+:=

Shpejtesia e pik ës caktohet me shprehjen:

z t( ) 12 m⋅23

t4⋅m

s4⋅+:=y t( ) 9 m⋅

53

t3⋅m

s3⋅+:=x t( ) 2 t2⋅

m

s2⋅ 6 m⋅+:=

Koordinatat e lëvizjes së pikës:

t 1 s⋅:=

Çasti i kohës:

Dr. sc. Ahmet Shala

27

DETYRA 5

Një pikë materiale lëviz nëpër rrafshin xOy me shpejtësi: jxyiyxvrrr

⋅−+⋅−= )(2)(2 . Nëse

në çastin fillestar ajo kishte koordinatat 0=ox dhe ][1 myo = , kurse projeksionin e

shopejtësisë fillestare në drejtim të aksit y e kishte ]/[4 smyo =& , caktoni:

- ekuacionet e fundme të lëvizjes së pikës (x, y), në funksion të kohës, dhe

- trajektoren e pikës.

Zgjidhje

Shpejtësia e pikës si vektor është:

jxyiyxjvivv yxrrrrr

⋅−+⋅−=⋅+⋅= )(2)(2 ,

prej nga marrim:

)(2 yxvx −= dhe )(2 xyvy −= ,

përkatësisht:

)(2 yxxdtdxvx −=== & dhe )(2 xyy

dtdyvy −=== & ,

Nëse i mbledhim anë për anë kemi:

02222)(2)(2 =−+−=−+−=+ xyyxxyyxdtdy

dtdx ,

pra:

dtdy

dtdx

−= ,

përkatësisht:

yx && −=

Nga )(2 xyydtdyvy −=== & , nëse derivojmë fitojmë:

)(2 xyydt

dva y

y &&&& −=== ,


28

nëse zëvendësojmë yx && −= , fitojmë:

yyyyyy &&&&&&& 4)(2))((2 =+=−−= ,

ydty

dtydy

&&

&&& /4== ,

∫= /4dtyyd&

&,

∫∫ =ty

y

dtyyd

o 0

4&

&&

&,

tyy o 4lnln =− && ,

tyy

o4ln =

&

& , t

oe

yy 4=⇒&

&,

toeyy 4&& = , për 4=oy& , kemi: tey 44=& ,

dtedtdyy t /4 4==& ,

∫= /4 4 dtedy t ,

∫∫∫ ==t

tt

ty

y

tdedtedyo 0

)4(

0

4 )4(4 ,

tt

o eyy0

4=− ,

1404 −=−=− tto eeeyy ,

14 −+= to eyy , për yo = 1, kemi:

][4 mey t= .

Nga dteydtdxx t /4 4−=−== && , fitojmë:

∫−= /4 4 dtedx t ,

∫∫∫ −=−=t

tt

tx

x

tdedtedxo 0

)4(

0

4 )4(4 ,

tt

o exx0

4−=− ,

Dr. sc. Ahmet Shala

29

1404 +−=+−=− tto eeexx ,

14 +−= to exx , për xo = 0, kemi:

][1 4 mex t−= .

Kështu ][1 4 mex t−= dhe ][4 mey t= , paraqesin ekuacionet e fundme të pikës materiale.

Ekuacioni i trajektores fitohet duke e eliminuar kohën t, nga shprehjet paraprake. Kjo arrihet

me mbledhjen anë për anë të dy shprehjeve paraprake, pra:

11 44 =+−=+ tt eeyx , pra xy −= 1 , që paraqet drejtëz, njëherit është ekuacioni i

trajektores.

DETYRA 6

Lëvizja e kapëses së robotit cilindrik, në hapësirë është dhënë me koordinatat cilindrike:

][1.05.0)( mtt ⋅+=ρ , ][2

)( radtt πϕ = dhe ][)( mttz = . Caktoni ligjin e lëvizjes së

kapëses nëpër trajektore, dhe për çastin e kohës ][31 st π

= , madhësinë e shpejtësisë, nxitimit

absolut, komponenten tangjenciale dhe normale të nxitimit si dhe rrezen e lakesës së

trajektores.

O

ϕ

y

z

x

ρ

z

Kapësja


30

Zgjidhje

Sëpari le të caktojmë lidhjen ndërmjet koordinatave cilindrike dhe atyre kënddrejta, pra:

][)2

cos()1.05.0(cos mttx πϕρ ⋅⋅+=⋅= ,

][)2

sin()1.05.0(sin mtty πϕρ ⋅⋅+=⋅= ,

][mtz = .

Meqë zt = , atëherë zëvendësojmë në shprehjen për y dhe fitojmë projeksionin e trajektores

në rrafshin yOz, që paraqet një sinusoid me amplitudë të barabartë me ][1.05.0 mz⋅+=ρ ,

pra:

][)2

sin()1.05.0( mzzy π⋅⋅+= .

Nëse shprehjet për x dhe y i ngrisim në katror dhe i mbledhim anë për anë, fitojmë

projeksionin e trajektores në rrafshin xOy, që paraqet një rreth me rreze ρ, pra:

2222 )1.05.0( tyx ⋅+==+ ρ .

Grafiku i trajetores së kapëses së robotit cilindrik është paraqitur në figurën vijuese.

Oϕ

y

x ρo x

y

z

Kapësja

z

ρ

Dr. sc. Ahmet Shala

31

Meqë kemi caktuar lidhjen e koordinatave cilindrike dhe atyre kënddrejta, atëherë shpejtësinë

e kapëses së robotit e caktojmë përmes koordinatave kënddrejta, pra:

kvjvivv zyxrrrr

⋅+⋅+⋅= , - vektori i shpejtësisë së kapëses së robotit cilindrik, kurse intensiteti i shpejtësisë së kapëses do të jetë:

222zyx vvvv ++=

ku:

)2

sin(2

)1.05.0()2

cos(1.0)2

cos()1.05.0( tttttdtd

dtdxvx

ππππ⋅⋅⋅+−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+== ,

për ][81 st = , kemi:

)82

sin(2

)81.05.0()82

cos(1.0)2

sin(2

)1.05.0()2

cos(1.0 1111ππππππ

⋅⋅⋅+−⋅=⋅⋅⋅+−⋅= tttv x ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅⋅⋅+−⋅=

smv x 1.00

2)81.05.0(11.01

π .

)2

cos(2

)1.05.0()2

sin(1.0)2

sin()1.05.0( tttttdtd

dtdyvy

ππππ⋅⋅⋅++⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+== ,


)82

cos(2

)81.05.0()82

sin(1.0)2

cos(2

)1.05.0()2

sin(1.0 1111ππππππ

⋅⋅⋅++⋅=⋅⋅⋅++⋅= tttv y ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅⋅⋅++⋅=

smv y 042.21

2)81.05.0(01.01

π .

1)( === tdtd

dtdz

vz


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

smv z 11 .

Kështu intensiteti i shpejtësisë së kapëses pas kohës ][81 st = , do të jetë:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=++=++=

smvvvv zyx 276.2)1()042.2()1.0( 2222

121

211 .

Intensiteti i nxitimit absolut, komponenten tangjenciale dhe normale të nxitimit dhe rrezen e

lakesës së kapëses e kemi caktuar në MathCad si në vijim:


32

R t( ) 1.609 m=

R t( )v t( )2

an t( ):=


an t( ) 3.22m

s2=

an t( ) a t( )2 at t( )2−:=

Komponenta normale e nxitimit të kapëses caktohet me shprehjen:

at t( ) 0.141m

s2=

at t( )tv t( )d

d:=

Komponenta tangjenciale e nxitimit të kapëses caktohet me shprehjen:

a t( ) 3.223m

s2=

a t( ) 2tx t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

2ty t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+ 2tz t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+:=

Nxitimi absolut i kapëses caktohet me shprehjen:

v t( ) 2.276ms

=

v t( )tx t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2

ty t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+

tz t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+:=

Shpejtesia e kapëses caktohet me shprehjen:

z t( ) tms

⋅:=y t( ) 0.5 0.1 t⋅1s

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎠

sinπ2

t⋅1s

⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ m⋅:=x t( ) 0.5 0.1 t⋅1s

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎠

cosπ2

t⋅1s

⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ m⋅:=

Koordinatat e lëvizjes se kapëses së robotit cilindrik :t 8 s⋅:=

Çasti i kohës:

Dr. sc. Ahmet Shala

33

DETYRA 7

Lëvizja e pikës është dhënë me koordinatat sferike: [ ]mr 2= , ][2 radt⋅=ϕ dhe

][3 radt⋅=θ . Të caktohen koordinatat kënddrejta të Dekartit, pozicioni fillestar ku gjendet

pika, për çastin e kohës ][1 st π= , pozicionin ku do të arrijë pika, shpejtësinë, nxitimin absolut, komponenten tangjenciale dhe normale si dhe rrezen e lakesës së trajektores.

Zgjidhje

O

M

ϕ

y

z

x

M’

x y

z

rr

θ

Lidhja ndërmjet koordinatave kënddrejta të Dekartit dhe koordintave sferike është:

][)2cos()3sin(2cossin mttrx ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ϕθ ,

][)2sin()3sin(2sinsin mttry ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ϕθ dhe

][)3cos(2cos mtrz ⋅⋅=⋅= θ .

Pozicioni fillestar caktohet për t = 0, pra:

][0)02cos()03sin(2 mxo =⋅⋅⋅⋅= ,

][0)02sin()03sin(2 myo =⋅⋅⋅⋅= dhe

][1)03cos(2 mzo =⋅⋅= .

Për t1 = π [s], pozicioni i pikës është i përcaktuar me këto koordinata:

][0)2cos()3sin(21 mx =⋅⋅⋅⋅= ππ ,

][0)2sin()3sin(21 my =⋅⋅⋅⋅= ππ dhe

][2)3cos(21 mz −=⋅⋅= π .

Intensitetin e shpejtësisë, nxitimit absolut, komponenten tangjenciale dhe normale të nxitimit dhe rrezen e lakesës së trajektores së pikës e kemi caktuar në MathCad si në vijim:


34

R t( ) 1.2 m=

R t( )v t( )2

an t( ):=


an t( ) 30m

s2=

an t( ) a t( )2 at t( )2−:=


at t( ) 0m

s2=

at t( )tv t( )d

d:=


a t( ) 30m

s2=

a t( ) 2tx t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

2ty t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+ 2tz t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+:=

Nxitimi absolut i pik ës caktohet me shprehjen:

v t( ) 6ms

=

v t( )tx t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2

ty t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+

tz t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+:=

Shpejtësia e pik ës caktohet me shprehjen:z t( ) 2− m=y t( ) 0 m=x t( ) 0 m=

Pozicioni p ër t = 2 [s], do të jetë:z 0 s⋅( ) 2 m=y 0 s⋅( ) 0 m=x 0 s⋅( ) 0 m=

Pozicioni fillestar:

z t( ) 2 cos 3 t⋅1s

⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ m⋅:=y t( ) 2 sin 3 t⋅1s

⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ sin 2 t⋅1s

⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ m⋅:=x t( ) 2 sin 3 t⋅1s

⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ cos 2 t⋅1s

⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ m⋅:=

Koordinatat k ënddrejta të lëvizjes së pikës:t π s⋅:=

Çasti i koh ës:

Dr. sc. Ahmet Shala

35

DETYRA 8 (UDHËZIME PËR DETYRAT SEMINARIKE K-1 )

Janë dhënë: ][4 mtx = ; ][116 2 mty −= dhe çasti i kohës ][5.01 st = .

Duhet të caktohet ekuacioni (forma) i trajektores dhe për çastin e dhënë të kohës 1tt = : pozita e pikës në trajektore, shpejtësia, nxitimi total, komponenta tangjenciale e nxitimit, komponenta normale e nxitimit dhe rrezja e lakesës së trajektores në pikën gjegjëse.

Zgjidhje:

Zgjidhjen do ta realizojmë në softverin MathCad, si në vijim:

Koha:t 0 0.01, 1..:=


x t( ) 4 t⋅:= y t( ) 16 t2⋅ 1−:=Grafiku trajektores së pikës M në koordinata parametrike:

3 2 1 0 1 2 3

21

12345678

y t( )

x t( )

Grafiku i trajektores së pikës M: y = f(x)x 3− 2.99−, 3..:=

y x( ) x2 1−:=

3 2 1 0 1 2 3

21

12345678

y x( )

x


36

Duhet theksuar se pjesa e grafikut të trajektores për x<0 nuk është reale, që shihet nga grafi i

parë.

R t( ) 35.046 m=

R t( )v t( )2

an t( ):=


an t( ) 7.761m

s2=

an t( ) a t( )2 at t( )2−:=


at t( ) 31.045m

s2=

at t( )tv t( )d

d:=


a t( ) 32m

s2=

a t( ) 2tx t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

2ty t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+:=

Nxitimi total i pikës caktohet me shprehjen:

v t( ) 16.492ms

=

v t( )tx t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2

ty t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+:=

Shpejtesia e pik ës caktohet me shprehjen:y t( ) 3 m=x t( ) 2 m=

Pozita e pik ës M për t=0.5 s:

y t( ) 16 t2⋅m

s2⋅ 1 m⋅−:=x t( ) 4 t⋅

1s

⋅ m⋅:=


t 0.5 s⋅:=

Çasti i koh ës:

Dr. sc. Ahmet Shala

37

DETYRA 9 (UDHËZIME PËR DETYRAT SEMINARIKE K-1 NË HAPËSIRË)

Në vazhdim kemi zgjidhjen e detyrës K-1 ku lëvizja e pikës M është dhënë në hapësirë, pra

janë dhënë: ][1

4 mt

x+

= , ][)1(4 mty −−= , ][)1(2 mtz += dhe 01 =t .

Duhet të caktohen ekuacioni (forma) e trajektores, për çastin e dhënë të kohës 1tt = : pozita e

pikës në trajektore, shpejtësia, nxitimi total, komponenta tangjenciale e nxitimit, komponenta

normale e nxitimit dhe rrezja e lakesës së trajektores në pikën gjegjëse.

Zgjidhje

Pozicionin për çastin e dhënë dhe formën e trajektores të realizuar në MathCad e kemi dhënë

në vijim:

i 0 1, 100..:=

tii

10:=

xi4

ti 1+:= yi 4− ti 1+( )⋅:= zi 2 ti 1+( )⋅:=

Pozicioni i pikës M për kohën e dhënë është:

x0 4= y0 4−= z0 2=

x y, z,( )

Caktimin e madhësive tjera e bëjmë si në detyrën paraprake, pra:


38

R t( ) 6.037 m=

R t( )v t( )2

an t( ):=


an t( ) 5.963m

s2=

an t( ) a t( )2 at t( )2−:=


at t( ) 5.333−m

s2=

at t( )tv t( )d

d:=

Komponenta tangjenciale e nxitimit t ë pikës caktohet me shprehjen:

a t( ) 8m

s2=

a t( ) 2tx t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

2ty t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+ 2tz t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+:=


v t( ) 6ms

=

v t( )tx t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2

ty t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+

tz t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+:=


z t( ) 2 m=y t( ) 4− m=x t( ) 4 m=

Pozita e pik ës M për t = 0 s :

z t( ) 2 t1s

⋅ 1+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ m⋅:=y t( ) 4− t1s

⋅ 1+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ m⋅:=x t( )4

t1s

⋅ 1+m⋅:=

Koordinatat e lëvizjes së pikës:t 0 s⋅:=

Çasti i koh ës:

Dr. sc. Ahmet Shala

39

DETYRA 10

Për lëvizjen e ashensorit (liftit) është i njohur diagrami i nxitimit ]/[)( 2smtaa = , pra:

O

a

t [s] 2

4 6

2

-2

Nëse për 0=ot , kemi: 0=ov , 0=os , caktoni shpejtësin maksimale dhe rrugën e kaluar të

ashensorit.

Zgjidhje

Nga diagrami shihet se nxitimi i ashensorit ndryshon çdo të dytën sekondë, kështu për

20 ≤≤ t , nxitimi është konstant dhe atë ]/[2)( 2smta = , pra kemi lëvizjen e përshpejtuar të

tij, kështu pra, meqë lëvizja e ashensorit është drejtvizore kemi:

dtdva = , prej nga

∫⋅= /dtadv

∫∫ ⋅=tv

v

dtadvo 0

,

tavv o ⋅+= ,

tv ⋅= 2 .

Kështu për:

0=t , 0=⇒ ov dhe për 2=t , ]/[41 smv =⇒ ,


40

pra ndrrimi i shpejtësisë për këtë interval kohor është sipas një drejtëze (linear).

Rruga që ka kaluar ashensori gjatë këtij intervali kohor caktohet nga:

dtdsv = , prej nga:

dtvds ⋅= ,

∫⋅⋅= /2 dttds

∫∫ ⋅⋅=ts

s

dttdso 0

2 ,

2

22tss o ⋅+= ,

2

22ts ⋅= ,

kështu për ][2 st = ,

][42

222

1 ms =⋅= .

Për intervalin e kohës 42 ≤≤ t , nga diagrami i nxitimit shihet se ai është konstant dhe atë

zero, pra: 0=a

dtdva = , prej nga

∫=⋅= /0dtadv

01

=∫v

v

dv ,

1vv = ,

.]/[42 konstsmvv === .

pra shpejtësia e lëvizjes së ashensorit për këtë interval kohor është konstante.


Dr. sc. Ahmet Shala

41

dtdsv = , prej nga:

dtvds ⋅= ,

∫⋅= /4 dtds

∫∫ ⋅=ts

sdtds

24

1

, )2(41 −⋅=− tss , ku: ][41 ms = , atëherë ligji i ndryshimit të rrugës për

këtë interval kohe është:

44 −⋅= ts ,

kështu pas kohës prej ][4 st = , rruga e kaluar do të jetë:

][124442 ms =−⋅= .

Për intervalin e kohës 64 ≤≤ t , nga diagrami i nxitimit shihet se nxitimi është konstant dhe

atë ]/[2 2sma −= , pra kemi lëvizjen e ngadalësuar të ashensorit, deri në ndaljen e tij, kështu

pra:

dtdva = ,

prej nga

∫⋅= /dtadv ,

∫∫ ⋅=tv

vdtadv

42

,

)4(2 −⋅+= tavv ,

ttv ⋅−=−⋅−= 212)4(24 .

Kështu për:

][4 st = , ]/[44212 2 smvv ==⋅−=⇒

dhe për ][6 st = , ]/[06212 3 smvv ==⋅−=⇒ , pra ashensori ndalet.

Pra ndrrimi i shpejtësisë për këtë interval kohor është sipas një drejtëze (linear).



42

dtdsv = , prej nga:

dtvds ⋅= ,

∫⋅⋅−= /)212( dttds

∫∫∫ ⋅⋅−=tts

sdttdtds

44212

2

,

2222 12204)4(12 ttttss −⋅+−=+−−⋅+= ,

kështu për ][6 st = ,

][16661220 23 ms =−⋅+−= .

O

v

t [s] 2 4 6

4

Siç shihet shpejtësia maksimale të cilën e arrin ashensori është ]/[42 smvv == kurse rruga

e kaluar është ajo e arritur për kohën ][6 st = , pra:

][163 mss == .

O

s1

y

s2

s3

1

2

3

Dr. sc. Ahmet Shala

43

DETYRA 11

Disku I me rreze R rrotullohet rreth boshtit O1 sipas ligjit ][2

2radbt

=ϕ , ku b – konstante.

Të caktohet ligji i rrotullimit të diskut II me rreze r i cili është në kontakt me diskun I dhe

rrotullohet rreth boshtit O2. Gjithashtu të caktohet shpejtësia dhe nxitimi i pikës M, e cila

ndodhet në periferin e diskut II. Në pikën e kontaktit nuk kemi rrëshiqtje.

Zgjidhje

ϕ&

r

P

M

R ϕ

O1 O2

M’

ψ

ψ&

Meqë rrokullisja është pa rrëshqitje atëherë harqet PM dhe PM’ janë të barabarta, pra:

'∩∩

= PMPM , ψϕ ⋅=⋅ rR , prej nga: ϕψ ⋅=rR ,

kështu ligji i rrotullimit të diskut II do të jetë:

2

2tbrR ⋅

⋅=ψ .

Ligji i lëvizjes së pikës M, e cila ndodhet në periferi të diskut II është:

22

22 tbRtbrRrrsM

⋅⋅=

⋅⋅=⋅= ψ .

Shpejtësia e pikës M, meqë dihet ligji i lëvizjes së saj, është:

tbRtbRtbRdtd

dtds

v MM ⋅⋅=

⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅==

22

2

2


44

Nxitimi i pikës M, në koordinata natyrale është:

22MtMnM aaa += ,

ku: 22222 )( t

rbR

rtbR

Rv

al

MMn ⋅

⋅=

⋅⋅== ,

bRtbRdtd

dtdv

a MMt ⋅=⋅⋅== )( ,

atëherë:

( ) 422222

222

tbRrr

bRbRtr

bRaM ⋅⋅+⋅

=⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅=

DETYRA 12

Manivela OA e mekanizmit manivelë-biellë, rrotullohet rreth pikës O sipas ligjit t⋅= ωϕ , ku

t – koha në sekonda dhe ω - konstante. Njëri skaj i biellës ështëi lidhur me çërnierë për pikën

A kurse tjetri skaj për rrëshqitësin B i cili mund të lëvizë sipas udhëzueses horizontale.

rABOA == . Për pikën M, e cila gjendet në mesin e bjellës AB, të caktohet ekuacioni i

trajektores, shpejtësia dhe nxitimi, gjithashtu për çastin e kohës ][21 stωπ

= , caktoni rrezen e

lakesës së trajektores.

Zgjidhje

x A’

M

y

ϕ O

B

A

ψ

x

y ψ

Dr. sc. Ahmet Shala

45

Përmes distancës 'AA , caktojmë se:

ψϕ sinsin ⋅=⋅ ABOA ,

ψϕ sinsin ⋅=⋅ rr

ψϕ sinsin = , prej nga ϕψ = .

Le të i caktojmë koordinatat e pikës M në sistemin xOy, pra:

trrrrAMOAx ωϕϕϕψϕ cos23cos

23cos

2coscoscos ⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= ,

trrBMy ωϕψ sin2

sin2

sin ⋅=⋅=⋅= .

Ekuacionin e trajektores e caktojmë duke i ngritur në katror dhe mbledhur anë për anë dy

ekuacionet paraprake:

2/,32/cos

23

rtrx ⋅⋅= ω ,

2/,2/sin2 r

try ⋅⋅= ω .

Kështu fitojmë ekuacionin e trajektores së pikës M:

1

2

23

2 2 =+

ry

rx ,

që paraqet elepisen me qendër në fillimin e sistimit koordinativ O, dhe gjysemboshte 23r në

drejtim të aksit x dhe 2r në drejtim të aksit y.

x O

23r

y

M

23r

−

2r

2r

−


46

Shpejtësia e pikës M

trtrdtd

dtdxvx ωωω sin

23)cos

23( −=== ,

trtrdtd

dtdyvy ωωω cos

2)sin

2( === ,


.cos89

2

,cossin92

)cos2

()sin2

3(

2

222222

trv

ttrtrtrvvv yx

ωω

ωωωωωωω

−=

+=+−=+=.

Nxitimi i pikës M

trtrdtd

dtdv

a xx ωωωω cos

23)sin

23(

2−=−==

trtrdtd

dtdv

a yy ωωωω sin

2)cos

2(

2−=== ,


tra

ttrtrtraaa yx

ωω

ωωωωωωω

22

222

22

22

22

cos812

sincos92

)sin2

()cos2

3(

+=

+=−+−=+=.

Rrezja e lakesës së trajektores caktohet nga:

n

l avR1

21= ,

ku për ][21 stωπ

= kemi:

.

23

,08922

cos8922

cos892

.cos892

1

221

21

ω

ωπωωπωωωω

rv

rrrtrv

=

⋅−=−=−=−=


21

211 tn aaa −= ,

Dr. sc. Ahmet Shala

47

ku për ][21 stωπ

= kemi:

2

08122

cos8122

cos812

cos812

2

1

22

22

2

12

2

1

ω

ωπωωπωωωω

ra

rrrtra

=

⋅+=+=+=+=


t

tr

t

ttrtrdtd

dtdvat

ω

ωω

ω

ωωωωωω2

22

2

cos89

2sin2

cos892

sincos162

.)cos892

(−

⋅=−

⋅=−== ,

për ][21 stωπ

= kemi:

,0089

02

,

2cos89

sin2

2cos89

22sin

2cos89

2sin2

21

2

2

2

2

12

121

=⋅−

⋅=

−⋅=

−⋅=

−⋅=

ω

ππω

ωπω

ωπω

ωω

ωω

ra

rrt

tra

t

t

atëherë:

.2

2

11ωraa n ==

Kështu rrezja e lakesës për çastin ][21 stωπ

= , do të jetë:

2

9

2

49

2

23

2

22

2

2

1

21 r

r

r

r

r

av

Rn

l ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==ω

ω

ω

ω

.


48

DETYRA 13

Dy shufra AB dhe CD janë të lidhura ngurtësisht ndërmjet veti nën këndin 90o ku shufra AB

depërton nëpër rrëshqitësin O1 i cili mund të rrotullohet rreth kësaj pikë, kurse shufra CD

depërton nëpër rrëshqitësin O2 i cili mund të rrotullohet rreth kësaj pikë.

Të caktohet ekuacioni i trajektores së pikës D, shpejtësia dhe nxitimi i saj nëse

lADOO 221 == dhe këndi ϕ që formon shufra AB me horizontalen ndërron sipas ligjit

t⋅= ωϕ , ku ω - konstante, t – koha.

Zgjidhje

x

B C

y

ϕ O2

A

ψ

x

D

ψ

O1

y

Nga figura shihet se tωπϕπϕψ −=−=−=22

90 .

Le të caktojmë koordinatat e pikës D në sistemin xO1y, pra:

ψψ coscos2 ⋅+⋅= ADAOx

Nga trekëndëshi AOO 21 rrjedhë se:

ϕϕψ sin2)90cos(2cos212 ⋅=−⋅=⋅= llOOAO o , atëherë:

ϕϕϕϕϕϕ sin2sinsin2)90cos(2)90cos(sin2 ⋅+⋅⋅=−⋅+−⋅⋅= llllx ,

)sin(sin2)sin(sin2 22 ttllx ωωϕϕ +⋅=+⋅= .

Për koordinatën y kemi:

Dr. sc. Ahmet Shala

49

ψψ sinsin2 ⋅+⋅= ADAOy

ϕϕϕϕϕϕ cos2cossin2)90sin(2)90sin(sin2 ⋅+⋅⋅=−⋅+−⋅⋅= lllly ,

tltllly ωωϕϕ cos22sincos22sin ⋅+⋅=⋅+⋅= .

Me qëllim të caktimit të ekuacionit të trajektores kalojmë në koordinatat polare ( ψ,r ), pra:

)()sin1(2)sin1(22sin222 trtllllADAODOr =+=+=+⋅=+== ωϕϕ ,

)(22

90 tt ψωπϕπϕψ =−=−=−= , ψπψω −=−=⇒2

90t ,

atëherë:

)]2

sin(1[2)( ψπψ −+⋅= lr ,

që paraqet ekuacionin e trajektores së pikës D, që është një formë të ashtuquajtur “kardoid” si

në figurën vijuese:

x t( ) 2 l⋅ sin ω t⋅( )( )2 sin ω t⋅( )+⎡⎣ ⎤⎦⋅:=

y t( ) l sin 2 ω⋅ t⋅( )⋅ 2 l⋅ cos ω t⋅( )⋅+:=

1 0 1 2 3 4 5

2

2

y t( )

x t( )

Shpejtësia e pikës D, do të caktohet përmes koordinatave polare:


50

)sin1(2)( tltr ω+= dhe

tt ωπψ −=2

)( ,

prej nga: tltr ωω cos2)( =& , tltr ωω sin2)( 2−=&&

ωψ −=)(t& , 0)( =tψ&& .

Kështu:

22cr vvv += ,

tltrvr ωω cos2)( == & ,

)sin1(2)()sin1(2)()( tltlttrvc ωωωωψ +−=−⋅+=⋅= &

,sin122

,sin222sinsin21cos2

,)sin1()(cos2))sin1(2()cos2(

22

2222

tlv

tltttlv

ttltltlv

ωω

ωωωωωω

ωωωωωωω

+⋅=

+=+++=

++=+−+=

Nxitimi i pikës D:

22cr aaa += ,

)sin21(2)()sin1(2sin2 2222 tltltlrrar ωωωωωωψ +−=−⋅+−−=−= &&& ,

tltltlrrac ωωωωωωψψ cos4)(cos220)sin1(22 2−=−⋅⋅+⋅+=+= &&&& ,

tltltla ωωωωωω sin452)cos4())sin21(2( 22222 +=−++−= .

