1

Meccanica dei Fluidi• Definizione di Pressione:

Fr

τFr

nFr

SF

p n

∆≡

S∆

• Dimensioni e unità di misura:[ ] [ ] [ ] [ ]

Pam

NtlmlmltSFp

=

⋅⋅=⋅=⋅= −−−−−

2

21221

Pascal

unità Pascal dine⋅cm-2 millibar mmHg (torr) Atmosfere1 Pascal 1 10 10-2 0.75⋅10-2 0,9871⋅10-5

1dine⋅cm-2 0,1 11 millibar 102 1 0,75 0,9871⋅10-3

1mmHg (torr) 133 1,33 1 1,316⋅10-3

1 Atmosfera 1,013⋅105 1,013⋅103 760 1

• Tabella di conversione:

S

n

τ

θ

S

F

∆=

θcosr

2111 −−⋅= smkgPa

2

Densità e peso specifico• Si definisce densità di una sostanza omogenea il rapporto fra la

massa di tale sostanza e il volume da essa occupata

Vm

=ρ

• le dimensione di ρ sono: [ ] [ ]3−⋅= lmρ• e le unità di misura sono:

==

==⇒

→

→

−

−

−

−

lkg

lkg

cmg

mkg

mkg

cmg

mkgMKS

cmgCGS

110

101

101010

1

3

3

3

33

36

3

3

3

3

• La densità di una sostanza solitamente diminuisce con latemperatura; ci sono particolari e rare eccezioni:– l’acqua fra 0 e 4 °C

• Si definisce peso specifico il rapporto fra il peso e il volume:

gVmg

VP

ρσ ===

3

Fluidi: Liquidi & Aeriformi• Definizione intuitiva:

– Fluidi: sostanze non aventi forma propria• Liquidi: fluidi dotati di volume proprio• Aeriformi: fluidi non dotati di volume proprio

• Tale definizione ha problemi nel descrivere le gelatine

• Fluidi: sostanze in cui, all’equilibrio, tuttigli sforzi interni hanno direzione normale alle rispettive superfici (in una gelatina questo non succede)

• Liquido: fluido dotato di bassissima compressibilità isoterma

• Aeriforme: fluido dotato di elevata compressibilità isoterma

• Definizione corretta:

4

Pressione in un punto

• Consideriamo un punto Q in un fluido all’equilibrio. Consideriamo diverse areole ∆Sicontenenti Q. Si trova che– La pressione “p” non dipende dall’orientamento

della areola considerata.

• Quindi possiamo parlare di pressione nel punto Q senza alcuna altra specificazione

Q

∆S1

∆S2

∆S3

5

Leggi fondamentali dell’idrostatica• Consideriamo un liquido in quiete

• Il fatto di essere all’equilibrio ci permette di trattare il parallelipedo come se fosse rigido

• Per definizione di fluido, le forze agenti sulle superfici laterali sono ad esse normali e siccome il liquido è in quiete la risultante di esse è nulla (d’ora in poi le trascuriamo)

y

y1

y2

j y=0superficie libera

• Isoliamone un parallelipedo:

6

… le leggi fondamentali dell’idrostatica 2• Consideriamo la forza di gravità P agente sul centro di massa G

• Sulla faccia inferiore S2 del parallelepipedo agisce una forza |F2|=p2·S2 diretta verso l’alto

y

Gy1

y2

Pr

2Fr

1Frj y=0

superficie libera

• Sulla faccia superiore S1 del parallelepipedo agisce una forza |F1|=p1·S1 diretta verso il basso

7

… le leggi fondamentali dell’idrostatica 3

• Se chiamiamo ρ la densità del liquido (incomprimibile) e V=(y2-y1)·S il volume del parallelepipedo: ( ) ρρ ⋅−=⋅= SyyVm 12

( ) gyypp ρ⋅−=− 1212

• Essendo (y2-y1)>0 risulta p2>p1, cioè la pressione cresce con la profondità

( ) ( )( ) ( )

+=+=⇒=+−

⇒

=⋅−=⋅−=

⋅=⋅==++

mgSpSpPFFPFF

jmgPjSpjSpF

jSpjSpFPFF

12

1221

2222

1111

21

0

ˆˆˆ

ˆˆ0

rrr

rrr• Il parallelepipedo è in quiete anche verticalmente, quindi:

