Mathimatika kateythinsis 2001-2015

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Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου Έτη: 2001-2015 Κανονικών & Επαναληπτικών εξετάσεων Επιμέλεια: Χρήστος Κ. Λοΐζος υπ. Δρ. Πληροφορικής, Μαθηματικός. Email: [email protected] site: https://liveyourmaths.wordpress.com/ Επιμέλεια: Χρήστος Κ. Λοΐζος υπ. Δρ. Πληροφορικής, Μαθηματικός

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  1. 1. : 2001-2015 & : . . . , . Email: [email protected] site: https://liveyourmaths.wordpress.com/ : . . . ,
  2. 2. 1 2 2001 : : (4) 1o A.1. z1, z2. : z1 z2 = z1 z2. 7,5 .2. , . z : . zzz 2 = . zz 22 = . z-z = . zz = . zzi = 5 .1. i,3-1zi43z 21 =+= , . 1 : . . . ,
  3. 3. 2 1. zz 21 . 4 2. z2 1 . 2 3. 2 2z . 25 4. 1z . 5 5. zi 2 . 2 . 5 . 10 7,5 .2. 1,zz = z 1 z = . 5 2 f : 3x, 3x e-1 3x,x f(x) 3-x 2 > = . f , = 1/9. 9 . Cf f (4, f(4)). 7 2 : . . . ,
  4. 4. 3 . f, xx x=1 x=2. 9 3 f, R, : f3 (x) + f2 (x) + f(x) = x3 2x2 + 6x 1 xR, , 2 < 3. . f . 10 . f . 8 . f(x) = 0 (0,1). 7 4 f, R, o : i) f(x) 0, xR ii) f(x) = , xR.dt(xt)ftx2-1 1 0 22 g x- f(x) 1 g(x) 2 = , xR. 3 : . . . ,
  5. 5. 4 . (x)2xf-)x(f 2 = 10 . g . 4 . f : x1 1 f(x) 2 + = . 4 . (x f(x) 2x).lim x + 7 ( ) 1. (, , ). . , . 2. . . , . 3. . 4. . 5. : (3) . 6. : (1) . K 4 : . . . ,
  6. 6. 1 30 2002 : : (4) 1o A. f ' [, ]. G f [, ], . )(G)(Gdt)t(f = 12 .1. f(x) = x. f R f(x) = x . 8 .2. , . . f [,] (,], f [,] . 1 . , 1-1 , . 1 1 : . . . ,
  7. 7. 2 . f x0 ,0f(x) xx lim 0 = .0f(x) xx lim 0 = 1 . f R , .dx)x(xf)x(xfdx)x(f = 1 . f(x) > 0 x,0f(x) xx lim 0 > 0 . 1 2 z f() = i z, IN*. . f(3) + f(8) + f(13) + f(18) = 0 . 7 . z= Arg(z) = , f(13) = ++ + 2 i 2 . 8 . z= 2 Arg(z) = 3 , 0, z f(13). 10 2 : . . . ,
  8. 8. 3 3 f, g R . fog 1-1. . g 1-1. 7 . : g(f(x) + x3 - x) = g(f(x) + 2x -1) . 18 4 . h, g [, ]. h(x) > g(x) x [, ], . dx)x(gdx)x(h > 2 . R f, : x R f(0) = 0 .,1xe)x(f )x(f = ) f f. 5 ) ,f(x)xf(x) 2 x 0. 12 ) f, x = 0, x = 1 xx, )1(f 2 1 E 4 1 |z 1| 9 ) f 8 4 f R, Rx),x(f )x(f=))x(f (+)x(f)x(f 2 1=)0(f 2=)0(f ) f 12 B) g [0, 1] x 0 2 1=dt )t(f+1 g(t) -x2 [0, 1] 13 : . . . ,
  9. 11. 1 29 2003 : : 1o A. , f x0, . 8 . ; 7 . , . . z _ z , zzz == . 2 . f . f(x)>0 x , f . 2 1 : . . . ,
  10. 12. 2 . f, , , c IR.c)x(fdx)x(f += 2 . f , f . 2 . f x0 . f x0 f(x0)=0, f x0. 2 2 z=+i, ,IR w=3z _ zi +4, _ z z. . Re(w)=3+4 m(w)=3. 6 . , w y=x12, z y=x2. 9 2 : . . . ,
