Mathimata Prosanatolismou G Lykeioy New 2

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  • , 1 -

    1

    ,

    &

    (. , . .

    -

    :

    : 2015-2016

  • , 1 -

    2

    1 : -5

    2 : .10

    3 : .16

    4 : - ....24

    5 : ...............................................................................30

    6 : - ( 1)....................................36

    ( 1-6)...............................................................40

    7 : .............................................................................43

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    8 : ..............................................................................49

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    9 : 11......................................................................................52

    10 : ........................................................................58

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    11 : 2- ...............75

    ( 7-11)....................................86

    .........................................88

    2-

    1-

  • , 1 -

    3

    12 : 0x .................................................................91

    13 : .......................................................................................101

    14 : 0x ........................................................123

    15 : .................................................................135

    16 : 3...................................................................152

    ........................................................................................154

    3........................................156

    3-

  • , 1 -

    4

    -

    1

  • , 1 -

    5

    :

    = {0, 1, 2, 3,.......},

    = {......., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,.......},

    Q

    , , 0.

    R ,

    .

    , , Q R :

    :

    R

    :

    1

    -

  • , 1 -

    6

    1 ,

    2

    3

    4

    5 , 0 N*, :

    6 0 0 0

    7 A > 0, : 1 1

    , R < , ,

    :

    (, ) = {x R | < x < } :

    [, ] = {x R | x } :

    [, ) = {x R | x < } : -

    (, ] = {x R | < x } : - .

    (. 3)

  • , 1 -

    7

    R,

    :

    (, +) = {x R | x > }

    [, +) = {x R | x }

    (, ) = {x R | x < }

    (, ] = {x R | x }

    (. 4)

    R (,+) .

    , ,

    .

    , | |, :

    , 0, 0

    :

  • , 1 -

    8

    1 2 2

    2 2

    3

    4 ( 0)

    5

    6 ( 0)x x

    7 x x x ( 0)

    8 0 0 0x x x x x

    9 0 0 0 x x x x x x

    .

    1. : 13, 4, , 23

    2. 2 1 : 2 3 5 3

    3. :

    1 3 ...

    2 1 ...2

    3 3 5 ...

    4 ...

    5 ...

    6 ...

    7 ...

    8 ...( 0)

    9 2 ...

  • , 1 -

    9

    4. :

    1x

    2x 113

    x

    2 2x 3 8x

    5. :

    ( , 1)

    [2, )

    ( 3,7]

    2[0, ]5

    3 ,2

    .

    1.

    1 2/ 13 2

    1/1 2 12

    x xx

    B x x

  • , 1 -

    10

    R.

    () f , x A

    y. y f x f(x).

    , :

    f : A R

    x f (x)

    x,

    , y, f x,

    .

    f fD .

    f x A,

    f f A . :

    / ( ) f A y y f x x A -

    fD f

    :

    1 :

    ( )( )( )

    A xf xB x

    , ( ) 0B x x

    , f :

    / ( ) 0fD x B x

    2

  • , 1 -

    11

    2 : ( ) ( )f x A x , ( ) 0A x

    f :

    / ( ) 0fD x A x

    3 :

    ( ) ln ( )f x A x ( ) log ( )f x A x , ( ) 0A x

    f :

    / ( ) 0fD x A x

    .

    - 1. :

    ) 21( )4

    xf xx

    ) 22 3( )

    3 4xg x

    x x

    (1 )

    ) :

    2 24 0 4 2 2x x x x

    f :

    2, 2fD ) :

    2 3 4 0 2 1x x x x

    f :

    1, 2gD

    2. :

    ) 3( ) 3 1f x x ) 2( ) 4 3g x x x

  • , 1 -

    12

    (2 )

    ) :

    13 1 03

    x x

    f :

    1 , 3f

    D

    ) :

    2 4 3 0 1 3x x x x

    f :

    ,1 3,gD

    3. :

    ) 2( ) ln 1f x x )

    3 2( ) log 2 2g x x x x

    (3 )

    ) :

    2 1 0 1 1x x x

    f :

    , 1 1,fD

    ) :

