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fiche math pour prepa mpsi

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  • Fiches de math (MPSI/MP)Samuel MIMRAM

    2000-2002

    Table des matires

    1 DiversRelation dquivalence : rflexive, symtrique, transitiveRelation dordre : rflexive, antisymtrique, transitive|A B| = |A| + |B| |A B||F| = p |P(F)| = 2p

    XP(F) |X| = p2p1

    2 Algbre gnrale2.1 DiversUn groupe monogne est isomorphe Z ou Z/nZ.Signature de n : () ={i, j}P(|[1, n]|) ( j)(i)jiThorme de Bezout : a b = 1 (u, v) Z2, au + bv = 1Thorme de Gauss : (a b = 1 et a|bc) a|c

    2.2 Groupes(G, ) : est associative, G admet un lment neutre pour , tout lment de G admet un symtrique pour

    H sous-groupe de G

    H , (x, y) H2, x y Hx H, x1 H

    Une intersection qcq de ss-groupes est un ss-groupe H +G : pp ss-gr tq H G H +GLimage dun groupe par un morphisme est un groupe de neutre f (eG)Transport de structure :

    f bijection de (G, ) ds B alors cest un morphisme de (G, ) ds (B, ) avec : u v = f [ f 1(u) f 1(v)]

    Les ss-groupes de Z sont les nZH K groupe H K ou K HPlus petit ss-groupe contenant H K : H + Kf injective Ker f = {0}

    Relation dquiv associe un ss-groupe : xRHy y1x H

    Dcomposition canonique : Ef F : il existe f , bijective, tq :

    Ef F

    s

    y xiE/R f

    f f (E)Groupe cyclique : monogne finiTh de Lagrange : lordre de tt lmt divise le cardinal du groupeSi G est de cardinal p premier alors il est cyclique et isomorphe (Z/pZ)

    1

  • (G,) est un groupe(Z/nZ) est un groupe de cardinal (n) (n) = n i (1 1pi

    )Si m n = 1 alors (mn) = (m)(n)

    dmo : : kmn 7 (km, kn) et dim Im = mn

    mn car m n = dim Ker

    : gnrateur de i aiZ : gnrateur de i aiZThorme Chinois : si m n = 1 alors (Z/mnZ,+) est isomorphe (Z/mZ Z/nZ,+)EQ DIOPH

    2.3 Groupe oprant sur un ensembleAction gauche : eG x = x et (g, g) G2, g (g x) = (g g) x(Ag)1 = Ag1Automophisme intrieur : a : x1 : (G, ) ((E), ) / g 7 Ag = g . est un morphisme de groupesA tt morphisme de (G, ) dans ((E), ) est associe une action gauche de G sur E tq : g G, (g) = AgAction fidle : injectif donc bijectif de (G, ) dans ((G), )Relation dquiv associe une action : xRy g G, y = g x = Ag(x)Orbites de E ss laction A : lmts de E/R Ox = A xAction transitive : E/R ne contient quun seul lmentTh de Lagrange : ds un groupe fini E, le cardinal de tout ss-groupe G divise le cardinal du groupe

    dmo : G Ox / g 7 g x bijection donc |Ox | = |G| et E = xE/RG |Ox | = |E/RG | |G|Si |G| = n alors g G, gn = eGPetit th de Fermat : si p premier et a , 0 alors ap1 1 (mod p) dmo : Lagrange avec (G,)x invb ds (Z/nZ) x n = 1 Gr(x) = Z/nZ

    Centre : Z(G) = {g G / x G, gx = xg}

    Toute orbite est stable sous laction de GPour tt orbite Ox et tt g G, Ag : Ox Ox / y 7 g y est une bijectionStabilisateur (groupe disotropie) : Stab(a) = {g G / g a = a} : groupe(a, b) O2x, Stab(a) et Stab(b) st isomorphes (conjugus par autom intrieur)a Ox,Card(Ox) Card(Stab(a)) = Card(G)dmo : Ox = {ai} ; a : G Ox / g 7 g a mq i0 = a ({ai0 }) = gi0 Stab(a) avec ai = gi0 a puis les i0 : partition de GCard G = Card(Im f ) Card(Ker f ) dmo : : (g/Ker g) Im f / g 7 f (g) isomorphismeTh de Burnside : N |G| = gG |Fg| o Fg = {x E / g x = x} dmo : poser = {(g, x) G E/g x = x}Il y a p+12 carrs dans Z/pZ dmo : : (Z/pZ,) (Z/pZ,) / x 7 x2