Dr. sc. Ahmet Shala

51

DETYRA 14

Qendra e cilindrit C, me rreze R, lëviz me shpejtësi konstante v=konst. . Të caktohen

ekuacionet e fundme të lëvizjes, shpejtësia, nxitimi total dhe rrezja e lakesës së trajektores së

pikës M, e cila gjendet në periferin e cilindrit C. Këto madhësi të paraqiten grafikisht për një

periodë të lëvizjes, Rrokullisja e cilindrit C, nëpër rrafshin horizontal realizohet pa rrëshqitje.

][1 mR = , ]/[1 smv = . Në çastin fillestar cilindri ndodhej në qetësi.

Zgjidhje

CR

x

y

M

PvO

vcvM

ϕ

x

y

M’

Meqë rrokullisja e cilindrit është pa rrëshqitje, atëherë:

MPOP vv =

Meqë qendra e cilindrit C, lëvizë me shpejtësi konstante, sipas një drejtëze paralel me aksin x, e cila kalon nëpër pikën C, atëherë:

dtdt

dxv c

c /= ,

∫== /vdtdtvdx cc ,

∫∫ =tx

c dtvdxc

00

,

tvxOP cv ⋅==

ϕ⋅= RMPv

atëherë:

tvR ⋅=⋅ϕ ,

tRv

⋅=ϕ , - ligji i rrotullimit të cilindrit C.

Rv

dtd

==ϕϕ& - shpejtësia këndore e cilindrit C.


52

0==dtdϕϕ&

&& - nxitimi këndor i cilindrit C.

Koordinat e pikës M, janë:

)sin(sin' tRvRtvRtvPMOPx vv ⋅−⋅=−⋅=−= ϕ ,

)cos(coscos tRvRRRRMCCPy v ⋅−=−=−= ϕϕ

Për ][1 mR = dhe ]/[1 smv = , ekuacionet e fundme të lëvizjes së pikës C marrin formën:

][)sin( mttx −= ,

][)cos(1 mty −= .

Forma e trajektores është dhënë në figurën vijuese:

Janë dhënë:R 1:= v 1:= t 0 0.01, 4 π⋅..:=

x t( ) v t⋅ R sinvR

t⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅−:= y t( ) R R cosvR

t⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅−:=

0 3.14 6.28 9.42 12.57

0.5

1

1.5

2

y t( )

x t( )

Siç shihet lëvizja është periodike dhe përseritet pas çdo π2 - sekonda, pra perioda është:

π2=T .

Shpejtësia e pikës M

tttdtd

dtdxvx cos1)sin( −=−== ,

Dr. sc. Ahmet Shala

53

ttdtd

dtdyvy sin)cos1( =−== ,


.

2sin2

2cos12cos22)(

,sincoscos21)(sin)cos1()( 222222

ttttv

tttttvvtv yx

=−

=−=

++−=+−=+=

Nxitimi i pikës

ttdtd

dtdv

a xx sin)cos1( =−==

ttdtd

dtdv

a yy cos)(sin === ,


1)(cos)(sin)( 2222 =+=+= ttaata yx .

Rrezja e lakesës së trajektores caktohet nga:

n

l av

R2

= ,


22tn aaa −= ,


2

cos)2

sin2( ttdtd

dtdvat === ,

atëherë:

.2

sin)2

(sin)2

(cos1 22 tttan ==−=

Kështu rrezja e lakesës në funksion të kohës do të jetë:

2

sin4

2sin

2sin2

)(

2

2 tt

t

av

tRn

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

Në vazhdim kemi paraqitjen grafike të këtyre madhësive kinematike.


54

0 3.14 6.28

2

4Grafiku i rrezës së lakesës

koha

Rre

zja R t( )

t

0 3.14 6.28

1

2Grafiku i nxitimit total të pikës M

koha

nxiti

mi t

otal

a t( )

t0 3.14 6.28

1

2Grafiku i shpejtësisë së pikës M

koha

shpe

jtësi

a

v t( )

t

R t( )v t( )2

an t( ):=

Kështu rrezja e lakesës së trajektores do të jetë:an t( ) a t( )2 at t( )2−:=


at t( )tv t( )d

d:=


a t( ) 2tx t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

2ty t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+:=


v t( )tx t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2

ty t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+:=


y t( ) R R cosvR

t⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅−:=x t( ) v t⋅ R sinvR

t⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅−:=

Koordinatat e lëvizjes së pikës M:t 0 0.01, 2 π⋅..:=v 1:=R 1:=

koha e një periode :Janë dhënë:

Dr. sc. Ahmet Shala

55

DETYRA 15 (UDHËZIME PËR DETYRAT SEMINARIKE K-2)

Cilindri C, me rreze ][2.0 mr = , rrokulliset nëpër sipërfaqen rrethore me rreze R = 1 [m],

sipas ligjit ][radt⋅= πϕ . . Të caktohen ekuacionet e fundme të lëvizjes dhe për çastin e

kohës ][31

1 st = caktoni madhësinë e shpejtësisë, nxitimit total, tangjencial, normal dhe rrezën

e lakesës së trajektores të pikës M, e cila gjendet në periferin e cilindrit C. Rrokullisja e

cilindrit C, nëpër sipërfaqen rrethore realizohet pa rrëshqitje. Në çastin fillestar cilindri

ndodhej në qetësi.

Zgjidhje

Siç shihet nga figura, meqë nuk kemi rrëshqitje

atëherë:

MPOP vv = ,

përkatësisht:

ϕα ⋅=⋅ rR ,

tRr

⋅⋅== πϕα 2.0

Koordinat e pikës M, janë:

).2.1sin(2.0)2.0sin(2.1)(

),sin(sin)(

),sin(sin1

tttx

rrRx

rCOx

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

+−+=

+−=

ππ

αϕα

αϕα

,

).2.1cos(2.01)2.0cos(2.1)(

),cos(cos)(

),cos(cos1

ttty

rRrRy

rRCOy

⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=

+−−+=

+−−=

ππ

αϕα

αϕα

C r

x

y

M

Pv O

vc vM

ϕ x

yC’

R

α

O1

α


56

Forma e trajektores është realizuar në MathCad, si në vazhdim:

Janë dhënë:

R 1:=

r 0.2:=

t 0 0.01, 4 π⋅..:=

φ t( ) π t⋅:=

α t( )rR

φ t( )⋅:=

Ekuacionet e lëvizjes së pikës M:

x t( ) R r+( ) sin α t( )( )⋅ r sin φ t( ) α t( )+( )⋅−:=

y t( ) R r+( ) cos α t( )( )⋅ R− r cos φ t( ) α t( )+( )⋅−:=

1.5 0.75 0 0.75 1.5

2.5

2

1.5

1

0.5

0.5

y t( )

y1 t( )

x t( ) x1 t( ),

Në vazhdim kemi llogaritjen e madhësive tjera kinematike për çastin e kohës ][31

1 stt ==

Dr. sc. Ahmet Shala

57

R t( ) 0.343 m=

R t( )v t( )2

an t( ):=


an t( ) 1.658m

s2=

an t( ) a t( )2 at t( )2−:=


at t( ) 2.051m

s2=

at t( )tv t( )d

d:=


a t( ) 2.638m

s2=

a t( ) 2tx t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

2ty t( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2

+:=


v t( ) 0.754ms

=

v t( )tx t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2

ty t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

2+:=

Shpejtesia e pik ës caktohet me shprehjen:y t( ) R r+( ) cos α t( )( )⋅ R− r cos φ t( ) α t( )+( )⋅−:=

x t( ) R r+( ) sin α t( )( )⋅ r sin φ t( ) α t( )+( )⋅−:=

Ekuacionet e lëvizjes së pikës M:

α t( )rR

φ t( )⋅:=R 1 m⋅:=

r 0.2 m⋅:=φ t( ) π t⋅1s

⋅:=t13

s⋅:=

Çasti i kohës:


58

II

KINEMATIKA E TRUPIT TË NGURTË

LËVIZJA TRANSLATIVE DHE RROTULLUESE E TRUPIT NGURTË

Nëse një trup bën lëvizje translative, atëherë të gjitha pikat materiale, që e përbëjnë atë, kan

shpejtësi dhe nxitim të njëjtë si për nga intensiteti, drejtimi dhe kahja.

Kështu në këtë rast mund të thuhet, ligji i lëvizjes së trupit, shpejtësia e trupit dhe nxitimi i

trupit.

Një trup bën lëvizje translative nëse gjatë gjithë kohës, distanca ndërmjet dy pikave të atij

trupi mbetet paralel me vetveten. Rast i veçant i lëvizjes translative është lëvizja drejvizore.

Kështu p.sh nëse një trup bën lëvizje translative sipas ligjit:

)(tss = ,

atëherë, shpejtësia e atij trupi është:

sdtdsv &==

dhe nxitimi i tij është:

sdt

sddtdva &&=== 2

2.

Nëse një trup bën lëvizje rrotulluese rreth një aksi të palëvizshëm, atëherë karakteristikë e

përgjithshme e lëvizjes së këtij trupi është ligji i rrotullimit, shpejtësia këndore e rrotullimit

dhe nxitimi këndor i rrotullimit rreth aksit të palëvizshëm.

Këto tri karakteristika janë të përbashkëta për të gjitha pikat materiale që e përbëjnë trupin.

Kështu p.sh nëse një trup bën lëvizje rrotulluese rreth një aksi të palëvizshëm sipas ligjit:

)(tϕϕ = ,

atëherë, shpejtësia këndore e rrotullimit të atij trupi ndaj aksit të palëvizshëm është:

ϕϕω &==dtd

dhe nxitimi këndor i tij është:

Dr. sc. Ahmet Shala

59

ϕϕωε &&=== 2

2

dtd

dtd .

Për të caktuar shpejtësinë dhe nxitimin e cilës do pikë të trupit, që rrotullohet rreth aksit të

palëvizshëm, duhet të dihet distanca më e shkurtë nga aksi i rrotullimit, p.sh nëse distanca më

e shkurtë e një pikë M nga aksi i rrotullimit është:

rOM = ,

atëherë shpejtësia e kësaj pikë M është:

ϕω &⋅=⋅= rOMvM ,

dhe ka drejtimin normal në distancën OM , dhe kahje sipas kahjes së rrotullimit të trupit.

Nxitimi i pikës M, në këtë rast është i përbërë nga komponenta normale dhe ajo tangjenciale:

tM

nM aaa rrr

+= ,

22 ϕω &⋅=⋅= rOManM , drejtimin e OM dhe kahje prej M kah O (qendra e rrotullimit).

εε ⋅=⋅= rOMatM , drejtim normal në OM dhe kahje sipas kahjes së nxitimit këndor

ε .

Meqë këto dy komponenta janë normal në njëra tjetrën atëherë intensiteti i nxitimit të kësaj

pike M është:

242422222 )()()()( εωεϕεϕ +⋅=+⋅=⋅+⋅=+= rrrraaa tM

nM && .

Karakteristikë tjetër e lëvizjes së trupave në përgjithësi është qendra e çastit të shpejtësive dhe

qendra e çastit të nxitimeve.

Pika e cila e ka shpejtësinë zero, për pozicionin e dhënë, quhet qendra e çastit apo poli i

shpejtësive dhe zakonisht shënohet me Pv, pra 0=vPv .

Pika e cila e ka nxitimin zero, për pozicionin e dhënë, quhet qendra e çastit apo poli i

nxitimeve dhe zakonisht shënohet me Qa, pra 0=aQa .

Vërejtje: Nuk është e thënë që shpejtësia e qendrës së çastit të nxitimeve të ketë shpejtësinë

zero apo qendra e çastit të shpejtësive të ketë nxitimin zero. Ka raste kur përputhen këto dy

qendra. Një dihet se komponenta tangjenciale e nxitimit të qendrës së çastit të shpejtësive

gjithmonë është zero, meqë .0 konstv vP == , pra 0==dt

dva v

v

PtP .


60

DETYRA 1

Dhëmbëzori I me rreze ][601 cmr = dhe numër të dhëmbëve 801 =z , mund të rrotullohet

rreth aksit 1O , kurse dhëmbëzori II me numër të dhëmbëve 202 =z , mund të rrotullohet rreth

aksit 2O . Nëse dhëmbëzori I fillon lëvizjen nga qetësia me shpejtësi këndore ][2 11

−⋅= stω

dhe e vënë në lëvizje dhëmbëzorin II, të caktohet shpejtësia këndore e dhëmbëzorit II si dhe

shpejtësia dhe nxitimi i pikës M që gjendet në periferi të dhëmbëzorit II, pas kohës prej

][21 st = , të llogaritur nga fillimi i lëvizjes.

11,εω

O1

M

O2r2

Zgjidhje

11,εω

O1

M

K

22 ,εω

O2

r1

r2

vM vK

tMa

nMa

Pika K, paraqet pikën e kontaktit ndërmjet dhëmbëzorëve I dhe II (pra i’u takon të dyve).

Dr. sc. Ahmet Shala

61

Shpejtësia e pikës K, si pikë e dhëmbëzorit I është:

1111 ωω ⋅=⋅= rKOvK ,

]/[12026011 scmttrvK ⋅=⋅⋅=⋅= ω .

Rrezen kinematike të dhëmbëzorit II e caktojmë duke u nisur nga raporti i transmisionit:

2

1

2

1, z

zrr

i III == , prej nga:

][158020

601

212 cm

zz

rr =⋅== .

Gjithashtu edhe shpejtësin këndore të dhëmbëzorit II, e caktojmë duke u nisur nga forma

tjetër e raportit të transmisionit:

2

1

2

1, ω

ω−==

rr

i III ,

prej nga:

][212

6015 1

11

22

−⋅−=⋅⋅−=⋅−= sttrr

ωω .

Nxitimin këndor të dhëmbëzorit I e caktojmë duke ditur se:

][2)2( 211

−=⋅== stdtd

dtdω

ε ,

kurse nxitimin këndor të dhëmbëzorit II e caktojmë duke ditur se:

][21

)21

( 222

−−=−== stdtd

dtdω

ε .

Shenja (-) para shpejtësisë këndore dhe nxitimit këndor të dhëmbëzorit II, tregon se ato kanë

kahje të kundërt me kahjen e shpejtësisë këndore përkatësisht nxitimit këndor të dhëmbëzorit

I, pra me ingranim të jashtëm arrihet deri te ndryshimi i kahjes së rrotullimit, kuptohet

intensiteti real në këtë rast është vlera absolute e tyre.

Kështu shpejtësia e pikës M, meqë dhëmbëzori II rrotullohet rreth aksit O2, është:

]/[2

1521

152222 scmttrMOv M ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ωω .


62

Për çastin e kohës ][21 stt == , shpejtësia e pikës M do të jetë:

]/[1522

152

151 scmtvM =⋅=⋅= .


tM

nMM aaa rrr

+= ,

ku:

]/[4

15)

21

(15 222222

222 scmttrMOa n

M ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ωω ,

]/[2

1521

15 22222 scmrMOa t

M =⋅=⋅=⋅= εε .

Për çastin e kohës ][21 stt == , këto dy komponenta të nxitimit do të jenë:

]/[1524

154

15 2221 scmta n

M =⋅=⋅= ,

]/[2

15 2scmatM = .

Meqë këto dy komponenta janë normal në njëra tjetrën atëherë intensiteti i nxitimit të pikës M

është:

]./[52

15

,)2

15()15()()(

2

2222

scma

aaa

M

tM

nMM

⋅=

+=+=

Dr. sc. Ahmet Shala

63

DETYRA 2

Dhëmbëzori I me numër të dhëmbëve 801 =z , mund të rrotullohet rreth aksit 1O , kurse

dhëmbëzori II me numër të dhëmbëve 202 =z , mund të rrotullohet rreth aksit 2O . Nëse

dhëmbëzori I fillon lëvizjen nga qetësia me nxitim këndor konstant ][1 21

−= sε dhe e vënë

në lëvizje dhëmbëzorin II me rreze ][152 cmr = , të caktohet shpejtësia këndore e

dhëmbëzorit II si dhe shpejtësia dhe nxitimi i pikës M që gjendet në periferi të dhëmbëzorit II,

pas kohës prej ][11 st = , të llogaritur nga fillimi i lëvizjes.

11,εω

O1

M

O2r2

Zgjidhje

11,εω

O1

M

K

22 ,εω

O2

r1

r2

vM

vK

tMa

nMa


64

Pika K, paraqet pikën e kontaktit ndërmjet dhëmbëzorëve I dhe II (pra i’u takon të dyve).

Shpejtësia e pikës K, si pikë e dhëmbëzorit I është:

1111 ωω ⋅=⋅= rKOvK ,

Rrezen kinematike të dhëmbëzorit I e caktojmë duke u nisur nga raporti i transmisionit:

2

1

2

1, z

zrri III == , prej nga:

][60208015

2

121 cm

zz

rr =⋅== .

Shpejtësin këndore të dhëmbëzorit I e caktojmë duke ditur se:

.111 konst

dtd

===ω

ε ,

prej nga:

∫= /11 dtd εω ,

∫∫ =tdtd

01

01

1εω

ω

, 11 =ε , atëherë:

][ 111

−=⋅= sttεω .

Kështu shpejtësia e pikës K do të jetë:

]/[6011 scmtrvK ⋅=⋅= ω .

Në anën tjetër shpejtësia e pikës K, si pikë e dhëmbëzorit II është:

2222 ωω ⋅=⋅= rKOvK ,

prej nga:

][415

60 1

22

−⋅=⋅

== stt

rvKω .

Meqë nuk kemi ndonjë (-) para shprehjes së shpejtësisë këndore të dhëmbëzorit II, atëherë u

vërtetua se me ingranim të brendshëm ruhet kahja e rrotullimit prej njërit dhëmbëzor në

tjetrin.

Dr. sc. Ahmet Shala

65

Nxitimi këndor i dhëmbëzorit II caktohet nga:

][4)4( 222

−=⋅== stdtd

dtdω

ε .

Kështu shpejtësia e pikës M, meqë dhëmbëzori II rrotullohet rreth aksit O2, është:

]/[604152222 scmttrMOv M ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ωω .

Për çastin e kohës ][11 stt == , shpejtësia e pikës M do të jetë:

]/[60160415 11scmtvM =⋅=⋅⋅= .


tM

nMM aaa rrr

+= ,

ku:

]/[240)4(15 222222

222 scmttrMOa n

M ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ωω ,

]/[60415 22222 scmrMOa t

M =⋅=⋅=⋅= εε .

Për çastin e kohës ][11 stt == , këto dy komponenta të nxitimit do të jenë:

]/[240240 221 scmtan

M =⋅= ,

]/[60 2scmatM = .

Meqë këto dy komponenta janë normal në njëra tjetrën atëherë intensiteti i nxitimit të pikës M

është:

]./[1760

,)60()240()()(

2

2222

scma

aaa

M

tM

nMM

⋅=

+=+=


66

DETYRA 3

Ngarkesa A bie vertikalisht poshtë sipas ligjit ][2)( 2 mtts ⋅= . Njëri skaj i litarit 1 është i

lidhur për ngarkesën A, kurse skaji tjetër mbështillet për diskun 2O , i cili mund të rrotullohet

rreth aksit 2O . Përmes litarit 2 të mbështjellur për diskun 2O vëhet në lëvizje disku 3O , me

rreze ][1 mR = , i cili mund të rrotullohet rreth aksit 3O . Të caktohet shpejtësia dhe nxitimi i

pikës M që gjendet në periferi të diskut 3O , pas kohës prej ][11 st = , të llogaritur nga fillimi

i lëvizjes.

O3

M

O2

s

R

A

Zgjidhje

33,εω

O3

M

O2

s

R

A

Av

Av Mv

Av

tMa n

Ma

Dr. sc. Ahmet Shala

67

Shpejtësia e ngarkesës A është:

]/[4)2( 2 smttdtd

dtdssvA ⋅=⋅=== & .

Nga figura paraprake shihet se shpejtësia e pikës së kontaktit të parë të litarit 1 dhe diskut 2O

si dhe pikës së kontaktit të parë të litarit 2 dhe diskut 3O , e me këtë edhe shpejtësia e pikës M

janë të barabarta me shpejtësinë e ngarkesës A, pra :

]/[4 smtvv AM ⋅== .

Për çastin e kohës ][11 st = , shpejtësia e pikës M do të jetë:

]/[4144 1 smtvM =⋅=⋅= .

Në anën tjetër shpejtësia e pikës M është:

333 ωω ⋅=⋅= RMOvM ,

prej nga shpejtësia këndore e diskut 3O , do të jetë:

][41

4 13

−⋅=⋅

== sttR

vMω .

Nxitimi këndor i diskut 3O , caktohet nga:

][4)4( 233

−=⋅== stdtd

dtdω

ε .


tM

nMM aaa rrr

+= ,

ku:

]/[16)4(1 22223

233 smttRMOan

M ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ωω ,

]/[441 2333 smRMOat

M =⋅=⋅=⋅= εε .

Kështu nxitimi i pikës M, në funksion të kohës, meqë këto dy komponenta janë normal në

njëra tjetrën, do të jetë:


68

]./[1164

,)4()16()()(

24

22222

smta

taaa

M

tM

nMM

+⋅⋅=

+⋅=+=

Për çastin e kohës ][11 stt == , nxitimi i pikës M është:

]./[174

,111641164

2

441

sma

ta

M

M

⋅=

+⋅=+⋅=


Janë dhënë: x = 0.02+0.7 t2 [m]; (t – në s); R2 = 0.5 [m]; r2=0.3 [m]; R3 = 0.6 [m]; r3 = 0.4 [m].

Duhet të caktohen: shpejtësia, komponenta normale dhe tangjenciale e nxitimit, nxitimi total i

pikës M në çastin kur rruga e kaluar e ngarkesës është e barabartë me s = 0.4 [m].

Zgjidhje

1v

Av

Bv

3v

x

2

O 1

ε3 ω3

M aMt

aMn

aM vM

3

ε2

ω2

O2

O3

Dr. sc. Ahmet Shala

69

ω2 t( )v1 t( )

r2:=

Shpejtësia këndore e cilindrit 3:

ω3 t( )R2

R3ω2 t( )⋅:= ω3 t1( ) 2.94

1s

=

Nxitimi këndor i cilindrit 3:

ε3 t( )tω3 t( )d

d:= ε3 t1( ) 3.889

1

s2=

Shpejtësia e pikës M:

v t( ) r3 ω3 t( )⋅:= v t1( ) 1.176ms

=

Komponenta normale e nxitimit të pikës M:

an t( ) r3 ω3 t( )( )2⋅:=

Komponenta tangjenciale e nxitimit të pikës M:

at t( )tv t( )d

d:=

Nxitimi total i pikës M:

a t( ) an t( )( )2 at t( )( )2+:= a t1( ) 3.791m

s2=

Janë dhënë:R2 0.5 m⋅:= r2 0.3 m⋅:= R3 0.6 m⋅:= r3 0.4 m⋅:= S 0.4 m⋅:=

x t( ) 0.02 0.7 t2⋅1

s2⋅+⎛

⎜⎝

⎞

⎠m⋅:= - ligji i lëvizjes së trupit 1

Çasti i kohës për rrugën e kaluar S = 0.4 [m]:

t 0 s⋅:= t1 0 s⋅:=

Given

x t1( ) x 0 s⋅( )− S

t1 Find t1( ):=

t1 0.756 s=Shpejtësia e trupit 1:

v1 t( )tx t( )d

d:=

Shpejtësia këndore e cilindrit 2:


70

III

LËVIZJA PLANE E TRUPIT TË NGURTË

Te rasti i lëvizjes plane të trupit të ngurtë me rëndësi gjatë analizës së problemeve të

ndryshme, është mundësia e caktimit të shpejtësisë dhe nxitimit të një pikë p.sh B, kur është e

njohur shpejtësia dhe nxitimi i një pikë tjetër p.sh A, të po të njëjtit trup.

O

Pv

x

y

B vA

vBA vB

ω

vA

A

T

Kështu nëse dihet shpejtësia e pikës A, të një trupi atëherë shpejtësia e pikës B e po të njëjtit

trup caktohet me shprehjen vektoriale:

BAAB vvv rrr+=

ku:

ω⋅= ABvBA , dhe ka drejtim normal në distancën AB , kahjen e merr sipas ω ,

ω - shpejtësia këndore me të cilën rrotullohet trupi T,

vP - qendra e çastit të shpejtësive të trupit T, ku 0=vPv .

Në mënyrë të njëjtë veprohet edhe me nxitimet, kështu nëse dihet nxitimi i pikës A, të një

trupi atëherë nxitimi i pikës B të po të njëjtit trup caktohet me shprehjen vektoriale:

BAAB aaa rrr+=

ku:

tBA

nBABA aaa rrr

+= ,

Dr. sc. Ahmet Shala

71

2ω⋅= ABanBA dhe ka drejtimin e distancës AB , kahjen prej B kah A ,

ε⋅= ABatBA , ka drejtim normal në distancës AB , kahjen sipas ε ,

ε - nxitimi këndor i trupit T.

O x

y

B aA

tBAa

aB ε

aA

A

T

nBAa

Qa

α

α

tBAA aa rr

+

Siç shihet nga figura paraprake, Qa parqet qendrën e çastit të nxitimeve e cila e ka nxitimin të

barabartë me zero.

Pozita e saj caktohet përmes këndit α , i cili nxjerret nga shprehja:

2)tan(ωεα =

dhe distancat:

42 ωε +

= Aa

aAQ ,

42 ωε +

= Ba

aBQ

Kështu pra këndi α është i njëjtë për të gjitha nxitimet e pikave të trupit T.


72

DETYRA 1

Shufra ROC = , rrotullohet rreth çërnierës O me shpejtësi këndore oω dhe nxitim këndor oε .

Skaji i shufrës OC është i lidhur me çërnierë për mesin e shufrës AB me gjatësi 2R, në skajin

A të të cilës është i vendosur një rrëshqitës i cili mund të lëviz sipas udhëzueses vertikale

kurse në në skajin B është i vendosur rrëshqitësi B i cili mund të lëviz sipas udhëzueses

horizontale. Në qoftë se shufra OA me horizontalen formon këndin o45=ϕ , të caktohet

shpejtësia dhe nxitimi i rrëshqitësve A dhe B.

B

A

C

O ϕ

y

x

ωo, εo

Zgjidhje

Analiza e shpejtësive:

B

A

C

O ϕ

y

x

ωo

ψ

C’

Cv

Bv

Av

ψ

ACvψ

Dr. sc. Ahmet Shala

73

Meqë shufra OC rrotullohet rreth pikës O, atëherë shpejtësia e pikës C është normal në

distancën OC , me intensitet:

ooA ROCv ωω ⋅=⋅= .

Nga ψϕ sinsin' ⋅=⋅= BCOCCC , marrim që:

ϕϕϕψ sinsinsinsin =⋅=⋅=RR

BCOC ,

përkatësisht o45== ϕψ , prej nga shihet se edhe drejtimi i shpejtësisë së pikës C, përputhet

me drejtimin e shufrës AB.

Meqë rrëshqitësi B, mund të lëviz vetëm në drejtim të udhëzueses horizontale atëherë ai

njëherit është edhe drejtimi i shpejtësisë së pikës B, intensitetin e së cilës mund ta caktojmë

me projektim të shpejtësive të pikave C dhe B në drejtim të shufrës AB, pra:

CB vv =ψcos ,

oo

ooC

B RRRv

v ωωω

ψ⋅=

⋅=

⋅== 2

2245coscos

.

Në mënyrë analoge si për pikën B ose duke u nisur nga ajo se dihet shpejtësia e pikës C,

caktojmë shpejtësinë e pikës A, e cila ka drejtimin e udhëzueses vertikale, pra:

ACCA vvv rrr+= , ............................................................................................................... (a)

ku: ABABAC RACv ωω ⋅=⋅= , dhe ka drejtim normal në distancën AC .

Shprehjen (a) e projektojmë në drejtim të akseve x dhe y:

(x): ψψ sincos0 ⋅+⋅−= ACC vv ,

(y): ψψ cossin ⋅+⋅= ACCA vvv .

Zëvendësojmë të njohurat:

(x): 22

220 ⋅⋅+⋅⋅−= ABo RR ωω ,

prej nga rrjedhë se:

oAB ωω = ,


74

zëvendësojmë në:

(y): 22

22

22

22

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= ooABoA RRRRv ωωωω , dhe fitojmë:

oA Rv ω⋅= 2 .

