Mécanique: chapitre 4

Energie mEnergie méécaniquecanique

1. TRAVAIL ET PUISSANCE

1.1 Travail élémentaire d’une force appliquée à un point matériel

Le travail élémentaire d’une force appliquée à un point matériel est égal au produit scalairede cette force par le déplacement élémentaire.

dlFdW ⋅=r

θ⋅⋅= cosdlFdW

Au point M 0 0cos 2

>>θπ

<θ dW Travail moteur

Au point P 0 0cos 2

==θπ

=θ dW Travail nul

Fr

dl

Fr

2π

=θFrθ

MN

PA

B

R

dl

dl dlFr

θ

Fr

dlQ

Au point N 0 0cos 2

<<θπ

>θ dW Travail résistant

Au point Q 1cos 0 =θ=θ Travail moteur maximum

Au point R 1cos −=θπ=θ Travail résistant (maximum en valeur absolue)

Unité: Joule

Exemple 1

1.2 Travail d’une force au cours d’un déplacement

Le travail de la force au cours du déplacement du point A au point B est donné par intégration du travail élémentaire tout le long du parcours.

∫ ⋅=B

AAB dlFW

r

A

BθM

dl

Fr

RemarquesAu cours du déplacement de A à B:

l’angle θ peut varierle module de la force peut varier

L

FA BForce constante, parallèle au déplacementet dans le sens du déplacement

0=θ tout le long du déplacement

[ ]LB

A

B

A

B

AAB lFdlFdlFdlFW 0⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫∫

rLFWAB ⋅= WAB > 0 Travail moteur

Exemple 2

L

F A BForce constante, parallèle au déplacementet dans le sens opposé au déplacement

π=θ tout le long du déplacement

[ ]LB

A

B

A

B

A

B

AAB

lFdlFdlF

dlFdlFW

0)1(

cos

⋅−=⋅−=⋅−⋅=

⋅π⋅=⋅=

∫∫

∫∫r

LFWAB ⋅−= WAB < 0 Travail résistant

Exemple 3

Force constante, perpendiculaire au déplacement

2π

=θ tout le long du déplacement L

F

A B

0=ABW WAB = 0 Travail nul

0)0(

2cos

=⋅⋅=

⋅π

⋅=⋅=

∫

∫∫B

A

B

A

B

AAB

dlF

dlFdlFWr

2π

=θ

0=θ

θ

F

F

F

B

θ

∫ ⋅=B

AAB dlFW

[ ] [ ]01sincos

cos

20

2

0

2

0

−⋅⋅=θ⋅⋅=θ⋅θ⋅⋅=

θ⋅θ⋅⋅=

ππ

π

∫

∫

RFRFdRF

dRFWAB

RFWAB ⋅=

R

Déplacement le long du cercle θ⋅= dRdl

Exemple 4

Force constante,en module, sens et directionla trajectoire est un arc de cercle

Exemple 5

La force n’est plus constante (interaction de deux charges)

xA

FA BO

xB

M:2x

kF =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=

∫

∫∫

AB

x

x

x

x

x

x

B

AAB

xxk

xkdx

xk

dxFdlFW

B

A

B

A

B

A

111

0cos

2

r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=

BAAB xx

kW 11

0>k

WAB > 0 Travail moteur

1.2 Travail d’une force appliquée à un solide en rotation

On considère la force appliquée à un treuil.On suppose que:

le module de la force est constantla force est continuellement tangenteà la trajectoire circulaire

∫ ⋅=B

AAB dlFW

Déplacement le long du cercle θ⋅= dRdl

[ ] [ ]ABAB RFRFdRFdRFW BA

B

A

B

A

θ−θ⋅⋅=θ⋅⋅=θ⋅⋅=θ⋅⋅= θθ

θ

θ

θ

θ∫∫

= moment de la force par rapport à l’axe de rotation ΔRF ⋅ RFM ⋅=

)( ABAB MW θ−θ⋅=

Le travail de la force est égal au produit de son moment par rapport à l’axe, multiplié par l’anglede rotation (exprimé en radian)

AθBθ

AB θ−θ

B A

F

Δ

R

M

1.3 Travail d’un couple

AθBθ

AB θ−θ

B A

1F

Δ R

M1

M2

2F

AB θ−θ

B’A’

Travail de 1F

Travail de 2F

)(1 ABRFW θ−θ⋅⋅=

)(221

ABRFWWW

θ−θ⋅⋅=+=

Travail du couple de forces

Moment du couple de forces

RFM ⋅=Δ 2

Travail du couple de forces

)( ABMW θ−θ⋅= Δ

Le travail d’un couple dont le plan est perpendiculaire à l’axe de rotation est égal au produit deson moment par l’angle de rotation, exprimé en radian.

)(2 ABRFW θ−θ⋅⋅=

1.2 Puissance d’une force

Les expressions précédentes du travail, pour une force ou pour un couple de forces, ne font pasintervenir le temps.