    2.4 Anneaux corpsAnneau (A,+,) :(A,+) est un groupe ablien, est associative, est distributive sur +, A admet un lment neutre pour

    B sous-anneau de A

    1A B(x, y) B2, x y B(x, y) B2, xy B

    a est rgulier : ax = ay x = y et xa = ya x = ya rgulier a non diviseur de 0Anneau intgre : non nul, commutatif, sans diviseur de 0(A,) : groupe des lmts inversiblesa est nilpotent : n N, an = 0Si a est nilpotent e a est inversb dinverse e + a + . . . + an1

    I est un idal de A : I est un sous-groupe de A et a A,i I, ai ISi 1A I ou I contient un lmt inversb alors I = AI J est un idal, I + J : pp idal contenant I JSi f morphisme danneaux : Im f ss-anneau et Ker f idalRelation dquiv associe un idal : xRI y x y IIdal principal : a A, I = aAAnneau principal : intgre, dt ts les idaux st principaux

    2

  • Caractristique : ordre de eA dans (A,+)La caractristique dun anneau intgre est soit infinie, soit un nb premier

    Ds un anneau de caractristique p, si xy = yx alors (x + y)p = xp + ypdmo : (x + y)p = pk=0 Ckp xkypk et k |[1, p 1]|, p|Ckp

    Corps (K,+,) :(K,+,) est un anneau, 0K , 1K , tout lment de K\{0} admet un inverse pour

    L sous-corps de K

    1K L(x, y) L2, x y L(x, y) L2, xy Lx L\{0}, x1 L

    Un corps est un anneau intgreLa caractristique dun corps fini est un nombre premierSi I est un idal dun corps K alors I = {0} ou I = KLimage dun corps K par un morphisme danneaux est un corps isomorphe K dmo : Ker = {0} : idalDans un corps commutatif fini de caractristique p tt lmt admet une et une seule racine p-ime

    dmo : : K K / x 7 xp morphisme danneaux bijectifTout corps fini est commutatifTout corps fini a pour cardinal pn avec p premier

    dmo : K de caractristique p ; L = {e,2e, . . . , pe} ss-corps de K ; K : L- de dim (finie) n

    Un polyn de degr d admet au plus d racines ds un corps

    Th de Wilson : (p 1)! 1 (mod p) dmo : 1, . . . , (p 1) : racines de X p1 1 ds Z/pZ

    2.5 PolynmesdimKn[X] = n + 1K[X] est un anneau principalPolynme P irrductible : divisible seulement par et P ( K)Un polynme de degr n admettant n + 1 racines distinctes est le polynme nulP|Q [P(x) = 0 Q(x) = 0]a racine de multiplicit k de P : i |[0, k 1]|, P(i)(a) = 0 et P(k)(a) , 0P = [Xn 1X(n1) + . . . + (1)kkXnk + . . . + (1)nn] avec 1 = x1 + . . . + xn et n = x1...xn (n xi)

    attention la normalisation de PMettre les polyn du 2nd degr ss forme canoniqueThorme de dAlembert : C est algbriquement clos

    Si P est scind alors P lest dmo : multiplicits mi 1, Rolle pr les racines distinctes

    Dcomposition dun fraction rationnelle en lments simples : parit, conjugaison ? calculer la partie entire de PQ ple simple : calcul du coeff en virant le ple si N(X)D(x) =

    N(X)(Xa)D1(X) avec a de multiplicit 1, partie principale relative a :

    N(a)(Xa)D(a)

    ple multiple : idem pour le calcul du coeff pr le plus haut degr du numrateur lim

    xxF(x) : somme des coeffs (ou du coeff de x si racine non relle dans R) avec doF 1

    valeurs particulires quations

    Si pq (avec p q = 1) est racine de P alors p|a0 et q|an

    Polyn de Tchebytchev : Tn(cos t) = cos nt Tn+2 + Tn = 2XTn+1

    Oprateur aux diffrences finies : : P(X) 7 P(X + 1) P(X) = T Id avec T : P(X) 7 P(X + 1)avec P K[X] tq deg P = n 1 : deg(kP) = n k donc nP = 0sur Cn[X] : Ker = C0[X] et Im = Cn1[X]T nP(X) = P(X + n) et T = T donc nP(X) = (T Id)nP(X) = nk=0(1)k Ckn T k = nk=0(1)kP(X + k) P(n + 1) si on connait ts les P(k) avec k |[1, n]|