    3 2 2 22 2 0 1 2 1 0 1 2 0x x x x x x x x

    2 1 2

    1x - - + +

    2 2x + - - +

    3 2 2 2x x x - + - +

    f :

    2,1 2,gD

    4. :

  • , 1 -

    13

    ) 221( ) ln 5 4

    9f x x x

    x

    ) 3 23 2

    1( )ln( 2 2)1

    xg xx x xx

    ( )

    ) :

    2 2

    2

    9 0 0 3 3

    5 4 0 1 4

    x x x x

    x x x x

    f :

    , 3 3,1 4,fD

    ) :

    2

    3 2 2 2

    1 0 1 1

    2 2 0 2 2 0 2 1 0

    2 0 2

    x x x

    x x x x x x x x

    x x

    f :

    2,fD

    .

    1. :

    ) 21( )

    9f x

    x

    )

    2( ) ln 3 4g x x x

    2. :

    ) ( ) 5 15f x x ) 5 2( ) 25g x x

    3. :

    ) 2( )3 1xf xx

    ) 23( )

    4 3xg x

    x x

    1/. ;

  • , 1 -

    14

    .

    1. :

    ) 3 21( )

    6 11 6xf x

    x x x

    ) 3 3 2

    2( )6 11 6xg x

    x x x

    2. :

    )

    3 2

    3

    2 2( )ln 8

    x x xf xx

    )

    3 241( )

    ln 2 2g x

    x x x

    3. :

    ) 3 221( ) ln 6 52 1

    f x x xx x

    ) 4 25 21( )

    ln( 2 1)4 4xg x

    x xx x

    4. :

    ) , 1

    ( ) 10, 1

    x xf x x

    x

    )1, 0

    ( ) , 1 02, 1

    x xg x x x

    x x

    5. :

    1( ) 1 1 ln ( ) ln1

    xx

    x

    ef x e x g xe

    6. :

    21( ) + ( ) 2

    2 1 1xxf x g x x

    x x

    ( ) 7.

    2

    1( )1 2 1 3

    f xx x

    ,

    8. ,

  • , 1 -

    15

    ) 2( ) ln 1f x x x ) 2( ) 2 3g x x x

    9. :

    11( ) 3 log , ( ) ln (2)10

    f x x a g x f f x f

    , a

    fC 2, 3A : i) a .

    i) N f .

    ii) N g .

    10. :

    2

    , 6 1( )

    , 1 7x a a x

    f xx x

    2 5f 5 24f

    i) N f

    ii)

    iii) 1 , 3f f f

    iv) ( ) 3f x

    ( ) 11. : 0,f :

    ln 1xf x f xe

    0x

    i) f

    ii) :

    1 1 1, , 2 2 2

    f f f f f f

    12. :f : 22 ( ) (1 ) 2 1f x f x x x , x

    i) f

    ii) ( ) ( 2)g x f x

  • , 1 -

    16

    :

    f Oxy

    . M(x, y) y f x ,

    , ( )M x f x , x A , f

    fC . , , y = f(x) fC .

    , y f x f .

    x A y ,

    f .

    f (. 7).

    , ,

    . (. 7).

    f , :

    ) f fC .

    ) f f A fC .

    ) f 0x A 0x x

    fC (. 8).

    3

  • , 1 -

    17

    fC , f , ,

    f f

    :

    ) - f

    , xx,

    f ,

    M(x, f (x))

    M(x, f (x)),

    xx. (. 9).

    ) f

    fC

    xx ,

    xx, fC

    . (.

    10).

    f(x) = x +

    f(x) = x 2 , 0 .

  • , 1 -

    18

    f(x) = x 3 , 0 .

    af xx

    , 0 .

    ( )f x x ( )g x x .

  • , 1 -

    19

    , 0

    ( ), 0

    x xg x

    x x

    ,

    . y x

    yy.

    : f(x) = x, f(x) = x, f(x) = x

    , f (x) = x f (x) = x

    T = 2, f (x) = x = .

    f(x) = x, 0 < 1 .

    :

  • , 1 -

    20

    1 x y x ya a a

    x x ya a 2 x x

    xa

    3 yx xya a

    4 x x ya a

    5 0 1a