Seuls interviennent:• Pour une force:

• la trajectoire• le module de la force• leur orientation respective à tout moment (angle θ)

• Pour un couple de forces• l’angle de rotation• le module du moment du couple

En particulier, la vitesse de déplacement du point matériel, ou la vitesse de rotation autourde l’axe n’apparaissent pas

Puissance d’une force, P: la dérivée par rapport au temps de l’expression du travail

dtdWP = dlFdW ⋅= dt

dlFP ⋅= VFP ⋅= Unité:Watt

Dans le cas d’un couple θ⋅= dMdWdtdMP θ

= ω⋅= MP

2. ENERGIE CINÉTIQUE

2.1 Energie cinétique d’un point matériel

2

21 VmEc ⋅=

C’est le produit de la masse du point matériel par le carré du module de sa vitesse

M

m

V

x

z

yO

Unité: Joule

L’énergie cinétique est toujours POSITIVE

∑=

=N

iiic VmE

1

2

21

Exemple: N points, A1, A2,……. AN

L’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques de chacun des points

NVVV ,..., 21

Nmmm ,..., 21Masses

Vitesses

x

z

y

m1

m2 m3

m4

mN

A1

A2 A3

A4

AN

O

1V2V

3V

4V

NV

2.2 Energie cinétique d’un ensemble de N points matériels

L’énergie cinétique d'un solide en translation est égale à celle de son centre de gravité, auquel toute la masse serait appliquée.

L’énergie cinétique d’un solide est la somme des énergies cinétiques des éléments matérielsqui le composent

2.3 Distribution continue de points matériels: solide

2.3.1 Solide en translation

Tous les points se déplacent à la même vitesse, égale à celle du centre de gravité

x

z

yA2O

G

V

A1

A3

A4

V

V

VV

∑=

=N

iitc VmE

1

2, 2

1

2

1, 2

1 VmEN

iitc ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= ∑

=

2, 2

1 VME tc =

∑=

=N

iimM

1Masse totale

Exemple: train de 200 tonnes, vitesse 57,6 km/h

1-3

m.s 163600

106,57=

×=V 2

21 mVEcin = Joule 106,25)16(10200

21 623 ×=⋅×=cinE

2.3.2 Solide en rotation autour d’un axe

A3

A1

A3

ω

r1

Δ

2Vr2

3V

r3

Tous les points ont la même vitesse angulaire, ω

( ) 2233

222

211 ...

21

ω⋅+⋅+⋅+⋅= rmrmrmEc

ω⋅= 11 rV 2211

211 2

121

ω= rmVm

ω⋅= 22 rV 2222

212 2

121

ω= rmVm

ω⋅= 33 rV 2233

233 2

121

ω= rmVm

....233

222

211 +⋅+⋅+⋅= rmrmrmJ

Moment d’inertie

2, 2

1ω⋅= JE rc

2, 2

1 MVE tc = CORRESPONDANCE

Exemple: Rotor 20 kg; rayon 10 cm; vitesse 2400 tours/mn

srad /15,2560

22400=

π⋅=ω 22 1,0)1,0(20

21 kgmJ =⋅= JouleE rc 25,63)15(,2(1,0 2

, =⋅=

2.3.3 Cas général

Le mouvement se décompose:• Mouvement du centre de gravité, considéré comme un point matériel de même masse que le solide• Rotation autour d’un axe passant par le centre de gravité

22

,,

21

21

ω+=

+=

JMVE

EEE

c

rctcc

Exemple: bille sur un plan inclinéω=

ϕ== R

dtdR

dtdxVG

252 MRJ =

RVG=ω

2221

21

ω+= JMVE Gc

222

222

51

21

52

21

21

GGG

Gc MVMVRVMRMVE +=+=

2107

Gc MVE =

M = 30 g, V = 3 m/s EC = 0,19 Joule

GV

x

Rϕ G

2.4 Théorème de l’énergie cinétique

La variation de l’énergie cinétique totale d’un solide entre deux instants donnés est égaleà la somme algébrique des travaux effectués entre ces instants par toutes les forces extérieures qui agissent sur le solide

Exemple :

Un camion de 7 tonnes, partant du repos, atteint la vitesse de 72 km/h en parcourant 500 m, d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Trouver la résultante des forces qui agissentsur le camion au cours du déplacement.

A t = 0 0)0( =cE

Après 500 m 221 mVEc = m/s 20

36001072 3

=⋅

=V Joules 1014)20)(107(21 523 ×=×=cE

L’accélération est constante, donc la résultante des forces aussi.

Travail des forces LFW ⋅=

LWF = N 2800

5001014 5

=×

=F

Pour augmenter de 1°C une masse d’eau de 1 kg, il faut 4180 Joules. L’énergie cinétique du camion,restituée au cours d’un freinage jusqu’à l’arrêt complet permettrait d’élever de 33°C une massed’eau de 10 kg.