Analiza e nxitimeve:

B

A

C

O 45o

y

x

εo

C’

tCa

Ba

Aa tACa

nCa

nACa

tBCa

nBCa

45o

45o

45o

45o

45o

45o

Meqë shufra OC rrotullohet rreth pikës O, atëherë nxitimi i pikës C është:

tC

nCC aaa rrr

+= ,

ku: 22oo

nC ROCa ωω ⋅=⋅= ,

ootC ROCa εε ⋅⋅=⋅= .

Meqë tC

nC aa rr

⊥ , atëherë:

2422222 )()()()( ooootC

nCC RRRaaa εωεω +=⋅+⋅=+=

Meqë rrëshqitësi B, mund të lëviz vetëm në drejtim të udhëzueses horizontale (pra bënë lëvzje

drejtvizore) atëherë nxitimi i pikës B ka drejtimin horizontal, intensiteti i të cilit caktohet duke

e lidhur me pikën C, të cilës ia dimë nxitimin, pra:

Dr. sc. Ahmet Shala

75

tBC

nBC

tC

nCB aaaaa rrrrr

+++= ............................................................................................. (a)

ku: 222 )( ooABnBC RRBCa ωωω ⋅=⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej B kah C,

ABABtBC RBCa εε ⋅=⋅= , dhe ka drejtimin normal në distancen BC . Kahja supozohet.

Meqë në shprehjen (a) kemi dy të panjohura, atëherë atë e projektojmë në drejtim të aksit x

dhe y, pra:

(x): otBC

onBC

otC

onCB aaaaa 45cos45cos45cos45cos ⋅−⋅−⋅−⋅−=− ,

(y): otBC

onBC

otC

onC aaaa 45sin45sin45sin45sin0 ⋅−⋅+⋅+⋅−= ,

Nga ekuacioni i dytë rrjedhë se:

,22ooo

nBC

tC

nC

tBC RRRaaaa ωεω ⋅+⋅+⋅−=++−=

otBC Ra ε⋅= ,

duke ditur se: oABtBC RRa εε ⋅=⋅= , atëherë: oAB εε = . Nëse zëvendësojmë në ekuacionin e

parë fitojmë nxitimin e pikës B, pra:

otAC

nAC

tC

nCB aaaaa 45cos)( ⋅+++= ,

22)( 22 ⋅⋅+⋅+⋅+⋅= ooooB RRRRa εωεω ,

)(2 2ooB Ra εω +⋅= .

Në mënyrë analoge caktohet edhe nxitimi i pikës A, pra duke e lidhur me pikën C:

tAC

nAC

tC

nCA aaaaa rrrrr

+++= ............................................................................................(b)

ku: 222 )( ooABnAC RRACa ωωω ⋅=⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej A kah C,

ABABtAC RACa εε ⋅=⋅= , dhe ka drejtimin normal në distancën AC . Kahja supozohet.

Meqë në shprehjen (b) kemi dy të panjohura, atëherë atë e projektojmë në drejtim të aksit x

dhe y, pra:

(x): otAC

onAC

otC

onC aaaa 45cos45cos45cos45cos0 ⋅+⋅+⋅−⋅−= ,


76

(y): otAC

onAC

otC

onCA aaaaa 45sin45sin45sin45sin ⋅+⋅−⋅+⋅−= ,

Nga ekuacioni i parë rrjedhë se:

,22ooo

nAC

tC

nC

tAC RRRaaaa ωεω ⋅−⋅+⋅=−+=

otAC Ra ε⋅= ,

duke ditur se: oABtAC RRa εε ⋅=⋅= , atëherë: oAB εε = , gjë që është pritur, zëvendësojmë në

ekuacionin e dytë dhe fitojmë nxitimin e pikës A, pra:

otAC

nAC

tC

nCA aaaaa 45sin)( ⋅+−+−=

22)( 22 ⋅⋅+⋅−⋅+⋅−= ooooA RRRRa εωεω ,

)(2 2ooA Ra ωε −⋅= .

DETYRA 2

Manivela OA = 20cm rrotullohet me numër të rrotullimeve konstant n = 120 rrot/min. dhe

me ndihmën e shufrës AB = 100 cm e rrotullon shufrën BC e cila është e lidhur me çërnierë

në pikën C. Për çastin kur manivela OA është horizontale, shufra AB me vertikalen formon

këndin 60° kurse me shufrën BC formon këndin 45°, caktoni shpejtësinë dhe nxitimin e

pikave A dhe B.

A

60o

45o

O

B

C

ω

Dr. sc. Ahmet Shala

77

Zgjidhje

A

60o

45o

O

B

C

ω

vA

vB

D30o

15o

45o

vBA 45o

y

x

Shpejtësia e pikës A, ka drejtim normal në OA , meqë shufra rrotullohet rreth çërnierës O,

pra:

ω⋅= OAvA

][430120

301−=

⋅=

⋅= sn πππω ,

]/[327.25180420 scmOAvA ==⋅=⋅= ππω .

Shpejtësia e pikës B:

Sëpari caktojmë distancën BC , nga trekëndëshi BCD marrim:

OAABBC oo −⋅=⋅ 30cos15cos ,

prej nga:

][952.68)13(2

803200

21

22

23

22

2023100

15cos30cos cmOAABBC o

o=

+−⋅

=+

−⋅=

−⋅= .

Meqë drejtimi i shpejtësisë së pikës B është i njohur atëherë:

BAAB vvv rrr+= ,


78

projektojmë në drejtim të akseve x dhe y:

(x): oBA

oB vv 60cos75cos ⋅=⋅ , BAo

o

B vv75cos60cos

=⇒

(y): oBAA

oB vvv 60sin75sin ⋅−=⋅ ,

Pas zëvendësimeve fitojmë:

,60sin75sin75cos60cos o

BAAo

BAo

ovvv ⋅−=⋅⇒

,)60sin75sin75cos60cos( A

ooo

o

BA vv =+⋅

,60sin75sin

75cos60cos

80

60sin75sin75cos60cos oo

o

ooo

o

oA

BAvv

+⋅

=

+⋅

=π

]/[992.91 scmvBA = .

992.91=⋅= ABBA ABv ω ,

atëherë:

][92.0100

992.91992.91 1−===⇒ sABABω .

]/[715.17775cos60cos scmvv o

o

BAB == .

Shpejtësia këndore e shufrës BC, meqë ajo rrotullohet rreth pikës C, caktohet nga:

952.68715.177

==BCvB

BCω ,

][570.2 1−= sBCω .

Dr. sc. Ahmet Shala

79


A

60o

45o

O

B

C

nAA aa =

D30o

15o

45o

45o

tBa

nBa

tBAa

nBAa

y

x

Nxitimi i pikës A:

tA

nAA aaa rrr

+= ,

ku: ]/[273.3158320)4(20 2222 scmOAanA =⋅=⋅=⋅= ππω ,

0=⋅= εOAatA , meqë .konst=ω , pra 0==

dtdωε , kështu:

]/[273.3158 2scmaa nAA == .

Nxitimin e pikës B e caktojmë duke e lidhur me pikën A, pra:

tBA

nBA

nA

tB

nBB aaaaaa rrrrrr

++=+= ..................................................................................... (a)

ku: ]/[032.458)577.2(952.68 222 scmBCa BCnB =⋅=⋅= ω ,

]/[626.84)92.0(100 222 scmABa ABnBA =⋅=⋅= ω .

Shprehjen (a) e projektojmë në drejtim të aksit x dhe y,:

(x): otBA

onBAA

otB

onB aaaaa 60cos30cos75cos15cos ⋅+⋅+−=⋅+⋅

(y): otBA

onBA

otB

onB aaaa 60sin30sin75sin15sin ⋅−⋅=⋅+⋅−

Me zgjidhjen e këtij sistemi marrim:

]/[-4206.44 2scmatB = , ]/[4877.421 2scmat

BA = , atëherë:

][774.48 2−== sABat

BAABε dhe ][005.61 2−−== s

BCat

BBCε .

Kështu nxitimi pikës B do të jetë:

]/[4231.304)()( 222 scmaaa tB

nBB =+= .


80

Në vijim kemi këtë detyrë të llogaritur në MathCad.

ωBCvBBC

:= ωBC 2.5771

sec= ωAB

vBAAB

:= ωAB 0.921

sec=

Nxitimi i pikës A:

aA OA ω2

⋅:= aA 3158.273cm

sec2=

Nxitimi i pikës B:

aBn BC ωBC2⋅:= aBAn AB ωAB2

⋅:= aBt 0cm

sec2⋅:= aBAt 0

m

sec2⋅:=

GivenaBn cos 15 deg⋅( )⋅ aBt cos 75 deg⋅( )⋅+ aA− aBAn cos 30 deg⋅( )⋅+ aBAt cos 60 deg⋅( )⋅+

aBn− sin 15 deg⋅( )⋅ aBt sin 75 deg⋅( )⋅+ aBAn sin 30 deg⋅( )⋅ aBAt sin 60 deg⋅( )⋅−

aBt

aBAt⎛⎜⎝

⎞⎠

Find aBt aBAt,( ):=

εABaBAtAB

:= εAB 48.7741

sec2= εBC

aBtBC

:= εBC 61.005−1

sec2=

Nxitimi total i pikës B:

aB aBn( )2 aBt( )2+:= aBAt 4877.421cm

sec2=

Janë dhënë:OA 20 cm⋅:= AB 100 cm⋅:= n 120 min 1−⋅:= ω 2 π⋅ n⋅:=

Shpejtësia e pikës A:vA OA ω⋅:= vA 251.327

cmsec

=Distanca BC:

BC 0 cm⋅:=Given

BC cos 15 deg⋅( )⋅ AB cos 30 deg⋅( )⋅ OA−BC Find BC( ):= BC 68.952cm=


vB 0cmsec

⋅:= vBA 0cmsec

⋅:=

GivenvB cos 75 deg⋅( )⋅ vBA cos 60 deg⋅( )⋅

vB sin 75 deg⋅( )⋅ vA vBA sin 60 deg⋅( )⋅−

vB

vBA⎛⎜⎝

⎞⎠

Find vB vBA,( ):=

vB 177.715cmsec

= vBA 91.992cmsec

=

Dr. sc. Ahmet Shala

81

DETYRA 3

Disku O me rreze 3R rrotullohet rreth aksit O me shpejtësi këndore oω dhe nxitim këndor oε

në kahjen e treguar në figurë. Shufra OA gjithashtu rrotullohet rreth aksit O me shpejtësi

këndore oω dhe nxitimin këndor oε në kahjen e treguar në figurë (të kundërt me atë të diskut

O). Në pikat A përkatësisht B janë të lidhura me çërnierë, qendra e diskut A me rreze R dhe

atij B me rreze 2R. Nëse rrokullisja realizohet pa rrëshqitje të caktohet shpejtësia dhe nxitimi i

pikës M, që ndodhet në periferi të diskut A ku AM normal në shufrën OA .

oo εω ,

O

M

A

3R

Boo εω ,

2R R

Zgjidhje

oo εω ,

O

M

A

Av

BvB

oo εω ,3R 2R R


82


Shpejtësia e pikës A, si pikë e shufrës OA:

oooA RRRROAv ωωω ⋅=⋅+⋅+=⋅= 8)223( .

Shpejtësia e pikës B, si pikë e shufrës OA:

oooB RRROBv ωωω ⋅=⋅+=⋅= 5)23( .

Për diskun O kemi:

oo εω ,

O

Cv

C

3R

Shpejtësia e pikës C, si pikë e diskut O:

ooC ROCv ωω ⋅=⋅= 3 .

Për diskun B kemi:

Bv

B

Dv

vBP

Cv

Bω

C D2R

BvBBvBB CPRCPCBv ωω ⋅−=⋅−= )2()( ,

BvBC CPv ω⋅= vB

CB CP

v=⇒ ω ,

Dr. sc. Ahmet Shala

83

zëvendësojmë në ekuacionin e parë dhe fitojmë:

vB

CvBB CP

vCPRv ⋅−= )2( ,

CB

CvBC

vB

CB vv

vRCPv

CPv

Rv+⋅

=⇒−⋅=2

2 ,

kurse shpejtësia këndore e diskut B do të jetë:

Rvv

vvvR

vCPv CB

CB

C

C

vB

CB 22

+=

+⋅

==ω .

Pas zëvendësimit të madhësive të fituara më parë për shpejtësitë, fitojmë:

,2

352 R

RRRvv ooCB

Bωω

ω⋅+⋅

=+

=

.4 oB ωω =

Shpejtësia e pikës D të diskut B tani do të jetë:

,)4()22()( BvBBvBBvBD CPRRCPRBDCPCBv ωωω ⋅−=⋅+−=⋅+−= ,

RRR

RRvvvR

CPoo

o

CB

CvB 4

335

322=

⋅+⋅⋅⋅

=+⋅

=ωω

ω,

,4)434()4( oBvBD RRCPRv ωω ⋅⋅−=⋅−=

.13 oD Rv ω⋅=

Për diskun A kemi:

M

A

Av Dv

vAP

Aω

Mv

D R

Mv Av

MAv M E


84

AvAAvAA REPEAEPv ωω ⋅+=⋅+= )()( ,

AvAAvAD REPEDEPv ωω ⋅+=⋅+= )2()( REP

v

vA

DA 2+

=⇒ ω ,

zëvendësojmë në ekuacionin e parë dhe fitojmë:

REP

vREPvvA

DvAA 2

)(+

⋅+= ,

DvAAvA vREPvREP ⋅+=⋅+ )()2( ,

)2()( ADDAvA vvRvvEP ⋅−⋅=−⋅ ,

DA

ADvA vv

vvREP

−⋅−⋅

=)2(

kurse shpejtësia këndore e diskut B do të jetë:

,)()(2)2(2)2(2 D

DAD

DAAD

DA

DA

AD

D

vA

DA vR

vvvvvRvvR

vv

Rvv

vvRv

REPv

⋅−−

=−⋅+⋅−⋅

−=

+−

⋅−⋅=

+=ω

oooAD

A RRR

Rvv

ωωω

ω ⋅=⋅−⋅

=−

= 5813

Shpejtësia e pikës M:

,AvAM MPv ω⋅=

,)()( 22 AMAPMP vAvA +=

EAEPAP vAvA +=

RRRR

RRRRR

vvvvREP

o

o

oo

oo

DA

ADvA 5

353

138)8213()2(

=⋅−⋅−

=⋅−⋅

⋅⋅−⋅⋅=

−⋅−⋅

=ωω

ωωωω

,

,58

53 RRREAEPAP vAvA =+=+=

RAM = ,

Dr. sc. Ahmet Shala

85

,589)()

58( 22 RRRMPvA =+=

.895589

ooAvAM RRMPv ωωω ⋅=⋅=⋅=

Rezultat i njëjtë i shpejtësisë së pikës M fitohet edhe nëse këtë shpejtësi e caktojmë duke e

lidhur me pikën A, pra:

MAAM vvv rrr+= ,

ku: oA Rv ω⋅= 8 , e caktuar më parë, drejtimi normal në shufrën OA ,

AMA AMv ω⋅= , drejtimi normal në distancën AM , pra paralel me OA .

oA ωω 5= , shpejtësia këndore e diskut A, e caktuar më parë,

ooAMA RRAMv ωωω ⋅=⋅=⋅= 55 .

Kështu shpejtësitë Avr dhe MAvr , janë normal në njëra tjetrën atëherë:

ooooMAAM RRRRvvv ωωωω ⋅=⋅+=⋅+⋅=+= 892564)5()8( 2222 .

Analiza e nxitimeve

oo εω ,

O

M

A t

Ba

Boo εω ,3R 2R R

nBa

tAa

nAa

Nxitimi i pikës A si pikës e shufrës OA:

tA

nAA aaa rrr

+= ,

ku: 22 8 oonA ROAa ωω ⋅=⋅= ,


86

ootA ROAa εε ⋅=⋅= 8 .

Nxitimi i pikës B si pikës e shufrës OA :

tB

nBB aaa rrr

+= ,

ku: 22 5 oonB ROBa ωω ⋅=⋅= ,

ootB ROBa εε ⋅=⋅= 5 .

Për diskun O kemi:

oo εω ,

O

tCa

C

3R

nCa

Nxitimi i pikës C, si pikë e diskut O:

tC

nCC aaa rrr

+= ,

ku: 22 3 oonC ROCa ωω ⋅=⋅= ,

ootC ROCa εε ⋅=⋅= 3 .

Këtu është me rëndësi të ceket se nxitimi i pikave A përkatësisht B është i njëjtë edhe kur

kalohet në analizë të disqeve A përkatësisht B, sepse këto pika si në njërën anë ashtu edhe në

anën tjetër paraqesin të njëjtat pika pra çërnierë (lidhje).

Në rastin e pikës C, e cila paraqet pikën e kontaktit ndërmjet disqeve O dhe B, në realitet këto

janë dy pika, por për çastin e shiquar janë në të njëjtin pozicion (puthiten), por me kalim të

kohës ato vazhdojnë lëvizjen sipas trajektoreve të ndryshme, prandaj vetëm shpejtësitë dhe

komponentet tangjenciale të nxitimit i kanë të barabarta, kurse komponentet normale të

nxitimit ndryshojnë. Kështu pra vetëm tCa , mund të bartet prej diskut O në B.

Dr. sc. Ahmet Shala

87

Për diskun B kemi:

B

tDa

tCa

Bε

C

D2R

nCa '

tBa

nBa n

Da n

CBa

tCBa

nDBa

tDBa

Në këtë rast nxitimi i pikës B, njihet plotësisht, atëherë me qëllim të caktimit të nxitimit

këndor të diskut B, shkruajmë shprehjen e nxitimit të pikës C, duke e ditur nxitimin e pikës B,

pra:

tCB

nCB

tB

nB

tC

nCC aaaaaaa rrrrrrr

+++=+= ' .......................................................................... (a)

Nëse këtë shprehje e projektojmë në drejtim vertikal fitojmë:

tCB

tB

tC aaa −=− ,

duke ditur se:

otC Ra ε⋅= 3 , o

tB Ra ε⋅= 5

dhe

BBtCB RCBa εε ⋅=⋅= 2 ,

fitojmë:

Boo RRR εεε ⋅−⋅=⋅− 253 ,

prej nga:

oB εε ⋅= 4 .

Me qëllim të kalimit në diskun A, caktojmë komponenten tangjenciale të nxitimit të pikës D,

pra:

tDB

nDB

tB

nB

tD

nDD aaaaaaa rrrrrrr

+++=+= .......................................................................... (a)


88


tDB

tB

tD aaa += ,

duke ditur se:

otB Ra ε⋅= 5

dhe

ooBBtDB RRRDBa εεεε ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= 8422 ,

fitojmë:

oootD RRRa εεε ⋅=⋅+⋅= 1385 ,

Për diskun A kemi:

M

A

Aε

D R

y

x

tDa

tAa

nAa n

Da '

nDAa

tDAa

nMAa

tMAa

Me qëllim të caktimit të nxitimit këndor të diskut A, shkruajmë shprehjen e nxitimit të pikës

D, duke e ditur nxitimin e pikës A, pra:

tDA

nDA

tA

nA

tD

nDD aaaaaaa rrrrrrr

+++=+= .


tDA

tA

tD aaa += ,

duke ditur se:

otA Ra ε⋅= 8 , o

tD Ra ε⋅= 13

dhe

Dr. sc. Ahmet Shala

89

AAtDA RDAa εε ⋅=⋅= ,

fitojmë:

Aoo RRR εεε ⋅+⋅=⋅ 813 ,

prej nga:

oA εε ⋅= 5 .

Nxitimi i pikës M:

Nxitimin e pikës M, meqë e dimë nxitimin e pikës A dhe nxitimin këndor të diskut A, e

caktojmë me shprehjen:

tMA

nMA

tA

nAM aaaaa rrrrr

+++= ........................................................................................... (a)

ku:

28 onA Ra ω⋅= ,

otA Ra ε⋅= 8 ,

222 25)5( ooAnMA RRMAa ωωω ⋅=⋅=⋅= ,

ooAtMA RRMAa εεε ⋅=⋅=⋅= 55 .

Kështu shprehjen (a) e projektojmë në drejtim të akseve x dhe y:

(x): ootMA

nAMx RRaaa εω ⋅−⋅−=−−= 525 2 ,

(y): 2258 oonMA

tAMy RRaaa ωε ⋅+⋅=+= .

Meqë këto dy projeksione të nxitimit të pikës M, janë normal në njëra tjetrën atëherë:

222222 )258()525( ooooMyMxM RRRRaaa ωεεω ⋅+⋅+⋅−⋅−=+=

2222 )258()525( ooooM RRRRa ωεεω ⋅+⋅+⋅+⋅=


90

DETYRA 4

Shufra OA me gjatësi R, rrotullohet përreth çërnierës O, me shpejtësi këndore konstante oω .

Në skajin B, të shufrës AB , gjendet një rrëshqitës, i cili mund të lëviz sipas udhëzueses

horizontale, kurse për pikën C të AB , është i lidhur me çërnierë, njëri skaj i shufrës CD ,

kurse skaji tjetër i saj është i lidhur gjithashtu me çërnierë, për qendrën e diskut D me rreze R,

i cili mund të rrokulliset nëpër rrafshin e palëvizshëm, horizontal. Nëse

RCDRCBRACOA 3,2, ==== , për pozicionin kur pikat O, A, C dhe B gjenden në

njëjtën horizontale dhe shufra CD me vertikalen formon këndin o30 , caktoni shpejtësinë dhe

nxitimin këndor të diskut D.

C

R

oω

O A B

30o

D

Zgjidhje


C

30o

D

Av

0=Bv

Cv

Dv

Dω

vP

ABω

DCv 30o

60o

oω

O A B

Dr. sc. Ahmet Shala

91

Shpejtësia e pikës A, është normal në distancën OA , me intensitet:

ooA ROAv ωω ⋅=⋅= .

Meqë shpejtësia e pikës A ka drejtim vertikal, kurse drejtimi i mundshëm i lëvizjes së

rrëshqitësit B, është horizontal, atëherë normalet në drejtimin e shpejtësisë së pikës A dhe B

priten mu në pikën B, kështuqë rrëshqitësi B, për këtë pozicion ka shpejtësin zero dhe njëherit

paraqet qendrën e çastit të shpejtësive për shufrën AB, pra:

0=Bv .

Kështu shpejtësia e pikës A, mund të shkruhet:

ABA ABv ω⋅= , prej nga:

33ooA

AB RR

ABv ωω

ω === .

Shpejtësia e pikës C, ka drejtim normal në BC , dhe intensiteti i saj do të jetë:

oo

ABC RRBCv ωω

ω32

32 ==⋅= .

Shpejtësia e pikës D është normal në distancën DPv , pa ka drejtim horizontal dhe intensiteti i

saj caktohet duke iu referuar shpejtësisë së pikës C, pra:

DCCD vvv rrr+= ,

projektojmë në aksin x dhe y:

(x): oDCD vv 30cos= ,

(y): oDCC vv 30sin0 −= , prej nga:

oo

oC

DC RRv

v ωω

34

21

32

30sin=== .

Duke ditur se:

oo

DCDC R

R

CDv

ωω

ω94

334

=== .


92

Kështu shpejtësia e pikës D, do të jetë:

ooo

DCD RRvv ωω3

3223

3430cos =⋅== .

Shpejtësia këndore e diskut D caktohet me shprehjen:

oo

v

DD R

R

DPv

ωω

ω3

32332

=== .


C

30o

D

Aa

Ba

Da

Dε

vP

tDCa

30o

60o

nBAa

tBAa

CxC aa =

y

x

nDCa

O A B

Nxitimi i pikës A:

22oo

nA ROAa ωω ⋅=⋅= , - komponenta normale,

0=⋅= otA OAa ε , meqë ,konsto =ω 0==

dtd o

oω

ε - komponenta tangjenciale.

.2o

nAA Raa ω==

Nxitimi i pikës B, duke e ditur nxitimin e pikës A:

tBA

nBAAB aaaa rrrr

++= ,

ku: 222

3)

3(3 o

oA

nBA

RRABa ωω

ω =⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej B kah A.

kështu tani ekuacionin vektorial e projektojmë në drejtim të aksit x dhe y:

Dr. sc. Ahmet Shala

93

(x): nBAAB aaa += ,

(y): ,0 tBAa−=

pas zëvendësimit fitojmë:

222

34

3 oooB RRRa ωωω =+= ,

⇒= 0tBAa .0

30

===RAB

atBA

ABε

Nxitimi i pikës C, caktohet duke e ditur nxitimin e pikës A dhe 0=ABε :

tCA

nCAAC aaaa rrrr

++= ,

ku: 222

9)

3( o

oAB

nCA

RRCAa ωω

ω =⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej C kah A,

00 =⋅=⋅= RCAa ABtCA ε ,

kështu ekuacionin vektorial e projektojmë në drejtim të aksit x dhe y:

(x): nCAACx aaa += ,

(y): ,0== tCACy aa

kështu pra nxitimi i pikës C ka drejtimin e aksit x , pra:

222

910

9 oooCxC RRRaa ωωω =+== .

Nxitimi i pikës D, caktohet duke e ditur nxitimin e pikës C:

tDC

nDCCD aaaa rrrr

++= ,

ku: 222

2716)

94

(3 oo

DCnDC RRCDa ω

ωω =⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej D kah C,

kështu ekuacionin vektorial e projektojmë në drejtim të aksit x dhe y:

(x): otDC

onDCCD aaaa 30cos60cos ++= ,

(y): otDC

onDC aa 30sin60sin0 −=

pas zëvendësimeve fitojmë:


94

22

27316

21

23

2716

30sin60sin

oo

o

onDCt

DC RRa

a ωω

=⋅

== ,

kurse nxitimi i qendrës së diskut D, do të jetë:

22222

2762)

98

278

910(

23

27316

21

2716

910

oooooD RRRRRa ωωωωω =++=⋅+⋅+= ,

Me qëllim të caktimit të nxitimit këndor të diskut D ( Dε ), shkruajmë nxitimin e pikës Pv, duke e ditur nxitimin e pikës D, pra:

tDP

nDPDP vvv aaaa rrrr

++=

222

34)

332

( oo

Dvn

DP RRDPav

ωω

ω =⋅=⋅=

tDPD v

aa −=0 2

2762

oDt

DP Raav

ω==⇒ .

Duke e ditur se:

22762

ov

tDP

D DP

av ωε == .

Rezultat që është pritur por që u vërtetua se:

DvD DPa ε⋅= ,

meqë qendra e diskut D, bënë lëvizje drejtvizore.

Dr. sc. Ahmet Shala

95

DETYRA 5

Disku A me rreze R, rrotullohet përreth diskut të palëvizshëm O me rreze 2R. Qendra e diskut A është e lidhur me çërnierë për shufrën OA , e cila rrotullohet me shpejtësi këndore oω dhe

nxitim këndor oε , në kahjen e treguar në figurë, rreth çërnierës O. Shufra RBC 32= , e cila

gjendet në pozitë horizontale, është e lidhur në njërin skaj për diskun A, ku AB me horizontalen formon këndin o30 , kurse skaji tjetër është i lidhur me çërnierë për rrëshqitsin C, i cili mund të lëvizë sipas udhëzueses e cila me horizontalen formon këndin o60 . Për këtë pozicion të caktohen shpejtësia dhe nxitimi i pikave A, B dhe C.

C

2R

R

oωoε

2R

O

A

B

45o

60o

Zgjidhje


C

2R

R

oωoε

2R

O

A

B

30o

60o

Av Bv 30o

Cv

Pv

CBv 30o

30o

30o


96

Shpejtësia e pikës A, është normal në distancën OA , me intensitet:

ooA ROAv ωω ⋅=⋅= 3 .

Shpejtësia e pikës A, si pikë e diskut A është:

AAvA RAPv ωω ⋅=⋅= ,

prej nga shpejtësia këndore e diskut A është:

R

RR

v oAA

ωω

⋅==

3,

oA ωω ⋅= 3 .

