Mécanique Chapitre 4 2007-10-02 - Gipsa-labnicolas.marchand/teaching/... · 2010. 6. 22. ·...
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Mécanique: chapitre 4
Energie mEnergie méécaniquecanique
1. TRAVAIL ET PUISSANCE
1.1 Travail élémentaire d’une force appliquée à un point matériel
Le travail élémentaire d’une force appliquée à un point matériel est égal au produit scalairede cette force par le déplacement élémentaire.
dlFdW ⋅=r
θ⋅⋅= cosdlFdW
Au point M 0 0cos 2
>>θπ
<θ dW Travail moteur
Au point P 0 0cos 2
==θπ
=θ dW Travail nul
Fr
dl
Fr
2π
=θFrθ
MN
PA
B
R
dl
dl dlFr
θ
Fr
dlQ
Au point N 0 0cos 2
<<θπ
>θ dW Travail résistant
Au point Q 1cos 0 =θ=θ Travail moteur maximum
Au point R 1cos −=θπ=θ Travail résistant (maximum en valeur absolue)
Unité: Joule
Exemple 1
1.2 Travail d’une force au cours d’un déplacement
Le travail de la force au cours du déplacement du point A au point B est donné par intégration du travail élémentaire tout le long du parcours.
∫ ⋅=B
AAB dlFW
r
A
BθM
dl
Fr
RemarquesAu cours du déplacement de A à B:
l’angle θ peut varierle module de la force peut varier
L
FA BForce constante, parallèle au déplacementet dans le sens du déplacement
0=θ tout le long du déplacement
[ ]LB
A
B
A
B
AAB lFdlFdlFdlFW 0⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫∫
rLFWAB ⋅= WAB > 0 Travail moteur
Exemple 2
L
F A BForce constante, parallèle au déplacementet dans le sens opposé au déplacement
π=θ tout le long du déplacement
[ ]LB
A
B
A
B
A
B
AAB
lFdlFdlF
dlFdlFW
0)1(
cos
⋅−=⋅−=⋅−⋅=
⋅π⋅=⋅=
∫∫
∫∫r
LFWAB ⋅−= WAB < 0 Travail résistant
Exemple 3
Force constante, perpendiculaire au déplacement
2π
=θ tout le long du déplacement L
F
A B
0=ABW WAB = 0 Travail nul
0)0(
2cos
=⋅⋅=
⋅π
⋅=⋅=
∫
∫∫B
A
B
A
B
AAB
dlF
dlFdlFWr
2π
=θ
0=θ
θ
F
F
F
B
θ
∫ ⋅=B
AAB dlFW
[ ] [ ]01sincos
cos
20
2
0
2
0
−⋅⋅=θ⋅⋅=θ⋅θ⋅⋅=
θ⋅θ⋅⋅=
ππ
π
∫
∫
RFRFdRF
dRFWAB
RFWAB ⋅=
R
Déplacement le long du cercle θ⋅= dRdl
Exemple 4
Force constante,en module, sens et directionla trajectoire est un arc de cercle
Exemple 5
La force n’est plus constante (interaction de deux charges)
xA
FA BO
xB
M:2x
kF =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−⋅=⋅=
⋅⋅=⋅=
∫
∫∫
AB
x
x
x
x
x
x
B
AAB
xxk
xkdx
xk
dxFdlFW
B
A
B
A
B
A
111
0cos
2
r
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅=
BAAB xx
kW 11
0>k
WAB > 0 Travail moteur
1.2 Travail d’une force appliquée à un solide en rotation
On considère la force appliquée à un treuil.On suppose que:
le module de la force est constantla force est continuellement tangenteà la trajectoire circulaire
∫ ⋅=B
AAB dlFW
Déplacement le long du cercle θ⋅= dRdl
[ ] [ ]ABAB RFRFdRFdRFW BA
B
A
B
A
θ−θ⋅⋅=θ⋅⋅=θ⋅⋅=θ⋅⋅= θθ
θ
θ
θ
θ∫∫
= moment de la force par rapport à l’axe de rotation ΔRF ⋅ RFM ⋅=
)( ABAB MW θ−θ⋅=
Le travail de la force est égal au produit de son moment par rapport à l’axe, multiplié par l’anglede rotation (exprimé en radian)
AθBθ
AB θ−θ
B A
F
Δ
R
M
1.3 Travail d’un couple
AθBθ
AB θ−θ
B A
1F
Δ R
M1
M2
2F
AB θ−θ
B’A’
Travail de 1F
Travail de 2F
)(1 ABRFW θ−θ⋅⋅=
)(221
ABRFWWW
θ−θ⋅⋅=+=
Travail du couple de forces
Moment du couple de forces
RFM ⋅=Δ 2
Travail du couple de forces
)( ABMW θ−θ⋅= Δ
Le travail d’un couple dont le plan est perpendiculaire à l’axe de rotation est égal au produit deson moment par l’angle de rotation, exprimé en radian.