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

EPreuve (en scalaire)

∑=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ F

dtvdm

rr

On a (relation fondamentale de la dynamique)

donc

vFvdtdvm .. ∑=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

or

dtdE

dtdvmv

dtdvm c=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

21.

( )dt

lFddtdlFvF ∑∑∑ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

...

donc

( )dt

lFddt

dEc ∑=.

Ce qui donne en intégrant :

[ ] [ ]BABAc WE =

3. ENERGIE POTENTIELLE

On dit qu’une force est conservative, ou encore qu’elle dérive d’un potentiel si son travailne dépend que de la position initiale et de la position finale de son point d’application.

)()( BEAEdlFW pp

B

AAB −=⋅= ∫

Une dimension: )()()( BEAEdxxFW pp

B

AAB −=⋅= ∫

D’après les propriétésde l’intégrale définie dx

xdExF p )()( −=

est la dérivée du potentiel )(xEp)(xFLa force par rapport à x (au signe près)

La force dérive du potentiel

)(AEp )(BEpet sont les valeurs prises

appelée énergie potentielle),,( zyxEp

aux points A et B par une fonction

A

B

M2

)( 2MFdl

)( 1MFM1 dl)(AEp

)(BEp

y

xO

Le travail effectué par la force du point A au point B est indépendant du chemin suivi

dxdxdfxfxf

B

AAB ∫=− )()(

3.1 Energie potentielle de pesanteur

A

B

z

xgMP =

zA

zB

( )BAAB zzMgW −=

MgzzEp =)(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− MgP 0

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

dzdydx

dl

MgdzdydxdlPdW

−×+×=⋅=

00

MgdzdW −=

∫ ∫−=−=B

A

z

zAB

B

A

dzMgMgdzW

[ ] [ ]ABzzAB zzMgzMgW B

A−−=−=

Energie potentielle de pesanteur )()( BpApAB zEzEW −=

mgdzdzmg

dzmgzd

dzzdE

P p −=−=−=−=)()(

La DIMINUTION d’énergie potentielleest égale au travail de la force

Initiale Finale

3.2 Energie potentielle élastique

( )2221

BAAB xxkW −=

)(21)( 2 CtekxxEp +=

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

00

kxF

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

00dx

dl

kxdxdlFdW −=⋅=

∫ ∫−=−=B

A

x

xAB

B

A

xdxkkxdxW

[ ]222

22 AB

x

xAB xxkxkW

B

A

−−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

Energie potentielle élastique

)()( BpApAB xExEW −=

x

F−

x

x

A

B

Ax

Bx

F

Force de rappel

Travail au cours d’un déplacement élémentaire

Négatif: travail résistant

)()( 0 ApBpAB xExEW ><

3.3 Energie potentielle électrostatique

Attraction/répulsion entre deux charges électriques

221

041

xqqF

πε=

xA

FA BO

xB

M

q1q2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⋅

πε=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−⋅

πε=

πε=

⋅πε

=⋅=

∫

∫∫

AB

x

x

x

x

x

x

B

AAB

xxqq

xqq

xdxqq

dxx

qqdlFW

B

A

B

A

B

A

114

144

14

0

21

0

2120

21

20

21r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

πε=

BAAB xx

qqW 114 0

21

xqqxEp

14

)(0

21 ⋅πε

=Energie potentielle électrostatique

)()( BpApAB xExEW −=

Si q1 q2 > 0 (charges de même signe) force répulsive

Si q1 q2 < 0 (charges de signes contraires) force attractive

4. ENERGIE MECANIQUE TOTALE

L’énergie mécanique totale est la somme de l’énergie cinétique totale (translation +rotation)et de l’énergie potentielle

pctot EEE += rctcc EEE ,, +=

L’énergie mécanique totale d’un système isolé se conserve

Exemple: chute libre

z1

z2

gmP =

G1

G2

z

A l’altitude z1 12

11 21 mgzmVE +=

A l’altitude z12 2222 2

1 mgzmVE +=

L’énergie mécanique totale se conserve 21 EE =

2221

21 2

121 mgzmVmgzmV +=+

( )212

122 2 zzgVV −=−

R

gmP =

m

z

0Δ

Exemple: accélération d’une poulie accélérée par une masse

Energie mécanique totale mgzmVJE −+ω= 2221

21

L’énergie mécanique totale se conserve

CtemgzmVRVJ =−+ 2

2

2

21

21

En dérivant cette équation

0

0

0)2(21)2(

21

2

2

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−+

=−+

mgdtdVm

RJ

mgVdtdVmV

dtdVV

RJ

dtdzmg

dtdVVm

dtdVV

RJ

RV

=ω

Relation entre la vitesse linéaire etla vitesse angulaire

mgzmVRVJE −+= 2

2

2

21

21

mRJmg

dtdV

+==γ

2

mRRJ

mgR +=

γ=α