Shpejtësia e pikës B është normal në distancën BPv dhe ka intensitet:

AvB BPv ω⋅= ,

RRBP ov 330cos2 =⋅= ,

oAvB RBPv ωω ⋅⋅=⋅= 33 ,

oB Rv ω⋅= 33

Shpejtësinë e pikës C e caktojmë duke e lidhur me B, pra:

CBBC vvv rrr+= ,


(x): oB

oC vv 30cos60cos = ,

(y): CBo

Bo

C vvv +−= 30sin60sin ,

prej ekuacionit të parë kemi:

,2/12/333

60cos30cos

oo

o

BC Rvv ω⋅==

oC Rv ω⋅= 9 ,

kurse prej atij të dytit kemi:

Dr. sc. Ahmet Shala

97

oooo

Bo

CCB RRRvvv ωωω ⋅=⋅⋅+⋅⋅=+= 362133

23930sin60sin ,

shpejtësia këndore e shufrës BC, caktohet me shprehjen:

.3

,32

36

oBC

oCBBC R

RBCv

ωω

ωω

⋅=

⋅==


C

2R

R

oωoε

2R

O

A

B

60o

tAa

nBAa

30o

Ca

Pv

tCBa

30o

60o

nAa

tBAa

Pa

nPAa

tPAa

x

y

nCBa

60o

Nxitimi i pikës A:

22 3 oonA ROAa ωω ⋅=⋅= , - komponenta normale,

ootA ROAa εε ⋅=⋅= 3 , - komponenta tangjenciale.

22222 )3()3()()( ootA

nAA RRaaa εω +=+= .


tBA

nBA

tA

nAB aaaaa rrrrr

+++= , ............................................................................................ (a)

ku:


98

222 9)3( ooAnBA RRABa ωωω =⋅=⋅= , dhe ka drejtim prej B kah A.

Kështu në ekuacionin (a) kemi tri të panjohura (dy komponente të nxitimit të pikës B dhe tBAa , që do të thotë se nëse projektojmë nuk mund të kemi zgjidhje, atëherë shiqojmë përmes

polit të çastit të shpejtësive, Pv, për të cilën e dimë se drejtimi i nxitimit është prej pikës Pv

kah A, pra:

tAP

nAP

tA

nAP vvv aaaaa rrrrr

+++= ,

ku:

222 9)3( ooAvn

AP RRAPav

ωωω =⋅=⋅= , atëherë projektojmë në drejtim të aksit x:

(x): tAP

tA v

aa +−=0 ,

prej nga: otA

tAP Raa

vε3== .

Tani nxitimi këndor i diskut A, caktohet me shprehjen:

oo

v

tAP

A RR

AP

av ε

εε 3

3=== .

Duke e ditur këtë nxitim këndor, mund të caktojmë komponenten tBAa me shprehjen:

ooAtBA RRABa εεε 33 =⋅=⋅= ,

kështu tani në ekuacionin vektorial (a), kemi vetëm dy të panjohura, prandaj e projektojmë në

drejtim të aksit x dhe y:

(x): otBA

onBA

tABx aaaa 60cos30cos −−−= ,

(y): ,60sin30sin otBA

onBA

nABy aaaa +−−=


222

3929

213

2393 oooooBx RRRRRa ωεεωε −−=⋅−⋅−−= ,

oooooBy RRRRRa εωεωω2

332

15233

2193 222 +−=+⋅−−= .

Dr. sc. Ahmet Shala

99

Kuptohet intensiteti total i nxitimit të pikës B është:

22 )()( ByBxB aaa += .

Nxitimi i pikës C, caktohet duke e ditur nxitimin e pikës B:

tCB

nCBByBxC aaaaa rrrrr

+++= , .........................................................................................(b)

ku:

222 318)3(32 ooABnCB RRBCa ωωω =⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej C kah B.

kështu tani në ekuacionin vektorial (b), kemi vetëm dy të panjohura, prandaj e projektojmë në

drejtim të aksit x dhe y:

(x): nCBBx

oC aaa −=30sin ,

(y): ,30cos tCBBy

oC aaa +=


23182

3929 22 ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−= oooC RRRa ωωε ,

( )23459 ooC RRa ωε +−= .

shenja (-) tregon se nxitimi i pikës C, ka kahje të kundërt me atë të supozuar.

DETYRA 6

Shufra 11AO me gjatësi 2R, rrotullohet përreth çërnierës O1, me shpejtësi këndore oω dhe

nxitim këndor oε . Në skajin A1, të shufrës 11AO , është e salduar periferia e diskut A me rreze

R, kurse përmes shufrës AB dhe kontaktit (friksionit) ndërmjet disqeve A dhe B (me rreze R)

lëvizja përcillet deri te disku O2, i cili mund të rrotullohet rreth çërnierës O2. Gjithashtu

qendrat e disqeve O2 dhe B janë të lidhura me çërniera përmes shufrës BO2 . Të caktohet

shpejtësia dhe nxitimi këndor i diskut O2 për pozicionin e dhënë të mekanizmit, ku BO2

është në pozitë veritkale, AB në pozitë horizontale dhe 11AO me vertikalen formon këndin

30o. Pikat O1, A1 dhe A i takojnë një drejtëze.


100

R

oo εω ,O1

30o

AR

B

O2

R

A1

Zgjidhje


oo εω ,O1

30o

A B

O2

R

AvBv 30o

Cv

C

Dv

Bω

PvB

2ω

CBvDBv

y

x

Meqë shufra O1A dhe disku A janë të sallduar në pikën A1, atëherë ato paraqesin një trup,

kështu shpejtësia e pikës A, është normal në distancën AO1 , me intensitet:

ooA RAOv ωω ⋅=⋅= 31 .

Shpejtësia e pikës C, të kontaktit ndërmjet disqeve A dhe B është normal në distancën CO1 ,

me intensitet:

oC COv ω⋅= 1 ,

Dr. sc. Ahmet Shala

101

.13)21(32)3(120cos2 22

122

11 RRRRRACAOACAOCO o =−⋅⋅⋅−+=⋅⋅−+= ,

ooC RCOv ωω ⋅=⋅= 131 .

Shpejtësinë e pikës B, mund ta caktojmë me projektim të shpejtësive të pikave A dhe B në

drejtim të shufrës AB, pra:

.2

33

,23330cos

oB

oo

AB

Rv

Rvv

ω

ω

=

⋅==.

Me qëllim të caktimit të shpejtësisë këndore të shufrës AB, shkruajmë shprehjen për llogaritje

të shpejtësisë së pikës B, duke e ditur shpejtësinë e pikës A, pra:

BAAB vvv rrr+= ,

projektojmë në akset x dhe y:

(x): ooo

AB RRvv ωω2

3323330cos =⋅== , që është fituar edhe më parë.

(y): BAo

A vv −= 30sin0 , oo

ABA Rvv ω2330sin ==⇒ ,

duke e ditur se:

ABBA ABv ω⋅= , shpejtësia këndore e shufrës AB do të jetë:

.43

,2

23

oAB

oBA

AB R

R

ABv

ωω

ωω

=

==

Shpejtësinë këndore të shufrës BO2 , e caktojmë nga:

,2

233

22 R

R

BOv o

BBO

ωω ==

.4

332 oBO ωω =


102

Shpejtësinë këndore të diskut B, caktojmë nga shprehja për llogaritje të shpejtësisë së pikës C,

duke e ditur shpejtësinë e pikës B, pra :

CBBC vvv rrr+= ,

projektojmë në akset x dhe y:

(x): BCx vv = ,

(y): BBCBCy RBCvv ωω ⋅=⋅==

Nëse këto dy ekuacione i ngrisim në katror dhe i mbledhim anë për anë, fitojmë:

22222 )( BBCyCxC Rvvvv ω⋅+=+= ,

prej nga shpejtësia këndore e diskut B do të jetë:

( )o

ooBC

B R

RR

Rvv

ω

ωω

ω ⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅

=−

=4

27132

33132

222

,

oB ωω ⋅=25 .

Shpejtësia e pikës D, caktohet përmes shpejtësisë së pikës B, pra:

DBBD vvv rrr+= ,

projektojmë në aksin x :

(x): ooBBDBBD RRDBvvvv ωωω25

233

⋅+⋅=⋅+=+= ,

oD Rv ω⋅+=

2335 .

Në anën tjetër shpejtësia e pikës D, si pikë e diskut O2 është:

22 ω⋅= DOvD ,

prej nga shpejtësia këndore e diskut O2 do të jetë:

R

R

DOv o

Dω

ω⋅

+

== 2335

22 ,

oωω ⋅+

=2

3352 .

Dr. sc. Ahmet Shala

103


oεO1

30o

A B

O2

R

tAa t

Ba 30o

tCa

C

tDa

Bε

2ε

tCBa t

DBanAa

nBa

nDa

nCa

nDBa

tBAa

nBAa

y

x

α α

Nxitimi i pikës A:

221 3 oo

nA RAOa ωω ⋅=⋅= , - komponenta normale,

ootA RAOa εε ⋅=⋅= 31 , - komponenta tangjenciale.

Nxitimi i pikës C:

221 13 oo

nC RCOa ωω ⋅=⋅= , - komponenta normale,

ootC RCOa εε ⋅=⋅= 131 , - komponenta tangjenciale.


tBA

nBA

tA

nA

tB

nBB aaaaaaa rrrrrrr

+++=+= ,

ku:

222

89)

43

(2 oo

ABnBA

RRABa ωω

ω =⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej B kah A.

2222 2

27)433

(22 oo

BOnB RRBOa ω

ωω =⋅=⋅= , dhe ka kahjen prej B kah O2.

kështu tani ekuacionin vektorial e projektojmë në drejtim të aksit x :


104

nBA

otA

onA

tB aaaa −+−= 30cos60cos

222821

233

89

233

213 ooooo

tB RRRRRa ωεωεω −=−+⋅−=

Nxitimi i pikës D, duke e ditur nxitimin e pikës B:

tDB

nDB

tB

nB

tD

nDD aaaaaaa rrrrrrr

+++=+= ,


tDB

otB

tD aaa += 60cos

Nxitimi i pikës B, duke e ditur nxitimin e pikës C:

B

tBa

tCa

C

tDa

Bε

tCBa t

DBanBa

nDa

nCa

nDBa

tBCa

nBCa

y

x α

α

tBC

nBC

tC

nC

tB

nBB aaaaaaa rrrrrrr

+++=+= ,

kështu tani ekuacionin vektorial e projektojmë në drejtim të aksit y :

(y): tBC

tC

nC

nB aaaa −+= αα cossin

Këtu e panjohur është tBCa dhe këndi α, i cili caktohet nga trekëndëshi O1AC:

⇒= oCOR

120sinsin3 1

α

.132333

1323

3120sinsin1

=== RR

RCO

oα

.132

513225

132331sin1cos

22 ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= αα

Kështu nga ekuacioni paraprak kemi:

Dr. sc. Ahmet Shala

105

nB

tC

nC

tBC aaaa −+= αα cossin ,

222

27132

5131323313 ooo

tBC RRRa ωεω −⋅+⋅= ,

22

332725

ootBC RRa ωε ⋅

−−⋅=

Duke e ditur se:

22

332725

ooBBtBC RRRBCa ωεεε ⋅

−−⋅=⋅=⋅= ,

atëherë nxitimi këndor i diskut B do të jetë:

22

332725

ooB ωεε ⋅−

−⋅= .

Nxitimi i pikës D, duke e ditur nxitimin e pikës B:

tDB

nDB

tB

nB

tD

nDD aaaaaaa rrrrrrr

+++=+= ,


(x): tDB

tB

tD aaa += ,

ku: 22

332725

ooBtDB RRDBa ωεε ⋅

−−⋅=⋅= ,

atëherë:

222

332725

821

233

ooootD RRRRa ωεωε ⋅

−−⋅+−= ,

22

36752

335oo

tD RRa ωε ⋅

−−

+=

Duke e ditur se:

2222 2

36752

335oo

tD RRRDOa ωεεε ⋅

−−

+=⋅=⋅= ,

atëherë nxitimi këndor i diskut O2 do të jetë:

22 2

36752

335oo ωεε ⋅

−−⋅

+= .


106

DETYRA 7

Qendra e diskut A, me rreze R, lëviz me shpejtësi konstante v. Përmes shufrës RAB 4= ,

lëvizja bartet në diskun B, gjithashtu me rreze R. Disqet A dhe B rrokullisen pa rrëshqitje,

mbi rrafshin e palëvizshëm horizontal, kurse mbi ta është i vendosur dsiku C, me rreze 2R si

në figurë. Caktoni shpejtësinë dhe nxitimin e qendrës së diskut C.

v B A

C

R R

2R

4R

Zgjidhje


Av B A

C

R R

2R

4R Bv

Cv

α β

Dv

Av A α

α+β

β

Dv

Pv

D

C

C’

Cv

CDv α

xβ

y

PvC

Dr. sc. Ahmet Shala

107

Shpejtësia e qendrës së diskut A, është e dhënë:

vvA = ,

në anën tjetër kjo shpejtësi mund të shprehet:

AvA APv ω⋅= ,

prej nga marrim:

Rv

APv

v

AA ==ω .

Shpejtësia e qendrës së diskut B, është e njëjtë me shpejtësinë e qendrës së diskut A, meqë

ato janë të lidhura ndërmjet veti, përmes shufrës AB , e cila bënë lëvizje drejtvizore, pra:

vvv AB == ,

prej nga marrim:

Rv

BPv

v

BB ==ω .

Shpejtësia e pikës D:

AvD DPv ω⋅= ,

ku nga trekëndëshi PvAD rrjedhë:

βββ cos2coscos RADAPDP vv =+= ,

oo 180290 =++ βα ,

2

452

90 ααβ −=−

= oo

.

Nga trekëndëshi ACC’ rrjedhë:

32

32'cos ===

RR

ACACα ,

35

321cos1sin

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= αα ,

kështu:


108

)2

sin2

(cos22

2sin45sin

2cos45cos)

245cos(cos αααααβ +=+=−= ooo ,

6

12

321

2cos1)

2sin( =

−=

−=

αα ,

65

2321

2cos1)

2cos( =

+=

+=

αα ,

3251

321

325)

61

65(

22)

2sin

2(cos

22cos +

=+=+=+=ααβ ,

32

52632

52511232511cos1sin

22 −

=−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=−= ββ

atëherë:

RRRDPv 351

32512cos2 +

=+

== β ,

dhe përfundimisht shpejtësia e pikës D do të jetë:

vRvRDPv AvD ⋅

+=⋅

+=⋅=

351

351ω .

Shpejtësia e pikës C:

CDDC vvv rrr+= ,

ku: CCCD RCDv ωω ⋅=⋅= , projektojmë në drejtim të akseve x dhe y:

αβα sin)sin( CDDC vvv ++= ,..................................................................................... (a)

αβα cos)cos(0 CDD vv −+= ,.......................................................................................(b)

Duke e ditur se 2/45 αβ −= o , atëherë:

3215)

61

65(

22)

2sin

2(cos

22)

245cos()

245cos()cos( −

=−=−=+=−+=+αααααβα oo

Dr. sc. Ahmet Shala

109

3215)

65

61(

22)

2cos

2(sin

22)

245sin()

245sin()sin( +

=+=+=+=−+=+αααααβα oo

Nga ekuacioni (b) rrjedhë se:

vv

vv DCD =

−⋅⋅

+

=+

=

32

3215

351

cos)cos(

αβα ,

Rv

RvCD

C ==ω

zëvendësojmë në ekuacionin (a) dhe fitojmë:

vvvvvv CDDC ⋅−+

=⋅−+

⋅+

=−+= )35

353(

35

3251

351sin)sin( αβα ,

vvC = .


B A

C

R

2R

4R

Ca

α β

Aa A α

α

β

nDAa

Pv

D

C

C’

Ca tCDa α

xβ

y

tDAa

α

tDa

PvC

nDa t

tDa

AaBa α+β

90o-β

nCDa

Nxitimi i qendrës së diskut A, meqë shpejtësia e kësaj pikë është konstante dhe trajektoria e

saj është drejtëz, atëherë ky nxitim ka vetëm komponenten normale:

Rvaa n

AA

2== ,

nxitimi këndor i diskut A, siç dihet nga rastet paraprake, kur shpejtësia e qendrës është

konstante, është i barabartë me zero, pra:


110

0=Aε .

Nxitimi i qendrës së diskut B është i njëjtë me atë të A:

Rvaaa A

nBB

2=== .

Nxitimi i pikës D: Në këtë rast do të caktojmë vetëm komponenten tangjenciale të nxitimit të

kësaj pikë, sepse vetëm kjo komponentë është e njëjtë si në rastin kur pika D shiqohet si pikë

e diskut A, ashtu edhe kur pika D shiqohet si pikë e diskut C. Këtë komponentë e caktojmë

duke e caktuar nxitimin e pikës D, duke e ditur nxitimin e pikës A, pra:

tDA

nDAA

tD

nDD aaaaaa rrrrrr

++=+= ,

ku: Rv

RvRDAa A

nDA

222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅= ω ,

00 =⋅=⋅=⋅= RRDAa AAtDA εε

projektojmë në drejtim të tangjentës t:

ββα sin)cos( nDAA

tD aaa ++−= ,

Rv

Rv

Rvat

D

222

3215526

32526

3215

⋅+−−

=−

⋅+−

⋅−= ,

le të llogarisim:

,0)15(526

0

)15(526

1525526

)15(526

)15(526)15(526)15(526

=−+−

=−+−

−+−−=

=−+−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−

=−−−

kështu pra:

0=tDa , që është pritur, meqë 0=Aε , që u vërtetua.

Nxitimi i pikës C: Drejtimi i nxitimit të kësaj pikë është horizontal, meqë ajo bën lëvizje

drejtvizore. Ky nxitim caktohet duke u nisur se dihet nxitimi i pikës D, tani si pikë e diskut C,

pra:

tCD

nCD

tD

nDC aaaaa rrrrr

+++= ,

ku: Rv

RvRCDa C

nCD

222 22 ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅= ω ,

Dr. sc. Ahmet Shala

111

0022 =⋅=⋅=⋅= RRCDa CCtCD εε

projektojmë në drejtim të tangjentës t:

ββ sinsin nCDC aa = ,

Rvaa n

CDC

22 ⋅== .

DETYRA 8

Shufra OA, rrotullohet rreth çërnierës O, me shpejtësi këndore konstante oω . Lëvizja përcillet

në shufrën AB, në skajin e së cilës është i vendosur rrëshqitësi B, i cili lëviz sipas udhëzueses

horizontale. Për rrëshqitës B është e lidhur shufra BC, kurse për skajin C është i lidhur njëri

kulm i trekëndëshit kënddrejtë CTD, i cili mund të rrotullohet rreth çërnierës T. Për kulmin D

të trekëndëshit është i lidhur me çërnierë njëri skaj i shufrës DE, kurse skaji tjetër për

rrëshqitësin E, i cili mund të lëviz sipas udhëzueses vertikale. Nëse

lEDTDCTBCABOA ======2

, caktoni shpejtësinë dhe nxitimin e rrëshqitësit E.

C

oω

O

A

B

45o

D

30o

60o

E

45o

T


112

Zgjidhje


Shpejtësia e pikës A

ooA lOAv ωω ⋅=⋅= .

Shpejtësia e pikës B

BAAB vvv rrr+= ,

ku: ABABBA lABv ωω ⋅=⋅= 2 , dhe ka drejtim normal në distancen AB .

C

oω

O

A

B

45o

D

Av

Bv

Ev

30o

60o Cv

Dv

E

45o

TωT

45o

45o

30o

BAv

60o

CBv

EDv 45o

x

y

Nëse projektojmë në drejtim të akseve x dhe y, do të kemi:

(x): oBA

oAB vvv 60cos30cos += ,

(y): oBA

oA vv 60sin30sin0 −=

prej nga marrim:

Dr. sc. Ahmet Shala

113

ooAo

o

BA llvv ωω ⋅=⋅==3

1

23

21

60sin30sin ,

oABBA llv ωω ⋅=⋅=3

12 oAB ωω32

1=⇒ .

oooB lllv ωωω ⋅=⋅+⋅=3

221

31

23 .

Shpejtësinë e pikës C e caktojmë duke e ditur shpejtësinë e pikës B, pra:

CBBC vvv rrr+= ,

ku: BCBCCB lBCv ωω ⋅=⋅= , dhe ka drejtim normal në distancen BC , duke projektuar në

drejtim të aksit x dhe y kemi:

(x): Bo

C vv =45cos ,

o

o

oB

C ll

vv ωω

⋅=⋅

==6

4

22

32

45cos.

(y): CBo

C vv =45sin o

o

oC

CB ll

vv ω

ω⋅=

⋅==⇒

34

22

64

45sin,

përkatësisht: o

oCB

CB l

l

CBv

ωω

ω ⋅=⋅

==3

434

.

Në anën tjetër, shpejtësia e pikës C, si pikë e trekëndëshit CTD, është:

TTC lTCv ωω ⋅=⋅= ,

prej nga shpejtësia këndore e trekëndëshit T është:

o

oC

T l

l

lv

ωω

ω ⋅=⋅

==6

464

.


114

Kështu shpejtësia e pikës D do të jetë:

oTTD llTDv ωωω ⋅=⋅=⋅=6

4 , drejtimi i saj është normal në distancën TD .

Shpejtësinë e rrëshqitësit E e caktojmë duke e ditur shpejtësinë e pikës D, pra:

EDDE vvv rrr+= ,

ku: EDEDED lEDv ωω ⋅=⋅= , dhe ka drejtim normal në distancen ED , duke projektuar në

drejtim të aksit x dhe y kemi:

(x): oED

oD vv 45sin45sin0 +−= , oDED lvv ω⋅==⇒

64 , kurse: o

EDED ED

vωω ⋅==

64 .

(y): oED

oDE vvv 45cos45cos += ,

22

64

22

64

ooE llv ωω ⋅+⋅= ,

oE lv ω⋅=3

4 .

Analiza e nxitimeve

Nxitimi i pikës A

22oo

nAA lOAaa ωω ⋅=⋅== , meqë konsto =ω , atëherë 0==

dtd o

oω

ε .

Nxitimi i pikës B caktohet duke e ditur nxitimin e pikës A, pra:

tBA

nBAAB aaaa rrrr

++= ,

ku: 22

261

3212 ooAB

nBA llABa ωωω ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅= , projektojmë në aksin x dhe y:

(x): otBA

onBA

oAB aaaa 60cos30cos60cos −+= ,

(y): otBA

onBA

oA aaa 60sin30sin60sin0 ++−= ,

Dr. sc. Ahmet Shala

115

kështu:

222

36136

23

21

61

23

60sin30sin60sin

ooo

o

onBA

oAt

BA lllaa

a ωωω

⋅−

=⋅−⋅

=−

= ,

2222

331

21

36136

23

61

21

ooooB lllla ωωωω ⋅=⋅−

−⋅+⋅= .

C

oω

O

A

B

45o

D

Aa

Ba

Ea

30o

60o

tCa

tDa

E

45o

TεT

45o

45o

60o

tBAa

60o t

CBa

tEDa

45o

nBAa

nCBa

nCa

45o

nDa 45o

nEDa

x

y

Nxitimi i pikës C caktohet duke e lidhur me pikën B dheqendrën e rrotullimit T, pra:

tCB

nCBB

tC

nCC aaaaaa rrrrrr

++=+= ,

ku:

22

23

163

4ooBC

nCB llCBa ωωω ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⋅= ,

22

238

64

ooTnC llTCa ωωω ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⋅= ,


116


(x): nCBB

otC

onC aaaa +=+ 45cos45cos ,

(y): tCB

otC

onC aaa =+− 45sin45sin ,

kështu:

22

22

38

316

331

45cos45cos

222ooo

o

onC

nCBBt

C

lllaaa

aωωω ⋅−⋅+⋅

=−+

= ,

2

33386162

otC la ω⋅−+

= .

Meqë:

TtC TCa ε⋅= ,

atëherë:

2

2

3338616233

386162

o

otC

T l

l

TCa

ωω

ε ⋅−+

=⋅

−+

== .

Nxitimi i pikës D caktohet nga:

tD

nDD aaa rrr

+= ,

ku:

22

2

38

64

ooTnD llTDa ωωω ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⋅= ,

2

33386162

oTtD lTDa ωε ⋅

−+=⋅= .

Nxitimi i rrëshqitësit E caktohet duke e ditur nxitimin e pikës D, pra:

tED

nED

tD

nDE aaaaa rrrrr

+++= ,

ku:

Dr. sc. Ahmet Shala

117

22

2

38

64

ooEDnED llEDa ωωω ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⋅= ,


(x): otED

onED

otD

onD aaaa 45sin45sin45sin45sin0 +−−= ,

(x): otED

onED

otD

onDE aaaaa 45cos45cos45cos45cos +++= ,

kështu:

nED

tD

nD

tED aaaa ++−= ,

222

38

33386162

38

oootED llla ωωω ⋅+⋅

−++⋅−= ,

2

33386162

otED la ω⋅−+

= ,

kështu nxitimi i rrëshqitësit E do të jetë:

( ) otED

nED

tD

nDE aaaaa 45cos+++= ,

22

33386162

38

33386162

38 2222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−++⋅+⋅

−++⋅= ooooE lllla ωωωω ,

2

33683322

328

oE la ω⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++= ,

2

333322

oE la ω⋅⋅+

= .


118


Janë dhënë: ][2 1−=ω sOA , ][80 cmOA = , ][160 cmAB = , ][50 cmBC = ,

][30 cmr =. Duhet të caktohen: Av , Bv , Cv , ABω , ω .

Zgjidhje:

vB

vC

vA

OAω

ABω ABP

ω

30o r

B

C A

O A’

A’’

P

vC 62.61 cmsec-1=vC CP ω⋅:=

CP BP2 BC2+ 2 BP⋅ BC⋅ cos 120 deg⋅( )⋅−:=BP r:=

Shpejtësia e pikës C:

ω 0.894 sec-1=ωvB

BPAB:=

Shpejtësia e këndore e rrotullës B:

vB 115.777 cmsec-1=vB BPAB ωAB⋅:=

BPAB OA APAB+( ) sin 30 deg⋅( )⋅:=


ωAB 0.894 sec-1=ωABvA

APAB:=

Shpejtësia e këndore e shufrës AB:

APABAK

cos 30 deg⋅( ):=

AK AB2 AD2−:=AD OA sin 30 deg⋅( )⋅:=

Distanca APAB:

vA 160 cmsec-1=vA OA ωOA⋅:=

Shpejtësia e pikës A:

ωOA 2 sec 1−⋅:=r 30 cm⋅:=BC 50 cm⋅:=AB 160 cm⋅:=OA 80 cm⋅:=

Janë dhënë:

Dr. sc. Ahmet Shala

119

Në vazhdim do të caktojmë edhe nxitimin e pikave A, B, C dhe nxitimin këndor të shufrës

AB dhe diskut B, duke marrë që shufra OA rrotullohet me të njëjtën shpejtësi këndore dhe atë

konstante ][2 1−=ω sOA . Në softverin MathCad, vazhdohet në të njëjtin “File”, pra:

r

B

C

aB

tCBa

A

O A’

aA OAω

x

A’’

P

ε

30o

nBAa

tBAa

nCBa

y

α 30o

aCx

aCy 30o

Pa nPBa

tPBa

Nxitimi i pikës A:

tA

nAA aaa rrr

+= ,


tBA

nBAAB aaaa rrrr

++= ,

Nxitimi i qendrës së çastit (polit) P, duke e ditur nxitimin e pikës B:

tPB

nPBBP aaaa rrrr

++= ,

Nxitimi i pikës C, duke e ditur nxitimin e pikës B:

tCB

nCBBCyCxC aaaaaa rrrrrr

++=+= ,


120

aPBt aB:= εaPBt

r:= ε 12.267 sec-2=

Shprehjen për nxitim të C, të lidhur me B, e projektojmë në x dhe y:

ku: aCBn r ω2

⋅:= aCBt r ε⋅:=

Marrim për fillim:

aCx 0 cm⋅ sec 2−⋅:= aCy 0 cm⋅ sec 2−⋅:=

Given

aCx aB− aCBn cos 30 deg⋅( )⋅− aCBt sin 30 deg⋅( )⋅−

aCy aCBn− sin 30 deg⋅( )⋅ aCBt cos 30 deg⋅( )⋅+

aCx

aCy⎛⎜⎝

⎞⎠

Find aCx aCy,( ):=

aCy 306.71 cmsec-2=aCx 572.806− cmsec-2=

aC aCx2 aCy2+:= aC 649.752 cmsec-2=

Nxitimi i pikës A:

aA OA ωOA2⋅:= aA 320 cmsec-2=

Nxitimi i pikës B:

α asinOAAB

sin 30 deg⋅( )⋅⎛⎜⎝

⎞⎠

:=

Shprehjen për nxitim të B, të lidhur me A, e projektojmë në x dhe y, ku:

aBAn AB ωAB2⋅:=

Marrim për fillim:

aB 0 cm⋅ sec 2−⋅:= aBAt 0 cm⋅ sec 2−⋅:=Given

aB− aA− cos 30 deg⋅( )⋅ aBAn cos α( )⋅− aBAt cos 90 deg⋅ α−( )⋅−

0 aA− sin 30 deg⋅( )⋅ aBAn sin α( )⋅+ aBAt sin 90 deg⋅ α−( )⋅−

aB

aBAt⎛⎜⎝

⎞⎠

Find aB aBAt,( ):=

aB 368.014 cmsec-2= aBAt 132.198−cm

sec2= εAB

aBAtAB

:= εAB 0.826− sec-2=

Shprehjen për nxitim të polit P (duke e ditur se komponenta tangjenciale e saj është zero), të lidhur me B, e projektojmë në x, ashtuqë të caktohet nxitimi i rrotullës B:

Dr. sc. Ahmet Shala

121


Janë dhënë: ][10 cmOA = , ][60 cmAB = , ][20 cmAC = , ][5.1 1−= sOAω ,

][2 2−= sOAε . Duhet te gjenden shpejtësitë dhe nxitimet e pikave A, B dhe C për pozitën e dhënë të mekanizmit.