( ) gSyySpSp ⋅−+=⇒ ρ1212

8

Legge di Stevino• Supponiamo che nell’eq. precedente sia y1=0 → p1=p0

• La pressione in un liquido (incomprimibile) a profondità y, detta p0 la pressione esterna, è: ygpp ρ+= 0

• Possiamo quindi ribadire la legge di Stevino che afferma: “una colonna di liquido in quiete, di altezza h, esercita alla base una pressione (idrostatica) pari a ρgh”.

• Esempio, corpo in immersione sott’acqua:– 10metri di acqua corrispondono a 1atm di pressione.

atmPammskg

msm

mkg

p

mhmkg

ghppp

11010108,910

10

10 52

25

233

33

0

≈=⋅

≈⋅⋅=∆⇒

=

=

=−=∆−

ρ

ρ

9

Applicazione della legge di Stevino: Pressione media nel corpo umano

00 =∆⇒=∆ py

mymh

02

==

0pp =

my 1=

( )

torrPap

mp

gypypp

sm

m

kg

sangue

7710029,1

18,91005,14

3

0

23

≈⋅=∆

⋅⋅⋅=∆

=−=∆ ρ

my 2=torrPagyp sangue 15510058,2 4 ≈⋅==∆ ρy

10

Vasi comunicanti• Consideriamo un sistema composto da due liquidi immiscibili (acqua e olio).• Il liquido meno denso (olio→1) si dispone sopra quello più denso (acqua → 2)

– ρ1<ρ2

• Consideriamo il livello a profondità h dalla superficie di separazione dei due liquidi. All’equilibrio, la pressione è costante su tutto il livello

• Quindi, la pressione data dalla colonna sinistra è uguale alla pressione data dalla colonna di destra. Per la legge di Stevino è:

A Bh

h1 h2

1

2

2

12211

22202110

ρρ

ρρ

ρρρρ

=⇒=

++=++

hh

ghgh

ghghpghghp

p0p0

11

Pressa & Martinetto idraulico• Supponiamo che la pressione esterna p0 varii di una quantità ∆p0

• Applicando Stevino, la pressione a profondità y varia come:

S1S2

1Fr

2Fr

0000

0 ppppppgyppp

gypp∆=−′=∆⇒

∆+=+∆+=′+=

ρρ

• Cioè, a profondità y arbitraria, si ha la medesima variazione di pressione imposta sulla superficie

Legge di Pascal

1212 FFSS >>⇒>>11

22

2

22

1

11

21

, FSS

FSF

pSF

p

pp=⇒

=∆=∆

∆=∆

• Su tale principio si basano la pressa e il martinetto idraulico:– Esercitiamo una forza F1 che determina una variazione di pressione ∆p1:

12

Principio di Archimede• Consideriamo una superficie chiusa S in un fluido in quiete, di

densità ρ’• La forza peso P=mg=ρ’·Vg della massa di fluido

racchiusa nella superficie S è equilibrata dalla risultante delle forze di pressione

ρ’

• Supponiamo di sostituire la massa di fluido racchiusa da S con uncorpo solido, liquido o gassoso avente lo stesso contorno S e densità ρ. ρ’

ρ• Le forze di pressione sono rimaste invariate,perchè dipendono solo dalla pressione esterna,dalla profondità e dalla densità ρ’ del fluido

• Esse, come prima, sono date da (ρ’Vg), cioè vale il principio di Archimede:– Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verticale verso

l’alto pari al peso del volume di fluido spostato

13

... principio di Archimede 2• Consideriamo un corpo di volume V, densità ρ completamente

immerso in un liquido di densità ρ’– La forza peso a cui è soggetto il corpo è: VgmgP ρ==– La spinta di Archimede è: VgF ρ ′=

ρρ ′>⇒> FP Il corpo affondaρρ ′<⇒< FP Il corpo galleggiaρρ ′=⇒= FP Il corpo è in equilibrio

indifferente– se è ρ<ρ’ il corpo galleggia lasciando immersa una frazione

del proprio volume affinchè:

ρρ

ρρ

′=

′====

VV

gVFVgmgP

immerso

immerso

%8989.01003,11092,0

1092,01003,1

3

3

3

3

3

32 ==⋅⋅

=⇒

⋅=⋅=

VVimmerso

mkg

ice

m

kgOH

ρρ

14

Misurazione della Pressione• Gli strumenti di misura della pressione si chiamano manometri. In

casi particolari:– barometri: per la pressione atmosferica– sfigmomanometri: pressione arteriosa

pa

p

Sh1

h2

( )12

21

hhgpp

gShSpgShpS

a

a

−=−+=+

ρρρ

Manometro differenziale

• Pressione normale– Barometro di Torricelli

hpaghpa ρ=

– g varia con la latitudine e altitudine– ρ con la temperatura– Pressione normale

• latitudine 45°• livello del mare• temp. O°C

g=9,806m/s2

ρHg=13,595g/cm3

atmPaPatorrpmmh 110013,176,0806,910595,13760760 530 =⋅=⋅⋅⋅==⇒=

• Manometro ad aria libera:

15

Campo vettoriale• Consideriamo una regione di spazio in cui sia definita (in ogni

punto) una grandezza– Grandezza scalare→Campo scalare– Grandezza vettoriale→Campo vettoriale

• Un campo c≡c(x,y,z,t) si dice:– uniforme → La grandezza è costante in ogni punto: c=c0

– stazionario → La grandezza può variare da punto a punto, ma ècostante nel tempo, cioè c=c(x,y,z)

• Rappresentazione tramite linee di flusso– consentono di capire direzione e verso del vettore campo in ogni

punto dello spazio – in un campo vettoriale stazionario: 2A

r3A

r

1Ar

1B2B

3B

4Ar

4B5A

r

5B

16

Linee di flusso• La tangente alla linea di flusso, orientata come la linea di flusso

stessa, rappresenta in ogni punto la direzione e il verso del (vettore) campo in quel punto

Campo più intenso

Campo meno intenso

• E l’informazione sul modulo di tale vettore?

• Notiamo che non è possibile tracciare le linee di flusso in ogni punto• Si ricorre alla convenzione che:

– Il numero di linee che attraversano una superficie unitaria, normale alle linee stesse, sia proporzionale alla grandezza del vettore campo nella zona in cui la superficie è disegnata

• L’infittirsi quindi delle linee di flusso indica che lì il campo diventa più intenso, il diradarsi più debole:

17

Linee di corrente• Il campo rappresentato dalle linee di flusso può essere il campo

gravitazionale, quello elettrostatico, magnetico,…, idrodinamico.• In quest’ultimo caso la grandezza vettoriale definita in ogni punto

dello spazio è la velocità v=v(x,y,z,t) del fluido. Ad essa si aggiungono altre grandezze definite in ogni punto dello spazio: p=p(x,y,z,t); ρ=ρ(x,y,z,t).

• Nel caso di un campo velocità le linee di flusso si chiamano solitamente linee di corrente.

• La tangente alla linea di corrente in ogni punto rappresenta la direzione (e verso) del vettore velocità (del fluido) in quel punto.

• Il caso stazionario [v=v(x,y,z); p=p(x,y,z); ρ=ρ(x,y,z)] è estremamente interessante perché in questo caso il vettore velocità, la pressione e la densità sono costanti (nel tempo) in ogni punto. Ciò non vuol dire che il vettore velocità è ovunque uguale, ma che in ogni punto la velocità non varia nel tempo, anche se può essere diversa da punto a punto

18

Campo idrodinamico• Facciamo le seguenti ipotesi:

– Campo idrodinamico stazionario:( ) ( ) ( );,,;,,;,, zyxzyxppzyx ρρ ===vv rr

– Campo idrodinamico irrotazionale (“assenza di mulinelli”)

– Ipotesi semplificative: Fluido Ideale• Fluido incomprimibile: ρ=ρ0

• Fluido non viscoso: η=0• Assumere che un fluido sia non viscoso equivale a richiedere che

il sistema sia meccanicamente conservativo – (conservazione dell’energia meccanica E=Ep+Ek)

19

… campo idrodinamico 2• Per ogni punto di un campo idrodinamico stazionario passa una ed

una sola linea di corrente– Se così non fosse avremmo 2 velocità definite nel medesimo punto

L1L2

• Sia data una linea chiusa L1, immersa in un campo stazionario;• Consideriamo le linee di corrente passanti per ogni punto di L1;

consideriamo ora una seconda linea chiusa L2 che si appoggia alle medesime linee di flusso.