  11. 13. 3 . z, y=x2, . 10 3 f(x) = x5 +x3 +x . . f f . 6 . f(ex )f(1+x) xIR. 6 . f (0,0) f f 1 . 5 . f 1 , x x=3. 8 4 f [,] (,). f() = f() = 0 (,), (,), f()f()0, f(3)= > , x0 (2,3) f(x0)=0. 6 : . . . ,
  12. 22. 4 4 ( ) 1. ( , , ). . . 2. , . . , . 3. . 4. . 5. : (3) . 6. : 10:30 . K : . . . ,
  13. 23. 1 1 5 2004 : : (4) 1o A. f . f f(x) = 0 x , f . 9 . , . . f x0 , . 2 . . 2 . f, g IR fog gof, . 2 : . . . ,
  14. 24. 2 2 . C C f f1 y = x xOy xOy. 2 . f x0, f(x)lim)x(flim k 0xx k 0xx = , f(x) 0 x0, k k 2. 2 . f (, ) [, ]. 6 2 f: IR IR f(x) = 2x + mx 4x 5x , mIR, m > 0. . m f(x) 0 x IR. 13 . m = 10, f, xx x = 0 x = 1. 12 3 f: [, ] IR [, ] f(x) 0 x[, ] z Re(z) 0, m(z) 0 Re(z) >Im(z). : . . . ,
  15. 25. 3 3 z 1 z + = f() z 1 z 2 2 + = f2 (), : . z= 1 11 . f2 () < f2 () 5 . x3 f() + f() = 0 (1, 1). 9 4 f [0, +) IR , += 2 1 0 2 dt2xf(2xt) 2 x f(x) . . f (0, +). 7 . f(x) = ex (x + 1). 7 . f(x) [0, +). 5 . f(x)lim x + f(x)lim x . 6 : . . . ,
  16. 26. 4 4 ( ) 1. (, , ). . 2. , . . , . 3. . 4. . 5. : (3) . 6. : 10:00. K : . . . ,
  17. 27. 1 1 31 2005 : : (4) 1o A.1 f, [, ]. f [, ] f() f() f() f() , x0 (, ) , f(x0) = . 9 .2 y = x + f +; 4 B. , . . f [, ] f() < 0 (, ) f() = 0, f() > 0. 2 . ( )g(x)f(x)lim 0 xx + , f(x)lim xx 0 g(x)lim xx 0 . 2 : . . . ,
  18. 28. 2 2 . f f1 f y = x, f1 . 2 . f(x) > 0 x0f(x)lim 0xx = 0, += f(x) 1 lim xx 0 . 2 . f , ( ) )f(-f(x)dt)t(f x = x . 2 . f , x x , . 2 2 z1, z2, z3 z1=z2=z3= 3. . : z 9 z 1 1 = . 7 . z z z z 1 2 2 1 + . 9 . : z1 + z2 + z3= 3 1 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1. 9 : . . . ,
  19. 29. 3 3 3 f f(x) = ex , > 0. . f . 3 . f, , y = ex. . 7 . () , f, yy, () = 2 2-e . 8 . 2 () lim 2 + + . 7 4 f IR , 2 f(x) = ex f(x) x IR f(0) = 0. . : 2 e1 lnf(x) x + = . 6 . N : x dtt)-f(x lim x 0 0x . 6 : . . . ,
  20. 30. 4 4 . : h(x) = dt)t(ft x x 2005 g(x) = 2007 x2007 . h(x) = g(x) x IR. 7 . 2008 1 dt)t(ft x x 2005 = (0 , 1). 6 ( ) 1. (, , ). . 2. , . . , . 3. . 4. . 5. : (3) . 6. : 10:30 . K : . . . ,
  21. 31. 1 1 6 2005 : : (4) 1o A.1 f x)x(f = . f (0,+) : x2 1 )x(f = . 9 .2 f:A IR 1-1; 4 B. , . . , f 0, f . 2 . f (,) xo. f (,xo) (xo,) , ( ))x(f,x oo f. 2 : . . . ,
  22. 32. 2 2 . . 2 . f,g fog gof, fog gof. 2 . xx. z,z 2 . f IR*, : = dx)x(fdx)x(f . 2 2 . z1, z2 z1+z2=4+4i ,i55zz2 21 += z1, z2. 10 . A z,w z 1 3i 2 w 3 i 2 : i. z, w , z=w 10 ii. z w. 5 : . . . ,
  23. 33. 3 3 3 f, IR f(x)0 x IR. . f 1-1. 7 . Cf f (1,2005) (-2,1), ( ) 2)8x(f2004f 21 =+ . 9 . Cf, Cf (): 2005x 668 1 y += . 9 4 f: IRIR, 2005 x x)x(f lim 20x = . . : i. f(0)=0 4 ii. f(0)=1. 4 : . . . ,