Zgjidhje:

A

O OAω

vB

vA

ABω

30o

B

C

PAB

vC

30o 60o

A

O

aB

ABε

60o

B

C

30o

nAa

x

nBAa

tBAa

y

tAa

OAε

nCAa

tCAa

Cxa

Cya

vC 10.408 cmsec-1=vC CPAB ωAB⋅:=

CPAB BC2 BPAB2+ 2 BC⋅ BPAB⋅ cos 60 deg⋅( )⋅−:=BC AB AC−:=

Shpejtësia e pikës C:vB 8.66 cmsec-1=vB BPAB ωAB⋅:=

BPAB AB sin 30 deg⋅( )⋅:=

Shpejtësia e pikës B:ωAB 0.289 sec-1=ωAB

vAAPAB

:=APAB AB cos 30 deg⋅( )⋅:=

Shpejtësia e këndore e hallkës AB:vA 15 cmsec-1=vA OA ωOA⋅:=

Shpejtësia e pikës A: εOA 2 sec 2−⋅:=ωOA 1.5 sec 1−⋅:=AC 20 cm⋅:=AB 60 cm⋅:=OA 10 cm⋅:=

Janë dhënë:


122

Në të njëjtin “File” vazhdojmë me caktimin e nxitimeve:

aB 16.726 cmsec-2= aBAt 20.207 cmsec-2=

εABaBAtAB

:= εAB 0.337 sec-2=

Nxitimi i pikës C:

aCAn AC ωAB2⋅:= aCAt AC εAB⋅:=

Marrim vlerat fillestare:

aCx 0 cm⋅ sec 2−⋅:= aCy 0 cm⋅ sec 2−⋅:=Given

aCx aCAn aAn cos 30 deg⋅( )⋅+ aAt cos 60 deg⋅( )⋅−

aCy aAn sin 30 deg⋅( )⋅ aAt sin 60 deg⋅( )⋅+ aCAt−

aCx

aCy⎛⎜⎝

⎞⎠

find aCx aCy,( ):=

aCx 11.152 cmsec-2= aCy 21.835 cmsec-2=

aC aCx2 aCy2+:= aC 24.518 cmsec-2=

Nxitimi i pikës A:

aAn OA ωOA2⋅:= aAt OA εOA⋅:=

aAn 22.5 cmsec-2= aAt 20 cmsec-2=

aA aAn2 aAt2+:= aA 30.104 cmsec-2=

Nxitimi i pikës B dhe nxitimi këndor i hallkës AB:

aBAn AB ωAB2⋅:=

aBAn 5cmsec-2=

Marrim vlerat fillestare:

aB 0 cm⋅ sec 2−⋅:= aBAt 0 cm⋅ sec 2−⋅:=

Given

aB cos 30 deg⋅( )⋅ aAt− cos 60 deg⋅( )⋅ aAn cos 30 deg⋅( )⋅+ aBAn+

aB sin 30 deg⋅( )⋅ aAt sin 60 deg⋅( )⋅ aAn sin 30 deg⋅( )⋅+ aBAt−

aB

aBAt⎛⎜⎝

⎞⎠

find aB aBAt,( ):=

Dr. sc. Ahmet Shala

123

IV. LËVIZJA E TRUPIT RRETH PIKËS SË PALËVIZSHME

KËNDET E EULERIT DHE LËVIZJA SFERIKE


Janë dhënë shpejtësitë: ][32)( 2 radttt +=ψ , ][6/)( radt πθ = , ][24)( radtt =φ ,

][3 cm=ξ , ][2 cm=η , ][5 cm=ζ , ][11 st = . Duhet te gjenden për 1tt = shpejtësia dhe

nxitimi i pikës M, koordinatat e së cilës në sistemin e lëvizshëm janë ),,( ζηξ , të cilat janë ngurtësisht të lidhura me trupin të cilit i takon pika M.

Zgjidhje:

ω t1( ) 30.265 s-1=

ωz t1( ) 27.785 s-1=ωy t1( ) 3.404− s-1=ωx t1( ) 11.507− s-1=

Për çastin e kohës t1, shpejtësa këndore do të jetë:ω t( ) ωx t( )2

ωy t( )2+ ωz t( )2

+:=

ωz t( )tφ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

cos θ t( )( )⋅tψ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

+:=

ωy t( )tφ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

− sin θ t( )( )⋅ cos ψ t( )( )⋅tθ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

sin ψ t( )( )⋅+:=

ωx t( )tφ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

sin ψ t( )( )⋅ sin θ t( )( )⋅tθ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

cos ψ t( )( )⋅+:=

Shpejtësa këndore dhe projeksionet e saj në sistemin e palëvizshëm ( x, y, z ): ω t1( ) 30.265 s-1=

ωζ t1( ) 30.062 s-1=ωη t1( ) 1.485 s-1=ωξ t1( ) 3.17− s-1=

Për çastin e kohës t1, kemi:

ω t( ) ωξ t( )2ωη t( )2

+ ωζ t( )2+:=

ωζ t( )tψ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

cos θ t( )( )⋅tφ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

+:=

ωη t( )tψ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

sin θ t( )( )⋅ cos φ t( )( )⋅tθ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

sin φ t( )( )⋅−:=

ωξ t( )tψ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

sin θ t( )( )⋅ sin φ t( )( )⋅tθ t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

cos φ t( )( )⋅+:=

Shpejtësa këndore dhe projeksionet e saj në sistemin e lëvizshëm ( ξ, η, ζ ):

φ t( ) 24 t⋅ sec 1−⋅:=θ t( )π6

:=ψ t( ) 2 t2⋅ sec 2−⋅ 3 t⋅ sec 1−⋅+:=

t1 1 s⋅:=t 1 s⋅:=ζ 5 cm⋅:=η 2 cm⋅:=ξ 3 cm⋅:=

Janë dhënë:


124

Në të njëjtin “File” vazhdojmë:

a t1( ) 33.648m

s2=a t( ) aξ t( )( )2 aη t( )( )2

+ aζ t( )( )2+:=

aζ t( ) εξ t( ) η⋅ εη t( ) ξ⋅− ωξ t( ) vη t( )⋅+ ωη t( ) vξ t( )⋅−:=

aη t( ) εζ t( ) ξ⋅ εξ t( ) ζ⋅− ωζ t( ) vξ t( )⋅+ ωξ t( ) vζ t( )⋅−:=

aξ t( ) εη t( ) ζ⋅ εζ t( ) η⋅− ωη t( ) vζ t( )⋅+ ωζ t( ) vη t( )⋅−:=

Nxitimi i pikës M (ξ,η,ζ)=M(3,2,5) caktohet me shprehjet:

ε t1( ) 84.095s-2=

ε t( ) εx t( )( )2εy t( )( )2

+ εz t( )( )2+:=

εz t1( ) 4s-2=εy t1( ) 80.55− s-2=εx t1( ) 23.828s-2=

εz t( )tωz t( )d

d:=εy t( )

tωy t( )d

d:=εx t( )

tωx t( )d

d:=

Në sistemin e palëvizshëm caktohet me projeksionet:

ε t1( ) 84.095s-2=

ε t( ) εξ t( )( )2εη t( )( )2

+ εζ t( )( )2+:=

εζ t1( ) 3.464s-2=εη t1( ) 76.917s-2=εξ t1( ) 33.82s-2=

εζ t( )tωζ t( )d

d:=εη t( )

tωη t( )d

d:=εξ t( )

tωξ t( )d

d:=

Në sistemin e lëvizshëm caktohet me projeksionet:

Nxitimi këndor i trupit:

v t1( ) 1.189ms

=v t( ) vξ t( )( )2 vη t( )( )2+ vζ t( )( )2

+:=

vζ t( ) ωξ t( ) η⋅ ωη t( ) ξ⋅−:=

vη t( ) ωζ t( ) ξ⋅ ωξ t( ) ζ⋅−:=

vξ t( ) ωη t( ) ζ⋅ ωζ t( ) η⋅−:=

Shpejtësia e pikës M (ξ,η,ζ)=M(3,2,5) caktohet me shprehjet:

Dr. sc. Ahmet Shala

125


Trupi A rrotullohet pa rrëshqitje nëpër sipërfaqen e trupit B që është në qetësi. Janë dhënë: o60=α , o90=β , ][3 cmlOM o == , ][1 cmMM o = , ][2.1 1

1−= sω . Duhet të caktohet

shpejtësia dhe nxitimi këndor i trupit A si dhe shpejtësia dhe nxitimi i pikës M për pozicionin

e dhënë të trupit A, me çrast aksi ζO i trupit A rrotullohet me shpejtësi këndore konstante 1ω

rreth aksit të palëvizshëm zO .

O α

A

ζ

z B

β M

Mo

C

Zgjidhje

O

α/2

D

ζ

z

M

Mo

C

β/2

K K2

K1

x y MvCv

2ω

1ω ω

1ω

tMa

nMa

α

γ

α/2


126

shenja (-) tregon se trupi A rrotullohet në kahje të kundërt me rrotullimin e aksit Oζ

Shpejtësia e pikës M do të jetë: rM OMo2 MMo2+ 2 OMo⋅ MMo⋅ cos α( )⋅−:=

vM→⎯

ω→

x rM→⎯

⋅ MoD 2 OMo2⋅ OMo2 2⋅ cos α( )⋅−:= MD MoD MMo−:=

vM ω MD⋅ cosα2

⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:= vM 4.015 cmsec-1= rM 2.646 cm=

Nxitimi këndor i trupit A:OK2 OD MD sin

α2

⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅−:=ε1

tω1d

d⎛⎜⎝

⎞⎠

ε1 0 sec 2−⋅:=

cosγOK2rM

:=Atëherë nxitimi këndor i trupit A është :

ε2 ω1 ω⋅ sinβ2

⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:= ε2 1.967 sec-2= γ acosOK2rM

⎛⎜⎝

⎞⎠

:=Nxitimi i pikës M:

aMn ω2 MD⋅ cos

α2

⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:= aMt rM ε2⋅ sin β( )⋅:=

aMn 9.308 cmsec-2= aMt 5.204 cmsec-2=

aM aMn( )2 aMt( )2+ 2 aMn⋅ aMt⋅ cos γ( )⋅−:=

aM 6.363 cmsec-2=

Janë dhënë:α 60 deg⋅:= β 90 deg⋅:= OMo 3 cm⋅:= MMo 1 cm⋅:= ω1 1.2 sec 1−⋅:=

Shpejtësia e pikës C: OD OMo:=

rC OMo cosα2

⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:= CK1 rC sinα2

β2

+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:= CK rC sinα2

⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅:=

Duke ditur se: vC ω1 CK1⋅ vC ω CK⋅

Atëherë: ω ω1CK1CK

⋅:= ω 2.318 sec-1=

Duke ditur se: ω1→⎯

ω2→⎯

+ ω→

përkatësisht marrim për fillim: ω2 0 sec 1−⋅:=Given

ω2

ω12ω22

+ 2 ω1⋅ ω2⋅ cosα2

β2

+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅−

ω2 Find ω2( ):=

Kështu shpejtësia këndore e trupit A do të jetë:

ω2 1.697− sec-1=

Dr. sc. Ahmet Shala

127

V


DETYRA 1 (Lëvizja zhvendosëse dhe ajo relative janë translative)

Prizma kënddrejtë ABC, lëviz nëpër rrafshin horizontal sipas ligjit ][2

)(2

mttxe = . Nëpër

sipërfaqen AB, me pjerrtësi o45=α , lëviz trupi M, sipas ligjit ][22)( 2 mttxr = , i cili në

çastin fillestar ndodhej në pozicionin A. Të caktohet shpejtësia dhe nxitimi absolut i trupit M,

i cili mund të konsiderohet si pikë materiale.

x

M

xe(t)

A y

xr(t)

α B C

Zgjidhje:

x

M

xe(t)

A y

xr(t)

α B C

α vr

ve

ar

ae

Shpejtësia absolute e trupit M, si vektor është:

re vvv rrr+= ,

ku: ]/[)2

()( 2

smttdtd

dttdx

v ee === , paraqet shpejtësinë e prizmës ABC, meqë ajo bënë

lëvizje drejtvizore, në drejtim të aksit x.


128

]/[2)22(

)( 2 smttdtd

dttdx

v rr ⋅=== , paraqet shpejtësinë relative të trupit M, pra

shpejtësinë e lëvizjes së trupit M nëpër sipërfaqen e pjerrët të prizmës ABC.

Meqë këto dy komponente nuk janë normal në njëra tjetrën atëherë me zbatim të teoremës së

“kosinusit” apo me projektim të ekuacionit vektorial të shpejtësisë absolute, në drejtim të

aksit x dhe y, caktohet intensiteti i shpejtësisë absolute, pra:

(x): tttvvv orex ⋅=⋅⋅+=+= 245cos2cosα ,

(y): ttvv ory −=⋅⋅−=−= 45sin2sinα ,

Meqë këto dy komponente, tani janë normal në njëra tjetrën atëherë:

22 )()( yx vvv += ,

22 )()2( ttv −+⋅= ,

]/[5 smtv ⋅= .

Nxitimi absolut i trupit M, si vektor është:

corre aaaa rrrr++= ,

ku: ][1)()(

2smt

dtd

dttdv

a ee === , paraqet nxitimin e prizmës ABC, meqë ajo bënë lëvizje

drejtvizore, në drejtim të aksit x.

][2)2()(

2smt

dtd

dttdv

a rr =⋅== , paraqet nxitimin relativ të trupit M, pra nxitimin e

lëvizjes së trupit M nëpër sipërfaqen e pjerrët të prizmës ABC.

0x2 == recor va rrr ω , ku 0=eω , pasiqë prizma ABC nuk rrotullohet.

Në rastin e përgjithshëm intensiteti i nxitimit të Koriolisit caktohet me shprehjen:

0) ,sin(2 =⋅⋅⋅= rerecor vva rrωω , në rastin tonë, sepse 0=eω .

Meqë këto komponente nuk janë normal në njëra tjetrën atëherë me projektim të ekuacionit

vektorial të nxitimit absolut, në drejtim të aksit x dhe y, caktohet intensiteti i nxitimit absolut,

pra:

Dr. sc. Ahmet Shala

129

(x): 245cos21cos =⋅+=+= orex aaa α ,

(y): 145sin2sin −=⋅−=−= ory aa α ,

Meqë këto dy komponente, tani janë normal në njëra tjetrën atëherë:

22 )()( yx aaa += ,

22 )1()2( −+=a ,

][5 2sma = .

DETYRA 2 (lëvizja zhvendosëse është rrotulluese kurse ajo relative është translative)

Nëpër shufrën ][1 mOA = , e cila rrotullohet rreth aksit Oz me shpejtësi këndore ][ 1−= stω ,

lëviz unaza M, sipas ligjit ][)( 2 mttx = . Nëse unaza M në çastin fillestar ndodhej në

pozicionin O, caktoni shpejtësinë dhe nxitimin absolut të saj në funksion të kohës, si

madhësinë e tyre kur unaza arrin në pozicionin A.

O

z

x(t) M

ω

A


130

Zgjidhje:

O

ωr

x(t)

M x

y

ω

rv

ev

ra

tea

nea

A

z

cora

Shpejtësia e unazës M, si vektor është:

re vvv rrr+= ,

ku: ]/[))( 32 smttttxve =⋅=⋅= ω , paraqet shpejtësinë zhvendosëse të unazës dhe ka

drejtim norma në shufrën OA, meqë ajo rrotullohet rreth aksit Oz.

]/[2)()( 2 smttdtd

dttdxvr ⋅=== , paraqet shpejtësinë relative të unazës M, pra

shpejtësin e lëvizjes së unazës M nëpër shufrën OA.

Meqë këto dy komponente janë normal në njëra tjetrën atëherë:

22 )()( re vvv += ,

]/[4)2()( 26223 smttttv ⋅+=⋅+= .

Çastin e kohës kur unaza arrin në pozicionin A, e caktojmë nga:

1)( 2 == ttx , prej nga: ][11 st A == .

Kështu për ][1 st A = , shpejtësia në këtë pozicion do të jetë:

]/[51414 2626 smttv AAA =⋅+=⋅+=

Nxitimi absolut i unazës M, si vektor është:

Dr. sc. Ahmet Shala

131

corre aaaa rrrr++= ,

ku: ][3)()(

223

smtt

dtd

dttdv

a ete ⋅=== , paraqet nxitimin tangjencial zhvendosës të uanazës

M, dhe ka drejtim normal në shufrën OA.

][)( 24222

smttttxan

e =⋅=⋅= ω , paraqet nxitimin normal zhvendosës të uanazës M,

dhe ka drejtim e shufrës OA, dhe kahje prej M kah O.

][2)2()(2s

mtdtd

dttdva r

r =⋅== , paraqet nxitimin relativ të unazës M, pra nxitimin e

lëvizjes së unazës M nëpër shufrën OA.

recor va rrr x2ω= , ku ωω =e , pasiqë shufra OA rrotullohet me këtë shpejtësi këndore.

Në rastin e përgjithshëm intensiteti i nxitimit të Koriolisit caktohet me shprehjen:

) ,sin(2 rerecor vva rrωω ⋅⋅⋅= , në rastin tonë, 1)90sin() ,sin( == ore vrrω , pra:

][42212 22

smtttva rcor ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ω .

Drejtimi i kësaj komponente të nxitimit caktohet sipas rregullës së Zhukovskit, pra shpejtësia

relative projektohet në një aks normal me aksin e vektorit të shpejtësisë këndore ωr . Sipas

figurës paraprake në bazë të rregullës së “dorës së djathtë” vektori ωr , është paralel me aksin

z, kurse shpejtësia relative është paralele me aksin x, kështu që është veq e projektuar, prandaj

vetëm rrotullohet për 90o, në kahje të rrotullimit të ω , me çrast nxitimi i Koriolisit do të ketë

drejtimin e aksit y, por kahjen e kundërt me të.

Me projektim të ekuacionit vektorial të nxitimit absolut, në drejtim të aksit x y dhe z, caktohet

intensiteti i nxitimit absolut, pra:

(x): 24 +−=+−= taaa rnex ,

(y): 222 743 tttaaa cortey ⋅−=−−=−−= ,

(z): 0=za

Meqë këto komponente, janë normal në njëra tjetrën atëherë:

222 )()()( zyx aaaa ++= ,


132

22224 )0()7()2( +⋅−++−= tta ,

448 49422 ttta ⋅++⋅⋅−= ,

][445 248

smtta +⋅+= .

Kështu për ][1 st A = , nxitimi absolut në pozicion A do të jetë:

445 48 +⋅+= AAA tta ,

41451 48 +⋅+=Aa ,

][25 2smaA = .

Dr. sc. Ahmet Shala

133


Pika M lëviz nëpër harkun AB sipas ligjit ][2 cmtAMsr π== . Shufra O1A e mekanizmit

rrotullohet rreth çërnierës O1, sipas ligjit ][485 3 radte πφ = . Rrezja e harkut AB është

][16 cmR = . Gjatësitë e shufrave ][2021 cmBOAO == . Për çastin e kohës ][2 st = , duhet të caktohet shpejtësia dhe nxitimi absolut i pikës M.

M

O1

eφ

eφ

O2

A

B

R

M

O1

eω

eφ

y

eφ

x vr

eφ

rφ

O2

A

B

ve

vB

rφ

R

tran

ratea

nea

tAa

nAa

Av

tBa

nBa

Zgjidhje


134

vx t( ) 59.132− cmsec-1=vy t( ) ve t( ) cos φe t( ) 90 deg⋅+( )⋅ vr t( ) sin φr t( )( )⋅−:= vy t( ) 48.156− cmsec-1=

v t( ) vx t( )( )2 vy t( )( )2+:= v t( ) 76.26 cmsec-1=

Nxitimi relativ ka dy komponente:

arn t( ) R ωr t( )( )2⋅:= arn t( ) 9.87 cmsec-2= art t( )

tvr t( )d

d:= art t( ) 6.283 cmsec-2=

Nxitimi zhvendosës: ae t( ) aA t( )

aen t( ) OA ωe t( )( )2⋅:= aen t( ) 308.425 cmsec-2= aet t( ) OA εe t( )⋅:= aet t( ) 78.54 cmsec-2=

Nxitimi i Koriolisit është zero, pasi trupi D bën levizje transllative:

Projeksionet e nxitimit absolut në akset x dhe y:

ax t( ) arn t( ) cos φr t( )π2

+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ art t( ) cos φr t( )( )⋅+ aen t( ) sin φe t( ) π+( )⋅+ aet t( ) sin φe t( )π2

+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅+:=

ay t( ) arn t( )− sin φr t( )π2

+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ art t( ) sin φr t( )( )⋅− aen t( ) cos φe t( ) π+( )⋅+ aet t( ) cos φe t( )π2

+⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅+:=

ax t( ) 224.766− cmsec-2=

ay t( ) 216.412 cmsec-2=

Meqë këto dy komponente të nxitimit, janë normal në njëri tjetrin, atëherë:

a t( ) ax t( )( )2 ay t( )( )2+:=

a t( ) 312.016 cmsec-2=

Janë dhënë: OA 20 cm⋅:= R 16 cm⋅:=

t 2 sec⋅:= φe t( )5

48π⋅ t3⋅ sec 3−⋅:= sr t( ) π t2⋅ sec 2−⋅( ) cm⋅:=

Këndi i shufrës O1A me aksin y në çastin fillestar dhe këndi relativ i OM me y pas kohës t=2[s]:

φe t( ) deg 1−⋅ 150= sr t( ) 12.566 cm= φr t( )sr t( )

R:= φr t( ) deg 1−⋅ 45=

Shpejtësia relative:ωr t( )

tφr t( )d

d:= εr t( ) 2t

φr t( )d

d

2:=vr t( )

tsr t( )d

d:= vr t( ) 12.566 cmsec-1=

Shpejtësia zhvendosëse:ωe t( )

tφe t( )d

d:= εe t( ) 2t

φe t( )d

d

2:=ve t( ) vA t( )

ve t( ) OA ωe t( )⋅:= ve t( ) 78.54 cmsec-1=Meqë këto dy komponente të shpejtësisë, nuk janë normal në njëra tjetrën,atëherë projektojmë në drejtim të akseve x dhe y:

vx t( ) ve t( ) sin φe t( ) 90 deg⋅+( )⋅ vr t( ) cos φr t( )( )⋅+:=

Dr. sc. Ahmet Shala

135

Mënyra se si e kemi shtruar detyrën paraprake na mundëson që në funksion të kohës t të caktojmë shpejtësinë dhe nxitimin kështu në këto raste është me interes p.sh për një rrotullim të plotë të shufrës OA të nxjerrim diagramin e shpejtësisë dhe nxitimit apo edhe vlerat tabelare për pozicione të ndryshme. Vazhdojmë në të njëjtin “File”.

Nga: φe t( ) 2π 360 marrim se kaha e një rrotullimi të plotë: tp3 48 2⋅

5:=

Kështu marrim këtë interval të kohës: t 0 0.01, tp..:=

0 0.67 1.34 2 2.67

20.05

40.1

60.15

80.2

φr t( )deg

t

0 0.67 1.34 2 2.67

90

180

270

360

φe t( )deg

t

0 0.67 1.34 2 2.67

35.73

71.45

107.18

142.9

v t( )

t

0 0.67 1.34 2 2.67

247.97

495.93

743.9

991.87

a t( )

t

Nga diagramet shihet se për një rrotullim të plotë (360o) të shufrës OA, pika M arrin në pozicionin e caktuar me o

r t 2.80)( =φ .


136


Pika materiale M lëviz nëpër drejtzën OC të trupit D sipas ligjit [ ]cmtOMsr 3cos816 π−== , kurse vetë trupi D rrotullohet rreth aksit vertikal sipas ligjit:

[ ]radtte32 99.0 −=ϕ . Caktoni shpejtësinë dhe nxitimin absolut të pikës M në qastin

[ ]stt92

1 == .

Zgjidhje:

r

D

ϕe

ve

O

z

y

M

x

vr

aeT

acor

ωe εe

30°

vr

ωe

30°

150° acor

ar

aeN

M’

z

y

x M

v t( ) 65.96 cmsec-1=v t( ) vr t( )( )2 ve t( )( )2+:=

Meqë këto dy komponente të shpejtësisë, janë normal në njëra tjetrën, atëherë:

shenja (-) tregon se kahja e shpejtësisë zhvendosëse është e kundërt me rritjen e këndit φe(t).

ve t( ) 9.333− cmsec-1=ve t( ) r t( ) ωe t( )⋅:=

εe t( ) 2tφe t( )d

d

2:=ωe t( )

tφe t( )d

d:=r t( ) sr t( ) sin 30 deg⋅( )⋅:=

Shpejtësia zhvendosëse:

vr t( ) 65.297 cmsec-1=vr t( )tsr t( )d

d:=

Shpejtësia relative:

sr t( ) 20 cm=sr 0 sec⋅( ) 8 cm=

Rruga relative fillestare dhe pas kohës t:

sr t( ) 16 8 cos 3 π⋅ t⋅ sec 1−⋅( )⋅−( ) cm⋅:=φe t( ) 0.9 t2⋅ sec 2−⋅ 9 t3⋅ sec 3−⋅−:=t29

sec⋅:=

Janë dhënë:

Dr. sc. Ahmet Shala

137

Vazhdojmë në të njëjtin “File”:

a t( ) 394.923 cmsec-2=

a t( ) ax t( )( )2 ay t( )( )2+ az t( )( )2+:=

Meqë këto tri komponente të nxitimit, janë normal në njëri tjetrin, atëherë:

az t( ) 307.704− cmsec-2=az t( ) ar t( ) cos 30 deg⋅( )⋅:=

ay t( ) 186.364− cmsec-2=ay t( ) ar t( ) sin 30 deg⋅( )⋅ aen t( )−:=

ax t( ) 162.944 cmsec-2=ax t( ) aet t( ) acor t( )+:=

Projeksionet e nxitimit absolut në akset x, y dhe z:

acor t( ) 60.944 cmsec-2=acor t( ) 2 vr t( )⋅ ωe t( )⋅ sin 150 deg⋅( )⋅:=

Nxitimi i Koriolisit:

aet t( ) 102 cmsec-2=aet t( ) r t( ) εe t( )⋅:=aen t( ) 8.711 cmsec-2=aen t( ) r t( ) ωe t( )( )2

⋅:=

Nxitimi zhvendosës:

ar t( ) 355.306− cmsec-2=ar t( )tvr t( )d

d:=

Nxitimi relativ:


138

ZGJIDHJA E NJË AFATI TË PROVIMIT NGA KINEMATIKA

DETYRA 1

Pika materiale M lëvizë në rrafshin Oxy. Nëse në drejtim të aksit x ka shpejtësinë

]/[1)( smtvx = , kurse nxitimin në drejtim të aksit y e ka ]/[2)( 2smtay = . Në çastin

fillestar koordinatat dhe shpejtësitë ishin zero, caktoni:

- ligjin e lëvizjes dhe ekuacionin e trajektores,

- shpejtësinë dhe nxitimin absolut në funksion të kohës dhe

- për çastin e kohës t1=1[s], komponenten e nxitimit tangjencial, normal dhe rrezen e

lakesës së trajektores.

Zgjidhje:

dtdxvx = , nga këtu rrjedhë:

dtdtdtvdx x =⋅== 1 , nëse integrojmë kemi:

∫∫ =tx

dtdx00

, përkatsisht:

][mtx = .