• Definiamo tubo di flusso la superficie tubolare realizzata dalle linee di flusso racchiuse da L1 e L2.

20

Principio & Equazione di Continuità• Non ci possono essere linee di corrente che attraversano

il tubo di flusso– Infatti, altrimenti per i punti della superficie passerebbero più

linee di corrente

• Quindi. si può enunciare il Principio di Continuità:La massa di fluido che attraversa in un dato intervallo di

tempo la sezione di un tubo di flusso deve essere uguale a quella che passa nel medesimo intervallo per ogni

altra sezione

• Questo è valido in assenza di pozzi e sorgenti.

21

Equazione di continuità• Vediamolo in formule:

• Per il principio di continuità:

1S

2S

t?x ∆⋅= 11 v

tx ∆⋅=∆ 22 vtSxSV ∆=∆⋅=∆ 11111 v

tSV ∆=∆ 222 vtStSmm ∆=∆⇒= 22211121 vv ρρ

2211222111 vvvv SSSS =⇒= ρρ

• Equazione di continuità:

Liquidi incomprimibili: ρ1=ρ2=ρ

tSVm ∆⋅=∆= 111111 vρρ

22

Portata

• Il prodotto ρSv rappresenta la massa che attraversa la superficie S nell’unità di tempo, cioè la portata in massa (kg/s). L’equazione di continuità è quindi detta legge della costanza della portata

cost222111 =⇒= vvv SSS ρρρ

costcost

2211

=⋅⇒

==

vvv

SSS

ρ

• Se il liquido è incomprimibile, il prodotto S·vrappresenta la portata in volume (m3/s, l/s). In questa ipotesi, la portata in volume è costante.

23

Teorema di Bernoulli• Consideriamo un fluido non viscoso → Vale la conservazione

dell’energia meccanica

1Fr

2Fr

2F ′r

1S

A

B 2S

C

D

A’

B’

C’

D’

0=h

• Analizziamo le forze agenti sul volume di fluido ABCD:

txDDCC

txBBAA

∆=∆=′=′

∆=∆=′=′

22

11

vv

gr

– La forza F1=S1P1 dovuta alla pressione che il fluido a monte esercita su ABCD

– La forza F2’=-S2P2 dovuta alla reazione del fluido a valle alla pressione che ABCD esercita su di esso.

– La forza peso

24

…teorema di Bernoulli 2• Consideriamo i lavori di tali

forze supponendo che il volume ABCD si sposta in A’B’C’D’: 2222222

1111111

:

:

xSpxFF

xSpxFF

∆−=∆⋅′=

∆=∆⋅=

lr

lr

• Per calcolare il lavoro della forza peso occorre notare che, grazie al principio di continuità, la massa che nell’intervallo di tempo ∆t attraversa la sezione S1 è uguale a quella che attraversa S2, cioè:

222111 xSxS ∆=∆ ρρ• è come se la massa contenuta in A’B’CD rimanesse ferma, mentre

quella contenuta ABB’A’ passasse da quota h1 a quota h2collocandosi in DCC’D’

1Fr

1S 2S

2Fr

2F ′r

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

1h

2h0=h

gr

25

…teorema di Bernoulli 3• Quindi il lavoro fatto dalla forza peso è (considerando

ρ=ρ1=ρ2=cost):

( ) ( )21112111 hhgtShhgxShmgP −∆=−∆=∆= vρρl

( )211122211121 hhgxSxSpxSpPT −∆+∆−∆=++= ρllll

• Per applicare il teorema dell’energia cinetica possiamo ripetere la considerazione precedente e considerare solo la variazione di velocità della massa contenuta in ABB’A’ che va in DCC’D’