)(2 ABRFW θ−θ⋅⋅=
1.2 Puissance d’une force
Les expressions précédentes du travail, pour une force ou pour un couple de forces, ne font pasintervenir le temps.
Seuls interviennent:• Pour une force:
• la trajectoire• le module de la force• leur orientation respective à tout moment (angle θ)
• Pour un couple de forces• l’angle de rotation• le module du moment du couple
En particulier, la vitesse de déplacement du point matériel, ou la vitesse de rotation autourde l’axe n’apparaissent pas
Puissance d’une force, P: la dérivée par rapport au temps de l’expression du travail
dtdWP = dlFdW ⋅= dt
dlFP ⋅= VFP ⋅= Unité:Watt
Dans le cas d’un couple θ⋅= dMdWdtdMP θ
= ω⋅= MP
2. ENERGIE CINÉTIQUE
2.1 Energie cinétique d’un point matériel
2
21 VmEc ⋅=
C’est le produit de la masse du point matériel par le carré du module de sa vitesse
M
m
V
x
z
yO
Unité: Joule
L’énergie cinétique est toujours POSITIVE
∑=
=N
iiic VmE
1
2
21
Exemple: N points, A1, A2,……. AN
L’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques de chacun des points
NVVV ,..., 21
Nmmm ,..., 21Masses
Vitesses
x
z
y
m1
m2 m3
m4
mN
A1
A2 A3
A4
AN
O
1V2V
3V
4V
NV
2.2 Energie cinétique d’un ensemble de N points matériels
L’énergie cinétique d'un solide en translation est égale à celle de son centre de gravité, auquel toute la masse serait appliquée.
L’énergie cinétique d’un solide est la somme des énergies cinétiques des éléments matérielsqui le composent
2.3 Distribution continue de points matériels: solide
2.3.1 Solide en translation
Tous les points se déplacent à la même vitesse, égale à celle du centre de gravité
x
z
yA2O
G
V
A1
A3
A4
V
V
VV
∑=
=N
iitc VmE
1
2, 2
1
2
1, 2
1 VmEN
iitc ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= ∑
=
2, 2
1 VME tc =
∑=
=N
iimM
1Masse totale
Exemple: train de 200 tonnes, vitesse 57,6 km/h
1-3
m.s 163600
106,57=
×=V 2
21 mVEcin = Joule 106,25)16(10200
21 623 ×=⋅×=cinE
2.3.2 Solide en rotation autour d’un axe
A3
A1
A3
ω
r1
Δ
2Vr2
3V
r3
Tous les points ont la même vitesse angulaire, ω
( ) 2233
222
211 ...
21
ω⋅+⋅+⋅+⋅= rmrmrmEc
ω⋅= 11 rV 2211
211 2
121
ω= rmVm
ω⋅= 22 rV 2222
212 2
121
ω= rmVm
ω⋅= 33 rV 2233
233 2
121
ω= rmVm
....233
222
211 +⋅+⋅+⋅= rmrmrmJ
Moment d’inertie
2, 2
1ω⋅= JE rc
2, 2
1 MVE tc = CORRESPONDANCE
Exemple: Rotor 20 kg; rayon 10 cm; vitesse 2400 tours/mn
srad /15,2560
22400=
π⋅=ω 22 1,0)1,0(20
21 kgmJ =⋅= JouleE rc 25,63)15(,2(1,0 2
, =⋅=
2.3.3 Cas général
Le mouvement se décompose:• Mouvement du centre de gravité, considéré comme un point matériel de même masse que le solide• Rotation autour d’un axe passant par le centre de gravité
22
,,
21
21
ω+=
+=
JMVE
EEE
c
rctcc
Exemple: bille sur un plan inclinéω=
ϕ== R
dtdR
dtdxVG
252 MRJ =
RVG=ω
2221
21
ω+= JMVE Gc
222
222
51
21
52
21
21
GGG
Gc MVMVRVMRMVE +=+=
2107
Gc MVE =
M = 30 g, V = 3 m/s EC = 0,19 Joule
GV
x
Rϕ G
2.4 Théorème de l’énergie cinétique
La variation de l’énergie cinétique totale d’un solide entre deux instants donnés est égaleà la somme algébrique des travaux effectués entre ces instants par toutes les forces extérieures qui agissent sur le solide
Exemple :
Un camion de 7 tonnes, partant du repos, atteint la vitesse de 72 km/h en parcourant 500 m, d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Trouver la résultante des forces qui agissentsur le camion au cours du déplacement.
A t = 0 0)0( =cE
Après 500 m 221 mVEc = m/s 20
36001072 3
=⋅
=V Joules 1014)20)(107(21 523 ×=×=cE
L’accélération est constante, donc la résultante des forces aussi.
Travail des forces LFW ⋅=
LWF = N 2800
5001014 5
=×
=F
Pour augmenter de 1°C une masse d’eau de 1 kg, il faut 4180 Joules. L’énergie cinétique du camion,restituée au cours d’un freinage jusqu’à l’arrêt complet permettrait d’élever de 33°C une massed’eau de 10 kg.