0)1( ===

dtd

dtdv

a xx

dtdv

a yy = , nga këtu rrjedhë:

dtdtadv yy ⋅== 2 , nëse integrojmë kemi:

∫∫ =tv

y dtdvy

00

2 , përkatsisht: ]/[2 smtv y = .

dtdyvy = , nga këtu rrjedhë:

tdtdtvdy y ⋅== 2 , nëse integrojmë kemi:

Dr. sc. Ahmet Shala

139

∫∫ =tytdtdy

00

2 , përkatsisht:

][2 mty = .

Pra: ][mtx = dhe ][2 mty = nga këtu 2xy = paraqet trajektoren, pra një parabollë.

Meqë 1=xv dhe tvy 2= atëherë ]/[41)2()1()()( 22222 smttvvv yx +=+=+=

Meqë 0=xa dhe 2=ya atëherë ]/[24)2()0()()( 22222 smaaa yx ==+=+=

Duke ditur se: 22

2

41

4

412

8)41(t

t

t

ttdtd

dtdvat

+=

+=+== atëherë për t = 1 [s], kemi:

]/[

554

54

141

14 22

smat ==⋅+

⋅=

Komponenta normale caktohet nga shprehja:

]/[

552

52

5164)

554()2( 22222 smaaa tn ==−=−=−=

Rrezja e lakesës për t =1 [s], do të jetë:

nL a

vR2

= , ku për t=1 kemi: ]/[5141 2 smv =⋅+= , atëherë:

][2

5552

25

552)5( 2

mRL === .


140

DETYRA 2

Dy biella CA dhe CB të dy mekanizmave biellë-manivelë, ndërmjet veti janë të lidhura me

çërnierë në pikën C. Manivelat O1A dhe O2B me gjatësi përkatëse l rrotullohen në kahje të

njëjtë, me shpejtësi këndore konstante ωo . Të caktohet shpejtësia dhe nxitimi i pikës C për

pozitën kur manivelat ndodhen në të njëjtën drejtzë dhe nëse ⊄ CAO1 = ⊄ CBO2 = 45°,

distanca lOO 221 = .

O1 O2

C

A B

ωo

ωo

45 45 l l

2 l

Zgjidhje:

Shpejtësitë:

O1 O2

C

A B

ωo

ωo O l l 2l

vA

vA

vB vCA

vB

vCB

x

y

45o

45o45o

45o 45o

Dr. sc. Ahmet Shala

141

ooA lAOv ωω ⋅=⋅= 1 , ooB lBOv ωω ⋅=⋅= 2

CAAC vvv rrr+= ,................................................................................................................ (a)

CBBC vvv rrr+= , ..............................................................................................................(b)

ACCA ACv ω⋅= , BCCB BCv ω⋅=

22

22445cos245cos2 llllBCAC ==+== atëherë:

ACCA lv ω⋅= 22 , BCCB lv ω⋅= 22

Shprehjet (a) dhe (b) le t’i projektojmë në x dhe y pra:

(a)x: 45cosCACx vv =

(b)x: 45cosCBCx vv =

(a)y: 45sinCAACy vvv −=

(b)y: 45sinCBBCy vvv +−=

Kështu kemi fituar katër ekuacione me katër të panjohura, pra:

Nga (a)x dhe (b)x rrjedhë se:

CBCA vv = .

Kurse nga (a)y dhe (b)y rrjedhë se:

22

CAo vl −ω =22

CBo vl +− ω nga këtu:

oCBCA lvv ω=+ 22 , pra,

oCA lv ω222 = , nga këtu:

oACCA llv ωω 222 =⋅= , prej nga:

2o

ACω

ω = ,

dhe në mënyrë analoge:


142

2o

BCω

ω =

atëherë:

ooCACx llvv ωω =⋅==

22245cos , kurse

022245sin =⋅−=−= ooCAACy llvvv ωω .

Kështu:

( ) ( ) ( ) ( ) ooCyCxC llvvv ωω =+=+= 2222 0 ,

pra ka drejtimin e aksit x.

O1 O2

C

A B

ωo ωo

O l l 2 l

aA

aA aB

tCAa

aB

x

y

tCBa

nCBa

nCAa

45o

45o45o

45o 45o

45o

45o45o

22

1 ooA lAOa ωω ⋅=⋅= , 222 ooB lBOa ωω ⋅=⋅=

tCA

nCAAC aaaa rrrr

++= ,..................................................................................................... (c)

tCB

nCBBC aaaa rrrr

++= , ...................................................................................................(d)

22

22

oACnCA lACa ωω =⋅= , 22

22

oBCnCB lBCa ωω =⋅=

Dr. sc. Ahmet Shala

143

ACACtCA lACa εε 22=⋅= , BCBC

tCB lBCa εε 22=⋅=

Shprehjet (c) dhe (d) le t’i projektojmë në x dhe y pra:

(c)x: 45cos45cos tCA

nCAACx aaaa +−=

(d)x: 45cos45cos tCB

nCBBCx aaaa ++−=

(c)y: 45sin45sin tCA

nCACy aaa −−=

(d)y: 45sin45sin tCB

nCBCy aaa +−=

Kështu kemi fituar katër ekuacione me katër të panjohura, pra:

Nga (c)x dhe (d)x rrjedhë se:

=+− 45cos45cos tCA

nCAA aaa 45cos45cos t

CBnCBB aaa ++− , përkatsisht:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=−

22

22

22

222

22

222 2222

oooonCBB

nCAA

tCB

tCA llllaaaaaa ωωωω

22 otCB

tCA laa ω−=−

Kurse nga (c)y dhe (d)y rrjedhë se:

tCA

nCA aa −− = t

CBnCB aa +−

nga këtu:

0=−=+ nCA

nCB

tCB

tCA aaaa ,

pra,

tCB

tCA aa −=

atëherë:

222 otCB la ω−=− ,

përkatësisht:

tCAo

tCB ala −== 2

22 ω

atëherë:


144

0

21

21

22

22

22

22 222222 =−−=−−= ooooooCx lllllla ωωωωωω

0

22

22

22

22 22 =+−= ooCy lla ωω

Kështu nxitimi i pikës C:

0)0()0()()( 2222 =+=+= CyCxC aaa .

DETYRA 3

Karroca D lëviz nëpër rrafshin horizontal O1x sipas ligjit ][2.02 2 cmttxe ⋅+⋅= . Nëpër

kanalin rrethor me rreze R = 20 [cm], të karrocës, lëvizë pika materiale M sipas ligjit

][20 2 cmtOMsr π== . Caktoni shpejtësinë dhe nxitimin absolut të pikës M në funksion të

kohës si dhe madhësinë e tyre në çastin kur pika materiale arrin pikën më të lartë në kanal.

M R

D O xe

O1

y

x

M1

Zgjidhje:

Shpejtësia absolute e pikës materiale M.

M

α D O

ve

y

x

vr1 M1 vrα

ve1

R

Dr. sc. Ahmet Shala

145

reM vvv rrr+= ...................................................................................................................(1)

shpejtësia zhvendosëse:

ttt

dtdx

dtdv ee 4.02)2.02( 2 +=+== [cm/s]

shpejtësia relative:

tt

dtds

dtdv rr ππ 40)20( 2 === [cm/s]

Duke ditur se: rsR =α kemi

][

2020 2

2

radtt

Rsr π

πα === .

Meqë këndi ndërmjet ve dhe vr është π/2+α atëherë intensiteti i shpejtësisë absolute mund të

caktohet duke e përdorur teoremën e kosinusit pra:

)

2cos(222 απ

+−+= rereM vvvvv ,

)2

cos()40()4.02(2)40()4.02( 222 tttttvM ππππ ++−++= .................................(2)

Për të caktuar shpejtësinë në pozicionin M1 sëpari duhet të caktojmë kohën për të cilën pika

materiale arrin në atë pozicionin. Duke parë nga figura se kur pika arrin në poziocionin M1

këndi α arrin vleren π/2 atëherë:

211 20

2tsRR r ππα === ,

marrim që

22

21

4020

40Rt1 ===+= [s],

merret (+) sepse koha është pozitive çdoherë.

Nëse zëvendësojmë kohën t1 në shprehjen (2) fitojmë madhësinë e shpejtësisë absolute të

pikës M në pozicionin M1 pra:

043.91)2

cos()40()4.02(2)40()4.02(1

1222

tt

M tttttv==++−++= ππππ [cm/s]


146

Nxitimi absolut i pikës materiale M.

M

D O

ae

y

x

tra 1 M1 t

ranra 1

ae1 nra

correM aaaa rrrr++= ...................................................................................................... (3)

nxitimi zhvendosës:

4.0)4.02( =+== t

dtdv

dtda ee [cm/s2]

nxitimi relativ, meqë lëvizja është rrethore:

tr

nrr aaa rrr

+=

ku: ππ 40)40( === tdtdv

dtda r

tr [cm/s2] ,

22

2280

20)40(

tt

Rv

a rnr π

π=== [cm/s2] ,

Nxitimi i Koriolisit:

0x2 == recor va rrr ω ,

sepse 0=eω meqë trupi D nuk rrotullohet.

Për të caktuar nxitimin absolut projektojmë shprehjen (3) në akset x dhe y pra:

(x): )cos(80)sin(404.0)cos()sin( 2222 tttaaaa nr

treMx ππππαα −−=−−= ,

(y): )sin(80)cos(40)sin()cos( 2222 tttaaa nr

trMy ππππαα −=−= ,

aëherë meqë këto dy komponente janë normal në njëra tjetrën, nxitimi i pikës M do të jetë:

Dr. sc. Ahmet Shala

147

22 )()( MyMxM aaa += ,

pas zëvendësimit:

]/[)]sin(80)cos(40[)]cos(80)sin(404.0[ 22222222222 scmttttttaM ππππππππ −+−−=

Për kohën ][22

1 st = :

]/[)]sin(80)cos(40[)]cos(80)sin(404.0[ 2221

21

221

221

21

2211

scmttttttaM ππππππππ −+−−=

përkatsisht:

]/[181.414 21

scmaM =


148

DINAMIKA E PIKËS MATERIALE

PROBLEMI I PARË DHE I DYTË I DINAMIKËS

DETYRA 1: (Problemi i parë i Dinamikës)

Pika materiale M me masë m lëviz nëpër trajektoren në formë spiralje e cila është dhënë me ekuacionin ϕer = , ku ϕρ , paraqesin koordinatat polare të pikës M. Duke e ditur që pika materiale gjatë tërë kohës lëviz nëpër trajektore me shpejtësi konstante ov , të caktohet forca që e shkakton këtë lëvizje.

Zgjidhje:

M

ϕ or

ov

rr

cr

tr

nr

Fr

rF cF

Sipas ligjit të dytë të Dinamikës kemi:

amF rr⋅= ...............................................................................................................(1)

Dimë se nxitimi në koordinata polare është:

cr aaa rrr+= ,

2ϕ&&& rrar −= , )(12 2ϕϕϕ &&&&& rdtd

rrrac =+=

Caktojmë koordinatat )(trr = dhe )(tϕϕ = .

M

ϕ

rdr

ds

rr

dϕ rr

M’ s rdϕ

M’’

Nga katrori i gjatësisë elementare të harkut (shih trekëndëshin e përafërt MM’M’’ në figurën paraprake) kemi:

Dr. sc. Ahmet Shala

149

222 )()()( ϕrddrds += .........................................................................................(2)

kurse nga ϕer = rrjedehë që: ϕϕϕ rddedr == .

Zëvendësojmë në ekuacionin (2): 2222 )(2)()()( drdrdrds =+= , prej nga: drds 2= .

Nga: dtvvdtdsdtdsv o==⇒= .

Nga dy shprehjet e fundit marrim:

∫= / 2 dtvdr o ,

∫∫ =t

o

r

r

dtvdro 0

2 ,

tvrr oo =− )(2 .

Për 0=ot kemi 0=oϕ , prej nga 10 === eer oo

ϕ , atëherë:

tvr o=− )1(2 ,

12

1+= tvr o ........................................................................................................(3)

Nga drrd =ϕ , kemi: r

drd =ϕ , me integrim kemi:

∫∫ =r

roordrd

ϕ

ϕ

ϕ , përkatësisht: ∫∫ =r

rdrd

10

ϕ

ϕ dhe marrim:

)ln()1ln()ln()( 1 rrrnl r =−==ϕ ..........................................................................(4)

Nga (3) rrjedhë që: oo vtvdtdr

21)1

21( =+=& , 0=r&& .

Nga (4) rrjedhë që: ovr

rr

rdtd

2111))(ln( === &&ϕ .

Atëherë komponetet e nxitimit do të jenë:

r

vv

rrrra o

or 22110

222 −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−= ϕ&&& ,

r

vvv

rrv

rv

rr

dtd

rr

dtd

ra o

ooooc 221

211

211)

211(1)(1 2

22 ===== &&ϕ .

Nga shprehja (1) rrjedhë që:

cr amamamF rrrr+== .


150

Meqë rr amF rr= është normal me cc amF rr

= atëherë intensiteti i forcës F është:

r

mvr

vr

vmaamF ooo

cr

2222222

22

22=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+= .

Meqë shpejtësia është konstante, pra .konstvv o == atëherë: 0==dtdvaT , Naa rr

= , që do të

thotë se forca ka drejtimin e nxitimit normal përkatësisht drejtimin e normales në trjaktore.

DETYRA 2: (Forca funksion i kohës F= f(t) )

Pika materiale me masë m lëviz në rrafshin horizontal, nën veprimin e forcës jktFiktFF oorrr

⋅+⋅= cossin , ku oF , k janë konstante. Të caktohen ligjet e lëvizjes së kësaj pike materiale nëse në çastin fillestar, pra: 0=ot kemi: 0=ox , 0=ox& dhe 0=oy , 0=oy& .

Zgjidhje:

ir

jr

Fr

XY

x

y

Sipas ligjit të dytë të Dinamikës kemi;

FFam irrr

==⋅ ∑ , projektojmë në x dhe y, kemi:

(x): )sin(ktFXxm o==&& ,

)sin(ktmF

x o=&& ,

dtktmF

dtxdx o ⋅== /)sin(&

&& ,

∫= /)sin( dtktmF

xd o& ,

Dr. sc. Ahmet Shala

151

∫∫ =t

ox

x

dtktmF

xdo 0

)sin(&

&

& ,

( )1)cos()cos( 0 −−=−=− ktmkF

ktmkF

xx otoo&& ,

( )1)cos( −−= ktmkF

xx oo&& ,

( ) dtktmkF

xdtdxx o

o /1)cos( −−== && ,

( ) ∫−−= /1)cos( dtktmkF

dtxdx oo& ,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−= ∫∫∫∫

tto

t

o

x

x

dtdtktmkF

dtxdxo 000

)cos(& ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+= tkt

kmkF

txxx ooo )sin(1& ,

Pas zëvendësimit të kushteve fillestare kemi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= )sin(1)sin(1 kt

kt

mF

tktkm

Fx oo ,

(y): )cos(ktFYym o==&& ,

)cos(ktmF

y o=&& ,

dtktmF

dtydy o ⋅== /)cos(&

&& ,

∫= /)cos( dtktmF

yd o& ,

∫∫ =t

oy

y

dtktmF

ydo 0

)cos(&

&

& ,

)sin()sin( 0 ktmkF

ktmkF

yy otoo ==− && ,

)sin(ktmkF

yy oo += && ,

dtktmkF

ydtdyy o

o /)sin(+== && ,

∫+= /)sin( dtktmkF

dtydy oo& ,


152

∫∫∫ +=t

ot

o

y

y

dtktmkF

dtydyo 00

)sin(& ,

( )1)cos()cos(120 −−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−++= kt

mkF

tyyktkmk

Ftyyy o

ooto

oo && .

Pas zëvendësimit të kushteve fillestare kemi:

( ) ( ))cos(11)cos( 22 ktmkF

ktmkF

y oo −=−−= .

DETYRA 3: (Rënia e lirë, forca funksion i koordinatës F= f(x,y,z) )

Një trup A me masë m, i cili mund të konsiderohet si pikë materiale, bie lirisht në sipërfaqe të Tokës nga lartësia H. Të caktohet shpejtësia e rënies së këtij trupi në sipërfaqen e Tokës, duke marrë që forca tërheqëse e Tokës në trup është e shprehur nëpërmes ligjit të dytë të Dinamikës

mbi gravitacionin e përgjithshëm, pra: 2)(r

mMkrF ⋅= , ku: M – masa e Tokës, r – distanca e

trupit nga qendra e Tokës, k – konstante e përgjithshme e gravitacionit që duhet caktuar.

Zgjidhje:

F

R

y

x

y

H

Ao

A

rmg

A1 vr

Kur trupi ndodhet në sipërfaqe të Tokës (pozicioni A1) kemi:

mgF = , pra Rr = ,

prej nga rrjedhë se:

2RmMkmg ⋅

= ,

Dr. sc. Ahmet Shala

153

përkatësisht:

2RgMk ⋅=⋅ .

Duke e ditur se:

yHRr −+= ,

atëherë forca e gravitacionit të përgjithshëm do të jetë:

)()(

)( 2

2

2 yfyHR

mgRr

mMkrF =−+

=⋅

= .

Kështu pra, forca e cila vepron në trupin (pikën materiale) A është funksion i koordinatës y.

Sipas ligjit të dytë të Dinamikës për pozicionin e çfarëdoshëm A , kemi:

Famrr

=⋅ ,

projektojmë në drejtim të aksit të lëvizjes y dhe fitojmë:

2

2

)( yHRmgRFym

−+==⋅ && /:m ,

2

2

)( yHRgR

dyydy

dtdy

dyydy

−+===

&&

&&& / ⋅dy ,

dyyHR

gRydy 2

2

)( −+=⋅ && ∫/ ,

∫∫ −+=⋅

yy

yHRdygRydy

02

2

0 )(

&

&& ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−+

=−+

=HRyHR

gRyHR

gRyy

1112

2

0

22&

,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−+

=HRyHR

gRy 112& .

Për y=H, trupi A bie mbi sipërfaqe të Tokës, atëherë:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−+=

)(2112112 2

HRRRHRgR

HRRgR

HRHHRgRy& ,

HR

gRHyvr +==

2& .

Shprehja e fundit paraqet shpejtësinë e rënies së lirë të trupit A, mbi sipërfaqe të Tokës, apo ndryshe quhet edhe shpejtësia e rënies së lirë e llogaritur sipas Njutnit.

Nëse lartësia (H) nga e cila bie trupi nuk është aq e madhe në raport me rrezen e Tokës (R) , atëherë: RH << do të kemi:


154

gH

RHR

gRHvr 2)1(

2≈

+= ,

Shprehja e fundit quhet shpejtësia e rënies së lirë e llogaritur sipas Galileut.

Kështu për R = 6370km, g = 9.81m/s2, dhe H = 10km kemi:

Sipas Njutnit: sm

HRgRHvr 529.442

10)106370(101010637081.922

3

33≈

⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅=

+= .

Sipas Galileut: smgHvr 877.442101081.922 3 ≈⋅⋅⋅== .

Kurse për H = 20km do të kemi:

Sipas Njutnit: sm

HRgRHvr 553.609

10)206370(102010637081.922

3

33≈

⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅=

+= .

Sipas Galileut: smgHvr 464.610102081.922 3 ≈⋅⋅⋅== .

Nga analizat e fundit mund të konkludohet se, shprehje më e saktë është shprehja e dhënë sipas Njutnit, por për lartësi të vogla të rënies (H) këto dy shprehje janë të përafërta.

DETYRA 4: (Satelitët artificial të Tokës)

Duke e ditur se rrezja e Tokës është R = 6370km dhe shpejtësia këndore e rrotullimit të saj,

rreth boshtit të vet (qendrës) është s

rad5107 −⋅=ω , të caktohet lartësia mbi sipërfaqe të

Tokës, në të cilën duhet të vendoset një trup (pikë materiale) me masë m , ashtuqë ai të jetë satelit artificial i Tokës, p.sh pranuesit-dhënësit të sinjalit televizivë satelitor.

Zgjidhje:

F

R

vs

y

h

S

v

ω

sa

Dr. sc. Ahmet Shala

155

Një pikë në sipërfaqen e Tokës e ka shpejtësinë:

ω⋅= Rv .

Një trup (pikë materiale) nëse është satelit artificial i Tokës atëherë do të ketë shpejtësinë ndaj qendrës së Tokës:

ω⋅+= )( hRvs .

Sipas detyrës paraprake në këtë trup (satelit artifiacial të Tokës) vepron forca e gravitacionit të përgjithshëm, e cila është:

2

2

2 )()( hRmgR

hRkF

+=

+= ,

ku k është caktuar nga mgF = dhe 0=h prej të cilës rrjedhë: 2mgRk = .

Meqë Toka dihet se rrotullohet me shpejtësi këndore konstante atëherë nxitimi i trupit - satelitit është i barabartë me nxitimin normal, pra:

2

2222

)(

)(

ω

ω

⋅+=

+⋅+

=+

===

hRa

hRhR

hRv

Rv

aa

s

s

L

sNs .

Sipas ligjit të Njutnit, për këtë satelit kemi:

Fam srr

=⋅ ,

projektojmë në drejtim të normales (aksit y ) dhe fitojmë:

Fam N =⋅ ,

2

22

)()(

hRmgRhRm

+=⋅+⋅ ω ,

2

23)(

ωgRhR =+ ,

32

2

ωgRhR =+ ,

RgRh −= 32

2

ω,

6370)107(637010805.9

325

233

2

2−

⋅

⋅⋅=−=

−

−RgRh

ω,

kmh 217.36932= .


156

DETYRA 5 (Hedhja e pjerrët):

Nga një armë ushtarake – TOP artilerie, i vendosur në lartësin mbidetare h, është bërë një gjuajtje e një predhe në drejtim të një caku në sipërfaqen e detit. Predha në momentin e daljes nga gypi i Topit ka shpejtësinë fillestare vo, drejtimi i të cilës me horizontalen formon këndin α. Të caktohen ekuacionet e lëvizjes, ekuacioni i trajektores, lartësia H dhe largësia L e rënies së predhës.

H

ovr y

L

gmr

M

O α

vr Mvr

x

h C

Sipas ligjin të dytë të dinamikës kemi:

gmFam rrr==⋅ , e projektojmë në x dhe y fitojmë:

,0==⋅=⋅ X

dtdv

mam xx

mgY

dtdv

mam yy −==⋅=⋅ .

Ndajmë ndryshoret:

10 Ckonstvdv xx ==⇒= , ∫⋅−= / dtgdvy ,

dhe kryejmë integrimin e parë:

dtC

dtdxvx / 1== , dtCtg

dtdyvy / 3+⋅−== .

Ndajmë ndryshoret:

∫= / 1dtCdx , ( )dtCtgdy ∫ +⋅−= 3 ,

dhe kryejmë integrimin e dytë:

21 CtCx += , 43

2

2CtCtgy ++⋅−= .

Dr. sc. Ahmet Shala

157

Për to=0 kemi:

,cos

,0

αoo

o

vx

x

=

=

&

.sin

,

αoo

o

vy

hy

=

=

&

Nga këto kushte fillestare caktojmë konstatet e integrimit:

21 0 CCxo +⋅= 02 ==⇒ oxC ,

1Cxo =& αcos1 ovC =⇒ ,

43

20

20 CCgyo +⋅+⋅−= hyC o ==⇒ 4 ,

30 Cgyo +⋅−=& αsin3 oo vyC ==⇒ & .

Kështu projeksionet e shpejtësisë do të jenë:

.sin

,cos

α

α

oy

ox

vtgv

vv

+⋅−=

=

Ligjet e lëvizjes së pikës do të jenë:

αcos⋅⋅= tvx o ,

htvtgy o +⋅⋅+⋅−= αsin2

2.

Trajektoria e pikës

Trajektoria caktohet duke eliminuar kohën t nga shprehjet e ekuacioneve të lëvizjes, ashtuqë fitojmë ekucionin y = f(x), pra:

α

αcos

cos⋅

=⇒⋅⋅=o

o vxttvx ,

htvtgy o +⋅⋅+⋅−= αsin2

2 ,

hv

xvv

x

gyo

oo +⋅

⋅⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅−= αα

αsin

cos2cos

2

,

222 cos2

xv

gtgxhyo

⋅⋅⋅

−⋅+=α

α .

Shprehja e fundit paraqet ekuacionin e trajektores së predhës.

Largësia e rënies së predhës

Largësia e rënies së predhës (L) caktohet për t = t1, y = 0 dhe x = L, pra:


158

,coscos 1 αα ⋅⋅=⇒⋅⋅= tvLtvx oo

⇒+⋅⋅+⋅−=⇒+⋅⋅+⋅−= htvt

ghtvtgy oo αα sin2

0sin2 1

21

2

prej nga koha e nevojshme për të arritur në largësinë L (pika C) është:

)

2(2

)2

(4)sin(sin 2

1 g

hgvvt

oo

−

−⋅−⋅±⋅−=

αα,

g

hgvvt oo ⋅⋅+⋅+⋅

=2)sin(sin 2

1αα

.

Merret (+) sepse t1>0.

Kurse largësia maksimale është:

ααα

cos2)sin(sin 2

⋅⋅⋅+⋅+⋅

⋅=g

hgvvvL oo

o .

Lartësia më e madhe

Lartësia më e madhe H (koordinata yM e pikës M) caktohet nga vy=0, (shpejtësia në drejtim vertikal në pikën më të lartë është zero), pra:

,0sinsin 2 =α+⋅−⇒α+⋅−= ooy vtgvtgv

ku është: αsin2 gv

t o= , koha e nevojshme për të arritur lartësinë më të madhe.

Pas zëvendësimit të kohës t2 në ekuacionin e lëvizjes për y:

htvt

gy o +⋅⋅+⋅−= αsin2

2

,

fitojmë lartësinë ( y = H, t = t2) më të madhe:

htvt

gH o +⋅⋅+⋅−= αsin2 2

22 ,

hgv

vgv

gH oo

o

+⋅⋅+⋅−= ααα

sinsin2

)sin( 2

,

.sin2

),211(sin

22

22

α

α

gv

hH

gv

hH

o

o

+=

−+=

Dr. sc. Ahmet Shala

159

DETYRA 6: (Lëvizja e pikës nën veprimin e forcave tërheqëse)

Pika materiale M, me masë m, lëviz nën veprimin e dy forcave tërheqëse, AFr

dhe BFr

, qendrat e tërheqjes së të cilave janë pikat A(a, 0) dhe B(0, b). Intensiteti i forcave është proporcional me distancën e pikës M nga qendrat e tërheqjes me koeficient proporcinaliteti k. Të caktohen ekuacionet e lëvizjes së pikës. Në çastin fillestar pika materiale ndodhej në pozicionin A dhe ka shpejtësinë fillestare vo, e cila është paralel me aksin horizontal x.

Zgjidhje:

y

A(a, 0)

BFr

M(x, y)

B(0, b)

x

AFr

O

Sipas ligjit të Njutnit kemi:

BA FFamrrr

+= ................................................................................................................(1)

Forca tërheqëse kah A, si vektor është:

MAkFA =r

, kurse MBkFB =r

,

ku:

jyixaMArr

)()( −+−= , kurse jbyixMBrr

)( −−⋅−= ,

atëherë

jkyixakMAkFArrr

)()( −+−== , kurse jbykikxMBkFBrrr

)( −−⋅−== ,

Ekuacionin (1) e projektojmë në drejtim të akseve x dhe y:

(x): kxxakxm −−= )(&& , (y): )( bykkyym −−−=&& ,

mkax

mkx =+

2&& ,

mkby

mky =+

2&& ,

vh xxx += , vh yyy += ,

)2sin()2cos( 21 tmkCt

mkCxh += , )2sin()2cos( 43 t

mkCt

mkCyh += ,

.1 konstKxv == , 0==⇒ vv xx &&& , .2 konstKyv == , 0==⇒ vv yy &&& ,


160

vxaKmkaK

mk

==⇒=2

211 , vybK

mkbK

mk

==⇒=2

222 ,

2

2sin2cos 21at

mkCt

mkCx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

22sin2cos 43

btmkCt

mkCy +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ....(2)

Konstantet 4321 dhe , , CCCC caktohen nga kushtet fillestare:

0=ot , axo = dhe oo vx =& , 0=oy dhe 0=oy& .

Caktojmë derivatet:

.2cos22sin2

,2cos22sin2

43

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

tmk

mkCt

mk

mkCy

tmk

mkCt

mk

mkCx

&

&

............................................................(3)

Zëvendësojmë kushtet fillestare në ekuacionet (2) dhe (3):

2

01 21aCCa +⋅+⋅= ,

2010 43

bCC +⋅+⋅= ,

120221 ⋅+⋅−=

mkC

mkCvo , 12020 43 ⋅+⋅−=

mkC

mkC ,

prej nga marrim:

21aC −= ,

k

mvoC22 = ,

23bC −= ,

04 =C .