( ) ( ) ( )21

2211

21

2211

21

22 2

121

21 vvvvvvv −∆=−∆=−=∆ tSxSmK ρρ

• Il lavoro totale è:

( )2111222111 hhgtStSptSpT −∆+∆−∆= vvv ρl

26

( ) ( )21

22112111222111 2

1 vvvvvv −∆=−∆+∆−∆ tShhgtStSptSp ρρ

…teorema di Bernoulli 4• Imponendo il teorema dell’energia cinetica:

• Imponendo l’eq. di continuità S1v1=S2v2:

cost21 2 =++ vρρ ghp

⇒∆= KTl

( ) ( )2222

2111

21

22112111112111

21

21

21

vv

vvvvvv

ρρρρ

ρρ

++=++

−=−+−

ghpghp

ShhgSSpSp

Teorema diBernoulli

27

…teorema di Bernoulli 5

• Il teorema di Bernoulli sancisce la costanza della somma di tali 3contributi pressori ed è uno dei più importanti strumenti influidodinamica

• Imponendo v=0 il teorema di Bernoulli contiene la legge di Stevino:

gyghpp ρρ =−=− 0

• Dato che p ha le dimensioni di una pressione (pressione dinamica),anche gli altri 2 termini hanno dimensioni analoghe:– ρgh rappresenta il contributo alla pressione dato dalla legge di

Stevino e si chiama pressione di gravità– ½ρv2 rappresenta l’energia cinetica del volume in

considerazione e prende il nome di pressione cinetica

cost21 2 =++ vρρ ghp

28

Teorema di Torricelli

• Possiamo applicare il teorema di Bernoulli al liquido sulla superficie superiore e a quello che sta per fuoriuscire

v =?h

Pa

2

21 vρρ +=+ aa pghp

Sulla superficieesterna

Al foro di uscita inferiore• Quindi:

gh2=v

Pa

29

Am

bientein cuisi

vuole crearela

depressione

Applicazioni del teorema di Bernoulli• Aspiratore a caduta d’acqua

p

h2

h1S2

S1

p2≈pa

p1

• Dobbiamo creare una depressione in un ambiente apressione p

• Siccome è S1<<S2 per l’eq.di continuità è v1>>v2

• Applicando Bernoulli:

( ) ( ) appphhgpp ≈<<⇒−−−−= 2122

212121 2

1 vvρρ

• Essendo (almeno all’inizio) p≈pa è p1<<pa e quindi aria viene richiamata dal volume da svuotare e viene miscelata all’acquadiminuendo la pressione p

30

Cannello Bunsen• Il cannello Bunsen è uno strumento diffusissimo nei laboratori di farmacia. Si

usa per l’individuazione dei componenti di una sostanza. Si pone la sostanza da analizzare su un filo di platino e la si pone sulla fiamma uscente dal cannello. In base alla temperatura e al colore a cui la sostanza ossida si può determinarne icomponenti

gas

aria

agas pp ≥auscitacannellouscita ppSS <<⇒<<

• A causa della strozzatura all’uscitadel cannello la pressione dinamicap è molto inferiore a quella del gas e a quella atmosferica

• Per questa depressione, aria (equindi ossigeno) viene richiamata dall’orifizio O

O

• Regolando la velocità del gas e la larghezza dell’apertura O è possibile regolarela fiamma, la sua dimensione e la composizione della miscela: più ossigeno →fiamma ossidante, più gas → fiamma riducente

31

Inalatori• Il gas propellente contenuto nello stantuffo viene fatto uscire da un

foro di ridotte dimensioni. Il gas acquista velocità causando una depressione proprio all’altezza del foro

• Tale depressione richiama lasostanza da spruzzare conservata all’interno di unserbatoio a pressione ambiente

ap

app <<

32

Aneurismi & StenosiS1

S2S1 S2

• Considerando il condotto (aorta, uretere,...) orizzontale (h=0) il teorema di Bernoulli diventa:

( )