  24. 34. 4 4 . IR , : ( ) ( ) .3 )x(fx2 )x(fx lim 22 22 0x = + + 7 . f IR f(x)>f(x) x IR, : i. xf(x)>0 x0. 6 ii. . < 1 0 )1(fdx)x(f 4 ( ) 1. (, , ). . 2. , . . , . 3. . 4. . 5. : (3) . 6. : 10.30 . K : . . . ,
  25. 35. 1 27 2006 : : (4) 1o A.1 f, . : f(x)>0 x , f . f(x) 0)x(f > x0. 2 1 : . . . ,
  26. 36. 2 . H f() f . 2 . , x IR.1-xx 3x)3( = 2 . f (x)g(x)dx=[f(x)g(x)] (x)g(x)dx, f,g f [,]. 2 2 f(x) =2+(x-2)2 x2. . f 1-1. 6 . f-1 f . 8 . i. f f-1 y=x. 4 ii. f f-1 . 7 2 : . . . ,
  27. 37. 3 3 1z,z,z 321321 zzz === .zz 0z 321 =++ . : i. 321321 zzzzzz == . 9 ii. 4zz 2 21 Re .1)zz( 21 8 . z1,z2,z3 , . 8 4 f(x)= 1x 1x + lnx. . f. 8 . N f(x)=0 2 . 5 . g(x)=lnx (,ln) >0 h(x)=ex (,e ) IR , f(x)=0. 9 . g h . 3 3 : . . . ,
  28. 38. 4 ( ) 1. (, , ). . . 2. , . . . 3. . 4. . 5. : (3) . 6. : 10.30 . K 4 : . . . ,
  29. 39. 1 5 2006 : : (4) 1o A.1 : (x)=x, xIR . 10 .2 f . f ; 5 B. , . . z1, z2 , : 2121 zzzz + . 2 . f, g xo g(xo)0, g f xo : [ ]2 )g(x )g(x)(xf)(xg)f(x )(x g f o oooo o = . 2 . x0 [ ] x 1 xn =l . 2 1 : . . . ,
  30. 40. 2 . f: IR 11, y f(x)=y x . 2 . f [,]. G f [,], .G()G()f(t)dt = 2 2 1x x e1 e1 f(x) + + + = , xIR . . f IR. 9 . dx f(x) 1 . 9 . x0. . i. : 0x, x 1 nx1)n(x > 0dxf(x) 2 . f x . f f(x) > 0 x . 2 1 : . . . ,
  31. 44. 2 . f x0 g x0 , gof x0. 2 . f , ( ) ( ) (x)gg(x)fdtf(t) g(x) = . 2 . > 1 .0lim x x = 2 2 2i i2 z + + = IR. . z (0,0) =1. 9 . z1, z2 2i i2 z + + = = 0 = 2 . i. z1 z2. 8 2 : . . . ,
  32. 45. 3 ii. : )z()(z 2 2 1 = . 8 3 : f(x) = x3 3x 22 IR + 2 , Z. . f , . 7 . f(x) = 0 . 8 . x1, x2 x3 f, (x1, f(x1)), B(x2, f(x2)) (x3, f(x3)) y = 2x 22 . 3 . f y = 2x 22 . 7 3 : . . . ,
  33. 46. 4 4 f [0, 1] f(0) > 0. g [0, 1] g(x) > 0 x[0, 1]. : F(x) = , x[0, 1], x 0 dtg(t)f(t) G(x) = , x [0, 1]. x 0 dtg(t) . F(x) > 0 x (0, 1]. 8 . N : f(x)G(x) > F(x) x (0, 1]. 6 . N : G(1) F(1) G(x) F(x) x (0, 1]. 4 . : xdtg(t) dttdtg(t)f(t) lim 5x 0 x 0 2x 0 0x 2 + . 7 4 : . . . ,
  34. 47. 5 ( ) 1. (, , ). . 2. , . . . 3. . 4. . , . 5. . 6. : (3) . 7. : 10.30 . K 5 : . . . ,
  35. 48. 1 3 2007 : : (4) 1o A.1 f x0, . 10 .2 Rolle ; 5 B. , , , , , . . f() f . 2 . f, g, g [,], =dx)x(g)x(f dx)x(f dx)x(g . 2 . f , = x dt)t(f f(x) x. 2 1 : . . . ,
  36. 49. 2 . f (,), (,) = = .)x(flim x + )x(flim x 2 . f, g . f, g f(x) = g(x) x , f(x) = g(x) x. 2 2 ++ < = .0x,xxx 0x, x x3 )x(f 2 . 3)x(flim 0x = . 8 . = 2 f f x0=0, = = 3. 9 . = = 3, . 0 dx)x(f 8 2 : . . . ,