Kështu përfundimisht fitojmë ekuacionet e lëvizjes:

2

2sin2

2cos2

)( atmk

kmvt

mkatx o +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ,

dhe

2

2cos2

)( btmkbty +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= .

Dr. sc. Ahmet Shala

161

LIGJET E PËRGJITHSHME TË DINAMIKËS

DETYRA 1 (Sasia e lëvizjes)

Aeroplani me peshë P = 9.805 kN, fillon lëvizjen në pistë, me çrast ndryshimi ndërmjet forcës tërheqëse dhe forcës së rezistencës është konstant dhe atë kNFr 3= . Të caktohet:

a) sa kohë i nevojitet aeroplanit që të shkëputet nga sipërfaqja e Tokës nëse shpjetësia në të cilën ai e arrin këtë është 60m/s dhe

b) sa kohë i nevojitet aeroplanit që të shkëputet nga sipërfaqja e Tokës nëse 10 sekondat e parë aktivizohen motorët ndihmës, të cilën kanë forcë shtytëse konstante dhe atë 1.5kN.

y

rFr

x O pista

Zgjidhje:

Lëvizjen e aeroplanit nëpër pistë do ta konsiderojmë si lëvizje translatore drejtëvizore, përkatësisht si lëvizje drejtvizore të pikës materiale.

a) Për të caktuar kohën e shkëputjes nisemi nga ligji mbi ndryshimin e sasisë së lëvizjes:

∫=−shT

ro dtFvmvm0

rrr ,

projektojmë në drejtim të lëvizjes (x): ∫=−shT

ro dtFmvmv0

,

ku: 0=ov , gPm = , smv /60= , .3 konstkNFr == ,

atëherë: shr

T

r TFdtFvgP sh

⋅== ∫0

, prej nga: sFv

gPT

rsh 20

360

805.9805.9

=== .

b) Koha e shkëputjes edhe në këtë rast caktohet nga ligji mbi ndryshimin e sasisë së lëvizjes:

∫∫ +=−shT

rpo dtFdtFvmvm0

10

0

rrrr ,

projektojmë në drejtim të lëvizjes (x): ∫∫ +=−shT

rpo dtFdtFmvmv0

10

0

r,


162

ku: .5.1 konstkNFp == e cila vepron 10 sekundat e parë.

0=ov , gPm = , smv /60= , .3 konstkNFr == ,

atëherë: shrp

T

rp TFFdtFdtFvgP sh

⋅+⋅=+= ∫∫ 100

10

0

,

prej nga: sF

FFv

gPT

r

p

rsh 15

3105.1

360

805.9805.910

=⋅

−=⋅

−= ,

DEYTRA 2 (Sasia e lëvizjes)

Një predhë me masë m, është lansuar me shpejtësi fillestare ov , drejtimi i të cilës me horizontalen formon këndin α. Caktoni kohën e nevojshme që predha të arrijë lartësinë më të madhe dhe shpejtësinë për këtë pozicion.

Zgjidhje:

H ovr

y M

O α

Mvr

x Zbatojm ligjin mbi ndryshimin e sasisë së lëvizjes prej pozicionit O në M:

∫=−T

oM dtgmvmvm0

rrr ,

projektojmë në drejtim të aksit y:

mgTmvm o −=−⋅ αsin0 ,

prej nga koha e arritjes së lartësisë më të madhe do të jetë:

g

vT o αsin

= .

Nëse projektojmë në drejtim të aksit x kemi:

0cos =−⋅ αoM mvvm ,

prej nga shpejtësia në pozicionin kur predha arrin lartësinë maksimale është:

αcosoM vv = .

Dr. sc. Ahmet Shala

163

DETYRA 3: (Momenti kinetik)

Nëpër pllakën e lëmuar horizontale, rrëshqet sferëza M me masë m, e cila është e lidhur me një litar. Litari kalon nëpër një vrimë të hapur në pllakë dhe tërhiqet me shpejtësi konstante vr . Në çastin fillestar sferëza gjendet në distancën R nga vrima O dhe ka një shpejtësi fillestare ovr e cila ka drejtim normal në distancën R. Të caktohet ligji i lëvizjes së sferëzës dhe forca në litar.

R

ovr

z

M

O ϕ x

Mo

Zgjidhje:

Për pozicionin e çfarëdoshëm të sferëzës M bëjmë lirimin nga lidhjet dhe zbatojmë ligjin mbi ndryshimin e momentit kinetik për pikën O.

∑=

=n

i

FO

oj

iMdtLd

1

rrr

.

Nga figura e mëposhtme shihet se ∑=

n

i

FO

jiM

1

rr është e barabartë me zero, pasiqë asnjë forcë nuk

jep moment për pikën O.

R

ovr

z

M

O ϕ x

Mo

rrSr

gmr

Nr

vr

Nga shprehja paraprake rrjedhë që:

.konstLo =r


164

përkatësisht momenti kinetik në çfarëdo çasti të kohës është i barabartë me momentin kinetik në çastin filestar, pra:

( )0oo LL = ,

( ) RmvL oo =0 ,

ϕ&2 rmLo = ,

kështu:

Rmvrm o=ϕ&2 ,

2rRvo=ϕ& .

Me detyrë është dhënë se shpejtësia me të cilën tërhiqet litari është konstante dhe atë me intensitet v, atëherë:

vr −=& ,

kështu:

vdtdr

−= vdtdr −=⇒ ,

përkatësisht:

∫∫ −=tr

R

dtvdr0

,

tvRr ⋅−= .

Zëvendësojmë në shprehjen për shpejtësi këndore dhe fitojmë:

2)( tvRRvo

⋅−=ϕ& ,

2)( tvRRv

dtd o

⋅−=

ϕ ,

dttvR

Rvd o

2)( ⋅−=ϕ ,

∫∫ ⋅−=

to dt

tvRRv

d0

20 )(

ϕ

ϕ ,

tvR

vo⋅−

=ϕ .

Nëse zbatojmë ligjin e Njutnit, të projektuar në drejtim të vektorit rr , përkatësisht distancës OM do të kemi:

Sam r −=⋅ ,

Dr. sc. Ahmet Shala

165

2ϕ&&& rrar −= ,

ku:

0)( =−== vdtd

dtrdr&

&& , meqë .konstv =

tvRr ⋅−= ,

2)( tvRRvo

⋅−=ϕ& ,

atëherë:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−⋅−=−= 0

)()()(

2

22

tvRRv

tvRmrrmS o&&&ϕ ,

3

44

)( tvRRvm

S o

⋅−

⋅⋅= .

DETYRA 4 (Lëvizja e pikës nën veprimin e forcës qendrore, ekuacioni i Bineut)

Të caktohet forca qendrore Fr nën veprimin e të cilës lëviz pika materiale me masë m, nëse

trajektorja e saj është dhënë në koordinata polare me shprehjen ϕcos1 e

pr+

= , ku p dhe e

janë konstante.

Zgjidhje

Nga teoria dimë se ekuacioni i Bineut për lëvizje të pikës nën veprimin e forcës qëndrore ka formën:

2

2

2

2

411

mcFr

rrdd r−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ϕ,

ku:

Fr – forca qëndrore,

r , ϕ - koordinatat polare të pikës materiale me masë m,

ϕ&22 rc = - shpejtësia sektoriale e pikës.

Nga shprehja e trajektores marrim që:

)cos1(11 ϕepr

+= ,

përkatësisht:

ϕϕϕϕ

cos)cos1(112

2

2

2

pee

pdd

rdd

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .


166

Pas zëvendësimit në ekuacion të Bineut fitojmë:

2

2

4)cos1(1cos

mcFre

ppe r−=++− ϕϕ ,

prej nga:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ϕϕ coscos4

2

2

pe

pe

pe

rmcFr ,

përkatësisht forca qendrore do të jetë:

2

2 14rp

mceFr ⋅⋅

−= .

DETYRA 5: (Energjia kinetike, puna e forcave)

Sa duhet të jetë ho, për të cilën duhet shtypur (shkurtuar) sustën me ngurtësi c = 5N/m dhe gjatësi fillestare AB, e cila është e vendosur në gypin e pjerrët, ashtuqë sferëza me masë m = 1kg, që mund të konsiderohet si pikë materiale, të kaloj pengesën e cila e ka lartësinë maksimale 5m në pikën C(9;0). Koeficienti i fërkimit ndërmjet gypit dhe sferëzës është µ=0.1. Gjithashtu caktoni largësinë D ku bie sferëza. Rezistencat tjera të neglizhohen.

B

C (9;0)

A

D

8

6

ho 5

x

y

c Mo

Zgjidhje:

Dr. sc. Ahmet Shala

167

B

C (9;0)

A

D

8

6

ho 5

x

y

c Mo

α

α

vB

Fc

Fµ

mg

mg v

Sëpari analizojmë gypin AB. Me qëllim të caktimit të shpejtësisë në pozicionin B zbatojmë ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike prej pozicionit Mo (marrim që susta është shtypur për madhësinë ho, të cilën duhet caktuar pastaj) deri në pozicionin B, që është i barabartë me punën e forcave që veprojnë në atë pjesë, e që janë puna e peshës mg, puna e forcës së sustës Fc dhe puna e forcës së fërkimit Fµ, pra:

)()()()()(c

Mk

Bk FAFAmgAEE o ++=− µ ...................................................................(1)

021 2)( == o

Mk mvE o , meqë sferëza lëshohet lirisht, pa shpejtësi fillestare.

2

21

BB

k mvE = ,

mgHmgA −=)( , ooooo hhhhhH54

108

1008

68

8sin22

===+

== α ,

omghmgA54)( = ,

ohFFA µµ −=)( , NF ⋅= µµ ,

nga αcos0 mgNym −==&& , 53

106

1006

68

6cos22

===+

=α ,

mgmgN53cos == α ,

oo hmghFFA ⋅⋅−=−= µµµ 53)( ,

221)( oc chFA = .


168

Pas zëvendësimit në shprehjen (1) fitojmë:

22

21

53

54

21

oooB chhmghmgmv +⋅⋅−⋅−= µ ,

prej nga:

22 )56

58( ooB h

mchggv +⋅+−= µ ......................................................................................(2)

Për lëvizjen e sferëzës pas daljes nga gypi, zbatojmë ligjin e dytë të Dinamikës (hedhja e pjerrët) dhe kemi:

gmam rr= ,

përkatësisht të projektuar në drejtim të akseve x dhe y:

0=xm && dhe mgym −=&& ,

pas zgjidhjes së këtyre ekuacioneve diferenciale dhe zëvendësimit të kushteve fillestare:

αcos,00 Booo vxxt ==⇒= & dhe αsin,0 Boo vyy == & ,

ekuacionet e lëvizjes së sferëzës do të jenë:

.sin

2

,cos

2α

α

⋅⋅+⋅−=

⋅⋅=

tvtgy

tvx

B

B

Lartësia më e madhe ( y = H = 5m, t = t2) caktohet me shprehjen:

αsin2 2

22 ⋅⋅+⋅−= tvtgH B ,

ku: t2 koha për të cilën sferëza arrin lartësinë më të madhe H dhe atë H = 5m, atëherë:

54

25 2

22 ⋅⋅+⋅−= tvtg B ...................................................................................................(3)

Nga kushti që lartësia më e madhe është në pikën C(9; 0), pra për x = 9m kemi:

αcos2 ⋅⋅= tvx B ,

539 2 ⋅⋅= tvB prej nga:

Bvt 152 = .

Zëvendësojmë në ekuacionin (3) dhe fitojmë:

5415

2

15

5

2

⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−=B

BB

vv

vg , gvB 14

2252 = ,

duke e krahasuar me shprehjen (2) kemi:

ghmchgg oo 14

225)56

58( 2 =+⋅+− µ ,

Dr. sc. Ahmet Shala

169

014225)

56

58(2 =−⋅+− ghggh

mc

oo µ .

Pas zëvendësimit të të dhënave fitojmë këtë ekuacion kuadratik sipas ho, pra:

0580.157865.165 2 =−⋅− oo hh ,

prej nga kemi dy zgjidhje: mho ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

548.7175.4

, përvetësohet shkurtimi i sustës më i madh se

zero (si mundësi reale), pra mho 548.7= .

Gjithashtu dihet se për hedhje të pjerrët lagësia më e madhe caktohet nga:

g

vL B αα cossin2 2 ⋅⋅

= ,

pas zëvendësimeve fitojmë largësinë ku bie sferëza:

mg

g

gv

g

v

gvL B

BB 429.15

142522524

251422524

25245

3542cossin2 2

22

=⋅

⋅=

⋅=

⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

αα.

DETYRA 6:(Energjia kinetike, sasia e lëvizjes, puna e forcave)

Sferëza me masë m lëvizë nëpër një gyp aksi i të cilit shtrihet në rrafshin vertikal. Në çastin fillestar ajo ndodhej në pozicionin A, e cila ndodhet në lartësinë H. Nëse sferëza lëshohet pa shpjetësi fillestare, të caktohet shpjetësia e sferëzës kur ajo arrin në pozicionet B, C, D, E dhe madhësia e shkurtimit maksimal (h) të sustës me ngurtësi c në krahasim me gjatësinë e saj fillestare të padeformuar (lo). Për pozicionin C të caktohet shtypja e sferëzes në gyp. Pjesën DE të kanalit sferëza e kalon për kohen τ. Fërkimi të neglizhohet në pjesën rrethore kurse në atë vijëdrejtë të merret µ.

α α β β

A

C

D

Fh

B

H

E

Zgjidhje:


170

A

C

D

R

Fh

B

H

E

α α β β

mg

NµF

α

C

mg

NCCv

tr

nr mg

N vx

β

y

µF

cF

Bvh1 h2

h3

Pjesa AB

Në këtë pjesë me qëllim të caktimit të shpejtësisë së sferëz në pozicionin B, meqë dihet rruga (gjatësia AB), zbatojmë ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike prej pozicionit A në B, që është i barabartë me shumën e punëve të të gjitha forcave që veprojnë në atë pjesë, pra:

)()()()()( NAFAmgAEE Ak

Bk ++=− µ ,

2)(

21

BB

k mvE = ,

021 2)( == A

Ak mvE , pasi që Av =0, sferëza lëshohet të lëviz pa shpejtësi fillestare.

mgHmgA =)( ,

α

µµµ sin)( HNABFFA ⋅⋅−=−= .

Nga: ⇒−== αcos0 mgNym && αcosmgN = , meqë sferëza nuk mund të lëvizë në drejtim normal me aksin e gypit.

atëherë:

αµα

αµµµ ctgsin

cos)( ⋅⋅⋅−=⋅⋅−=−= HmgHmgABFFA .

0)( =NA , meqë projeksioni i forcës së reaksionit (N) në drejtim të lëvizjes është zero.

Pas zëvendësimit kemi:

αµ ctg21 2 ⋅⋅⋅−= HmgmgHmvB ,

Dr. sc. Ahmet Shala

171

prej nga:

αµ ctg222 ⋅⋅⋅−= HggHvB ,

përkatësisht

)ctg1(2 αµ ⋅−= gHvB .

Pjesa BC

Sëpari caktojmë shpejtësinë e sferëzës në pozicionin C, përmes ligjit mbi ndryshimin e energjisë kinetike prej pozicionit B në C, pra:

)()()( mgAEE Bk

Ck =− ,

2)(

21

CC

k mvE = ,

2)(

21

BB

k mvE = ,

)cos()( 1 αRRmghmgmgA −⋅=⋅= .


)cos1(21

21 22 α−⋅⋅=− Rmgmvmv BC ,

prej nga:

)cos1(222 α−⋅⋅+= Rgvv BC ,

përkatësisht

)cos1(22 α−⋅⋅+= Rgvv BC .

Sipas ligjit të dytë të Njutnit, për pozicionin C, të projektuar në drejtim të normales (n) kemi:

mgNam CN −=⋅ ,

ku: R

va C

N

2= .

atëherë shtypja (reaksioni) e gypit në sferëz, në pozicionin C do të jetë:

mgR

vmN C

C +⋅=2

.

Pjesa CD

Me qëllim të caktimit të shpejtësisë së sferëzës kur ajo arrin në pozicionin D, zbatojmë ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike prej pozicionit C në D, pra:

)()()( mgAEE Ck

Dk =− ,

2)(

21

DD

k mvE = , 2)(

21

CC

k mvE = ,


172

)cos()( 2 βRRmghmgmgA −⋅−=⋅−= .


)cos1(21

21 22 β−⋅⋅−=− Rmgmvmv CD ,

prej nga:

)cos1(222 β−⋅⋅−= Rgvv CD ,

përkatësisht

)cos1(22 β−⋅⋅−= Rgvv CD .

Pjesa DE

Meqë për pjesën DE dihet se atë sferëza e kalon për kohën τ, zbatojmë ligjin mbi ndryshimin e sasisë së lëvizjes prej pozicionit D në E, që është i barabartë me impulsin e forcave për të njëjtën kohë, përkatësisht të projektuar në drejtim të lëvizjes (aksi x), pra:

)()( µFImgIvmvm xxDxEx +=⋅−⋅ ,

EEx vv = ,

DDx vv = ,

βµµµ cos⋅⋅=⋅= mgNF ,

Nga:

⇒−== βcos0 mgNym && βcosmgN = ,

meqë sferëza nuk mund të lëvizë në drejtim normal me aksin e gypit.

τβ ⋅⋅−= sin)( mgmgI x ,

τβµτµµ ⋅⋅⋅−=⋅−= cos)( mgFFI x ,

Pas zëvendësimit fitojmë shprehjen për shpejtësinë e sferëzës në pozicionin E, me të cilën ajo e godet sustën, pra:

τβµτβ ⋅⋅⋅−⋅⋅−=⋅−⋅ cossin mgmgvmvm DE ,

përkatësisht:

τβµβ ⋅⋅−⋅−= )cos(singvv DE .

Pjesa EF

Shëhojmë me F, pozicionin në të cilën supozojmë se do të arrijë sferëza pas goditjes së sustës në pozicionin E me shpejtësi Ev . Kuptohet që pozicionin F e kemi marrë ashtuqë në atë pozicion sferëza ndalet, pra shpejtësinë e ka zero, dhe sustën e shtyp (shkurton) për madhësinë h, të cilën duhet caktuar.

Kushtimisht mund të marrim që në këtë rast dihet rruga (h) të cilën e kalon sferëza, atëherë zbatojmë ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike prej pozicionit E në F, pra:

)()()()()(c

Ek

Fk FAFAmgAEE ++=− µ ,

Dr. sc. Ahmet Shala

173

021 2)( == F

Fk mvE pasi që Fv =0, sferëza ndalet.

2)(

21

EE

k mvE = .

βsin)( 3 ⋅⋅−=⋅−= hmghmgmgA ,

hNEFFFA ⋅⋅−=−= µµµ )( ,

Nga:

⇒−== βcos0 mgNym && βcosmgN = ,

meqë sferëza nuk mund të lëvizë në drejtim normal me aksin e gypit.

atëherë:

βµβµµµ coscos)( ⋅⋅⋅−=⋅⋅−=−= hmghmgEFFFA ,

22

)(2

0

2

00

hcxcxdxcdxFFAhhh

cc ⋅−=⋅−=⋅−=−= ∫∫ ,

shenja (-) meqë forca në sustë në këtë rast e pengon lëvizjen.


2

cossin21 2

2 hchmghmgmvE ⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−=− βµβ ,

prej nga kemi fituar një ekuacion kuadratik sipas h, pra:

0)cos(sin2 22 =−⋅⋅+⋅+⋅ Evhghmc βµβ ,

prej nga kemi zgjidhjet:

( )

mc

vmcgg

hE

2

)(4)cos(sin2)cos(sin2 22

2/1

−−⋅+⋅±⋅+⋅−=

βµββµβ,

përkatësisht:

( )

mc

vmcgg

hE

2

4)cos(sin2)cos(sin2 22

2/1

+⋅+⋅±⋅+⋅−=

βµββµβ.

Meqë reale është që madhësia h është më e madhe ose e barabartë me zero, atëherë madhësia maksimale për të cilën është shtypur (shkurtuar) susta është:


174

( )

mc

vmcgg

hE

2

4)cos(sin2)cos(sin2 22 +⋅+⋅+⋅+⋅−=

βµββµβ,

përkatësisht:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−+⋅+⋅= )cos(sin)cos(sin 22 βµββµβ gv

mcg

cmh E ,

dhe kuptohet se duhet të plotësohet kushti:

( ) )cos(sin)cos(sin 22 βµββµβ ⋅+⋅≥+⋅+⋅ gvmcg E .

DETYRA 7: (Lavjerrësi matematik)

Pika materiale M me masë m, është e lidhur përmes litarit të pazgjatshëm për pikën O dhe lëshohet nga pozicioni Mo , me shpejtësi fillestare vo, ku LOM o = me vertikalen formon këndin α. Gjatë lëvizjes në rrafshin vertikal, litari e godet një pengesë që gjendet në pikën O1, ku lOO =1 dhe me vertikalen formon këndin β. Të caktohet sa duhet të jetë gjatësia l, ashtuqë gjatë goditjes së litarit në pengesën O1, forca në litar të rritet për dy herë dhe për këtë l të caktuar, sa duhet të jetë shpejtësia fillestare vo e pikës materiale Mo ashtuqë litari pas goditjes në pengesën O1, të mbështillet përreth kësaj pike.

M

ϕ

O

vo

α Mo

ψ O1

M

β

A

Zgjidhje:

Dr. sc. Ahmet Shala

175

mg

M

aTtr

nr

v

aN

ϕ

ϕ

O

S vo

α Mo

ψ

mg

ϕ

O1 M

β

β+ψ

S1 1nr

1tr

A

Lëvizja e pikës për βαϕ +≤≤0 , është lëvizje rrotulluese nëpër rrethin me rreze L, atëherë shpejtësia e pikës M është:

ϕ&⋅= Lv , ku dtdϕ

=ϕ& .

Nxitimi i pikës, meqë ajo bën lëvizje rrethore është:

NT aaa rrr+= ,

ku:

ϕ&&LaT = dhe 2ϕ&LaN = .

Ekuacioni themelor i Dinamikës së pikës jo të lirë (të lidhur) është:

Sgmamrrr

+=⋅ ................................................................................................................(1)

apo të projektuar në drejtim të tangjentës (t) dhe normales (n) fitojmë:

(a) )sin( ϕαϕ −=⋅⋅=⋅ mgLmam T && ,

(b) SmgLmam N +−−=⋅⋅=⋅ )cos(2 ϕαϕ& .

Nga shprehja (b) )cos(2 ϕαϕ −⋅⋅+⋅⋅=⇒ gmLmS & , pra caktohet forca në litar në funksion të këndit ϕ dhe shëpejtësisë këndore ϕ& të cilat caktohen nga shprehja (a):

ϕϕαϕϕϕϕ

ϕϕϕ dmg

ddLm

dtd

ddLm

dtdLm ⋅−=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ /)sin(

&&

&&,

∫⋅−=⋅ /)sin( ϕϕαϕϕ dLgd && ,


176

∫∫ ⋅−=⋅ϕϕ

ϕ

ϕϕαϕϕ0

)sin( dLgd

o

&

&

&& ,

)cos)(cos())cos()(cos()cos(22 0

22ααϕααϕαϕ

ϕϕ ϕ −−=−−−=−=−Lg

Lg

Lgo&&

,

22 )(Lvo

o =ϕ& ,

)cos)(cos(222 ααϕϕ −−+=

Lg

Lvo& .

Pas zëvendësimit forca në litar do të jetë:

.cos2)cos(3

),cos(cos2)cos(2

2

2

αϕα

ϕαααϕ

⋅−−⋅+=

−⋅+⋅−−⋅+=

mgmgmvS

mgmgmgmvS

o

o

Kështu në çastin kur litari e godet pengesën O1, këndi βαϕ += , atëherë forca në litar do të jetë:

.cos2cos3)(

,cos2)cos(3)(

2

2

αββαϕ

αβααβαϕ

⋅−⋅+=+=

⋅−−−⋅+=+=

mgmgmvS

mgmgmvS

o

o

Pas goditjes në pengesën O1 , pika materiale M, do të vazhdojë lëvizjen por si lavjerrës matematik me gjatësi (L – l). Lëvizjen e lavjerrësit në këtë rast e përcakton ndryshimi i këndit ψ dhe për βπψ −≤≤0 , ligji i përgjithshëm i Dinamikës do të jetë:

1Smgamrr

+= ,

apo i projektuar në drejtim të normales (n1)

1

2)cos( Smg

lLvmmaN ++−=−

= ψβ ,

prej nga:

)cos(2

1 ψβ ++−

= mglL

mvS ............................................................................................(2)

Shpejtësinë v mund të caktojmë duke projektuar në drejtim të tangjentës t1 ose ndoshta më lehtë është duke zbatuar ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike prej pozicionit A deri në pozicionin M, të përcaktuar me këndin ψ , pra:

)]cos()(coscos[21

21 22 ψβββ +−−−−=− lLlLmgmvmv A ,

)]cos([cos222

ψββ +−−−

=−

mglL

mvlL

mv A , ......................................................................(3)

atëherë me barazimin e (2) me (3) marrim:

Dr. sc. Ahmet Shala

177

.cos2)cos(3

)],cos([cos2)cos(

2

1

2

1

βψβ

ψββψβ

mgmglL

mvS

mglL

mvmgS

A

A

−++−

=

+−−−

++=

Me detyrë është dhënë se kjo forcë duhet të rritet për dy herë, atëherë nga ky kusht gjejmë se sa duhet të jetë gjatësia l, pra:

)(3)0(1 βαϕψ +=== SS ,

)cos(cos2)cos(3)0(22

1 βββψ mglL

mvmgmg

lLmv

S AA +−

=−+−

== ,

3 ]cos2cos3[3)( 2 αββαϕ ⋅−⋅+=+= mgmgmvS o ,

atëherë:

,cos6cos83

,cos6cos83

],cos2cos3[3)cos(

2

2

22

22

αβ

αβ

αββ

⋅−⋅+=−

⋅−⋅+=−

⋅−⋅+=+−

ggvv

lL

ggvlL

v

mgmgmvmglL

mv

o

A

oA

oA

αβ cos6cos83 2

2

⋅−⋅+−=

ggvv

Llo

A ...............................................................................(4)

Në momentin e goditjes këndi 0=ψ , atëherë:

.

,0]cos)(coscos[21

21

22

22

ϕ

βββ

&Lvvvv

lLlLmgmvmv

AA

A

==⇒=

=−−−−=−

Nga:

)cos)(cos(222 ααϕϕ −−+=

Lg

Lvo& ,

për βαϕ += , kemi:

)cos(cos2)cos(cos2 222 αβϕαβϕ −+=⇒−+=

Lg

Lv

Lg

Lv oo && ,

atëherë:

)cos(cos22 αβϕ −+== LgLvLv oA & .

Pas zëvendësimit në (4), fitojmë gjatësinë e nevojshme l:


178

αβ

αβcos6cos83

)cos(cos22

2

⋅−⋅+

−+−=

ggvLgLv

Llo

o ,

αβ

αβαβcos6cos83

)cos(cos2cos6cos832

22

⋅−⋅+

−−−⋅−⋅+=

ggvgvggv

Llo

oo ,

αβαβ

cos6cos83cos4cos62

2

2

⋅−⋅+

⋅−⋅+=

ggvggv

Llo

o .

Në mënyrë që litari të mbështillet përreth pengesës O1, kusht i nevojshëm është që për βπψ −= (pozicioni më i lartë i pikës materiale) forca në litar të jetë më e madhe ose baraz

me zero, pra:

0)(1 ≥−= βπψS ,

përkatësisht:

0cos2)cos(32

≥−−++−

ββπβ mgmglL

mvA , βπ cos2cos32

gglL

vA +−≥−

,

)cos23)((2 β+−≥ lLgvA .

Ligji mbi ndryshimin e energjisë kinetike prej pozicionit fillestar Mo deri në pozicionin A është:

)cos(cos21

21 22 αβ −=− mgLmvmv oA , )cos(cos222 αβ −−= gLvv Ao ,

përkatësisht:

)cos(cos2)cos23)((2 αββ −−+−≥ gLlLgvo .