−+=⇒=⇒=

−+=⇒+=+

22

212

11212

122211

22

2112

222

211

121

21

21

21

SS

ppSS

SS

pppp

vvvvv

vvvv

ρ

ρρρ

• Aneurisma: S2>S1→ p2>p1e l’aneurisma tende ad allargarsi ulteriormente

• Stenosi: S2<S1→ p2<p1e la stenosi tende a restringersi ulteriormente

33

Viscosità• Finora abbiamo ipotizzato che il fluido sia ideale e che il sistema

sia meccanicamente conservativo. Rimuoviamo quest’ultima condizione:

• Esistono delle forze dissipative all’interno del fluido inmovimento

vrFluido ideale

( )Rvv rr=

Fluido viscoso

R

34

… viscosità 2

• Il fluido all’interno del tubo scorre come su tante guaine cilindriche che scivolano una dentro l’altra:– Questo tipo di moto si chiama laminare– Esso è dovuto all’attrito fra:

• strati di fluido e le pareti del tubo• internamente fra strati adiacenti di fluido

– La forza di attrito esercitata su un’areola ∆S è

Sdyd

F ∆=v

ηed ha verso opposto al moto del

fluido

( )Rvv rr=

R

35

... Viscosità 3• il rapporto dv/dy rappresenta la variazione (gradiente) di velocità

dv fra due straterelli di fluido a distanza dy

• η è detto coefficiente di viscosità o semplicemente viscosità• Le sue dimensioni ed unità sono:

[ ] [ ] [ ]

(Poise):

:11

11

1112211

PscmgCGS

sPasmkgSI

tlmltllmltlSFddy

SF

=⋅

⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒∆

=

−−

−−

−−−−−−− vv

η

• La viscosità dipende fortemente dalla temperatura: al crescere di T, η diminuisce rapidamente

( )

P

PP

cPmP

cPC

8amorfipecivetri

2olii

alcoli

OH

10~,,

101~

~

0,120@2

ηηη

η

η

η

÷

÷

=°

36

Effetti della viscosità• La viscosità di un fluido invalida la legge di Bernoulli

(sistema non più conservativo)• Esempio: perdita di carico

Tubopiezometrico

h

pa

p

– Liquido reale η>0– Liquido ideale η=0

Tubo piezometrico: 2

21 vρρ +=+ pghp a

37

Legge di Hagen-Poiseulle• Nel caso di tubo estremamente piccolo la legge di Bernoulli non è

verificata neanche qualitativamente e il tipo di scorrimento èlaminare

• Vale la legge di di Hagen-Poiseuille:– Il volume V di liquido con viscosità η che fluisce

nell’intervallo di tempo t in un tubicino di raggio R elunghezza l, ai cui estremi ci sia una differenza di pressione ∆p costante è:

tlRp

V ⋅⋅

∆=

ηπ 4

8

l1p 2p

21 ppp −=∆R

lRp

tV

q⋅

∆==

ηπ 4

8

q è la portata in volume

38

Sedimentazione• Un corpo solido in moto, immerso in un fluido, subisce, oltre alla forza peso P e

alla spinta idrostatica di Archimede Fs, la forza di attrito viscoso F.

• Se il moto è sufficientemente lento sussiste: vrr

⋅−= lkF η• dove h è la viscosità, l è una dimensione lineare del corpo e k è un coefficiente di

forma del corpo (cx):• In assenza di vortici (scia) per una sfera di raggio R:

v⋅= RF ηπ6r

Legge di Stokes• Consideriamo un corpo di densità ρ e volume V che cade, con velocità costante,

all’interno di un fluido di densità ρ’. Il moto è rettilineo uniforme:

• Se il liquido è il sangue e i corpuscoli in caduta erano i globuli rossi si parla di:– velocità di eritrosedimentazione o v.e.s.