  37. 50. 3 3 f(x) = ex e lnx, x > 0. . f(x) (1, +). 10 . f(x) e x > 0. 7 . dt)t(fdt)t(fdt)t(f 4 2 2x 3x 2x 1x 2 2 2 2 += + + + + (0, +). 8 4 z1 = +i 1 1 2 z2 z2 z + = , , IR 0. z2 z1 IR. . z2 z1 = 1. 9 . z1 . 6 . >0, z 2 1 z 1 .0)i1z()i1z( 20 1 20 1 =+++ 10 3 : . . . ,
  38. 51. 4 ( ) 1. (, , ). . 2. , . . . 3. . 4. . , . 5. . 6. : (3) . 7. : 10.00 . K 4 : . . . ,
  39. 52. 1 24 2008 : : (5) 1o A.1 f(x) = xln , x* * : ( ) x 1 xln = 10 .2 f [,]; 5 B. , , , , , . . f:A 11, f1 : )A(fyy,))y(f(fAxx,))x(f(f 11 == 2 . f f . 2 1 5 : . . . ,
  40. 53. 2 . z2 +z+=0 ,, 0 , . 2 . f , f( x ) > 0 x. 2 . A f ,, += f(x)dxf(x)dxf(x)dx 2 2 z w 3i)(3wi)(1w6z)22i( ==+ : . z . 6 . w . 7 . w 6 . wz 6 2 5 : . . . ,
  41. 54. 3 3 = > = 0x,0 0x,lnxx f(x) . f 0. 3 . f . 9 . x ex = . 6 . f(x+1)>f(x+1)f(x) , x > 0 . 7 4 f += 2 0 3 45f(t)dt3x)10x(f(x) . f(x)=20x3 +6x45 8 3 5 : . . . ,
  42. 55. 4 . g . h h)(xg(x)g lim(x)g 0h = 4 . f () g () 45f(x) h h)g(x2g(x)h)g(x lim 20h += ++ g(0)=g(0)=1, i. g(x)=x5 +x3 +x+1 10 ii. g 11 3 ( ) 1. (, , ). . 2. , . . . 3. . 4 5 : . . . ,
  43. 56. 5 4. . , . 5. . 6. : (3) . 7. : 10.30 . K 5 5 : . . . ,
  44. 57. 1 3 2008 : : (4) 1o A. [, ]. G f [, ], = )(G)(Gdt)t(f 10 . ; 5 . , , , , . . 11, . 2 . f , f , . 2 . dx)x(f 1 4 : . . . ,
  45. 58. 2 xx xx. 2 . , , : +i=0 =0 =0 2 . (, x)(x, ) . : 0== )(f(x)limf(x)lim oo xxxx 2 2 2 3i1 z1 + = z2 +z+=0, . . =1 =1. 9 . .1z3 1 = 8 . w, : 1zzw 1= 8 2 4 : . . . ,
  46. 59. 3 3 .x,xlnxf(x) 2 02 >= . : f(x)1 x>0. 6 . f. 6 . 0x 0x ,k , )x(f xln )x(g = > = i. k g . 6 ii. 2 1 k = , g , , (0, e). 7 4 f [0, +) f(x) > 0 x 0. : F(x) = , x[0, +), x 0 dtf(t) = x dt)t(ft )x(F )x(h 0 , x (0, +). 3 4 : . . . ,
  47. 60. 4 . =+ 1 0 1 1)(Fdt)]t(F)t(f[e t 6 . h (0, +). 8 . h(1)=2, : i. < 2 0 tf(t)dt2dtf(t) 2 0 6 ii. )(Fdt)t(F 1 2 11 0 = 5 1. (, , ). . 2. , . . . 3. . 4. . , . 5. . 6. : (3) . 7. : 10.00 . K 4 4 : . . . ,
  48. 61. 1 ( ) 20 2009 : : (5) 1o . f . f x 0)x(f = , f . 10 . f x0 ; 5 . , , , , . . z1, z2 , 2121 zzzz = 2 . f () x0A, f(x)f(x0) xA 2 1 5 : . . . ,
  49. 62. 2 . 1 x 1x lim 0x = 2 . f . 2 . f [, ] f(x)+= 10 > A. 1)x(f ,1x > =e 8 . =e, . f . 5 . f ]0,1( ),0[ + 6 . , ),0()0,1( + , 0 2x 1)(f 1x 1)(f = + (1, 2) 6 3 5 : . . . ,
  50. 64. 4 4 f [0, 2] ( ) 0dt)t(f2t 2 0 = = x 0 ],2,0[x,dt)t(ft)x(H = + = 0x, t t lim ],(x,dt)t(f x )x(H )x(G t x 2 2 0 0 11 6 203 . G [0, 2]. 5 . G (0, 2) 2x0, x )x(H )x(G 2