DETYRA 8: (Parimi Dalamberit për pikë materiale)

Pozita fillestare e mekanizmit katërhallkësh O1ABO2, të vendosur në rrafshin vertikal si në figurën e mëposhtme, është e përcaktuar me këndin ϕo=30°. Shufrat e këtij mekanizmi kanë masa të vogla që neglizhohen, kurse lBOBCABAO ==== 21 . Në fundin e shufrës ABC është e vendosur ngarkesa C me peshë P, e cila mund të konsiderohet si pikë materiale. Nëse mekanizmi nga pozicioni fillestar fillon lëvizjen nga qetësia, të caktohen forcat në shufrat O1A dhe O2B në funksion të ndryshimit të ϕ.

O1 O2

A B C

Pϕ

Zgjidhje:

Dr. sc. Ahmet Shala

179

O1 O2

A B C

P ϕ

SA SB

NAa

TAa

ϕ

ϕ NCa

TCa

ϕ

ϕ

inCNFin

CTF

vA vB vC nr

tr

Meqë lBOAO == 21 , shufra ABC bën lëvizje translatore, atëherë shpejtësitë e pikave A, B dhe C janë të barabarta, pra:

ϕϕ && ⋅=⋅=== lAOvvv CBA 1 ,

gjithashtu edhe nxitimet:

TA

NAA aaa rrr

+= ,

atëherë:

221 ϕϕ && ⋅=⋅=== lAOaaa N

CNB

NA ,

ϕϕ &&&& ⋅=⋅=== lAOaaa TC

TB

TA 1 .

Sipas parimit të Dalamberit, për shufrën ABC përkatësisht pikën materiale C kemi:

0=+++ inCBA FSSPrrrr

,

ku: inCT

inCN

inC FFF

rrr+= , 2ϕ&l

gPamF N

Cin

CN ⋅=⋅= dhe ϕ&&lgPamF T

Cin

CT ⋅=⋅= ,

ose të projektuar në drejtim të akseve n dhe t:

(n): 0cos =−++ inCNBA FSSP ϕ .........................................................................................(1)

(t): 0sin =− inCTFP ϕ ...........................................................................................................(2)

Meqë shufra ABC bën lëvizje translatore atëherë shuma e momenteve të këtyre forcave duhet të jetë zero në cilëndo pikë, le të marrim për pikën C, pra:

0coscos =⋅+⋅ BCSACS BA ϕϕ ..................................................................................(3)

Nga shprehja (2) caktojmë nxitimin këndor )(ϕ&& dhe shpejtësinë këndore )(ϕ& të shufrës AO1 në funksion të këndit ϕ , pra:

0sin =⋅− ϕϕ &&lmP ,


180

prej nga:

l

g ϕϕ sin=&& ,

ϕϕϕϕϕϕϕϕ d

lg

dtd

dtd

dd /sin

===&

&&

&& ,

∫=⋅ /sin ϕϕϕϕ dl

gd &&

∫∫ =⋅ϕϕ

ϕϕϕϕo

&

&&

300

sin dl

gd ,

)cos23(30coscos

2

2ϕϕϕ

−=+−=lg

lg

lg o&

,

përkatësisht:

)cos23()cos23(2 ϕϕϕϕ −=⇒−=lg

lg

&& .

Nga shprehja (3) rrjedhë që:

0cos2cos =⋅+⋅ lSlS BA ϕϕ ,

përkatësisht:

2B

ASS −= .

Zëvendësojmë në shprehjen (1) dhe kemi:

02

cos 2 =−+− ϕϕ &lgPSSP B

B ,

22cos2 ϕϕ &lgPPSB +−= ,

)cos33(2)cos23(2cos2 ϕϕϕ −=−+−= Plgl

gPPSB ,

kurse:

)cos3(2

ϕ−−=−= PS

S BA .

Kështu p.sh. për ϕ = 60° fitojmë:

)332()2133(2)60cos33(2 −=−=−= PPPSB

o ,

kurse:

)33(2

−−=PS A .

Dr. sc. Ahmet Shala

181

LËKUNDJET DREJTVIZORE TË PIKËS MATERIALE

DETYRE: (Lëkundjet e lira që nuk shuhën)

Për ngarkesën me masë m, që është e varur në një sustë me ngurtësi c dhe gjatësi fillestare lo, të caktohet zgjatja statike e sustës (pozicioni i ekuilibrit statik), ligji i lëkundjeve ndaj këtij pozicioni, frekuenca rrethore dhe perioda e lëkundjeve të lira duke marrë që lëkundjet (lëvizja e ngarkesës poshtë-lartë) janë drejtvizore dhe përveç forcës në sustë dhe peshës së ngarkesës, tjetër rezistencë nuk ka. Në çastin fillestar, ngarkesa tërhiqet poshtë për madhësinë ox dhe ka shpejtësinë ov .

Zgjidhje:

Nëse zbatojmë ligjin themelor të dinamikës, në pikën e varur në sustën vertikale si në figurën e mëposhtme, do të kemi:

eFGxm −=&& , ..................................................................................................................(1)

ku: mgG = dhe )( xfcF ste += ,

m – masa e ngarkesës së varur në sustë,

G – pesha e ngarkesës,

g – graviteti tokësor,

c – ngurtësia e sustës,

fst – zgjatja statike e sustës (zgjatja përshkak të peshës së ngarkesës),

quhet statike sepse nuk kemi lëvizje,

l0 – gjatësia e sustës në gjendje të pangarkuar,

x – paraqet zgjatjen momentale të sustës prej pozicionit ekuilibrues.

fst

lo

mg

fst

Fe

lo

x

lo c


182

Atëherë me zëvendësimin e shprehjeve paraprake në ekuacionin (1) kemi:

stcfmgcxxm −=+&& ........................................................................................................(2)

Zgjatja statike (fst) caktohet nga kushtet e ekuilibrit statik pra:

0=x , 0=x& dhe 0=x&& ,

ku me zëvendësim të këtyre kushteve në ekuacionin (2) fitojmë:

cG

cmgfst == ,

dhe këtë madhësi të fst e zëvendësojmë në (2) fitojmë:

0=+ cxxm && ,

përkatësisht:

02 =+ xx ω&& , ..................................................................................................................(3)

ku:

mc

=2ω .

Kështu pra nëse fillimi i koordinatës merret në pozicionin e ekuilibrit statik, pesha e ngarkesës nuk merret në ekuacionin diferencial, e zgjatja e sustës llogaritet prej këtij pozicioni.

Në këtë rast frekuencën mund ta shprehim përmes zgjatjes statike, pra:

⇒=c

mgfst ⇒=gf

cm st

stfg

mc

= ,

stfg

mc

==ω .

Perioda e këtyre lëkundjeve do të jetë:

gf

cmT stππ

ωπ 222

=== .

Me qëllim të caktimit të ligjit të lëkundjeve, duhet të zgjidhim ekuacionin diferencial (3).

Supozohet zgjidhja:

tex λ= , prej nga: tex λλ=& dhe tex λλ2=&& , të cilat i zëvendësojmë në (3) dhe fitojmë ekuacionin karakteristik:

0:/0)( 22 ≠=+ tt ee λλωλ , përkatësisht: 022 =+ ωλ ,

zgjidhjet e të cilit janë:

ωλ i±=2/1 .

Kështu zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial (3) do të jetë:

tiAAtAAeAeAx titi ωωωω sin)(cos)( 212121 −++=+= − ,

marrim konstantet e reja:

Dr. sc. Ahmet Shala

183

211 AAC += dhe iAAC )( 212 −= , atëherë zgjidhja e përgjithshme merrë formën:

tCtCx ωω sincos 21 += ,............................................................................................(4)

prej nga:

tCtCx ωωωω cossin 21 +−=& .....................................................................................(5)

Konstantet 1C dhe 2C caktohen nga kushtet fillestare, të cilat i zëvendësojmë në shprehjet (4) dhe (5), pra:

,

,0

oo

oo

vxx

xxt

==

==

&& atëherë:

oo xCCCx =⇒⋅+⋅= 121 01 ,

ωω

ωω oooo

vxCCCvx ==⇒⋅⋅+⋅⋅−==

&& 221 10 ,

atëherë ligji i lëkundjeve të ngarkesës do të jetë:

tv

txx oo ω

ωω sincos += .


184


DETYRA 1: (Rasti kur lëvizja zhvendosëse dhe ajo relative janë translative T-T)

Pllaka drejtëkëndëshe P lëviz nëpër rrafshin horizontal përmes dy shufrave të lidhura me nyje, O1A dhe O2B, ku lBOAO == 21 . Në pllakë është i hapur kanali paralel me AB, nëpër të cilën lëviz sfera M me masë m, duke filluar nga pika O. Nëse shufra O1A rrotullohet me shpejtësi këndore konstante ω , caktoni ligjin e lëvizjes së sferës nëpër kanal dhe shtypjen (reaksionin) e pllakës në sferë. Fërkimi të neglizhohet.

O1 O2

A B

M O

ω

Zgjidhje:

O1 O2

A B

ϕ

Aa

ϕ

ϕ vA vB

M

mg

ea

ϕ

ϕ

ineF

ve nr

tr

x

y

N

Ba

O

ω

Ekuacioni vektorial i lëvizjes relative në rastin e përgjithshëm ka formën:

incor

ineir FFFam

rrrr++= ∑ .

Për rastin në detyrën tonë kemi:

Dr. sc. Ahmet Shala

185

xar&&rr

= , xar &&= ,

NgmFirrr

+=∑ , N – reaksioni (shtypja) e pllakës në sferë,

ein

e amF rr−= , 2ω⋅=== laaa N

AAe , 2ω⋅== mlmaF ein

e ,

0x2 == rein

cor vmF rrrω , 0=eω sepse pllaka nuk rrotullohet.

Kështu ekuacioni vektorial i lëvizjes relative për rastin tonë do të jetë:

iner FNgmamrrrr

++= .

Projektojmë në drejtim të aksit x dhe y:

(x): ϕωϕ sinsin 2⋅=== mlFxmma iner && ,

(y): ϕωϕ coscos0 2⋅++−=++−= mlNmgFNmg ine .

Nga .konst=ω , marrim që tdtd ωϕϕω =⇒= , atëherë ekuacionet paraprake marrin formën:

(x): tlx ωω sin2⋅=&& ,

tldtxdx ωω sin2⋅==&

&& ,

tdtlxd ωω sin2⋅=& ,

∫∫ ⋅=tx

tdtlxd0

2

0

sinωω&

& ,

)cos1()1(coscos1

0

2 tltltlxt

ωωωωωω

ω −⋅=−⋅−=⋅−=& ,

)cos1( tldtdxx ωω −⋅==& ,

dttldx )cos1( ωω −⋅= ,

∫∫∫ −⋅=ttx

tdtdtldx000

cosωω .

Pas zgjidhjes së integraleve fitojmë ligjin e lëvizjes së sferës nëpër kanal:

)sin( ttlx ωω −⋅= .

Shtypja e pllakës në sferë caktohet nga:

( y): ⇒⋅++−= tmlNmg ωω cos0 2

tmlmgN ωω cos2⋅−= .


186

DETYRA 2: (lëvizja zhvendosëse rrotulluese, kurse ajo relative translative R-T)

Gypi i drejtë AB, me gjatësi 2l, që shtrihet në rrafshin horizontal, është i lidhur ngurtësisht për shufrën OC me gjatësi l, e cila rrotullohet rreth çërnierës O me shpejtësi këndore konstante ωo. Sfera M me masë m, e cila gjendet në gyp, në çastin fillestar ndodhej në pozicion C dhe ka shpejtësinë fillestare oo lv ω= ndaj gypit. Të caktohet ligji i lëvizjes së sferës nëpër gyp dhe për pozicionin B: koha e arritjes së sferës, shpejtësia absolute dhe shtypja (reaksioni) e gypit në sferë.

O

C A B

Mo

ωo

vo

l l

Zgjidhje:

O

C M

ωovr l

x

ve

ar ae x

y

ineF

mgcora

incorF

1NFϕ

ϕ

ϕ ϕ

z2NF


incor

ineir FFFam

rrrr++= ∑ .


xar&&rr

= , xar &&= ,

Ni FgmFrrr

+=∑ , 21 NNN FFFrrr

+= – reaksioni (shtypja) e gypit në sferë,

ein

e amF rr−= , 2222

ooNee xlOMaa ωω ⋅+=⋅== , 222 ω⋅+== xlmmaF e

ine ,

Dr. sc. Ahmet Shala

187

rein

cor vmF rrrx2 ω= , oe ωω = , xvr &= , ⊄ ),( orv ωrr =90°, atëherë:

sin2 rein

cor vmF ω= ⊄ ),( orv ωrr xmxm oo && ωω 290sin2 =°= .


incor

ineNr FFFgmam

rrrrr+++= .

Projektojmë në drejtim të aksit x, y dhe z:

(x): 222

222sin ooin

er mxxl

xxlmFxmma ωωϕ ⋅=+

⋅+=== && ,

(y): xmxl

lxlmFFFF oNin

corin

eN &ωωϕ 2cos022

22211 +

+⋅++−=++−= ,

xmmlF ooN &ωω 20 21 +⋅+−= ,

prej nga:

xmmlF ooN &ωω 221 +⋅= ,

(z): 20 NFmg +−= ,

prej nga:

mgFN =2 .

Nga shprehja për (x) fitojmë:

02 =− xx oω&& ,

supozojmë:

tex λ= , atëherë tex λλ2=&& dhe fitojmë ekuacionin karakteristik:

022 =− oωλ ,

prej nga:

oωλ ±=2/1 ,

atëherë zgjidhja e përgjithshme do të jetë:

tttt oo eCeCeCeCx ωωλλ −+=+= 212121 ,

përkatësisht derivati i saj:

to

to

oo eCeCx ωω ωω −−= 21& ,

konstantet C1 dhe C2 caktohen nga kushtet fillestare:

o

ooooooooo

o

oo

o vCCCvCCvvx

vCCCCx

t

ωωωωω

ω

2

200

,022221

2121

−=⇒−−=⇒−=⇒=

=−=⇒+=⇒==

&


188

Kështu ligji i lëvizjes së sferës nëpër gyp do të jetë:

)(2

)(22221

tttt

o

ot

o

ot

o

ott oooooooo eeleev

ev

ev

eCeCx ωωωωωωωω

ωωω−−−− −=−=−=+= ,

ose duke ditur se sinus hiperbolik (sinh) është:

)(21)sinh( ααα −−= ee , atëherë:

)sinh()2

(2

)(2

tleeleelx o

tttt oo

oo ωωω

ωω ⋅=−

=−=−

− .

Shpejtësia relative e sferës (shpejtësia e sferës ndaj gypit) do të jetë:

)(2

)(2

ttoto

to

o

or

oooo eev

eev

xv ωωωω ωωω

−− +=+== & ,

ose duke ditur se kosinus hiperbolik (cosh) është:

)(21)cosh( ααα −+= ee , atëherë:

)cosh()(2

tveev

v ootto

roo ωωω =+= − .

Shpejtësinë relative të sferës në çastin kur ajo arrin në pozicion B e caktojmë nga:

- për pozicionin B, koordinata x është: x = l, prej nga:

)sinh( Botllx ω⋅== ,

prej nga caktohet koha për të cilën sfera arrin në pozicionin B:

( )1asinh=Botω ,

1)sinh( =Botω ,

12

=− − BoBo tt ee ωω

,

2=− − BoBo tt ee ωω ,

2=− − BoBo tt ee ωω ,

zëvendësojmë Botes ω= , atëherë:

21=−

ss ,

ss 212 =− ,

0122 =−− ss ,

212

4422

)1(14)2()2( 2

2/1 ±=+±

=−⋅⋅−−±−−

=s ,

Dr. sc. Ahmet Shala

189

meqë koha tB duhet të jetë më e madhe se zero, atëherë:

21+=s ,

21+== Botes ω ,

prej nga:

)21ln(1+=

oBt

ω.

Shprehjen e fituar për tB e zëvendësojmë në shprehjen për vr dhe fitojmë:

( ))21ln(cosh)21ln(1cosh)cosh( +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+== o

oooBoorB vvtvv

ωωω ,

)21(2

1)21)(21(2

21121

2

)21ln()21ln(

++++

=+++

=+

=+−+

ooorB vveevv ,

2)21(2

12221oorB vvv =

++++

= ,

Për x = l (pozicioni B), këndi °= 45ϕ dhe:

2222oooe vlllv =⋅=⋅+= ωω ,

kurse dihet se:

22ByBxB vvv += ,

ku:

)12(222245cos +=+=+= oooeBrBBx vvvvvv ,

ooeBBy vvvv −=−=−=22245sin ,

atëherë shpejtësia absolute në pozicionin B është:

22411222)())12(( 2222 +=+++=−++=+= ooooByBxB vvvvvvv .

Shtypja e gypit në sferë do të jetë:

)221(22222 22221 +=+=+=+= ooooooorBooN mllmmlvmmlvmmlF ωωωωωωωω ,

mgFN =2 ,

atëherë:

22

21 NNN FFF += ( ) 222 )221( glm o ++⋅= ω .


190

DETYRA 3: (lëvizja zhvendosëse translative, kurse ajo relative rrotulluese T-R)

Pika e varjes së lavjerrësit matematik lMO =1 , lëviz nëpër kanalin horizontal sipas ligjit ptatx sin)( = , ku a dhe p janë madhësi konstante. Të caktohet ligji i lëkundjeve të lavjerrësit

matematik, duke marrë që ai bën lëkundje të vogla (pra duke aproksimuar që ϕϕ ≈sin dhe 1cos ≈ϕ sipas nevoje) dhe të caktohet forca në litar. Lavjerrësi në çastin fillestar gjendej në

qetësi.

O1

O

M

ϕ

x(t)

l

mg

Zgjidhje:

O1

O

M

ϕ

x(t)

l

mg

S

nr

tr

ϕ

rTarNa

ev ea

ev ea

ineFϕ


incor

ineir FFFam

rrrr++= ∑ .


rTrNr aaa rrr+= , ku: 2ϕ&⋅= larN , ϕ&&⋅= larT ,

Dr. sc. Ahmet Shala

191

SgmFirrr

+=∑ , S – forca në litar,

ein

e amF rr−= , ptappta

dtdtxae sin)sin()( 2

2

2−=== && , ptmapmaF e

ine sin2−== ,

0x2 == rein

cor vmF rrrω , 0=eω , meqë lëvizja zhvendosëse është translative.


iner FSgmamrrrr

++= .......................................................................................................(1)

Projektojmë ekuacionin (1) në drejtim të normales (n):

(n): ϕϕϕ sincos2 inerT FSmgmlma ++−== & ,

ϕϕϕ sinsincos 22 ptmapSmgml −+−=& ,

ϕϕϕ sinsincos 22 ptmapmgmlS ++= & ,

kështu për të përcaktuar plotësisht forcën në litar (S) duhet të caktojmë ligjin e lëkundjeve të lavjerrësit )(tϕϕ = dhe shpejtësinë këndore të lavjerrësit )(tϕϕ && = , përkatësisht katrorin e saj. Për këtë vazhdojmë me projektim të ekuacionit vektorial (1) në drejtim të tangjentës (t):

(t): ϕϕϕ cossin inerT Fmgmlma −−== && ,

ϕϕϕ cossinsin 2 ptmapmgml +−=&& ,

ϕϕϕ cossinsin2

ptl

aplg

+−=&& ,

ϕϕϕ cossinsin2

ptl

aplg

=+&& ,

Duke aproksimuar për lëkundje të vogla ( °±< 6ϕ ) ϕϕ ≈sin dhe 1cos ≈ϕ , shprehjet e fundit marrin formën:

ptl

apmlS

lg sin

22 ϕϕ −+−=& ,

ptl

aplg sin

2=+ ϕϕ&& ,

zëvendësojmë: lgk =2 ,

laph

2= , atëherë:

pthk sin2 =+ ϕϕ&& ..........................................................................................................(1)

Për ekuacionin diferencial të fundit dihet se zgjidhja e pjesës homogjene është:

ktCktCh sincos 21 +=ϕ ,

kurse ajo e veçantë caktohet varësisht nga forma e pjesës johomogjene, në rastin tonë supozohet:


192

ptAv sin=ϕ , prej nga: ptApv sin2−=ϕ&& dhe zëvendësojmë në ekuacionin (1):

pthptAkptAp sinsinsin 22 =+− ,

prej nga:

22 pkhA−

= ,

kështu zgjidhja e veçantë është:

ptpk

hptAv sinsin 22 −==ϕ .

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) merrë formën:

ptpk

hktCktCvh sinsincos 2221−

++=+= ϕϕϕ ,


ptppk

hktkCktkC coscossin 2221−

++−=ϕ& .

Konstantet e integrimit C1 dhe C2 caktohen nga kushtet fillestare:

)(11000

0001000

2222221

12221

pkkphCp

pkhkCkC

Cpk

hCCto

−−=⇒⋅

−+⋅+⋅−=⇒=

=⇒⋅−

+⋅+⋅=⇒==

ϕ

ϕ

&

Kështu ligji i lëkundjeve të lavjerrësit do të jetë:

ptpk

hktpkk

pht sinsin)(

)( 2222 −+

−−=ϕ ,

)sin(sin)( 22 ktkppt

pkht −−

=ϕ ,

ose kur zëvendësojmë: l

aph2

= , fitojmë ligjin e lëkundjeve të vogla të lavjerrësit:

)sin(sin)(

)( 22

2kt

kppt

pklapt −

−=ϕ ,


)cos(cos)(

)( 22

3ktpt

pklapt −

−=ϕ ku:

lgk = .

Dr. sc. Ahmet Shala

193

DETYRA 4: (lëvizja zhvendosëse dhe ajo relative janë rrotulluese R-R)

Gypi në formë të gjysëmrrethit me rreze R, rrotullohet rreth aksit vertikal AB me shpejtësi këndore konstante ω . Në çastin fillestar në gyp gjendet një sferë me masë m në pozicionin më të ulët të gypit, me çrast i jepet një shpejtësi fillestare ov . Të caktohet ligji i ndryshimit të shpejtësisë së sferës nëpër gyp, shpejtësia me të cilën ajo del nga gypi dhe shtypja (reaksioni) i gypit në sferë për këtë pozicion (C). Fërkimi ndërmjet sferës dhe gypit të neglizhohet.

M

vomg

O C

Mo

A

B

ω

ϕ

Zgjidhje:

vomg

O C

Mo

A

B

ωo

ϕ FN1

tr

rTr av ,rNa

eain

eFϕ

nr

oωr

ϕ

br

br

incorF

M

2NF

M’

R

vc

cora


incor

ineir FFFam

rrrr++= ∑



194

rTrNr aaa rrr+= , ku: 2ϕ&⋅= RarN , ϕ&&⋅= RarT ,

Ni FgmFrrr

+=∑ , 21 NNN FFFrrr

+= – reaksioni (shtypja) e gypit në sferë.

ein

e amF rr−= , 22 sin' oo

Nee RMMaa ωϕω ⋅=⋅== , 0' == e

Te MMa ε ,

. ,0 konstdt

do

oe === ω

ωε , 2sin oe

ine mRmaF ωϕ ⋅== .

rein

cor vmF rrrx2 ω= , oe ωω = , xvr &= , ⊄ ),( orv ωrr =90°+ϕ, atëherë:

sin2 roin

cor vmF ⋅= ω ⊄ ),( orv ωrr ϕϕωϕϕω cos2)90sin(2 && ⋅=+°⋅= oo mRRm .


incor

ineNNr FFFFgmam

rrrrrr++++= 21 .............................................................................(1)

Projektojmë në drejtim të aksit n, t dhe b:

(n): ϕϕϕ sincos 12 in

eNrN FFmgmRma −+−== & ,

ϕωϕϕϕ sinsincos 21

2oN mRFmgmR ⋅−+−=& ,

2221 sincos oN mRmgmRF ωϕϕϕ ⋅++= & .....................................................................(2)

(t): ,cossin ϕϕ inerT Fmgma +−=

,cossinsin 2 ϕωϕϕϕ omRmgmR ⋅+−=&&

,2sin2

sin2

ϕω

ϕϕ oRg

+−=&&

,2sin2

sin2

ϕω

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ o

Rg

dd

dtd

dd

+−==&

&&

,2sin2

sin2

ϕϕω

ϕϕϕϕ ddRgd o ⋅+⋅−=&&

,2sin2

sin0

2

0∫∫∫ ⋅+⋅−=ϕϕϕ

ϕ

ϕϕω

ϕϕϕϕ ddRgd o

o

&

&

&&

),12(cos4

)1(cos22

222−−−+= ϕ

ωϕ

ϕϕ ooRg&&

Rv

vR oooo =⇒= ϕϕ && ,

ϕω

ϕω

ϕ 2cos2

cos22

2 22

2

22 ooo

Rg

Rg

Rv

−++−=& ................................................................(3)

Për pozicionin C, këndi °= 90ϕ , shprehja (3) do të jetë:

Dr. sc. Ahmet Shala

195

)902cos(2

90cos22

2)90(22

2

22 ⋅−++−=° ooo

Rg

Rg

Rv ωω

ϕ& ,

22

22 2)90( o

oRg

Rv

ωϕ +−=°& ...............................................................................................(4)

Shpejtësia e sferës nëpër gyp në funksion të këndit ϕ , është:

ϕω

ϕω

ϕϕ 2cos2

cos22

2)(222ooo

rr Rg

Rg

Rv

RRvv −++−=== & ,

ϕω

ϕω

ϕ 2cos2

cos22

2)(2222

2 ooor

RRg

RgRvv −++−= .

Kur sfera arrin në pozicionin C, këndi është °= 90ϕ , atëherë shpejtësia relative e sferës në dalje të gypit (pozicioni C), është:

)902cos(2

90cos22

2)90(2222

2 °⋅−°++−=°= ooorc

RRg

RRgvvv

r

ωω,

22

22222

2 oooc

RRRgvv r

ωω++−= ,

222 2 ooc RRgvv r ω+−= .

Shpejtësia zhvendosëse e sferës në pozicionin C, do të jetë:

oc Rve

ω= .

Nga figura paraprake shihet se këto dy komponente janë normale në njëra tjetrën, atëherë:

er ccc vvv rrr+= ,

përkatësisht intensiteti i shpejtësisë së sferës në pozicionin C do të jetë:

222222 )(2 oooccc RRRgvvvv er ωω ++−=+= ,

222 22 ooc RRgvv ω+−= > 0.

Shtypja (reaksioni) i gypit në sferë për pozicionin C, nga shprehja (2) dhe duke zëvendësuar shprehjen (4), do të jetë:

2221 sincos oN mRmgmRF ωϕϕϕ ⋅++= & ,

2222

2

1 90sin90cos)2( ooo

N mRmgRg

Rv

mRF ωω ⋅°+°++−= ,

222

1 2 ooo

N mRmRmgR

mvF ωω ⋅++−= ,


196

22

1 22 oo

N mRmgR

mvF ω+−= ,

Komponenten 2NF të shtypjes (reaksionit) së gypit në sferë e caktojmë duke e projektuar ekuacionin vektorial të lëvizjes relative (1), në drejtim të binormal (b), pra:

incorNrB FFma −== 20 ,

0=rBa ,

sepse sfera nuk mund të lëvizë në këtë drejtim.

090cos)90(22 =°⋅°⋅== ϕω &oin

corN mRFF .

Kështu përfundimisht shtypja (reaksioni) i gypit në sferë, kur ajo arrin në pozicionin C do të jetë:

22

221 oo

NN mRmgR

mvFF ω+−== .

Dr. sc. Ahmet Shala

197

L i t e r a t u r a

1. Dr. sc. Ahmet Geca, Dinamika, libër universitarë, Prishtinë, 2002,

2. Mr. sc. Ahmet Shala, “Kinematika, ushtrime të autorizuara”, Prishtinë, 1994-2002,

3. Ahmet Shala, inxh. i dipl., Studimi krahasues i përdorimit të rrjetave neurale në

rregullimin e përcjelljes së trajektorisë te robotët manipulatorë , punim magjistrature,

Prishtinë, 1998.

4. Dr. sc. Fehmi Krasniqi “Kinematika – detyra seminarike” , Prishtinë, 2002.

5. Dr. sc. Fehmi Krasniqi “Disa dispenca nga Kinematika – detyra të zgjidhura dhe të

pazgjidhura” , Prishtinë.

6. Dr. sc. Fetah Jagxhiu, “Përmbledhje detyrash të zgjidhura nga Mekanika II (Kinematika)”,

Prishtinë, 1996.

7. Jozef Niziol, “Metodyka Rozwiazywania zadan z mechaniki” Warszawa, 1983.

etj.

Realizimi kompjuterik:

Dr. sc. Ahmet Shala

“ E A L G A ” Company

[email protected]

www.ahmetshala.tk

Prishtinë

Mekanika Teknike II - Ushtrime

Documents

Transcript of Mekanika Teknike II - Ushtrime