( )lk

gVlkgVgV

FFPFFPFFP sss

ηρρ

ηρρ′−

=

=′−=−⇒=−−⇒=++

v

v00

rrr

39

Centrifugazione• La sedimentazione può essere usata per separare solidi (o liquidi) immersi in

liquidi di densità diversa, ma il processo è estremamente lento. Lacentrifugazione risolve tale problema

R

ω

• Per il primo pricipio della dinamica, per mantenere il corpuscolo in rotazione adistanza R dall’asse occorre una forza centripeda:

RVRmR

mmaF cc22

2

ρωω ====v

• E’ il fluido a fornire questa forza. Infatti applicando (molto liberamente) il teorema dei Bernoulli, possiamo dire che a distanza R dall’asse esiste, nel fluido,una pressione crescente con R:

22

21

Rgypp a ωρρ ′+′+=

• Consideriamo un solido di densità ρ e volume V immerso in un fluido di densità ρ’.Mettiamo il tutto in una provetta a distanza Rdall’asse di rotazione:

40

... Centrifugazione 2• la componente dinamica di tale pressione nelle condizioni

operative domina:

⋅=′

⋅=′⇒

==

==

=′

⋅=

−

−

PaR

Pagy

s

mRmy

mkg

Pap a

622

2

12

33

5

10221

1081.9

102

1.01.0

10

10013,1

ωρ

ρ

πω

ν

ρ

• la distribuzione radiale delle pressioni fa sì che, come per la legge di Archimede, si formi una spinta (idrodinamica) verso l’asse di rotazione pari a quella che avrebbe la massa di liquido spostata:

RVamF rr2ωρ ′=′=

41

… centrifugazione 3• Se tale forza è superiore a quella centripeda Fc necessaria per

mantenere il corpuscolo in moto circolare uniforme, esso si sposterà verso l’asse di rotazione, se è inferiore esso si sposteràverso l’esterno: quindi c’è separazione fra i due mezzi (solido eliquido)

• La velocità con cui avviene tale separazione si ottiene ipotizzando che la differenza fra la forza centripeda necessaria e quella di spinta presente sia uguale alla forza di attrito viscoso

• sostituendo dei valori numerici di esempio si può verificare chetale velocità è ben superiore a quella ottenibile per sedimentazione

( )( )

lkRV

lkRVFFF arc

ηωρρ

ηωρρ2

2

′−=

=′−⇒=−

v

v

42

Flusso turbolento e numero di Reynolds• Intorno ad un oggetto in moto in un fluido viscoso si stabilisce un flusso

laminare se la velocità di traslazione dell’oggetto è sufficientemente piccola• Altrimenti si forma un flusso turbolento (scia)• Le due situazioni sono distinte da una grandezza adimensionale, il numero di

Reynolds (nella sua prima definizione):

ηρ l

NRv

=′l è la stessa lunghezza caratteristica che compare

nella legge della resistenza viscosa

• Possiamo distinguere regime laminare o vorticoso anche in un condotto percorso da un fluido. In questo caso la definizione del numero di Reynolds è leggermente diversa:

àInstabilit10002.0o turbolentRegime1000

laminare Regime2.0

⇒<′<⇒>′⇒<′

R

R

R

NN

N

ηρ R

NRv2

=dove R è il raggio del condotto e v è la velocità

media assunta dal fluido nel condotto

àInstabilit30001000o turbolentRegime3000

laminare Regime1000

⇒<<⇒>⇒<

R

R

R

NNN

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Pressione arteriosa• Aumentando la pressione dello sfigmomanometro si arriva a chiudere l’arteria radiale.

Non passando il sangue il fonendoscopio non segnala alcun rumore• Riducendo la pressione nel bracciale, ad un certo punto il sangue ricomincia a fluire, ma

in modo turbolento a causa dell’elevata velocità del sangue. Il fonendoscopio registra il rumore caratteristico del flusso turbolento (pressione massima)

• Riducendo sempre più la pressione nel bracciale, il flusso del sangue diventa laminare facendo scomparire il rumore (pressione minima)

• Consideriamo un’arteria:

laminare flusso2002

1008,205,1

25,1 portata102

0

23

1320

10

⇒≈=

⋅==

==⇒==−−

−−

sangue

sangueR

sanguesangue

RN

Pcmg

scmRqscmmmR

ηρ

ηρ

π

v

vv

• Restringiamo l’arteria, la portata deve rimanere costante, quindi aumenta lavelocità:

o turbolentflusso40001008,2

101096,305,122

1096,31,0

2

23

132

⇒≈⋅

⋅⋅⋅⋅=

′′=

⋅=′

=′=′

−

−

−

sangue

sangueR

RN

scmRq

mmR

η

ρπ

v

v