Προσομοίωση στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Θετικών Σπουδών

Γ΄ Λυκείου

ΘΕΜΑ Α

Α1. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , να αποδείξετε ότι και η

συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : .

Μονάδες 10

Α2 . Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της στο ;

Μονάδες 5

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) :

i. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα

τότε μπορεί να υπάρχει τέτοιο ώστε .

ii.

.

iii. Η συνάρτηση είναι στο πεδίο ορισμού της αν και μόνο αν για κάθε

με είναι .

iv. Αν συνεχής στο τότε ισχύει :

.

v. Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μια συνεχούς συνάρτηση είναι διάστημα .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις και

Β1. Να δείξετε ότι η εξίσωση , έχει μια τουλάχιστον ρίζα .

Μονάδες 5

Β2. Να δείξετε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

Μονάδες 5

Β3. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο , ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της

στο σημείο αυτό , να είναι παράλληλη στην ευθεία

.

Μονάδες 8

Β4. Να δείξετε ότι η συνάρτηση , έχει μια τουλάχιστον εφαπτόμενη

ευθεία παράλληλη στον άξονα στο διάστημα

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται για την οποία ισχύει ότι :

Γ1 . Να δείξετε ότι η ασύμπτωτη της στο .

Μονάδες 5

Έστω

Γ2. Να δείξετε ότι και

Μονάδες 5

Γ3. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .

Μονάδες 5

Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ ’την τους άξονες και

την ευθεία

Μονάδες 5

Γ5. Ένα υλικό κινείται επί της και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό .

Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του , τη χρονική στιγμή κατά την οποία

διέρχεται απ ’το .

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει :

και

Δ1 . Να αποδείξετε ότι : , .

Μονάδες 5

Δ2. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Μονάδες 4

Δ3. Να βρείτε για τους οποίους ισχύει

Μονάδες 5

Δ4. Έστω ,

i. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ’ την την

εφαπτόμενη της στο και την ευθεία .

Μονάδες 6

ii. Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου

που περικλείεται απ’την τον και τις ευθείες και .

Μονάδες 5

Καλή Επιτυχία!!!

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ

Α1. Σχολικό Βιβλίο σελ . 229

Α2. Σχολικό Βιβλίο σελ . 280

Α3. Σ,Λ,Λ,Σ,Λ

ΘΕΜΑ Β

Β1. Θεώρημα Bolzano.

B2. H είναι γνησίως αύξουσα .

Β3. Θεώρημα Μέσης Τιμής .

Β4. Θεώρημα Rolle .

ΘΕΜΑ Γ

Γ3. Maximum στο και minimum στο .

Γ4.

τ.μ.

Γ5. cm/sec .

ΘΕΜΑ 4

Δ2. Minimum στο

Δ3.

Δ4. i . τ.μ.

ii. τ.μ.