TENSION CORTANTE LONGITUDINAL

CORTANTE EN LA CARA HORIZONTAL DE UNA VIGA: Considere una viga prismática AB con un plano vertical de simetría que soporta varias cargas concentradas y distribuidas (figura 6.3).A una distancia “x” del extremo A se desprende de la viga un elemento CDD´C´ con la longitud x que seΔ extiende a través del ancho de la viga desde la superficie superior de la viga hasta una plano localizado a una distancia y1 del eje neutro (figura 6.4).

FIGURA 6.3 fuerzas cortantes en una viga

FIGURA 6.4 sección de la viga

Las fuerzas ejercidas sobre este elemento consiste de las fuerzas cortantes verticales V´C y V´D, una fuerza cortante horizontal HΔ ejercida sobre la cara inferior del elemento, las fuerzas normales elementales horizontales cdA y DdA y posiblemente una carga ω x (figura 6.5). Se escribe laΔ

ecuación de equilibrio.

Figura 6.5: sección de corte de la viga

Donde la integral se extiende por el área sombreada de la sección localizadaα sobre la línea y=y1 .despejando H de esta ecuación y utilizando la ecuación ΩΔ =My/l, para expresar los esfuerzos normales en términos de los momentos flectores en C y D, se tiene:

La integral de la ecuación representa el primer momento con respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal de la viga que se localiza porα encima de la línea y = y1 y se denotara por Q. Se sabe que:

Al sustituir en la ecuación ∆H se obtiene la siguiente expresión para el corte horizontal ejercido sobre el elemento de la viga

Figura 6.6: sección de corte de la viga

Lo mismo se habría obtenido si se hubiera utilizado como cuerpo libre el elemento inferior C´D´D´´C´´, en lugar del elemento superior CDD´C´(figura 7) ya que las fuerzas cortantes H y H´, ejercidas por los dos elementos uno sobre elΔ Δ otro son iguales y opuestas . Esto nos lleva a observar que el primer momento Q de la porción ´ de la sección transversal localizada bajo la línea y=y1α (figura6.8) es igual en magnitud y opuesto en sentido al primer momento del área de toda la sección transversal con respecto a su eje centroidal y, por lo tanto, debe ser cero. Esta propiedad en ocasiones utilizarse para simplificar el cálculo de Q. se advierte que Q es máximo para y1= 0, ya que los elementos de la sección transversal localizada por encima del eje neutro contribuye positivamente la integral que define a Q, mientras que los elementos localizados por debajo de dicho eje contribuye negativamente. El corte horizontal por unidad de longitud, que se denotara por la letra q, se obtiene ambos miembros de la ecuación ∆H = (VQ/I)/∆x entre x: Δ

Recuerde que Q es el primer momento con respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal localizada bien por encima o bien por debajo del punto en el que se calcula, y que l es el momento centroidal de inercia de toda el área de la sección transversal. El corte horizontal por unidad de longitud q también se conoce como flujo cortan

TORSIÓN EN TUBOS DE PARED DELGADA

TUBOS DE PAREDES DELGADAS.Torsión de un eje de sección circular.

Sea un eje de sección circular de radio R y longitud L sometida a un momento torsor T como se muestra en la Fig. 6.1.

Asumiremos que secciones planas antes de la deformación permanecen planas después de la deformación, lo que se verifica experimentalmente para ejes de sección circular pero que no es cierto en general para otras secciones.

Una fibra tal como la OA adoptará luego de la deformación la posición OB, de modo que

Si se asume además que un diámetro del eje antes de la deformación, lo continua siendo luego de la misma, puede escribirse

donde r es la distancia al centro del eje y γr representa la deformación angularen esa posición.

La condición de equilibrio exige

De modo que:

Donde J es el momento de inercia geométrico polar de la sección.Resulta entonces

Donde

Obsérvese que dado que resulta

donde GJ/L es la Rigidez Torsional del eje.

Resulta ilustrativo extender los resultados anteriores al caso de un eje de sección circular levemente variable como se muestra en la Fig. 6.2.

Podemos escribir :

Por ser la sección levemente variable, podemos aplicar la 6.2 al elemento de longitud dx y radio r para el que obtenemos

Tubos de paredes delgadas.Consideremos el caso de un tubo largo de paredes delgadas de sección con forma arbitraria, como se muestra en la Fig. 6.3.

A diferencia de la sección circular considerada anteriormente, la sección ahora considerada puede alabearse. Asumimos no obstante que no habiendo restricción para este alabeo, no hay generación de tensiones de tracción o compresión en la dirección longitudinal.Aislando un elemento de volumen, dado que el espesor es pequeño, puede considerarse razonablemente que las tensiones tangenciales son constantes en el espesor y que adoptan la dirección tangente a la línea media del contorno, como se muestra en la figura.El equilibrio en la dirección tangencial exige

De modo que el producto q = t es constante a lo largo del contorno del tubo yτ se denomina flujo de tensiones tangenciales. Representa la fuerza de corte por unidad de longitud de periferia medida sobre la línea media delespesor.

Ahora bien, teniendo en cuenta la Fig. 6.4 puede escribirse

Para estimar el ángulo de torsión no es posible ahoraθ asumir que las distorsiones varían linealmente con la distancia al eje longitudinal. Por lo tanto, considerando el elemento de volumen visto en la dirección n, como se indica

en la Fig. 6.4, tenemos que la fuerza tangencial que produce la distorsión del elemento, es

Como G = / , puede escribirse el trabajo sobre toda la periferia por unidad deτ γ longitud, como

Obsérvese que esta ecuación es análoga a la 6.2 obtenida para barras circulares, en la que se reemplaza el momento de inercia polar J por la resistencia torsional R.