    3

  • 2.6 Polynmes et K-algbresAlgbre (A,+,, ) :(A,+,) est un anneau, (A,+, ) est un K-ev et K,(x, y) A, ( x) y = x ( y) = (x y)

    B sous-algbre de A

    1 B(x, y) B2, x + y B et xy B K,x B, x B

    a : K[X] K / P = jX j 7 a(P) = ja j = P(a) est un morphisme dalgbresPolyn minimal : le gnrateur unitaire de Ker a (idal des polyn annulateurs de a)Le polyn minimal divise tt polyn annulateurK[a] = Im a (a A) est une ss-algbre commutative deA : deux polyn dun m endomorphisme commutentSi lalgbre est intgre et a existe alors a est irrductible dans K[X]Si a existe, tout P(a) K[a] est inversible dansA ssi P a = 1 ; ds ce cas P(a)1 K[a]SiA est de dim finie, a A, a existe dmo : (a0, . . . , an) lieKer a , {0K[X]} Im a = K[a] est une algbre de dim finie dmo : div eucl de P par aSi Ker a = aK[X] avec dega = d alors K[a] est une K-algbre de dim d de base (a0, . . . , ad1)SiA est intgre et K[a] est de dim finie alors K[a] est un corps dmo : a irrd donc P a = 1

    Si K[a] est un algbre de dim finie et P(a) inversible alors P(a)1 K[a]dmo : a : K[a] K[a] / x 7 xP(a) isomorphisme

    3 Algbre linaire3.1 Espaces vectorielsEspace-vectoriel (E,+, .) :(K,+,) corps commutatif, (E,+) groupe ablien, 1.x = x, ( + )x = x + y, (x + y) = x + y, (x) = ()x

    F sous- de E

    F , (x, y) F2, x + y F K,x F, x F

    Pour montrer F ss- de E, on peut montrer F = Ker

    Norme : N(x) = 0 x = 0 N(x) = ||N(x) N(x + y) N(x) + N(y)norme dalgbre : N(a b) N(a)N(b)

    |N(x) N(y)| N(x + y) N(x) + N(y)donc x 7 x est continue car 1-lipschitzienne

    Normes usuelles : x1 = |xi| x2 =

    x2i x = max |xi|Normes quivalentes x,N(x) x et x N(x) Id : (E,N) (E, ) bicontinueDs un : B(x, r) = B f (x, r) et vice versaf L(E, F) [u] continue C0 en 0 borne sur B f (0E, 1) ou S (0E, 1) N[ f (x)] kx k-lipNorme suboordonne (norme dalgbre sur Lc(E, F)) : | f | = sup

    xB f (0E ,1)N[ f (x)] = sup

    xS (0E ,1)N[ f (x)] = sup

    xE\{0E }N[ f (x)]x

    N[ f (x)] | f | x |g f | |g| | f |Si F alors (Lc(E, F), | |) Si Id , 1 alors nest pas une norme suboordonne

    (x, y) 7 x + y et (, x) 7 x sont continuesSur un K- de dim finie, toutes les normes sont quivSur un K- de dim finie, une partie est compacte ssi cest un ferm bornF ss- de dim finie de E F et ferm de EUn K- de dim finie est un espace de BanachSur un K- de dim finie, tt application linaire est continueEn dim finie, la sphre unit est compacte donc x0, |u| = u(x0)

    u p-lin continueC0 en 0 borne sur S (0E, 1) ou B f (0E, 1) N[u(x1, . . . , xn)] kx1 . . . xnSur un produit d de dim finies, u est continue

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  • Hyperplan : noyau dune forme linaire non nulle (E , H et a E\H, E = H Ka)H est soit un ferm de E, soit une partie dense dans E avec F ss- de E F ss- de E : si H , H alors E H

    H1 H2 ss- H1 + H2 pp ss- contenant H1 et H2f L(E) est une homothtie x E, (x, f (x)) est lie(x1, . . . , xn) libre ssi 1x1 + . . . + n xn = 0 1 = . . . = n = 0

    F et G sont supplmentaires dans E x E,!(xF, xG),