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
EPreuve (en scalaire)
∑=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ F
dtvdm
rr
On a (relation fondamentale de la dynamique)
donc
vFvdtdvm .. ∑=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
or
dtdE
dtdvmv
dtdvm c=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
21.
( )dt
lFddtdlFvF ∑∑∑ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
...
donc
( )dt
lFddt
dEc ∑=.
Ce qui donne en intégrant :
[ ] [ ]BABAc WE =
3. ENERGIE POTENTIELLE
On dit qu’une force est conservative, ou encore qu’elle dérive d’un potentiel si son travailne dépend que de la position initiale et de la position finale de son point d’application.
)()( BEAEdlFW pp
B
AAB −=⋅= ∫
Une dimension: )()()( BEAEdxxFW pp
B
AAB −=⋅= ∫
D’après les propriétésde l’intégrale définie dx
xdExF p )()( −=
est la dérivée du potentiel )(xEp)(xFLa force par rapport à x (au signe près)
La force dérive du potentiel
)(AEp )(BEpet sont les valeurs prises
appelée énergie potentielle),,( zyxEp
aux points A et B par une fonction
A
B
M2
)( 2MFdl
)( 1MFM1 dl)(AEp
)(BEp
y
xO
Le travail effectué par la force du point A au point B est indépendant du chemin suivi
dxdxdfxfxf
B
AAB ∫=− )()(
3.1 Energie potentielle de pesanteur
A
B
z
xgMP =
zA
zB
( )BAAB zzMgW −=
MgzzEp =)(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− MgP 0
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
dzdydx
dl
MgdzdydxdlPdW
−×+×=⋅=
00
MgdzdW −=
∫ ∫−=−=B
A
z
zAB
B
A
dzMgMgdzW
[ ] [ ]ABzzAB zzMgzMgW B
A−−=−=
Energie potentielle de pesanteur )()( BpApAB zEzEW −=
mgdzdzmg
dzmgzd
dzzdE
P p −=−=−=−=)()(
La DIMINUTION d’énergie potentielleest égale au travail de la force
Initiale Finale
3.2 Energie potentielle élastique
( )2221
BAAB xxkW −=
)(21)( 2 CtekxxEp +=
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
00
kxF
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
00dx
dl
kxdxdlFdW −=⋅=
∫ ∫−=−=B
A
x
xAB
B
A
xdxkkxdxW
[ ]222
22 AB
x
xAB xxkxkW
B
A
−−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
Energie potentielle élastique
)()( BpApAB xExEW −=
x
F−
x
x
A
B
Ax
Bx
F
Force de rappel
Travail au cours d’un déplacement élémentaire
Négatif: travail résistant
)()( 0 ApBpAB xExEW ><
3.3 Energie potentielle électrostatique
Attraction/répulsion entre deux charges électriques
221
041
xqqF
πε=
xA
FA BO
xB
M
q1q2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−⋅
πε=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−⋅
πε=
πε=
⋅πε
=⋅=
∫
∫∫
AB
x
x
x
x
x
x
B
AAB
xxqq
xqq
xdxqq
dxx
qqdlFW
B
A
B
A
B
A
114
144
14
0
21
0
2120
21
20
21r
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅
πε=
BAAB xx
qqW 114 0
21
xqqxEp
14
)(0
21 ⋅πε
=Energie potentielle électrostatique
)()( BpApAB xExEW −=
Si q1 q2 > 0 (charges de même signe) force répulsive
Si q1 q2 < 0 (charges de signes contraires) force attractive
4. ENERGIE MECANIQUE TOTALE
L’énergie mécanique totale est la somme de l’énergie cinétique totale (translation +rotation)et de l’énergie potentielle
pctot EEE += rctcc EEE ,, +=
L’énergie mécanique totale d’un système isolé se conserve
Exemple: chute libre
z1
z2
gmP =
G1
G2
z
A l’altitude z1 12
11 21 mgzmVE +=
A l’altitude z12 2222 2
1 mgzmVE +=
L’énergie mécanique totale se conserve 21 EE =
2221
21 2
121 mgzmVmgzmV +=+
( )212
122 2 zzgVV −=−
R
gmP =
m
z
0Δ
Exemple: accélération d’une poulie accélérée par une masse
Energie mécanique totale mgzmVJE −+ω= 2221
21
L’énergie mécanique totale se conserve
CtemgzmVRVJ =−+ 2
2
2
21
21
En dérivant cette équation
0
0
0)2(21)2(
21
2
2
2
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−+
=−+
mgdtdVm
RJ
mgVdtdVmV
dtdVV
RJ
dtdzmg
dtdVVm
dtdVV
RJ
RV
=ω
Relation entre la vitesse linéaire etla vitesse angulaire
mgzmVRVJE −+= 2
2
2
21
21
mRJmg
dtdV
+==γ
2
mRRJ
mgR +=
γ=α